1

BAB I

MATRIKS

Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang

dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley (1821

– 1895). Matriks berkembang karena peranannya dalam cabang-

cabang Matematika lainnya, misalnya bidang ekonomi, industri dan

transportasi. Dengan menggunakan matriks , maka penyelesaian

sistem persamaan linear akan lebih mudah diselesaikan.

Pembahasan bab ini diawali dengan definisi matriks dan

operasi dasar matriks yang sudah dikenal, namun untuk pengenalan

sifat-sifat lebih lanjut penyajian matriks akan menggunakan notasi

matriks untuk mempersingkat penulisan. Meskipun matriks ini bukan hal

yang baru, karena sudah pernah diperoleh di SLTA, namun dengan

menguasai materi dalam bab ini akan lebih mudah mengikuti

pembahasan berikutnya.

TIK : Setelah mempelajari materi inidiharapkan mahasiswa dapat:

a. menjelaskan operasi-operasi aljabar matriks

b. menentukan bentuk eselon tereduksi suatu

matriks c. menghitung nilai determinan suatu

matriks

d. menentukan invers suatu matriks.

⎞

2

1.1. Operasi Aljabar Matriks

Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari

bilangan- bilangan, susunan tersebut disajikan di dalam kurung

besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri

atau elemen dari matriks.

Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah

⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎛ a11 a12 ... a1n ⎟⎢ aA = ⎢ 21 a22 ... a ⎥

2n ⎥ atau A =⎜ a21 a22 ... a2n ⎟

⎢ ...⎢

... ... ... ⎥⎥

⎜ ...⎜

... ... ... ⎟⎟

⎣am1 am2 ... amn ⎦ ⎝ am1 am2 ... amn ⎠

Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu

A = (aij )

dengan i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut menunjukkan baris dan kolom

dari matriks A.

Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut

matriks berukuran mxn dan dilambangkan dengan Amxn atau

(aij)mxn, ditulis singkat

A = (aij ). Dalam hal ini aij dinamakan elemen ke -ij dari matriks A. Matriks

A = (aij ) dengan m=n dikatakan sebagai matriks persegi, elemen a11, a22, ... , ann

disebut elemen diagonal utama dari A. Jumlahan elemen diagonal utama disebut

trace dari A.

Untuk dapat menggunakan matriks perlu dikaji operasi aljabar matriks berikut.

3

1. Kesamaan Matriks.

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika A dan B

berukuran sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak ) adalah sama.

1 2 1 1 2 5

4

1 2

1 2 1 2 2 4

⎢ 4 ⎢ 0 ⎢ 0

Jika disajikan dalam notasi matriks, A =

(aij )dan B = (bij

)maka A = B jika

aij = bij , untuk setiap i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n.

Contoh :

Jika ⎡2 5A2 x3 = ⎢

⎣ 34⎤ ⎡2

⎥ , B2 x3 = ⎢⎦ ⎣

5 4⎤⎥ ,3 ⎦

⎡1C2 x 2 = ⎢

⎣

3⎤⎥ , dan⎦

⎡2 5 4⎤D2 x3 = ⎢ ⎥⎣ 3 ⎦

maka

A ≠ B , A ≠ C , B ≠ C , dan A = D. š

2. Penjumlahan dan pengurangan matriks.

Penjumlahan dan pengurangan dua matriks atau lebih, hanya dapat

dilakukan jika matriks tersebut berukuran sama. Penjumlahan atau

pengurangan dua matriks didefinisikan sebagai penjumlahan atau

pengurangan elemen yang

bersesuaian.Jika A = (aij ) dan B = (bij ) ,

makaA + B = (aij + bij )

danA − B = (aij − bij ) .

Contoh :

Jika ⎡2 5A = ⎢

⎣ 34⎤

⎥ dan⎦

⎡− 1 0B = ⎢

⎣ − 35⎤

⎥ maka⎦

⎡1A + B = ⎢

⎣

5 9⎤⎥ ,0 ⎦

B + A = ⎡1

⎣2

5 9⎤⎥ ,0 ⎦

A − B = ⎡3 5

⎣0 6

− 1⎤⎥ , dan⎦

B − A = ⎡− 3 − 5

⎣ 0 − 6

1⎤⎥ . š⎦

Sifat : Jika A, B, dan C matriks yang berukuran sama maka berlaku:a. A + B = B + A

(Komutatif)

b. A + (B + C ) = ( A + B) + C

(Asosiatif)

3. Pergandaan matriks dengan bilangan (skalar).

5

Pergandaan matriks dengan skalar didefinisikan sebagai

perkalian skalar dengan setiap elemen matriks tersebut.

1 2 ⎢ 1⎥

6

Jika A = (aij ) dan k sebarang skalar, maka

kA = Ak = (kaij ) .

Contoh :

⎡2 5 4⎤ ⎡4 10 8⎤ ⎡− 2 − 5 − 4⎤Jika A = ⎢

1 3 2⎥ , maka 2 A = ⎢

2 6

4⎥ dan − A = ⎢

− 1 − 3 − 2⎥ . š

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4. Pergandaan matriks.

Pergandaan matriks A dan B, dinotasikan AB, hanya dapat

dilakukan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan

banyaknya baris matriks B.

Jika A = (aij )mxp dan B = (bij ) pxn , maka AB = C = (cij ) mxn , dengan

p

cij = ∑aik bkj .k =1

Contoh :

Jika ⎡2 5A = ⎢

⎣ 3

⎡ 2 04⎤

dan B = ⎢ 4 3⎦ ⎢⎣− 2 1

− 1⎤⎥⎥

− 3⎥⎦

maka

⎡4 + 20 − 8 0 + 15 + 4

− 2 + 5 − 12⎤

⎡16 19 − 9⎤

AB = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .⎣2 + 12 − 4 0 + 9 −

4− 1 + 3 − 6

⎦⎣10 5 − 4⎦

Matriks BA tidak dapat diperoleh karena banyaknya kolom dari B

adalah 3 sedangkan banyaknya baris dari A adalah 2. š

Sifat : Jika A, B, dan C matriks sehingga operasi berikut berlaku, maka :a. A(B + C ) = AB + AC

Distributif kiri

(B + C ) A = BA + CA

Distributif kanan

b. A(B − C ) = AB − AC

Distributif kiri

(B − C) A = BA − CA

7

Distributif kanan

c. A(BC ) = (

AB)C

Assosiatif

t

8

1.2. Jenis – jenis Matriks

Beberapa matriks dengan elemen tertentu yang seringkali digunakan

disajikan berikut.

1. Matriks Nol.

Matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol,

dinotasikan 0. Contoh :

⎡0 0⎤ ⎡0 0 0⎤Matriks ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ merupakan matriks nol

⎣0 0⎦ ⎣0 0 0⎦

Sifat : Untuk sebarang matriks A yang ukurannya bersesuaian

sehingga operasi aljabar berikut dapat dilakukan, berlaku :

a. A + 0 = 0 + A

= A. b. A – A = 0.

c. 0 – A = –A.

d. A . 0 = 0 . A = 0.

2. Matriks Transpos.

Transpos dari matriks A, dinotasikan dengan A1 atau At, adalah

matriks yang kolom pertamanya adalah baris pertama matriks A,

kolom keduanya

adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya.

Jika A = (aij ) mxn

maka

A = (a ji ) nxm

Contoh :

2 4 3 4 ⎢7

⎣ 4

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

9

Jika⎡1 3 5⎤

A = ⎢ ⎥ ,⎣ 7 ⎦

⎡1B = ⎢

⎣

− 2⎤⎥ maka⎦

⎡1

At = ⎢3

⎢⎣5

2⎤⎥⎥

4⎥⎦

dan B t

⎡ 1= ⎢− 2

3⎤⎥ . š⎦

Sifat : Untuk sebarang matriks A berlaku :

a. (At)t = A

b. (kA)t = kAt

c. (A + B)t = At + Bt

d. (AB)t = Bt At

3. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah.

Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama

bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Begitu pula matriks

persegi yang semua

elemen di atas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.Jadi A = (aij ) nxn disebut matriks segitiga atas jika aij = 0 untuk i > j dan

disebut matriks segitiga bawah jika

aij = 0 untuk i < j.

Contoh :⎡a11

Matriks A= ⎢ 0

a12

a22

a13 ⎤a23

⎥⎡a11

dan B= ⎢a0

a22

0 ⎤0 ⎥ berturut-turut adalah

0 0 a33 ⎢⎣a31 a32 a33

matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal.

Adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya adalah

nol kecuali elemen pada diagonal utama.

Jadi A = (aij ) nxn disebut matriks diagonal jika aij = 0 untuk i ∫ j .

3 .

1

⎡1 0⎢

0⎤ ⎡− 1 0 0⎤⎥ ⎢ ⎥Contoh :

⎢0

3 0⎥ , ⎢ 0 3 0⎥

⎢⎣0 0 5 0 0 0

5. Matriks Identitas (Matriks Satuan).

Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama

dengan 1 disebut matriks identitas, dinotasikan dengan In

atau I.

Dalam bentuk notasi matriks , dituliskan

I = (aij ) dengan aij = 1, untuk i=j

dan aij = 0, untuk i∫j, berlaku untuk i,j=1,2,...,n.

Contoh :

⎡1 0

I = ⎢0 1⎢⎢⎣0 0

0⎤

0⎥⎥

1⎥⎦

Sifat : Untuk sebarang matriks A yang berukuran nxn berlaku In A=A In

=A.

6. Matriks invers

Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA =

I. Dalam hal ini invers matriks A dinotasikan A-1. Matriks yang

mempunyai invers

disebut matriks non singular.

⎡ − 1 2⎤ ⎡5 − 2⎤Contoh : Jika

A = ⎢ ⎥ maka B = ⎢ ⎥ adalah invers dari A sebab

⎣− 3 5⎦ ⎣3 − 1⎦

⎡ − 1 2⎤ ⎡5 − 2⎤ ⎡1 0⎤ ⎡5 − 2⎤ ⎡ − 1 2⎤ ⎡1 0⎤AB = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ dan BA = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . š

⎣− 3 5⎦ ⎣3 − 1⎦ ⎣0 1⎦ ⎣3 − 1⎦ ⎣− 3 5⎦ ⎣0 1⎦

Sifat : a. ( A-1 )-1 = A

b. (AB )-1 = B-1 A -1

⎢ ⎥

⎢ ⎥

1

7. Matriks Simetris.

Suatu matriks persegi A dikatakan simetris jika A = At.Jika A = (aij ) maka A dikatakan simetris

jikaaij = a ji , untuk setiap i,j.

Contoh :

Matriks⎡1 3

A = ⎢3 4⎢⎢⎣2 0

2⎤

0⎥⎥

5⎥⎦

⎡1 3

adalah simetris sedangkan matriks B = ⎢3 4

⎢⎣2 0

− 2⎤

1 ⎥ tidak5 ⎥⎦

simetris. Mengapa ?

Untuk sebarang matriks persegi A, matriks A+At merupakan matriks

simetris. Mengapa ?

8. Matriks Skew Simetris (Simetris Miring).

Matriks A dikatakan simetris miring jika At = –A .Jika A = (aij ) maka A dikatakan simetris miring

jikaaij = −a ji , untuk setiap

i,j.

Contoh :

Matriks⎡ 0 3

A = ⎢− 3 0

⎢⎣− 2 1

2 ⎤− 1⎥

0 ⎥⎦

adalah matriks simetris miring.

9. Matriks-matriks persegi yang istimewa.

- Jika A dan B matriks-matriks persegi sedemikian sehingga

AB = BA, maka A dan B disebut commute.

- Jika AB = -BA, maka A dan B disebut Anti Commute.

- Matriks A yang memenuhi A k+1 = A (k bilangan positif), disebut periodik

⎢ ⎥

⎢

1

- Jika A 2 = A, maka A disebut matriks Idempoten.

- Jika A k = 0, dengan k bilangan bulat positif terkecil maka A

disebut matriks nilpoten. Dalam hal ini bilangan k disebut

indeks nilpoten.

Contoh :

⎡2 1⎤ ⎡6 4⎤a. Matriks

A = ⎢1 2⎥ dan B = ⎢4 6⎥ adalah Commute, sebab :

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡2 1⎤ ⎡6 4⎤ ⎡16 14⎤ ⎡6 4⎤ ⎡2 1⎤ ⎡16 14⎤AB = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ dan BA = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .⎣1 2⎦ ⎣4 6⎦ ⎣14 16⎦ ⎣4 6⎦ ⎣1 2⎦ ⎣14 16⎦

b. Matriks

⎡ 2 − 2

A = ⎢− 1 3

− 4⎤

4 ⎥ adalah idempoten sebab A2 = A.

1 − 2 − 3

⎡ 1

c. Matriks M = ⎢ 5

⎢⎣− 2

1 3 ⎤

2 6 ⎥⎥

− 1 − 3⎥⎦

adalah nilpoten berindeks 3, sebab M3 = 0.

1.3. Operasi Baris Elementer

Selain operasi aljabar matriks yang sudah diperkenalkan pada

subbab 1.1, ada operasi lain yang dapat dikenakan pada suatu matriks

untuk mendapatkan matriks lain. Operasi ini dinamakan operasi baris

elementer karena dikenakan pada baris-baris suatu matriks. Operasi ini

banyak digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan

linear yang akan dibahas pada bab berikutnya. Operasi baris elementer

meliputi tiga bentuk, yaitu :

a. Menukar baris ke-i dan baris ke-j, dinyatakan dengan Bij.

⎢ ⎥

2 3 2 3

⎢⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎥ ⎥

1

b. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar k ≠ 0 ,

dinyatakan

dengan Bi(k).

c. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke-j (k skalar) kepada

baris ke-i, dinyatakan dengan Bij(k).

Operasi semacam ini juga dapat dilakukan pada kolom, dengan notasi B diganti

K, namun untuk pembahasan ini operasi hanya dikenakan pada baris saja.

Jika kita melakukan operasi baris elementer pada suatu matriks

untuk memperoleh matriks yang lain, matriks awal dan hasilnya

dihubungkan dengan

tanda ≈ .⎡1

Contoh : Diketahui matriks A = ⎢2⎢⎣1

5 1⎤− 1 3⎥ .

− 2 4⎥⎦

a. Jika baris ke-1 ditukar dengan baris ke-3, diperoleh⎡1⎢⎢

⎢⎣1

5 1⎤− 1 ⎥

− 2

4⎥⎦

B13

≈⎡1⎢⎢⎢⎣1

− 2 4⎤− 1 ⎥

5 1⎥⎦

Jika operasi K13 dikenakan pada A diperoleh

⎡1

⎢3

⎢⎣4

5 1⎤− 1 2⎥ .

− 2 1⎥⎦

b. Jika baris ke-2 dikalikan 3, diperoleh

⎡1

⎢2

⎢⎣1

5 1⎤− 1 3⎥− 2 4⎥⎦

B2 ( 3 )

≈⎡1

⎢6

⎢⎣1

5 1⎤− 3 9⎥− 2 4⎥⎦

⎡1

Jika operasi K2(2) dikenakan pada A diperoleh ⎢2⎢⎣1

10 1⎤− 2 3⎥ .− 4 4⎥⎦

2 3 0 1

⎢ ⎥

⎥

1

c. Jika baris ke-1 dikalikan -2 kemudian ditambahkan ke baris ke-2, diperoleh

⎡1⎢⎢

⎢⎣1

5 1⎤− 1 ⎥

− 2

4⎥⎦

B12 ( −2 )

≈⎡1⎢⎢⎢⎣1

5

− 11

− 2

1⎤⎥⎥

4⎥⎦

⎡1

Jika operasi K31(-1) dikenakan pada A diperoleh ⎢2⎢⎣1

5 0⎤− 1 1⎥ . š

− 2 3⎥⎦

Jika operasi baris elementer dikenakan pada matriks

identitas akan diperoleh suatu matriks yang khas. Sebuah matriks

berukuran nxn disebut

matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan In

dengan melakukan satu operasi baris elementer.

Karena ada tiga macam operasi baris elementer, maka ada 3

macam matriks elementer :

1. Eij, yaitu matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i ditukar dengan

baris ke-j.⎡0 0 1⎤

⎢ ⎥⎡0 1 0⎤⎢ ⎥Contoh : Dari I3, diperoleh E13 =

⎢0

1

0⎥ , E12 = ⎢1 0 0⎥

⎢⎣1 0 0 ⎢⎣0 0 1

2. Ei ( k ) adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i digandakan

dengan skalar k ≠ 0.

⎡1 0 0⎤⎢ ⎥

⎡ 1 0 0⎤⎢ ⎥Contoh : Dari I3, diperoleh E2 (3) =

⎢0

3 0⎥ , E3 (−2) = ⎢0 1 0⎥ .

⎢⎣0 0 1 ⎢⎣0 0 − 2

, ⎢⎥

⎢ .

1

3. Matriks Eij ( k ) adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-j

digandakan dengan skalar k ≠ 0 kemudian ditambahkan ke

baris ke-i.

Contoh : Dari I3, diperoleh

E12 ( 4

)

⎡1

= ⎢0⎢⎢⎣0

4 0⎤

1 0⎥ E⎥ 23

0 1⎥⎦

⎡1 0 (−1) =

⎢0 1

⎢⎣0 0

0 ⎤− 1⎥ .

1 ⎥⎦

Sifat-sifat matriks elementer:

a. Jika matriks A digandakan dari kiri dengan matriks elementer E, maka EA

adalah suatu matriks baru yang diperoleh bila operasi baris

elementer yang digunakan untuk memperoleh E dari I, diterapkan

pada A.⎡1 2⎤⎢ ⎥

⎡0 0 1⎤⎢ ⎥

⎡1 0 0⎤⎢ ⎥Contoh :

MisalA = ⎢3 7⎥ , E13 =

⎢0 1 0

⎥ , E2 (3) = ⎢0 3 0⎥ , dan

⎢⎣5 4 ⎢⎣1 0 0 ⎢⎣0 0 1

⎡1

E12 ( 4 ) = ⎢0

⎢⎣0

4 0⎤

1 0⎥⎥

0 1⎥⎦

⎡1 2⎤ ⎡5 4⎤ ⎡0 0 1⎤ ⎡1 2⎤ ⎡5 4⎤⎢ ⎥

B13 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢3 7⎥ ≈ ⎢3 7⎥ , dan E13 .A = ⎢0 1 0⎥ ⎢3 7⎥ = ⎢3 7⎥ .

⎢⎣5 4 ⎢⎣1 2 ⎢⎣1 0 0 ⎢⎣5 4 ⎢⎣1 2

⎡1 2⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡1 2⎤ ⎡1 2 ⎤⎢ ⎥

B2 (3) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢3 7⎥ ≈ ⎢9 27⎥ , dan E2 (3).A = ⎢0 3 0⎥ ⎢3 7⎥ = ⎢9 21⎥ .

⎢⎣5 4 ⎢⎣5 4 ⎢⎣0 0 1 ⎢⎣5 4 ⎢⎣5 4

⎡1 2⎤ ⎡13 30⎤ ⎡1 4 0⎤ ⎡1 2⎤ ⎡13 30⎤⎢ ⎥

B12 ( 4) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢3 7⎥ ≈ ⎢ 3 7 ⎥ , dan E12 (4).A = ⎢0 1 0⎥ .⎢3 7⎥ = ⎢ 3 7 ⎥ . š

⎢⎣5 4 5 4 ⎢⎣0 0 1 ⎢⎣5 4 5 4

b. Invers dari matriks elementer juga merupakan matriks elementer.

1

Jika satu operasi baris elementer diterapkan pada I untuk

menghasilkan E, maka terdapat operasi baris elementer yang bila

diterapkan pada E akan menghasilkan I. Berbagai kemungkinan

operasi seperti di atas disajikan

sebagai berikut.

Operasi baris pada I untuk menghasilkan E

Operasi baris pada E untuk menghasilkan I

Menukar baris ke-i dan baris ke-j (Bij) Menukar baris ke-j dan baris ke-i

(Bji).Menggandakan baris ke -i dengan skalar k ≠ 0 (Bi(k)).

Menggandakan baris ke -i dengan 1/k

(Bi(1/k)).

Menambahkan k kali baris ke-j kepada

baris ke-i (Bij(k)).

Menambahkan -k kali baris ke-j

kepada baris ke-i (Bij(-k)).

Operasi pada kolom kanan merupakan invers (balikan) dari

operasi pada kolom kiri. Jika operasi pada kolom kanan dikenakan pada

I maka akan mengha- silkan matriks elementer, sebut saja E0, yang

menurut sifat a berlaku

E.E0 = I dan E0.E = I

Dengan demikian E0 adalah invers dari E. Dari tabel di atas

diperoleh : (Eij)-1 = Eji , (Ei(k))-1 = Ei(1/k)) dan

(Eij(k))-1 = Eij(-k).

Contoh :⎡0 0 1⎤ ⎡0 0 1⎤ ⎡1 0 0⎤

E .E = ⎢0 1 0

⎥.

⎢0 1 0

⎥ =

⎢0 1 0

⎥ dan E31. E13 = I.13 31 ⎢

⎢⎣1⎥ ⎢

0 0⎥⎦ ⎢⎣1⎥

0 0⎥⎦

⎢⎢⎣0

⎥0 1⎥⎦

⎡1 0 0⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡1 0 0⎤E (3).E (

1 ) = ⎢0 3 0⎥.⎢0 1 / 3 0⎥ = ⎢0 1 0⎥ dan E (1/3). E (3) = I.

2 2 3

⎢⎢⎣0

⎥ ⎢0 1⎥⎦ ⎢⎣0

⎥ 0 1⎥⎦

1

⎢⎢⎣0

⎥ 2

2

0

1

⎥⎦

3 4

⎢4

⎢1

⎢1

⎢⎦

⎥⎦ ⎦

1

⎡1 4 0⎤ ⎡1 − 4 0⎤ ⎡1 0 0⎤E (4).E (−4) =

⎢0 1 0

⎥.

⎢0 1 0

⎥ =

⎢0 1 0

⎥ dan E12(-4) . E12(4) = I. š12 12 ⎢

⎢⎣0⎥ ⎢

0 1⎥⎦ ⎢⎣0⎥

0 1⎥⎦

⎢⎢⎣0

⎥0 1⎥⎦

Kedua sifat di atas penting untuk digunakan dalam teorema berikut.

Teorema : Jika A matriks nonsingular maka A dapat dinyatakan

sebagai hasil ganda matriks-matriks elementer.

Contoh : Nyatakan

⎡2A = ⎢

⎣

3⎤⎥ sebagai hasil ganda matriks-matriks elementer.⎦

Penyelesaian : Kita dapat melakukan operasi baris elementer berhingga kali pada

A sampai diperoleh matriks I sebagai berikut.⎡2 3⎤ B1 (1 / 2 ) ⎡1 3 / 2⎤ B21 ( −3) ⎡1 3 / 2 ⎤ B12 ( 3) ⎡1 0 ⎤ B2 ( −2 ) ⎡1 0⎤

⎣3 4⎦ ≈A

⎣3 4 ⎦B

≈ ⎣0

C

− 1/ 2⎦ ≈ ⎣0 − 1 / 2⎦D

≈ ⎣0

I

1⎦ .

Menurut sifat a, tentu berlaku : B = E1(1/2). A, C = E21(-3).B, D = E12(3).C, dan I =

E2(-2). D. Dengan demikian diperoleh E2(-2). E12(3). E21(-3).

E1(1/2). A = I. Karena matriks elementer mempunyai invers matriks

elementer pula, maka A =(E1(1/2))-1. (E21(-3) )-1.(E12(3)) -1. (E2(-2))-1

.I

=E1(2). E21(3). E12(-3). E2(-1/2)Jadi

⎡2 3⎤ ⎡2=

0⎤ ⎡1.

0⎤ ⎡1.

− 3⎤ ⎡1 0 ⎤. .

⎣3 ⎦ 0 1 ⎣3⎥

⎣0⎥

⎣0 − 1 / 2⎥

Bentuk perkalian matriks elementer ini tidak tunggal. Periksa bahwa

A = E21.E12.E21(2).E12 (1). Dapatkah kamu cari bentuk perkalian yang lain ? š

⎢ 3⎢

3⎢

3⎥ ⎥ ⎥

1

Definisi : Matriks B dikatakan ekivalen baris (row

equivalent) dengan matriks A, ditulis A ~ B, jika matriks B

dapat diperoleh dari matriks A dengan berhingga banyak operasi

baris elementer

Mengingat sifat a dari matriks elementer, definisi di atas dapat pula

dinyatakan sebagai : matriks B dikatakan ekivalen baris dengan

matriks A jika terdapat

matriks-matriks elementer E1, E2, . . . . . ,Ep sehingga B = EpEp-1. . . E1A.

Contoh.⎡3 5 1⎤⎢ ⎥

⎡3 5 1⎤⎢ ⎥A = ⎢2 0 3⎥ dan B = ⎢2

0

3⎥ adalah ekivalen baris, karena

⎢⎣5 5 4 ⎢⎣0 0 0

⎡3 5

⎢2 0

1⎤ ⎡3B13 ( −1)

⎥ ≈ ⎢25 1⎤0 ⎥

⎡3B32 ( −1)≈ ⎢2

5 1⎤0 ⎥ . š

Sifat : 1. Jika A ekivalen baris dengan B, maka B ekivalen baris dengan A.

2. Jika A ekivalen baris dengan B dan B ekivalen baris dengan C, maka A

ekivalen baris dengan C.

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form)

jika memenuhi :

a. Jika terdapat baris yang tidak semua elemennya nol,

maka elemen pertama yang tidak nol adalah 1, dan disebut 1

utama (pivot)

b. Jika terdapat baris yang semua elemennya nol, maka baris ini diletakkan

2

pada baris paling bawah.

⎢⎢0

⎢00 1 1 ⎥

0 0 1 2⎥

⎣0 0 0 0 0⎦

⎢

⎥

⎢ 0

0

⎢1

⎢ 0

⎣

⎥

⎥

2

c. Pada sebarang dua baris yang berurutan yang tidak semua

elemennya nol, 1 utama pada baris yang bawah terletak di

sebelah kanan dari 1

utama baris di atasnya.

Contoh :

⎡1

⎢0

⎢⎣0

⎡14 2⎤1 3⎥ dan0 1⎥⎦ ⎢

3 2 0 5⎤3

⎥

⎥

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris

tereduksi (reduced row-echelon form) jika matriks tersebut

dalam bentuk eselon baris dan pada masing-masing kolom yang

memuat 1 utama, elemen 1 merupakan satu-satunya elemen

yang tidak nol.

Contoh.⎡1 0

⎢0 1

⎢0 0⎢0 0

0⎤⎥ ⎡0 1⎥ dan ⎢0 0

1⎥⎥ ⎢⎣0 0⎦

2 0⎤0

⎥0 0⎥⎦

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk normal jika

matriks tersebut memuat submatriks identitas.

Ada 4 jenis bentuk normal yaitu :

⎡Ip 0⎤ ⎡Ip⎤Ip , ⎢ ⎥ , [Ip 0], dan ⎢ ⎥ dengan Ip adalah matriks identitas⎣ 0 0⎦ ⎣ 0 ⎦

⎡1 0

Contoh. ⎢0 1

⎢⎣0 0

0 0⎤0

⎥0 0⎥⎦

Selain untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi, operasi baris

elementer juga dapat digunakan untuk memperoleh invers dari suatu

matriks non singular.

⎢ 2

⎢ 0

⎢⎥

⎢⎥

⎥

⎥

2

Jika A adalah matriks non singular, maka dengan melakukan

sebanyak berhingga kali operasi baris elementer pada matriks [A| I]

(matriks ini disebut perluasan dari matriks A) akan didapat matriks [I|

B]. Misalkan untuk itu diperlukan n operasi baris elementer. Karena A

dibawa ke I dan I dibawa ke B, maka I = E1. E2. E3.... En.A dan B =

E1. E2. E3.... En.I. Karena matriks elementer

mempunyai invers maka dari perkalian yang pertama diperoleh

−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1A = En .En−1....E2 E1 .I sehingga

AB = ( En .En−1 ....E2 E1 ).( E1.E2 ....En−1 .En ) = I

−1 −1 −1 −1dan BA = (E2 ....En−1 .En En

).(En−1....E2 E1 .E1 .E2 ....En−1.En ) = I .

Ini berarti B adalah invers dari A, atau B = A-1.

Contoh :⎡1

Jika A = ⎢2⎢⎣2

1 1⎤0 ⎥

− 2 1⎥⎦

maka invers dari A dapat ditentukan sebagai berikut.

⎡1

Dibentuk matriks [A| I] = ⎢2⎢⎣2

1 1

0 2

− 2 1

1 0 0⎤0 1

⎥0 0 1⎥⎦

Selanjutnya dengan melakukan operasi baris berikut ini : B21(-1), B 31(-2),

B12(1/2), B2(1/2), B32(-2), B13(1), B3(-1), akan diperoleh matriks :

⎡1 0 0

⎢0 1 0

⎢⎣0 0 1

2 − 3 /

2

1 1/ 2

− 2 2

1 ⎤0 ⎥ . Jadi A-1

=− 1⎥⎦

⎡ 2

⎢ 1

⎢⎣− 2

− 3 /

2

1/ 2

2

1 ⎤0 ⎥ . š

− 1⎥⎦

Definisi : Rank dari matriks A dapat didefinisikan sebagai banyaknya baris

2

(kolom) tak nol dari bentuk eselon baris yang diperoleh dari matriks A.

⎢ 2

⎢⎥

⎥

2

Karena banyaknya baris (kolom) tak nol selalu kurang dari minimum

diantara baris dan kolom, maka rank(Amxn) ≤ min {m, n}.

Contoh :⎡2

Carilah rank dari matriks A = ⎢2⎢⎣4

3 1⎤1

⎥4 3⎥⎦

Jawab : Jika matriks A dikenai operasi baris elementer B1(1/2), B21(-2), B31(-4),

⎡1

B2(-1/2), dan B32(2) kita memperoleh

⎢0

3 / 2

1

1 / 2 ⎤− 1 / 2⎥

. Jadi rank(A) = 2. š

⎢⎣0 0 0

1.4. Determinan.

Determinan suatu matriks persegi sangat banyak gunanya dalam

berbagai cabang matematika. Sebagai contoh pada aljabar, determinan

digunakan untuk mencari jawab n persamaan linear dengan n

variabel. Ada dua definisi determinan dilihat dari segi

pendekatannya, pertama dengan pendekatan klasik, yaitu bertitik tolak

pada fungsi permutasi, kedua dengan pendekatan bukan klasik, yaitu

pada fungsi multilinear. Pada pembahasan kali ini kita mendefinisikan

determinan dengan pendekatan klasik, yaitu melalui fungsi permutasi.

Definisi : Permutasi bilangan asli, dinotasikan s, adalah susunan

bilangan- bilangan asli menurut suatu aturan tanpa

menghilangkan atau mengulangi bilangan tersebut. Himpunan

semua permutasi dari n ditulis dengan Sn.

Contoh :

2

Permutasi dari barisan bilangan 1 dan 2 adalah (1,2) dan (2,1). Jadi S2 =

{(1,2), (2,1)} Permutasi dari bilangan 1,2, dan 3 adalah (1,2,3), (1,3,2),

(2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), dan (3,2,1). Jadi S3 = {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1),

(2,1,3), (3,1,2), (3,2,1)}.

Kita lihat bahwa banyaknya permutasi 2 bilangan adalah 2, banyaknya

permutasi 3 bilangan adalah 6. Secara umum banyaknya permutasi n bilanganadalah n!. Penulisan permutasi k bilangan adalah (j1,j2,...,jk) dengan

ji ≠ jk untuk

i ≠ k .

Definisi : Inversi pada suatu permutasi adalah terdapatnya bilangan

yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil, atau ji > jk

untuk i < k.

Contoh :

Pada permutasi (2,1,3) terdapat 1 inversi yaitu 2 mendahului 1.

Pada permutasi (3,2,1) terdapat 3 inversi yaitu : 3 mendahului 2, 3

mendahului 1, dan 2 mendahului 1.

Definisi : Jika jumlah inversi dari suatu permutasi adalah genap,

maka disebut permutasi genap dan jika jumlah inversi suatu

permutasi ganjil maka disebut permutasi ganjil.

Definisi : Tanda dari permutasi s, dinotasikan sgn(s), didefinisikan sebagai

⎧+ 1, jika jumlah inversi σ genapsign(σ ) = ⎨

⎩ − 1, jika jumlah inversi σ gasal

Contoh :

2

Jika s = (2,1,3) maka sgn(s)

= -1. Jika s = (3,2,1) maka

sgn(s) = -1.

⎢⎦

2 ⎥

3 4⎢

5

2

Definisi : Determinan dari matriks Anxn didefinisikan sebagai :det( A) = ∑

σ∈Sn

sgn(σ ).a1 j1 .a2 j2

a3 j3 ....anjn

Contoh :

Jika A = ⎡a11

⎣a21

a12 ⎤a22

⎥ maka S2 = {(1,2), (2,1)} dengan sgn(1,2) = +1, sgn(2,1) = -1

sehingga

det( A) = a11a22 − a12 a21

Jika⎡a11

A = ⎢a⎢⎢⎣a31

a12

a22

a32

a13 ⎤a23

⎥ maka S3 = {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), ((2,1,3),

(3,1,2),(3,2,1)}

a33 ⎥⎦

dengan sgn(1,2,3) = +1, sgn(2,3,1) = +1, sgn(3,1,2) = +1, sgn(1,3,2) = -

1, sgn(2,1,3)=-1, dan sgn(3,2,1) = -1. Sehingga

det(A) = a11a22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22 a31 .

Apabila contoh tersebut diterapkan pada matriks

⎡2A = ⎢

⎣

3⎤⎥ dan B =⎦

⎡3 2

⎢2 4

⎢⎣0 1

1⎤⎥⎥

6⎥⎦

maka det(A) = 2.4 - 3.3 = -1 dan det(B) = 3.4.6 + 2.5.0 + 1.2.1 - 3.5.1 - 2.2.6 -

1.4.0 = 35. š

Dari definisi di atas, apabila A suatu matriks segitiga (atas ataupun bawah)

maka det(A) pasti bernilai nol sebab satu-satunya suku tidak nol adalah

perkalian elemen-elemen diagonal utama. Jadi jika Anxn = (aij ) maka

det(A) = a11.a22. ... .ann.

Selanjutnya sifat-sifat yang berlaku pada determinan adalah :

1. Nilai determinan matriks A sama dengan nilai determinan

transposenya, yaitu det(A) = det(At)

⎢ a⎢ a

⎢⎥

⎢ 5

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎥

2

Contoh : Jika A = ⎡a11

⎣a21

a12 ⎤⎥

22 ⎦maka A t =

⎡a11

⎣a12

a21 ⎤⎥ . Sehingga

22 ⎦

det( A) = a11a22 − a12 a21 dan det( At ) = a11a22 − a12 a21 .

2. Jika setiap elemen pada suatu baris atau kolom matriks A bernilai

nol, maka det(A) = 0.

Contoh : B =

⎡3

⎢2

⎢⎣0

2 1⎤

4 5⎥ maka det(B) = 3.4.0 + 2.5.0 + 1.2.0 - 3.5.0 -

2.2.0 -0 0⎥⎦

1.4.0 = 0.

3. Jika matriks A mempunyai dua baris atau dua kolom yang sama

(elemen yang bersesuaian bernilai sama), maka det(A) = 0.

Contoh : C =

⎡3

⎢2

⎢⎣2

2 1⎤4

⎥4 5⎥⎦

maka det(C) = 3.4.5 + 2.5.2 + 1.2.4 - 3.5.4 - 2.2.5 -

1.4.2 = 0.

4. Jika matriks B diperoleh dengan menukar dua baris atau dua kolom matriks A

maka det(B) = - det(A).⎡3

Contoh : Matriks A = ⎢2⎢⎣0

2 1⎤

4 5⎥ , det (A) = 35. Dengan menukar baris 1

dan1 6⎥⎦

⎡0

baris 3 matriks A diperoleh matriks C = ⎢2⎢⎣3

1 6⎤

4 5⎥ dengan det(C) = 0.4.1 +2 1⎥⎦

1.5.3 + 6.2.2 - 0.5.2 - 1.2.1 - 6.4.3 = -35.

⎢ ⎥

⎢ 5 ⎥

2

5. Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan satu baris atau satu kolom matriks

A dengan skalar k ≠ 0, maka det(B) = k.det(A).

Contoh :⎡3

Matriks A = ⎢2⎢⎣0

2 1⎤

4 5⎥ , det (A) = 35. Dengan mengalikan baris ke tiga

matriks1 6⎥⎦

⎡3

A dengan 3, diperoleh matriks C = ⎢2⎢⎣0

2 1 ⎤4

⎥3 18⎥⎦

dengan det(C) = 3.4.18 + 2.5.0 +

1.2.3 - 3.5.3 - 2.2.18 - 1.4.0 = 105.

6. Jika A, B, dan C matriks yang identik (sama) kecuali pada satu baris.

Pada baris yang tidak identik ini, baris matriks C merupakan jumlahan

dari baris matriks A baris matriks B, maka det(C) = det(A) + det (B).

Contoh :⎡3 2 1⎤

⎢ ⎥⎡1 0 1⎤⎢ ⎥

⎡4 2 2⎤⎢ ⎥Misalkan A =

⎢2

4 5⎥ , B = ⎢2 4 5⎥ , dan C =

⎢2

4 5⎥ . Maka det(A) = 35,

⎢⎣0 1 6 ⎢⎣0 1 6 ⎢⎣0 1 6

det(B) = 1.4.6 + 0.5.0 + 1.2.1 - 1.5.1 - 0.2.6 -

1.4.0 = 21. det(C) = 4.4.6 + 2.5.0 + 2.2.1 - 4.5.1

- 2.2.6 - 2.4.0 = 56.

7. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambah satu baris dengan k

kali baris yang lain, maka det(B ) = det(A).

Contoh :

⎢⎥

3

⎡3 2 1⎤⎢ ⎥

⎡ 3 2 1⎤⎢ ⎥Misalkan A =

⎢2

4 5⎥ dan B = ⎢− 1

2

4⎥ . Maka det(A) = 35, det(B) =

3.2.6

⎢⎣0 1 6 0 1 6

+ 2.4.0 + 1.(-1).1 - 3.4.1 - 2.(-1).6 - 1.2.0 = 35.

Dari 7 sifat di atas kita dapat mengubah sebarang matriks

menjadi matriks segitiga dengan operasi baris elementer jenis tersebut,

tanpa mengubah nilai determinannya.

Contoh :

Misal A =

⎡3

⎢2

⎢⎣0

2 1⎤4 5⎥ , dengan operasi B21(-2/3) dilanjutkan B32(-3/8) diperoleh

1 6⎥⎦

⎡3 2 1 ⎤⎢ ⎥ 8 35matriks B = ⎢0

⎢⎣08 / 3

0

13 / 3⎥ , sehingga det(A) = det(B ) 3.

3 .

835 / 8⎥⎦

= 35.

1.5. Ekspansi Kofaktor

Definisi : Jika A adalah matriks persegi maka minor dari elemen aij, dinyatakan

dengan Mij, adalah determinan tingkat (n-1) yang diperoleh

dengan mencoret baris ke i dan kolom ke j dari matriks A.

Bilangan (-1)i+j Mij, dinyatakan dengan Kij, dinamakan kofaktor entri aij.

Contoh :

⎢ 2⎥

3

⎡1 1 1⎤⎢ ⎥ ⎡ 0 2⎤

Misal A = ⎢2 0 2

⎥ , maka M11 = det ⎢

− 2

1⎥ = 4 dan K11 = (-

1)M11 = 1.4 = 4.

⎢⎣2 − 2 1 ⎣ ⎦

⎡2Selanjutnya M12 = det ⎢

⎣2

2⎤⎥ = -2 dan K12 = (-1)1+2 M12 = -1.( -2) = 2. Secara

1⎦

sama diperoleh M13 = -4 , M21 = 3, M22 = -1 , M23 = -4 , M31 = 2, M32 = 0, dan

M33 = -2. Kemudian didapat K13 = -4 , K21 = -3, K22 = -1 , K23 = 4 , K31 = 2, K32 =

0, dan K33 = -2. š

Dari penghitungan kofaktor elemen suatu matriks kita dapat

menghitung determinan dan invers dari suatu matriks.

Definisi : Jika A = (aij ), maka determinan A didefinisikan sebagai :

n ndet( A) = ∑ (−1)i+ j aij M ij = ∑ aij K

ij

(ekspansi baris ke i), atau

j =1 j =1

n ndet( A) = ∑ (−1)i+ j aij M ij = ∑ aij K

ij

(ekspansi kolom ke j)

i=1 i=1

Contoh :⎡1

Jika A = ⎢2⎢⎣2

1 1⎤0

⎥− 2 1⎥⎦

maka det(A) = 1. K11 + 1. K12 + 1. K12 = 4 + 2 + (-4) = 2. Atau

det(A) = 2. K21 + 0. K22 + 2. K23 = 2.(-3) + 0. (-1) + 2.4 = .(-6) + 8 = 2. Cobalahhitung dengan ekspansi kolom. š

Definisi : Jika A = (aij ) matriks persegi maka matriks K = (K ij )

dengan

K ij adalah

3

kofaktor dari

aij dinamakan matriks kofaktor dari A. Transpose dari

matriks kofaktor disebut matriks adjoin dari A, dinotasikan adj(A).

2

3

Contoh :⎡1 1 1⎤⎢ ⎥

⎡ 4 2⎢

− 4⎤⎥

⎡ 4 − 3 2⎤⎢ ⎥Jika A = ⎢2 0 2⎥ , maka K = ⎢− 3 −

1

4⎥ , dan adj(A) = ⎢ 2 −

1

0⎥ .

⎢⎣2 − 2 1 2 0 − 2 ⎢⎣− 4 4 − 2

Teorema : Jika A matriks yang mempunyai invers maka

A−1 = 1

adj( A) .det( A)

Contoh :⎡1 1 1⎤⎢ ⎥

⎡ 4 − 31 ⎢

2⎤ ⎡ 2⎥ ⎢

− 3 / 2 1⎤⎥Jika A = ⎢2 0 2⎥ , maka A-1 = ⎢ 2

− 1

0⎥ = ⎢ 1 − 1 / 2

0⎥ .

⎢⎣2 − 2 1 ⎢⎣− 4 4 − 2 ⎢⎣− 2 2 − 1⎥⎦

Latihan 1.⎡1 3 ⎤⎢ ⎥ ⎡2 1⎤

⎡− 1 0⎤⎢ ⎥

⎡2 2 1 ⎤⎢ ⎥1. Diberikan

matriksA =

⎢2 − 1

⎥ , B = ⎢

2 1⎥ , C =

⎢ 3 1

⎥ , D =

⎢0 1 − 1

⎥ ,

⎢⎣2 0 ⎣ ⎦

1 2 ⎢⎣4 3 3

⎡3 1 0 ⎤ ⎡2⎤E = ⎢ ⎥ , F = [1 2 3], G = ⎢ ⎥ , dan H = [0 1 1]. Manakah di antara

⎣2 1 − 3⎦ ⎣2⎦

operasi berikut yang dapat dilakukan ? Jika dapat dilakukan tentukan

hasilnya, jika tidak dapat dilakukan berikan alasannya.a. A + B

b. 2A +

C c. B -

2D d.

3H - F

e. AB + FE

f. 3BA

g. ED -

BA h. BG

+ GH i.

HD - At

j. Ft + Gt

k. (F +

G)t l.

(AB)t

⎢ 3 ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3

⎢ 1 ⎢ 1 ⎢ 0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3

⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥

3

2. Berikan satu contoh matriks simetris ukuran 3 x 3.

3. Berikan satu contoh matriks simetris miring A yang berukuran 3 x 3. Apakah

A + At juga simetris miring ? Berikan alasannya.

4. Jika

⎡ 1 2

C = ⎢− 1 0

1⎤ ⎡2 2⎥ dan D = ⎢0 1

1 ⎤− 1⎥ , hitunglah :

4 1 5 ⎢⎣4 3 3

a. C (C + D)

b. C 2 + CD)

c. C (CD)

d. C 2D

e. (C - D)C

f. C 2 - DC

5. Lakukan operasi baris elementer B2(-2), B21(2), B13, B23(-2), B12(-1),dan B1(3)

pada matriks berikut.⎡1

a. A = ⎢2

3 ⎤− 1⎥

⎡2 2

b. B = ⎢0 1

1 ⎤− 1⎥

⎡ 1 2 1⎤c. C = ⎢− 1 0 ⎥

⎢⎣2 0 ⎢⎣4 3 3 4 1 3⎥⎦

6. Dapatkan invers dari matriks elementer berikut.⎡1

a. ⎢0

⎢⎣0

0 0⎤0

⎥1 0⎥⎦

⎡1b.

⎢0

⎢⎣0

0 0⎤1

⎥0 1⎥⎦

⎡1 0

c. ⎢0 1

⎢⎣0 0

0 ⎤⎥⎥

− 2⎥⎦

7. Tentukan bentuk eselon baris dari matriks berikut. Catatlah

operasi baris elementer yang dilakukan untuk mendapatkan

bentuk eselon barisnya.

Dapatkan pula bentuk eselon baris tereduksinya⎡1

a. A = ⎢2

3 ⎤− 1⎥

⎡2 2

b. B = ⎢0 1

1 ⎤− 1⎥

⎡ 1 2 1⎤c. C = ⎢− 1 0 ⎥

⎢⎣2 0 ⎢⎣4 3 3 4 1 3⎥⎦

8. ll

27