GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

PERSAMAAN MAXWELL PERSAMAAN HELMHOLTZ PEMANTULAN DAN TRANSMISI TRANSMISI MELALUI TIGA MEDIUM PENYESUAIAN IMPEDANSI

00

000

=H=μH=B

=E=εE=D

jωωμ=t

Hμ=

t

B=E

jωωε=t

Eε=

t

D=H

D=ε EB=μ H∂∂ t

= jω

0

0

=B

=Dt

B=E

t

D=H

PERSAMAAN MAXWELL

0=B

ρ=Dt

B=E

t

D+J=H

v

0

00

00

=B

=D=ρt

B=E

t

D=H=σE=J=σ

v

RUANG HAMPA

Eεμω=)E(jωjjωω=

H)(jωω=

H)jωω(=E)(

oooo

o

o

2

0

0

=H

=E

Hjωω=E

Ejωω=H

o

o

E=

EE=E)(2

2

0

022 =Eεμω+E oo

PERSAMAAN HELMHOLTZ

z

y

x

βz)j(ω(xox eE=E

βz)j(ω(yoy eH=H E=E x ax

H=H y ay

oooo

βz)j(ω(xooo

βz)j(ω(xo

εμω=β=εμω+β

=eEεμω+eEjββjββ)(

0

022

2

β =2πλ

=2π f

v=

ωv

βz)j(ω(xoxx eE=z)(t,E=E

2

2

2

2

2

22

z

A+

y

A+

x

A=A

ooεμ=v

1

022 =Eεμω+E xoox

022

2

=Eεμω+z

Exoo

x

Bilangan gelombang

Kecepatan gelombang = 3x108 m/sε o=8 . 854 x 10−12 F /m

μ o=4π x 10−7 H /m

βz)j(ω(xoo

y eEjωω=z

H

βz)j(ω(yoyy eH=z)(t,H=H

zxy

yzx

xyz a

y

A

x

A+a

x

A

z

A+a

z

A

y

A=A

Ejωω=H

zxy

yzx

xyz a

y

H

x

H+a

x

H

z

H+a

z

H

y

H=H

xxo aEjωω=H

Ω=π=ε

μ=η

o

oo 377120

βz)j(ω(xoo

y eEjωω=z

H

E x

H y

=η

xoo

oxo

oo

oxo

oyo E

μ

ε=E

εμω

ωε=E

β

ωε=H

ε

μ=

H

E

yo

xo Impedansi instrinsik :

βz)j(ω(yoy eH=H

βz)j(ω(xoo

βz)j(ω(yo eEjωω=ejββ)(

PEMANTULAN DAN TRANSMISI

Ei , Hi

Er , Hr

Et , Ht

z = 0

1 2

z)e

η

A=H

z)eA=E

βj(ω(

i

βj(ω(

i

1

1

1

11

z)e

η

A=H

z)eA=E

βj(ω(

t

βj(ω(

t

2

2

2

22

z)e

η

B=H

z)eB=E

β+j(ω(

r

β+j(ω(

r

1

1

1

11

Syarat-syarat batas pada z = 0 :

tri

tri

H=H+H

E=E+E

Ei , Hi

Er , Hr

Et , Ht

z = 0

1 2Syarat-syarat batas pada z = 0 :

tri

tri

H=H+H

E=E+E

2

2

1

1

1

1

211

η

A=

η

B

η

A

A=B+A

12

12

1

1

η+η

ηη=Γ=

A

B

12

2

1

2 2

η+η

η=T=

A

A

Faktor Refleksi

Faktor Transmisi

0

0

=B

=D

jωωμ=t

B=E

Ejωω+σ=jωωε+σE=t

D+J=H

MEDIUM DIELEKTRIK 0

J=σ E

0

02

22

=jωωε)+(σjωωE

jωωε)+(σjωω=E=EE

jωωε)+(σjωω=

H)jωωμ=

jωωμH(=E)(

0=E

jωωμ=E

Ejωω+σ=H

jωωε+(σjωω±=γ

jωωε+(σjωω=γ

=ejωωε)+(σjωωeEγ

=jωωε)+(σjωωz

E

eE=E

γzo

γzo

γzo

2

2

2

2

0

0

02 =jωωε)+(σjωωE

Konstanta penjalaran (propagation constant)

jωωε+(σ

jωω=

jωωε+(σ

jωωε+jωωμ(=

jωωε+(σ

γ=

H

E=η

eEjωωε+(σ=eγH

eEjωωε+(σ=z

H

yo

xo

γzxo

γzyo

γzxo

y

E= Eo e−γ z=E xo e−γ z a x

H= H o e−γ z= H yo e−γ z a y

zxy

yzx

xyz a

y

H

x

H+a

x

H

z

H+a

z

H

y

H=H

Ejωωε+(σ=H

Contoh Soal 3.1Suatu gelombang elektromagnetik berfrekwensi 5 MHz menjalar di dalam suatu medium. Konstanta penjalaran dan impedansi intrinsiknya masing-masing = (0,25 + j 2) m-1 dan = (600 + j 75) . Hitung R, R dan dari medium tersebut.

Jawab :

3,0874ππx1

103,879/103,879

10502π

751218

751218751218756000,25

7560020,25

7

66

6=

x=

μ

μ=μmHx=

)x(

,=μ

,=ωμ,j=)j+j2)(+(=jωω=γη

j+=jωω+σ

jωω=ηj+=jωωε+jωωμ(=γ

oR

1,162108,854

10285101028510

10502π

103,231

103,231/0,821

103,2310,82175600

20,25

12

1212

6

3

3

3

=x

x,=

ε

ε=εx,=

)x(

x=ε

x=ωεmmS=σ

)xj+(=j+

j+=jωω+σ=

η

γ

oR

Sebuah pesawat terbang menggunakan altimeter radar untuk menentukannya ketinggiannya yaitu dengan memancarkan gelombang elektromagnetik berfrekuensi 7 GHz ke bawah dan menerima gelombang yang dipantulkan oleh permukaan di bawahnya. Bila pesawat terbang tersebut berada di atas permukaan laut dengan permitivitas relatip R = 81, permeabilitas relatip R = 1 dan konduktivitas listrik = 4 S/m, hitung persentase berkurangnya daya akibat pemantulan permukaan laut.

Contoh Soal 3.2 :

jωω+σ

jωω=η

Petunjuk : Impedansi suatu medium terhadap gelombang elektromagnetik adalah :

Vo

o

L

V

I

o

o

Lo

oo

η

V=

η+η

V=I

V=V

22

o

o

o

oo

LLo

η

V=

η

VV=

)I(V=)η

VV(=)ηI(I=P

8222

1

Re2

1Re

2

1Re

2

1

2

oLT η=η=α 1

α T =PPo

Jawab : (Analogi Rangkaian Listrik)

23

22

1015633377

2

2

12

2

1o

o

o

o

Vx,=

V

=η

V

=Po

oooo

V)xj5,+,(=V)j2,+,(+

)j2,+,(=V

η+η

η=V 3107499

62961041377

62961041

oo

o

o V)xj0,(=)j2,+,(+

V=

η+η

V=I 3100152,4

62961041377

23

33

1087211

100152,41074992

1Re

2

1Re

o

oo

Vx,=

V)xj0,+(x)Vj5,+,(=)VxI'(=P

α T =PPo

=11 ,872 x 10−3V o

33 ,156 x 10−3V o

100 =35 ,807

2,62961041

108,854817x102π4

4ππx117x102π129

79

j+,=

)x)()()(j(+

))()()(j(=η

Vo

o

L

V

I

Contoh Soal 3.3 :

Suatu gelombang elektromagnetik berfrekuensi 10 MHz, menjalar dalam arah az di dalam medium dengan

konduktivitas listrik = 6,8 x 10-4 mho/m, permitivitas relatip R = 7,13 dan permeabilitas relatip R = 4,55. Tentukan

besarnya medan magnetik pada z = 50 cm dan t = 5 ns bila diketahui amplituda dari medan listrik yang menjalar dalam arah ax adalah sebesar 100 V/m.

Petunjuk : Konstanta penjalaran gelombang elektromagnetik di dalam suatu medium adalah :

jωωε)jω+(σ=jβ+α=γ

Jawab :

085

126

76

780298334257297

108,8547,1310102π4

4ππx14,5510102π

j0,e,=,j+,=

)x)()(x)(j(+

))()(x)(j(=η

1980,102

4ππx14,552π108,8547,131010106,8 71264

j1,+=

))()()]j(x)()(xj2π2+x[(=γ

mA=

,

])())(x([e=

η

βz)(ωωeE=H

))((

αzxo

y

/0,297

780298

0,0850,51,1985x1010102πcos100

cos

960,50,102

Contoh Soal 3.4 :

Tunjukkan bahwa dari konstanta penjalaran :

112

2

ωε

σ+

μεω=α

112

2

+ωε

σ+

μεω=β

jωωε+(σjωω=jβ+α=γ

konstanta atenuasi dan konstanta fasa masing-masing dapat dihitung dari persamaan-persamaan :

Jawab :

04

02α

2α2

2j

22224

22

2

222

=σμω

μεαω+α

=μεω+ωμσ

α

ωμσ=βωμσ=αβ

jωωμ+μεω=αβ+βα

jωωε+(jωjωμ)=jβ+α

2

2

22222422 σμω+εμω±μεω

=α

222224222α σμω+εμω±μεω=

112

2

11

2

1

12

1

2

1

112

12α

2

22

22

22

22222

2

2222

+ωε

σ+

μεω=β

μεω+ωε

σ+μεω=β

μεω+ωε

σ+μεω±μεω=μεω+α=β

ωε

σ+

μεω=α

ωε

σ+μεω±μεω=

Contoh Soal 3.5

Suatu gelombang elektromagnetik berfrekuensi 200 MHz dengan amplituda medan listrik sebesar Eo = 100 V/m yang sedang menjalar mengenai lapisan perak tipis (R = 1, R=1, σ = 61,7 MS/m) setebal d = 5 μm. Hitung amplituda medan listrik E3 setelah menembus lapisan tipis tersebut.

Jawab :

Eo E1 E2 E3

d

Jawab :

πfμσ+ωε

σ+

μεω=β

πfμσ=μσ

=ωε

σμεω

ωε

σ+

μεω=α

x=)x)(x(

,=

ωε

σ

2

112

2

2ππ

211

2

1>>1035108,85410200

7x1061

2

2

9126

62

j)+(σ

ωμ=)j+(

σ

ωμ=ημσ=β=α

σ

ωμ=e

σ

ωμ=e

σ

ωμ=

jσ

ωμ=

σ

ωε

ε

μj

j+ωε

σε

μj

=jωω+σ

jωω=η

oo

oojoj

12

2

1sin45cos452ππ

45∠1 4590

Ω)xj+(=j)+)((x=η

x=

,

))((=

σ

ωμ=η

o

oo

332

3

6

78

2

103,5773,57710,707105,059

45∠105,059

45∠7x1061

4ππx12x102π45∠

mVx=)xj+(+

)(x=

η+ηE=E /101,78

103,5773,577377

3772100,890

2η 33

3

21

123

5

678222

102,207

7x10614ππx12x10

x=

),)()(π(=σπfμ=α

mVx=E)xj1,+(=

)xj+(+

)xj+()(=

η+ηE=E o

/102,684108981,898

103,5773,577377

103,5773,5772100

2η

31

3

3

3

21

21

mVx=))(ex=z

eE=E x(α/100,8905x10102,684 365102,20732

12

Eo E1 E2 E3

d

Pada medium 1 :

E maksimum terjadi bila Ei dan Er sefasa :

]

φ)+zeΓ+

z)[eE=E+E=E

eΓ=Γz)

eEΓ=Ez)

eE=E

β+j(ω(βj(ω(ori

jφβ+j(ω(or

βj(ω(oi

11

11

nπ+φ

=|zβmaksE 21nπ+φ+zβ=zβ 211

z))eΓ+(E=E

βj(ω(omaks

11

GELOMBANG BERDIRI

Γ

Γ+=

E

E=s maks

1

1

min

E minimum terjadi bila Ei dan Er berlawanan fasa :

nπ+π+φ+zβ=zβ 211 nπ+π

+φ

=|zβ E 22min1

z))eΓ(E=E

βj(ω(o

1min 1

Standing Wave Ratio (SWR) :

Saluran Transmisi

o

L

z = -d z = 0

1

in

βdtgηj+η

βdtgηj+ηη=η

Lo

oLoin

ZLZo

v

Z1

Vo

f

d Z1

inputimpedansi=|η dz=

GELOMBANG MELALUI TIGA MEDIUM

0,08 m

1 = 20 pF/m1 = 2 H/m

2 = 50 pF/m2 = 2,5 H/m

3 = 1 3 = 1

Di daerah 1 (z < 0) terdapat medium dengan 1 = 20 pF/m dan 1 = 2 H/m. Di

daerah 2 (0 < z < 8 cm) terdapat medium dengan 1 = 50 pF/m dan 1 = 2,5 H/m.

Medium pada daerah 3 (z > 8 cm) sama dengan medium pada daerah 1. Bila medan listrik yang datang dari medium 1 adalah E = 1000 cos (4x108 t - 1 z)

V/m, tentukan medan magnetik H yang diteruskan ke medium 3.

Ω,=ε

μ=η=η 2316

1

131

Ω,=ε

μ=η 6223

2

22

smx=εμ

=v /100,8941 8

222smx=

εμ=v=v /101,581

1 8

1131

Jawab :

Contoh Soal 3.6 :

595570391831,6352316223.6

1,635622323166223 ,j,=

)(,j+

)(,j+,,=ηin

1,6351,0220,08100,894

2x102π

2002ππ

228

8

22

22

22

22

=dβtg=)(x

=dβ

MHz=fdv

=dv

ω=dβ

2232

22232 dβtgηj+η

dβtgηj+ηη=ηin

1 in

Ei Ht

1 in

Ei Ht

583,984563,95359557039183

217144909749 j6,

in

toto e=j0,+=

,j,

,j,=

η

E=H

2171449097491000595570391832316

595570391832

2η

1

,j,=)(,j,+,

),j,(=

Eη+η

=E ioin

into

z)πt(=z)β(ωωE=E ioi 7,9484x10cos1000cos 81

mrad=x

)x(=

v

ω=β=β

/7,948101,581

102002π8

6

131

)+zπt(=z)β(ωωH=H otot 6,587,9484x10cos3,98cos 8

3

Sebuah lensa kacamata berindeks bias 1,62 dilapisi oleh lapisan anti refleksi. Lapisan penyesuai impedansi ini biasanya dirancang untuk meneruskan cahaya dengan panjang gelombang 550 nm (kuning) yang datang dari udara karena mata mempunyai sensitivitas maksimum pada warna kuning. Seperti kita ketahui cahaya tampak mempunyai daerah panjang gelombang 400 nm s/d 700 nm. Hitung persentasi berkurangnya intensitas cahaya yang diteruskan pada warna ungu (400 nm) dan merah (700 nm). Apa komentar saudara ?

n1 = 1,62 n2n3 = 1

λ kuning

4

Contoh Soal 3.7 :

Jawab :

oo

oo

εμ

με=

με

εμ=

v

c=n

1

1

n=

n

η=

ε

μ

n=

εn

μ=

ε

μ=η o

o

o

o

o 37712

Bahan non-magnetik μ=μo

oε

ε=n ε = n 2 ε o

Ω,=ηη=ηΩ,==ηΩ=η 229672321,62

377377 31213

Vo

3

in

V

I

n1 = 1,62 n2n3 = 1

λ kuning

4

3 in

232

3

2

3

100,6633774422

Reo

ooookuning Vx=

)(

V=

η

V=

η

VV=)I(V=P

Vo

3

in

V

I

1

24

2π

550

22

2

222

3

=α=dβtg

π=

λ

λ=dβ

nm=λ

t

333 22 η

V=

η+η

V=I

V=Vη=η o

in

ooin

Cahaya kuning :

1,77100101,074

101,055101,074

101,055102370,19850550,538Re

102370,198572324599263

0550,53872324599263

4599263

45992631,4973772296

1,49722963772296

1,4971,37524

550

400

2π400

20

3

20

320

3

20

30

30

030

1

0

001

2232

22232

22223

=xVx

VxVx=ΔP

Vx=V)xj0,()Vj0,+(=IV=P

V)xj0,+(=,+,j+,

V=

η+η

V=I

)Vj0,+(=,+,j+,

,j+,=V

η+η

η=V

,j+,=)(j+,

)(,j+,=

dktgjη+η

dktgjη+ηη=η

=dβtg)(π

==dβnm=λ

ungu

in

in

in

in

Cahaya ungu :

0,7100101,074

101,067100,1074

101,067101620,20903770,514Re

101620,20972329369242

03770,51472329369242

9369242

93692422,8583772296

2,85822963772296

2,8580,78624

550

700

2π700

20

3

20

320

3

20

30

30

030

1

0

001

22223

=xVx

VxVx=ΔP

Vx=V)xj0,+()Vj0,+(=IV=P

V)xj0,(=,+,j,

V=

η+η

V=I

)Vj0,(=,+,j,

,j,=V

η+η

η=V

,j,=)(j+,

)(,j+,=η

=dβtg)(π

==dβnm=λ

merah

in

in

in

in

Cahaya merah :

Sebuah sumber tegangan sebesar 80 V dengan frekuensi 400 kHz mempunyai impedansi output sebesar 10 ohm. Sumber tegangan ini akan mentransmisikan daya ke sebuah beban sebesar 60 ohm melalui saluran transmisi berupa kabel koaksial sepanjang 75 m dengan Zo = 40 ohm dan v = 2,5x108 m/s. Hitung daya yang ditransmisikan oleh sumber tegangan tersebut.

10

60

Zo= 40 v = 2,5x108 m/s

80 Vf = 400 KHz

Contoh Soal 3.8 :

W,=)j0,)(j4,,(=P

j0,+=,j,

=I

j4,,=)(+,j,

,j,=V

,j,=)(j+

)(j+=Z

=kdtgrad=)(x

=dv

ω=βd

in

465954961,50996291564Re

4961,5097401585437

80

9629156480107401585437

7401585437

74015854370,9386040

0,938406040

0,9380,75475102,5

4x102π8

5

Jawab :