bab 5 - rainul.files.wordpress.com · (a) (b) y x 30 ° y x 3 4 𝜋 (c) (d) ... =tan ialah satu...
TRANSCRIPT
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI
(Jangka waktu : 9 sesi)
Sesi 1
Sudut Positif dan Sudut Negatif
Contoh
Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu
berada.
(a) 30˚ (c) 590˚
(b) 3
4𝜋 rad. (d) −
7
3𝜋 rad.
Penyelesaian
(a)
(b)
y
x 30°
y
x
3
4𝜋
(c)
(d)
Sinus, Kosinus, dan Tangen
y
x
590°
y
x
−7
3𝜋
c b
a
𝜃
sin 𝜃 =𝑏
𝑐
kos 𝜃 =𝑎
𝑐
tan 𝜃 =sin 𝜃
kos 𝜃=
𝑏
𝑎
Contoh
Jika tan 𝜃 =12
5, dengan 180° < 𝜃 < 360°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin 𝜃 dan
kos 𝜃.
Penyelesaian
Sesi 2
Sekan, Kosekan, dan Kotangen
c b
a
𝜃
sek 𝜃 =1
kos 𝜃=
𝑐
𝑎
kosek 𝜃 =1
sin 𝜃=
𝑐
𝑏
kot 𝜃 =1
tan 𝜃=
𝑎
𝑏
Contoh
Diberi 𝜃 ialah sudut refleks dengan sek 𝜃 =5
4. Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator,
nilaikan
(a) kot 𝜃
(b) kosek θ
(c) sin 𝜃 + kos 𝜃
Penyelesaian
(a) kot 𝜃 =
(b) kosek 𝜃 =
(c) sin 𝜃 + kos 𝜃
=
SUDUT PELENGKAP
sin 𝜃 = kos(90 − 𝜃)
kos 𝜃 = sin(90 − 𝜃)
tan 𝜃 = kot(90 − 𝜃)
sek 𝜃 = kosek(90 − 𝜃)
kosek 𝜃 = sek(90 − 𝜃)
kot 𝜃 = tan(90 − 𝜃)
SUDUT NEGATIF
sin(−𝜃) = − sin 𝜃
kos(−𝜃) = kos 𝜃
tan(−𝜃) = − tan 𝜃
SUKUAN SETARA
[Sukuan II]
sin 𝜃 = sin(180° − 𝜃)
kos 𝜃 = − kos(180° − 𝜃)
tan 𝜃 = − tan(180° − 𝜃)
[Sukuan III]
sin 𝜃 = −sin(𝜃 − 180°)
kos 𝜃 = − kos(𝜃 − 180°)
tan 𝜃 = tan(𝜃 − 180°)
[Sukuan IV]
sin 𝜃 = −sin(360° − 𝜃)
kos 𝜃 = kos(360° − 𝜃)
tan 𝜃 = − tan(360° − 𝜃)
Sesi 3
Sudut-Sudut Khas 𝟑𝟎°, 𝟒𝟓° 𝐝𝐚𝐧 𝟔𝟎°
Contoh
Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi
(a) sin 225°
(b) sek 660°
(c) sin 150° + kot(−150°)
2
1
ξ3
30°
60°
ξ2
45°
1
1
sin 30° =1
2 sin 60° =
ξ3
2
kos 30° =ξ3
2 kos 30° =
1
2
tan 30° =1
ξ3 tan 60° = ξ3
sin 45° =1
ξ2
kos 45° =1
ξ2
tan 45° = 1
Penyelesaian
(a) sin 225° = − sin 45°
= −1
ξ2
(b) sek 660°
=
(c) sin 150° + kot(−150°)
=
225°
Sesi 4
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Contoh 1
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
(a) kos 𝑥 = −0.9063
(b) sin 2𝑥 = 0.6691
(c) ξ2 sin 𝑥 = 1
(d) kosek𝑥
2=
2
ξ3
(e) 2 tan (1
2𝑥 + 60°) + 3 = 1
Penyelesaian
(a) kos 𝑥 = −0.9063
0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
𝑥 = 155°, 205°
(b) sin 2𝑥 = 0.6691
(c) ξ2 sin 𝑥 = 1
25°
(d) kosek𝑥
2=
2
ξ3
(e) 2 tan (1
2𝑥 + 60°) + 3 = 1
Contoh 2
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°.
(a) 3 sin 𝜃 kos 𝜃 = sin 𝜃
(b) 2 kot 𝜃 = − tan(−𝜃)
(c) 4 tan 𝜃 − kot 𝜃 + 3 = 0
Penyelesaian
(a) 3 sin 𝜃 kos 𝜃 = sin 𝜃
(b) 2 kot θ = −tan (−θ)
(c) 4 tan 𝜃 − kot 𝜃 + 3 = 0
Sesi 5
Melakar graf fungsi trigonometri
𝑦 = sin 𝑥
𝑦 = sin 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau 2𝜋 radian.
Nilai maksimum bagi sin 𝑥 ialah 1 apabila 𝑥 = . . . , −270° , 90° , 450°, …
Nilai minimum bagi sin 𝑥 ialah -1 apabila 𝑥 = . . . , −450°, −90°, 270°, …
Amplitud = 1
𝑦 = kos 𝑥
𝑦 = kos 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau 2𝜋 radian.
Nilai maksimum bagi kos 𝑥 ialah 1 apabila 𝑥 = . . . , −369° , 0° , 360°, …
Nilai minimum bagi sin 𝑥 ialah -1 apabila 𝑥 = . . . , −180°, 180°, 540°, …
Amplitud = 1
Amplitud
Kala
𝑦 = sin 𝑥
-2
-1
0
1
2
-450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450
Kala
Amplitud𝑦 = kos 𝑥
𝑦 = tan 𝑥
𝑦 = tan 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 180° atau 𝜋 radian.
𝑦 = tan 𝑥 adalah tak tertakrif apabila 𝑥 = . . . , −270°, −90°, 90°, 270°, … Maka, 𝑦 = tan 𝑥
tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.
Graf bagi 𝑦 = tan 𝑥 menghampiri garis-garis menegak 𝑥 = −270° , 𝑥 = −90°, 𝑥 = 90°, 𝑥 =
270° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot.
Contoh 1
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
(a) 𝑦 = 3 sin 2𝑥
(b) 𝑦 = 3 kos 𝑥 + 1
(c) 𝑦 = |kos 2𝑥|
Penyelesaian
(a) 𝑦 = 3 sin 2𝑥
Kala =2𝜋
2= 𝜋
Asimptot
Kala
𝑦 = tan 𝑥
−360° −180° 360° 180° 0
y
x
(b) 𝑦 = 3 kos 𝑥 + 1
Kala =
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
𝑦 = 3 sin 2𝑥
𝑦 = sin 2𝑥
(c) 𝑦 = |kos 2𝑥|
Kala =
Contoh 2
Lakarkan graf bagi 𝑦 = −2 tan 𝑥 bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Penyelesaian
Contoh 3
Lakarkan graf bagi 𝑦 = 2 |sin3
2𝑥| bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.
Penyelesaian
Kala =
Sesi 6
Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf
Contoh (SPM 2011)
(a) Lakarkan graf bagi 𝑦 = −3 sin3
2𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 [4 markah]
(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi 𝜋
𝑥+ 3 sin
3
2𝑥 = 0 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. Nyatakan bilangan
penyelesaian itu. [3 markah]
Penyelesaian
(a) 𝑦 = −3 sin3
2𝑥
Kala =
(b)
Identiti Asas
Pembuktian
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
(÷ 𝑐2): (𝑎
𝑐)
2
+ (𝑏
𝑐)
2
= 1
kos2𝜃 + sin2𝜃 = 1
÷ sin2𝜃 ∶
kos2𝜃
sin2𝜃+
sin2𝜃
sin2𝜃=
1
sin2𝜃
kot2𝜃 + 1 = kosek2𝜃
÷ kos2𝜃 ∶ 1 + tan2𝜃 = sek2𝜃
Contoh
Buktikan
(a) tan 𝑥
sin 𝑥= sek 𝑥
(b) sin 𝑦 kos 𝑦 tan 𝑦 = 1 − kos2𝑦
(c) tan 𝜃 + kot θ = sek 𝜃 kosek 𝜃
Penyelesaian
(a) tan 𝑥
sin 𝑥=
b c
a
𝜃
sin2 𝐴 + kos 2A = 1
1 + kot2A = kosek2𝐴
1+tan2𝐴 = sek2𝐴
1
1
1
(b) sin 𝑦 kos 𝑦 tan 𝑦 =
(c) tan 𝜃 + kot θ
=
Sesi 7
Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas
Contoh 1
Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0° dan 360° .
(a) tan2 𝑥 + sek2𝑥 = 3 tan 𝑥
(b) 2kosek2𝑦 = kot 𝑦 + 3
(c) 3 sin2 𝜃 + 5kos 𝜃 + 5 = 0
Penyelesaian
(a) tan2 𝑥 + sek2𝑥 = 3 tan 𝑥
(b) 2kosek2𝑦 = kot 𝑦 + 3
(c) 3 sin2 𝜃 + 5kos 𝜃 + 5 = 0
Contoh 2
Tunjukkan bahawa 2sek2𝐴 =1
1−sin 𝐴+
1
1+sin 𝐴.
Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan
trigonometri 1
1−sin 𝐴+
1
1+sin 𝐴= 4 , untuk 0 < 𝐴 < 2𝜋.
Penyelesaian
Rumus penambahan
sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 kos 𝐵 + sin 𝐵 kos 𝐴
sin(𝐴 − 𝐵) = sin 𝐴 kos 𝐵 − sin 𝐵 kos 𝐴
kos(𝐴 + 𝐵) = kos 𝐴 kos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵
kos(𝐴 − 𝐵) = kos 𝐴 kos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵
tan(𝐴 + 𝐵) =tan 𝐴 + tan 𝐵
1 − tan 𝐴 tan 𝐵
tan(𝐴 − 𝐵) =tan 𝐴 − tan 𝐵
1 + tan 𝐴 tan 𝐵
Contoh
Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan
(a) sin 255° =−ξ2(ξ3+1)
4
(b) (b)tan 15° =ξ3−1
ξ3+1
(c) sin(𝑥 − 60°) + kos(𝑥 + 60°) =1−ξ3
2(sin 𝑥 + kos 𝑥)
Penyelesaian
(a) sin 255° =
(b) tan 15° =
(c) sin(𝑥 − 60°) + kos(𝑥 + 60°)
=
Sesi 8
Rumus Sudut Berganda
sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 kos 𝐴
kos 2𝐴 = kos2𝐴 − sin2 𝐴
= 2kos2𝐴 − 1
= 1 − 2 sin2 𝐴
tan 2𝐴 =2 tan 𝐴
1 − tan2 𝐴
Rumus Sudut Separuh
sin 𝐴 = 2 sin1
2𝐴 kos
1
2𝐴
kos 𝐴 = kos21
2𝐴 − sin2
1
2𝐴
= 2kos21
2𝐴 − 1
= 1 − 2 sin21
2𝐴
tan 2𝐴 =2 tan
12 𝐴
1 − tan2 12 𝐴
Contoh 1
Diberi kos 𝜃 = −4
5 dan 𝜃 ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai
(a) sin 2𝜃 (c) tan 2𝜃 (e)kos1
2𝜃
(b) kos 2𝜃 (d)kos 4𝜃
Penyelesaian
(a) sin 2𝜃 =
(b) kos 2𝜃 =
(c) tan 2𝜃 =
(d) kos 4𝜃 =
3 5
-4
𝜃
(e) kos 𝜃 =
Contoh 2
Diberi tan 𝑥 = 𝑝 dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x.
Penyelesaian
Contoh 3
Tunjukkan bahawa sin 2𝐴
1+kos 2𝐴= tan 𝐴.
Penyelesaian
Contoh 4
Buktikan sin 𝜃+kos 𝜃+1
sin 𝜃−kos 𝜃+1= kot
1
2𝜃.
Penyelesaian
Sesi 9
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Contoh 1
Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0° dan 360°, termasuk kedua-duanya
(a) 5 sin 𝑥 kos 𝑥 + 2 = 0
(b) kos 2𝑦 − sin 𝑦 = 0
(c) tan 2𝜃 = 3 tan 𝜃
Penyelesaian
(a) 5 sin 𝑥 kos 𝑥 + 2 = 0
(b) kos 2𝑦 − sin 𝑦 = 0
(c) tan 2𝜃 = 3 tan 𝜃
Contoh 2
Diberi sin(𝐵 − 𝐴) =1
2 dan sin(𝐴 + 𝐵) =
1
4, tunjukkan bahawa sin 𝐴 kos 𝐵 = −
1
8 dan
kos 𝐴 sin 𝐵 =3
8. Seterusnya, buktikan bahawa 3 tan 𝐴 kot 𝐵 + 1 = 0.
Penyelesaian