b lugares geométricos 1 en el plano promociîn · división de un segmento en una razón dada...
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B
Detalle de una colonia de Clavelina lepadiformis. Se observa que la forma exterior de cada individuo describeuna nefroide.
Lugares geométricosen el plano1
MATERIAL D
E PROMOCIÓ
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10
IntroducciónEn este bloque conocerás los elementos básicos de la geometría analítica, primero te fami-
liarizarás con los sistemas de coordenadas rectangulares y aprenderás a identifi car puntos y
segmentos en esos sistemas reconociendo algunas de sus propiedades, como su medida y la
razón en la que un punto divide a un segmento; utilizarás estos conceptos para calcular áreas
y perímetros de polígonos en el plano. Finalmente identifi carás qué es un lugar geométrico.
Lugar geométrico
de líneas rectas
y curvas
Perímetros
y áreas de figuras
en el plano
Sistemas de
coordenadas
rectangulares
Área de un
triángulo
dados sus
vértices
Área de un
polígono
dados sus
vértices
Segmentos
rectilíneos y
distancia entre
dos puntos
División de un
segmento en
una razón dada
Lugares
geométricos
Fig. 1.1 Esquema de temas del bloque 1.
Lugares geométricos de líneas rectas y curvasLa geometría analítica es muy útil porque permite el estudio de objetos tanto geométrica
como algebraicamente. Esto se hace a partir de sistemas de referencia que asocian un punto
representado en un plano con sus coordenadas, lo cual da la posibilidad de asociar a ciertos
conjuntos de puntos con características comunes con una expresión algebraica.
El hecho de poder representar una recta o una curva por medio de una ecuación tiene
muchas aplicaciones; por ejemplo, en física se usa para describir trayectorias de movimiento,
desde cómo cae un objeto que es lanzado, hasta las órbitas de los planetas, también se usa
para representar, en cualquier ciencia, la proporcionalidad directa o inversa de dos variables.
La geometría analítica abrió las puertas para estudiar los problemas geométricos desde
una perspectiva diferente y eso permitió que las matemáticas avanzaran mucho, al igual
que otras ciencias, particularmente la física. En el mundo actual, algunos inventos, como el
sistema de navegación de un avión o el GPS (siglas en inglés para sistema de posicionamiento
global) no funcionarían sin un método geométrico-analítico de referencia.
Evaluación diagnóstica,
p. 3
La geometría analítica cuenta con fecha de nacimiento: el 10 de noviembre de 1619, Descartes se encontraba acampando con el ejército al que servía, a las orillas del Danubio, cuando un sueño lo invitó a dejar esa vida de aventuras, por una de meditación consagrada a la ciencia y la filosofía. Dice la leyenda que, entre otras cosas, sentó en su mente los fundamentos de la geometría analítica, 18 años antes de que publicara su famoso Discurso del Método. Pero hubo una polémica, se dice que Pierre de Fermat se anticipó a la geometría analítica años antes que Descartes, aunque nunca publicó sus ideas.
INFORMACIÓN IMPORTANTE
Sistemas de coordenadas rectangularesEl sistema de referencia más utilizado para representar puntos en un plano es el de coorde-
nadas rectangulares, que estudiaremos en esta sección, a ese sistema se le llama también plano
cartesiano en honor a René Descartes (1596-1650), matemático y fi lósofo francés que inventó
dicho sistema para representar las fi guras geométricas.
1Lugares geométricos en el plano
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Definiciones.
Un sistema de coordenadas rectangulares consta de dos ejes perpendiculares, uno de los cuales
es horizontal, al cual se le llama eje de las abscisas y suele denotarse como eje x; el otro eje,
vertical, se llama eje de las ordenadas y suele denotarse como eje y.
Al punto de intersección de los ejes se le denomina origen. Desde el origen sobre el eje x
hacia la derecha están los números positivos, y hacia la izquierda, los negativos. Desde el origen
sobre el eje y hacia arriba están los números positivos, y hacia abajo, los negativos (figura 1.2a).
Cada uno de los cuatro sectores en que los ejes dividen al plano se denomina cuadrante.
Para identificar cada cuadrante se numeran con números romanos comenzando por el
superior derecho y de forma consecutiva en sentido inverso a las manecillas del reloj, se les
denomina respectivamente primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes (figura 1.2b).
Fig. 1.2a Sistema de coordenadas rectangulares. Fig. 1.2b Cuadrantes.
Representación de coordenadasCada punto en el plano tiene una forma única de representarse en el sistema de referencia.
Definiciones.
Las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas rectangulares están definidas por
una pareja de números que se escriben entre paréntesis, separados por una coma. El primer
número representa el lugar que corresponde al punto en el eje de las abscisas y el segundo,
el que le corresponde en el eje de las ordenadas; el orden es muy importante. Para denotar
un punto se escribirá una letra mayúscula que indica el nombre del punto, seguida por sus
coordenadas. De manera genérica se escribirá P x y( , ).
Nota que, un punto con ordenada 0, se localiza sobre el eje x; con abscisa 0, se localiza
sobre el eje y.
Ejemplo. Localiza en el plano cartesiano de la figura 1.3a, página 12, los puntos − −A B(3,1) y ( 2, 4),
− −A B(3,1) y ( 2, 4) y en la figura 1.3b, los puntos − −C D( 2,0) y (1, 3). Escribe al lado de cada punto su nombre.
Solución. Para localizar los puntos, la primer coordenada (abscisa) se localiza desde el origen
sobre el eje x, a partir de esa coordenada se sube o baja la cantidad que indique la segunda
coordenada (ordenada). En las figuras 1.3a y 1.3b se usan flechas para indicar cómo se localizó
cada punto.
II
III
I
IV−2
−3
−4
0
2
1
3
4
−1−1
−3−4 1 2 3 4−2
x
y
Eje de lasordenadas
Eje de lasabscisas
Origen
x
y
−2
−3
−4
0
2
1
3
4
−1−1
−3−4 1 2 3 4−2
Ejercicio 1, p. 4
1
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x
y
A
B
−2
−3
−4
0
2
1
3
4
−1−1
−3−4 1 2 3 4−2
x
y
D
C
−2
−3
−4
0
2
1
3
4
−1−1
−3−4 1 2 3 4−2
Fig. 1.3a Ubicación de los puntos A y B. Fig. 1.3b Ubicación de los puntos C y D.
Fig. 1.4 Ubicación de puntos en el plano.
Ejemplo. Observa los puntos localizados en
el plano cartesiano de la fi gura 1.4 y haz una
tabla en la que se muestre para cada uno su
abscisa, ordenada, coordenadas y cuadrante
o eje en el que se ubica.A
B
C
D
x
y
−2
−3
−4
0
2
1
3
4
−1−1
−3−4 1 2 3 4−2
Solución. Tabla 1.1.
Tabla 1.1 Ubicación de puntos en el plano
Punto A B C D
Abscisa 1 −2 0 3
Ordenada 2 1 −2 −1
Coordenadas (1, 2) (−2, 1) (0, −2) (3, −1)
Cuadranteo eje
I IIEje de las
ordenadasIV
Defi niciones.
• Dado un punto P, un punto P ' es su simétrico con respecto al eje x si su abscisa es la misma
y su ordenada es igual a la ordenada del punto P con signo contrario. Es decir, dado
P x y( , ), su simétrico con respecto al eje x es −P x y'( , ) .
• Dado un punto P, un punto P ' es su simétrico con respecto al eje y si su ordenada es la
misma y su abscisa es igual a la abscisa del punto P con signo contrario. Es decir, dado P x y( , ), su simétrico con respecto al eje y es P ' x, y( ).
• Dado un punto P, un punto P ' es simétrico con respecto al origen si tanto su abscisa como
su ordenada cambian de signo con respecto a las coordenadas de P. Es decir, dado P x y( , ),
su simétrico con respecto al origen es P ' x, y( ).
Para practicar la localización de puntos en el plano cartesiano te sugerimos entrar a http://edutics.mx/UTA.
TIC
Ejercicio 2,p. 4
Actividad 1,pp. 4 y 5
Problema 1,pp. 5 y 6
Lugares geométricos en el plano
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Segmentos rectilíneosDados dos puntos hay muchas formas de unirlos. Imagina que esos dos puntos fueran dos
lugares. Si estuvieras en uno de esos lugares y quisieras llegar al otro hay varias trayectorias
que puedes seguir. Si tuvieras una recta, podrías unir esos dos puntos. A esa trayectoria se le
conoce como segmento rectilíneo, el cual definiremos a continuación.
Definiciones.
• Un segmento rectilíneo es una porción de línea recta que une dos puntos. Para denotarlo
se necesitan nombrar los extremos; por ejemplo, si los extremos del segmento son A y B,
respectivamente, se utilizará la notación AB para nombrar al segmento.
• Cuando en un segmento se define un sentido, se dice que es un segmento dirigido; en
este caso el primer punto se considera el punto inicial, y el segundo, el punto final, y
el segmento se considera que tiene la dirección del punto inicial hacia el punto final.
Cuando se trabaje con segmentos dirigidos, se utilizará la notación � ���AB indicando así
que A es el punto inicial y B es el punto final.
• La longitud de un segmento es la distancia que hay entre sus extremos. Más adelante
explicaremos cómo se calcula. Denotamos la longitud de un segmento AB no dirigido
escribiéndolo entre dos barras: AB . Esta longitud se considerará siempre positiva y
dados ( )A a,0 y ( )B b,0 se calcula como: = −AB b a . Por otro lado, la longitud de un
segmento dirigido puede ser positiva o negativa. Se considera positiva cuando se mide
con dirección del punto inicial al final; en otro caso se considera negativa. Para denotar
la longitud de un segmento dirigido se utilizará � ���AB y se calcula como:
� ���= −AB b a
(es decir, restando extremo final menos extremo inicial).
Nota. AB y � ���AB son los objetos geométricos segmento y segmento dirigido, respectivamente,
mientras que AB es una longitud (siempre positiva) y � ���AB es una longitud con signo. Las
barras no se deberán leer como “valor absoluto”; AB deberá leerse como “longitud del seg-
mento (no dirigido) AB ” y � ���AB como “longitud del segmento dirigido
� ���AB”.
Cuando un segmento no es dirigido da lo mismo nombrarlo AB o BA. Cuando es dirigido,
el orden en el que se dan los puntos es importante.
A continuación, se enuncian algunas propiedades de los segmentos dirigidos.
Propiedades de los segmentos dirigidos
i) En cualquier segmento dirigido:� ��� � ���
= −AB BA .
ii) Si C es cualquier punto colineal con A y B se cumple que:� ��� � �� � ���
+ =AC CB AB .
iii) Esto se puede generalizar afirmando que si los puntos C C C Cn, , , ,1 2 3 son colineales
con A y B, se cumple que:� ���� � ���� � �����
…� ��� � ���
+ + + + =AC C C C C C B ABn1 1 2 2 3 .
iv) Si A, B y D son colineales, AB = AD B = D.
Nota. Usamos el símbolo ⇒ para denotar la implicación lógica q ⇒ r, la cual se lee como:
“si q, entonces r”.
Ejercicio 3, p. 6
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Ejemplos. En la fi gura 1.5, tenemos cinco puntos que, por estar sobre el eje x, son colineales:
A B C D(2,0), (3,0), (5,0), (7,0) y E(10,0).
1. Encuentra AB y BA .
2. Encuentra � ���AB y
� ���BA .
3. Encuentra � ��� � ��
+AB BC .
4. Encuentra � ��� � ��
+AC CB .
5. Encuentra � ��� � �� � �� � ���
+ + +AB BC CD DE .
6. Encuentra � ��� � �� � �� � ���
+ + +AC CE ED DB .
7. Supón dos puntos F y G colineales con D. Muestra que � ��� � ���
= =DF DG F G ⇒
� ��� � ���= =DF DG F G.
Soluciones.
1. = − =AB 3 2 1 y ( )= − = − − =BA 2 3 2 3 1 (¡Ambos positivos! =AB BA por ser seg-
mentos no dirigidos).
2. AB! "!!
= 3 − 2 = 1 y BA! "!!
= 2− 3 = −1 , es decir, � ��� � ���
= −AB BA . (Propiedad i)
3. � ��� � �� � ���
( ) ( )+ = − + − = + = = − =AB BC AC3 2 5 3 1 2 3 5 2 (Propiedad ii)
4. � ��� � �� � ���
( ) ( ) ( )+ = − + − = + − = = − =AC CB AB5 2 3 5 3 2 1 3 2 (Propiedad ii)
5. � ��� � �� � �� � ��� � ���
+ + + = + + + = =AB BC CD DE AE1 2 2 3 8 (Propiedad iii)
6. � ��� � �� � �� � ��� � ���
( ) ( )+ + + = + + − + − = =AC CE ED DB AB3 5 3 4 1 (Propiedad iii)
7. Si bien, los puntos F y G no aparecen en la fi gura 1.5,supongamos que D, F y G son co-
lineales. Si � ���
=DF 2 y � ���
=DG 2 , tenemos entonces que � ��� � ���
= =DF DG F G ⇒
� ��� � ���= =DF DG F G. De hecho,
( )F 9,0 y ( )G 9,0 . (Propiedad iv)
Distancia entre dos puntos
–1 52 8 100 63 9 11–2 41 7
A B C D E
Fig. 1.5 Cinco puntos colineales.
A
BC
DUna primera aplicación del sistema de coordenadas
rectangulares es que, dados dos puntos cualesquie-
ra, podemos calcular analíticamente la distancia
entre ellos si conocemos sus coordenadas. Antes
de construir la teoría, presentamos este sencillo
ejemplo:
Ejemplo. Cuatro amigos: Alfonso (A), Beatriz (B),
Carlos (C) y Diana (D) tienen distribuidas sus gran-
jas en un valle, como se representa en la fi gura 1.6.
¿Cómo se calcularía la distancia entre granjas? Fig. 1.6 La ubicación relativa entrelas cuatro granjas.
Problema 2,p. 6
Lugares geométricos en el plano
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Solución. Para conocer la distancia que hay entre sus propiedades, se les
ocurrió que podrían extender unas cintas métricas entre ellas, como se
muestra en la fi gura 1.7, y tomar nota de las distancias.
Pero esto es más fácil decirlo que hacerlo: las cintas métricas más
largas que existen en el mercado son de, cuando mucho, 100 m. Y si bien
podrían usar un odómetro, no es práctico recorrer semejantes distancias
caminando (fi gura 1.8a y 1.8b).
Afortunadamente, Alfonso encontró un mapa de la región, como se
muestra en la fi gura 1.9, donde cada unidad de la cuadrícula representa
un kilómetro. En este plano, las coordenadas de las granjas son: − − − −A B C D( 2,1), (4, 2), ( 1, 2) y (3,2)
− − − −A B C D( 2,1), (4, 2), ( 1, 2) y (3,2).
Fig. 1.7 Seis segmentos unen las cuatro granjas.
A
BC
D
Si, por ejemplo, quisiéramos ayudarles a deducir la distancia entre la granja de Alfonso
y la de Beatriz, que corresponde a la longitud de AB y representamos como AB , o bien, la
distancia entre la granja de Carlos y la de Diana, o sea CD , entonces podemos valernos de
la cuadrícula para localizar los puntos −P Q(4,1) y (3, 2) con el propósito de completar un par de
triángulos rectángulos: APB CQDy (fi gura 1.10) sobre los que es válido emplear el teorema
de Pitágoras para encontrar las distancias buscadas:
x
y
A
BQ
P
C
D
−1−2 1 2 3 4
−2
1
0
2
−1
Hoy existen nuevas alternativas para medir distancias que han sido inventadas por jóvenes diseñadores. Un caso muy interesante es Bagel Labs, que puedes encontrar en http://edutics.mx/UTA.
AVERIGUA MÁS
Fig. 1.8a Flexómetro de 100 m. Fig. 1.8b Odómetro digital.
Fig. 1.10 Las distancias Alfonso-Beatriz y Carlos-Diana.
= +
= +
= +
= =
≈
AB AP PB
AB
AB
AB
AB
6 3
36 9
45 3 5
6.71 km
2 2 2
2 2 2
= +
= +
= +
= =
≈
CD CQ QD
CD
CD
CD
CD
4 4
16 16
32 4 2
5.66 km
2 2 2
2 2 2
Obsérvese que empleamos símbolos como AB porque los
segmentos no son dirigidos. Además usamos argumentos ex-
clusivamente geométricos, pero en la siguiente sección calcu-
laremos la distancia entre puntos atendiendo exclusivamente
a las coordenadas.
x
−1−2 1 2 3 4
−2
1
0
2
y
−1
A
BC
D
Fig. 1.9 Las cuatro granjas representadassobre el plano cartesiano.
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Fórmula para calcular la distancia entre dos puntosComenzamos por defi nir cuidadosamente el valor absoluto de un número.
Defi nición. Denotamos el valor absoluto de un número x mediante el símbolo x y lo defi -
nimos como x en el caso de que el número sea no negativo, y como −x en el caso de que el
número sea negativo. Simbólicamente:
x =x si x 0
x si x < 0
El cero carece de signo, y se incluye entre los no negativos. Si >x 0, entonces diremos que x
es positivo mientras que si ≥x 0, entonces x es no negativo.
Ejemplos.
1. Calcula 8
2. Calcula −5
Soluciones.
1. Como ≥8 0 , se tiene por defi nición que =8 8 (cuando un número es no negativo, su
valor absoluto es él mismo).
2. Como − <5 0 , se tiene por defi nición que ( )− = − − =5 5 5 (cuando un número es ne-
gativo, para obtener su valor absoluto, hay que multiplicarlo por menos uno; es decir,
convertirlo en positivo).
El número x puede ponerse en correspondencia con un punto sobre la recta numérica y,
en consecuencia, podemos interpretar x como la distancia del punto al origen sin que quede
especifi cada la dirección. Conviene aquí mencionar las siguientes propiedades.
Propiedades del valor absoluto
Si >a 0, entonces:
• ( )< − < < ∈ −x a a x a x a a, ⇔ ( )< − < < ∈ −x a a x a x a a, ⇔ ( )< − < < ∈ −x a a x a x a a,
• = = ± = = −x a x a x a x aó ⇔ = = ± = = −x a x a x a x aó ⇔ = = ± = = −x a x a x a x aó
• ( ) ( )> < − > ∈ −∞ − ∞x a x a x a x a aó , , ⇔ ( ) ( )> < − > ∈ −∞ − ∞x a x a x a x a aó , , ⇔ ( ) ( )> < − > ∈ −∞ − ∞x a x a x a x a aó , ,
Para cualesquiera ∈a y ∈b :
• = −a a
• ⋅ = ⋅a b a b
• = ≠ab
a
bb 0
⇔
= ≠
ab
a
bb 0
Nota. Usamos el símbolo ⇔ para denotar la equivalencia lógica. Entonces: q ⇔ r se lee como:
“q si y solamente si r”.
Ejercicio 4,p. 6
Si x1 y x2 corresponden a dos puntos arbitrarios sobre el eje x, entonces hay dos maneras de
encontrar la distancia entre ellos: −x x2 1 , o bien, −x x1 2 debido a que ( )( )− = − − = − ⋅ − = −x x x x x x x x1 11 2 2 1 2 1 2 1
( )( )− = − − = − ⋅ − = −x x x x x x x x1 11 2 2 1 2 1 2 1 ; es decir, carece de importancia el orden en que se lleve a cabo la diferencia
dentro del valor absoluto para encontrar la distancia entre dos puntos sobre la recta real.
Lugares geométricos en el plano
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Ejemplos.
Calcula en la recta real la distancia entre:
1. 7 y 5
2. −3 y 4
3. −1 y −7
Soluciones.
1. Su distancia está dada por = − = =d 7 5 2 2.
3 6510 4 87–7 –6 –3–5 –2–4 –1 2
2 unidades
3 6
7 unidades
510 4 87–7 –6 –3–5 –2–4 –1 2
3 6
6 unidades
510 4 87–7 –6 –3–5 –2–4 –1 2
Fig. 1.11 La distancia entre 5 y 7.
Fig. 1.12 La distancia entre −3 y 4.
Fig. 1.13 La distancia entre −1 y −7.
Nótese que también podría haberse calculado como = − = − =d 5 7 2 2.
2. Su distancia está dada por ( )= − − = + = =d 4 3 4 3 7 7.
3. Su distancia está dada por ( )= − − − = − + = − =d 7 1 7 1 6 6.
Por otra parte, la idea que empleamos al calcular la
distancia entre dos granjas en el ejemplo de la sección
anterior se puede generalizar muy fácilmente si deno-
tamos como P x y( , )1 1 1 y P x y( , )2 2 2 a un par de puntos ar-
bitrarios en el plano. Sin pérdida de generalidad, y para
una visualización más sencilla, imaginemos que ambos
puntos están en el primer cuadrante (fi gura 1.14).
Por el teorema de Pitágoras, se puede ver que:
d = x2 x1
2+ y2 y1
2
En este caso, por estar elevados al cuadrado, los
valores absolutos son prescindibles. En la siguiente pá-
gina encontrarás la defi nición formal.
x
x2x1
y
y2
y1P1 (x1, y1)
d
| x2 – x1 |
| y2 – y1 |
P2 (x2, y2)
O
Q (x2, y1)
Fig. 1.14 Deducción de la fórmula general de la distancia entredos puntos.
La distancia entre dos puntos en una ciudad sería lo que mida la línea recta que une ambos puntos. Al menos eso dice la teoría, porque en la práctica normalmente no podremos “recorrer” dicha línea recta, a no serque tengamos la inusual cualidad de atravesar paredes y edificios. Para conocer cómo sería el cálculo dela distancia mínima para ir de un punto a otro dentro de una ciudad consulta el link: http://edutics.mx/UxF.
AVERIGUA MÁS
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Defi nición. La distancia d entre dos puntos arbitrarios en el plano P x y( , )1 1 1 y P x y( , )2 2 2 (es decir,
la longitud del segmento no dirigido P P1 2 ) se calcula mediante la fórmula:
( ) ( )= = = − + −d dist P P P P x x y y( , )1 2 1 2 2 1
2
2 1
2.
Ejemplo. Calcula la distancia entre los puntos P (2,3)1 y −P ( 3,1)2 .
Solución. Aplicando la fórmula dist P1 ,P2( ) = P1P2 x2 x1( )2 + y2 y1( )2 se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( )= = − − + − = − + − = + =dist P P P P( , ) 3 2 1 3 5 2 25 4 291 2 1 2
2 2 2 2 .
Ejemplo. Roberto quiere estudiar diseño gráfi co y está muy or-
gulloso porque pudo construir una estrella “perfecta” de cinco
puntas uniendo en orden los siguientes puntos de coordenadas
enteras: − − − −A B C D( 1, 2), (7,4), ( 3,4), (5, 2) y E(2,8), (fi gura 1.15). Pero
a Luisa, su amiga que tiene muy buena vista, “no le late” y le pa-
rece que “hay algo chueco” en el dibujo de su amigo. ¿Quién tiene
la razón?
Solución. Seguramente, en matemáticas 2 del semestre pasado,
aprendiste que en geometría no es razonable confi ar en nuestra
vista, porque nos puede jugar una mala pasada. Afortunadamente,
el dibujo está sobre un plano cartesiano y podemos calcular las
distancias. Para que la estrella fuera perfecta, deberíamos pedir
que los segmentos que la defi nen tuvieran la misma medida y que
todos los ángulos internos fueran congruentes.
Dado que los puntos son − −A( 1, 2) y B(7,4), tenemos que = − = = −x x y1, 7, 21 2 1
= − = = −x x y1, 7, 21 2 1 y =y 42 , así:
( ) ( )( ) ( )= − − + − − = + = + = =AB 7 1 4 2 8 6 64 36 100 10 u2 2 2 2 (unidades de longitud).
Análogamente:
( ) ( ) ( )= − − + − = − + =BC 3 7 4 4 10 0 10 u2 2 2 2
Y también:
( ) ( )( )= − − + − − =CD 5 3 2 4 10 u2 2
¡Vaya!, después de todo pareciera que Roberto tiene la razón.
Desafortunadamente ( )( ) ( )= − + − − = ≈DE 2 5 8 2 109 10.44 u2 2
.
Con una sola medida que difi era, la estrella ya no es perfecta. De hecho, resulta que ade-
más =EA 109 y, en consecuencia, Luisa está en lo correcto.
Las aplicaciones que te muestran, por ejemplo, cuál es la pizzería más cercana a tu ubicación, utilizan esta fórmula dentro de sus algoritmos. Si quieres saber más sobre cómo funcionan, ve el siguiente video: http://edutics.mx/UTC.
INFORMACIÓN IMPORTANTE
Fig. 1.15 Una estrella de cinco puntas… ¿perfecta?
x
−1−2−3 1 2 3 64 75
y
C
A D
E
B
−2
1
2
3
6
4
7
5
8
−1 0
Ejercicio 5,p. 7
Ejercicio 6,pp. 7 y 8
Lugares geométricos en el plano
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División de un segmento en una razón dadaEn la discusión que sigue, operamos con segmentos dirigidos. Si tenemos un segmento diri-
gido � ���AB y un punto P colineal con A y B, diremos que P divide a
� ���AB en la razón lambda λ( )
si sucede que =AP
PB; de hecho, ejemplificaremos con cinco situaciones básicas, en las que P
toma diferentes posiciones de izquierda a derecha como se ve en la figura 1.16.
a)
b)
c)
d)
e)
P A B
P
A B
A BP
A B
P
A B
P
Fig. 1.16 Posibles maneras en que un punto divide a un segmento.
• Si el punto P está dentro del segmento (figura 1.16c) diremos que P divide interior-
mente al segmento λ( )> 0 .
• Si P está fuera del segmento (figuras 1.16a y 1.16e), se conviene que P divide exterior-
mente al segmento λ( )< 0 .
• Si P coincide con alguno de los extremos del intervalo (figuras 1.16b y 1.16d), esta-
mos ante un caso especial λ λ( )= = = ∞ =P A P B0 si ó si .
De esta manera, debido a que =AP
PB, entonces para cada inciso de la figura 1.16, tenemos:
a) = 25
= 0.4 b) = 03
= 3 c) = 21
= 2 d) =30
e) = 52
= 2.5
De hecho, si P divide interiormente al segmento dirigido � ���AB , entonces:
• λ< < P0 1 ⇒ P está más cerca del extremo inicial A que del extremo final B.
• λ = P1 ⇒ P es el punto medio de � ���AB .
• λ > P1 ⇒ P está más cerca del extremo final B que del extremo inicial A.
Por otro lado, si P divide exteriormente al segmento dirigido � ���AB entonces:
• λ− < < P1 0 ⇒ P está por fuera, pero del lado del extremo inicial A.
• λ = − P1 ⇒ P es el punto al infinito.
• λ < − P1 ⇒ P está por fuera, pero del lado del extremo final B.
1
MATERIAL D
E PROMOCIÓ
N
20
Ejemplo. Dados los puntos A, B, C, D, E y F colineales, como se
muestran en la fi gura 1.17, determina cuáles son los puntos que
dividen al segmento dado, en las razones:
λ λ λ λ λ= = − = − = =i.12
, ii.14
, iii. 4, iv. 0, v. 2
Fig. 1.17 Puntos colineales con � ���AB que lo dividen en una
razón dada.
0
x
1 2 63 74
6
7
y
E
C
B
A
F
D
1
2
3
4
5
5
a) Segmento dirigido � ���AB .
b) Segmento dirigido � ���BA .
Solución.
a) Segmento dirigido � ���AB.
i. A la razón = 12
le corresponde el punto C, el cual,
por ser λ< <0 1 se encuentra en el interior del seg-
mento, más cerca del extremo inicial A que del extre-
mo fi nal B.
ii. A = 14
le corresponde el punto E, el cual, por ser λ− < <1 0, se encuentra en el
exterior del segmento y del lado del extremo inicial A.
iii. A λ = −4 le corresponde el punto D, el cual, por ser λ < −1 , se encuentra en el
exterior del segmento y del lado del extremo fi nal B.
iv. A λ = 0 le corresponde el punto A, ya que debe coincidir con el punto inicial del
segmento.
v. A λ = 2 le corresponde el punto F, el cual, por ser λ > 1, está más cerca del extremo
fi nal B que del extremo inicial A.
b) Segmento dirigido � ���BA.
i. A la razón = 12
le corresponde el punto F, el cual, por ser λ< <0 1, se encuentra en
el interior del segmento, más cerca del extremo inicial B que del extremo fi nal A.
ii. A = 14
le corresponde el punto D, el cual, por ser λ− < <1 0, se encuentra en el
exterior del segmento y del lado del extremo inicial B.
iii. A λ = −4 le corresponde el punto E, el cual, por ser λ < −1, se encuentra en el
exterior del segmento y del lado del extremo fi nal A.
iv. A λ = 0 le corresponde el punto B, ya que debe coincidir con el punto inicial del
segmento.
v. A λ = 2 , le corresponde el punto C, el cual, por ser λ > 1, está más cerca del extre-
mo fi nal A que del extremo inicial B.
Problema 3,pp. 8 y 9
Ejercicio 7,pp. 9 y 10
Por último, el inciso d) amerita una explicación. Usamos un símbolo ( )∞ para indicar que
la división entre cero carece de sentido y, en el mejor de los casos, podemos afi rmar que el
resultado no es numérico, pero sí arbitrariamente grande. En un curso de Cálculo, el asunto
se analizará con más detenimiento.
Lugares geométricos en el plano
MATERIAL D
E PROMOCIÓ
N
21
Ahora bien, ¿cómo tratamos la
división de un segmento cualquie-
ra en el plano? Supongamos que
buscamos un punto P que divida
interiormente al segmento dirigi-
do � ���AB en la razón λ. Si son dadas
las coordenadas A x y( , )1 1 y B x y( , )2 2
así como el valor de =AP
PB enton-
ces, sin pérdida de generalidad, si
visualizamos � ���AB sobre el primer
cuadrante (figura 1.18), y supone-
mos que el punto buscado tiene
coordenadas aún incógnitas P x y( , ),
observamos que se forma un par de
triángulos semejantes.
� ���
� ��
� ���
� ��
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λλ
( )
( )
=
−
−=
− = −
− = −
+ = +
+ = +
=+
+
AU
PT
AP
PB
x xx x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
xx x
1
1
1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
� ��
� ��
� ���
� ��
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λλ
( )
( )
=
−
−=
− = −
− = −
+ = +
+ = +
=+
+
UP
TB
AP
PB
y yy y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y
yy y
1
1
1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
O sea, que si P divide interior-
mente al segmento dirigido � ���AB en
la razón λ, entonces:
Px1 + x2
1 +,y1 + y21 +
.
Supongamos ahora que P divide
exteriormente al segmento dirigido � ���AB en la razón λ (figura 1.19).
Fig. 1.19 Localización de un punto P que divide exteriormente a � ���AB en la razón λ.
Dado que � ∼�AUP PTB, enton-
ces sus lados correspondientes son
proporcionales y podemos empren-
der dos cálculos paralelos:
Fig. 1.18 Localización de un punto P que divide interiormente al segmento dirigido � ���AB
en la razón λ.
x
y
B(x2, y2)
T(x2, y)x2 – x
y2 – y
P(x, y )
A(x1, y1) U(x, y1)x – x1
y – y1
O
x
y
B(x2, y2)T(x, y2)x – x2
y – y2
P(x, y )
A(x1, y1) U(x, y1)x – x1
y – y1
O
1
MATERIAL D
E PROMOCIÓ
N
22
Dado que � ∼�AUP BTP, entonces sus lados correspondientes son proporcionales y una vez
más, podemos emprender dos cálculos paralelos:
� ���
� ��
� ���
� ��
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λλ
( )
( )
=
−
−=
− = −
− = −
+ = +
+ = +
=+
+
AU
TB
AP
PB
x xx x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
xx x
1
1
1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
� ��
� ��
� ���
� ��
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λλ
( )
( )
=
−
−=
− = −
− = −
+ = +
+ = +
=+
+
UP
PT
AP
PB
y yy y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y
yy y
1
1
1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
Como hablamos de segmentos dirigidos, entonces en la fi gura 1.19 tenemos � ��
− =x x BT2 y � ��− =y y TP2 ; y por esa razón, en los cálculos:
� ��= −TB x x2 y
� ��= −PT y y2 . O sea, que si P divide
exteriormente al segmento dirigido � ���AB en la razón λ, también P
x1 + x2
1 +,y1 + y21 +
. En re-
sumen, sin importar que P divida interior o exteriormente a un segmento dirigido, tenemos:
La razón en la que un punto divide a un
segmento determina sus coordenadas y viceversa.
Coordenadas del punto P que divide a un segmento AB
Dados A x y( , )1 1 y B x y( , )2 2 , el punto P que divide al segmento dirigido � ���AB en la razón λ es:
Px1 + x2
1 +,y1 + y21 +
.
De hecho, si el segmento AB es no dirigido, la fórmula funciona igualmente.
Ejemplo. Dados los puntos −P( 5,7) y −Q (3, 1), buscamos las coordenadas
del punto M que divida PQ en la razón =35
(fi gura 1.20).
Solución. Aquí tenemos = − = =x x y5, 3, 71 2 1 y = −y 12 . Sustituyendo en
la fórmula anterior:
M5 + 3
53( )
1 + 35
,7 + 3
51( )
1 + 35
, es decir, −M( 2,4).
Comprobemos: Fig. 1.20 División de PQ en la razón λ =35
.
Un caso particular muy relevante lo tenemos en la siguiente defi nición.
PM = 2 5( )( )2 + 4 7( )2 = 3 2 y MQ = 3 2( )( )2 + 1 4( )2 = 5 2 =PM
MQ=3 25 2
=35
PM = 2 5( )( )2 + 4 7( )2 = 3 2 y MQ = 3 2( )( )2 + 1 4( )2 = 5 2 =PM
MQ=3 25 2
=35
0
x
−2−4−6 2 4−2
4
2
6
8
y
P(−5, 7)
M(−2, 4)
Q(3, −1)
Lugares geométricos en el plano
MATERIAL D
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23
Defi nición. Cuando el punto P divide AB en la razón λ = 1, sucede que P es el punto medio del
segmento AB porque si λ = = =AP
PBAP PB1
⇒
λ = = =AP
PBAP PB1 . Simbólicamente: PM
AB( ).En este caso:
PMAB
= Px1 + x2
2,y1 + y2
2.
Ejemplo. Encontrar el punto medio del segmento que pasa por A(1,6) y −B(3, 2).
Solución. Buscamos las coordenadas de P, que divida al segmento AB en la razón λ = 1 .
Usando la fórmula PMAB= P
x1 + x2
2,y1 + y2
2 y sustituyendo las coordenadas de los pun-
tos A(1,6) y −B(3, 2), se tiene que: PMAB= P
1 + 32
,6 + 2( )
2= 2,2( ).
Pero no siempre buscaremos el punto que divide a un segmento en una razón dada. ¿Qué
sucede si lo que buscamos es uno de los extremos del segmento conociendo el otro extremo
y el punto que divide al segmento en la razón dada?
Ejemplo. Se conoce el extremo π− −V ( 3 , 4) de VW y sabemos que ≠P( ,6) divide al segmento
en la razón λ = −2. Nuestro objetivo es encontrar las coordenadas de W, que es el otro extre-
mo del segmento.
Solución. En este caso, las marcas sobre el eje x son múltiplos de π, y sobre el eje y son
unidades ordinarias. Además, λ es negativo, por lo que P divide exteriormente a VW . Por
ser π− −V ( 3 , 4), tenemos que π= −x 31 y = −y 41 . En cuanto al otro extremo del segmento,
simplemente lo denotamos como W x y( , )2 2 . Dado que ≠P( ,6) y λ = −2, empleando la forma
general de las coordenadas de Px1 + x2
1 +,y1 + y21 +
tenemos:
Fig. 1.21 El punto P divide exteriormente al segmento VW .
λλ
π
ππ
ππ
π π
π π
π
π
( )( )
+
+=
− + −
+ −=
− −
−=
− − = −
= − +
= −
= −
x x
x
x
x
x
x
x
13 2
1 2
3 21
3 2
2 3
2 2
1 2
2
2
2
2
2
2
λλ
( )( )
+
+=
− + −
+ −=
− −
−=
− − = −
= − +
=
=
y y
y
y
y
y
y
y
16
4 2
1 26
4 21
6
4 2 6
2 4 6
2 2
1
1 2
2
2
2
2
2
2
π∴ −W ( ,1) como se muestra en la fi gura 1.21.
Para observar la ubicación de un punto que divide a un segmento en una razón dada puedes entrar ahttp://edutics.mx/UTt.
TIC
Ejercicio 8,p. 10
Ejercicio 9,p. 12
Problema 4,p. 10
V
W
P
x
−π−2π−3π π0
−4
−2
−1
−3
2
3
1
4
5
6
y
1
MATERIAL D
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24
Comprobación:
Obsérvese que consideramos PW! "!!!
como negativo porque VP! "!
y PW! "!!!
son segmentos diri-
gidos en sentidos opuestos.
Hasta este momento, ya conociste los elementos básicos de la geometría analítica: los
puntos, los segmentos, los segmentos dirigidos, las distancias y las razones. A continuación,
trabajaremos con los lugares geométricos, que constituyen un punto de partida para todos
los temas que se tratarán en este libro.
Lugares geométricosComenzaremos por defi nir qué es un lugar geométrico. Este concepto es fundamental para
la geometría analítica.
Es importante aclarar que en la mayoría de los casos trabajaremos en el plano cartesia-
no. Los lugares geométricos se pueden defi nir de varias maneras, por ejemplo, a partir de la
descripción de las propiedades que cumple un conjunto de puntos o de la descripción de
la trayectoria que sigue un punto que se encuentra sobre un objeto en movimiento. Si el lugar
geométrico está en el plano cartesiano, se puede describir a partir de una ecuación o de las
coordenadas de puntos que cumplan con cierta relación.
En esta sección realizaremos algunos ejemplos muy sencillos e intuitivos para que co-
miences a familiarizarte con lo que es un lugar geométrico.
Ejemplo. Construye el lugar geométrico que contiene al conjunto de puntos:
{ }= − − − − − −L A B C D E F( 3,3), ( 2,2), (1, 1), (2, 2), (5, 5), (10, 10)
(En este caso, los puntos que están en L no son los únicos del lugar geométrico.)
Solución. Para encontrar el lugar geométrico al que pertenece un conjunto de puntos dado,
lo primero que hay que hacer es identifi car qué tienen en común las coordenadas de dichos
puntos.
1. En este caso se puede ver que las coordenadas comparten la característica de que abs-
cisa y ordenada son iguales, pero de signo contrario.
2. Usando esa regla se podrían dar más coordenadas, por ejemplo: − − −( 4,4), (0,0), ( 1,1), (20, 20)
− − −( 4,4), (0,0), ( 1,1), (20, 20).
3. Si los puntos se grafi can en el plano cartesiano, lo que se obtiene es la gráfi ca de la
fi gura 1.22 de la página 25.
Defi nición. Un lugar geométrico bidimensional (de dos dimensiones) es un conjunto de puntos
en un plano que cumplen con ciertas propiedades.
PV! "!!
= π − −3π( )( )2 + 6 − −4( )( )2 = 16π 2 + 100 = 2 4π 2 + 25
PW! "!!!
= − −π − π( )2 + 1 − 6( )2 = − 4π 2 + 25
⇒ λ =VP! "!
PW! "!!! = 2 4π 2 + 25
− 4π 2 + 25= −2
Lugares geométricos en el plano
MATERIAL D
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25
Fig. 1.22 Gráfica de los puntos que pertenecen al lugar geométrico.
Ejemplos. Considerando el ejemplo anterior:
1. Si unimos los puntos, ¿qué figura se formaría?
2. ¿Habrá puntos cuyas coordenadas no sean números enteros que cumplan con las ca-
racterísticas de este lugar geométrico?
3. Si se llama x a la abscisa y y a la ordenada de los puntos que están en el lugar geomé-
trico, ¿qué expresión algebraica podría utilizarse para describir el lugar geométrico?
Soluciones.
1. Una línea recta.
2. Sí, por ejemplo: 23,
23
, 2, 2( ), 10.25, 10.25( ) .
3. La respuesta es: = −y x.
En este caso, se puede ver que es mucho más eficiente describir el lugar geométrico por
su ecuación que sólo dar parejas ordenadas. Si se quieren considerar todos los puntos que
están sobre la recta del ejemplo, habría que especificar que ∈x .
Es muy importante que aprendas a identificar los lugares geométricos de diferentes ma-
neras. Por el momento, haremos otro ejemplo a partir de parejas ordenadas. Después cons-
truiremos ejemplos con diferentes aproximaciones a los lugares geométricos.
Ejemplo. Construye el lugar geométrico que contiene al conjunto de puntos:
{ }= −L A B C D E(1,1), ( 2,4), (0,0), (3,9), (4,16)
Una vez más, los puntos en L no son los únicos que están en el lugar geométrico.
Solución. Lo primero que hay que hacer es identificar qué tienen en común los puntos del
conjunto.
1. En este caso, las coordenadas de los puntos se caracterizan por ser la ordenada igual
al cuadrado de la abscisa.
2. Usando esta regla, se podrían dar más coordenadas, por ejemplo: −F G H( 4,16), (2,4), (5,25).
3. Si los puntos se grafican en el plano cartesiano, obtenemos la gráfica de la figura 1.23
de la página 26.
Ejercicio 10, p. 12
0
x
−2−4−6 2 4 6 8 10
−4
−6
−8
−10
2A
B
CD
E
F
y
−2
1
MATERIAL D
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26
Ejemplos. Considerando el ejemplo anterior:
1. Si unes los puntos de izquierda a derecha, ¿qué fi gura se
forma?
2. ¿Habrá puntos, cuyas coordenadas no sean números en-
teros, que cumplan con las características de este lugar
geométrico?
3. Si se llama x a la abscisa y y a la ordenada de los puntos
que están en el lugar geométrico, ¿qué expresión algebrai-
ca podría utilizarse para describir el lugar geométrico?
Soluciones.
1. Una curva abierta hacia arriba. En el bloque 4 la cono-
cerás a profundidad; se llama parábola y tiene muchas
propiedades interesantes. Puedes generar más puntos y
grafi carlos para identifi car la forma de la curva.
2. Sí, por ejemplo: 23,49
, 2,2( ), 0.5,0.25( ).
3. =y x2 con ∈x .
Fig. 1.23 Gráfica de los puntos que pertenecen al lugar geométrico definido a partir de la ecuación y = x2.
Fig. 1.24 Gráfica de los puntos que pertenecen al lugar geométrico definido a partir de la ecuación y = x3.
Ejemplo. Construyamos otro lugar geométrico, pero ahora
teniendo como punto de partida la ecuación =y x3 con ∈x .
¿Cuál es la gráfi ca que se obtiene al unir los puntos?
Solución.
1. En este caso se pueden construir parejas ordenadas que
cumplan con la ecuación. Por ejemplo:
{ }= − − − −L A B C D E( 2, 8), ( 1, 1), (0,0), (1,1), (2,8)
En este caso se dieron estos puntos, pero podrían haber
sido otros. Al grafi car se obtiene la curva de la fi gura 1.24.
2. Es una curva, que se llama parábola cúbica, de la que
decimos que es una fi gura sigmoidal porque, vista desde
el ángulo correcto, parece una letra “S”.
A continuación, vamos a construir el lugar geométrico ge-
nerado por la trayectoria de un punto que se mueve de deter-
minada forma.
Ejemplo. Si se marca un punto P sobre una circunferencia y
se hace rodar ésta sobre una línea recta, ¿cuál es la forma del
lugar geométrico que describirá el punto P en su trayectoria?
Solución. Para obtener el lugar geométrico, vamos a hacer
el trazo de forma concreta: se toma una moneda circular, se
marca un punto P sobre la misma, y se traza una línea recta
en el plano; al hacer girar la moneda el punto P comenzará a
describir la curva de la fi gura 1.25, de la página 27.
A
E
B
−8
−6
−2
−4
8
y
4
2
6
D
0
x
−2−4 2 4C
0
x
−2−4−6−8 2 4 6 8
A
E
B
20
10
−2
18
8
16
6
14
4
12
2
26
y
22
24
C
D
Lugares geométricos en el plano
MATERIAL D
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27
Fig. 1.25 Trayectoria del punto P al rodar la moneda.
La curva que se formó en la actividad anterior ha sido ampliamente estudiada desde el
siglo XVII y se llama cicloide. Es, probablemente, una de las curvas con más historia, pues
ha sido objeto de grandes polémicas y discusiones.
Aunque la construcción que hicimos fue sobre un plano que no era cartesiano, la misma
podría realizarse sobre un plano cartesiano. En particular, si la trayectoria de la cicloide co-
mienza desde el origen, la ecuación que describe el conjunto de puntos que se encuentran sobre
la curva se puede representar por medio de funciones trigonométricas. En este momento no
trabajaremos con su expresión matemática ya que este bloque es meramente introductorio y
su objetivo es que conozcas algunos lugares geométricos y te familiarices con el concepto.
De manera similar a la construcción de la cicloide, se pueden construir lugares geométri-
cos rodando una circunferencia sobre otra, como se describe a continuación.
Fig. 1.26 Nefroide, como lugar geométrico.
Si quieres conocer más acerca de la cicloide, puedes leer el siguiente artículo: http://edutics.mx/UqU.
AVERIGUA MÁS
Puedes observar una animación de la trayectoria del punto que genera a la cicloide entrando ahttp://edutics.mx/Uqw.
TIC
Ejemplo. Si se tienen dos circunferencias, una de ellas
con un diámetro del doble de la otra y si la circunfe-
rencia más pequeña gira en la parte exterior alrededor
de la circunferencia grande, ¿cuál es la forma del lugar
geométrico que describirá un punto P marcado en la
circunferencia pequeña en su trayectoria?
Solución. Para obtener el lugar geométrico, vamos a
hacer el trazo de forma concreta; la circunferencia con
centro C gira sobre la circunferencia con centro A, el
punto P describe la trayectoria roja, llamada nefroide,
porque se parece a un riñón (fi gura 1.26).
Otra manera de construir lugares geométricos es a
partir de características geométricas, como en el ejem-
plo que se da a continuación.
Ejemplo. Se tiene un segmento AB y se quieren encontrar todos los puntos que tengan la
misma distancia tanto al punto A como al punto B.
Solución. Se traza una circunferencia con centro en A y radio un poco mayor a la mitad de
la longitud del segmento AB. Después, con el mismo radio, se traza otra circunferencia con
centro en B. Al intersecarse ambas circunferencias, se obtienen los puntos C y D que cumplen
con las características del lugar geométrico descrito (fi gura 1.27, página 28).
Actividad 2,p. 13
P
OA
C
B
PP
PP
1
MATERIAL D
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28
Fig. 1.27 Los puntos C y D se encuentran en el lugar geométrico descrito.
Fig. 1.28 El lugar geométrico es la mediatriz del segmento AB .
Si se trazan otras circunferencias con diferentes radios se obtienen otros puntos del lugar
geométrico, como se ve en la fi gura 1.28.
Se puede ver que todos los puntos que cumplen la condición de encontrarse a la misma
distancia de dos puntos fi jos forman una línea recta que pasa por el punto medio del segmento
y que es perpendicular a éste. A ese lugar geométrico se le llama mediatriz del segmento AB.
Otra forma de encontrar la mediatriz de un segmento es con la fórmula de la distancia que se ha visto anteriormente. Para ver un ejemplo del cálculo puedes consultar la siguiente página: http://edutics.mx/Uqy.
AVERIGUA MÁS
Los lugares geométricos pueden darse por:
una ecuación, la trayectoria de un punto
o propiedades deun conjunto de puntos.
A
C
D
B
A
C
F
D
E
B
G
H
Otros ejemplos de lugares geométricos que se generan a partir de girar una circunferencia sobre otra los puedes consultar en el siguiente video http://edutics.mx/Uqw.
TIC
Otro lugar geométrico importante en el plano es la bisectriz. Conócela entrando a http://edutics.mx/UMq.
TIC
Lugares geométricos en el plano
MATERIAL D
E PROMOCIÓ
N
29
Perímetros y áreas de figuras en el planoSi una figura plana está delimitada por segmentos de recta, entonces su perímetro es la suma
de las longitudes de todos estos segmentos. Así lo discutiremos a continuación.
Ejemplo. Alfonso, Beatriz, Carlos y Diana, los amigos que tienen
sus cuatro granjas en el valle, deciden asociarse y se hace necesario
construir una cerca alrededor de sus cuatro propiedades como vér-
tices (figura 1.29). Si cada kilómetro de cerca vale $7 500, ¿cuánto
necesitan para emprender la obra?
Solución. Dado que − − − −A B C D( 2,1), (4, 2), ( 1, 2) y (3,2) ; y como el
perímetro P del cuadrilátero ACBD es: = + + +P AC CB BD DA ,
conviene calcular por separado las distancias:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
= − − − + − − = + − = ≈
= − − + − − − = − + = =
= − + − − = − + = ≈
= − − + − = + − = ≈
∴ = + + + ≈
dist A C
dist C B
dist B D
dist D A
P
( , ) 1 2 2 1 1 3 10 3.16 km
( , ) 1 4 2 2 5 0 25 5 km
( , ) 3 4 2 2 1 4 17 4.12 km
( , ) 3 2 2 1 5 1 26 5.1 km
10 5 17 26 17.38 km
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
Fig. 1.29 Cercando el terreno entre las cuatro granjas.
Fig. 1.30 El trapecio PQRS.
Por último, dado el costo por kilómetro de la cerca, entonces el costo total CT será:
CT = 17.38 km( ) 7500 $/km( ) = $130000.
Área de un triángulo dados sus vértices Con el propósito de deducir el procedimiento analítico para calcu-
lar el área de un triángulo, dadas las coordenadas de sus vértices,
conviene recordar primero cómo se calcula el área de un trape-
cio, como lo hacías en geometría elemental. Si tenemos el trapecio
PQRS (figura 1.30), con =PQ B, base mayor; =RS b base menor y
=PS h altura, entonces el área viene dada por:
( )Α =
+B b hPQRS 2
.
Con eso en mente, imaginemos que deseamos calcular el área
del Q Q Q1 2 3, de la figura 1.31, página 30, cuando conocemos las
coordenadas de sus vértices: Q 1 x1 , y1( ), Q 2 x2, y2( ) y Q 3 x3, y3( ). Marcamos las proyecciones
de los tres vértices sobre los ejes x y y: x x x y y y, , , , ,1 2 3 1 2 3. A las áreas de los trapecios bajo los
segmentos � �����Q Q1 3 y
� ������Q Q3 2 les llamamos, respectivamente, Α1 y Α2.
Al área del trapecio bajo el segmento � �����Q Q1 2 le llamamos Α3 (figura 1.32, página 30).
x
−1−2 1 2 3 4
−2
1
0
2
y
−1
A
BC
D
b
B
RS
h
QP
A lo largo del curso iremos trabajando con diferentes lugares geométricos. Lo que vimos
aquí fue apenas una introducción al tema. Como habrás notado, cuando se habla de lugares
geométricos no siempre se tiene como contexto el plano cartesiano. Dado que en este libro
trabajamos la geometría analítica, en la mayoría de los casos se utilizará el plano cartesiano.
A continuación, te mostramos cómo se calculan áreas y perímetros en este tipo de planos.
1
MATERIAL D
E PROMOCIÓ
N
30
x
y
y3
y1
y2
x1 x2x3O
Q1
Q3
A1
A2
Q2
Fig. 1.31 Los trapecios bajo � �����Q Q1 3 y
� ������Q Q3 2 . Fig. 1.32 El trapecio bajo
� �����Q Q1 2 .
Fig. 1.33 El Q Q Q
1 2 3 como resultado de
la operación Α + Α − Α1 2 3
.
x
y
y3
y1
y2
x1 x2x3O
Q1
Q3
A3
Q2
x
y
y3
y1
y2
x1 x2x3O
Q1
Q3
Q2
AAQ 1Q 2Q 3
Ahora bien, el trapecio con área Α1 tiene base mayor y3,
base menor y1 y altura −x x3 1; por eso 1 =y3 + y1( ) x3 x1( )
2. Por
otro lado, el trapecio con área Α2 tiene base mayor y3, base me-
nor y2 y altura −x x2 3; por eso 2 =y3 + y2( ) x2 x3( )
2. Finalmen-
te, el trapecio con área Α3 tiene base mayor y1, base menor y2 y
altura −x x2 1 ; por eso 3 =y1 + y2( ) x2 x1( )
2.
La idea es que el área del Q Q Q1 2 3, a la que llamaremos ΑQ Q Q1 2 3
(fi gura 1.33) se puede encontrar como sigue:
Q 1Q 2Q 3= 1 + 2 3 =
y3 + y1( ) x3 x1( )2
+y3 + y2( ) x2 x3( )
2
y1 + y2( ) x2 x1( )2
.
Factorizando 12
y desarrollando productos, tenemos:
Q 1Q 2Q 3= 12
x3 y1 x1 y1 + x3 y3 x1 y3( ) + x2y2 x3 y2 + x2y3 x3 y3( ) x2y1 x1 y1 + x2y2 x1 y2( ) .
Reduciendo términos semejantes y ordenando, tenemos:
Q 1Q 2Q 3= 12
x1 y2 + x2y3 + x3 y1 x1 y3 x3 y2 x2y1[ ].
Como esta fórmula resulta confusa para memorizarla, se prefi ere su representación como
un determinante:
AAQ 1Q 2Q 3=12
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
=12
1x2 y2x3 y3
1x1 y1
x3 y3+ 1
x1 y1
x2 y2
=12
x2y3 x3 y2 x1 y3 + x3 y1 + x1 y2 x2y1[ ] = 12
x1 y2 + x2y3 + x3 y1 x1 y3 x3 y2 x2y1[ ]
Para calcular el determinante escribimos sucesivamente, por renglones, las coordena-
das del triángulo y repetimos las coordenadas del primer vértice en un cuarto renglón.
.
Lugares geométricos en el plano
MATERIAL D
E PROMOCIÓ
N
31
Defi niciones.
Si todos los ángulos interiores de un polígono mi-
den, a lo sumo, 180°, diremos que el polígono es
convexo (fi gura 1.35a). Cuando eso sucede, todo seg-
mento cuyos extremos estén en el interior o en la
frontera del polígono estará enteramente conteni-
do dentro del polígono. Si un polígono no es con-
vexo, diremos que es cóncavo (fi gura 1.35b).
Ejemplo. Calculemos el área del triángulo cuyos vértices son:
A 4, 3( ), B 2, 1( ) y C 2, 3( ) (fi gura 1.34).
Solución.
Nota importante:
Escribimos “u2” (unidades de área) porque no se especifi caron unidades de longitud en el pro-
blema. Nótese que, en el determinante, escribimos las coordenadas en un sentido positivo de
giro (levógiro, o sea, contrario a las manecillas del reloj). Si en lugar de escribirlas en el orden
ABC lo hubiéramos hecho en el sentido contrario (dextrógiro, o sea, a favor de las manecillas
del reloj; en nuestro caso, el orden CBA), el resultado hubiera sido negativo.
Área de un polígono dados sus vértices
Ejercicio 11,p. 13
Fig. 1.34 El cálculo del área del ABC .
Fig. 1.35a Polígono convexo.
Fig. 1.35b Polígonocóncavo.
x
−1−4 −2−5 −3 1 2
−2
−3
2
1
0
3C (−2, 3)
B (2,−1)
A (−4, −3)
y
−1
A ABC = 12
4224
3133
= 12
4( ) 1( ) + 2( ) 3( ) + 2( ) 3( ) 4( ) 3( ) 2( ) 1( ) 2( ) 3( )
= 12
4 + 6 + 6 + 12 2+ 6[ ]
= 322
= 16 u2
Defi nición. El área de un Q Q Q1 2 3, dadas las coordenadas de
sus vértices Q 1 x1 , y1( ), Q 2 x2, y2( ) y Q 3 x3, y3( ), está dada por el
determinante:
Al desarrollar, resulta:
Q 1Q 2Q 3= 12
x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 x1 y3 x3 y2 x2 y1[ ].
Acto seguido, sumamos los productos algebraicos (es decir, respetando los signos) siguiendo
diagonales descendentes, es decir: + +x y x y x y1 2 2 3 3 1. A esta suma, le restamos la suma de
los productos siguiendo diagonales ascendentes, esto es: ( )− + +x y x y x y1 3 3 2 2 1 . En resumen,
preferimos la siguiente representación:
Α =
x
x
x
x
y
y
y
y
Q Q Q
12
1
2
3
1
1
2
3
1
1 2 3
−
−
−
+
+
+
1
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x
−1−2−3−4−5 10 2 3 4 5
−2
−3
1
2
3
A’
B’
C’F’
E’
D’
6
4
7
5
y
−1
La misma estrategia que usamos para calcular el área de un triángulo dadas las coor-
denadas de sus vértices puede generalizarse de una manera muy natural a polígonos (no
necesariamente regulares y ni siquiera convexos) dadas las coordenadas de sus vértices
siempre y cuando las recorramos en un sentido positivo (levógiro) y evitando cruces.
Ejemplo. Calcula el área del hexágono cu-
yos vértices son: A 3, 3( ), B 4, 2( ), C 4, 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − = − = − −A B C D E3, 3 , 4, 2 , 4,5 , 3,7 , 5,1 y ( )F 5,1 .
Solución. ¡Cuidado!, no podemos iniciar de
inmediato escribiendo:
Α =12
Eso sería un error, porque siguiendo ese
orden producimos cruzamientos (fi gura 1.36).
Si buscamos recorrer los vértices en un sentido levógiro, sugerimos renombrar los vértices
como: A ' 3, 3( ), B ' 4, 2( ), C ' 5,1( ), D ' 3,7( ), E ' 4,5( ) y ( )−F ' 5,1 (fi gura 1.37). Ahora sí:
Ejercicio 12,p. 13
Problema 5,p. 14
Problema 6,p. 14
Fig. 1.36 El hexágono ABCDEF cuandopresenta cruzamientos.
Fig. 1.37 El hexágono A'B'C'D'E'F' corregido.
Este último ejemplo es una buena muestra de la potencia
de la geometría analítica, acaso recordarás que tienes una fór-
mula para calcular el área de un polígono regular cualquiera:
Área igual a perímetro por apotema sobre dos. Pero encontrar
la apotema requiere de cálculos trigonométricos y, además, en
el mundo real, los polígonos regulares son más una excepción que una regla. El método que
hemos aprendido, en cambio, sirve por igual para polígonos regulares, irregulares, cóncavos
o convexos, siempre y cuando se recorran en sentido positivo y sin cruzamientos.
[ ]
[ ]
Α =
− −−
−−− −
Α = + + + − + + + + − + +
∴Α = =
12
3 34 25 13 74 55 13 3
12
6 4 35 15 4 15 3 25 28 3 10 12
12
146 73 u2
Applicación 1,p. 15
Applicación 2,p. 15
Actividad HSE,p. 16
Actividadde integración,
p. 17
Evaluación final,p. 18
Esta fórmula de calcular áreas de polígonos se conoce como fórmula del área de Gauss y también recibe el nombre de Fórmula de la Lazada o Las agujetas de Gauss, ésto debido al constante cruce de productos de las coordenadas. Averigua más en http://edutics.mx/UqF.
AVERIGUA MÁS
x
−1−2−3−4−5 10 2 3 4 5
−2
−3
1
2
3
A B
FE
C
D6
4
7
5
y
−1
Lugares geométricos en el plano
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Matemáticas 3CUADERNO DE TRABAJO
Estela Navarro Robles / Renato Galicia Brito
MATERIAL D
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Lugares geométricos en el plano 3
Línea recta 19
Circunferencia 45
Parábola 61
Elipse 75
12345
Índice
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Edi
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. A. d
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. V.
MATERIAL D
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Evaluación diagnóstica 1B
Lugares geométricos en el plano
I. Defi ne los conceptos e ilústralos geométricamente.
1. Punto en el plano.
2. Segmento comprendido entre los puntos A y B.
3. Semirrecta con origen en el punto C, y que pasa por el punto D.
4. Línea recta que pasa por los puntos E y F.
II. Resuelve las ecuaciones de primer grado.
1. − = +x x2 6 9 8 2. − = −y y2
7114 21
87
3. + = −x x5 2
38 1
3
Sugerencia: Reescribe usando
=tx1 y resuelve. Para encontrar x
sustituye =xt1 .
x =
A = A =
P = P =
y = x =
III. Calcula el área y perímetro de las fi guras geométricas.
IV. Enuncia y representa geométricamente el teorema de Pitágoras.
Fig. 1.1a Hexágono regular. Fig. 1.1b Trapecio.
a =
8 cm
5 u
5 u
4 u
8 u
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B 1Lugares geométricos en el plano
DEFINIR ELEMENTOS DEL SISTEMA DECOORDENADAS RECTANGULARES
I. Escribe la defi nición de los siguientes conceptos.
1. Coordenadas rectangulares de un punto:
2. Abscisa:
3. Ordenada:
4. Cuadrante:
INDENTIFICAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO
I. Completa las tablas a partir de los puntos ubicados en el plano cartesiano (fi gura 1.2).
Tabla 1.1 Ejercicio de abscisas y ordenadas
Punto A B C D E F G H
Abscisa
Ordenada
Tabla 1.2 Ejercicio de coordenadas y su ubicacióncon respecto a los cuadrantes
Punto Coordenadas Cuadrante o eje
A
B
C
D
E
F
G
H
EJERCICIO 1
EJERCICIO 2
Fig. 1.2 Puntos en el plano cartesiano.
GRAFICAR PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.EL TRIÁNGULO DE PENROSE
I. Sigue cuidadosamente las instrucciones. Necesitarás lápiz, regla y tres colores distintos.
1. Traza, en la retícula de la fi gura 1.3, página 5, unos ejes coordenados mutuamente perpendicula-
res x y y, de manera que el origen esté ubicado en el centro de la cuadrícula.
2. Localiza y rotula, en el plano cartesiano que obtuviste, los siguientes puntos: A( 1, 9), B(1, 9), C( 1, 5), D(0, 3), E( 2, 1), F (2, 1), G(4, 1), H( 7, 3), I( 3, 3), J(7, 3), K ( 6, 5)
A( 1, 9), B(1, 9), C( 1, 5), D(0, 3), E( 2, 1), F (2, 1), G(4, 1), H( 7, 3), I( 3, 3), J(7, 3), K ( 6, 5) y L(6, 5).
3. Traza el hexágono irregular ABJIEGA y coloréalo.
ACTIVIDAD 1
0
x
–1–2–3–4 1 2 3 4
–2
–3
–4
1
2
3
4
y
–1
A
B
C
D
E
G F
H
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5
B 1Lugares geométricos en el plano
4. Repite el paso anterior con los hexágonos KHAGFCK y JLKCDIJ, empleando otros dos colores, uno
para cada hexágono. La fi gura obtenida recibe el nombre de triángulo de Penrose (fi gura 1.4).
Fig. 1.3 Construcción del triángulo de Penrose.
De la historia del arteDe la historia del arteEn 1934, el joven artista sueco Oscar Reutersvärd (1915–
2002) tomaba una clase de latín y, para aliviar su aburri-
miento, dibujaba estrellas de David en su cuaderno. Cuan-
do intentó rediseñarlas usando cubos, se percató de que es
posible representar en el plano una fi gura imposible en la
realidad física. En 1958, el matemático inglés Roger Penrose
(nacido en 1931) escribió un famoso artículo: “Figuras impo-
sibles: una clase especial de Ilusiones Visuales” y popularizó
tanto esta fi gura que pronto se le conoció como triángulo de
Penrose (fi gura 1.4). El artículo inspiró algunas de las obras
del artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898–1972).
Fig. 1.4 El triángulo de Penrose.
ENCONTRAR PUNTOS SIMÉTRICOS
I. Con base en los puntos A( 1, 2), B(3, 1), C( 4, 4), D(2, 5), encuentra las coordenadas.
1. A’( , ), simétrico de A con respecto al eje x.
2. B’( , ), simétrico de B con respecto al eje y. 3. C’( , ), simétrico de C con respecto al origen de coordenadas.
4. D’( , ), simétrico de D con respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
Nota: Para que se te facilite encontrar D’ puedes imaginar que doblas el plano cartesiano en la bisectriz del primer
cuadrante y D debe coincidir con D’.
PROBLEMA 1
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B 1Lugares geométricos en el plano
Fig. 1.5 Simetrías empleando coordenadas.
II. Comprueba tus respuestas ilustrando los
ocho puntos A, B, C, D, A’, B’, C’ y D’ en el plano
cartesiano.
III. Considera un punto arbitrario P(x, y). Inspira-
do en lo que aprendiste en los incisos anterio-
res, encuentra las coordenadas solicitadas:
1. PX( , ), simétrico de P con respecto al eje x.
2. PY( , ), simétrico de P con respecto al eje y. 3. PO( , ), simétrico de P con respecto al ori-
gen de coordenadas.
4. El punto Q( , ), simétrico de P con respec-
to a la bisectriz del primer cuadrante.
DEFINIR SEGMENTO RECTILÍNEO Y SEGMENTO DIRIGIDO
I. Completa las defi niciones.
1. Segmento rectilíneo:
2. Segmento dirigido:
APLICAR LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOS RECTILÍNEOS
I. Encuentra la medida de los segmentos dirigidos que se solicitan. Supón que A, B, C y D son coli-
neales y considera AB = 5, AC = 2 y CD = 1.
1. � ��
=BC 2. � ���
=BA 3. � ���
=DB
II. Ubica en la recta numérica los puntos A, B, C y D de manera que cumplan con las propiedades
del problema.
EJERCICIO 3
PROBLEMA 2
CALCULAR VALORES ABSOLUTOS Y DISTANCIAS DE PUNTOSSOBRE LA RECTA REAL
I. Calcula los valores absolutos de: 3, 0 y 0.55.
II. Calcula la distancia entre los pares de números: 3 y 5; 7 y 3; 2 y 6. Después, traza una recta para
visualizarlos geométricamente.
EJERCICIO 4
x
y
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B 1Lugares geométricos en el plano
CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO
I. Calcula las siguientes distancias. Considera los puntos A(2, 3), B( 1, 4), C( 2, 4) y D(0, 4).
1. =AB 2. =BD 3. =CA
EJERCICIO 5
CLASIFICAR TRIÁNGULOS A PARTIR DE LA LONGITUDDE SUS LADOS
I. Lee el texto.
EJERCICIO 6
Antes de realizar el siguiente ejercicio, recuerda que si los vértices de un
triángulo se denotan con letras mayúsculas, entonces las longitudes de
sus lados suelen indicarse mediante letras minúsculas que toman el nom-
bre de su vértice opuesto. Por ejemplo, en el FGH (fi gura 1.6) se conviene
en denotar las longitudes de los lados como sigue:
f = GH , g = FH y h = FG .
Fig. 1.6 Convención en el FGH .
II. Grafi ca cuidadosamente los siguientes triángulos. Usa un color diferente para cada uno.
Utiliza una calculadora para redondear las coorde-
nadas que contienen raíz cuadrada. Basta con redon-
dear hasta décimas.
1. ABC con A( 10, 0), B(0, 0) y C( 5, 5 3)
2. PQR con P( 8, 6), Q (8, 6) y R(6, 8)
3. KLM con K (6, 8), L(8, 6) y M( 5 2, 5 2)
III. Completa los espacios para calcular las distan-
cias indicadas.
Dado que ⊕5 3 y ⊕5 2 ,
entonces podemos aproximar las coordenadas de
C y M como: C( , ) y M( , ). Luego, las medidas
de los lados de cada triángulo son: Fig. 1.7 Gráficas de ABC , PQR y KLM .
x
y
g
Gh
H
f
F
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B 1Lugares geométricos en el plano
−1
−1
−2
−2
−3
−3
1
1
0 2 6
2
3 7
3
4 8
4
5
6
x
y
E
D
A
B
C
5
b =c =
q =r =
l =m =
IV. Escribe qué tipo de triángulo es equilátero, isósceles o escaleno.
1. El ABC es: 2. El PQR es: 3. El KLM es:
V. Identifi ca si los triángulos dados contienen o no un ángulo recto y completa los textos. Apóyate
en el teorema de Pitágoras.
1. ABC 2. PQR 3. KLM
∴ contiene
un ángulo recto.
∴ contiene
un ángulo recto.
∴ contiene
un ángulo recto.
IDENTIFICAR PUNTOS QUE DIVIDEN A UN SEGMENTOEN UNA RAZÓN DADA
PROBLEMA 3
Fig. 1.8 Puntos que dividen a un segmento en una razón dada.
I. Considera los puntos colineales con el seg-
mento AB ubicados en el plano (fi gura 1.8).
Relaciona qué punto divide en la razón indi-
cada en cada inciso al segmento dirigido � ���AB.
1. λ = −27
2. λ =23
3. λ =32
4. λ = −72
5. λ = 0MATERIA
L DE P
ROMOCIÓN
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B 1Lugares geométricos en el plano
II. Haz lo mismo que en el inciso anterior,
pero ahora toma como base el segmento
dirigido � ���BA (fi gura 1.9).
1. λ = −27
2. λ =23
3. λ =32
4. λ = −72
5. λ = 0
III. Calcula las coordenadas del punto que no está dado en la gráfi ca anterior y que corresponde a
una de las razones dadas en este problema.
Fig. 1.9 Puntos que dividen a un segmento en una razón dada.
DIVIDIR UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
I. Dados los extremos de un segmento, encuentra el punto que lo divide en la razón λ. Comprueba
tu respuesta.
EJERCICIO 7
1. Extremos: T( 5, 3) y U(2, 6). Encuentra P
que divida a � ���TU en la razón λ =
23
.
Solución: P( , ), porque
� ��
� ���λ = =TP
PU
23
Solución: Q( , ), porque
� ���
� ����λ = = −VQ
QW
12
2. Extremos: V54,
12
y W 1,34
. Encuen-
tra Q que divida a � ����VW en la razón λ = −
12
.
−1
−1
−2
−2
−3
−3
1
1
0 2 6
2
3 7
3
4 8
4
5
6
x
y
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B 1Lugares geométricos en el plano
1. Extremo A(4, 5), el punto P(7, 2) divide al
segmento � ���AB en la razón λ = 4 . Encuentra B.
1. ¿Cuál es el punto medio (PM) del segmento
� ���PQ si P 5,
12
y Q13, 2 ? Observa que,
dado que uno de los extremos del segmento se
nombró P, entonces llamaremos M al punto
medio del segmento � ���PQ .
2. Si D12,32
es el punto medio del segmento
� ���AB y A 3, 4( ), encuentra las coordena-
das de B.
II. Dado un extremo del segmento y el punto que lo divide en la razón λ, encuentra el otro extremo
del segmento. Comprueba tu respuesta.
Solución: B( , ), porque
� ���
� ��λ = =AP
PB4
Solución: =PM M( , )PQ
porque � ���
� ����λ = =PM
MQ1
Solución: L( , ), porque λ = = 2
Solución: =PM D( , )AB
porque � ���
� ���λ = =AD
DB1
ENCONTRAR EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
I. En cada caso, localiza el punto solicitado.
EJERCICIO 8
2. Extremo K13, 1 , el punto R 2,
23
divide
al segmento � ��KL en la razón λ = 2 . Encuen-
tra L.
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11
B 1Lugares geométricos en el plano
DEDUCIR LA FÓRMULA PARA EL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO
I. Lee el texto.
PROBLEMA 4
En el curso de Matemáticas 2 trabajaste con puntos y rectas
notables del triángulo. Seguramente recordarás que las me-
dianas de un triángulo son los segmentos que unen los pun-
tos medios de cada lado al vértice opuesto. Si en el ABC
denotamos los puntos medios de cada lado como:
=P PMBC
, =Q PMAC
, =R PMAB
Entonces las medianas son los segmentos AP , BQ , y CR
y las denotaremos como A (mediana que pasa por A), B
(mediana que pasa por B) y C (mediana que pasa por C).
Más adelante las volveremos a encontrar y veremos por qué es
conveniente denotarlas así. Mientras tanto, indiquemos que las
medianas convergen en el centro de gravedad del triángulo (G)
llamado también baricentro o centroide (fi gura 1.10).
Propiedad notable: El centroide G de un triángulo
cualquiera divide a cada mediana en la razón λ = 2, es decir:
� ���
� ��
� ���
� ���
� ���
� ��= = =AG
GP
BG
GQ
CG
GR2.
Fig. 1.10 Los puntos medios (P, Q, R), las medianas ( , ,A B C) y el centroideG del ABC.
II. Sigue los siguientes pasos para deducir una fórmula que calcule las coordenadas del centroide
de un triángulo dadas las coordenadas de sus vértices.
1. Denota como A(x1 , y1 ), B(x2, y2 ) y C(x3, y3 ) a las coordenadas de los vértices.
2. Encuentra los puntos medios de sus lados:
PMBC= P
+
2,
+
2 PM
AC= Q
+
2,
+
2 PM
AB= R
+
2,
+
2
a) Como dijimos, G divide a cualquier mediana en la razón λ = 2 . Elige cualquier mediana (es
decir, cualquier segmento AP , BQ o CR ) y encuentra las coordenadas de G:
G( ) +
+
21 +
,( ) +
+
21 +
= G+ +
3,
+ +
3
En resumen, se cumple la siguiente fórmula:
Si los vértices de un triángulo son A(x1 , y1 ), B(x2, y2 ) y C(x3, y3 ), entonces el centroide es:
Gx1 + x2 + x3
3,y1 + y2 + y3
3
AB
C
PQ
G
R
MAMB
MC
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B 1Lugares geométricos en el plano
ENCONTRAR EL CENTROIDE
I. Encuentra el centroide G del �ABC con vértices A(7, 3), B 5,12
y C( , 2).
ENCONTAR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE UN CONJUNTO DE PUNTOS
I. Encuentra en los planos de la fi gura 1.11 el lugar geométrico al que pertenece cada uno de los
siguientes conjuntos de puntos.
EJERCICIO 9
EJERCICIO 10
1. L = {(0, 0), ( 1, 1), ( 2, 4), (3, 9)} 3. L = {(0, 3), (3, 6), (2, 5), ( 1, 2), ( 4, 1)}
2. L = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), ( 1, 2), (5, 4)} 4. L = {(1, 1), (2, 4), (0, 0), ( 3, 9), ( 2, 4)}
Fig. 1.11 Identificación de lugares geométricos.
x
y
x
y
x
y
x
y
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B 1Lugares geométricos en el plano
CONSTRUIR LUGARES GEOMÉTRICOS CON CÍRCULOS
I. Recorta círculos de cartón o cartulina que tengan radios de 5 cm, 10 cm, 15 cm y 20 cm.
II. Realiza los siguientes pasos.
1. Fija en una cartulina la circunferencia de radio de 20 cm y coloca por la parte exterior la circun-
ferencia de 5 cm. Marca un punto P sobre la circunferencia de 5 cm.
2. Gira la circunferencia de 5 cm sobre la de 20 cm por la parte exterior de ésta y ve marcando sobre
la cartulina la trayectoria que describe el punto P.
3. Describe el lugar geométrico que obtuviste.
III. Realiza los pasos del inciso II, fi jando la circunferencia de 15 cm.
IV. Realiza los pasos del inciso II, fi jando la circunferencia de 20 cm y girando la circunferencia de
10 cm alrededor de ésta.
V. Realiza los pasos del inciso II, fi jando la circunferencia de 15 cm y girando la circunferencia de
10 cm alrededor de ésta.
CALCULAR PERÍMETROS Y ÁREAS DE TRIÁNGULOS A PARTIRDE SUS COORDENADAS
I. Calcula el perímetro de los triángulos a partir de sus coordenadas. Luego, calcula su área, usan-
do determinantes.
1. A(5, 5), B(2, 4), C( 3, 7)
2. A( 1, 6), B(1, 4), C(4, 5)
CALCULAR EL PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS CONVEXOSA PARTIR DE SUS COORDENADAS
I. Calcula el perímetro de los polígonos del ejercicio anterior a partir de sus coordenadas. Re-
cuerda que los vértices deben estar ordenados de tal modo que formen un polígono convexo.
Después, calcula el área de los polígonos, usando el método de determinantes.
1. A(7, 5), B(9, 2), C(5, 3), D(8, 1), E(9, 4), F (6, 1) 2. A( 2, 2), B( 1, 2), C(1, 0), D(O, 3), E( 3, 1)
ACTIVIDAD 2
EJERCICIO 11
EJERCICIO 12
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B 1Lugares geométricos en el plano
COMPARAR EL PERÍMETRO DE TRIÁNGULOSQUE TIENEN LA MISMA ÁREA
PROBLEMA 5
Fig. 1.12 Triángulos con vértice en A(5,2)y su lado opuesto sobre el eje x.
Fig. 1.13
I. Construye en el plano cuatro triángulos dis-
tintos, que todos tengan uno de sus vértices en
A(5, 2), que el lado opuesto a este vértice se en-
cuentre sobre el eje x y que mida 4 unidades.
II. Calcula el perímetro y el área de cada triángu-
lo. Usa los métodos que se trabajaron en este
bloque.
VERIFICAR QUE UN PARALELOGRAMO SEA UN CUADRADOPROBLEMA 6
I. Este problema se realizará en parejas. Cada in-
tegrante deberá realizar la instrucción 1 y des-
pués, la 2 con el cuadrado del otro, justifi cando
sus respuestas. Lo pueden ver como juego. Deci-
dan qué otorgarán al ganador, quien será aquel
que haya trazado la fi gura más cercana a un
cuadrado.
1. En el plano cartesiano dibuja cuatro vértices
cuyas coordenadas no sean números enteros,
de tal forma que se vean como los vértices de
un cuadrado cuyos lados no sean paralelos a
los ejes.
2. Verifi ca si la fi gura de tu compañero de equipo
es un cuadrado o no. Justifi ca con argumentos
matemáticos.
x
y
x
y
3. Si los dos estuvieron muy cerca de dibujar un cuadrado, decidan cuál será el criterio para defi nir
al ganador.
III. Responde.
1. ¿Cuál de los triángulos tiene mayor área?
2. ¿Podrías construir un triángulo que tenga mayor área que el que obtuviste en la respuesta ante-
rior? Si es así, ¿cómo lo harías?
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B 1Lugares geométricos en el plano
CONSTRUIR LA MEDIATRIZ COMO LUGAR GEOMÉTRICO EN GeoGebra
I. Haz la siguiente construcción en GeoGebra, siguiendo los pasos que se presentan a continuación.
1. Genera dos puntos A y B, a partir de estos puntos se construirá el lugar geométrico de puntos que
tienen la misma distancia a A y a B.
2. Construye un segmento CD cuya longitud sea mayor que la distancia entre A y B. Ubica un punto E
sobre el segmento.
3. Selecciona la opción “Compás” que se encuentra entre las opciones del menú “Circunferencia”. Se-
lecciona el punto E y el punto C para fi jar la amplitud del tamaño del compás y después selecciona
el punto A.
4. Vuelve a seleccionar el “Compás” con la amplitud E y C, pero ahora selecciona como centro el
punto B. Se mostrarán dos circunferencias, una con centro en A y la otra, en B.
5. Si las circunferencias se intersecan, marca los puntos de intersección de ambas circunferencias.
En el menú “Punto”, elige “Punto de intersección”. En caso de que las circunferencias no se inter-
sequen, mueve el punto E sobre el segmento CD hasta que las circunferencias se intersequen, y
marca sus puntos de intersección.
6. Selecciona cada uno de los puntos de intersección y, con el botón derecho, elige la opción “Marcar
rastro”.
7. Mueve el punto E y observarás cómo se genera el lugar geométrico de los puntos que tienen igual
distancia a los puntos A y B.
CONSTRUIR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS BARICENTROSDE LOS TRIÁNGULOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
I. Realiza la siguiente construcción en GeoGebra, siguiendo los pasos que se presentan a continua-
ción.
1. Traza una circunferencia con centro en A y que pase por el punto B.
2. Sobre la circunferencia marca los puntos C, D, E.
3. Con la opción “Polígono”, construye el triángulo que pase por los puntos C, D, E.
4. Construye respectivamente el punto medio de los segmentos CD, DE, EC.
5. Traza las tres medianas del triángulo; es decir, une cada punto medio con el vértice opuesto.
6. Marca el punto de intersección de las medianas I, ése es el baricentro.
7. Con el botón derecho del ratón, selecciona el punto I y elige “Mostrar rastro”.
8. Mueve cualquiera de los puntos C, D o E sobre la circunferencia y observa cuál es el lugar geomé-
trico que se obtiene, dejando fi jo a los otros dos puntos del triángulo.
9. Describe el lugar geométrico que se formó.
10. Ahora fi ja uno de los lados del triángulo como el diámetro y mueve el otro vértice sobre la circun-
ferencia. ¿Qué ocurre con el lugar geométrico?
11. Fija uno de los lados del triángulo como una cuerda, lo más alejada que puedas del centro. ¿Qué
ocurre con el lugar geométrico?
12. Haz, en hojas blancas, el esbozo de tu fi gura con el lugar geométrico que se forma en cada caso.
APPLICACIÓN 1
APPLICACIÓN 2
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B 1Lugares geométricos en el plano
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Actividad HSE
Reflexionando acerca de las interacciones sociales.Reflexionando acerca de las interacciones sociales.(Una aplicación inesperada de las coordenadas cartesianas)(Una aplicación inesperada de las coordenadas cartesianas)Habilidad general: conciencia social
Habilidad específi ca: toma de perspectiva
I. Lee el texto.
Una invitación a trazar el “mapa del grupo”Una invitación a trazar el “mapa del grupo”Los mapas son indispensables en geografía. El mapa del tesoro puede ser el tema central para una
película de aventuras. ¿Pero qué objeto puede tener hacer un mapa de tu grupo en la escuela? Y no
estamos pensando en cómo están colocadas sus bancas o cómo se distribuyen los alumnos. Imagina
que a los ejes del plano les asignamos una dimensión social que se va a medir entre −6 y 6. Por ejemplo,
si el eje x mide la interacción social, a una persona muy extrovertida podríamos califi carla, digamos,
con 5, mientras que a alguien muy tímido tal vez le daríamos −4. Si el eje y midiera, por ejemplo, el
gusto por los deportes, alguien muy deportista podría asignarse a sí mismo un 6 mientras que alguien
más sedentario podríamos darle un −5.
Además, podemos unir dos puntos con segmentos
de recta para representar que son buenos amigos. En
el grupo imaginario de la derecha, se ponen de relieve
algunos datos interesantes (figura 1.14). Encontramos
grupos bien defi nidos: J, B, L, M, K; A, D, E, C, I; H, P, Q lo
cual parece indicarnos que personas con características
similares, tienden a juntarse en grupos. Hay también
grupos pequeños: O, G o bien “solitarios” como F. Sin
embargo, hay un personaje que nos pone a pensar. No
es muy extrovertido, ni muy deportista, pero cumple un
rol bastante importante: ¿Ya lo descubriste? Se trata de N.
N es un factor de cohesión para todo este grupo porque
sin él, tendríamos grupitos desconectados. N merece un
reconocimiento especial por parte de todos.
Pero también este mapa puede cambiar si, por ejemplo, pensamos en otras dimensiones sociales:
la mucha o poca participación en obras sociales, el interés o desinterés por los videojuegos, el
entusiasmo por cierto tipo de música, etcétera.
Fig. 1.14 Relaciones de amistad de mi grupo.
II. Haz lo que se te pide.
1. Asigna dimensiones sociales a los ejes.
2. Identifi ca las que tú creas que son características de tus compañeros. Localiza los puntos y traza
los segmentos que unan a dos puntos que representen a dos amigos.
3. Analiza las redes que resultan y refl exiona en las consecuencias de tu mapa.
III. Reúnanse por equipos y hagan lo que se pide.
1. De común acuerdo con los miembros de tu equipo, asignen dimensiones sociales a los ejes.
2. Pidan a sus compañeros que se autoevalúen en esas dimensiones. Soliciten sus coordenadas.
3. Analicen resultados y concluyan.
−4
−4
−6
−6
A
BJ
KL
M N
C
I
D
E
Q
POG
F H0−2
−22 4 6
x
y
2
4
6
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B 1Lugares geométricos en el plano
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Actividad de integración
Lista de verificaciónLista de verificaciónAspecto por evaluar Sí No
Ubico coordenadas en un plano cartesiano.
Empleo el cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano para resolver problemas cotidianos.
Empleo el cálculo de perímetros en el plano para resolver problemas cotidianos.
Empleo el cálculo de áreas en el plano para resolver problemas cotidianos.
I. Organízate con un compañero para consultar el enlace http://edutics.mx/UNS; ahí se muestra el
terreno que abarca el Vivero Coyoacán. Después, hagan lo que se pide a continuación.
1. Den clic sobre el mapa y aumenten o disminuyan su tamaño de manera que la escala ( ), que
aparece en la parte inferior derecha, quede a 100 m.
2. Impriman el mapa y dibujen sobre éste un plano cartesiano, como el de la fi gura 1.15, de manera
que la superfi cie que abarca el Vivero Coyoacán quede en el primer cuadrante.
3. Al trazar las divisiones sobre los ejes del plano cartesiano, cuiden que el tamaño de cada división
sea del mismo que el de la escala del mapa para que cada división represente 100 m.
4. Consideren lo visto en el bloque y calculen el área en hectáreas y el perímetro en kilómetros del
Vivero Coyoacán.
5. Investiguen cuál es el área real del vivero y compárenla con la que calcularon. Concluyan y justi-
fi quen su respuesta.
II. Entre todos elijan una superfi cie (parque, escuela o algún terreno) y calculen de manera indivi-
dual su área. Al fi nal, comparen sus resultados y lleguen a acuerdos.
Fig. 1.15 Plano cartesiano.
x (m)
–100 100 900500300 700200 1000 1200 1300 1400 1500600400 800–200–300 0
300
400
500
600
700
y (m)
–100
100
200
1100
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. V.
Lugares geométricos en el plano
I. Completa las oraciones.
1. Dos ejemplos de lugares geométricos son:
a)
b)
2. (x, y) y (−x, −y) son simétricos con respecto a…
II. Encuentra lo que se solicita. Considera los puntos A12,34
y B 5,72
.
1. La distancia entre A y B.
2. El punto P que divide al segmento � ���AB en la razón λ = 3.
3. El punto medio del segmento � ���AB.
III. Resuelve el problema. Puedes utilizar un par de monedas iguales.
Una moneda con un punto P marcado sobre su perímetro, gira alrededor de otra moneda idéntica.
Elige el nombre que le darías al lugar geométrico descrito por P al moverse: ¿astroide?, ¿cardioide? o
¿rosa de cuatro pétalos? Justifi ca tu respuesta.
IV. Los vértices de un cuadrilátero son A 5, 7( ), B 4,12
, C( 2, 3) y −( )D 2, 1 . Encuentra:
1. El perímetro. 2. El área.
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