LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES

BAB V

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDINER

SIMULTAN DENGAN RUNGE KUTTA

DISUSUN OLEH

Nama : Noni Ayu Rizka

NIM : 12521004

Kelas : A

Asisten : 1. Heni Anggorowati

2. Agus Kurniawan

3. Andry Septian

4. Ria Ariani

LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES

JURUSAN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

YOGYAKARTA

2014

DAFTAR ISI

Daftar Isi........................................................................................................... 1

BAB I

A. Tujuan............................................................................................. 2

B. Dasar Teori..................................................................................... 2

BAB II

C. Latihan Soal.................................................................................... 7

D. Tugas............................................................................................... 9

BAB III

E. Kesimpulan dan Saran.................................................................... 10

F. Daftar Pustaka................................................................................. 11

1

BAB I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDINER

SIMULTAN DENGAN METODE RUNGE KUTTA

A. Tujuan

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial

ordiner simultan menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Sistem Persamaan Diferential (PD. Simultan)

Simultan berarti sekaligus, dalam hal ini x(t) dan y(t) adalah sekaligus

solusi persamaan.

Syarat awal (initial condition)

o Mencerminkan keadaan sebenarnya, memiliki arti fisik

o Pada persamaan diferensial orde n, maka dibutuhkan sejumlah

n syarat awal

Syarat batas (boundary conditions)

Syarat yang harus dipenuhi tidak hanya di satu titik di awal saja,

namun juga di titik-titik lain atau di beberapa nilai variabel bebas yang

lain

Metode – metode yang dapat digunakan adalah

2

1. Metode Euler (Metode satu langkah)

Gambar 2.1. Metode Euler

Error pada Metode Euler dapat dihitung dengan

memanfaatkan Deret Taylor

Keterbatasan

o Deret Taylor hanya memberikan perkiraan/estimasi

local truncation error, yaitu error yang timbul pada

satu langkah hitungan Metode Euler, bukan

propagated truncation error.

o Hanya mudah dipakai apabila ODE (Ordinary

Differential Equation) berupa fungsi polinomial

sederhana yang mudah untuk di-diferensial-kan,

fi(xi,yi) mudah dicari.

Perbaikan Metode Euler, memperkecil error

o Memakai selang h kecil.

o Metode Euler tidak memiliki error apabila ODE

berupa fungsi linear.

3

2. Metode Heun

Gambar 2.2. Metode Heun

Metode Heun dapat diterapkan secara iteratif pada saat

menghitung slope di ujung akhir selang dan nilai yi+1 korektor.

Error belum tentu selalu berkurang pada setiap langkah iterasi.

Iterasi tidak selalu konvergen.

3. Metode Poligon

Gambar 2. 3 Metode Poligon

4. Metode Runge - Kutta

Metode Euler

Kurang teliti.

4

Ketelitian lebih baik diperoleh dengan cara memakai lebar

pias kecil atau memakai suku-suku derivatif berorde lebih

tinggi pada Deret Taylor.

Metode Runge-Kutta

Lebih teliti daripada Metode Euler

Tanpa memerlukan suku derivatif

Jika dijumpai bentuk :

dydx

=f ( x , y , z )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.1)

dzdx

=f (x , y , z )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.2)

I. C. : x = x0; y = y0; z = z0

Maka cara Runge Kutta untuk mencari xi+1, yi+1, zi+1 berdasar harga xi,

yi, zi, adalah :

K1=f 1(x i , y i zi ,)∆ X ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.3)

L1=f 2(x i , y i zi ,)∆ X⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.4 )

K2= f 1(x i+∆ x2

, yi+k1

2, zi+

l1

2)∆ X⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.5)

L2=f 2(x i+∆ x2

, y i+k1

2, zi+

l1

2)∆ X ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (5.6)

K3= f 1(x i+∆ x2

, y i+k 2

2, zi+

l2

2)∆ X⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.7)

L3=f 2(x i+∆ x2

, y i+k2

2, zi+

l2

2)∆ X⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.8)

K4=f 1( xi+∆ x , y i+k3 , zi+k3)∆ X ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.9)

L4=f 1(x i+∆ x , y i+k3 , z i+k 3)∆ X ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.10)

5

dapat diperoleh :

x i+1=x i+∆ x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.11)

y i+1= y i+( k1+2 k2+2k3+k4 )

6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.12)

z i+1= yi+(l1+2l2+2 l3+ l4 )

6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (5.13)

Algoritma

1. Menentukan persamaan yang akan diselesaikan

dydx

=f ( x , y , z ) dzdx

=f (x , y , z)

2. Menentukan nilai x0, y0, z0, xn, n, Δx.

3. Menghitung nilai k1 l1, k2 l2, k3 l3, k4 l4.

4. Menghitung harga x, y, z baru.

6

BAB II

C. Latihan Soal

Nomor 1

x0 0.5y0 1z0 1.5xN 1.5n 10∆x 0.1

TENTUKAN Y, Z, SAMPAI X = 1,5n x0 y0 z0 k1 l1 k2 l2 k3 l3 k4 l4 y z0 0.5000 1.0000 1.5000 0.1792 0.0294 0.1861 0.0492 0.1863 0.0489 0.1935 0.0702 1.1862 1.54931 0.6000 1.1862 1.5493 0.1935 0.0701 0.2010 0.0928 0.2013 0.0926 0.2090 0.1171 1.3874 1.64232 0.7000 1.3874 1.6423 0.2090 0.1170 0.2170 0.1433 0.2173 0.1432 0.2256 0.1718 1.6046 1.78603 0.8000 1.6046 1.7860 0.2256 0.1717 0.2342 0.2025 0.2345 0.2024 0.2434 0.2359 1.8390 1.98894 0.9000 1.8390 1.9889 0.2434 0.2358 0.2526 0.2721 0.2529 0.2720 0.2624 0.3115 2.0918 2.26155 1.0000 2.0918 2.2615 0.2624 0.3114 0.2721 0.3541 0.2725 0.3541 0.2825 0.4006 2.3641 2.61626 1.1000 2.3641 2.6162 0.2825 0.4005 0.2927 0.4508 0.2931 0.4508 0.3037 0.5056 2.6571 3.06787 1.2000 2.6571 3.0678 0.3037 0.5055 0.3145 0.5647 0.3149 0.5648 0.3260 0.6292 2.9718 3.63348 1.3000 2.9718 3.6334 0.3260 0.6290 0.3373 0.6984 0.3377 0.6985 0.3493 0.7740 3.3094 4.33299 1.4000 3.3094 4.3329 0.3493 0.7738 0.3612 0.8551 0.3616 0.8551 0.3737 0.9433 3.6708 5.189110

1.5000 3.6708 5.1891 0.3737 0.9430 0.3860 1.0378 0.3864 1.0378 0.3989 1.1404 4.0570 6.2282

7

dydx

=√ xy+z0,2

dzdx

=3√x+ y2−z

Jadi, pada x = 1,5 diperoleh harga y = 4,0570; z=6,2282Nomor 2

x0 1

y0 1

z0 1

xN 2

n 20

∆x 0.05TENTUKAN Y, Z, SAMPAI X = 2

n x0 y0 z0 k1 l1 k2 l2 k3 l3 k4 l4 y z0 1.0000 1.0000 1.0000 0.1000 0.1000 0.1040 0.1039 0.1041 0.1041 0.1082 0.1086 1.1041 1.10411 1.0500 1.1041 1.1041 0.1082 0.1086 0.1126 0.1136 0.1127 0.1138 0.1172 0.1195 1.2167 1.21792 1.1000 1.2167 1.2179 0.1172 0.1195 0.1219 0.1258 0.1221 0.1262 0.1270 0.1333 1.3387 1.34413 1.1500 1.3387 1.3441 0.1270 0.1333 0.1321 0.1412 0.1323 0.1416 0.1376 0.1504 1.4709 1.48564 1.2000 1.4709 1.4856 0.1376 0.1504 0.1432 0.1602 0.1434 0.1607 0.1493 0.1716 1.6143 1.64625 1.2500 1.6143 1.6462 0.1493 0.1716 0.1554 0.1836 0.1556 0.1843 0.1621 0.1978 1.7699 1.83046 1.3000 1.7699 1.8304 0.1621 0.1977 0.1688 0.2126 0.1690 0.2134 0.1761 0.2300 1.9388 2.04377 1.3500 1.9388 2.0437 0.1761 0.2300 0.1835 0.2484 0.1838 0.2494 0.1915 0.2699 2.1225 2.29298 1.4000 2.1225 2.2929 0.1915 0.2698 0.1996 0.2925 0.1999 0.2938 0.2085 0.3191 2.3224 2.58659 1.4500 2.3224 2.5865 0.2085 0.3191 0.2174 0.3471 0.2178 0.3488 0.2271 0.3801 2.5400 2.935010

1.5000 2.5400 2.9350 0.2271 0.3801 0.2369 0.4149 0.2374 0.4170 0.2477 0.4560 2.7773 3.3516

11

1.5500 2.7773 3.3516 0.2477 0.4559 0.2585 0.4992 0.2590 0.5019 0.2704 0.5505 3.0361 3.8531

12

1.6000 3.0361 3.8531 0.2704 0.5505 0.2823 0.6045 0.2829 0.6080 0.2955 0.6689 3.3189 4.4605

13

1.6500 3.3189 4.4605 0.2955 0.6688 0.3086 0.7365 0.3093 0.7410 0.3232 0.8175 3.6279 5.2007

8

dydx

= y √x+z13

dzdx

=√ y3 z+1x

14

1.7000 3.6279 5.2007 0.3231 0.8173 0.3377 0.9026 0.3384 0.9084 0.3538 1.0048 3.9661 6.1080

15

1.7500 3.9661 6.1080 0.3537 1.0046 0.3698 1.1122 0.3706 1.1198 0.3876 1.2418 4.3365 7.2264

16

1.8000 4.3365 7.2264 0.3876 1.2416 0.4054 1.3780 0.4062 1.3878 0.4250 1.5428 4.7425 8.6124

17

1.8500 4.7425 8.6124 0.4250 1.5425 0.4447 1.7160 0.4457 1.7289 0.4665 1.9264 5.1878 10.3389

18

1.9000 5.1878 10.3389 0.4665 1.9260 0.4883 2.1476 0.4894 2.1644 0.5124 2.4172 5.6769 12.5001

19

1.9500 5.6769 12.5001 0.5124 2.4167 0.5366 2.7007 0.5378 2.7227 0.5634 3.0474 6.2143 15.2186

20

2.0000 6.2143 15.2186 0.5633 3.0467 0.5901 3.4119 0.5915 3.4408 0.6198 3.8592 6.8054 18.6538

Jadi, pada x = 2 diperoleh harga y = 6,8054; z=18,6538

9

D. Tugas

x0 1

y0 1.5

z0 0.6

xN 2

n 20

∆x 0.05TENTUKAN Y, Z, SAMPAI X = 2

n x0 y0 z0 k1 l1 k2 l2 k3 l3 k4 l4 y z0 1.0000 1.5000 0.6000 0.1565 0.1799 0.1666 0.1681 0.1667 0.1691 0.1788 0.1604 1.6670 0.76911 1.0500 1.6670 0.7691 0.1789 0.1604 0.1934 0.1539 0.1937 0.1545 0.2110 0.1493 1.8610 0.92352 1.1000 1.8610 0.9235 0.2110 0.1493 0.2314 0.1453 0.2320 0.1457 0.2560 0.1425 2.0933 1.06923 1.1500 2.0933 1.0692 0.2560 0.1425 0.2841 0.1399 0.2849 0.1403 0.3176 0.1382 2.3786 1.20934 1.2000 2.3786 1.2093 0.3176 0.1382 0.3552 0.1366 0.3565 0.1370 0.4000 0.1359 2.7354 1.34625 1.2500 2.7354 1.3462 0.4000 0.1359 0.4496 0.1351 0.4515 0.1355 0.5086 0.1351 3.1872 1.48166 1.3000 3.1872 1.4816 0.5085 0.1351 0.5733 0.1350 0.5759 0.1355 0.6500 0.1357 3.7633 1.61697 1.3500 3.7633 1.6169 0.6498 0.1357 0.7334 0.1362 0.7371 0.1367 0.8324 0.1375 4.5005 1.75348 1.4000 4.5005 1.7534 0.8322 0.1375 0.9394 0.1386 0.9443 0.1391 1.0664 0.1405 5.4449 1.89239 1.4500 5.4449 1.8923 1.0661 0.1405 1.2031 0.1421 1.2096 0.1427 1.3654 0.1447 6.6543 2.034810

1.5000 6.6543 2.0348 1.3649 0.1447 1.5394 0.1469 1.5480 0.1475 1.7464 0.1500 8.2020 2.1820

11

1.5500 8.2020 2.1820 1.7458 0.1500 1.9678 0.1527 1.9792 0.1535 2.2317 0.1565 10.1806 2.3351

12

1.6000 10.1806 2.3351 2.2309 0.1565 2.5134 0.1598 2.5283 0.1606 2.8499 0.1642 12.7080 2.4954

1 1.6500 12.7080 2.4954 2.8488 0.1642 3.2086 0.1680 3.2280 0.1689 3.6381 0.1731 15.9347 2.6639

10

314

1.7000 15.9347 2.6639 3.6365 0.1731 4.0956 0.1776 4.1209 0.1785 4.6447 0.1833 20.0537 2.8420

15

1.7500 20.0537 2.8420 4.6426 0.1833 5.2296 0.1884 5.2625 0.1895 5.9333 0.1949 25.3137 3.0310

16

1.8000 25.3137 3.0310 5.9305 0.1949 6.6829 0.2007 6.7258 0.2019 7.5874 0.2080 32.0363 3.2323

17

1.8500 32.0363 3.2323 7.5836 0.2080 8.5512 0.2145 8.6072 0.2158 9.7175 0.2227 40.6393 3.4475

18

1.9000 40.6393 3.4475 9.7124 0.2227 10.9611 0.2300 11.0343 0.2315 12.4705 0.2392 51.6682 3.6783

19

1.9500 51.6682 3.6783 12.4637 0.2392 14.0814 0.2473 14.1775 0.2490 16.0427 0.2576 65.8389 3.9266

20

2.0000 65.8389 3.9266 16.0335 0.2576 18.1382 0.2667 18.2648 0.2685 20.6980 0.2782 84.0952 4.1943

Jadi, pada x = 2 diperoleh harga y = 84,0952; z = 4,1943

11

BAB III

E. Kesimpulan dan Saran

Kualitatif

Pada percobaan ke lima ini, metode yang digunakan sama dengan

percobaan ke empat yaitu metode Runge Kutta. Metode ini merupakan metode

yang paling akurat dibandingkan metode – metode lain. Karena merupakan

hasil dari perbaikan metode – metode sebelumnya yang telah ada.

Dari percobaan yang dilakukan ditemukan bahwa nilai l1, l2, l3, dan l4

tidak akan berbeda jauh. Begitupula dengan k1, k2, k3, dan k4, hal tersebut

dijadikan patokan apakah rumus yang dimasukan pada l dan k benar atau

tidak. Seperti praktikum sebelumnya, semakin besar nilai Δx maka semakin

bagus data yang dihasilkan. Nilai y dan z akan semakin besar dengan

banyaknya iterasi yang dilakukan. Hal ini disebabkan oleh nilai x0, y0, dan z0

yang semakin besar seiring dengan banyaknya iterasi yang dilakukan.

Kuantitatif

Pada soal latihan 1 dengan x0 sebesar 0,5 dan y0 sebesar 1, z0 sebesar

1,5 dengan Δx 0,1 dan n 10 diperoleh y sebesar 4,0570 dan z 6,2282 pada xN

1,5.

Pada soal latihan 2 dengan x0 sebesar 1 dan y0 sebesar 1, z0 sebesar 1

dengan Δx 0,05 dan n 20 diperoleh y sebesar 6,8054 dan z 18,6538 pada xN 2.

Pada soal tugas dengan x0 sebesar 1 dan y0 sebesar 1,5; z0 sebesar 0,6

dengan Δx 0,05 dan n 20 diperoleh y sebesar 84,0952 dan z 4,1943 pada xN 2.

Saran

Dalam penulisan rumus atau formula pada Microsoft Excel dibutuhkan

ketelitian yang tinggi karena tanda kurung dan simbol – simbol matematika

yang digunakan cukup banyak pada praktikum ini. Selain itu, tabel yang perlu

diisi rumus juga lebih banyak dibandingkan praktikum – praktikum

sebelumnya sehingga membutuhkan konsentrasi dalam penulisan formula.

Pada praktikum ini dibutuhkan ketelitian terutama dalam penulisan rumus k1

l1, k2 l2, k3 l3, k4 l4. Pada bagian tersebut rumus yang digunakan cukup mirip

12

mulai k2 l2 hingga k4 l4 namun dibagian itulah diperlukan kehati – hatian

karena rumus menjadi lebih panjang.

Penempatan tanda kurung menjadi faktor yang sering membuat

perhitungan tidak sesuai dengan hasil yang diinginkan. Kesalahan penempatan

tanda kurung mengakibatkan persamaan matematika yang dikerjakan oleh

Microsoft Excel berbeda dengan soal yang diberikan. Menempatkan tanda

kurung sebelum menulis rumus sangat dianjurkan untuk menghindari

kesalahan perhitungan.

F. Daftar Pustaka

Persamaan Differensial Ordiner. Diakses 25 November 2014.

http://istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/matek/MT%20Persamaan%20Diferensial

%20Ordiner.pdf

Sistem Persamaan Diferensial Simultan. Diakses 25 November 2014

16:34 http://repository.binus.ac.id/2009-1/content/K0602/K060267984.pdf

13