BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi GrafGraph G adalah pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di G yang disebut sebagai sisi. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G). Sedangkan banyaknya unsur di V disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(G) dan banyaknya unsur di E disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G). Jika graph yang dibicarakan hanya graph G, maka order dan ukuran dari G tersebut cukup ditulis dengan p dan q (Chartrand dan Lesniak, 1986)Dari definisi di atas, maka suatu graf tidak boleh mempunyai sisi rangkap (multiple edges) dan loop. Sisi rangkap dari suatu graf adalah jika dua titik yang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi. Sedangkan yang disebut dengan loop adalah suatu sisi yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri (Suryanto, 1986). Derajat (degree) sebuah titik v pada sebuah graf G, dituliskan dengan der(v), adalah banyak sisi yang insiden pada v, dengan kata lain jumlah sisi yang memuat v sebagai titik ujung. Titik dengan derajat nol disebut titik terisolasi (isolated vertex).Graf G disebut finite atau berhingga jika himpunan titik adalah berhingga, atau graf yang jumlah titiknya adalah n berhingga. Graf infinite atau tak berhingga adalah graf yang jumlah titiknya tidak berhingga. Graf trivial adalah graf berorder satu dengan himpunan sisinya merupakan himpunan kosong. Graf non trivial adalah graf yang berorder lebih dari satu (Bondy and Murthy, 1976).Suatu jalan (walk) pada graf G adalah suatu urutan titik-titik dan sisi-sisi secara bergantian, dimana setiap sisi bersisian dengan titik terdekat, dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik. Jika suatu jalan yang setiap sisinya berbeda maka jalan itu disebut jejak (trail). Suatu jejak yang setiap titiknya berbeda dinamakan lintasan (path).

2.2. Jenis-Jenis GrafBerdasarkan ada tidaknya sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis yaitu graf tak-sederhana dan graf sederhana. Graf tak-sederhana (unsimple graph) adalah graf yang mengandung sisi ganda atau loop. Graf sederhana (simple graph) adalah graf yang tidak mengandung sisi ganda maupun loop banyaknya sisi yang terjadi adalah dua (Munir, 2005). Berikut ini adalah beberapa jenis graf yang merupakan graf sederhana :1. Graf Lengkap Graf Lengkap adalah graf sederhana dengan setiap pasang titik yang berbeda dihubungkan oleh satu sisi. Graf lengkap dengan n titik dinyatakan dengan (Purwanto, 1998).Contoh :

Gambar 2.1 Graf Lengkap (Purwanto, 1998)Pada Gambar 2.1 graf merupakan graf Lengkap , graf merupakan graf Lengkap, graf merupakan graf Lengkap , dan graf merupakan graf Lengkap . 2. Graf Siklus Graf siklus adalah graf sedehana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf siklus dengan n titik dilambangkan dengan . Jika titik-titik pada adalah , , ,,, maka sisi-sisinya adalah {, }, {, }, . .. ,{, } dan { , }. Dengan kata lain, ada sisi dari titik terakhir ke titik pertama (Rosen, 2003).Contoh :

Gambar 2.2 Graf Siklus (Rosen, 2003)

3. Graf Lintasan Graf Lintasan adalah graf yang terdiri dari satu lintasan (path tunggal). Graf lintasan (path) dengan n titik dinotasikan dengan (Wilson dan Watkins, 1990).Contoh :

Gambar 2.3 Graf lintasan (Wilson dan Watkins, 1990)4. Graf Kincir Graf kincir sering disebut juga graf persahabatan (Friendship), yaitu graf yang didapat dari gabungan graf siklus sebanyak dengan satu verteks digunakan barsama (Gallian, 2013).Contoh :

Gambar 2.4 Graf Kincir (Gallian, 2013)5. Graf Kipas Graf Kipas dibentuk dari penjumlahan graf lengkap dan graf lintasan yaitu yang juga dinotasikan sebagai . Dengan demikian graf kipas mempunyai titik dan sisi (Gallian, 2013). Untuk menggambarkan suatu graf kipas yaitu dengan memisalkan:

= dan

= Maka graf kipas ) adalah

Gambar 2.5 Graf Kipas (Gallian, 2013)6. Graf TotalGraf total dari graf adalah graf dengan himpunan titiknya yaitu dan kedua titik tersebut bertetangga setiap kali titik tersebut bertetangga atau berinsiden di . Total graf dari dinotasikan dengan (Vaidya and Bantva, 2011).Contoh :

Gambar 2.6 Graf Total ) (Behzad and Chartrand, 1966)2.3 Operasi Pada GrafOperasi juga dapat dilakukan pada graf. Berikut adalah beberapa operasi antar graf yang berhubungan dengan penelitian ini :1. Operasi PenjumlahanPenjumlahan dua graf dan yang dinotasikan mempunyai himpunan titik ) dan himpunan sisi dan (Chatrand and Lesniak, 1986). Contoh :

Gambar 2.7 Penjumlahan dua graf (Chatrand and Lesniak, 1986)2. Operasi Gabungan Operasi juga dapat dilakukan pada dua graf untuk menghasilkan graf lain. Graf baru yang mengandung semua titik dan sisi dari graf tersebut dinamakan gabungan dari graf. Selanjutnya akan diberikan definisi untuk gabungan dari dua graf sederhana. Gabungan dari dua graf sederhana ( dan ( adalah graf sederhana yang himpunan titiknya dan himpunan sisinya . Gabungan dari dan dilambangkan oleh (Rosen,2007). Contoh operasi gabungan pada graf diperlihatkan pada gambar berikut :

Gambar 2.8 (a) (b) (c) (Rosen,2007)3. Operasi Produk KoronaMisalkan terdapat dua graf G dan H dengan jumlah titik masing-masing adalah dan . Produk korona dari G H didefinisikan sebagai suatu graf yang dihasilkan dari G dan H dengan mengambil satu titik dari G dan titik dari H, dan menghubungkannya dengan suatu sisi dari setiap titik pada titik ke-i dari H dengan titik ke-i dari G (Yero dkk, 2010). Diberikan contoh graf hasil korona pada (dan (graf lintasan) sebagai berikut :

Gambar 2.9 (a) dan (b) (Haryono, 2012)Pada Gambar 2.9 diatas menunjukan bahwa operasi hasil korona pada graf tangga terhadap lintasan dan graf lintasan terhadap tangga adalah berbeda atau . Hal ini berlaku untuk setiap hasil korona antar graf yang berbeda.

2.4 FungsiSuatu fungsi f adalah suatu pemetaan dari himpunan D kepada himpunan T dengan sifat bahwa untuk setiap element d di D, f memetakan d kepada suatu element tertentu, dinotasikan dari T. D disebut domain f , dan T disebut kodomain f , ditulis . sering disebut bayangan (image) dari d oleh f, dan semua himpunan image disebut range R dari f dinotasikan

Suatu pemetaan dikatakan fungsi jika tidak ada element dari domain yang dipasangkan pada dua atau lebih elemen di range (Albertson dan Hutchinson, 1988).Contoh :

Gambar 2.10 Fungsi (Albertson dan Hutchinson, 1988)1. Fungsi InjektifMisalkan suatu fungsi dari ke , disebut fungsi injektif apabila setiap unsur-unsur dalam dipetakan dengan tunggal unsur-unsur dalam , artinya tidak ada dua buah elemen dalam yang mempunyai bayangan yang sama. Secara matematis ditulis disebut fungsi injektif jika untuk setiap maka atau jika untuk setiap maka ) (Munir R, 2005).Contoh :

Gambar 2.11 Fungsi Injeksi dari ke B (Munir R, 2005)2. Fungsi SurjektifMisalkan suatu fungsi dari ke disebut fungsi surjektif jika suatu elemen himpunan merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A (Munir R, 2005).Contoh :

Gambar 2.12 Fungsi Surjektif dari ke B (Munir R, 2005)

3. Fungsi BijektifFungsi disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika sekaligus surjektif dan injektif (Munir R, 2005).Contoh :

Gambar 2.13 Fungsi Bijektif dari ke B (Munir R, 2005)

2.5 Greatest Common Divisor (GCD)Jika a | b maka a disebut faktor dari b. Kemudian jika suatu bilangan bulat d membagi dua bilangan bulat a dan b maka d disebut faktor persekutuan dari a dan b. Bilangan bulat terbesar di antara semua faktor persekutuan bagi a dan b dinamakan faktor persekutuan terbesar (greatest common divisor) bagi a dan b dan dilambangkan dengan GCD(a,b). Contoh : GCD(24,32) = 8.

2.6 Pelabelan Pelabelan pada sebuah graf adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur pada suatu graf ke bilangan-bilangan (biasanya ke bilangan bulat positif atau bilangan bulat non-negatif) (Wallis dkk, 2000). Ditinjau dari domainnya, terdapat bermacam-macam pelabelan pada graf, antara lain adalah pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan titik adalah pemetaan yang memetakan titik-titik pada suatu graf ke bilangan-bilangan. Pelabelan sisi adalah pemetaan yang memetakan sisi-sisi pada suatu graf ke bilangan-bilangan. Sedangkan pelabelan total adalah pemetaan yang memetakan titik-titik dan sisi-sisi pada suatu graf ke bilangan-bilangan. Selain itu domain yang lain juga mungkin digunakan pada pelabelan pada graf.

2.7 Pelabelan Prime Cordial Pelabelan prime cordial adalah pelabelan graf dengan himpunan titik adalah fungsi bijektif dari V ke , sedemikian sehingga untuk setiap sisi dimana,

sehingga dengan adalah banyaknya sisi pada graf yang berlabel 0 dan adalah banyaknya sisi pada graf yang berlabel 1 (Sundaram dkk, 2005)Contoh 1 :

Gambar 2.14 pelabelan prime cordial pada graf kincir (Nindita dkk, 2012)Berdasarkan definisi pelabelan prime cordial, telah diketahui bahwa suatu graf dapat dikatakan prime cordial jika memenuhi syarat pelabelan prime cordial yaitu sisi (= 1 jika greatest common divisor dan sisi (= 0 jika greatest common divisor , maka dapat dihitung harga mutlak selisih dari banyak sisi yang berlabel 0 dan banyak sisi berlabel 1 adalah kurang dari sama dengan 1. Setelah mencari greatest common divisor Pada gambar 2.14 maka dapat dihitung harga mutlak selisih dari banyak sisi yang berlabel 0 dan 1 adalah . Dengan demikian graf kincir memenuhi syarat pelabelan prime cordial.Contoh 2 :

Gambar 2.15 Graf prime cordial path union (Nindita dkk, 2012)Pada gambar 2.15 graf path union memiliki harga mutlak selisih dari banyak sisi yang berlabel 0 dan 1 adalah = = Maka graf path union memenuhi syarat pelabelan prime cordia.

Contoh 3 :

Gambar 2.16 Pelabelan prime cordial pada graf roda (Vaidya dkk, 2012) Pada Gambar 2.16 harga mutlak selisih dari banyak sisi yang berlabel 0 dan 1 pada graf roda adalah = Sehingga memenuhi syarat pelabelan prime cordial.

2.8 Kerangka Pikir Penelitian

Gambar 2.17 Bagan kerangka pikir penelitian 17

P2

P3

P4

u2n-1

u2n

u4

u1

u2

u3

u

v0

v1

v2

v3

vn-1

vn

v1

v2

v3

vn-1

v0

vn

G

T(G)

G1 :

G1 + G2 :

G2 :

(a)

(b)

(c)

L4

P2

(a)

(b)

A

B

a

b

c

d

A

1

2

3

B

a

b

c

A

1

2

3

4

B

a

b

d

1

2

3

A

B

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

v12

v13

e2

e1

e3

e4

e6

e5

e7

e8

e9

e10

e11

e12

e13

e14

e15

e16

e17

e18

6

2

4

8

10

12

1

3

5

7

9

11

13

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

2

4

6

0

0

0

8

0

0

12

1

0

0

1

1

1

1

5

3

7

11

1

1

1

1

9

10

v1

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v2

1

3

2

8

4

5

7

6

9

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Mulai

Menotasikan titik dan sisi pada graf kipas, kipas korona lintasan, kincir korona lintasan dan graf total siklus gabung dua lintasan

Memberikan label titik dan sisi pelabelan prime cordial pada graf kipas, kipas korona lintasan, kincir korona lintasan dan graf total siklus gabung dua lintasan

Mendapatkan pola label titik pelabelan prime cordial pada graf kipas, kipas korona lintasan, kincir korona lintasan dan graf total siklus gabung dua lintasan

Membuat teorema yang dilengkapi dengan bukti-bukti

Selesai

Studi Literatur

G4

G3

G2

G1