(nem lesz számon kérve)

BEFEKTETÉSEK TECHNIKAI KÉRDÉSEI

Portfólió-választás (I.)

Láttuk: cél a maximális várható hasznosságot nyújtó portfólió kialakítása (Markowitz/Sharpe)

Szükséges input paraméterek: Várható hozamok Szórások Korrelációs együtthatók Kockázatkerülési együttható

Ezek ismeretében: optimális súlyok kiszámítása

Portfólió-választás (II.)

Hogyan becsüljük a szükséges input paramétereket? Jellemzően múltbeli adatokból… Ehhez fontos feltételezés: a hozamok (együttes)

valószínűség-eloszlásának időbeli stabilitása Azaz: a várható hozam, szórás, korreláció időben nem

változik Tehát a különböző időpontbeli megfigyelések mind

ugyanabból az elméleti eloszlásból származnak Ekkor a múltbeli megfigyelésekből rekonstruálható (persze

némi bizonytalansággal) az elméleti eloszlás → Statisztika, becsléselmélet

Portfólió-választás (III.) Várható hozam: múltbeli

hozamok egyszerű számtani átlaga:

Hozam szórása: múltbeli hozamok korrigált empirikus szórása:

Korrelációs együttható: múltbeli hozamok közötti empirikus korrelációs együttható:

�̂� (𝑟 𝑖 )=∑𝑡=1

𝑛

𝑟 𝑖 , 𝑡𝑛 =𝑟 𝑖

�̂� (𝑟 𝑖 )=√∑𝑡=1

𝑛

(𝑟 𝑖 , 𝑡−𝑟 𝑖 )2

𝑛−1

𝑘𝑖 , 𝑗=∑𝑡=1

𝑛

(𝑟 𝑖 , 𝑡−𝑟 𝑖 ) (𝑟 𝑗 ,𝑡−𝑟 𝑗 )

√∑𝑡=1

𝑛

(𝑟 𝑖 ,𝑡−𝑟 𝑖 )2∑𝑡=1

𝑛

(𝑟 𝑗 , 𝑡−𝑟 𝑗 )2

Portfólió-választás (IV.)

Ezek az elméleti paraméterekre vonatkozó becsléseink, „legjobb tippjeink”

De nem (biztosan) egyenlőek az elméleti paraméterrel, mert egy véletlen mintán alapulnak

(És a három közül csak a várható hozam becslése ún. torzítatlan, azaz várhatóan az elméleti paramétert adja; matekosan: )

Technikai kérdések/problémák: Milyen időtávon reális az állandóság feltételezése? (azaz, milyen

távolra tekinthetünk a múltba?) Pl. egy hónap, egy év? Minél nagyobb a minta, annál jobb a becslés, de annál kevésbé reális az

állandóság… Milyen felbontást nézzünk: napi, havi, éves?

Portfólió-választás (V.)

Még egy-két megjegyzés a hozamokhoz… Árfolyamadatokból számoljuk őket – szükség lehet az

árfolyamadatok korrekciójára Pl. osztalékfizetés és címletmegosztás miatt D: osztalék, „ex-dividend” napon hozzáadva (=ameddig a

napig meg kell venni a részvényt, hogy jogosult legyen az osztalékra)

f: címletmegosztási faktor – pl. ha 1 db részvényből lett 2 db, akkor f = 2; ha 2 db-ból 3 db, akkor f = 1,5

Azonos devizában számoljunk Reálhozamokat számoljunk – a devizának megfelelő

inflációval

𝑟 𝑡=𝑓 𝑡 (𝑃𝑡+𝐷𝑡 )

𝑃 𝑡 −1−1

Portfólió-választás (VI.)

Még egy-két megjegyzés a hozamokhoz… (folyt.) Különböző hosszúságú időszakokra vonatkozó

hozamok közötti átváltások: Fontos feltételezés: az egyes időszakok hozamai

korrelálatlanok egymással! Várható hozam:

~kamatos kamatozás Hozam szórása:

Pl. haviból éves: t = 1 hónap, T = 12 hónap

𝐸 (𝑟 𝑇 )=(1+𝐸 (𝑟 𝑡 ) )𝑇𝑡 −1

𝜎 (𝑟𝑇 )=√(𝜎2 (𝑟 𝑡 )+(1+𝐸 (𝑟 𝑡 ))2)𝑇𝑡 − (1+𝐸 (𝑟 𝑡 ))

2 𝑇𝑡

Portfólió-választás (VII.) Kockázatkerülési együttható mérése: pl. kérdőíves módszerrel Pl. Hanna és Lindamood (2004): nyugdíjkonstrukciók közötti

választás „Tegyük fel, hogy Ön éppen most készül nyugdíjba vonulni, és

nyugdíját illetően az alábbi két lehetőség közül választhat: Az A lehetőség a nyugdíjazása előtti éves jövedelmével

megegyező éves jövedelmet kínál. A B lehetőség 50% eséllyel az eddigi éves jövedelmének

dupláját kínálja, azonban ugyanekkora a valószínűsége annak is, hogy Ön ezentúl eddigi jövedelménél csak x %-kal kisebb éves összeghez jut.

(Ön semmilyen egyéb jövedelemmel nem rendelkezik majd nyugdíjas évei alatt. Minden jövedelem adózás után értendő.)”

Portfólió-választás (VIII.)

Az x% helyére beírt 50%, 33%, 20%, 10%, 8% és 5% változatok

Ábra illusztrálja a döntési helyzetet:

Több lépcsőben, mindig két változat közül kell választaniA B~5% B~8% B~10% B~20% B~33% B~50%

Portfólió-választás (IX.)

A minősítések:

x% Minősítés A

50%-nál több különösen alacsony 0,5 (0–1)

33–50% nagyon alacsony 1,5 (1–2)

20–33% alacsony 2,9 (2–3,8)

10–20% közepes 5,7 (3,8–7,5)

8–10% magas 8,4 (7,5–9,3)

5–8% nagyon magas 11,9 (9,3–14,5)

5%-nál kevesebb különösen magas 16 (14,5–)

Portfólió-választás (X.) A kérdőíves felmérések átlaga A = kb. 2-7

A0,5 1,5 2,9 5,7 8,4 11,9 16,0Különösen alacsony

Nagyon alacsony Alacsony Közepes Magas Nagyon

magasKülönösen

magas

10%

20%

30%

40%Férfiak

Nők

Portfólió-választás (XI.)

Ha mindezzel megvagyunk, jöhet az optimalizálás! A korábbi képletek helyett praktikusabb a mátrixos

felírás, ahol a: súlyvektor, r: hozamvektor, valamint C: kovariancia-mátrix:

𝑟=[𝐸 (𝑟1 )𝐸 (𝑟 2)⋮

𝐸 (𝑟𝑛− 1 )𝐸 (𝑟 𝑛)

]𝑎=[𝑎1

𝑎2

⋮𝑎𝑛− 1

𝑎𝑛]

Portfólió-választás (XII.)

Érdemes megjegyezni, hogy:

Látható, hogy a már ismert képletet írjuk, csak más formában… (Megj.: az alábbi képlettel becsült kovariancia torzítatlan)

𝐶=[𝑐𝑜𝑣 (𝑟 1 ,𝑟1 ) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟 1,𝑟2 ) ⋯ 𝑐𝑜𝑣 (𝑟1 ,𝑟𝑛− 1) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟1 ,𝑟𝑛)𝑐𝑜𝑣 (𝑟2 ,𝑟1 ) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟 2,𝑟2 ) ⋯ 𝑐𝑜𝑣 (𝑟 2 ,𝑟𝑛− 1) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟2 ,𝑟𝑛)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮𝑐𝑜𝑣 (𝑟𝑛− 1 ,𝑟1 ) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟𝑛−1 ,𝑟 2 ) ⋯ 𝑐𝑜𝑣 (𝑟𝑛− 1 ,𝑟𝑛− 1 ) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟𝑛−1 ,𝑟𝑛)𝑐𝑜𝑣 (𝑟 𝑛 ,𝑟 1 ) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟𝑛 ,𝑟2 ) ⋯ 𝑐𝑜𝑣 (𝑟 𝑛 ,𝑟 𝑛−1 ) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟 𝑛 ,𝑟 𝑛)

]𝑐𝑜𝑣 (𝑟 𝑖 ,𝑟 𝑗 )=𝑘𝑖 , 𝑗𝜎 (𝑟 𝑖 )𝜎 (𝑟 𝑗 ) 𝑐𝑜𝑣 (𝑟 𝑖 ,𝑟 𝑖 )=𝜎 2 (𝑟 𝑖 )

𝑐𝑜𝑣 (𝑟 𝑖 ,𝑟 𝑗 )=∑𝑡=1

𝑛 (𝑟 𝑖 ,𝑡−𝑟 𝑖) (𝑟 𝑗 ,𝑡−𝑟 𝑗 )𝑛−1

( )

Portfólió-választás (XIII.)

A célfüggvény:

Korlátozó feltételek:

Kvadratikus programozási feladat (Megj.: aTr = rTa, és J pedig egy csupa 1-esekből

álló vektor, 0 pedig egy csupa 0-ból álló vektor)

𝑈=𝑎𝑇 𝑟 −0,5 𝐴𝑎𝑇𝐶𝑎→𝑚𝑎𝑥 !

𝑎𝑇 𝐽=1 𝑎≥0 𝐸 (𝑟 𝑃 ) 𝜎 2 (𝑟𝑃 )

Bétabecslés (I.)

Index választása piaci portfóliónak Az adott befektetés és az index múltbeli hozamainak

kiszámítása Lásd hozamszámítási megjegyzéseket korábban!

Továbbra is feltételezzük az együttes eloszlások időbeli stabilitását Időtáv és felbontás itt is kérdés

Az alábbi egyenletet becsüljük (indexmodell; α tengelymetszet, ε „véletlen zaj”) [lineáris regresszió]:

𝑟 𝑖−𝑟 𝑓=𝛼 𝑖+𝛽𝑖 (𝑟𝑀−𝑟 𝑓 )+𝜀𝑖

Bétabecslés (II.) Nézzük meg részletesebben az egyenlet tagjait! ri – rf és rM – rf hozamprémiumok (excess returns),

jelölésileg gyakran Ri és RM A β a karakterisztikus egyenes meredeksége Az ε a korábban tárgyalt feltételes eloszlás, a

diverzifikálható kockázati hatás, várható értéke nulla Így a becslendő egyenlet várható értékét véve:

Ami alapjában a már jól ismert CAPM egyenlet Az α tehát nem különbözhet nullától, ha a CAPM szerinti

egyensúly fennáll!

𝐸 (𝑟 𝑖 )−𝑟 𝑓=𝛼𝑖+𝛽𝑖 (𝐸 (𝑟𝑀 )−𝑟 𝑓 )

Bétabecslés (III.) Az említett egyenlet paramétereinek becslésére tipikusan

alkalmazott módszer: klasszikus legkisebb négyzetek (OLS) módszere

Elve (az indexmodell jelöléseivel):

Ahol n a megfigyelések száma, a kalap pedig a becsült paramétert jelöli

Ezen becslés statisztikai tulajdonságaira most nem térünk ki részletesen…

𝑄=∑𝑡=1

𝑛

(𝑅𝑖 ,𝑡−𝛼𝑖− 𝛽𝑖𝑅𝑀 ,𝑡 )2→𝑚𝑖𝑛!

Bétabecslés (IV.)

Mivel a becslés valamilyen véletlen mintán alapul, így a becsült paraméterekkel kapcsolatban van valamilyen bizonytalanság

Mit próbálunk megvizsgálni ezzel a bizonytalansággal kapcsolatban? – például: Az alfa statisztikailag szignifikánsan különbözik-e nullától?

„Statisztikailag szignifikáns”: nem a véletlen műve, hogy olyat mértünk, amilyet – pl. nem véletlenül mértünk nullától különböző alfát, mert az elméleti (valós) alfa is különbözik nullától

Persze erről is csak „korlátozott bizonyossággal” nyilatkozhatunk Milyen tartományba esik az elméleti (valós) béta adott

valószínűséggel? Ezekkel az ún. hipotézisvizsgálatokkal technikailag

részletesebben most nem foglalkozunk…

TŐKEPIACI HATÉKONYSÁG

Tőkepiaci hatékonyság (I.)

Néhány gondolat a tőkepiaci hatékonyságról… Hatékonyság ~ valaminek a működési „jósága” Tőkepiacon most: az árazás megfelelősége ~Tökéletes tőkepiaci árazás

A tőkepiaci árfolyamok minden pillanatban az akkor rendelkezésre álló összes információt teljességgel tükrözik,

Egyensúlyban vannak, amely egyensúlyból csak új információ hatására mozdulhatnak ki

→ A piac az újonnan megjelenő információkra azonnal és helyesen reagál

Efficient market hypothesis (EMH)

Tőkepiaci hatékonyság (II.)

A definíció így eléggé általános: pl. mit jelent, hogy „teljességgel tükrözi”, „egyensúly”, „helyesen reagál”?

Szükség van egy egyensúlyi modellre: pl. CAPM Persze nem a CAPM az egyetlen lehetséges modell…

Mi tárgyalásunkban most: egy árfolyam a rendelkezésre álló információkat teljeséggel tükrözi, ha a pillanatnyi várható hozama megegyezik a CAPM alapján megadhatóval

Két fő „hozam-elem”: Normál hozam: az egyensúlyi modell szerinti várható hozam Abnormál hozam: ami a normál hozam felett vagy alatt

adódik

Tőkepiaci hatékonyság (III.) A hozam valószínűségi változó, a várható értéke csak egy

kitüntetett érték → valamekkora abnormális hozam szinte mindig van (~várható vs. tényleges hozam)

Az EMH nem tagadja az abnormál hozamok létezését, de azt mondja, hogy ezek várható értéke nulla!

Ugyanígy: az új információk elmozdíthatják az árfolyamot, de mégsem érhetünk el velük várhatóan többlethozamot Az érkező információk végtelenül gyorsan beépülnek az árfolyamba Így árfolyamváltozás csak új információk hatására következhet be Az „új” pedig épp attól új, mert jelen tudásunknak egyáltalán nem

része – teljességgel véletlenszerű kell, hogy legyen (nulla várható értékkel)

Más szóval: ha tudnánk, hogy holnap emelkedni fog, már ma emelkedett volna

Tőkepiaci hatékonyság (IV.) Ha az abnormális hozamok előre jelezhetetlenek, akkor az

árfolyamok a normál hozamok szerint rendeződnek Következmény: tőkepiaci tranzakciók nulla NPV-jűek kell, legyenek

Tőkeköltségük pont a várható hozamuk → gazdasági profit zérus – vö. profit forrásai (különleges tudás hiánya)

Ezt is tekinthetnénk a tőkepiaci hatékonyság általános definíciójának (NPV = 0)

Az árfolyamok bolyongása (random walk [with drift]) Minden időpontban a normál hozam szerinti emelkedésre

számíthatunk + egy véletlen „zaj” komponensre (abnormál hozam, új információk érkezése) nulla várható értékkel

A „trendtől” tetszőlegesen eltávolodhat, és a távolabbi jövő egyre bizonytalanabb (időben növekvő variancia)

Tőkepiaci hatékonyság (V.)

Példa lehetséges bolyongó árfolyam-realizációkra:

05 0 0 0

1 0 0 0 01 5 0 0 02 0 0 0 02 5 0 0 03 0 0 0 03 5 0 0 04 0 0 0 0

19

91

.01

.02

19

92

.01

.02

19

93

.01

.02

19

94

.01

.02

19

95

.01

.02

19

96

.01

.02

19

97

.01

.02

19

98

.01

.02

19

99

.01

.02

20

00

.01

.02

20

01

.01

.02

20

02

.01

.02

20

03

.01

.02

20

04

.01

.02

D á tu m

BUX

inde

x

05 0 0 0

1 0 0 0 01 5 0 0 02 0 0 0 02 5 0 0 03 0 0 0 03 5 0 0 04 0 0 0 0

19

91

.01

.02

19

92

.01

.02

19

93

.01

.02

19

94

.01

.02

19

95

.01

.02

19

96

.01

.02

19

97

.01

.02

19

98

.01

.02

19

99

.01

.02

20

00

.01

.02

20

01

.01

.02

20

02

.01

.02

20

03

.01

.02

20

04

.01

.02

D á tu m

BUX

inde

x

Tőkepiaci hatékonyság (VI.) A háttérben embertömegek viselkedése, mi csak a

„végeredményt” látjuk – így teljességében nem is vizsgálható A hatékonyság szintekre bontása:

Gyenge szint (weak form): a különböző pénzügyi változók (pl. árak, volumenek, osztalékok, kamatok, számviteli eredmények stb.) idősorának információtartalmát teljességgel tükrözik (historical information)

Félerős szint (semi-strong form): a nyilvánosan bejelentett, vállalat (befektetés, részvény) jövőjére vonatkozó információkat teljességgel tükrözik (public information)

Erős szint (strong form): a magán („titkos”) információkat is teljességgel tükrözik (private information)

A különböző szintek tesztelésére különböző módszerek vannak

Tőkepiaci hatékonyság (VII.)

Az alfáról újra… Az alfa az abnormális hozam várható értéke Hatékony árazódás esetén az alfa nem különbözhet nullától Különben az adott befektetés várható hozama nagyobb/kisebb

lenne, mint a CAPM által diktált (azaz, mint az elvárt hozam, a tőkeköltség) → a befektetés NPV-je pozitív/negatív lenne

Az alfa alapján tehát megítélhető pl. egy befektetési stratégia eredményessége: képes volt-e (szignifikáns) pozitív alfát elérni? Azaz, tőkeköltség feletti várható hozamot produkálni Jensen (1968) után „Jensen-alfa” Metódus: a stratégia szerinti hozamok előállítása, majd alfájának

becslése + hipotézisvizsgálatA témáról részletesebben: Tőzsdei spekuláció (BMEGT35A007)