bab 10 - kriging

10. KRIGING 10.1 PERMASALAHAN Dari hubungan kadar suatu conto pemboran dengan kadar blok akan diperoleh suatu pencaran sistematis. Disini berarti bahwa conto bor tersebut bukanlah suatu harga estimasi yang paling baik untuk menaksir blok, sehingga diperlukan suatu koreksi. Cara penentuan koreksi ini diberikan oleh Matheron melalui pemboran harga-harga conto dengan bantuan fungsi variogram. Nama cara ini (kriging) diambil dari pakar geostatistik di Afrika Selatan D. G. Krige yang telah memikirkan hal ini untuk pertama kalinya di awal tahun limapuluhan. Korelasi antara kadar-kadar conto pemboran dan kadar sebenarnya suatu blok yang diwakili oleh titik bor tersebut (diperoleh mis. dari hasil penambangan blok tersebut) akan memberikan suatu diagram pencar yang memperhatikan, bahwa sebagian besar pasangan data tersebut terletak di dalam suatu elips seperti yang terlihat pada Gambar 10.1.

Gambar 10.1 Pencaran data antara kadar conto hasil eksplorasi dengan kadar

blok penambangan Dalam hal semua hasil analisa conto merupakan estimasi yang benar/cocok/ sesuai terhadap kadar setiap blok yang diwakili conto tersebut, maka pencaran pasangan data tersebut akan membentuk garis regresi A-A’ yang melalui titik nol. Penelitian Krige pada perilaku kadar conto emas memperhatikan bahwa garis regresi tersebut pada kenyataannya lebih mendatar, seperti yang ditujukan oleh garis B-B’ (Gambar 10.2).

Gambar 10.2 Pencaran data antara kadar conto vs. Kadar blok untuk conto

emas (kurva B-B’) Ini berarti bahwa simpangan terbentuk secara sistimatik dan conto bor bukan merupakan harga estimasi yang mewakili kadar bijih pada blok. Analisa conto yang terletak di atas harga rata-rata memberikan suatu harga yang lebih besar daripada kadar-kadar blok, jika tidak diberikan koreksi. Harga conto z1 memberikan harga blok Z1’ melalui kurva A-A’ yang lebih besar dari harga sebenarnya Z1 (kurva B-B’). Tetapi sebaliknya analisa-analisa yang terletak di bawah harga rata-rata Z memberikan harga yang di bawah harga-harga blok, conto z2 melalui kurva A-A’ memberikan harga blok Z2’ yang lebih kecil dari harga sebenarnya Z2 (kurva B-B’). Koreksi Matheron yang memperhatikan variogram dari analisa data regional, memperlihatkan bahwa estimasi kadar blok tidak hanya dipengaruhi oleh conto yang terletak di dalam blok saja, tetapi juga dipengaruhi oleh conto-conto di sekitarnya yang berdekatan. Koreksi tersebut memberikan :

1. suatu harga estimasi yang lebih baik, 2. suatu varians dari estimasi tersebut. 2

Kσ Cara perhitungan dengan metode kriging ini kadang-kadang terlalu kompleks untuk suatu komoditi tertentu. Hal ini sangat bermanfaat jika dilakukan pada penentuan cadangan-cadangan yang mineable dengan kadar-kadar di atas cut-off grade. Sebagai contoh hubungan antara harga analisa conto dengan harga analisa blok bijih (harga sebenarnya) yang terpancar membentuk elips (Gambar 3), kemudian tarik garis regresi melalui titik 0 dan titik ( z,Z ), selanjutnya bagi elips tersebut dengan cut-off grade zc = Zc = 5% menjadi empat bagian.

Gambar 10.3 Pencaran data antara kadar conto vs. kadar blok yang

memperlihatkan kesalahan penambangan

Daerah 1 : semua blok dengan kadar > cog sesuai dengan kadar conto > cog ditambang Daerah 2 : semau blok dengan kadar < cog yang sesuai

dengan kadar conto < cog tidak ditambang Daerah 3 : semua blok dengan kadar < cog yang karena kesalahan kadar conto > cog yang ditambang Daerah 4 : semua blok dengan kadar > cog yang karena

kesalahan kadar conto < cog tidak ditambang

Jika garis regresi B-B’ yang menunjukkan hubungan antara conto dan kadar blok diplot, maka blok-blok dengan kadar 5% juga akan ditambang walaupun kadar conto kadar 3,5% (Gambar 3b). Daerah 4 pada Gambar 3b yang tidak tertambang karena kesalahan informasi menjadi kecil, sementara itu daerah 3 yang ditambang walaupun berkadar rendah menjadi lebih besar, walaupun demikian secara keseluruhan daerah dengan blok-blok yang mempunyai kadar > cut-off grade (5%) dan ditambang menjadi lebih besar. Berdasarkan analisis variogram, Matheron memberikan koreksi perkiraan kadar pada suatu blok yang tidak hanya dipengaruhi oleh conto di dalam blok saja, tetapi juga pada conto-conto di sekitarnya. Dengan bantuan kriging ini tidak akan ditentukan garis regresi baru yang lebih baik, tetapi metode ini akan mengoreksi kadar-kadar conto (dinaikkan atau diturunkan, sehingga mempersempit elips pencaran data (Gambar 4).

Gambar 10.4 Perubahan bentuk elips pencaran data akibat koreksi dengan

metode kriging Melalui koreksi ini bentuk elips akan lebih kurus/sempit dengan batas-batasnya mendekati garis regresi yang membentuk sudut 45º. Jumlah conto dan pasangan bloknya pada daerah 3 dan daerah 4 yang menyatakan kadar rendah ditambang atau kadar tinggi tidak ditambang akan berkurang. Royle & Newton (1972) telah menyelidiki bermacam-macam model koreksi dan menghasilkan solusi, bahwa proses kriging ini memberikan harga-harga pengestimasi kadar-kadar blom terbaik berdasarkan kadar-kadar conto yang sudah dikoreksi. 10.2 PERSAMAAN UMUM Misalnya terdapat suatu kumpulan S1 dari n conto dengan volumina yang sama pada suatu tempat xi sebagai harga perkiraan / estimasi terhadap suatu kadar Z dari volume V dipilih Z*. Harga perkiraan ini dapat melalui pembobotan kadar z(xi) conto :

( )∑=

⋅=n

1iii xz*Z λ

Jumlah faktor pembobotan iλ dibuat sedemikian rupa sehingga sama dengan satu :

∑=

=n

1ii 1λ

Dengan cara ini akan tercapai, bahwa harga estimasi adalah without bias, artinya harga yang diharapkan untuk perbedaan antara Z da Z* adalah nol. { } 0*ZZE =− Dengan memperhatikan faktor-faktor pembobotan akan didapat suatu varians estimasi (lihat persamaan terdahulu pada varians estimasi) Dengan memperhatikan faktor-faktor pembobotan akan didapat suatu varians estimasi (lihat persamaan terdahulu pada varians estimasi)

[ ]*ZZVar2E −=σ

= ( ) ( ) ( )∑ ∫ ∫ ∫ ∑∑= =

−−−−−n

1i V V V

n

1i

n

1ijijiii xxdydxyx

VV1dyyx

V2 γλλγγλ

=

= ( ) ( ) ( )∑ ∑∑= = =

−−n

1i

n

1i

n

1jjijiii S,SV,VV,S2 γλλγγλ

Varians estimasi ini adalah suatu fungsi dari faktor-faktor pembobotan , yang sudak diketahui bahwa jumlahnya adalah 1. Untuk memilih faktor-faktor pembobotan yang optimal, dibuat sedemikian rupa sehingga varians estimasi ini minimum.

1λ

Persyaratan bahwa jumlah 1λ yang tidak diketahui adalah satu, dapat didekati dengan pertolongan suatu multiplier lagrange untuk meminimumkan hubungan persamaan berikut ini : ( )∑ −−= 12Q i

2E λμσ min ⇒

Selain dari yang tidak diketahui, juga terdapat μ yang juga tidak diketahui. Pernyataan bahwa harus diminimumkan ini diartikan bahwa pendekatan parsial

dan μ∂∂ /Q i/Q λ∂∂ adalah nol. Selanjutnya didapat sistem persamaan linier (kriging system) sebagai berikut :

( ) ( )∑ ∫=

−=+−n

1j Vijij dxxx

V1xx γμγλ atau

( ) ( )V,SS,S i

n

1jjij γμγλ =+∑

=

dan ∑=

=n

1ii 1λ

Sistem persamaan ini cukup untuk menentukan harga-harga dan 1λ μ yang akan menghasilkan suatu varians minimum. Varians perkiraan/estimasi (kriging variance) akan diekspresikan melalui persamaan berikut :

( ) ( )∫ ∫ ∑ ∫=

−−−=V V

n

1j Vjj

2K dxxx

V1dyyxdx

VV1 γλγσ atau

( ) ( )∑=

++−=n

1jjj

2K V,SV,V γλμγσ

Keterangan : Persamaan-persamaan yang diberikan dapat juga kemudian

digunakan, jika z(xi) pada persamaan unutk perhitungan harga-harga estimasi Z adalah lebih kurang sama dengan harga rata-rata dari sejumlah conto-conto yang berdekatan satu sama lain.

Mis. ( )ji xx −γ bertindak sebagai harga rata-rata dari γ untuk kumpulan titik-titik Si dan Sj pada posisi xi dan xj.

Berikut ini diuraikan persamaan untuk menghitung dan yang merupakan konstanta-konstanta yang tidak dikenal :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )VSSS...SS...SSSS 1n1nj1j212111 γμγλγλγλγλ =+⋅++++⋅+⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )VSSS...SS...SSSS in1nj1j212111 γμγλγλγλγλ =+⋅++++⋅+⋅

M M M M M M

( ) ( ) ( ) ( ) ( )VSSS...SS...SSSS jn1nj1j212111 γμγλγλγλγλ =+⋅++++⋅+⋅

M M M M M M

( ) ( ) ( ) ( ) ( )VSSS...SS...SSSS nn1nj1j212111 γμγλγλγλγλ =+⋅++++⋅+⋅

1λ + 2λ j... λ++ n... λ++ + 1=μ

Dengan memperhatikan bahwa ( ) ( )ijji SSySS =γ , maka akan memberikan suatu matriks berikut ini :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

011111SSSSSSSS

1SSSSSSSS

1SSSSSSSS1SSSSSSSS

nnjn2n1n

njji2j1i

n2j2212

n1j12111

LL

LL

MMMM

LL

MMMM

LL

LL

γγγγ

γγγγ

γγγγγγγγ

• =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

μλ

λ

λλ

n

j

2

1

M

M

( )( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1VS

VS

VSVS

n

j

2

1

γ

γ

γγ

M

M

Matriks ( ji SSγ ) merupakan suatu matriks yang simetris. Sistem persamaan tersebut diatas dapat dituliskan sebagai berikut : [ ] [ ] [ ]MLK =⋅ Persamaam ini akan diselesaikan terhadap L untuk mendapatkan dan sehingga diperoleh persamaan :

1λ

[ ] [ ] [ ]MKL 1 ⋅= −

Untuk varians kriging dapat dituliskan :

( ) [ ] [ ]MLV,V t2K ⋅+−= γσ

10.3 PENGARUH PARAMETER GEOSTATISTIK PADA FAKTOR-FAKTOR

PEMBOBOTAN DAN VARIANS ESTIMASI Pengaruh beberapa parameter geostatistik akan diterangkan pada suatu conto perhitungan sederhana sebagai berikut : Diketahui conto dengan kadar z( ) diambil dengan jarak yang sama (L=20

m) di sepanjang suatu garis. Kadang rata-rata semua conto ix ix

0,1z = . Variogram (model Matheron) pada data tersebut mempunyai parameter sebagai berikut :

C = 1,0 a = 60 m 0,0C0 =

Akan dihitung faktor-faktor bobot, varians estimasi (varians kriging), dan standar deviasi relatif untuk kadar z* suatu potongan garis sepanjang L (mis, pada titik

) 1x Untuk melihat bagaimana pengaruh conto-conto di sekitarnya serta pengaruh nugget variance, maka akan diperhatikan jika hanya dipengaruhi oleh suatu titik

(dirinya sendiri), atau dipengaruhi oleh tiga titik , , atau jika dipengaruhi oleh semua titik-titik conto disekitarnya.

1x 1x 2x 3x

10.3.1 SISTEM KRIGING DENGAN MEMPERHATIKAN HANYA SATU CONTO

( ) ( )∑=

=+n

1jijij L,SS,S γμγλ ∑

=

=n

1jj 1λ

untuk n = 1 maka 11 =λ ( ) 0SS 11 =γ ( ) (pfγγ CCLS 01 += )

= [ ]2LXCC0 +

= ( )6010X10 +

= 0,124 Dengan memasukkan parameter-parameter tersebut pada persamaan umum kriging akan memberikan : 124,0124,001 =⇒=+⋅ μμ

Untuk varians krigingnya berlaku rumus :

( ) ( )∑=

++−=n

1jjj

2K L,SL,L γλμγσ

( ) (LFCCL,L 0 ⋅+=γ )

= 0 + ( ) ( )6020Fa

LF1 =⋅

= F (0,333) = 0,165 124,0=μ

( ) 124,0124,0*1LS11 ==γλ

083,0124,0124,0165,02K =++−=σ

Standar deviasi relatif : %29%100z

2K

K =⋅=σ

σ

10.3.2 SISTEM KRIGING DENGAN MEMPERHATIKAN TIGA CONTO Sistem Kriging

( ) ( ) ( ) ( )LSSSSSSS 1313212111 γμγλγλγλ =+⋅+⋅+⋅



1λ + +2λ 3λ + 1=μ Untuk L = 20 m a = 60 m C0=0,0 dan C = 1,0 maka : ( ) ( ) ( ) 0SSSSSS 332211 === γγγ

( ) ( ) ( 2103121 xxCCSSSS −⋅+== γγγ ) ( ) ( ) ( ) ( ) 481,0333,060

20a

Lxx 21 ====− γγγγ

( ) ( ) ( 3202332 xxCCSSSS −⋅+== γγγ )

( ) ( ) ( ) ( ) 851,0667,06040

aL2xx 32 ====− γγγγ

( ) ( ) 124,02

LXCCLS 01 =⋅+=γ seperti pada a)

( ) ( ) ( 'LXCCLSLS 032 ⋅+== γγ )

( )( ) ( ) ( ) ( )

L2

LX2L

2LLX2

LL'LX

⋅−+⋅+=

( ) ( ) ( ) 359,05,0X6030X2

LLX ===+⇒

( ) ( ) ( ) 124,0167,0X6010X2

LX ===

( ) 477,020

124,010359,030'LX =⋅−⋅

=

Sehingga sistem kriging menjadi :

[ ][ ][ ][ ]4000,103477,0000,0851,0481,02477,0851,0000,0481,01124,0481,0481,0000,0

321

321

321

321

=+++=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅

λλλμλλλμλλλμλλλ

______________________________________

[ ] [ ]

32

32 3200,00851,0851,00

λλ

λλ

=

−=+++

______________________________________

21

21

2000,1000,12λλ

λλ−=

=+ [4]

______________________________________

( )

2

2

962,0124,0124,0481,02

λμμλ

−==+

[1]

______________________________________ ( ) ( ) 477,0962,0124,0851,0481,021 222 =−++− λλλ [2]

477,0962,0124,0851,0962,0481,0 222 =−++− λλλ 12,02 =λ______________________________________

76,01 =λ 12,032 == λλ dan 01,0=μ

( ) ( )∑=

++−=n

1jjj


( ) 165,0L,L =γ 124,0=μ

( ) 208,0477,012,0477,012,0124,076,0L,Sn

1jjj =⋅+⋅+⋅=∑

=

γλ

053,0208,001,0165,02

K =++−=σ

Standar deviasi relatif : %23%100*z

2K2

K ==σ

σ

______________________________________

( ) ( ) ( )3211 xz*12,0xz*12,0xz*76,*Z ++= λ Faktor bobot dan 2λ 3λ mempunyai harga yang sama, sesuai dengan posisi titik 2 dan 3 yang simetri terhadap titik 1 (berjarak L). Berdasarkan posisi titik-titik yang simetri ini, maka persamaan sistem kriging dapat lebih disederhanakan sebagai berikut :

( ){

( ) ( )44 344 21

2

1

S

322

Si1 2

xzxzxz*Z ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⋅+⋅= λλ

Sistem kriging

( ) ( ) ( )LSSSSS 1212111 γμγλγλ =+⋅+⋅ ( ) ( ) ( )LSSSSS 2222121 γμγλγλ =+⋅+⋅

000,1021 =++ λλ ( ) 0SS 11 =γ

( ) ( )[ L2CC2

1SS 022 γγ ⋅+= ] ( ) ( ) 851,0667,06040 == γγ

= [ ] 425,0851,01021 =⋅+

( ) ( ) 481,0SSSS 2112 == γγ ( ) 124,0LS1 =γ seperti sebelumnya ( ) 477,0LS2 =γ

______________________________________

124,0481,0000,0 21 =+⋅+⋅ μλλ 477,0425,0481,0 21 =+⋅+⋅ μλλ 000,1021 =++ λλ

______________________________________

76,01 =λ ( )12,0&12,024,0 322 === λλλ 01,0=μ

______________________________________

477,024,0124,076,001,0165,02K ⋅+⋅++−=σ

= -0,165+0,01+0,208

053,02K =σ seperti sebelumnya

10.3.3 SISTEM KRIGING DENGAN MEMPERHATIKAN SEMUA CONTO Akan digunakan tiga conto seperti pada 10.3.3, semua sisa conto lainnya dikelompokkan menjadi satu conto dengan harga rata-ratanya z . Semua conto rata-rata ini mempunyai jarak yang cukup jauh dari letak dan potongan L, demikian hingga dan semua fungsi bantu X(h), F(h) dianggap sama dengan 1,0.

321 x,x,x( )hγ

( ){

( ) ( ){

3

2

1S

3

S

322

Si1 z

2xzxz

xz*Z ⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅+⋅= λλλ

44 344 21

Sistem kriging



( ) ( ) ( ) ( )LSSSSSSS 3333222121 γμγλγλγλ =+⋅+⋅+⋅ 000,10321 =+++ λλλ

( ) 0SS 11 =γ ( ) ( ) 481,0SSSS 1221 == γγ ( ) 425,0SS 22 =γ

( ) ( ) ( ) 0,10,1CCSSSS 01331 =⋅+== γγγ

( ) ( ) ( ) 0,10,1CCSSSS 02332 =⋅+== γγγ

( ) 0,1CCSS 033 =+=γ Conto-conto yang tergabung dalam S3 terletak terpencar jauh di luar ( jarak > a), sehingga kadar rata-rata semua ( )j1 xx −γ adalah 1 (satu).

( ) 124,0LS1 =γ ( ) 477,0LS2 =γ ( ) ( ) 00,1'LXCCLS 03 ≅⋅+=γ

Sebagai contoh perhitungan , diambil conto-conto dengan jarak 6L = 120 m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L

L6XL6L6LXL6L'LX ⋅−+⋅+=

=( ) ( )

( ) ( 0,2X6333,2X7L

60120XL660

140XL7⋅−⋅=

⋅−⋅)

= 00,196,082,0684,07 ≅=⋅−⋅

124,0000,1481,0000,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ [1] 477,0000,1425,0481,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ [2] 000,1000,1000,1000,1 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ [3]

1λ + 000,1032 =++ λλ [4] ______________________________________ 353,0000,0000,0056,0481,0 21 −=+++− λλ [1]-[2] 734,0116,0 21 += λλ______________________________________ 0,116 +0,734+1λ 000,132 =+ λλ [4] 23 116,1266,0 λλ −= ______________________________________ 000,0000,1321 =→=++ μλλλ [3] ______________________________________ 124,0116,1266,0481,0 22 =−+ λλ

224,0635,0142,0

2 ==λ

760,0734,0116,0 21 =+= λλ 016,0116,1226,0 23 =−= λλ (karena kecil diabaikan) ______________________________________

( ) ( )∑=

++−=n

1jjj


( ) 165,0L,L =γ 000,0=μ 094,0124,0760,0 =⋅ 107,0477,0244,0 =⋅ 016,0000,1016,0 =⋅

( )∑=

=n

1jjj 217,0L,Sγλ

053,02K =σ (seperti sebelumnya)

Kedua conto dan bersifat memagari pengaruh conto-conto yang terletak di sebelah luarnya. Di sini tidak terjadi perbaikan faktor bobot dan juga tidak ada perbaikan varians estimasi.

( )2xz ( )3xz

10.3.4 PENGARUH NUGGET VARIANCE 0C0 ≠ Dengan memperhatikan semua conto seperti pada 10.3.3 ( ) 0SS 11 =γ 3,0C0 = ( ) 781,0481,03,0SS 21 =+=γ 0,1C =

( ) ( ) 576,0851,031,021SS 22 =+=γ m60a =

( ) 3,10,131,0SS 13 =+=γ 0,1z =

( ) 3,10,131,0SS 23 =+=γ

( ) 3,10,131,0SS 33 =+=γ ( ) 424,0124,03,0LS1 =+=γ ( ) 777,0477,03,0LS2 =+=γ

( ) 3,10,13,0LS3 =+=γ ___________________________________________

424,03,1781,0000,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ [1] 777,03,1576,0781,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ [2] 3,13,13,13,1 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ [3] 0,10321 =+++ λλλ [4]

___________________________________________ [1]-[2] 353,000205,0781,0 21 −=+++− λλ ( ) 452,0262,0781,0/353,0205,0 221 +=+= λλλ ___________________________________________ ___________________________________________ 0,1452,0262,0 321 =+++ λλλ [4] 32 262,1548,0 λλ −= ___________________________________________ 3,13,13,13,1 321 =+++ μλλλ [3] ( ) 3,13,1 321 =+++⋅ μλλλ

0,0

1321

==++

μλλλ

___________________________________________ 424,03,1781,0 32 =++ μλλ [1]

( ) 424,0262,1548,03,1781,0 22 =−+ λλ

335,0860,0288,0

2 ==λ

540,0452,0262,0 21 =+= λλ 125,0540,0335,00,13 =−−=λ

___________________________________________

( ) ( )∑=

++−=n

1jjj


( ) 465,0165,03,0L,L =+=γ 229,0424,0540,0 =⋅ 260,0777,0335,0 =⋅ +=⋅ 163,0300,1125,0

( ) 652,0L,S j

n

1jj =∑

=

γλ

187,0652,000,0465,02K =++−=σ

%43%1000,1/187,0K =⋅=σ ___________________________________________

Dengan kehadiran varians nugget, pengaruh conto-conto yang terletak di luar tidak dapat lagi diabaikan. Effek screen pada conto berikutnya berkurang akibat adanya varians nugget. Jika varians nugget dinaikkan lagi menjadi 5,0C0 = akan terlihat pengaruhnya lebih baik lagi : 466,01 =λ 341,02 =λ 193,03 =λ 000,0=μ 248,02

K =σ %43K =σ 10.3.5 RINGKASAN

1 conto 3 conto Semua conto C0 0,0 0,3 0,5 0,0 0,0 0,3 0,5

1λ 2λ

3λ

1,0 1,0 1,0 0,76 0,12 0,12

0,76 0,22 0,02

0,54 0,34 0,12

0,47 0,34 0,25

2Kσ Kσ

0,08 29%

0,38 62%

0,58 76%

0,05 23%

0,05 23%

0,19 43%

0,25 50%

10.4 SIFAT-SIFAT CARA KRIGING Melalui metode kriging diperoleh harga penaksir terbaik berdasarkan informasi yang ada pada suatu endapan bahan galian. Faktor bobot dipilih sedemikian rupa sehingga diperoleh varians estimasi yang minimum. Sehingga Kriging memperhatikan :

• Struktur dan korelasi spasial variabel melalui suatu fungsi ( )hγ , • Hubungan geometri relatif antar data yang mencakup hal penaksiran dan

penaksiran volume melalui γ sebagai ( )ji S,Sγ (hubungan antar data) dan

sebagai ( V,Siγ ) (hubungan antara data dan volume). Jika variogram isotrop dan pola data teratur, maka sistem kriging akan memberikan data yang simetri. Dalam banyak hal hanya conto-conto di dalam blok dan di sekitar blok memberikan estimasi dan mempunyai suatu faktor bobot masing-masing nol. Dalam hal ini jangkauan radius conto yang pertama atau kedua pertama akan tidak mempengaruhi (tersaring). Efek screen ini akan terjadi, jika tidak ada nugget effect atau kecil sekali C/C0=ε . Efect nugget ini menurunkan efek screen. Untuk efek nugget yang besar, semua conto mempunyai bobot yang sama. Conto-conto yang terletak jauh dari blok dapat diikutsertakan dalam estimasi ini melalui harga rata-ratanya. Seperti yang telah dijelaskan, metode ini memanfaatkan penggunaan informasi yang ada sebaik-baiknya, sehingga didapatkan estimasi linier yang paling baik untuk harga yang sebenarnya. Target utamanya adalah menghindari kesalahan sistematis dalam estimasi yang terlalu besar atau terlalu kecil (over estimate atau under estimate) dalam menaksir cadangan. Hal ini sangat penting pada perkiraan cadangan untuk pemilihan blok apakah layak tambang atau tidak. 10.5 CONTOH KRIGING PADA SUATU GRID YANG TERATUR Perhitungan dilakukan terhadap suatu blok pada endapan bahan galian yang sudah diketahui mempunyai variogram model Matheron dengan : C0=0,0 C=1,0 a= 60 m 0,1z =

Blok berbentuk bujur sangkar berukuran 20 m x 30 m dengan 4 conto disekelilingnya dan 1 conto di tengah-tengah blok. Berdasarkan kesimetrian letak conto terhadap blok, maka persamaan penaksiran kadar dapat dikelompokkan sebagai berikut :

( ){

( ) ( ) ( ) ( )44344214434421

321

S

543

S

212

S11 2

xzxz2

xzxzxz*z+

⋅++

⋅+⋅= λλλ

( ) ( )∑=

=+⋅3

1jijij R,SS,S γμγλ

( ) 0S,S 11 =γ

( ) 426,0852,05,06040CC

21S,S 022 =⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+= γγ

( ) 500,0000,15,06060CC

21S,S 033 =⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+= γγ

( ) ( ) 793,0601,060

3020CCS,S22

032 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+= γγγ

( ) 481,06020CCS,S 021 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+= γγ

( ) 688,06030CCS,S 031 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+= γγ

( ) 241,06015,

6010QCCR,S 01 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+=γ

( ) ( 'RQCCR,S 02 ⋅+=γ )

( )2

6015,

6010Q1

6015,

6030Q3

'RQ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=

= 517,0241,021638,0

23

=⋅−⋅

( ) ( ''RQCCR,S 03 ⋅+=γ )

( )2

6010,

6015Q1

6010,

6045Q3

''RQ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=

= 683,0241,021536,0

23

=⋅−⋅

( ) 320,06020,

6030FCCR,R 0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+=γ

Sistem kriging :

241,0688,0481,0000,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ 517,0793,0426,0481,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ 683,0500,0793,0688,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ

1λ + 2λ + 3λ +0 =1,000 ___________________________________________ penyelesaian empat persamaan dengan empat variabel 57,01 =λ 26,02 =λ 17,03 =λ 00,0=μ

( ) ( )∑=

++−=n

1jjj

2K R,SR,R γλμγσ

= ( )083,017,0517,026,0241,0057,000,0320,0 ⋅+⋅+⋅++− = 387,0320,0 +− = 0,067

Standar deviasi relatif : %26%100z

2K

K =⋅=σ

σ

___________________________________________

Bandingkan dengan : ( ) 158,06020,

60302

E2E =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= σσ

%40E =σ ___________________________________________ Secara umum cara kriging untuk blok dengan grid teratur ini tidak hanya memperhatikan 4 conto/blok di sekitarnya tetapi 8 blok.

8•

2•

9•

4•

1•

5•

7•

3•

6•

Kadar yang diestimasi untuk blok di tengah-tengah (blok 1) adalah :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⋅=

2xzxz

2xzxz

xz*Z 543

32211 λλλ

( ) ( ) ( ) ( )

z2

xzxzxzxz5

76764 ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅ λλ

Dalam hal ini akan terdapat 6 sistem persamaan linier untuk menentukan bobot

iλ ( 0=μ seperti yang sudah dijelaskan terlebih dahulu). Untuk suatu efek nugget yang besar C/C0=ε perlu diperhatikan satu kelompok conto yang mengitari blok di cincin luarnya lagi. Catatan : Sistem persamaan tersebut, yaitu pembobotan tiap conto melalui iλ

berlaku juga untuk semua blok-blok yang akan ditaksir, dengan syarat konfigurasi conto dan bloknya sama.

Untuk dapat melakukan kriging pada 66 blok dengan grid teratur, harus dihitung 4 faktor bobot yaitu untuk 4 conto bor yang mengitari setiap blok. Varians estimasi untuk tiap blok akan berbeda, semakin sedikit conto yang ikut dalam proses semakin besar harga varians ini.

Jika conto terletak di dalam blok yang akan ditaksir, atau ada satu-dua conto terletak di sekitar 8 conto yang akan digunakan untuk menaksir blok, maka sistem persamaannya harus disesuaikan lagi karena sistem pembobotannya sudah berbeda.

Untuk conto dengan penyebaran yang tidak teratur, yang karena suatu hal tidak terletak di tengah-tengah blok (random stratified grid), sistem persamaannya masih dapat digunakan tetapi dengan memodifikasi untuk tiap blok. 10.6 CONTOH KRIGING PADA GRID YANG TIDAK TERATUR Kadar z* suatu blok selayaknya ditaksir dari kadar conto blok tersebut dan kadar-kadar dari conto di sekitar blok yang akan diestimasi.

Terdapat satu kelompok S1 = n conto di tengah-tengah blok R, yang dikelilingi 8 blok di sekitarnya A yaitu kelompok S2 = m conto, dan seluruh endapan diwakili oleh satu kelompok S3 = 1 conto (kadar rata-rata = z ). Jika kadar kelompok S1 = z1, dan kadar kelompok S2 = z2, maka harga estimasi adalah :

zzz*z 32211 ⋅+⋅+⋅= λλλ Blok 1 = blok R / S1 / n conto dengan z1Blok 2-9 = aureol A / S2 / m conto dengan z2

Seluruh endapan V / S3 z (aureol = blok-blok yang mengelilingi blok yang akan ditaksir R) Sistem kriging :

( ) ( ) ( ) ( )RSSSSSSS 1313212111 γμγλγλγλ =+⋅+⋅+⋅



1λ + +2λ 3λ = 1,0 Karena conto-conto dalam blok tidak mempunyai posisi yang teratur, maka hubungan γ yang biasanya berlaku antar titik digantikan dengan hubungan γ dengan bidang yang ditaksir, mis.

( ) ( ) ( ) ( )A,RSSatauR,Rn1SS 2111 γγγγ →→

( ) ( ) ( ) ( )RRRVA,RR,Rn1

1321 γμγλγλγλ =+⋅+⋅+⋅

( ) ( ) ( ) ( )R,AV,AA,Am1R,A 321 γμγλγλγλ =+⋅+⋅+⋅

( ) ( ) ( ) ( )R,VV,VA,VR,V 321 γμγλγλγλ =+⋅+⋅+⋅

1λ + 2λ + 3λ = 1,0 Selain itu perlu diperhatikan juga, bahwa ekstensi endapan (V) lebih besar dibandingkan dengan range a, sehingga ( ) ( ) ( ) ( )V,AA,VV,RR,V γγγγ ===

( ) KCCV,V 0 =+== γ dan dengan demikian 0=μ . Sistem persamaan kriging disederhanakan menjadi :

( ) ( ) ( )R,RKA,RR,Rn1

321 γλγλγλ =⋅+⋅+⋅

( ) ( ) ( )R,AKA,Am1R,A 321 γλγλγλ =⋅+⋅+⋅

1λ + 2λ + 3λ = 1,0 Hubungan γ antar bidang yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut dapat diperoleh secara numerik melalui integrasi, seperti yang sudah dijelaskan pada penurunan fungsi bantu F. Penentuan dapat juga diperoleh melalui tabel fungsi bantu F, seperti yang ditunjukkan pada dua contoh berikut ini :

a) ( )A,Rγ Perhitungan hubungan antara bidang di tengah-tengah R (=1) dan aureol A (=2+3+4) :

Untuk mempermudah, hubungan antara bidang 1 dengan bidang 1 diekspresikan dalam F11, hubungan antara bidang 1 dengan bidang 2 adalah F12, dst

Sehingga didapat : F11 + F12 + F13 + F14 + F22 + F21 + F24 + F23 + F33 + F34 + F31 + F32 + F44 + F43 + F42 + F41 = 16F Hubungan yang sama dan sebangun tersebut ditulis berulang-ulang dan dapat disederhanakan sebagai berikut : 4F11 + 4F12 + 4F13 + 4F41 = 16F F11 + F12 + F13 + F41 = 4F Yang dicari adalah hubungan antara bidang 1 dengan 2+3+4 : F12 + F13 + F14 = 4F - F11 ( )A,Rγ = 4F(2h,2l) - F(h,l)

b) ( )A,Aγ

Dengan jalan yang sama hubungan antara bidang 2 sampai dengan 9 dapat dicari : 81F = 9F11+12F12+16F13+12F14+6F26+6F39+8F25+8F38+4F37 setelah dikelompokkan diperoleh : 64 ( A,Aγ )= 81F - F11 - 4F12 - 8F13 - 4F14

( )A,Aγ = 641

[81F(3h,3l) - F(h,l) – 8F(h,2l) – 8F(2h,l) – 32F(2h,2l)]

Contoh melakukan kriging pada suatu endapan bahan galian (Royle, 1971) Diketahui suatu potongan (slice) endapan bahan galian yang dibagi dalam blok berukuran 100 x 100 ft (Gambar 10.5). Pada setiap blok diambil satu conto (random stratified grid). Dari conto tersebut diperoleh variogram yang dengan model Matheron memberikan parameter berikut ini : C = 16,50 %² C0 = 3,80 %² ε = 0,23 a = 240 ft z = 4,27 % Untuk mengoreksi harga-harga conto dengan memperhatikan kadar-kadar blok di sekitarnya perlu dilakukan kriging. Perhitungan dilakukan jika pada aureol minimum terdapat 5 conto. Harga taksiran : z* = 332211 zzz ⋅+⋅+⋅ λλλ dengan 213 1 λλλ −−= kadar conto di tengah-tengah =1z kadar rata-rata conto 5 s/d 8 (blok di sekitarnya) =2z

== zz3 kadar rata-rata conto seluruh endapan Varians dari harga perkiraan ini tergantung dari jumlah conto yang diikutkan pada estimasi ini :

Conto di tengah aureol varians Simpangan baku 1 1 1 0

8 7 6 6

3,68 3,99 4,25 8,43

1,9 2,0 2,1 2,9

Pada Gambar 10.5 terlihat harga conto (angka dengan font besar) dan di bawahnya harga yang sudah dikriging (angka dengan font kecil italic)

Histogram kadar conto asli :

MINIMUM Y = 0.0 2 MAKSIMUM = 26.40 KADAR RATA-RATA Y = 4.24 N = 85 VARIANS = 14.6369 STANDAR DEVIASI = 3.8258

SKEWNESS = 2.8204 KURTOSIS = 15.0903 JUMLAH KELAS = 12 INTERVAL = 2.5000

. NO. KELAS

BATAS ATAS

FREKUENSI FREKUENSI RELATIF

FREKUENSI KUMULATIF

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

2.5000 5.0000 7.5000

10.0000 12.5000 15.0000 17.5000 20.0000 22.5000 25.0000 27.5000 30.0000

27.34.13.

6.3.0.1.0.0.0.1.0.

31.7640.0015.29

7.063.530.001.180.000.000.001.180.00

31.76 71.76 87.06 94.12 97.65 97.65 98.82 98.82 98.82 98.82

100.00 100.00

Histogram kadar conto setelah dikriging :

MINIMUM Y = 1.57 MAKSIMUM = 15.51 KADAR RATA-RATA Y = 4.50 N = 78 VARIANS = 5.5037 STANDAR DEVIASI = 2.3460

SKEWNESS = 1.8352 KURTOSIS = 8.0452 JUMLAH KELAS = 12 INTERVAL = 2.5000

. NO. KELAS

BATAS ATAS

FREKUENSI FREKUENSI RELATIF

FREKUENSI KUMULATIF

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2.5000 5.0000 7.5000

10.0000 12.5000 15.0000 17.5000 20.0000 22.5000

13.41.15.

7.1.0.1.0.0.

16.6752.5619.23

8.971.280.001.280.000.00

16.67 69.23 88.46 97.44 98.72 98.72

100.00 100.00 100.00

10 11 12

25.0000 27.5000 30.0000

0.0.0.

0.001.180.00

100.00 100.00 100.00

Gambar 10.5 Blok yang telah dikriging

Berdasarkan susunan masing-masing blok dan batasan kriging bahwa di sekitarnya minimum harus ada 5 conto, maka hanya blok yang dikriging dari total blok 88. Jika ditentukan cut-off grade adalah 3,00%. Ditanyakan : 1. Berapa dari 78 blok yang telah dikriging mempunyai kadar conto

asli > 3% ? 2. Berapa dari 78 blok yang telah dikriging mempunyai kadar yang

telah dikriging > 3% ? 3. Beri tanda blok yang mempunyai kadar yang dikriging > 3% ?

Endapan yang sama dihitung lagi dengan cara kriging dengan anggapan, bahwa semua titik bor terletak tepat di tengah-tengah grid. Hasil proses kriging ini dapat dilihat pada Gambar 10.7. Varians estimasi ( ) lebih rendah dari sebelumnya. Tergantung dari susunan/ pola pemboran dan jumlh N titik bor yang digunakan untuk estimasi, akan diperoleh harga-harga yang berbeda. Gambar 10.6 memperlihatkan sifat varians estimasi dan harga-harga yang ditaksir Z* kaitannya dengan jumlah titik bor N untuk 2 pola pemboran yang berbeda. Terlihat bahwa 5 sampai 6 titik bor untuk estimasi dalam hal ini sudah cukup baik.

2Kσ

Gambar 10. 6 Pengaruh pola dan jumlah conto pada varians kriging dan harga

rata-rata

Gambar 10.7 Blok yang telah dikriging dengan maks. 9 dan min. 6 conto

10.7 KRIGING TITIK Titik-titik pengambilan conto umumnya tidak terdistribusi teratur, sehingga untuk pembuatan peta isoline perlu dilakukan interpolasi membentuk suatu grid yang teratur. Terdapat berbagai metode untuk masalah ini, di antaranya adalah NNP (nearest neighboring polygon) dan IDW (inverse distance weighted, ID, IDS, atau ID3). Dari diskusi cara penaksiran telah diketahui, bahwa kriging memberikan harga penaksiran melalui titik yang paling baik dan terpercaya. Untuk menyelesaikan masalah ini dapat digunakan sistem persamaan kriging yang sebelumnya telah digunakan. Dalam hal ini hanya digunakan variogram saja, karena hanya hubungan antar titik conto saja yang perlu diperhatikan. Untuk tiga titik xi yang digunakan untuk menaksir titik keempat x0 di peroleh sistem persamaan sebagai berikut :

( ) ( ) ( ) ( )01313212111 xxxxxxxx γμγλγλγλ =+⋅+⋅+⋅



1λ + +2λ 3λ = 1,0

( ) ( ) ( ) 0,0xxxxxx 332211 === γγγ

( ) ( ) ( )2101221 xxCCxxxx −⋅+== γγγ

( ) ( ) ( )3101331 xxCCxxxx −⋅+== γγγ

( ) ( ) ( )3202332 xxCCxxxx −⋅+== γγγ ( ) ( 01001 xxCCxx −⋅+= γγ ) ( ) ( 02002 xxCCxx −⋅+= γγ ) ( ) ( 03003 xxCCxx −⋅+= γγ )

ס X1 ס X2 • X0 סX3

Penentuan varians estimasi disederhanakan melalui persamaan berikut :

( )∑=

−+=n

1j0jj

2K xxγλμσ

Metode ini mempunyai sifat, bahwa proses estimasi memberikan suatu titik , sehingga pada titik ini 0i xx = ( ) ( )i0 xzx*z = .

Hal ini perlu diterangkan pada suatu contoh yang sederhana sebagai berikut : Suatu endapan dengan model Matheron mempunyai =0C 0 C =1,0 a = 60m dimisalkan terdapat tiga titik : x1 x3 x2 I-------------------I--------------------I 20 m x0 20 m ( ) ( ) ( ) 0,0xxxxxx 332211 === γγγ

( ) ( ) ( ) 852,06040xxCCxxxx 2101221 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−⋅+== γγγγ

( ) ( ) ( ) 481,06020xxCCxxxx 3101331 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−⋅+== γγγγ

( ) ( ) ( ) 481,06020xxCCxxxx 3202332 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−⋅+== γγγγ

( ) ( ) 0,0xxxx 0003 == γγ ___________________________________________

481,0481,0852,00,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ 481,0481,00,0852,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ 0,00,0481,0481,0 321 =+⋅+⋅+⋅ μλλλ

1λ + +2λ 3λ = 1,0 ___________________________________________ Jawab : 13 =λ 021 =−= μλλ 02

K =σ___________________________________________

Contoh kriging titik dari Delfiner & Delhomme (1973)

(b) titik pengukuran curah hujan dalam mm kontur dibuat berdasarkan interpolasi dan digambarkan secara manual

Gambar 10.8 Perbandingan antara Pembuatan kontur hasil Interpolasi manual, polinomial, dan kriging (a) variogram linier data curah hujan di Wadi Kadjemur

(c) kontur dihitung berdasarkan polinomil pangkat dua

(d) kontur dihitung melalui proses kriging titik

bab 10 - kriging

Documents