b c a b l h j - bspu · Высказывания. Логические союзы. Операции...

3

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Введение в

математику» для слушателей 1 курса математического факультета,

обучающихся по специальности 1-02 05 03-02 «Математика. Информатика»,

и рассчитан на изучение дисциплины в 1 семестре.

Общенаучная направленность дисциплины «Введение в математику»

состоит в том, что студенты знакомятся с современным математическим

языком и символикой, и основными понятиями современной математики.

Цель УМК - обеспечить эффективное освоение обучающимися учебного

материала, входящего в учебную программу дисциплины, организовать

самостоятельную работу студентов.

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Введение в

математику» состоит из пяти разделов: программный, учебный,

методический, контрольный и сопровождающий блок.

В первом представлена типовая учебная программа и учебная

программа по изучаемой дисциплине. Учебный блок содержит краткий текст

лекции, контрольные вопросы для самоподготовки обучающихся, задания к

практическим занятиям и задания по УСР. Методический блок содержит

примеры и пояснения к решению задач. Контрольный блок содержит задания

для подготовки к контрольным работам, вопросы для подготовки к зачету. В

сопровождающем блоке содержится список литературы.

РЕПОЗИТОРИЙ БГ

ПУ

4

Раздел 1. Программы.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Тема 1. Элементы математической логики

Высказывания. Логические союзы. Операции над высказываниями.

Тавтологии. Законы логики. Предикаты. Операции над предикатами.

Кванторы общности и существования. Методы доказательств.

Тема 2. Элементы теории множеств

Множества. Операции над множествами. Булева алгебра. Декартово

произведение множеств. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности

и порядка. Отображения. Виды отображений. Обратные отображения.

Понятие о мощности множеств.

Тема 3. Элементы комбинаторики

Метод математической индукции. Комбинаторика с повторениями и без.

Бином Ньютона. Рекуррентные соотношения и последовательности.


ПУ

5

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА

Ном

ер т

емы

,

зан

яти

я

Название темы, занятия; перечень изучаемых

вопросов

Количество аудиторных часов

Мат

ери

альн

ое

об

есп

ечен

ие

зан

яти

я

(наг

ляд

ны

е,

мет

од

ичес

ки

е п

осо

би

я и

др.)

Ли

тер

атура

Форм

а кон

троля

знан

ий

лек

ци

и

прак

тичес

ки

е

(сем

ин

арск

ие)

зан

яти

я

лаб

орат

орн

ые

зан

яти

я

уп

рав

ляем

ая

(кон

троли

руем

ая)

сам

ост

ояте

льн

ая

раб

ота

сту

ден

та

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 семестр

1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ЛОГИКИ (14 ч.)

6 8

1.1. Элементы математической логики

Высказывания. Операции над

высказываниями. Таблицы истинности. Тавтологии.

Метод доказательства от противного

2 [1], [2]

1.2. Элементы математической логики

Высказывания. Операции над

высказываниями. Таблицы истинности

2 [5] Устный

опрос.

1.3. Таблицы истинности

Таблицы истинности. Тавтологии. Законы

логики

2 [1], [2]

1.4. Законы логики

Таблицы истинности. Тавтологии. Законы

логики. Метод доказательства от противного

2 ИДЗ №1 [5] Устный опрос.

Проверка

ИДЗ.

1.5. Кванторы

Предикаты. Предметное множество. Кванторы

всеобщности и существования. Операции над

предикатами. Отрицание высказываний,

содержащих кванторы

2 [1], [2]

1.6. Предикаты

Предметное множество. Предикаты.


Проверка


ПУ

6

Множество истинности предиката. Тождественно

истинные предикаты. Кванторы всеобщности и

существования. операции над кванторами.

ИДЗ.

1.7. Математическая логика

Операции над высказываниями. Законы

логики. Предикаты. Доказательство от противного.

2 Контрольная

работа №1

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ (34 ч.) 18 12 4

2.1. Множества

Множества. Элементы множества.

Подмножество. Равенство множеств. Операции над

множествами. Диаграмы Эйлера

2 [1], [2]

2.2. Булева алгебра

Методы доказательств равенства множеств

2 [1], [2]

2.3. Операции над множествами

Доказательство равенства множеств и

включений


Проверка

ИДЗ.

2.4. Декартово произведение множеств

Декартово произведение множеств.

Свойства декартового произведения множеств

2 [1], [2]

2.5. Декартово произведение множеств

Декартово произведение множеств и его

свойства


Проверка

ИДЗ.

2.6. Бинарные отношения

Определение бинарного отношения. Свойства

бинарных отношений (рефлексивность,

антирефлексивность, симметричность,

асимметричность, антисимметричность,

транзитивность)

2 [1], [2]

2.7. Бинарные отношения

Бинарные отношения и их свойства


Проверка

ИДЗ.

2.8. Отношения эквивалентности

Определение и свойства отношений

эквивалентности. Классы эквивалентности.

Разбиение множества. Фактормножество

2 [1], [2]

2.9. Отношения эквивалентности 2 ИДЗ №2 [5] Устный опрос.


ПУ

7

Отношения эквивалентности. Классы

эквивалентности. Фактормножество

Проверка

ИДЗ.

2.10. Отношения порядка

Свойства отношений порядка. Отношение

линейного порядка

2 [1], [2]

2.11. Отношения порядка

Исследование отношений порядка. Границы

множеств


Проверка

ИДЗ.

2.12. Отображения

Отображения. Свойства отображений

(инъектиность, сюъективность, биективность).

Образ и полный прообраз элемента и множества

2 [1], [2]

2.13. Отображения

Отображения. Свойства отображений. Образ и

полный прообраз элемента и множества

2(пр) [5] Устный опрос

2.14. Композиция отображений

Композиция отображений. Ассоциативность

композиции отображений. Тождественное

отображение. Обратное отображение. Критерий

обратимости отображения. Свойства обратимых

отображений

2 [1], [2]

2.15. Композиция отображений

Композиция отображений. Обратное

отображение

2 ИДЗ №2 [5] Защита ИДЗ

2.16. Мощность множества

Понятие о равномощных множествах. Счетные

множества. Сравнение мощностей множеств

2 [1], [2]

2.17. Мощность множества

Равномощные множества. Счетные множества.

Сравнение мощностей

2(пр) Реферат.

3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ (20 ч.) 10 10

3.1. Метод математической индукции

Формулировка метода математической

индукции. Разные формы индукции. Применение

2 [1], [2]


ПУ

8

метода математической индукции для

доказательства равенств.


Применение метода математической индукции

для доказательства равенств и решения логических

задач


Проверка

ИДЗ.



для доказательства неравенств, кратности,

исследованию последовательностей и в других

задачах

2 [1], [2]



для доказательства неравенств, кратности,

исследованию последовательностей и в других

задачах


Проверка

ИДЗ.

3.5. Элементы комбинаторики

Комбинаторика с повторениями. Основные

правила комбинаторики

2 [1], [2]


Комбинаторика с повторениями. Основные

правила комбинаторики


Проверка

ИДЗ.


Комбинаторика без повторений. Перестановки,

размещения, сочетания. Бином Ньютона

2 [1], [2]


Комбинаторика без повторений. Перестановки,

размещения, сочетания. Бином Ньютона


Проверка

ИДЗ.

3.9. Рекуррентные сотношения

Рекуррентное задание множеств. Рекуррентное

задание последовательностей. Последовательность

Фибоначчи

2 [1], [2]

3.10. Конечные и бесконечные множества

Операции с множествами. Бинарные

отношения. Метод математической индукции.

Элементы комбинаторики

2 Контроль

ная работа №2


ПУ

9

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

К.р.№1: Операции над высказываниями. Законы логики. Предикаты. Доказательство от противного.

К.р.№2: Операции с множествами. Бинарные отношения. Метод математической индукции. Элементы

комбинаторики

ПЕРЕЧЕНЬ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

(кафедра алгебры и геометрии)

ИДЗ №1 «Элементы математической логики»

ИДЗ №2 «Множества и комбинаторика»


ПУ

Раздел 2. Учебный блок.

§1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Высказывание – неопределяемое понятие. Под высказыванием понимают

повествовательное предложение, о котором можно судить истинно оно

или ложно, и не может быть и истинным и ложным одновременно.

Высказывания дальше будем обозначать строчными буквами латинского

алфавита: A, B, C и так далее. Иногда будем использовать индексы.

Пусть имеется некоторый набор высказываний. Из них можно построить

новые высказывания, используя так называемые логические союзы, которые

мы сейчас определим.

Определение. Отрицанием высказывания A называется высказывание,

которое истинно, если высказывание A ложно, и ложно, если высказывание A

истинно.

Отрицание высказывания A будем обозначать A или A .

Например, если высказывание A – это «2×2=4», то A – это «2×2 4».

Если B – «Париж – столица Германии», то B - «Париж не является столицей

Германии. Приведенное выше высказывание A ложно, так как

высказывание A истинно. Высказывание B истинно, так как является

отрицанием ложного высказывания.

Определение. Конъюнкцией высказываний A и B называется

высказывание, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно

во всех остальных случаях. Конъюнкцию высказываний A и B будем

обозначать A B. Используется также обозначение A&B.

Рассмотрим следующие высказывания: A – «9 кратно 3», B – «7<4». Их

конъюнкцией A B является высказывание «9 кратно 3 и 7<4», которое

ложно, так как вторая компонента ложна. Высказывание «9 кратно 3 и 7>4»

истинно, так как оно является конъюнкцией истинных высказываний «9

кратно 3», «7>4».

Определение. Дизъюнкцией высказываний A и B называется

высказывание, которое ложно, когда оба высказывания ложны, и истинно во

всех остальных случаях. Дизъюнкцию высказываний A и B будем обозначать

A B.

Например, высказывание «9 кратно 3 или 7<4» является истинным, так

как одна из его компонент (первая) истинна.

Определение. Импликацией высказываний A и B (именно в таком

порядке) называется высказывание, которое ложно, когда высказывание A

истинно, а высказывание B ложно, и истинно во всех остальных случаях.

Импликацию высказываний A и B будем обозначать A B.

Так, например, высказывание «Из того, что Париж – столица Германии,

следует, что 5>2» – истинно. Высказывание «Из того, что 5>2, следует, что

число 7 – четное» – ложное.


ПУ

11

11

Определение. Эквиваленцией высказываний A и B называется

высказывание, которое истинно, когда оба высказывания истинны или когда

оба высказывания ложны, и ложно во всех остальных случаях.

Эквиваленцию высказываний A и B будем обозначать A B.

Контрольные вопросы.

1. Что понимают под высказыванием?

2. Привести примеры высказываний и примеры утверждений,

высказываниями не являющимися.

3. Какие логические союзы вы знаете? Привести примеры.

Задания к практическим занятиям.

1.1. Какие из следующих предложений являются высказываниями?

Для высказываний выяснить, истинны они или ложны.

a. Число 3 – корень уравнения 2 5 6 0x x .

b. 3 3 .

c. 2 4x .

d. Принеси мне книгу.

e. Существует действительное число x такое, что 2 2 3 0x x .

f. Число 0,00001 очень мало.

g. Является ли 2 рациональным число?

h. Все натуральные числа делятся на 2.

i. Все учащиеся любят математику.

j. 2

AOB .

1.2. Пусть высказывание А означает «5>0», а высказывание B – «5<4».

Записать в символической форме следующие высказывания и выяснить их

истинность:

a. 5>0 или 5<4.

b. Если 5>0, то 5<4.

c. Если 5<4, то неверно, что 5>0.

d. 5>0 тогда и только тогда, когда 5<4.

1.3. Пусть высказывание А означает «число 6 делится на 3», а

высказывание B – «число 6 делится на 4». Записать в символической форме

следующие высказывания и выяснить их истинность:

a. Число 6 делится на 3 и не делится на 4.

b. Число 6 не делится ни на 3, ни на 4.

c. Число 6 делится на 3 или на 4.

d. Неверно, что число 6 не делится ни на 3, ни на 4.

1.4. Определить истинность следующих высказываний:

a. Если 16 делится на 4, то 16 делится на 2.

b. Если 17 делится на 4, то 17 делится на 2.

c. Если 2 2 5 , то 38 500 .


ПУ

12

12

d. Если 2 4 , то 27 80 .

e. 16 делится на 4 тогда и только тогда, когда 16 делится на 2.

f. 18 делится на 4 тогда и только тогда, когда 18 делится на 5.

g. 16 делится на 4 тогда и только тогда, когда 16 делится на 5.

h. Если 16 делится на 4 и 2 6 , то 27 80 .

i. 18 делится на 4 тогда и только тогда, когда 27 80 или 2 2 5 .

1.5. Среди следующих сложных высказываний выделить

конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию и определить,

ложны они или истинны:

a. Число 27 кратно 3 и 9.

b. 17<42<18.

c. Число 2 – простое или четное.

d. 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3.

e. 16 5 , но 24 ( 2) .

f. 21 21.

g. Если 2 2 5 , то Венера – спутник Земли.

h. Число 4 – простое, натуральное и нечетное.

1.6. Сформулировать отрицание следующих высказываний.

Определить истинность полученных высказываний:

a. 3+3=6.

b. 2>4.

c. 7 7 .

d. 2 3 7 .

e. 2 2 f. (6 2) (6 7) .

g. (20 2) (3 7) .

h. (10 10) (14 11).

i. (10 10) (14 11).

j. 60 делится на 6 и на 14.

k. 60 делится на 6 или на 14.

l. 2 – четный делитель 6.

1.7. Доказать: ( ) ( ) ( )A B A B (закон де Моргана).

1.8. Известно, что высказывание A B - истинное. Что можно

сказать о следующих высказываниях:

a. A B ;

b. A B .

1.9. Известно, что A B - истинное высказывание. Что можно

сказать о высказывании B A?


сказать о высказывании A B ?


сказать о высказывании A B ?


ПУ

13

13

§2. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ.

Определение. Под формулами логики высказываний понимают

следующее:

1. Буква является формулой

2. Если F1 и F2 – формулы, то F1, F1 F2, F1 F2, F1 F2, F1 F2 – также

формулы логики высказываний.

Составим таблицу истинности для формулы (A B) C.

A B C (A B) (A B) C

Л Л Л Л И

Л Л И Л И

Л И Л И Л

Л И И И И

И Л Л И Л

И Л И И И

И И Л И Л

И И И И И

Приведем таблицу истинности для формулы A (B C).

A B C (B C) A (B C)

Л Л Л И И

Л Л И И И

Л И Л Л Л

Л И И И И

И Л Л И И

И Л И И И

И И Л Л И

И И И И И

В формулах логики высказываний операции по мере уменьшения

приоритетов располагаются следующим образом: отрицание, конъюнкция,

дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Например, формула A B C

означает (A B) C, а не A (B C).

Определение. Формулы F1 и F2 называются равносильными, если их

истинностные значения совпадают при любых истинностных значениях

высказываний, входящих, хотя бы в одну из формул F1 и F2.

Равносильность формул F1 и F2 обозначается F1 ~ F2. Для формулы

( A) B таблица истинности имеет вид:


ПУ

14

14

A B ( A) ( A) B

Л Л И И

Л И И И

И Л Л Л

И И Л И

Как видим, истинностные значения формул ( A) B и A B совпадают

при всех истинностных значениях входящих в них простейших

высказываний A и B. Следовательно, ( A) B ~ A B.

Теорема. Для любых формул F1,F2 и F3 выполняется следующие

свойства:

1) F1~F1 ( рефлексивность);

2) (F1~F2) (F2~F1) ( симметричность);

3) (F1~F2) (F2~F3) (F1~F3) (транзитивность).

Приведем примеры важнейших равносильных формул:

1) A~A (закон двойного отрицания)

2) A B ~ B A (закон коммутативности для конъюнкции)

3) A B ~ B A (закон коммутативности для дизъюнкции)

4) (A B) C ~ A (B C) (закон ассоциативности для конъюнкции)

5) (A B) C ~ A (B C) (закон ассоциативности для дизъюнкции)

6) A (B C) ~ (A B) (A C) (закон дистрибутивности конъюнкции

относительно дизъюнкции)

7) A (B C) ~ (A B) (A C) (закон дистрибутивности дизъюнкции

относительно конъюнкции)

8) (A B) ~ A B (закон де Моргана)

9) (A B) ~ A B (закон де Моргана)

10) (A A) ~ A (закон идемпотентности для конъюнкции)

11) A A~A (закон идемпотентности для дизъюнкции)

12) A И~ A (закон поглощения)

13) A Л~A (закон поглощения)

14) A Л ~Л

15) A И~И

16) A A ~Л

17) A A ~И

18) A B ~ (A B) (B A)

19) (A B) ~ A B

20) (A B) ~ B A (закон контрапозиции)

21) ((A B) (B C)) (A C) (закон транзитивности импликации,

закон силлогизма)

Определение. Формула F называется тождественно истинной (или

тавтологией, или законом логики), если она принимает значения истина при

всех возможных наборах истинностных значений простейших высказываний,


ПУ

15

15

входящих в нее. Если же F при любых истинных значениях входящих в нее

простейших высказываний принимает значение ложь, то она называется

тождественно ложной.

Теорема. Формулы F1 и F2 равносильны тогда и только тогда, когда

F1 F2 -тавтология.

Контрольные вопросы:

1. Дать определение и привести примеры формул логики высказываний.

2. Привести примеры равносильных формул.

3. Что называется законом логики?

4. Привести примеры и доказательства законов логики.

5. Доказать последнюю теорему.


2.1. Составить таблицы истинности для следующих формул логики

высказываний и найти среди них тавтологии.

a. ( ) ( )A B A B ;

b. ( )A B C ;

c. ( )A B C ;

d. (( ) ) ( ( ))A B C A B C ;

e. ( ) ( )A B A B ;

f. (( ) )A B C A ;

g. (( ) ) ( )A B C A C ;

h. ( ( ) ) ( )A B C A C .

2.2. Выяснить, являются ли следующие формулы законами логики:

a. ( )A A B ;

b. A B A B ;

c. (( ) )A B B A ;

d. ( ) ( )A B B A .

2.3. Можно ли что-нибудь сказать об истинности следующих

высказываний:

a. ( )P Q R , где R - истинное высказывание;

b. ( )P Q R , где Q R - истинное высказывание;

c. ( )P Q R , где Q - ложное высказывание;

d. ( ) ( )P Q P R , где R - ложное, Q - истинное высказывание;

e. ( )P Q R , где Q - истинное высказывание;

f. ( ) ( )P Q Q Q , где P - истинное высказывание;

g. ( ) ( )P Q Q Q ;

h. ( ) ( )P Q Q P , где Q - истинное высказывание;

i. ( ) ( )P P Q R , где R - ложное высказывание.

2.4. Доказать, используя только известные Вам законы логики, что

следующие формулы являются тождественно истинными:


ПУ

16

16

a. ( ) ( )A B A B A ;

b. ( ) ( )A B A B A

c. ( )A B A и ;

d. ( ) ( )A B A A B ;

e. (( ) )A B A C и ;

f. (( ) ) ( ( ))A B A C C A B .

§3 ПРЕДИКАТЫ. КВАНТОРЫ

Определение. Пусть задано непустое множество M и свойство P,

которым могут обладать или не обладать элементы множества M. Это значит,

что если рассмотреть элемент x из M, то P(x) оказывается высказыванием,

которое истинно, если элемент x обладает свойством P, и ложно, если

элемент x свойством P не обладает. Тогда P называется одноместным

предикатом на предметном множестве M.

Пример: предметное множество M2=R, а предикат P2 – это свойство

«быть не меньше 1» (P2(x)= (x≥1)).

Определение. Предикат P на множестве M называется выполнимым,

если во множестве M есть элемент x такой, что высказывание P(x) –

истинное, и невыполнимым в противном случае.

Определение. Пусть P – предикат на множестве M. Через x (P(x)) будем

обозначать высказывание, которое истинно, если предикат P выполним (на

M) и ложно, если он не выполним (на M).

Определение. Предикат P на предметном множестве M называется

общезначимым, если при всех элементах x из M высказывание P(x) –

истинно.

Определение. Пусть P – предикат на предметном множестве M. Через

( ( ))x P x будем обозначать высказывание, которое истинно, если P –

общезначим на M, и ложно в противном случае.

Аналогично законам логики высказываний существуют законы логики

предикатов. Подробно они будут изучаться в курсе «Математической

логики». Здесь мы остановимся на двух часто применимых законах: ( ( ( ))) ( ( ))x P x x P x

( ( ( ))) ( ( ))x P x x P x

Контрольные вопросы:

1. Дать определение предиката, выполнимого и общезначимого

предиката.

2. Является ли предикат высказыванием?

3. Если нет, то, как связаны эти понятия?

4. Как выяснить, что предикат является выполнимым?

5. Как выяснить, что предикат является общезначимым?

6. Приведите примеры общезначимых и выполнимых предикатов.

7. Что представляет собой многоместный предикат?


ПУ

17

17


3.1 Из следующих предложений выберите предикаты и укажите их

возможное предметное множество и множество истинности:

a. 2- простое число;

b. 2 2 15 0x x ;

c. для 5x выполняется равенство 2 2 15 0x x ;

d. число x кратно 5;

e. неверно, что число 17 кратно 5;

f. в прямоугольнике x диагонали перпендикулярны;

g. в любом прямоугольнике диагонали перпендикулярны.

3.2 Найти множество истинности для следующих предикатов:

a. 2 4 0x ;

b. 2 0x ;

c. 2 2( 4 0) ( 9 0)x x ;

d. 2x x ;

e. 2( 4 0) ( 2)x x ;

f. 2x x ;

g. 2 1x .

3.3 Задать предметное множество предиката так, чтобы на этом

множестве он был общезначимым:

a. Если x делится на 3, то x - четное число.

b. Если 2 2 15 0x x , то 0x ;

c. Если 2 4x , то 2x ;

d. x - четное число тогда и только тогда, когда 3x ;

e. 2 1x тогда и только тогда, когда 1x ;

f. x - ромб тогда и только тогда, когда диагонали x взаимно

перпендикулярны;

g. 2 2 1 0x x тогда и только тогда, когда 1x ;

h. 2 0x тогда и только тогда, когда 2 2x .

3.4 Пусть x - переменная, определенная на множестве {0}N . Пусть

( )P x означает свойство «быть простым числом», ( )N x - «быть натуральным

числом», ( )K x - «быть четным числом». Запишите символически следующие

высказывания и выясните их истинность:

a. существует простое четное число;

b. всякое простое число – нечетно;

c. всякое простое число – натуральное;

d. существуют нечетные простые числа;

e. некоторые простые числа – четные.

3.5 Пусть x и y - переменные, определенные на множестве всех

людей. Введем следующие обозначения: ( )m x =« x - мужчина»; ( )d x =« x -

женщина»; ( ; )j x y =« x моложе, чем y »; ( ; )k x y = « x - ребенок y »; ( ; )b x y = « x

состоит в браке с y ». Запишите символически следующие высказывания.


ПУ

18

18

a. Каждый человек имеет отца и мать.

b. Каждый, кто имеет отца, имеет и мать.

c. Каждый человек моложе своих родителей.

d. Существует человек, все дети которого состоят в браке.

3.6 Выяснить, являются ли следующие предикаты выполнимыми;

общезначимыми на предметном множестве R . Истинны ли следующие

высказывания: ( ), ( )i ixP x xP x .

a. 1( ) ( 2)P x x ;

b. 2

2 ( ) ( 5 6 0)P x x x ;

c. 2 2

3( ) (( 1) 2 1)P x x x x ;

d. 2

4 ( ) ( 3)P x x ;

e. 2

5 ( ) ( 0)P x x ;

f. 2

6 ( ) ( 3 6 0)P x x x ;

g. 7

1( ) (sin )

2P x x ;

h. 4

8 ( ) ( 0)P x x ;

i. 9 ( ) ( 3)P x x ;

j. 10 ( ) (sin 2)P x x ;

k. 11( ) (cos 1)P x x .

3.7 Выяснить, какие из следующих высказываний истинны:

a. 2 2( )( )( )x R y R x y x y ;

b. 2 2( )( )( )x R y R x y x y ;

c. 2 2( )( )( )x R y R x y x y ;

d. ( )( )(( 0 0) 0)x R y R xy y x ;

e. ( )( )( )( )x Z y Z z Z x y z ;

f. ( )( )( )( )x Z z Z y Z x y z ;

g. ( )( )( )( )x Z z Z y Z x y z ;

h. ( )( )( )( )x Z y Z z Z x y z ;

i. ( )( )( )( )x Z z Z y Z x y z .

3.8 Сформулировать отрицание высказываний и определить

истинность полученных высказываний. x определен на множестве .

a. Все студенты математического факультета моложе 100 лет.

b. 2( 5)x x ;

c. 2( 5)x x ;

d. 1

(sin )2

x x ;

e. (2 2)xx ;

f. 2( 0)x x ;

g. 1

( 0)2

x

x ;

h. (sin 1)x x ;


ПУ

19

19

i. ( 0)x x ;

j. 2( 1 0)x x x ;

k. (( 3) ( 5))x x x ;

l. (( 5) ( 9))x x x ;

m. (( 5) ( 9))x x x ;

n. 2((sin 2) ( 5))x x x ;

o. (( 2) ( 7))x x x .

3.9 В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова

«необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно» так, чтобы

получились истинные высказывания. Ответ обоснуйте.

a. Для того чтобы стороны четырехугольника были равны, ... чтобы он

был квадратом.

b. Для того чтобы квадрат числа был меньше 100, ... чтобы число было

меньше 10.

c. Для того чтобы площадь прямоугольника была равна 4 см2, ... чтобы

длины обеих его сторон были равны 2 см.

d. Для того чтобы разность двух целых чисел была четной, ... чтобы эти

числа имели одинаковую четность.

e. Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 6, а другое – кратно

4, ... чтобы их произведение было кратно 12.

f. Для того чтобы целое число было кратно 4 и кратно 15, ... чтобы оно

было кратно 60.

g. Для того, чтобы произведение двух целых чисел было кратно 11, ...

чтобы оба сомножителя были кратны 11.

h. Для того чтобы у параллелограмма диагонали были равны, ... чтобы он


3.10 По определению, подмножество X множества называется

ограниченным сверху, если существует такое действительное число M , что

для всех элементов x множества X x M . Сформулируйте утверждение, что

множество X не является ограниченным сверху.

3.11 Пусть X - непустое подмножество множества . Действительное

число 0m называется нижней границей подмножества X , если при всех

x X 0m x . Сформулируйте утверждение, что действительное число m не

является нижней границей множества X .

3.12 Бесконечная числовая последовательность ( )na называется

монотонно возрастающей, если 1n nn a a . Сформулируйте утверждение,

что последовательность ( )na не является монотонно возрастающей.


ПУ

20

20

§4 МНОЖЕСТВА

Множество – это неопределяемое понятие.

Синонимами слова «множество» являются (в разных случаях)

«совокупность», «семейство», «класс», «система», «собрание», «коллектив»,

«ансамбль» и другие. Например, можно говорить о множестве точек на

плоскости, множестве целых чисел, множестве студентов в группе и т.д.

Для обозначения множеств чаще всего используются большие буквы

латинского алфавита: A, B, C, X, Y, Z и т.д. Так, например, множества всех

натуральных, целых, рациональных, действительных чисел обозначаются

соответственно , , , .

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Элементы множества обозначаются обычно маленькими буквами латинского

алфавита: a, b, c, x, y, z, … То, что объект a является элементом множества А,

записывается следующим образом: a A .

Наряду с вышесказанным, рассматривается так называемое «пустое

множество», которое не содержит элементов и обозначается .

Определение. Множество А называется подмножеством множества B,

если все элементы множества А являются элементами множества B. В этом

случае пишут A B (читается «А подмножество B» или «А содержится в B»).

Определение. Множества А и B называются равными, если они состоят

из одних и тех же элементов. Равенство множеств А и B записывается

следующим образом: А=B. Если множества А и B не равны, то пишут A B

(или ( )A B , или A B ).

Теорема. A B тогда и только тогда, когда A B и B A.

Очевидно, что любое непустое множество A имеет два подмножества: A

и . Они называются тривиальными. Остальные подмножества множества

A (если они существуют) называются нетривиальными.

Контрольные вопросы.

1. Что называется пустым множество?

2. Какие существую способы задания множеств?

3. Может ли быть множество элементом другого множества?

4. Как доказать, что множества равны; не равны?

5. Как доказать, что одно множество является подмножеством другого?

6. Что называется собственным подмножеством?


5.1. Записать множества перечислением элементов:

a. 6A x x N x ;

b. 49 7B x x N x x ;

c. 30 3 ( 2)С x x N x x x ;

d. 2 4 5 0D x x R x x ;


ПУ

21

21

e. 2 2 3 0E x x R x x ;

f. 2 10F x x Z x ;

g. 1 9F x x простое число и x .

5.2. Записать множества, используя различные формы их задания:

a. Множество всех целых чисел, кратных 5;

b. Множество всех нечетных целых чисел;

c. Множество всех целых чисел, не превосходящих по модулю 3;

d. Множество действительных корней уравнения 3 22 8 0x x x .

5.3. Укажите среди следующих множеств пустые:

a. Множество прямоугольников с неравными сторонами;

b. Множество прямоугольников с неравными диагоналями;

c. Множество целых корней уравнения 24 1 0x ;

d. Множество целых решений неравенства 0x .

5.4. Среди следующих множеств найти равные:

a. {0;1;2};

b. {2;0;1};

c. {1;0;1;1;2;0};

d. {{0;1};2};

e. {{0;1;2}};

f. {2;{1;0}}.

5.5. Верны ли следующие соотношения:

a. 1 {1;2};

b. 3 {1;2};

c. 3 ;

d. ;

e. ;

f. {1;2} {{1;2};2};

g. {0;1} {0;1;{{0;1};2}};

h. {0;1} {0;1;{{0;1};2}};

i. {1;2} {{1;2}};

j. {1;2} {{1;2}};

k. 3 2{1;2; 1} { 1 0}x x x x ;

l. 3 2{ 1 0} { 1;2}x x x x .

5.6. Пусть 5A x x N x . Определить, истинны ли высказывания:

a. 15 A ;

b. 51 A ;

c. 5 A ;

d. 4 A;

e. 0 A;

f. 9 A .


ПУ

22

22

5.7. Пусть A - множество корней квадратного уравнения 2 7 12 0x x . Определить, истинны ли высказывания:

a. 3 A;

b. 5 A ;

c. 10 A ;

d. 4 A .

Составьте список элементов множества A .

5.8. Исследуйте, принадлежат ли числа 1 2 17 3 5

, , , ,7 5 20 6 6

множеству

2

2

1,

4

nA x x n N

n. Напишите пять чисел, принадлежащих множеству A .

5.9. Найти все подмножества следующих множеств:

a. { ; ; }a b c ;

b. {1};

c. {2;3;{1;2;3}};

d. .

5.10. Пусть A – множество четырехугольников, B – множество

прямоугольников, C – множество квадратов, D – множество

параллелограммов, E – множество ромбов. Какие из этих множеств являются

подмножествами в других?

5.11. Для множеств 6A x x N x , 2B x x N x ,

2 3C x x N x x , ( 2 3)D x x N x x определить, какие из них

являются подмножествами в других. Есть ли среди них равные множества?

5.12. Привести пример множеств A,B,C и D таких, что:

a. A B A B ;

b. A B B С C D ;

c. A B B D D C B C ;

d. A B A C B C B C .

5.13. Пусть A – множество всех натуральных четных чисел, B –

множество всех натуральных чисел, представимых в виде суммы двух

нечетных натуральных чисел. Доказать, что A= B.


ПУ

23

23

§5 ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Определение. Объединением множеств A и B называется множество,

которое обозначается BA и состоит из элементов, принадлежащих или A ,

или B .

Таким образом, BxAxxBA .

Определение. Пересечением множеств A и B называется множество,

которое обозначается BA и состоит из элементов, принадлежащих и A , и

B .

Таким образом, BxAxxBA .

Определение. Разностью множеств A и B называется множество,

которое обозначается BA \ и состоит из элементов, принадлежащих A и не

принадлежащих B .

Таким образом, BxAxxBA \ .

Определение. Если все рассматриваемые множества являются

подмножествами некоторого множества U , тогда это множество называется

универсальным (в данной теории). В этом случае разность AU \ называется

дополнением множества A и обозначается A .

Удобной иллюстрацией определений операций над множествами

являются диаграммы Эйлера-Венна.

A B A B BA BA \

A B

A

BA A

Контрольные вопросы

1. Какие операции над множествами вы знаете?

2. Что называется дополнением к множеству?

3. Проиллюстрируйте на диаграммах Эйлера-Венна операции над

множествами.


ПУ

24

24

Задания к практическим занятиям

6.1. Найти A B , A B , \A B и \B A , если:

a. { 1;0;3;4}, {0;4;6}A B ;

b. { ; ; }, { ; }A a b c B b a

c. { 1;0;1}, { 1;{0;1};1}A B ;

d. [0;2], [1;5]A B ;

e. [1;3], (2;3)A B ;

f. [1;3], (2;3]A B ;

g. [2;5], (3;4]A B ;

h. [0;2], {0;4;6}A B ;

i. ( ;7], (5;8)A B ;

j. ( 4; ), ( ;5]A B ;

k. [1;3) (5;7], [2;6]A B .

6.2. Найти пересечение следующих множеств:

a. Множества четных натуральных чисел и множества целых чисел,

делящихся на 3;

b. Множество натуральных чисел, делящихся на 4 и множества

натуральных чисел, делящихся на 6;

c. Множества корней уравнения 2 4 3 0x x и множества корней

уравнения 2 3 2 0x x ;

d. 2 1m m и 3 2n n .

6.3. Найти множества A и B, если

a. \ { , }A B a b , \ { , }B A c d , { , , }A B x y z .

6.4. На диаграммах Эйлера-Венна изобразить множества:

a. A B C ;

b. ( \ )A B C ;

c. ( \ ) ( \ )A B B C ;

d. ( \ ) ( \ )A B B C ;

e. ( )A B C ;

f. ( ) \A B C ;

g. ( \ )A B C

h. A B C ;

i. A B C ;

j. ( )A B C ;

k. ( )A B C .

6.5. Доказать, что для произвольных множеств , ,A B C справедливы

равенства:

a. ( \ ) \ ( \ ) \A B C A C B ;

b. ( ) \ ( ) ( \ ) ( \ )A B A B A B B A ;

c. \ ( \ )A A B A B;

d. ( ) \ ( \ ) ( \ )B C A B A C A ;


ПУ

25

25

e. ( \ )B A B ;

f. \ ( ) ( \ ) ( \ )A B C A B A C ;

g. \ ( ) ( \ ) ( \ )A B C A B A C ;

h. ( )A A B A ;

i. ( )A A B A .

6.6. Каким условиям должны удовлетворять множества ,A B , чтобы

a. A B A B ;

b. ( \ )A B B A ;

c. ( ) \A B B A .

6.7. Верны ли следующие равенства для произвольных множеств

, ,A B C :

a. ( ) \A B B A ;

b. \ ( ) ( \ ) \A B C A B C ;

c. ( \ ) ( ) \A B С A B C ;

d. ( \ ) ( ) \A B C A C B ;

e. ( \ )A B B A .

Если равенство не имеет место, докажите это. В этом случае выясните,

является ли одно из множеств подмножеством другого и если да – докажите

это.

6.8. Доказать, что для произвольных множеств , ,A B C верно:

a. ( ) ( )A B A B ;

b. ( \ ) ( )A B A A B ;

c. ( \ ) ( )A B A B B ;

d. ( ) ( \ )A B C A B C ;

e. ( ) ( ) ( )A B A B B A B A ;

f. \C A B B C ;

g. \A B A B A ;

h. C A B C A C B .

6.9. Доказать, что следующие условия равносильны: A B ; A B ;

B A .

6.10. Доказать, что для произвольных множеств , ,A B C равенство

( ) ( )A B C A B C равносильно включению C A .

6.11. Множество A состоит из n элементов, множество B – из m

элементов (m>n). Какое наибольшее и наименьшее число элементов могут

содержать множества A B , A B , \A B и \B A ?

6.12. Обозначим через n(A) число элементов конечного множества A.

Доказать, что ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B . Найти аналогичную формулу для

( )n A B C .

6.13. Множество A состоит из студентов данной группы, знающих

английский язык, множество B – из студентов, знающих немецкий язык, C –

из студентов, знающих китайский язык. Охарактеризуйте множества:


ПУ

26

26

a. ( )A B C ;

b. ( )A B C ;

c. ( ) ( )A B B C .

6.14. Из 220 школьников 163 играют в баскетбол, 175 – в футбол, 24 не

играют в эти игры. Сколько человек одновременно играет в баскетбол и

футбол?

6.15. Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий, 42

– французский, 8 – английский и немецкий, 10 – английский и французский,

5 – немецкий и французский и 3 студента изучают все три языка. Сколько

студентов не изучают ни одного языка; изучают только французский язык?

6.16. Лекции по химии посещают 20 студентов, лекции по психологии

– 30 студентов. Найти число студентов, посещающих лекции по психологии

или лекции по химии, если:

1. эти лекции проходят в одно время.

2. эти лекции проходят в различное время и 10 студентов слушают оба

курса.

6.17. При обследовании читательских вкусов выяснилось, что 60%

студентов читают журнал А, 50% - журнал В, 50% - журнал С, 30% -

журналы А и В, 20% - журналы В и С, 30% - журналы А и С, 10% - все три

журнала. Сколько процентов студентов читают в точности два журнала?

Сколько процентов студентов не читают ни одного из этих журналов?


ПУ

27

27

§6 ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Определение. Пусть даны элементы a и b. Упорядоченной парой

называется (a,b)= {{a}, {a,b}}.

Теорема. В смысле данного выше определения (a,b)=(c,d) тогда и только

тогда, когда a=c и b=d.

Определение. Пусть A и B - два непустых множества. Их декартовым

произведением называется множество всех упорядоченных пар (a,b), где a A

и b B . Декартово произведение множеств A и B обозначается A B .

Таким образом, ( , )A B a b a A b B .

Если хотя бы одно из множеств A или B пустое, то считают, что A B .

Теорема. Для любых множеств , ,X Y Z

1) ( ) ( ) ( )X Y Z X Z Y Z ;

2) ( ) ( ) ( )X Y Z X Z Y Z ;

3) ( \ ) ( ) \ ( )X Y Z X Z Y Z .

4) Если 1X X и 1Y Y , то 1 1X Y X Y .

5) X Y X Y .


1. Что называется упорядоченной парой?

2. В каком случае упорядоченные пары равны?

3. Дать определение декартова произведения множеств.

4. Что представляет собой декартово произведение множеств, одно из

которых пустое?

5. Если ,X Y - неравные непустые множества, то будут ли равны

множества Y X и X Y ?

6. Доказать приведенную выше теорему.

7. Что представляет собой декартово произведение n множеств?


7.1. Найти A B и B A , если:

a. {1;2}, {1;3;4}A B ;

b. { ; ; }, {1;2}A a b c B .

7.2. Пусть { ; ; }, {1;2}A x y z B . Найти:

a. A A;

b. A B ;

c. A B B ;

d. ( )A B A .

7.3. Изобразить на декартовой плоскости следующие множества:

a. [0;1] [0;1] ;

b. [0;1] [2; ) ;

c. [ 1;2] ( ;1) ;


ПУ

28

28

d. [0; ) {3;2};

e. ( 2;5] { 3;3};

f. [1;2] ( ; ) ;

g. [1; ) ( ;3) .

7.4. Доказать, что при любых множествах 1 1, , , ,X Y Z X Y :

a. ( ) ( ) ( )X Y Z X Z Y Z ;

b. ( \ ) ( ) \ ( )X Y Z X Z Y Z ;

c. ( ) ( ) ( )X Y X Z Y Z ;

d. 1 1 1 1( ) ( )X X Y Y X Y X Y .

7.5. Показать, что в общем случае следующие равенства неверны, и

выяснить, при каких 1 2 1, ,A A B они справедливы:

a. 1 1 1 1A B B A ;

b. 1 2 1 1 2 1( ) ( )A A B A A B .

7.6. Выяснить, верно ли для любых , , ,A B C D

a. ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D ;

b. ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D .

Если равенство не имеет место, докажите это. В этом случае выясните,

является ли одно из множеств подмножеством другого и если да – докажите

это.

7.7. Пусть 1 2{ ; ; ; }nA a a a , 1 2{ ; ; ; }mB b b b . Сколько элементов

содержит множество A B?

7.8. Пусть 1 2{ ; ; ; }nA a a a . Сколько элементов содержит множество mA ?

7.9. Пусть 1 2, , , nA A A - множества, которые состоят соответственно из

1 2, , , nm m m элементов. Сколько элементов содержит декартово произведение

1 2 nA A A ?


ПУ

29

29

§7 БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Определение. Пусть X и Y – непустые множества. Подмножество

YX называется бинарным отношением между элементами множеств

X и Y . Если );( yx , то говорят, что x и y находятся в отношении и

пишут yx .

Определение. Пусть – бинарное отношение между X и Y . Областью

определения называется множество 1( ) ( ) :D pr x y Y x y .

Определение. Множеством значений бинарного отношения между

множествами X и Y называется множество yxXxyprE :)()( 2.

Определение. Бинарные отношения YX и U V называются

равными, если ,X U Y V и , (( , ) ( , ) )x y x y x y .

Определение. Пусть – бинарное отношение между X и Y . Тогда

отношение ),(),( yxxy1 называется обратным отношению .

В первом из рассмотренных выше примеров 1 ( ;1);( ;1);( ;3)a b a .

Если и являются бинарными отношениями между X и Y , то они

являются подмножествами в YX , значит, очевидно, определены

,,\,, .

Теорема. Для любых отношений и между X и Y верно: 111)( 111)(

111 \)\(

)()( 11 11

11)(


1. Дать определение и привести примеры бинарных отношений между


2. Дать определение и привести примеры области определения и

множества значений бинарных отношений между множествами.

3. Что называется обратным бинарным отношением? Привести примеры.

4. Привести примеры равных бинарных отношений.

5. Что называется пустым и универсальным бинарным отношением?

6. Что представляет собой дополнение к бинарному отношению?

7. Доказать вышеприведенную теорему.


8.1. Приведите пример отношений между элементами следующих

множеств:

a. Множество людей и множество городов.


ПУ

30

30

b. Множество преподавателей и множество студентов.

c. Множество треугольников и множество чисел.

d. Множество прямоугольников и множество окружностей.

8.2. Пусть {1;2;3}X , { ; ; ; }Y a b c d . Найти область определения и

область значений следующих бинарных отношений:

a. X Y , {(2; );(3; );(1; )}a b d ;

b. X Y , {(1; );(1; );(1; )}a b d ;

c. X Y , {(2; );(3; );(1; )}d d d ;

d. R R , 2x y x y ;

e. R R , 3x y x y ;

f. R R , 2x y x y .

Для каждого из данных отношений найти 1 .

8.3. Доказать, что для любых отношений , между множествами X

и Y :

a. 1 1 1( ) ;

b. 1 1 1( \ ) \ ;

c. 1

1 ;

d. 1 1 ;

e. 1 1( ) .


ПУ

31

31

§8 ОТОБРАЖЕНИЯ

Определение. Бинарное отношение f между множествами X и Y

называется отображением из X в Y , если оно удовлетворяет двум

условиям:

1) ( )D f X ;

2) 1 2 1 2 1 2( ) ( )x y y x f y x f y y y .

То, что f является отображением из множества X во множество Y

будем записывать :f X Y

Также употребляется обозначение fX Y .

Определение. Пусть задано отображение :f X Y . Если элементу x X

ставится в соответствие элемент y Y (т.е. x f y ), то элемент y называется

образом элемента x при отображении f и обозначается ( )f x . При этом

иногда пишут f

x y .

x y=f(x)

f

Определение. Пусть :f X Y - отображение, и A X . Образом

множества A при отображении f называется следующее подмножество

множества Y : ( ) ( ( ) ) ( )f A y y Y x x A f x y f x x A . В частности,

если A X , то множество ( )f X называется множеством значений

отображения f и обозначается ( )E f .

Определение. Пусть задано отображение :f X Y и b Y . Полным

прообразом элемента b при отображении f называется следующее


ПУ

32

32

подмножество множества X : 1( ) ( )f b x x X f x b .

Определение. Пусть задано отображение :f X Y и B Y . Полным

прообразом подмножества B называется следующее подмножество

множества X : 1( ) ( )f B x x X f x B .

Определение. Отображение :f X Y называется инъективным, если

1 2 1 2 1 2( ( ) ( ))x x x x f x f x .

Определение. Отображение :f X Y называется сюръективным, если

( ( ) )y x f x y .

Определение. Отображение :f X Y называется биективным, если оно

и инъективно, и сюръективно.

Определение. Если X - непустое множество, то отображение

: :xe X X x x называется тождественным преобразованием множества

X .


ПУ

33

33


1. Дать определение и привести примеры отображения, функции и

числовой функции. Пояснить разницу между этими понятиями.

2. В каком случае отображения являются равными?

3. Что называется образом элемента, множества?

4. Дать определение и привести примеры полного прообраза элемента и

множества.

5. Какие свойства отображений вы знаете?

6. Какими свойствами обладает тождественное отображение?


9.1. Выяснить, являются ли следующие бинарные отношения

отображениями:

a. 2{( , ) ( , ) 1}x y x y R R x y ;

b. 2{( , ) ( , ) 5}x y x y N N x y ;

c. {(1,1);(2;3);(3;2)}, A B ; {1;2;3}; {1;2;3;4}A B ;

d. {(1,1);(2;3);(3;2)}, A B ; {1;2;3;4}; {1;2;3}A B ;

e. 2{( , ) ( , ) }x y x y R R y x ;

f. 2 2{( , ) ( , ) [ 1;0] [ 1;0] 1}x y x y x y ;

g. {( , ) ( , ) 3}x y x y N N x y .

9.2. Какими свойствами (инъективность, сюръективность,

биективность) обладают следующие отображения:

a. A= “множество слов русского языка (длина слова не менее трех букв)”,

B= “множество букв алфавита русского языка”.

1) :f A B - отображение, которое каждому слову ставит в соответствие

его первую букву.

2) :g A B - отображение, которое каждому слову ставит в соответствие

его третью букву.

b. : : 2 3f Z Z x x ;

c. : : 2 3f Q Q x x ;

d. {( ; );( ; );( ; );( ; )} , { ; ; ; }, { ; ; ; }f a x b y c x d t A B A a b c d B x y z t ;

e. {( ; );( ; );( ; );( ; )} , { ; ; ; }, { ; ; ; }f a t b x c z d y A B A a b c d B x y z t ;

f. 2 2{( ; ) ( ; ) [ 1;1] [ 1;0] 1}x y x y x y ;

g. 2 2{( ; ) ( ; ) [0;1] [0;1] 1}x y x y x y .

9.3. Для отображения f найти:

a. (1); (5);f f ([3;5]); ([1;5]);f f ([1;5] \{2}); ([1;5] \{3});f f ([3; )); ([1; ));f f1(( ;1)); ( 4);f f 1 1( 3); (45);f f 1 1(1); ([0;5]);f f 1 1([12;21]); ([ 12;21]);f f

1([0; ))f .

Отображение 2: : 4f R R x x x .


ПУ

34

34

b. (1); (4);f f ([1;2]); ([0;2]);f f ([0;2] \{1}); ([0;3] \{2});f f ([ 1; )); (( ;1]);f f1( 5);f 1 1( 1); (6);f f 1([ 5;3));f 1 1([ 5;5]); (( ;0));f f 1([0; ))f .

Отображение 2: : 2 3f R R x x x .

c. (2); ( 5);f f ([ 2;1]); ([ 3;1]);f f ([ 3;0] \{ 1}); ([ 3;0] \{ 2});f f

([0; )); ([ 4; ));f f1(( ;1)); (3);f f 1 1( 3); (10);f f 1 1( 1); ([3;8]);f f

1 1([1;3]); (( 7;8]);f f 1(( 1; ))f .


d. (2); (4);f f ([ 3;3]); ((1;4]);f f ([0;3] \{2}); ([0;3] \{1});f f ([3; )); ([0; ));f f1(( ;3)); (3);f f 1 1( 3); (8);f f 1 1(1); ([3;8));f f 1 1([1;3]); (( 7;8]);f f 1(( 1; ))f .


9.4. Для отображения f

1) определить, является ли f инъективным.

2) Если нет, найти наибольшее по включению подмножество 1X X

такое, что отображение 1 1: : ( )f X Y x f x будет инъективным.

3) Является ли отображение f сюръективным?

4) Если нет, найти такое подмножество 1Y Y , что отображение

2 1: : ( )f X Y x f x будет сюръективным.

5) Является ли отображение f биективным?

6) Если нет, найти такое подмножество 2X X , что отображение

3 2 1: : ( )f X Y x f x будет биективным.

a. 2: :f R R x x ;

b. 2: : 2f R R x x x ;

c. : : 3xf R R x ;

d. 1

: :2

x

f R R x ;

e. 3: :f R R x x ;

f. : : sinf R R x x ;

g. : : cosf R R x x .

9.5. Дано отображение :f X Y . Известно, что 1 2,B Y B Y .

Доказать, что:

a. 1 1

1 2 1 2( ) ( )B B f B f B ;

b. 1 1 1

1 2 1 2( ) ( ) ( )f B B f B f B ;

c. 1 1 1

1 2 1 2( ) ( ) ( )f B B f B f B ;

d. 1 1 1

1 2 1 2( \ ) ( ) \ ( )f B B f B f B .

9.6. Дано отображение :f X Y . Известно, что B Y . Доказать, что 1( ( ))f f B B .


ПУ

35

35

9.7. Дано отображение :f X Y . Известно, что B Y . Найти

необходимое и достаточное условие для того, чтобы для любого

подмножества B Y выполнялось равенство: 1( ( ))f f B B .

9.8. Дано отображение :f X Y . Известно, что 1 2,A X A X .


a. 1 2 1 2( ) ( )A A f A f A ;

b. 1 2 1 2( ) ( ) ( )f A A f A f A .



c. 1 2 1 2( ) ( ) ( )f A A f A f A . Привести пример, когда

1 2 1 2( ) ( ) ( )f A A f A f A .

d. 1 2 1 2( ) \ ( ) ( \ )f A f A f A A . Привести пример, когда

1 2 1 2( \ ) ( ) \ ( )f A A f A f A .


Может ли быть, что 1 2A A и 1 2A A , но 1 2( ) ( )f A f A ?

9.11. Дано отображение :f X Y . Известно, что A X . Доказать,

что 1( ( ))A f f A . Верно ли, что 1( ( ))A f f A ?

9.12. Дано отображение :f X Y . Известно, что A X . Найти

необходимое и достаточное условие для того, чтобы для любого A X

выполнялось равенство: 1( ( ))A f f A .

9.13. Дано отображение :f X Y , где ,X Y - конечные множества,

состоящие из m и n элементов соответственно. Доказать, что:

a. Если f – инъективное, то m n .

b. Если f – сюръективное, то m n .

c. Если f – биективное, то m n .

9.14. Дано отображение :f X Y , где ,X Y - конечные множества,

состоящие из n элементов каждое. Доказать, что:

f – инъективное f – сюръективное f – биективное. РЕПОЗИТОРИЙ БГ

ПУ

36

36

§9 КОМПОЗИЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ

Определение. Композицией отображений :f X Y и :g Y Z

называется отображение :h X Z такое, что ( ) ( ( ))x h x g f x . Композиция h

отображений f и g обозначается g f . Таким образом, ( )( ) ( ( ))g f x g f x .

Композицию отображений можно проиллюстрировать с помощью

следующего рисунка:

Теорема. Операция композиции отображений ассоциативна, т.е. если

даны отображения :f X Y , :g Y Z и :h Z U , то существуют

отображения ( )h g f и ( )h g f и они равны.

Теорема. Если задано отображение :f X Y , то Xf e f и Ye f f .

Теорема. Композиция инъективных отображений является инъективным

отображением.

Теорема. Композиция сюръективных отображений является

сюръективным отображением.

Следствие. Композиция биективных отображений является биективным

отображением.


1. Что называется композицией отображений? Привести примеры.

2. Для любых ли отображений можно найти их композицию?

3. Является ли композиция отображений ассоциативной, коммутативной?

4. Что называется преобразованием множества? Степенью

преобразования множества?

5. Доказать теоремы и следствие из параграфа.


10.1. Даны отображения ,f g . Найти, если они существуют,

композиции f g , g f , f f , g g .

a. Пусть X – множество треугольников; Y – множество окружностей.


ПУ

37

37

:f X Y : треугольнику ставится в соответствие вписанная в него

окружность.

:g Y R : окружности ставится в соответствие ее площадь.

b. 2: :f N N x x ; 3: : 1g N N x x ;

c. : : 2f R R x x ; 0: :g R R x x .

10.2. Даны отображения , ,f g h . Найти следующие отображения:

f g , g f , ( )h g f , ( )f g h , ( )f g h .

a. 2: :f R R x x ; : : sing R R x x ; : : 3xh R R x .

b. : : sinf R R x x ; : : 2xg R R x ; 2: : 2 1h R R x x .

c. : : 3 2f R R x x ; 3: :g R R x x ; 2: : sinh R R x x .

10.3. Запишите все возможные композиции отображений вида 1 2 ,

1 2 3( ) , где { , , }, 1,3i

f g h i .

a. : : 2 1f R R x x ; 0: :g R R x x ; 0: : 3xh R R x ;

b. : : sinf R R x x ; 0: :g R R x x ; : [ 1;1]: sinh R x x ;

c. 3: : 1f R R x x ; 0 2: : logg R R x x ; 2

1: :

1h R R x

x.

10.4. Дано отображение :f X Y . Доказать, что f – инъективное

тогда и только тогда, когда для любых отображений :g Y X и :h Y X ,

из того, что f g f h следует, что g h .

10.5. Дано отображение :f X Y . Доказать, что f – сюръективное

тогда и только тогда, когда для любых отображений :g Y X и :h Y X ,

из того, что g f h f следует, что g h .

10.6. Даны отображения :f X Y , :g Z X . Известно, что f g -

инъективное отображение. Что можно сказать об отображениях ,f g ?


сюръективное отображение. Что можно сказать об отображениях ,f g ?


биективное отображение. Что можно сказать об отображениях ,f g ? Будут

ли они также биективними? Ответ обоснуйте.


ПУ

38

38

§10 ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Напомним, что по определению отображение :f X Y является

бинарным отношением f X Y . Можно рассмотреть бинарное отношение 1f Y X . Оно может не быть отображение. В том случае, когда 1f также

является отображением, оно называется обратным к отображению f , а

отображение f называется обратимым.

Критерий того, что 1f также является отображением, дает следующая

теорема.

Теорема. Пусть :f X Y - отображение. Бинарное отношение 1f

является отображением тогда и только тогда, когда f - биективное

отображение.

Следствие. Если :f X Y - биективное отображение, то 1 :f Y X -

также биективное отображение.

Пусть :f X Y - отображение и 1f - также отображение. Тогда если xfy ,

то 1yf x . Иными словами, если f отображает элемент 0x в элемент 0y , то 1f

отображает 0y в 0x . Это можно проиллюстрировать на рисунке:

Теорема. Отображение :f X Y обратимо тогда и только тогда, когда

существует такое отображение :g Y X , что xg f e и Yf g e . При этом 1g f .

Теорема. Пусть :f X Y и :g Y Z - обратимые отображения, тогда

отображение g f также обратимо и 1 1 1( )g f f g .

Определение. Пусть f - обратимое преобразование множества X ,

{0}n N . Степенью преобразования f с показателем n будем называть:

Если 0n , то 0

Xf e ,

Если 1n , то 1f - обратное к отображению f ;

Если 2n , то 2 1 1f f f ;

Если определено nf , то ( 1) 1n nf f f .


1. Верно ли, что 1 1( )f f ?


ПУ

39

39

2. Всегда ли существует обратное отображение? Если нет, то в каких

случаях?

3. Верно ли, что 1

X Xe e ?

4. Докажите вышеприведенные теоремы.


11.1. Выяснить, для каких из следующих отображений существуют

обратные:

a. {(1,1);(2;3);(3;2)}, {1;2;3} {1;2;3}f f ;

b. {(1,1);(2;3);(3;3)}, {1;2;3} {1;3}f f ;

c. : : 3 2f R R x x ;

d. : : sinf R R x x ;

e. 2: :f R R x x .

11.2. Показать, что для каждого из следующих отображений

существует обратное и найти его.

a. : : 2f R R x x ;

b. : : 2 1f R R x x ;

c. 0

1: :

2

x

f R R x ;

d. 0 3: : logf R R x x ;

e. 2:[0;1] [0;1]: 1f x x ;

f. 2

:[ 2;1) ( ; ] :3 1

xf x

x.

11.3. Показать, что данное отображение : : ( )f X Y x f x не является

обратимым. Найти такое наибольшее по включению множество 1X X , и

множество 1Y Y , что отображение 1 1 1: : ( )f X Y x f x будет обратимым и

найти 1

1f .

a. 2: : 1f R R x x ;

b. 2: : 4f R R x x x ;

c. 1: : 2xf R R x ;

d. 2

1: :

3

x

f R R x ;

e. : : cosf R R x x .

11.4. Пусть дано отображение :f X X . Доказать, что если n N

такое, что n

xf e , то f - биективное отображение.


ПУ

40

40

§11 БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

Определение. Бинарное отношение между множествами X и X

называется бинарным отношением на множестве X .

Определение. Отношение на X называется рефлексивным, если

( )x x x , т.е. каждый элемент x находится в отношении с самим собой.

Определение. Отношение на X называется антирефлексивным, если

( )x x x .

Определение. Отношение на X называется симметричным, если

(( ) ( ))x y x y y x .

Определение. Отношение на X называется антисимметричным, если

(( ) ( ) )x y x y y x y x .

Определение. Отношение на X называется асимметричным, если

( ) ( )x y x y y x .

Определение. Отношение на X называется транзитивным, если

(( ) ( ) ( ))x y z x y y z x z .


1. Объясните разницу между бинарным отношением на множестве между


2. Какие свойства бинарных отношений на множестве вы знаете? К

каждому приведите примеры.


12.1. Укажите, какими свойствами обладает каждое из следующих

отношений:

a. «перпендикулярности» на множестве прямых плоскости;

b. «пересечения» на множестве прямых плоскости;

c. «касания» на множестве окружностей плоскости;

d. “=” на множестве действительных чисел;

e. “<” на множестве действительных чисел;

f. “ ”на множестве действительных чисел;

g. «жить в одном доме» на множестве людей;

h. «быть отцом» на множестве людей.

12.2. На множестве А для каждого из следующих отношений укажите,

какими свойствами оно обладает.

a. ; ( ) 2A Z x y x y ;

b. 2;A Z x y x y ;

c. 2 2;A Z x y x y ;

d. 2 2;A N x y x y ;


ПУ

41

41

e. ; ( 2) ( 2)A R x y x y ;

f. ; max{ ; } 5A R x y x y ;

g. ; min{ ; } 3A R x y x y

h. ; ( ) 2A Z x y x y ;

i. ;A Z x y x y нечетное число;

j. ; ( 3) ( 3)A Z x y x y ;

k. ; ( 2 ) 3A Z x y x y ;

l. ; ( ) 10A R x y x y ;

m. \{0};A Z x y x y ;

n. ;A N x y x y ;

o. ; 10A R x y x y ;

p. ; (2 3 ) 5A Z x y x y .

12.3. На множестве N найти область значений и область определения

следующих бинарных отношений и указать, какими свойствами они

обладают.

a. {(1;1)};

b. {(1;5)};

c. {(3;5);(5;3);(3;3)};

d. {(3;5);(5;3)} .

12.4. На множестве R найти область значений и область определения


обладают.

a. [0;1] [0;1];

b. [0;2] [1;4].

12.5. На множестве {1;2; ;10}M найти область значений и область

определения следующих бинарных отношений и указать, какими свойствами

они обладают.

a. ( 8)x y x y ;

b. 2( )x y x y ;

c. ( 10)x y x y ;

d. 2( )x y x y .

12.6. Что можно сказать об отношениях 1 и , если :

a. рефлексивно;

b. антирефлексивно;

c. симметрично;

d. антисимметрично;

e. транзитивно.

12.7. Доказать, что объединение и пересечение двух рефлексивных

отношений рефлексивно. Доказать или опровергнуть аналогичные

утверждения для пар антирефлексивных, симметричных, антисимметричных,

транзитивных отношений.


ПУ

42

42

12.8. Доказать, что при любом отношении на множестве X

отношения 1 и 1 симметричны.

12.9. Доказать, что при любом отношении на множестве X

отношение 1 асимметрично.

12.10. Верно ли, что любое бинарное отношение на множестве либо

симметрично, либо антисимметрично? Ответ обоснуйте.


ПУ

43

43

§12 ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Определение. Отношение на X называется отношением

эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Определение. Пусть - отношение эквивалентности на X , и a X .

Множество элементов x X , которые находятся в отношении с элементом

a называется классом эквивалентности элемента a относительно отношения

эквивалентности (еще употребляют названия: « -класс», «смежный класс

X по ») и обозначают a , a , a , ( )cl a , ( )cl a .

Лемма. Пусть - отношение эквивалентности на множестве X , ,a b X .

Тогда:

1) a a ;

2) a b a b ;

3) a b тогда и только тогда, когда a и b принадлежат одному классу

эквивалентности.

Теорема. Любые два смежных класса множества X относительно

отношения эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

Определение. Разбиением непустого множества X называется система S

его непустых непересекающихся подмножеств, таких, что любой элемент

x X принадлежит одному подмножеству.

Теорема. Пусть - отношение эквивалентности на X . Тогда множество

различных классов эквивалентности относительно является разбиением

множества X .

Теорема. Пусть S - разбиение множества X . Рассмотрим отношение

на X : ,x y X : x y “ x и y принадлежат одному подмножеству семейства

S ”. Тогда является отношением эквивалентности на множестве X и -

классы совпадают с подмножествами, входящими в систему S .

Определение. Совокупность всех различных классов эквивалентности

множества X по отношению эквивалентности называется фактор-

множеством множества X по эквивалентности и обозначается X .


1. Привести примеры отношений эквивалентности.

2. Из каких элементов состоит класс эквивалентности?

3. Может ли класс эквивалентности быть пустым? Почему?

4. Что можно сказать о двух классах эквивалентности, которые имеют три

общих элемента?

5. Приведите примеры разбиения множества студентов математического

факутьтета.

6. Что называется фактор-множеством? Может ли оно быть пустым;

конечным; бесконечным?


ПУ

44

44


13.1. Среди следующих отношений найти отношение эквивалентности:

a. {(1;1);( ; );( ;2);(2;2)} {1;2; } {1;2; }a a a a a ;

b. {(1;2);(2;1);(1;1);(2;2);(3;3)} {1;2;3} {1;2;3} ;

c. отношение перпендикулярности в множестве прямых на плоскости;

d. ;x y множеству людей. x y x и y имеют одних и тех же родителей;

e. отношение касания на множестве окружностей;

f. отношение «учиться в одной группе» на множестве студентов.

13.2. Выяснить, являются ли следующие отношения отношениями

эквивалентности на множестве A :

a. ; [0;3] [0;3]A R ;

b. ; {( ; ) 0}A R x y xy ;

c. ; 10A R x y x y ;

d. ; ( ; ) ( ; )A Z Z a b c d a d b c ;

e. ; ( ; ) ( ; )A Z Z a b c d a d b c ;

f. ; ( ; ) ( ; )A N N a b c d a d b c ;

g. ; ( ; ) ( ; ) ( ) 2A N N a b c d a b c d .

13.3. Пусть {1;2;3;4;5;6}A . Задают ли подмножества 1 {1;2}A , 2 {3}A ,

3 {4;5;6}A разбиение множества A . Приведите пример разбиения,

содержащего четыре множества.

13.4. Доказать, что следующие отношения являются отношениями

эквивалентности на множестве A и найти фактор-множества /A :

a. ; ( ) 4A Z x y x y ;

b. ; ( 2 ) 3A Z x y x y ;

c. ;A R x y x y ;

d. ; (5 11 ) 6A Z x y x y ;

e. ; (3 4 ) 7A Z x y x y ;

f. ; ( ; ) ( ; ) ( ) ( ) 4A Z Z a b c d a c b d ;

g. ; ( ; ) ( ; ) ( ) ( ) 3A N N a b c d b d a c .

13.5. Можно ли сказать, что множество разбито на классы

семейством подмножеств {K,L}, если:

a. K – множество четных чисел, L – множество нечетных чисел.

b. K – множество четных чисел, L – множество простых чисел.

c. K – множество простых чисел, L – множество составных чисел.

d. {3 1 }, {2 1 }K n n L n n ;

e. {4 1 }, {4 1 }K n n L n n .

13.6. Можно ли сказать, что множество всех прямых плоскости

разбито на классы семейством подмножеств {K,L,M}, если K – множество


ПУ

45

45

прямых, параллельных данной прямой l; L – множество прямых,

перпендикулярных данной прямой l; M - множество прямых, пересекающих

данную прямую l.

13.7. Найти отношение эквивалентности на множестве A , которое

задает следующее разбиение множества A :

a. A , элементы разбиения – множество всех четных и множество всех

нечетных чисел;

b. A - произвольное множество, разбиение состоит из одного элемента –

множества A ;

c. A - произвольное непустое множество, элементы разбиения – все

одноэлементные подмножества множества A ;

d. A , элементы разбиения – множество всех положительных

действительных чисел, множество всех отрицательных действительных

чисел и множество, единственным элементом которого является число нуль.

13.8. Пусть и - отношения эквивалентности на множестве A .


a. - отношение эквивалентности на множестве A ;

b. 1 - отношение эквивалентности на множестве A .

13.9. Пусть и - отношения эквивалентности на множестве A .

Будет ли отношением эквивалентности на множестве A ? Ответ

обоснуйте.


ПУ

46

46

§13. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА.

Определение. Бинарное отношение на множестве X называется

отношением частичного порядка (частичным порядком; порядком), если оно

1) рефлексивно, т.е. x X x x ;

2) антисимметрично, т.е. ( )x y x y y x x y ;

3) транзитивно, т.е. ( )x y z x y y z x z .

Множество X , на котором задано отношение частичного порядка

называется (частично) упорядоченным.

Далее если не оговорено конкретное бинарное отношение частичного

порядка, мы будем его обозначать « ».

Определение. Если X - частично упорядоченное множество и x y , но

x y , будем писать x y и говорить, что « x строго меньше y » или « x

меньше y ». Отношение « » называется «отношением меньше» ( или «строго

меньше») и называется отношением «строгого порядка».

Свойство. Если отношение « » является отношением частичного

порядка, то соответствующее ему отношение « » антирефлексивно,

асимметрично и транзитивно.

Определение. Элементы a и b множества X с отношением частичного

порядка « » называются «сравнимыми» (относительно отношения « »), если

x y или y x . Элементы, которые не сравнимы между собой, называются

несравнимыми.

Определение. Пусть X - частично упорядоченное множество с

частичным порядком « ». Элемент a X называется наибольшим элементом

множества X (относительно частичного порядка « »), если он сравним со

всеми элементами x X и при всех x X x a .

Элемент b X называется наименьшим элементом множества X , если он

сравним со всеми элементами x X и при всех x X b x .

Свойство. В любом частично упорядоченном множестве не более одного

наибольшего элемента.

Свойство. В любом частично упорядоченном множестве существует не

более одного наименьшего элемента.

Определение. Пусть X - частично упорядоченное множество с

отношением частичного порядка « ». Элемент a X называется

максимальным элементом множества X (относительно частичного порядка

« »), если для всех элементов x X , с которыми он сравним, x a .

Элемент b X называется минимальным элементом множества X , если

для всех элементов x X , с которыми он сравним, b x .

Свойство. Если a - наибольший элемент частично упорядоченного

множества X , то он является единственным максимальным элементом в X .

Свойство. Если b X - наименьший элемент частично упорядоченного

множества X , то он является единственным минимальным элементом в X .

Доказательство этого свойства аналогично предыдущему.

Определение. Частичный порядок « » на X называется линейным


ПУ

47

47

порядком, если любые два элемента из X сравнимы относительно него.

Частично упорядоченное множество, на котором задано отношение

линейного порядка, называется линейно упорядоченным или цепью.

Примером линейно упорядоченного множества может служить с

обычным отношением .

Свойство. Если в линейно упорядоченном множестве существует

максимальный (соответственно, минимальный) элемент, то он является

наибольшим (соответственно, наименьшим) элементом.

Определение. Линейно упорядоченное множество X , удовлетворяющее

условию минимальности (и, значит, всем условиям предыдущей теоремы)

называется вполне упорядоченным множеством.


1. В чем разница между отношениями строгого и частичного порядка?

Привести примеры.

2. Что называется частично упорядоченным множеством?

3. Какими свойствами обладает строго упорядоченное множество?

4. Привести примеры сравнимых и несравнимых элементов в некотором

частично упорядоченном множестве.

5. В чем разница между максимальным и наибольшим элементом?

6. Какие свойства максимальных и наибольших элементов вы знаете?

7. В чем разница между максимальным и наибольшим элементом?

8. Какие свойства максимальных и наибольших элементов вы знаете?

9. Привести примеры вполне упорядоченных множеств.


14.1. Какие из следующих отношений являются отношениями

частичного, строгого и линейного порядка?

a. «Человек x не выше человека y » на множестве людей;

b. «лежать внутри» на множестве четырехугольников;

c. «перпендикулярность» на множестве прямых;

d. «касание» на множестве окружностей;

e. «быть отцом» на множестве людей;

f. x y x y на множестве ;

g. x y x y на множестве ;

h. x y 1x y на множестве ;

i. x y x y на множестве ;

j. «весить меньше» на множестве людей;

k. x y x y на множестве ;

l. «быть моложе» на множестве людей;

m. x y x y на множестве ;

n. {(1;1);(2;2)} на множестве {1;2}.


ПУ

48

48

14.2. Найти наибольший, наименьший, максимальный и минимальный

элементы следующих частично упорядоченных множеств, если они

существуют:

a. x y x y на множестве {2;3;4;5;6}X ;

b. x y x y на множестве {1;2;3;4;5;6}X ;

c. x y x y на множестве {2;4;8;12;24}X ;

d. x y x y на множестве ;

e. x y x y на множестве [0;10) ;

f. x y x y на множестве ( 10;10) .

14.3. Пусть U - универсальное множество. Доказать, что отношение

X Y X Y является отношением порядка на множестве U .

14.4. Доказать, что если - отношение порядка (частичного, строгого,

линейного) на множестве A , то 1 также является отношением порядка

(частичного, строгого, линейного) на множестве A .

14.5. Пусть , - отношения порядка на множестве A . Верно ли, что

отношения , также являются отношениями порядка?

14.6. Для следующих бинарных отношений на множестве S

бесконечных числовых последовательностей с действительными членами

установите, какие из них являются отношениями частичного порядка. Какие

являются отношениями строгого порядка? Какие являются отношениями

линейного порядка?

a. ( ) ( ) ( )n n n nx y n x y ;

b. ( ) ( ) ( )n n n nx y n x y ;

c. ( ) ( ) ( )n n n nx y n x y ;

d. ( ) ( ) ( )n n n nx y n x y ;

e. ( ) ( ) ( )n n n nx y n x y ;

f. ( ) ( ) ( )n n n nx y n x y ;

g. ( ) ( ) ( )n n n nx y n x y ;

h. ( ) ( ) ( ( ))n n k kx y n k k n x y ;

i. ( ) ( ) ( ( ))n n k kx y n k k n x y .

14.7. На множестве всех отображений :f введем отношение

быть больше следующим образом:

a. f g , если ( ) ( )x f x g x .

b. f g , если ( ) ( )x f x g x .

c. f g , если ( ) ( )x f x g x .

Какие из этих отношений являются отношениями частичного порядка?

Задают ли они отношение строгого порядка? Задают ли они отношение

линейного порядка?

14.8. Пусть X и Y - непустые подмножества в . Будем говорить, что

X «слабее» Y и писать X Y , если:

a. x X y Y x y ;


ПУ

49

49

b. x X y Y x y ;

c. x X y Y x y ;

d. x X y Y x y ;

e. x X y Y x y ;

f. x X y Y x y ;

g. x X y Y x y ;

h. x X y Y x y .

Есть ли среди этих отношений «слабее» отношения порядка? Отношения

строгого порядка? Отношения линейного порядка?


ПУ

50

50

§14 МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Для доказательств часто применяется метод математической индукции,

который состоит в следующем:

Первая формулировка ММИ. Если про предикат P на множестве

(свойство P(n) относительно натуральных n) известно, что:

1. (база индукции) при n=n0 он истинен (P(n0) – истинное утверждение);

2. (индуктивный переход) для любого натурального 0k n из истинности

P(k) (посылка индукции) следует истинность P(k+1),

тогда предикат P(n) истинен при всех натуральных 0n n .

Пример. При всех натуральных n найдите сумму: 1 1 1

( )1 2 2 3 ( 1)

S nn n

.

При n=1 1

(1)2

S .

При n=2 1 1 2

(2)2 6 3

S .

При n=3 1 3

(3) (2)12 4

S S .

После этих вычислений появляется гипотеза, что при всех натуральных n

( )1

nS n

n. Докажем это. Предикат P(n), истинность которого на множестве

натуральных чисел мы будем доказывать, состоит в том, что ( )1

nS n

n.

Базой индукции будет служить рассмотренное выше значение n=1.

Пусть утверждение верно при n=k, то есть ( )1

kS k

k. Требуется доказать

его истинность при n=k+1, то есть что 1

( 1)1 1

kS k

k.

1 1 1 1( 1) ( )

1 2 ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)S k S k

k k k k k k

21 ( 2) 1 ( 1) 1

1 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) 2

k k k k k

k k k k k k k k, что и требовалось

доказать.

Вторая формулировка метода математической индукции: Если про

предикат P на множестве натуральных чисел (свойство P(n) относительно

натуральных n) известно, что

(База индукции) При n=n0 он истинен (P(n0) - истинное)

(Индуктивный переход) Для любого натурального k ≥ n0 из истинности

P(n) для всех таких, что n0 ≤ n ≤ k (посылка индукции), следует

истинность P(k+1), тогда предикат истинен для всех натуральных n ≥

n0.


ПУ

51

51

Наличие «базы индукции» и «индуктивного перехода» обязательно в

доказательстве методам математической индукции. Покажем это на двух

примерах.

Пример. Докажем, что все натуральные числа равны.

«Доказательство».

Если мы докажем, что любое натуральное число n равно числу n+1, то из

этого будет следовать утверждение примера.

Посылка индукции. Пусть для натурального числа k равенство k=k+1

выполняется.

Требуется доказать, что равенство n=n+1 выполняется для n=k+1, то есть,

что k+1=k+2.

Так как k=k+1, то прибавив к обеим частям этого верного равенства 1,

получим k+1=k+2, что и требовалось доказать.

Отсутствие в этом «доказательстве» базы индукции привело к очевидно

неверному результату.

Пример. В квадратный трехчлен n2+n+41 будем подставлять

натуральные значения n. При n равных 0; 1; 2; 3 будем, как легко убедиться,

получать простые числа. Если это вас не убедило, то можем продолжать.

Вплоть до n=39 будем получать простые числа. После такого большого числа

проверок можем ли мы сделать вывод, что при всех натуральных значениях n

число n2+n+41 - простое? Отсутствие индуктивного перехода не позволяет

это сделать. И, действительно, как легко увидеть, при n=40 значение

трехчлена равно 412- составное число.


1. Обоснуйте метод математической индукции.

2. Можно ли применять метод математической индукции для целых

чисел? Почему?

3. Можно ли применять метод математической индукции для

натуральных чисел, больших 16? Почему?

4. Является ли метод математической индукции индуктивным методом

рассуждений?


16.1. Пусть n . Доказать равенство методом математической

индукции:

a. 2

3 3 3 3 ( 1)1 2 3 ...

2

n nn .

b. 1

1 2 3 2 3 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)4

n n n n n n n .

c. 1 1! 2 2! ! ( 1)! 1n n n .


ПУ

52

52

d. 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ...

6

n n nn .

e. 2

2 2 2 2 (4 1)1 3 5 ... (2 1)

3

n nn

f. 3 3 3 3 2 21 3 5 ... (2 1) (2 1)n n n

g. 2 2 2 ( 1)( 2)(3 1)2 1 3 2 ... ( 1)

12

n n n nn n

h. ( 1)( 2)

1 2 2 3 ( 1)3

n n nn n .

i. 0 1 1 1

11! 2! ! !

n

n n

j. 2 2 21 2 ( 1)

1 3 3 5 (2 1) (2 1) 2 (2 1)

n n n

n n n.

k. 1 1 1 1 1 1

1 2 3 2 3 4 ( 1)( 2) 2 2 ( 1)( 2)n n n n n

l. 1 1 1 1 1 1 1 1

12 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n

m. 2 2 2 1 2 1 ( 1)1 2 3 4 ... ( 1) ( 1)

2

n n n nn .

n. 1

1

2 2 2

1 2 2 1 2

1 1 11 1n n

n n

x x xx x

o. ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )

1 ( 1) ( 1)1! 2! ! !

n nx x x x x x n x x n

n n

16.2. Пусть n . Вычислить:

a. 1 1 1

1 4 4 7 (3 2) (3 1)n n.

b. 1 1 1

1 5 5 9 (4 3) (4 1)n n.

c. 1 1 1

1 3 3 5 (2 1) (2 1)n n.

16.3. Пусть n . Доказать равенство:

a. 1 1 1 1 1 1 1 1

12 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n

.

b. 1

1

sin(2 )cos cos(2 ) ... cos(2 )

2 sin( )

nn

n.

c.

1sin sin

2 2sin sin 2 sin

sin2

n n

n .

d.

2 1sin

1 2cos cos2 ... cos2

2sin2

n

n .


ПУ

53

53

e. 3 1

3 5 (2 1) 2 12

narcctg arcctg arcctg n arctg arctg arctg n arctg

n.

16.4. Пусть n . Доказать кратность:

a. 3( 5 ) 6n n .

b. 2 1(2 3 4) 9n n .

c. 2 1 2 2 2 1(5 2 3 2 ) 19n n n n .

d. 2 3(3 40 27) 64n n .

e. 2 2(6 3 3 ) 11n n n .

f. 1(5 2 3 1) 8n n .

16.5. Доказать, что n 2 3

3 2 6

n n n.

16.6. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных

чисел кратна 9.

16.7. Пусть ,if i N - члены последовательности Фибоначчи. Доказать:

a. 1 2 2 1n nf f f f .

b. 1 3 2 1 2n nf f f f .

c. 2 4 2 2 1 1n nf f f f .

d. 1 2 3 4 2 1 2 2 11n n nf f f f f f f .

e. 2 2 2

1 2 1n n nf f f f f .

f. 2

1 2 2 3 2 1 2 2n n nf f f f f f f .

g. 4 3nf .

h. 5 5nf .

i. 1 1 5 1 5

2 25

n n

nf .

16.8. Доказать неравенства:

a. при 3n 1 1 1 3

1 2 2 5n n n.

b. при 1n 1 1 1

1 2n

n.

c. при n 1 1 1 1

1 21 2 3 3 1n n n n

.

d. при n 1 1 1

2( 1 1) 21 2

n nn

.

e. при 1n 1 1 1

11 3 2n n n

.

f. при 4n ! 2nn .

g. при 5n 22 5n n .

h. при n N и 3n 33n n .

i. 2 4

4 2

1 1 11n n n

n n nx x x n

x x x.

j. \{1}, 1, 0n N x x (1 ) 1nx nx (неравенство Бернулли).


ПУ

54

54

16.9. На плоскости проведены n прямых, которые образуют карту.

Доказать, что эту карту можно раскрасить, используя только два цвета, так,

что две соседние по границе области имеют разные цвета.

16.10. Доказать, что любую «карту», образованную n окружностями на

плоскости, можно раскрасить в два цвета так, что две соседние области

имеют разные цвета.

16.11. Доказать, что n N верно: (2 3) (2 3)

2 3

n n

N .

16.12. Доказать, что n N верно: 3 5 3 5

2 2

n n

N .

16.13. Между любыми двумя городами некоторой страны существует

дорога. Докажите, что как бы ни было установлено одностороннее движение

на каждой дороге, будет существовать город, из которого до любого другого

можно доехать, сделав не более одной пересадки.

16.14. Между любыми двумя городами некоторой страны существует

дорога. Докажите, что можно так установить одностороннее движение на

каждой дороге, что из любого города в любой другой можно будет проехать

(не нарушая правил), сделав не более одной пересадки.


ПУ

55

55

Индивидуальные домашние задания

ИДЗ №1.Составить таблицу истинности для следующих формул логики

высказываний. Определить, какие из них являются тавтологиями.

1. a) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) ( ) ( )A B C B .

2. а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) ( ( ))A B C B .

3. а) (( ) ) (( ) )A C B A C B ;

b) (( ) )A B C B .

4. а) ( ( ) (( ) )A B C B C A ;

b) (( ) )A B C B .

1.5. а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) ( ) ( )A B C B .

6. а) (( ) ) (( ) )A C B A C B ;

b) ( ( ))A B C B .

7. а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) (( ) )A B C B .

8. а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) (( ) )A B C B.

9. а) (( ) ) (( ) )A C B A C B ;

b) ( ) ( )A B C B .

10.а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) ( ( ))A B C B .

11.а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) (( ) )A B C B .

12. а) (( ) ) (( ) )A C B A C B ;

b) (( ) )A B C B .

13. а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) ( ) ( )A B C B .

14.а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) ( ( ))A B C B .

15.а) (( ) ) (( ) )A C B A C B ;

b) (( ) )A B C B .

16.а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) (( ) )A B C B.


ПУ

56

56

17.а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) ( ) ( )A B C B .

18. а) (( ) ) (( ) )A C B A C B ;

b) ( ( ))A B C B .

19.а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) (( ) )A B C B .

20.а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) (( ) )A B C B .

21.а) (( ) ) (( ) )A C B A C B ;

b) ( ) ( )A B C B .

22 а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) ( ( ))A B C B .

23 а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) (( ) )A B C B .

24 а) (( ) ) (( ) )A C B A C B ;

b) (( ) )A B C B .

25 а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) (( ) )A B C B .

26а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) ( ) ( )A B C B .

27.а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) ( ( ))A B C B .

28.а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) (( ) )A B C B .

29.а) ( ( )) (( ) )A B C B C A ;

b) (( ) )A B C B .

30.а) (( ) ) ( ( ))A C B B A C ;

b) ( ) ( )A B C B .


ПУ

57

57

ИДЗ №2.

В следующих предложениях вместо многоточия поставить слова

«необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно» так, чтобы

получились истинные высказывания. Ответ обосновать.

1. a) Для того чтобы последняя цифра натурального числа была равна 0,

... чтобы это число было кратно 5.

b) Для того чтобы произведение двух целых чисел было четным, ... чтобы

оба числа были четными.

c) Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ... чтобы его диагонали

были перпендикулярны.

2. a) Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 20, ...

чтобы один из сомножителей был кратен 4, а второй – был кратен 5.

b) Для того, чтобы действительное число было больше 4, ... чтобы его куб

был больше 64.

c) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его

диагонали были равны.

3. a) Для того чтобы произведение двух натуральных чисел было

нечетным, ... чтобы оба сомножителя были нечетными.

b) Для того чтобы целое число было кратно 6, ... чтобы оно было кратно

3.

c) Для того чтобы все стороны четырехугольника были равны, ... чтобы

он был квадратом.

4. a) Для того чтобы два натуральных числа были кратны 6, ... чтобы их

произведение было кратно 6.

b) Для того чтобы площадь квадрата была равна 25 см2, ... чтобы его

сторона была равна 5 см.

c) Для того чтобы одно из двух целых чисел было четным, ... чтобы их

произведение было четным.

5. a) Для того чтобы периметр ромба был равен 20 см, ... чтобы длина его

стороны была равна 5 см.

b) Для того чтобы сумма двух целых чисел была кратна 8, ... чтобы

каждое из этих чисел было кратно 8.

c) Для того чтобы одно из двух целых чисел было четным, а второе было

кратно 5, ... чтобы их произведение оканчивалось цифрой 0.

6. a) Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 4, ...

чтобы оба эти числа были четными.

b) Для того, чтобы целое число было равно 5, ... чтобы его квадрат был

равен 25.

c) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ... чтобы его

диагонали в точке пересечения делились пополам.

7. a) Для того чтобы натуральное число было кратно 6, ... чтобы это число

было составным.

b) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его

диагонали были перпендикулярны.

c) Для того чтобы сумма целых чисел была нечетной, ... чтобы одно из


ПУ

58

58

них было четным, и другое – нечетным.

8. a) Для того чтобы целое число было кратно 3, ... чтобы оно было кратно

6.

b) Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 7, ...

чтобы одно из чисел было кратно 7.

c) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его


9. a) Для того чтобы прямоугольник был квадратом, ... чтобы его


b) Для того чтобы два целых числа были кратны 3, ... чтобы их


c) Для того чтобы квадрат действительного числа был равен 4, ... чтобы

это число было равно 2.

10. a) Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 3, а второе –

кратно 5, ... чтобы их произведение было кратно 15.

b) Для того чтобы площадь квадрата была равна 900 см2, ... чтобы длина

его стороны была равна 30 см.

c) Для того чтобы целое число было кратно 2, ... чтобы его квадрат был

кратен 4.

11. a) Для того чтобы квадрат целого числа был меньше 4, ... чтобы

это число было меньше 2.


чтобы один из сомножителей был кратен 4, а второй сомножитель кратен 6.

c) Для того чтобы треугольник был равносторонним, ... чтобы он имел

два равных угла.

12. a) Для того чтобы квадрат действительного числа был больше 9,

... чтобы это число было больше 3.



c) Для того чтобы целое число было кратно 3 и 5, ... чтобы оно было

кратно 15.

13. a) Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ... чтобы его


b) Для того чтобы одно из целых чисел было четным, ... чтобы их


c) Для того чтобы хотя бы одно из двух действительных чисел было

равно 0, ... чтобы их произведение было равно 0.

14. a) Для того чтобы у параллелограмма диагонали были равны, ...

чтобы он был прямоугольником.


3.

c) Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 3, ...

чтобы каждое из этих чисел было кратно 3.

15. a) Для того чтобы стороны квадрата были равны 5 см, ... чтобы

его периметр был равен 20 см.


ПУ

59

59

b) Для того чтобы действительное число было больше 8, ... чтобы его

квадрат был больше 64.


чтобы одно из этих чисел было кратно 2, а второе – кратно 5.

16. a) Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 3, а другое -

кратно 7, ... чтобы их произведение было кратно 21.

b) Для того чтобы модуль числа был больше 1, ... чтобы это число было

больше 1.

c) Для того чтобы диагонали четырехугольника были перпендикулярны,

... чтобы этот четырехугольник был ромбом.

17. a) Для того чтобы целое число было кратно 35, … чтобы оно

было кратно и 5 и 7.

b) Для того чтобы диагонали параллелограмма были перпендикулярны, ...

чтобы он был ромбом.

c) Для того чтобы два целых числа были нечетными, чтобы их сумма

была четной.

18. a) Для того чтобы последней цифрой целого числа была цифра 0,

... чтобы это число было кратно 5.


2.

c) Для того чтобы диагонали выпуклого четырехугольника были равны,

... чтобы этот четырехугольник был прямоугольником.

19. a) Для того чтобы целое число было кратно 8, ... чтобы оно было

кратно 2.

b) Для того чтобы произведение двух целых чисел оканчивалось цифрой

0, ... чтобы одно из чисел было кратно 2, а второе – кратно 5.

c) Для того чтобы диагонали четырехугольника в точке пересечения

делились пополам, ... чтобы этот четырехугольник был параллелограммом.

20. a) Для того, чтобы произведение двух целых чисел было кратно

7, ... чтобы оба сомножителя были кратны 7.

b) Для того, чтобы в треугольнике все углы были равны, ... чтобы этот

треугольник был равносторонним.

c) Для того, чтобы два целых числа были кратны 5, ... чтобы их сумма

была кратна 5.

21. a) Для того чтобы диагонали параллелограмма были равны, ...

чтобы он был прямоугольником.

b) Для того чтобы два целых числа были кратны 4, ... чтобы их



чтобы один из сомножителей был кратен 3, а второй – кратен 4.

22. a) Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ... чтобы он был

параллелограммом.

b) Для того чтобы одно из двух целых чисел было четным, ... чтобы их

произведение было четным.

c) Для того чтобы два целые числа были кратны 7, ... чтобы их


ПУ

60

60


23. a) Для того чтобы целое число было кратно 4 и кратно 5, ... чтобы

оно было кратно 20.

b) Для того чтобы целое число было составным, ... чтобы оно было

кратно 9.

c) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы он был

параллелограммом.

24. a) Для того чтобы действительное число было меньше 2, ... чтобы

его квадрат был меньше 4.


диагонали в точке пересечения делились пополам.

c) Для того чтобы разность целых чисел была нечетной, ... чтобы они

имели различную четность.

25. a) Для того чтобы два целые числа были кратны 3, ... чтобы их


b) Для того чтобы диагонали четырехугольника были равны, ... чтобы он


c) Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 7, ... чтобы их


26. a) Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ... чтобы он был

квадратом.


чтобы одно из этих чисел было кратно 3.

c) Для того чтобы два целых числа были кратны 15, ... чтобы их сумма

была кратна 15.

27. a) Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, ...

чтобы один из его углов был прямым.


чтобы один из сомножителей был кратен 3.

c) Для того чтобы модуль числа был больше 2, ... чтобы это число было

больше 2.

28. a) Для того чтобы два целых числа были четными, ... чтобы их


b) Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 7, ... чтобы их


c) Для того, чтобы диагонали четырехугольника в точке пересечения

делились пополам, ... чтобы этот четырехугольник был ромбом.

29. a) Для того чтобы треугольник был равнобедренным, ... чтобы

медиана, проведенная из его вершины, являлась одновременно и его

высотой.

b) Для того чтобы сумма двух целых чисел была четной, ... чтобы оба

числа были четными.

c) Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 2, а другое – кратно

7, ... чтобы их произведение было кратно 14.


ПУ

61

61

30. a) Для того чтобы стороны четырехугольника были равны, ...

чтобы он был квадратом.

b) Для того чтобы квадрат числа был меньше 36, ... чтобы число было

меньше 6.

c) Для того чтобы разность двух целых чисел была четной, ... чтобы эти

числа имели одинаковую четность.

ИДЗ №3.

Для предикатов ( )P x на выяснить истинность высказываний ( )x P x и

( )x P x , дать обоснование. Сформулировать отрицание этих высказываний.

1. a) 2( ) ( 2 8)P x x x ;

b) 2( ) ( 8 2 )P x x x .

2. a) 2( ) ( 6 5 )P x x x ;

b) 2( ) ( 2 )P x x x .

3. a) 2( ) ( 6)P x x x ;

b) 2( ) (2 3 )P x x x .

4. a) 2( ) ( 2)P x x x ;

b) 2( ) (3 2 )P x x x .

5. a) 2( ) (2 1)P x x x ;

b) 2( ) (2 1 )P x x x .

6. a) 2( ) ( 4 5)P x x x ;

b) 2( ) ( 5 4 )P x x x .

7. a) 2( ) ( 2 3)P x x x ;

b) 2( ) ( 3 2 )P x x x .

8. a) 2( ) ( 5 6)P x x x ;

b) 2( ) ( 5 3 )P x x x .

9. a) 2( ) ( 2 3 )P x x x ;

b) 2( ) ( 7 5 )P x x x .

10. a) 2( ) ( 6 7 )P x x x ;

b) 2( ) ( 5 )P x x x .

11. a) 2( ) (3 2)P x x x ;

b) 2( ) (2 5)P x x x .

12. a) 2( ) (6 5)P x x x ;

b) 2( ) (3 1 2 )P x x x .

13. a) 2( ) (4 3)P x x x ;

b) 2( ) (2 1 )P x x x .

14. a) 2( ) (5 4)P x x x ;

b) 2( ) ( 2 3)P x x x .

15. a) 2( ) ( 6)P x x x ;


ПУ

62

62

b) 2( ) (2 3 4)P x x x .

16. a) 2( ) (2 8 )P x x x ;

b) 2( ) ( 2)P x x x .

17. a) 2( ) ( 6)P x x x ;

b) 2( ) ( 6)P x x x .

18. a) 2( ) ( 6)P x x x ;

b) 2( ) (3 4 1)P x x x .

19. a) 2( ) (2 )P x x x ;

b) 2( ) ( 5 2 )P x x x .

20. a) 2( ) ( 3 )P x x x ;

b) 2( ) ( 4 3 )P x x x .

21. a) 2( ) ( )P x x x ;

b) 2( ) ( 1)P x x x .

22. a) 2( ) ( 8 6 )P x x x ;

b) 2( ) ( 10 6 )P x x x .

23. a) 2( ) (5 )P x x x ;

b) 2( ) (4 7)P x x x .

24. a) 2( ) ( 4)P x x ;

b) 2( ) ( 4 2 )P x x x .

25. a) 2( ) ( 9)P x x ;

b) 2( ) (3 9)P x x x .

26. a) 2( ) ( 12)P x x x ;

b) 2( ) ( 2 1)P x x x .

27. a) 2( ) ( 12)P x x x ;

b) 2( ) ( 3 1)P x x x .

28. a) 2( ) ( 25)P x x ;

b) 2( ) ( 6 3 )P x x x .

29. a) 2( ) ( 4 )P x x x ;

b) 2( ) ( 7 2 )P x x x .

30. a) 2( ) ( 3 4)P x x x ;

b) 2( ) ( 8 4 )P x x x .


ПУ

63

63

ИДЗ №4

Докажите, что для произвольных множеств А, В, и С выполняется

равенство. Дайте иллюстрацию на диаграммах Эйлера.

1. ( ) \ ( ) ( \ ) ( \ )A B A C B A A C .

2. ( \ ( \ )) ( )A С B A C A.

3. ( \ ) ( ) \ (( ) \ )A B A C A A B C .

4. ( \ ) ( ) ( ) \ ( \ )A B B C A B B C .

5. (( ) \ ) (( ) ) \A C B C A C C B .

6. ( ) \ ( ) ( \ ) ( \ )A B B C A B B C .

7. ( ( )) \ (( \ ) ( \ ))A B C A A B A C .

8. ( ) \ (( \ ) ( \ ))A B C A A B A C .

9. \ ( \ ) ( \ ) ( )A B C A B A C .

10. ( \ ) ( \ ) (( ) ) \A C B C A B C C .

11. (( ) \ ) ( \ )A С B C A B C .

12. ( ) ( ) ( \ ) ( \ ) ( )A B B C A B B C B C .

13. ( \ ) ( ) ( ) \ ( )A C A B B A A C .

14. ( ) ( \ ) ( \ ( )) ( )A B A C A B C A B .

15. ( \ ) ( ) \ ( \ )B C A B B C A .

16. ( \ ) \ ( \ ) \ ( \ )A B C A B C B .

17. ( \ ) ( \ ) ( ) \ ( )A B C A A C A B .

18. ( ) ( \ ) ( \ ( )) ( )A B B C B A C A B .

19. ( \ ) ( ) ( ) ( ) ( )A C A C B C A C B C .

20. ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ( ))A B B C A C A B C A B C .

21. ( \ ) (( ) \ ) ( ( )) \ ( )A С B C A A B C A C .

22. ( \ ) (( ) \ )A С B A B C B .

23. ( \ ) ( ) \ ( \ )A C A B A C B .

24. ( ) ( \ ( \ ))B B C B C A .

25. ( \ ) ( ) \ ( \ )A С A B A C B .

26. ( \ ) \ ( \ ) ( \ ) \A С B C A C B .

27. ( ) ) \ ( ) \A B C C A B C .

28. (( ) \ ) ( \ )A B C B A C B .

29. ( ) \ ( ) ( \ ) ( \ )A С A B C A A B .


ПУ

64

64

ИДЗ №5.

Для данного отображения :f X Y выяснить, обладает ли оно: 1)

свойством инъективности; 2) свойством сюръективности; 3) свойством

биективности. Если оно не обладает каким-либо из этих свойств, изменить

множества X или Y так, чтобы f обладало указанным свойством. Для

«измененного» отображения f , обладающего свойством биективности,

указать его обратное 1f .

1. 2: : 1f x x ;

2. 2: : 4f x x ;

3. 2: : 2 5f x x x ;

4. 2: : 9f x x ;

5. 2: : 1f x x ;

6. 2: : 2f x x x ;

7. 2: : 6f x x x ;

8. 2: : 2 2f x x x ;

9. 2: : 4f x x x ;

10. 2: : 4f x x x ;

11. 2: : 6 1f x x x ;

12. 2: : 6 2f x x x ;

13. 2: : 4f x x ;

14. 2: : 4f x x ;

15. 2: : 2f x x x ;

16. 2: : 4f x x x ;

17. 2: : 2f x x x ;

18. 2: : 6f x x x ;

19. 2: : 6f x x x ;

20. 2: : 2 7f x x x ;

21. 2: : 2 1f x x x ;

22. 2: : 4 1f x x x ;

23. 2: : 4 9f x x x ;

24. 2: : 2 5f x x x ;

25. 2: : 4 4f x x x ;

26. 2: : 2f x x x ;

27. 2: : 2f x x x ;

28. 2: : 2 3f x x x ;

29. 2: : 6f x x x ;

30. 2: : 5f x x x .


ПУ

65

65

ИДЗ №6.

Для бинарного отношения ρ на выяснить, обладает ли оно свойствами

рефлексивности, антирефлексивности, симметричности,

антисимметричности, асимметричности и транзитивности:

1. ( 2 2)x y x y

2. (( ) 5)x y x y

3. ( 4 4)x y x y

4. ( 0)x y x y

5. ( 1 3)x y x y

6. ( 1 3)x y x y

7. ( 1 2)x y x y

8. ( 5 5)x y x y

9. (( ) )x y x y нечетное число

10. (max{ , } 9)x y x y

11. ( 5 5)x y x y

12. ( 1)x y x y

13. ( )x y x y четное число

14. ( )x y x y

15. (( ) 1)x y y x

16. ( 3)x y x y

17. (( ) 3 ( ) 3)x y x y x y

18. (( ) 3 ( ) 3)x y x y x y

19. ( 5 5)x y x y

20. ( 3 3)x y x y

21. ( 4 5)x y x y

22. ( 3 3)x y x y

23. (( ) 4)x y x y

24. ( 0 3)x y x y

25. (( ) 5)x y x y

26. ( 1)x y x y

27. (max{ , } 10)x y x y

28. (min{ , } 6)x y x y

29. (min{ , } 5)x y x y

30. (( ) 5 ( ) 5)x y x y x y


ПУ

66

66

ИДЗ №7.

Доказать, что следующее бинарное отношение ρ на является

отношением эквивалентности и найти :

1. (2 7 ) 5x y x y ;

2. ( 5 ) 6x y x y ;

3. (3 ) 4x y x y ;

4. (2 5 ) 7x y x y ;

5. (4 ) 5x y x y ;

6. (5 ) 4x y x y ;

7. (8 ) 7x y x y ;

8. (3 7 ) 5x y x y ;

9. (3 7 ) 4x y x y ;

10. ( 6 ) 7x y x y ;

11. (8 2 ) 5x y x y ;

12. ( 7 ) 6x y x y ;

13. (3 4 ) 7x y x y ;

14. ( 6 ) 5x y x y ;

15. (3 5 ) 4x y x y ;

16. (5 2 ) 7x y x y ;

17. ( 4 ) 5x y x y ;

18. (5 ) 6x y x y ;

19. ( 8 ) 7x y x y ;

20. ( 3 ) 4x y x y ;

21. (3 8 ) 5x y x y ;

22. (4 3 ) 7x y x y ;

23. (4 6 ) 5x y x y ;

24. ( 5 ) 4x y x y ;

25. (6 ) 7x y x y ;

26. (2 8 ) 5x y x y ;

27. (7 ) 6x y x y ;

28. (7 3 ) 4x y x y ;

29. (9 2 ) 7x y x y ;

30. (3 2 ) 5x y x y .


ПУ

67

67

ИДЗ №8.

Найти сумму:

1. 1 1 1 1

. ..1 4 4 7 7 10 (3 2) (3 1)n n

;

2. 1 1 1 1

...2 5 5 8 8 11 (3 1) (3 2)n n

;

3. 1 1 1 1

...1 5 5 9 9 12 (4 3) (4 1)n n

;

4. 1 1 1 1

...2 7 7 12 12 17 (5 3) (5 2)n n

;

5. 1 1 1 1

...2 9 9 16 16 23 (7 5) (7 2)n n

;

6. 1 1 1 1

...1 6 6 11 11 16 (5 4) (5 1)n n

;

7. 1 1 1 1

...2 7 7 12 12 17 (5 3) (5 2)n n

;

8. 1 1 1 1

...3 8 8 13 13 18 (5 2) (5 3)n n

;

9. 1 1 1 1

...4 9 9 14 14 19 (5 1) (5 4)n n

;

10. 1 1 1 1

...1 9 9 17 17 25 (8 7) (8 1)n n

;

11. 1 1 1 1

...3 11 11 19 19 27 (8 5) (8 3)n n

;

12. 1 1 1 1

...5 13 13 21 21 29 (8 3) (8 5)n n

;

13. 1 1 1 1

...4 7 7 10 10 13 (3 1) (3 4)n n

;

14. 1 1 1 1

...1 7 7 13 13 17 (6 5) (6 1)n n

;

15. 1 1 1 1

...3 9 9 15 15 21 (6 3) (6 3)n n

;

16. 1 1 1 1

...5 11 11 17 17 23 (6 1) (6 5)n n

;

17. 1 1 1 1

...1 12 12 23 23 34 (11 10) (11 1)n n

;

18. 1 1 1 1

...3 14 14 25 25 36 (11 8) (11 3)n n

;

19. 1 1 1 1

...5 16 16 27 27 38 (11 6) (11 5)n n

;

20. 1 1 1 1

...1 9 9 17 17 25 (8 7) (8 1)n n

;


ПУ

68

68

21. 1 1 1 1

...3 11 11 19 19 27 (8 5) (8 3)n n

;

22. 1 1 1 1

...5 13 13 21 21 29 (8 3) (8 5)n n

;

23. 1 1 1 1

...7 15 15 23 23 31 (8 1) (8 7)n n

;

24. 1 1 1 1

...4 7 7 10 10 13 (3 1) (3 4)n n

;

25. 1 1 1 1

...3 7 7 11 11 15 (4 1) (4 3)n n

;

26. 1 1 1 1

...5 8 8 11 11 14 (3 2) (3 5)n n

;

27. 1 1 1 1

...7 11 11 15 15 19 (4 3) (4 7)n n

;

28. 1 1 1 1

...4 11 11 18 18 25 (7 3) (7 4)n n

;

29. 1 1 1 1

...3 10 10 17 17 24 (7 4) (7 3)n n

;

30. 1 1 1 1

...5 12 12 19 19 26 (7 2) (7 5)n n

.


ПУ

69

69

Раздел 3. Методический блок.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ОТОБРАЖЕНИЯ

Задача1.

Выяснить, являются ли следующие бинарные отношения

отображениями:

a. 2{( , ) ( , ) 1}x y x y R R x y . является отображением из в .

Чтобы в этом убедиться, перепишем иначе: 2{( , ) ( , 1) }x y x x R R . Из

этой записи видно, что ( )D и для x если 2

1 1x y и 2

2 1x y , тогда

1 2y y .

b. 2{( , ) ( , ) 1}x y x y x y . не является отображением из в .

Действительно, для 1x нет натурального числа y такого, что 2 1x y

( 2 1 1 1 0y x ).

Задача 2.

Какими свойствами (инъективность, сюръективность, биективность)

обладает следующее отображение:

A= “множество слов русского языка (длина слова не менее трех букв)”,

B= “множество букв алфавита русского языка”.

:f A B - отображение, которое каждому слову ставит в соответствие его

первую букву.

Отображение не является инъективным. Действительно, рассмотрим два

различных слова: «студент» и «стипендия». Оба эти слова отображаются в

одну букву «с», что противоречит условию инъективности.

Отображение также не является сюръективным, так как, например, в

букву «ъ» ничего не отображается - нет слов русского языка, которые

начинались бы с данной буквы. Таким образом, отображение не является

биективным.

Задача 3.

Для отображения 2: : 4f R R x x x найти:

(1); (5);f f ([3;5]); ([1;5]);f f ([1;5] \{2}); ([1;5] \{3});f f ([3; )); ([1; ));f f1(( ;1)); ( 4);f f 1 1( 3); (45);f f 1 1( 5); ([0;5]);f f 1([ 5;5))f .

График данной функции выглядит следующим образом:


ПУ

70

70

Образом числа 1 является число 2(1) 1 4 1 3f . Образом подмножества

[3;5] является подмножество ([3;5]) [ 3;5]f , так как если 3 5x , то 23 4 5x x .

Как видно из рисунка, образом подмножества [1;5] является множество

[ 4;5] .

Далее, для получения образа подмножества [1;5] \{2}необходимо из образа

[1;5] выбросить образ элемента 2x , т.е. 4 . В этом случае получим

множество ( 4;5] . Образ подмножества [1;5] \{3} - множество [ 4;5] , так как

(3) (1) 3f f , и число «-3» входит в искомый образ дважды, а исключаем мы

только образ числа 3.


ПУ

71

71

Аналогично получим:

([3; )) [ 3; ); ([1; )) [ 4; );f f (( ;1)) ( 3; )f .

Полным прообразом числа «-4» является подмножество 1( 4) 2f , так

как, по определению, 1 2 2( 4) ( ) 4 4 4 4 4 0 { 2}x f f x x x x x x . Аналогично

получаем, что 1( 3) 1;3f , 1(45) 5;9f и 1( 5) .f

Найдем полный прообраз подмножества [0;5] .


ПУ

72

72

1 2([0;5]) ( ) [0;5] 0 4 5x f f x x x

2

2

4 5 0[ 1;0] [4;5]

4 0

x xx

x x.

Таким образом, 1([0;5]) [ 1;0] [4;5]f . Тот же ответ можно было бы получить

из графика:

Аналогично доказывается, что 1([ 5;5]) [ 1;5]f .

Задача 4.

Дано отображение :f X Y . Известно, что 1 2,B Y B Y . Доказать, что 1 1 1

1 2 1 2( ) ( ) ( ).f B B f B f B

Необходимо доказать равенство множеств. Запишем его следующим

образом: 1 1 1

1 2 1 2( ) ( ) ( )x x f B B x f B f B . Пусть 1

1 2( )x f B B , по

определению полного прообраза это равносильно следующему:

1 2( ) ( )f x B B (по определению пересечения множеств)

1 2( ) ( )f x B f x B (по определению полного прообраза) 1 1

1 2( ) ( )x f B x f B (по определению пересечения множеств) 1 1

1 2( ) ( )x f B f B , что и требовалось доказать.

Задача 5.

Даны отображения 2: :f R R x x ; : : sing R R x x ; : : 3xh R R x .

Найти следующие отображения: f g , g f , ( )h g f , ( )f g h .

По определению, 2: : sing f R R x x , так как 2 2( )( ) ( ( )) ( ) sinx g f x g f x g x x . 2: : sinf g R R x x , так как

2( )( ) ( ( )) (sin ) sinx f g x f g x f x x .

Далее, 2sin( ) : : 3 xh g f R R x так как

22 sin( ( ))( ) (( )( )) (sin ) 3 xx h g f x h g f x h x .

Аналогично получим: 2( ) : : sin 3xf g h R R x , 2( ( ))( ) ( ( ( ))) ( (3 )) (sin3 ) (sin3 )x x xf g h x f g h x f g f .


ПУ

73

73

Задача 6.

Для отображения 2: : 4 ( , )f X Y x x x X R Y R


8) Если нет, найти наибольшее по включению подмножество 1X X

такое, что отображение 1 1: : ( )f X Y x f x будет инъективным.


10) Если нет, найти такое наибольшее по включению подмножество

1Y Y , что отображение 2 1: : ( )f X Y x f x будет сюръективным.




13) Является ли отображение 3f обратимым? Если да, найти 1

3f .

График данной функции выглядит следующим образом:

1. Отображение не является инъективным, так как, например, 1 1x и

2 5x отображаются в одно и то же число 5 ( 1 2x x , но 1 2( ) ( )f x f x ).

2. Отображение инъективно на промежутках, где функция строго

возрастает или строго убывает. Таким образом, в качестве 1X можно взять

промежуток ( ;2] или [2; ) . Действительно, на промежутке 1 ( ;2]X

функция строго убывает, т.е. 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x . В таком случае,

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x .

3. Отображение не является сюръективным, так как, например, 1( 7)f .

4. Из графика видно, что для того, чтобы отображение было

сюръективным, необходимо, чтобы 4y , т.е. 1 [ 4; )Y .

5. Из пунктов 1 и 2 следует, что отображение биективным не является.


ПУ

74

74

6. Если в отображении f вместо множества Y взять 1Y , то получим

сюръективное отображение. Для инъективности достаточно множество X

заменить на 1 ( ;2]X . Получим: 3 : ( ;2] [ 4; ) : ( )f x f x .

7. Так как 3f - биекция, то отображение обратимое. Найдем 1

3f .

Если 3 : ( ;2] [ 4; )f , то 1

3 :[ 4; ) ( ;2]f . Осталось выяснить, как

действует обратное отображение на каждый элемент. Известно, что 2

3( ) 4y f x x x . Тогда 2 2 24 4 4 ( 2) 4 4 ( 2) 2 4y x x x y x x y . Так как ( ;2]x ,

то 2 4x y . Таким образом, 1

3 :[ 4; ) ( ;2]: 2 4f y y . Убедимся,

что это отображение действительно является обратным к 3f . Для этого

должно выполняться условие: 1 1

1 1

3 3 3 3,X Yf f e f f e . Действительно, 1 1

3 3 3 3: ( ;2] ( ;2] : , :[ 4; ) [ 4; ) :f f x x f f y y , так как

1 1 1 2 2 2

3 3 3 3 3( )( ) ( ( )) ( 4 ) 2 4 4 2 ( 2) 2 2f f x f f x f x x x x x x x и 1 1 2

3 3 3 3 3( )( ) ( ( )) (2 4) (2 4) 4(2 4)f f y f f y f y y y y .


ПУ

75

75

Метод математической индукции

Пример 1. Докажите, что при всех натуральных n ≥ 5 2n>n

2 .

В данном примере n0=5

База индукции: 25>5

2- истинно так как 32 >25

Пусть утверждение верно при n=k≥5, то есть 2k>k

2. Требуется доказать,

что 2k+1

> (k+1)2.

Используя то, что 2k>k

2 (посылка индукции), умножим обе части этого

неравенства на 2: 2k+1

> 2k2. Если мы докажем, что при k ≥ 5, 2k

2> (k+1)

2, то

утверждение будет доказано.

2k2>(k+1)

2 2k

2>k

2+2k+1 k

2-2k-1>0

1 2 1 2; ;

2 2k .

Так как рассматриваемые значения 1 2

52

k , то при них неравенство

2k2>(k+1)

2

Пример 2. Докажите, что при всех натуральных значениях n (4n+15n-1)

9.

Решение 1.

База индукции. При n=1 (4+15-1) 9 – истинна.

Пусть утверждение истинно при n=k, то есть (4k+15k-1) 9.

Требуется доказать его истинность при k=n+1, то есть, что (4k+1

+15(k+1)-

1) 9

Первое слагаемое по посылке индукции кратно 9. Для того, чтобы сумма

была кратна 9 необходимо и достаточно чтобы было кратно 9, что

равносильно тому, что кратно 3 при всех натуральных значениях k.

Утверждение, что , докажем, используя метод

математической индукции.

База индукции. При n=1 (4+5) 3

Пусть утверждение верно при n=k, то есть, что

Докажем истинность при n=k+1, то есть, что

Первое слагаемое, очевидно кратно 3. Второе слагаемое кратно 3 по

посылке индукции, следовательно, сумма кратна 3.

Решение 2. Используем начало предыдущего решения. Иным способом

покажем, что из того, что (4+15-1) 9 следует, что (4k+1

+15(k+1)-1) 9.

(4k+1

+15(k+1)-1)=

Последняя сумма, очевидно кратна 9. Иногда в качестве базы индукции

удобно взять n=0. В этом примере 40+15*0-1=0 9. Таким образом,


ПУ

76

76

доказанная кратность верна при всех целых неотрицательных значениях n.

Иногда применяются иные методы математической индукции.

Пример 3. Докажите, что если – целое число, то при всех целых

значениях n – целое.

Решение.

Обозначим xn= . Докажем, что при всех целых неотрицательных

значениях n xn

В базе индукции рассмотрим два значения n.

При n=0 x0=2

При n=1 x1 по условию.

Пусть при всех , таких, что . Тогда

Следовательно, . По посылке индукции все числа,

стоящие справа – целые, значит, и - целое.

Для утверждение доказано. Так как , то оно верно

для всех целых n.

Заметим, что в базе индукции рассмотрены два последовательных целых

значения n так как, при доказательстве того, что было

использовано то, что два предыдущих числа - целое.

Следует заметить, что используя метод математической индукции при

доказательстве истинности P(k+1) мы обязательно должны использовать

истинность посылки индукции. Это видно в приведенных выше примерах.


ПУ

77

77

Раздел 4. Контрольный блок

Вопросы к зачету.

1. Высказывания. Логические союзы. Отрицание. Конъюнкция.

Дизъюнкция. Импликация. Эквиваленция.

2. Формулы логики высказываний. Равносильные формулы. Законы

логики. Доказательство одного из законов. Таблицы истинности.

3. Доказательства. Логическое следствие. Методы доказательств. Метод

доказательства от противного. Примеры.

4. Множества. Элемент множества. Подмножество. Равенство множеств.

Теорема о равных множествах (доказательство).

5. Операции над множествами. Универсальное множество. Дополнение

множества.

6. Предикаты. Выполнимый и общезначимый предикат. Кванторы

всеобщности и существования. Примеры.

7. Декартово произведение множеств. Упорядоченная пара. Примеры.

Доказательство одного из свойств.

8. Бинарные отношения между множествами. Область значений и область

определения бинарных отношений. Обратное бинарное отношение.

Доказательство одного из свойств. Примеры.

9. Отображения. Примеры. Теорема о равенстве отображений

(доказательство). Свойства отображений.

10. Тождественное отображение. Образ элемента; множества. Полный

прообраз элемента; множества. Примеры.

11. Композиция отображений. Примеры. Ассоциативность композиции

отображений. Теорема об инъективности (доказательство),

сюръективности и биективности композиции отображений.

12. Обратное отображение. Примеры. Критерии существования обратного

отображения (доказательство одного из них). Степень преобразования.

13. Бинарные отношения на множестве. Свойства бинарных отношений.

Примеры.

14. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Разбиение

множества. Фактор-множества. Теорема о смежных классах

(доказательство). Примеры.

15. Отношение частичного порядка. Отношение строгого порядка.

Наибольший, наименьший, максимальный и минимальный элементы

упорядоченного множества. Свойства (доказательство одного из них).

Примеры.

16. Мощность множества. Конечные множества. Счетные

множества.Примеры.

17. Метод математической индукции. Примеры.


ПУ

78

78

Задания для подготовки к контрольной работе

1. Записать множества, используя различные формы их задания:

e. Множество всех целых чисел, кратных 5;

f. Множество всех нечетных целых чисел;

g. Множество всех целых чисел, не превосходящих по модулю 3;

h. Множество действительных корней уравнения 3 22 8 0x x x .

2. Найти A B , A B , \A B и \B A , если:

l. [0;2], [1;5]A B ;

m. [1;3], (2;3)A B ;

n. [2;5], (3;4]A B ;

o. ( 4; ), ( ;5]A B ;

3. Докажите, что для произвольных множеств А, В, и С выполняется

равенство. Дайте иллюстрацию на диаграммах Эйлера.

1) ( \ ) ( ) \ ( \ )A B A C A B C

2) ( \ ( \ )) ( )A B C A B A

3) ( \ ) ( ) \ (( ) \ )A B A C A A B C

4) ( \ ( ))A B B A B

4. . Для отображения 2: : 4 3f R R x x x найти:

(2); (4);f f ([ 3;3]); ((1;4]);f f ([0;3] \{2}); ([0;3] \{1});f f ([3; )); ([0; ));f f1(( ;3)); (3);f f 1 1( 3); (8);f f 1 1(1); ([3;8));f f 1 1([1;3]); (( 7;8]);f f

1(( 1; ))f .

5. Для отображения f


15) Если нет, найти наибольшее по включению подмножество

1X X такое, что отображение 1 1: : ( )f X Y x f x будет

инъективным.


17) Если нет, найти такое подмножество 1Y Y , что отображение

2 1: : ( )f X Y x f x будет сюръективным.




20) Найти 1

3f

h. 2: : 4f R R x x ;

i. 2: : 3 2f R R x x x ;

j. 1: : 2xf R R x ;

6. Дано отображение :f X Y . Известно, что B Y . Доказать, что 1( ( ))f f B B .


ПУ

79

79

7. Дано отображение :f X Y . Известно, что 1 2,A X A X . Доказать,

что 1 2 1 2( ) ( ) ( )f A A f A f A . Привести пример, когда

1 2 1 2( ) ( ) ( )f A A f A f A .

8. Доказать, что если отображение :f X Y - инъективное, то для

любых 1X X и 2X X имеет место равенство:

1 2 1 2( ) ( ) ( )f X X f X f X .

9. Даны отображения , ,f g h . Найти отображения f g , g f , ( )h g f ,

( )f g h , ( )f g h , если они

существуют. 2

0: : 1f R R x x ; : : cosg R R x x ;

0: : 2xh R R x .

10. Даны отображения :f X Y , :g Z X . Известно, что f g -

сюръективное отображение. Что можно сказать об отображениях ,f g ?

11. На множестве А для каждого из следующих отношений укажите,

какими свойствами оно обладает.

a. ; ( ) 3A Z x y x y ;

b. ; ( 3) ( 3)A R x y x y ;

c. ; min{ ; } 3A R x y x y

d. ; (3 ) 2A Z x y x y ;

e. ; ( ) 7A R x y x y ;

12. На множестве R найти область значений и область определения


обладают.

c. [0;2] [1;4].

13. Доказать, что следующие отношения являются отношениями

эквивалентности на множестве A и найти фактор-множества /A :

h. ; ( ) 5A Z x y x y ;

i. ;A R x y x y ;

j. ; (5 3 ) 2A Z x y x y ;

14. Пусть n . Доказать равенство методом математической индукции:

a. 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ...

6

n n nn .

b. 3 3 3 3 2 21 3 5 ... (2 1) (2 1)n n n

c. 2 2 2 ( 1)( 2)(3 1)2 1 3 2 ... ( 1)

12

n n n nn n

d. 2 2 21 2 ( 1)

1 3 3 5 (2 1) (2 1) 2 (2 1)

n n n

n n n.

15. Пусть n . Вычислить:

d. 1 1 1

1 3 3 5 (2 1) (2 1)n n.

e. 1 1 1 1

...4 7 7 10 10 13 (3 1) (3 4)n n


ПУ

80

80

16. Пусть n . Доказать равенство:

f. 1 1 1 1 1 1 1 1

12 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n

.

17. Пусть n . Доказать кратность:

a. 2 2(6 3 3 ) 11n n n .

b. 1(5 2 3 1) 8n n .

18. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел

кратна 9.

19. Пусть ,if i N - члены последовательности Фибоначчи. Доказать:

a. 1 3 2 1 2n nf f f f .

b. 1 2 3 4 2 1 2 2 11n n nf f f f f f f .

c. 2

1 2 2 3 2 1 2 2n n nf f f f f f f .

d. 5 5nf .

20. Доказать неравенства:

a. при 3n 1 1 1 3

1 2 2 5n n n.

b. при 1n 1 1 1

1 2n

n.


ПУ

81

81

Раздел 5. Литература

Основная литература

1. Вольвачев Р.Т. Элементы математической логики и теории множеств.

Мн.: Университетское, 1986, 112 с.

2. Кононов С.Г., Тышкевич Р.И., Янчевский В.И. Введение в математику.

В 3ч. Мн.: БГУ., 2003., Ч 1., 126 с.; 2003., Ч 2., 72 с.; 2003., Ч 1., 126 с.

3. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука., 1984.,

320с.

4. Шнеперман Л.Б. Курс алгебра и теории чисел в задачах и упражнениях:

В 2 ч. Мн.: Вышэйшая школа, 1986. Ч.1., 274 с.; 1987. Ч.2., 258 с.

5. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.:

Вышэйшая школа, 1982, 223 с.

Дополнительная литература

6. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и

самостоятельной работы : учеб.-метод. пособие. В 2 ч. Ч. 1. Введение в

алгебру. Мн.: БГПУ, 2005, 134 с.

7. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную

математику. М.: Мир.,1965, 486 с.

8. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств,

математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 1984, 223с.

9. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Мир.,

1968, 230с.


ПУ

b c a b l h j - bspu · Высказывания. Логические союзы. Операции...

Documents