az igénybevételi függvényekről és ábrákról
TRANSCRIPT
![Page 1: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Az igénybevételi függvényekről és ábrákról
Úgy tűnik, hogy a technikusi minősítő vizsgára való felkészítő tanulási / tanítási feladatok
egyik legnehezebb része a tartók igénybevételeivel kapcsolatos. Ez az anyagrész nem el -
hagyható – hiszen e statikai előkészítés / megalapozás nélkül a szilárdságtani alkalmazás
nem lehetséges – , tételei és fogalmai nem igazán egyszerűek, előjelszabályok alkalma -
zandók, függvények felírása és ábrázolása szükséges, szóval a kezdőnek tényleg rázós le -
het az út a célhoz. Most kísérletet teszünk egy viszonylag sima út kitaposására.
Ennek során lényegesen támaszkodunk az [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] művekre is.
Most tekintsük az 1. ábrát – forrása: [ 3 ]!
1. ábra – forrása: [ 3 ]
Itt azt szemléltették, hogy egy tetszőleges alakú merev testet, mely a reá ható külső
erőrendszer hatására egyensúlyban van, gondolatban szétvágtunk egy metsző felülettel.
Így előálltak az I. és a II. jelű résztestek.
Minthogy az egész test egyensúlyban van, így részeinek külön - külön is egyensúlyban
kell lennie. Az I. résztestre ható külső erőket a szétvágás mentén működő belső erőknek
kell kiegyensúlyoznia, melyeket a II. résztest fejt ki I. - re. A belső erők valójában egy a
metszeti felület mentén megoszló erőrendszer, melyet a metszeti felület SA pontjába redu -
![Page 2: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/2.jpg)
2
kálva kapjuk az FS metszeti erőt és MS metszeti erőpárt / nyomatékvektort.
Ezután egy SA xyz derékszögű koordináta - rendszert veszünk fel, melynek x - tengelye a
metszeti felület SA pontbeli nA ( kifelé mutató ) normális egységvektorával egyező nyílér -
telmű, az y és z tengelye pedig olyan állású, hogy x, y és z egy jobbsodrású tengelyrend -
szert képeznek. Az előbbi FS és MS vektorokat ezen tengelyek menti komponensekre
bontva kapjuk az adott metszetet terhelő igénybevételi komponenseket; ezek név szerint:
~ N: normálerő,
~ Qy , Qz: nyíróerők;
~ Mx : csavarónyomaték,
~ My , Mz : hajlítónyomatékok.
Ezt az 1. ábra jobb felső részén részletezték, ahol minden igénybevételi komponens pozitív
értelmű.
Ez a helyzet a térbeli Statikában, általános esetben.
Most specializáljuk a fentieket a síkbeli Statikára és az egyenes tengelyű rudak esetére,
amikor is a rudat képzeletben átmetsző felület a rúd súlypontvonalára merőleges helyzetű
sík, a redukálás pedig a keresztmetszeti síkidom S súlypontára történik! Az ekkor előálló
koordináta - rendszer ( k. r. ) felvétele pl. a 2. ábra szerinti.
2. ábra – forrása: [ 2 / 2 ]
Itt az Sxyz k. r. kezdőpontja az I - gerenda bal oldali végének súlypontjában lett felvéve,
x - tengelye hosszirányú, y - és a z - tengelyei a keresztmetszet szimmetriatengelyeivel
esnek egybe. Minthogy a k. r. egy segédeszköz, így felvétele tetszőleges, de célszerű.
Most beszéljük meg a súlypontra redukálás, valamint az ezzel kapcsolatos előjelszabá -
lyok kérdését! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Itt azt láthatjuk, hogy a tartóra hat egy F vek -
torú erő, az xK koordinátával kijelölt K keresztmetszettől balra.
![Page 3: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/3.jpg)
3
3. ábra
A K keresztmetszettel a tartót az I. és II. jelű résztartókra vágtuk szét, gondolatban.
Az F erőt a K keresztmetszet S súlypontjára redukáltuk, az erő áthelyezésénél tanult mó -
don. Ennek eredményeképpen kaptuk az S pontban hatónak képzelt F vektorú erőt és az
Mh forgatónyomatékú erőpárt. Utóbbi Mh jelölése a hajlítónyomaték skalárját jelenti.
Az S pontban F - et Q és N derékszögű komponenseire bontottuk; ezek nagysága az ábrán
feltüntetettek szerinti. A 3. ábra segítségével két előjelszabályt is tisztázunk.
1. szabály: a statikai számítás során az erők skaláris komponensei akkor pozitívak, ha a
megfelelő vektorkomponens nyila a pozitív egységvektoréval egyező.
2. szabály: a pozitív igénybevételek vektorai a 3. ábra alsó részábrája szerint az I. tartó -
szakasz jobb oldali K végkeresztmetszetének pozitív tengely - irányaival azonos nyíl -
értelműek, ahogyan azt már az 1. ábra jobb felső részábrája kapcsán is megállapítottuk.
A 3. ábráról is leolvasható, hogy a II. tartószakasz bal oldali K végkeresztmetszetében az
akció ~ reakció elvének megfelelően fennállnak az alábbiak:
E két szabály egyidejű alkalmazását a következő mintapéldán mutatjuk be.
Most gondoljuk tovább! Ha az F erő egy az I. résztestre ható ( bal oldali ) erőrendszer
eredője, akkor a fenti redukálás eredményeként a teljes tartóra ható, több erőből álló erő -
rendszer okozta belső erőket / igénybevételi komponenseket állítottuk elő a K keresztmet -
szetre.
![Page 4: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Érdemes megemlíteni, hogy általában nem határozzuk meg az előbb említett eredőt,
hanem a vetületi és a nyomatéki tétel értelmében az erőrendszer elemeivel, illetve azok
derékszögű összetevőivel dolgozva érjük el a kívánt eredményt.
Fontos eldönteni, hogy a munka során az I. vagy a II. tartórész K - beli végkeresztmetsze -
tével dolgozunk - e. Gyakorta megesik, hogy ugyanazon feladatban mindkettővel dolgo -
zunk, kényelmi okok és ellenőrzési szempontok miatt is.
Az előbb említett „munka” nem egyéb, mint az igénybevételi függvények felírása, majd az
igénybevételi ábrák megrajzolása. Az igénybevételi függvények a 3. ábra példájában:
N = N ( x ) , Q = Q ( x ) , Mh = Mh ( x ) , vagyis a normálerő, a nyíróerő és a hajlító -
nyomaték értékeinek az x változó függvényében való alakulását megadó matematikai ki -
fejezések / függvények. Az igénybevételi ábrák e függvények grafikonjai.
MINTAFELADAT – [ 2 / 1 ]
Egy l támaszközű, az A végén fix csuklós, a B végén görgős megtámasztású kéttámaszú
gerendát az A végétől a távolságra lévő keresztmetszetében egy F nagyságú, a függőle -
gessel α szöget bezáró hatásvonalú koncentrált erő támadja, a 4. ábra szerint.
4. ábra
Határozzuk meg e tartó igénybevételi függvényeit, majd ezek alapján rajzoljuk meg
igénybevételi ábráit!
A feladat kiírása az alábbi.
Adott: l, a , α , F.
Keresett: N( x ) , Q( x ) , Mh( x ).
Megoldás
![Page 5: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Először a reakciókat határozzuk meg. Ehhez a reakciók komponenseit pozitívnak tételez -
zük fel, az 5. ábra szerint.
5. ábra
Az egyensúlyi egyenletek:
( 1 )
mivel az ábra alapján
( 2 )
így ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
( 3 )
tehát a felvettel ellentétes nyílértelmű. Folytatva:
( 4 )
mivel az ábra alapján
( 5 )
így ( 4 ) és ( 5 ) - tel:
( 6 )
tehát a felvettel ellentétes nyílértelmű. Folytatva:
![Page 6: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/6.jpg)
6
( 7 )
most ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel:
tehát:
( 8 )
vagyis a felvettel ellentétes nyílértelmű.
Most rátérünk az igénybevételi függvények felírására. Ehhez tekintsük a 6. ábrát is!
6. ábra
Itt alkalmaztuk a 3. ábrán bemutatott előjelszabályt a pozitív igénybevételek megadására.
Egyensúlyi egyenletek az I. szakaszra, melyre – ld. 6. ábra felső része! – :
( 9 )
most ( 3 ) és ( 9 ) - cel:
( 10 )
( 11 )
majd ( 8 ) és ( 11 ) - gyel:
( 12 )
![Page 7: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/7.jpg)
7
( 13 )
ezután ( 1 ) és ( 13 ) - mal:
( 14 )
Egyensúlyi egyenletek az II. szakaszra, melyre – ld. 6. ábra alsó része! – :
tehát:
( 15 )
( 16 )
most ( 6 ) és ( 16 ) - tal:
( 17 )
( 18 )
majd ( 17 ) és ( 18 ) szerint:
tehát:
( 19 )
A következő teendő eredményeink grafikus ábrázolása. Ehhez adatok:
F = 10 kN , α = 37° , a = 6 m , l = 9 m . ( A )
A normálerő - ábra a 7. ábrán szemlélhető.
7. ábra
![Page 8: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/8.jpg)
8
A nyíróerő - ábra a 8. ábrán szemlélhető.
8. ábra
A hajlítónyomatéki ábra a 9. ábrán szemlélhető.
9. ábra
![Page 9: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Megjegyzések:
M1. Emlékeink szerint a mérnöki vizsgákra való felkészülés során is egyfajta vízválasztót
jelentett a tartók igénybevételeivel kapcsolatos tudásanyag elsajátítása – vagy annak el -
mulasztása.
M2. Az egyensúlyban lévő test belső erőrendszerének vizsgálata során néha nem sík, ha -
nem görbe felület menti átmetszést alkalmaznak. Ez főként rugalmasságtani számítások -
nál fordul elő.
M3. Az említett, a metszeti felület mentén megoszló belső erőrendszer valójában a
feszültségi erőrendszer. Erről közelebbit a Szilárdságtan, illetve a Rugalmasságtan tud
mondani.
M4. Az nem egészen magától értetődő, hogy az igénybevételi komponenseket a test adott
keresztmetszete súlyponti tengelyeire vonatkoztatjuk; ennek jó oka van, melynek magya -
rázatát a haladó szilárdságtani tanulmányok során adják meg. Néha más keresztmetszeti
vonatkoztatási pontok is előfordulhatnak ( pl.: nyírási középpont, csavarási középpont ).
M5. Az 1. ábrán az SA pont az S ( Schnitt ) metszeti felület A pontja.
M6. Itt – és a továbbiakban is – csak ún. prizmatikus tartókkal foglalkozunk, melyek ke -
resztmetszetének alakja, méretei és helyzete a hosszuk mentén nem változik. A 3. ábra
tartóját képzeletben úgy származtathatjuk, hogy a b / h téglalap keresztmetszetet az S súly -
pontján átmenő, a keresztmetszet síkjára merőleges egyenes mentén végigtoljuk, a tartó l
hosszában, miközben a keresztmetszeti síkidom a rúdtestet leírja, ahol l > 10 h.
E származtatási módtól eltérő pl. a csavart rudaké, amikor is a keresztmetszeti síkidomot
nem csak eltoljuk, hanem eközben el is forgatjuk a tartó hossztengelye körül.
M7. A 3. oldali utolsó mondatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a súlypontra redukálás
során érvényesítjük a szuperpozíció elvét: minden, a keresztmetszettől egy oldalra eső erő
és erőpár hatása a K keresztmetszetre algebrailag összegezhető, egymásra halmozható; ez
a vetületi és a nyomatéki tétel értelmében megtehető.
M8. Az igénybevételi ábrák más megjelenésűek is lehetnek. Egy az ittenitől eltérő megol -
dást mutat a 10. ábra. A mi megoldásunkat alapvetően meghatározza, hogy a Graph függ -
vényrajzoló programmal hogyan kényelmesebb dolgoznunk.
![Page 10: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/10.jpg)
10
10. ábra – forrása: [ 2 / 1 ]
M9. A Statikában mindennapos dolog, hogy a 7., 8., 9., 10. ábrán látható sajátos függvé -
nyekkel, illetve ábrákkal találkozunk. Az ilyen szakadásos, illetve töröttvonal alakú gra -
fikonok az F koncentrált erő következtében állnak elő. A valóságos viszonyok ettől elté -
rőek: az F erő nem pontszerű, hanem kis – de nem zérus nagyságú – felületen megoszló,
nagy intenzitású erőrendszer, melynek eredője F. Az ennek megfelelő igénybevételi ábrák
pedig a támadáspontban is folytonos, illetve folytonos érintővel rendelkező függvényekkel
lennének leírhatóak.
M10. Az 1. ábrán is látható koordináta - rendszer alkalmazása elsőre kissé kényelmetlen -
nek tűnhet, ámde később – az összetett igénybevételek tanulmányozása során – jó szolgá -
latot tesz majd. Emiatt is érdemes már most, tanulmányaink ezen részében bevezetni.
M11. Ahogyan a 10. ábrán is látható, célszerű az igénybevételi ábrákon feltüntetni azok
jellemző értékeit. A 10. ábrán ez paraméteresen történt, ahogyan a feladat megoldása is.
M12. Az igénybevételi ábrákkal kapcsolatban még további tudnivalók merülhetnek fel,
melyeket az ezután következő sok mintapélda kapcsán kell megbeszélni.
M13. Nem egyszerű a szakmai tanár feladata, a címbeli témát illetően sem. Nincs még
minden kellően előkészítve, nem használhat magasabb matematikát, ámde törekednie kell
a nagyfokú precizitásra, egy kevésbé teljesítményorientált közegben is. Hasonló gondjaik
lehetnek a tankönyvek íróinak is, megfejelve fentieket az idők során változó követel -
ményrendszer okozta kihívásokkal. Talán ezért is van csak kevés jól tanulható tankönyv,
magyarul, főként technikusi szinten, a statikai / szilárdságtani témákban is.
![Page 11: Az igénybevételi függvényekről és ábrákról](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063010/62bb9362a9d4417ee85488a7/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Szakirodalmi források:
[ 1 ] – Hajdu Endre: Statika
Egyetemi jegyzet, Sopron, 2006.
[ 2 / 1 ] – Siegfried Kessel: Technische Mechanik
Aufgabensammlung mit Musterlösungen
Egyetemi jegyzet, Dortmund, 2012.
vagy:
www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/v_4_6234.pdf?SGWID
=0-0-45-1364793-p174546998
[ 2 / 2 ] – Siegfried Kessel: Mechanik I.
Egyetemi jegyzet, Dortmund, 1997.
[ 3 ] – Georg Rill: Technische Mechanik I.
Egyetemi jegyzet, OTH Regensburg, 2017.
vagy:
https://hps.hs-regensburg.de/rig39165/
Összeállította: Galgóczi Gyula
mérnöktanár
Sződliget, 2017. november 22.