1

Az igénybevételi függvényekről és ábrákról

Úgy tűnik, hogy a technikusi minősítő vizsgára való felkészítő tanulási / tanítási feladatok

egyik legnehezebb része a tartók igénybevételeivel kapcsolatos. Ez az anyagrész nem el -

hagyható – hiszen e statikai előkészítés / megalapozás nélkül a szilárdságtani alkalmazás

nem lehetséges – , tételei és fogalmai nem igazán egyszerűek, előjelszabályok alkalma -

zandók, függvények felírása és ábrázolása szükséges, szóval a kezdőnek tényleg rázós le -

het az út a célhoz. Most kísérletet teszünk egy viszonylag sima út kitaposására.

Ennek során lényegesen támaszkodunk az [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] művekre is.

Most tekintsük az 1. ábrát – forrása: [ 3 ]!

1. ábra – forrása: [ 3 ]

Itt azt szemléltették, hogy egy tetszőleges alakú merev testet, mely a reá ható külső

erőrendszer hatására egyensúlyban van, gondolatban szétvágtunk egy metsző felülettel.

Így előálltak az I. és a II. jelű résztestek.

Minthogy az egész test egyensúlyban van, így részeinek külön - külön is egyensúlyban

kell lennie. Az I. résztestre ható külső erőket a szétvágás mentén működő belső erőknek

kell kiegyensúlyoznia, melyeket a II. résztest fejt ki I. - re. A belső erők valójában egy a

metszeti felület mentén megoszló erőrendszer, melyet a metszeti felület SA pontjába redu -

2

kálva kapjuk az FS metszeti erőt és MS metszeti erőpárt / nyomatékvektort.

Ezután egy SA xyz derékszögű koordináta - rendszert veszünk fel, melynek x - tengelye a

metszeti felület SA pontbeli nA ( kifelé mutató ) normális egységvektorával egyező nyílér -

telmű, az y és z tengelye pedig olyan állású, hogy x, y és z egy jobbsodrású tengelyrend -

szert képeznek. Az előbbi FS és MS vektorokat ezen tengelyek menti komponensekre

bontva kapjuk az adott metszetet terhelő igénybevételi komponenseket; ezek név szerint:

~ N: normálerő,

~ Qy , Qz: nyíróerők;

~ Mx : csavarónyomaték,

~ My , Mz : hajlítónyomatékok.

Ezt az 1. ábra jobb felső részén részletezték, ahol minden igénybevételi komponens pozitív

értelmű.

Ez a helyzet a térbeli Statikában, általános esetben.

Most specializáljuk a fentieket a síkbeli Statikára és az egyenes tengelyű rudak esetére,

amikor is a rudat képzeletben átmetsző felület a rúd súlypontvonalára merőleges helyzetű

sík, a redukálás pedig a keresztmetszeti síkidom S súlypontára történik! Az ekkor előálló

koordináta - rendszer ( k. r. ) felvétele pl. a 2. ábra szerinti.

2. ábra – forrása: [ 2 / 2 ]

Itt az Sxyz k. r. kezdőpontja az I - gerenda bal oldali végének súlypontjában lett felvéve,

x - tengelye hosszirányú, y - és a z - tengelyei a keresztmetszet szimmetriatengelyeivel

esnek egybe. Minthogy a k. r. egy segédeszköz, így felvétele tetszőleges, de célszerű.

Most beszéljük meg a súlypontra redukálás, valamint az ezzel kapcsolatos előjelszabá -

lyok kérdését! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Itt azt láthatjuk, hogy a tartóra hat egy F vek -

torú erő, az xK koordinátával kijelölt K keresztmetszettől balra.

3

3. ábra

A K keresztmetszettel a tartót az I. és II. jelű résztartókra vágtuk szét, gondolatban.

Az F erőt a K keresztmetszet S súlypontjára redukáltuk, az erő áthelyezésénél tanult mó -

don. Ennek eredményeképpen kaptuk az S pontban hatónak képzelt F vektorú erőt és az

Mh forgatónyomatékú erőpárt. Utóbbi Mh jelölése a hajlítónyomaték skalárját jelenti.

Az S pontban F - et Q és N derékszögű komponenseire bontottuk; ezek nagysága az ábrán

feltüntetettek szerinti. A 3. ábra segítségével két előjelszabályt is tisztázunk.

1. szabály: a statikai számítás során az erők skaláris komponensei akkor pozitívak, ha a

megfelelő vektorkomponens nyila a pozitív egységvektoréval egyező.

2. szabály: a pozitív igénybevételek vektorai a 3. ábra alsó részábrája szerint az I. tartó -

szakasz jobb oldali K végkeresztmetszetének pozitív tengely - irányaival azonos nyíl -

értelműek, ahogyan azt már az 1. ábra jobb felső részábrája kapcsán is megállapítottuk.

A 3. ábráról is leolvasható, hogy a II. tartószakasz bal oldali K végkeresztmetszetében az

akció ~ reakció elvének megfelelően fennállnak az alábbiak:

E két szabály egyidejű alkalmazását a következő mintapéldán mutatjuk be.

Most gondoljuk tovább! Ha az F erő egy az I. résztestre ható ( bal oldali ) erőrendszer

eredője, akkor a fenti redukálás eredményeként a teljes tartóra ható, több erőből álló erő -

rendszer okozta belső erőket / igénybevételi komponenseket állítottuk elő a K keresztmet -

szetre.

4

Érdemes megemlíteni, hogy általában nem határozzuk meg az előbb említett eredőt,

hanem a vetületi és a nyomatéki tétel értelmében az erőrendszer elemeivel, illetve azok

derékszögű összetevőivel dolgozva érjük el a kívánt eredményt.

Fontos eldönteni, hogy a munka során az I. vagy a II. tartórész K - beli végkeresztmetsze -

tével dolgozunk - e. Gyakorta megesik, hogy ugyanazon feladatban mindkettővel dolgo -

zunk, kényelmi okok és ellenőrzési szempontok miatt is.

Az előbb említett „munka” nem egyéb, mint az igénybevételi függvények felírása, majd az

igénybevételi ábrák megrajzolása. Az igénybevételi függvények a 3. ábra példájában:

N = N ( x ) , Q = Q ( x ) , Mh = Mh ( x ) , vagyis a normálerő, a nyíróerő és a hajlító -

nyomaték értékeinek az x változó függvényében való alakulását megadó matematikai ki -

fejezések / függvények. Az igénybevételi ábrák e függvények grafikonjai.

MINTAFELADAT – [ 2 / 1 ]

Egy l támaszközű, az A végén fix csuklós, a B végén görgős megtámasztású kéttámaszú

gerendát az A végétől a távolságra lévő keresztmetszetében egy F nagyságú, a függőle -

gessel α szöget bezáró hatásvonalú koncentrált erő támadja, a 4. ábra szerint.

4. ábra

Határozzuk meg e tartó igénybevételi függvényeit, majd ezek alapján rajzoljuk meg

igénybevételi ábráit!

A feladat kiírása az alábbi.

Adott: l, a , α , F.

Keresett: N( x ) , Q( x ) , Mh( x ).

Megoldás

5

Először a reakciókat határozzuk meg. Ehhez a reakciók komponenseit pozitívnak tételez -

zük fel, az 5. ábra szerint.

5. ábra

Az egyensúlyi egyenletek:

( 1 )

mivel az ábra alapján

( 2 )

így ( 1 ) és ( 2 ) - vel:

( 3 )

tehát a felvettel ellentétes nyílértelmű. Folytatva:

( 4 )

mivel az ábra alapján

( 5 )

így ( 4 ) és ( 5 ) - tel:

( 6 )

tehát a felvettel ellentétes nyílértelmű. Folytatva:

6

( 7 )

most ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

tehát:

( 8 )

vagyis a felvettel ellentétes nyílértelmű.

Most rátérünk az igénybevételi függvények felírására. Ehhez tekintsük a 6. ábrát is!

6. ábra

Itt alkalmaztuk a 3. ábrán bemutatott előjelszabályt a pozitív igénybevételek megadására.

Egyensúlyi egyenletek az I. szakaszra, melyre – ld. 6. ábra felső része! – :

( 9 )

most ( 3 ) és ( 9 ) - cel:

( 10 )

( 11 )

majd ( 8 ) és ( 11 ) - gyel:

( 12 )

7

( 13 )

ezután ( 1 ) és ( 13 ) - mal:

( 14 )

Egyensúlyi egyenletek az II. szakaszra, melyre – ld. 6. ábra alsó része! – :

tehát:

( 15 )

( 16 )

most ( 6 ) és ( 16 ) - tal:

( 17 )

( 18 )

majd ( 17 ) és ( 18 ) szerint:

tehát:

( 19 )

A következő teendő eredményeink grafikus ábrázolása. Ehhez adatok:

F = 10 kN , α = 37° , a = 6 m , l = 9 m . ( A )

A normálerő - ábra a 7. ábrán szemlélhető.

7. ábra

8

A nyíróerő - ábra a 8. ábrán szemlélhető.

8. ábra

A hajlítónyomatéki ábra a 9. ábrán szemlélhető.

9. ábra

9

Megjegyzések:

M1. Emlékeink szerint a mérnöki vizsgákra való felkészülés során is egyfajta vízválasztót

jelentett a tartók igénybevételeivel kapcsolatos tudásanyag elsajátítása – vagy annak el -

mulasztása.

M2. Az egyensúlyban lévő test belső erőrendszerének vizsgálata során néha nem sík, ha -

nem görbe felület menti átmetszést alkalmaznak. Ez főként rugalmasságtani számítások -

nál fordul elő.

M3. Az említett, a metszeti felület mentén megoszló belső erőrendszer valójában a

feszültségi erőrendszer. Erről közelebbit a Szilárdságtan, illetve a Rugalmasságtan tud

mondani.

M4. Az nem egészen magától értetődő, hogy az igénybevételi komponenseket a test adott

keresztmetszete súlyponti tengelyeire vonatkoztatjuk; ennek jó oka van, melynek magya -

rázatát a haladó szilárdságtani tanulmányok során adják meg. Néha más keresztmetszeti

vonatkoztatási pontok is előfordulhatnak ( pl.: nyírási középpont, csavarási középpont ).

M5. Az 1. ábrán az SA pont az S ( Schnitt ) metszeti felület A pontja.

M6. Itt – és a továbbiakban is – csak ún. prizmatikus tartókkal foglalkozunk, melyek ke -

resztmetszetének alakja, méretei és helyzete a hosszuk mentén nem változik. A 3. ábra

tartóját képzeletben úgy származtathatjuk, hogy a b / h téglalap keresztmetszetet az S súly -

pontján átmenő, a keresztmetszet síkjára merőleges egyenes mentén végigtoljuk, a tartó l

hosszában, miközben a keresztmetszeti síkidom a rúdtestet leírja, ahol l > 10 h.

E származtatási módtól eltérő pl. a csavart rudaké, amikor is a keresztmetszeti síkidomot

nem csak eltoljuk, hanem eközben el is forgatjuk a tartó hossztengelye körül.

M7. A 3. oldali utolsó mondatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a súlypontra redukálás

során érvényesítjük a szuperpozíció elvét: minden, a keresztmetszettől egy oldalra eső erő

és erőpár hatása a K keresztmetszetre algebrailag összegezhető, egymásra halmozható; ez

a vetületi és a nyomatéki tétel értelmében megtehető.

M8. Az igénybevételi ábrák más megjelenésűek is lehetnek. Egy az ittenitől eltérő megol -

dást mutat a 10. ábra. A mi megoldásunkat alapvetően meghatározza, hogy a Graph függ -

vényrajzoló programmal hogyan kényelmesebb dolgoznunk.

10

10. ábra – forrása: [ 2 / 1 ]

M9. A Statikában mindennapos dolog, hogy a 7., 8., 9., 10. ábrán látható sajátos függvé -

nyekkel, illetve ábrákkal találkozunk. Az ilyen szakadásos, illetve töröttvonal alakú gra -

fikonok az F koncentrált erő következtében állnak elő. A valóságos viszonyok ettől elté -

rőek: az F erő nem pontszerű, hanem kis – de nem zérus nagyságú – felületen megoszló,

nagy intenzitású erőrendszer, melynek eredője F. Az ennek megfelelő igénybevételi ábrák

pedig a támadáspontban is folytonos, illetve folytonos érintővel rendelkező függvényekkel

lennének leírhatóak.

M10. Az 1. ábrán is látható koordináta - rendszer alkalmazása elsőre kissé kényelmetlen -

nek tűnhet, ámde később – az összetett igénybevételek tanulmányozása során – jó szolgá -

latot tesz majd. Emiatt is érdemes már most, tanulmányaink ezen részében bevezetni.

M11. Ahogyan a 10. ábrán is látható, célszerű az igénybevételi ábrákon feltüntetni azok

jellemző értékeit. A 10. ábrán ez paraméteresen történt, ahogyan a feladat megoldása is.

M12. Az igénybevételi ábrákkal kapcsolatban még további tudnivalók merülhetnek fel,

melyeket az ezután következő sok mintapélda kapcsán kell megbeszélni.

M13. Nem egyszerű a szakmai tanár feladata, a címbeli témát illetően sem. Nincs még

minden kellően előkészítve, nem használhat magasabb matematikát, ámde törekednie kell

a nagyfokú precizitásra, egy kevésbé teljesítményorientált közegben is. Hasonló gondjaik

lehetnek a tankönyvek íróinak is, megfejelve fentieket az idők során változó követel -

ményrendszer okozta kihívásokkal. Talán ezért is van csak kevés jól tanulható tankönyv,

magyarul, főként technikusi szinten, a statikai / szilárdságtani témákban is.

11

Szakirodalmi források:

[ 1 ] – Hajdu Endre: Statika

Egyetemi jegyzet, Sopron, 2006.

[ 2 / 1 ] – Siegfried Kessel: Technische Mechanik

Aufgabensammlung mit Musterlösungen

Egyetemi jegyzet, Dortmund, 2012.

vagy:

www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/v_4_6234.pdf?SGWID

=0-0-45-1364793-p174546998

[ 2 / 2 ] – Siegfried Kessel: Mechanik I.

Egyetemi jegyzet, Dortmund, 1997.

[ 3 ] – Georg Rill: Technische Mechanik I.

Egyetemi jegyzet, OTH Regensburg, 2017.

vagy:

https://hps.hs-regensburg.de/rig39165/

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2017. november 22.