bab 3 penyelesaian persamaan non...
TRANSCRIPT
Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 10
BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
3.1. Permasalahan Persamaan Non Linier
Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.Dimana akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.
Gambar 3.1. Penyelesaian persamaan non linier
Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan :
mx + c = 0
x = -mc
Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.
aacbbx
242
12−±−
=
Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan theorema sisa.Sehingga tidak memerlukan metode numeric dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat dilakukan.Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan x– e-x= 0 Tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang.
akar persamaan sebagai penyelesaian
Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 11
Theorema 3.1. Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0 Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut:
Gambar 3. Penentuan akar persamaan
Secara sederhana, untuk menyelesaikan persamaan non linier dapat dilakukan dengan menggunakan metode table atau pembagian area.Dimana untuk x = [ ]ba, atau x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel :
X f(x) x0=a f(a) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3)
…… …… xn=b f(b)
Dari tabel ini, bila ditemukan f(xk)=0 atau mendekati nol maka dikatakan
bahwa xk adalah penyelesaian persamaan f(xk)=0.Bila tidak ada f(xk) yang sama dengan nol, maka dicari nilai f(xk) dan f(xk+1) yang berlawanan tanda, bila tidak ditemukan maka
Xba
f(a)
f(b)
Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar.
Xba
f(a)
f(b)
Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.
Xba
f(a)
f(b)
Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 12
dikatakan tidak mempunyai akar untuk x = [ ],,ba dan bila ditemukan maka ada 2 pendapat untuk menentukan akar persamaan, yaitu :
1. Akar persamaan ditentukan oleh nilai mana yang lebih dekat, bila |f(xk)| ≤ |f(xk+1)| maka akarnya xk, dan bila |f(xk+1)|<|f(xk)| maka akarnya xk+1.
2. Akarnya perlu di cari lagi, dengan range x = [ ]1, +kk xx . Secara grafis, metode table ini dapat dijelaskan untuk x = [ ]ba, , fungsi f(x) dibagi menjadi N bagian seperti gambar berikut :
Gambar 3.3. Metode Tabel
Gambar di atas menjelaskan bahwa penyelesaian diperoleh dengan membagi x = [ ]ba, sebanyak-banyaknya hingga diperoleh suatu garis yang melalui akar persamaan dan nilai x dari garis tersebut adalah penyelesaian dari persamaan F(x) = 0. Contoh 3.1: Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [ ]0,1− Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [ ]0,1− dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :
X f(x) -1,0 -0,63212-0,9 -0,49343-0,8 -0,35067-0,7 -0,20341-0,6 -0,05119-0,5 0,10653 -0,4 0,27032 -0,3 0,44082 -0,2 0,61873 -0,1 0,80484 0,0 1,00000
Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 13
Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara –0,6 dan –0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x = 0,6.Bila pada range x = [ ]5,0,6,0 −− dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447 Contoh 3. 2: Selesaikan persamaan xe-x +1 = 0. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menaksir range yang tepat, dengan cara menggambarkan. Dari gambar di atas terlihat bahwa akar persamaan berada pada range [ ]5.0,6.0 −− .Dari range ini dibuat table dengan membagi range menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :
x f(x) -0,60 -0,09327-0,59 -0,06435-0,58 -0,03590-0,57 -0,00791-0,56 0,01962 -0,55 0,04671 -0,54 0,07336 -0,53 0,09957 -0,52 0,12535 -0,51 0,15070 -0,50 0,17564
Dari table tersebut dapat dikatakan bahwa akar persamaan berada antara –0,57 dan –0,56, atau dengan menggunakan selisih terkecil maka dapat dikatakan bahwa akar persamaan terletak di x = -0,57 dengan F(x) = -0,00791.
Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier, Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.
1
Persamaan Non-Linear
Penyelesaian persamaan non-linear adalah menghitung
akar suatu persamaan non-linear dengan satu variabel x,
f(x), atau secara umum dituliskan :
f(x) = 0
Contoh:
1. 012945)( 532 xxxxxf
2. 01252
12945)(
532
x
xxxxxf
3. 0)( xexxf
Metode numerik yang dapat digunakan untuk memperoleh
solusi dari persamaan non-linear antara lain:
1. Metode Biseksi (Bisection)
2. Metode Regula Falsi (False Position)
3. Metode Newton-Raphson
4. Metode Secant
5. Metode Iterasi Tetap (Fixed Point Iteration)
2
Algoritma Metode Biseksi
Algoritma Metode Regula Falsi = Algoritma Metode
Biseksi hanya tinggal mengganti rumus 2
1 nnmid
xxx
menjadi
)()()(
1
1*
nn
nnnn
xfxf
xxxfxx
.
3
Representasi Grafis Metode Regula Falsi
Perhatikan kesebangunan 2 segitiga Pcb dan PQR, maka
diperoleh
)()()(
)()(0)(
afbf
abbfbc
ab
afbf
cb
bf
RQ
PR
bc
Pb
4
Grafik Metode Regula Falsi
Grafik Metode Biseksi
5
Metode Biseksi
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam metode biseksi
Fungsi harus kontinu pada interval xn dan xn+1.
Menentukan xn dan xn+1 dapat diperoleh dengan membuat
grafik fungsinya.
Nilai toleransi (error) dapat ditentukan oleh pengguna ataupun
didasarkan pada bidang ilmu dari permasalahan yang
diselesaikan.
Kelebihan Metode Biseksi
Selalu berhasil menemukan akar (solusi) yang dicari, atau
dengan kata lain selalu konvergen.
Kekurangan Metode Biseksi
Metode biseksi hanya dapat dilakukan apabila ada akar
persamaan pada interval yang diberikan.
Jika ada beberapa akar pada interval yang diberikan maka
hanya satu akar saja yang dapat ditemukan.
Memiliki proses iterasi yang banyak sehingga memperlama
proses penyelesaian. Tidak memandang bahwa sebenarnya
akar atau solusi yang dicari dekat sekali dengan batas interval
yang digunakan.
6
Contoh:
Tentukan solusi dari persamaan non-linier:
y = x3 – 7x + 1
dengan error 0.005.
Penyelesaian:
- Dengan Metode Biseksi
Langkah 1 : Membuat grafik dari y = x3 – 7x + 1 untuk
memperoleh batas interval xn dan xn+1.
Dengan program Maple diperoleh grafik y = x3 – 7x + 1 sebagai
berikut:
Terlihat dari grafik di atas bahwa solusi dari y = x3 – 7x + 1 ada
pada interval 2.5 dan 2.6, maka digunakan xn = 2.5 dan xn+1 = 2.6.
Solusi eksak
xn xn + 1
7
Langkah 2 : Hitung nilai f (xn), f (xn+1), 2
1 nnmid
xxx
dan f (xmid).
Tabel 1
No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) xmid f (xmid)
1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.55 -0.269
269.01)55.2(7)55.2()55.2()(
55.22
6.25.2
376.01)6.2(7)6.2()6.2()(
875.01)5.2(7)5.2()5.2()(
17)(
3
3
1
3
3
fxf
x
fxf
fxf
xxxf
mid
mid
n
n
-0.875
0.376
8
Langkah 3 : Apakah f (xn) dan f (xmid) sama tanda? Jika
sama tanda maka xmid menggantikan xn, sedangkan jika
berbeda tanda maka xmid menggantikan xn+1.
Terlihat dari tabel 1, f (xn) = -0.875 dan f (xmid) = -0.269
sama tanda, maka xmid = 2.55 menggantikan xn = 2.5.
Tabel 2
No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) xmid f (xmid)
1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.55 -0.269
2. 2.55 2.6 -0.269 0.376
Langkah 4 : Apakah | f (xmid)| ≤ 0.005? Jika ya, maka xmid =
2.55 merupakan solusi dari persamaan non linier tersebut,
jika tidak, ulangi langkah 2 dengan xn = 2.55 dan xn+1 =
2.6.
Dikarenakan | f (xmid)| = 0.269 > 0.005 maka ulangi
langkah 2 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
sama tanda
9
Tabel 3
No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) xmid f (xmid)
1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.55 -0.269
2. 2.55 2.6 -0.269 0.376 2.575 0.049
3. 2.55 2.575 -0.269 0.049 2.562 -0.117
4. 2.562 2.575 -0.117 0.049 2.568 -0.041
5. 2.568 2.575 -0.041 0.049 2.572 0.010
6. 2.568 2.572 -0.041 0.010 2.570 -0.015
7. 2.570 2.572 -0.041 0.010 2.571 -0.003
| f (xmid)| = 0.003 ≤ 0.005 maka iterasi dihentikan dan
diperoleh solusi persamaan non linier yang diinginkan
yaitu x = 2.571.
sama tanda
beda tanda
sama tanda
sama tanda
| f (xmid)|
= 0.269 >
0.005
| f (xmid)|
= 0.041 >
0.005
| f (xmid)|
= 0.049 >
0.005
| f (xmid)|
= 0.117 >
0.005
beda tanda
sama tanda
| f (xmid)|
= 0.010 >
0.005
| f (xmid)|
= 0.015 >
0.005
10
Contoh:
Tentukan solusi dari persamaan non-linier:
y = x3 – 7x + 1
dengan error 0.005.
penyelesaian :
- Dengan Metode Regula Falsi
Langkah 1 : Membuat grafik dari y = x3 – 7x + 1 untuk
memperoleh batas interval xn dan xn+1.
Dengan program Maple diperoleh grafik y = x3 – 7x + 1 sebagai
berikut:
Terlihat dari grafik di atas bahwa solusi dari y = x3 – 7x + 1 ada
pada interval 2.5 dan 2.6, maka digunakan xn = 2.5 dan xn+1 = 2.6.
Solusi eksak
xn xn + 1
11
Langkah 2 : Hitung nilai f (xn), f (xn+1),
)()()(
1
1*
nn
nnnn
xfxf
xxxfxx
dan f (x*).
Tabel 1
No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) x* f (x
*)
1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.57 -0.015
015.01)57.2(7)57.2()57.2()(
57.2)875.0(376.0
5.26.2).875.0(5.2
376.01)6.2(7)6.2()6.2()(
875.01)5.2(7)5.2()5.2()(
17)(
3*
*
3
1
3
3
fxf
x
fxf
fxf
xxxf
n
n
Langkah 3 : Apakah f (xn) dan f (x*) sama tanda? Jika sama tanda
maka x* menggantikan xn, sedangkan jika berbeda tanda maka x
*
menggantikan xn+1.
Terlihat dari tabel 1, f (xn) = -0.875 dan f (x*) = -0.015 sama tanda,
maka x* = 2.57 menggantikan xn = 2.5.
12
Tabel 2
No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) x* f (x
*)
1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.57 -0.015
2. 2.57 2.6 -0.015 0.376
Langkah 4 : Apakah | f (x*)| ≤ 0.005? Jika ya, maka
x* = 2.57 merupakan solusi dari persamaan non linier tersebut,
jika tidak, ulangi langkah 2 dengan xn = 2.57 dan xn+1 = 2.6.
Dikarenakan | f (xmid)| = 0.015 > 0.005 maka ulangi langkah 2
sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
Tabel 3
No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) x* f (x
*)
1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.57 -0.015
2. 2.57 2.6 -0.015 0.376 2.571 0.003
| f (xmid)| = 0.003 ≤ 0.005 maka iterasi dihentikan dan
diperoleh solusi persamaan non linier yang diinginkan
yaitu x = 2.571.
sama tanda
sama tanda
| f (xmid)|
= 0.015 >
0.005
13
Metode Newton-Raphson
Algoritma Newton-Raphson
Kelebihan:
Konvergensi yang dihasilkan lebih cepat.
Kelemahan:
Tidak selalu menemukan akar (divergen).
Kemungkinan sulit dalam mencari f’(xn).
Penetapan harga awal (xn) yang sulit.
14
Contoh:
Tentukan solusi dari persamaan non-linier:
y = x3 – 7x + 1
dengan error 0.03.
Penyelesaian :
Langkah 1 : Menentukan nilai awal, xn.
Misalkan dipilih xn = 2.5.
Langkah 2 : Hitung xn + 1, f (xn+1), dan
)(
)(1
n
nnn
xf
xfxx .
Tabel 1
No xn xn+1 f (xn) f (xn+1)
1. 2.5 2.574 -0.875 0.04
04.01)574.2(7)574.2()574.2()(
574.275.11
875.05.2
)(
)(
75.117)5.2(3)(
875.01)5.2(7)5.2()5.2()(
73)(
17)(
3
1
1
2
3
2
3
fxf
xf
xfxx
xf
fxf
xxf
xxxf
n
n
nnn
n
15
Langkah 3 : Apakah | f (xn+1)| ≤ 0.03? Jika ya, maka
xn+1 = 2.574 merupakan solusi dari persamaan non linier
tersebut, jika tidak, ulangi langkah 2 dengan xn = 2.574.
Dikarenakan | f (xn+1)| = 0.04 > 0.03 maka ulangi langkah 2
sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
Tabel 2
No xn xn+1 f (xn) f (xn+1)
1. 2.5 2.574 -0.875 0.04
2. 2.574 2.573 0.04 0.02
| f (xn+1)| = 0.02 < 0.03 maka iterasi
dihentikan dan diperoleh solusi persamaan
non linier yang diinginkan yaitu x = 2.573.
Tugas
Tentukan solusi dari persamaan non-linier berikut sampai iterasi ke-3
dengan menggunakan metode biseksi, regula falsi, dan newton-raphson.
1. x3 + 5x – 1, dengan xn = 0 dan xn + 1 = 0.5.
2. - ⅓ x3 - x - 9, dengan xn = -3 dan xn + 1 = -2.5
3. -x3 - 7x + 3, dengan xn = 0 dan xn + 1 = 0.5.
4. -3x3 - 7x + 3, dengan xn = 0 dan xn + 1 = 0.5.
5. ½ x3 - x - 9, dengan xn = 2.5 dan xn + 1 = 3.
6. 4x3 + 7x + 3, dengan xn = -0.5 dan xn + 1 = 0.
7. -3x3 - 5x -9, dengan xn = -1.5 dan xn + 1 = -1.
| f (xn+1)| = 0.04 > 0.03
16
Metode Secant
Disebut juga Metode Interpolasi Linear
Dalam prosesnya tidak dilakukan penjepitan akar
[x0, x1] tidak harus mengandung akar yang akan
dicari, sehingga f(x0) dan f(x1) bisa bertanda
sama.
Mencari x2 , yaitu
Untuk iterasi berikutnya akan diperoleh interval
baru [x0, x1] dengan cara pergeseran: x0 x1 , x1
x2
Iterasi berlangsung sampai batas maksimum atau
sampai dipenuhinya batas Toleransi (T).
)()(
))((
10
10112
xfxf
xxxfxx
17
Contoh:
Tentukan solusi dari persamaan non-linier:
y = x3 – 7x + 1
dengan error 0.03.
Penyelesaian:
Langkah 1: Menentukan x1 dan x0.
Misalkan dipilih x1 = 2,5 dan x0 =2.3
Langkah 2 : Hitung f (x0), f (x1),
)()(
))((
10
10112
xfxf
xxxfxx
, dan f (x2).
Tabel 1
No x0 x1 f (x0) f (x1) x2 f(x2)
1. 2.3 2.5 -0.875
18.01)585.2(7)585.2()585.2()(
585.2)875.0(933.2
)5.23.2)(875.0(5.2
)()(
))((
875.01)5.2(7)5.2()5.2()(
.933.21)3.2(7)3.2()3.2()(
17)(
3
2
10
10112
3
1
3
0
3
fxf
xfxf
xxxfxx
fxf
fxf
xxxf
18
Langkah 3 : Apakah | f (x2)| ≤ 0.03? Jika ya, maka
x2 = 2.585 merupakan solusi dari persamaan non linier
tersebut, jika tidak, ulangi langkah 2 dengan x1 menjadi
x0 dan x2 menjadi x1.
Dikarenakan | f (x2)| = 0.18 > 0.03 maka ulangi langkah 2
sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
Tabel 2
No x0 x1 f (x0) f (x1) x2 f (x2)
1. 2.3 2.5 -2.933 -0.875 2.585 0.18
2. 2.5 2.585 -0.875 0.18 2.57 -0.015
| f (x2)| = 0.015 ≤ 0.03 maka iterasi dihentikan dan
diperoleh solusi persamaan non linier yang
diinginkan yaitu x = 2.57.
| f (x2)| =
0.18 >
0.03
19
20
Fixed Point Iteration (Iterasi Titik Tetap)
Metode iterasi titik tetap adalah metode yang
memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga
diperoleh : x = g(x) atau dalam bentuk persamaan
iterasi,
xi + 1 = g(xi)
misal:
x2 - 2x + 3 = 0 x = (x2 + 3)/2
sin(x) = 0 x = sin(x) + x
Algoritma Metode Iterasi Titik Tetap
1. Definisikan F(x) dan g(x).
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum
(n).
3. Tentukan pendekatan awal x0
4. Untuk iterasi = 1 s/d n atau F(x [iterasi]) ≥ e :
xi = g(xi – 1) dan hitung F(xi)
5. Akar adalah x terakhir yang diperoleh.
21
Contoh:
Selesaikan x + ex = 0, maka persamaan diubah
menjadi x = ex atau g(x) = ex.
Penyelesaian:
Ambil titik awal di x0 = -1, maka
Iterasi 1 : x = -e-1= -0.3679 dan F(x) = 0,3243
Iterasi 2 : x = -e-0,3679 = -0,6922 dan
F(x) = -0,19173
Iterasi 3 : x = -e-0,6922 = -0,50047 dan
F(x) = 0,10577
Iterasi 4 : x = -e-0,50047 = -0,60624 dan
F(x) = -0,06085
Iterasi 5 : x = -e-0,60624 = -0,5454 dan
F(x) = 0,034217
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0,56843 dan
F(x) = 0,034217.
22
f(x) = e-x
- x
akar
y1(x) = x
y2(x) = e-x
akar
v