ayudantia tensor de esfuerzo
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Tensor de Esfuerzos
2015 Mecánica de Rocas I
Ayudante: Diego Acevedo C.
Profesor: Cristian Orrego B.
Teoríai. Esfuerzos principales
ii. Matriz de cosenos directores
iii. Tensor de esfuerzo
iv. Rotación de esfuerzos Tridimensional
Ejercicio N°1
Ejercicio N°2
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Conceptos Básicos
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“Independientemente del estado tensional en un punto, siempre es posible hacer pasar un
plano a través de él en que el esfuerzo de corte es nulo. El esfuerzo normal actuante en este
plano se denomina Esfuerzo Principal”. ( Fundamentos de geomecánica, DIMIN, USACH)
En un problema tridimensional , existen 3 planos con estas características, que son
ortogonales entre sí y sobre los cuales actúan los siguientes esfuerzos:
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Las orientaciones que actúan los esfuerzos principales mayor y menor , son los
siguientes:σ₁
σ₃
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El calculo del tensor de esfuerzo se realiza finalmente a
través de la matriz original y transpuesta de cosenos
directores junto a la matriz de esfuerzos principales
Para obtener los esfuerzos correspondiente en un plano inclinado, se debe
rotar el tensor de esfuerzo obteniendo los esfuerzos cortantes y normales
a ese plano. Para ello se realiza un nuevo sistema de coordenadas,
utilizando una nueva matriz de cosenos directores para la posterior
rotación del tensor.
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Por lo tanto, a partir del tensor de esfuerzo, se obteniene el tensor de esfuerzo en
cualquier otra orientación a través de la siguiente expresión:
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Tensor de Esfuerzo
2015 Mecánica de Rocas I
En una mina subterránea, se explota un macizo rocoso con
una densidad del orden de 2.7 (Ton/ m3). Se ha decidido
realizar 2 mediciones de esfuerzo, todas a una profundidad
de 800 (m), los resultados se muestran en la Tabla a
continuación. Se solicita a usted como Ingeniero(a)
Geomecánico, determinar en función de los resultados
obtenidos, la conveniencia de realizar un túnel con un rumbo
N-S.
2015 Mecánica de Rocas I
Test N° σ₁ (Mpa) AZ(°) I₁(°) σ₂(Mpa) AZ(°)2 I₂(°) σ₃(Mpa) AZ(°)3 I₃(°)
1 55 80 -3 29 170 -1 21 260 -87
2 62 86 -1 30 176 -2.5 19 266 -89
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Test N° σ₁ AZ(°) I₁ σ₂ AZ(°) I₂ σ₃ AZ(°) I₃
1 55 80 -3 29 170 -1 21 260 -87
2 62 86 -1 30 176 -2.5 19 266 -89
55 0 0
0 29 0
0 0 21
Test N°1
AZ(°) ᵦᵟ
80 10 -3
170 -80 -1
260 -170 -87
σ₁₂₃ =
Si no es conocido el Tensor,
entonces primero se debe
identificar la matriz de esfuerzos
principales, el cual tiene todos sus
esfuerzos de corte nulos. Luego,
obtenemos los valores de ᵦ , los
cuales se representan como se
evidencia en la siguiente
diapositiva.
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Y
xAZ=260°
AZ=170°
AZ=80°
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Cos (-3) * Cos (-10) Cos (-3) * Sen (-10) Sen (-3)
Cos (-1) * Cos (-80) Cos (-1) * Sen (-80) Sen (-1)
Cos (-87) * Cos (-170) Cos (-87) * Sen (-170) Sen (-87)
Cosenos
Directores (L)
0.98 0.17 -0.05
0.17 -0.98 -0.02
-0.05 -0.01 -1.00
Con los valores de la proyección ᵦ y la inclinación , se genera la matriz de
Cosenos Directores. Su formulismo se presenta a continuación junto a los
resultados de la matriz para este ejercicio.
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0.98 0.17 -0.05
0.17 -0.98 -0.01
-0.05 -0.02 -1.00
Transpuesta Cosenos Directores (LT)
55 0 0
0 29 0
0 0 21
0.98 0.17 -0.05
0.17 -0.98 -0.02
-0.05 -0.01 -1.00
0.98 0.17 -0.05
0.17 -0.98 -0.01
-0.05 -0.02 -1.00X Xσ XYZ =
σ XYZ =
54.13 4.43 -1.84
4.43 29.77 0.19
-1.84 0.19 21.10
Finalmente, para obtener el tensor, se debe multiplicar las siguientes matrices:
Matriz Transpuesta de Cosenos directores, Matriz de esfuerzos Principales y
Matriz de Cosenos directores.
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Test N°2
62 0 0
0 30 0
0 0 19
1.00 0.07 -0.02
0.07 -1.00 -0.04
-0.02 0.00 -1.00
61.83 2.23 -0.84
2.23 30.10 1.25
-0.84 1.25 19.07
1.00 0.07 -0.02
0.07 -1.00 0.00
-0.02 -0.04 -1.00
AZ(°) ᵦᵟ
86 4 -1
176 -86 -2.5
266 -176 -89
σ₁₂₃ =
σ XYZ =
Cosenos
Directores (L)
Transpuesta
C.D (LT)
Promedio de σXYZ =57.98 3.33 -1.34
3.33 29.94 0.72
-1.34 0.72 20.09
Se realiza el mismo procedimiento que el Test N°1. Los resultados son los siguientes:
OJO!!! , El calculo del promedio se hace cuando
ya se han obtenido los demás tensores.
NO SE PROMEDIAN LOS DATOS NI OTRAS
MATRICES. SOLO TENSORES DE ESFUERZOS !!!
2015 Mecánica de Rocas I 17
La razón P/Q es conocida como anisotropía de esfuerzos, a menor anisotropía se
espera una mejor redistribución de esfuerzos entorno al túnel y en consecuencia
que se minimice la sobre-excavación . Por lo anteriormente expuesto, se
recomienda orientar el túnel con un Rumbo E-W
P =σ₁ 58.03
Q=σ₃ 20.04
Razón 2.90
P=σ₁ 29.99
Q=σ₃ 20.03
Razón 1.50
σ xz =
σ yz =
57.98 -1.34
-1.34 20.09
29.94 0.72
0.72 20.09
Túnel N-S, Sección Transversal E-W
Túnel E-W, Sección Transversal N-S
σ XYZ =
57.98 3.33 -1.34
3.33 29.94 0.72
-1.34 0.72 20.09
Como resultado de una campaña de mediciones de esfuerzorealizada en una subterránea, mediante la técnica de HollowInclusion , se ha obtenido esfuerzos principales promedio el que sedetalla a continuación. La direcciones se han especificado comoazimut e inclinación, considerando que la inclinación sobre lahorizontal se considera positiva.
a) Determinar el tensor de esfuerzos referenciado a los ejescartesianos.
b) En el sector de interés existe una falla de mala calidadgeotécnica caracterizada por un dip 60° y dipdir de 150°, lacual podría condicionar futuros diseños mineros en el sector.Por lo cual, se requiere estimar el estado de esfuerzos sobre lafalla, determinando el esfuerzo normal actuante y su respectivacomponente de corte total.
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II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 19
σ₁ (Mpa) AZ(°) I₁ σ₂ (Mpa) AZ(°) I₂ σ₃ (Mpa) AZ(°) I₃
36.52 191.08 -3.91 31.78 281.39 -4.61 21.33 60.9 -83.95
Respuesta
a)36.52 0 0
0 31.78 0
0 0 21.33
AZ(°) ᵦᵟ
191.08 -101.08 -3.91
281.39 -191.39 -4.61
60.9 29.1 -83.95
-0.19 -0.98 -0.07
-0.98 0.20 -0.08
0.09 0.05 -0.99
31.87 0.84 1.02
0.84 36.30 0.85
1.02 0.85 21.47
σ₁₂₃ =
Cosenos
Directores (L)
σ XYZ =
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b) Dip= 60° DipDir= 150° Rumbo N 60 E
Se realiza un sistema auxiliar de coordenadas, para poder obtener el nuevo tensor.
Para ello, se hacen los siguientes pasos:
Variables ᵦ ᵟx´ 30 0
y´ -60 -60
Z´ -60 30
0.87 0.50 0.00
0.25 -0.43 -0.87
0.43 -0.75 0.50
33.70 -2.30 -1.37
-2.30 24.91 5.74
-1.37 5.74 31.02
σ X´Y´Z ´=
Cosenos
Directores (L)
σ X´Y´Z ´=
0.87 0.50 0.00
0.25 -0.43 -0.87
0.43 -0.75 0.50
0.87 0.25 0.43
0.50 -0.43 -0.75
0.00 -0.87 0.50
31.87 0.84 1.02
0.84 36.30 0.85
1.02 0.85 21.47X X
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X´AZ=60°
AZ= 150° Y´
Z´
II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 22
Perfil
Y´
Z´
X´
Z
X´
Y´
60°
Isométrica
Z´
II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 23
σ n =σ z´ = 31,02 mpa
La componente de corte total y normal del plano de falla se obtienen de
la siguiente manera:
En este caso, los cortante a evaluar son z´x´ y z´y´ , los cuales son -1.37
y 5.74 Mpa , respectivamente. Utilizando la fórmula presentada
anteriormente, entonces la componente de corte total es igual a 5.9 Mpa.