bab ivdirectory.umm.ac.id/labkom_ict/math/sem_3/kapita sma... · web viewcontoh-sontoh soal dan...
TRANSCRIPT
DIFFERENSIAL
Disusun oleh:
kelompok 11
1. Rika Farhani (09320011)
2. Noor Syahrida (09320019)
3. Yessi Priska Marina (09320033)
Kelas : 3A
1
TURUNAN
A. Definisi Turunan
Turunan fungsi f adalah fingsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada
sebarang nilai c adalah :
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan di c.
Pencarian turunan disebut pendiferensialkan.
Contoh1:Untuk y = 2x maka
Contoh 2 : Andaikan , carilah f’(2)
Jawab :
Maka :
B. Sifat-sifat Turunan
Dengan menggunakan definisi turunan dapat diturunkan sejumlah sifat
tentang turunan, yaitu :
1. jika dengan c dan n konstanta real, maka
contoh :
1
2. jika dengan c R maka
contoh :
3. jika maka
4. jika maka
contoh :
5. jika maka
contoh :
6. jika maka
contoh :
7. jika maka
contoh :
2
8. jika maka
contoh :
9. jika maka
contoh :
Catatan :
untuk dapat diperoleh dengan mengganti x menjadi a pada
10. y = sin n f(x) → y’ = n sin n−1 f(x). cos f(x) . f’(x)
11. y = cos n f(x) → y’ = - n cos n−1 f(x). sin f(x) . f’(x)
C. Turunan Ke-n dari suatu fungsi
3
Turunan ke-n suatu fungsi diperoleh dengan menurunkan fungsi sebanyak n kali.
Notasi-notasi untuk turunan pertama, turunan kedua, turunan ketiga, sampai
turunan ke-n dari fungsi disajikan dalam daftar Tabel berikut.
Notasi yang digunakan
Turunan pertama
atau atau atau
Turunan kedua
atau ) atau atau
........................ ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
Turunan ke-n
atau ) atau atau
Contoh:
D. Turunan fungsi Trigonometri
Misalkan diketahui fungsi sinus: . Turunan fungsi sinus:
ditentukan sebagai berikut.
4
=
=
=
= sinx - cos x
= cos x
Untuk fungsi-fungsi trigonometri yang lain juga dapat dicari dengan cara
seperti diatas, sehingga diperoleh :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Contoh-sontoh soal dan pembahasan :
1.Apabila f(x) = maka f’ adalah
5
Bahasan : jika f(x) = maka =
=
2. jika y= sin 3 x ,maka
Bahasan :
6
E. Menentukan gradien garis singgung kurva
persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) dimana m = f’(x)
apabila terdapat dua persamaan garis y= m1 x + c1 dan y= m 2 x + c 2 dikatakan
- sejajar apabila m1 = m 2
- tegak lurus apabila m1 . m 2 = -1
Misal garis menyinggung kurva dititik
maka gradien adalah:
Contoh:
Tentukan gradien garis singgung kurva di titik
Jawab:
Gradien garis singgung kurva di titik adalah :
G. Menentukan interval fungsi naik dan turun
Kurva naik untuk dan turun untuk Interval
yang memenuhi dan dapat ditentukan dengan
menggambarkan garis bilangan dari
Contoh:
Tentukan interval fungsi naik dan turun dari
Jawab:
7
=
Dapat diketahui bahwa untuk atau dan untuk
jadi fungsi naik untuk atau dan fungsi turun untuk
H. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi
Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai
ekstrim atau nilai stasioner fungsi tersebut. Nilai ekstrim dari fungsi
diperoleh pada Misalkan adalah nilai yang memenuhi
maka adalah titik ekstrim dan adalah nilai ekstrim. Nilai ekstrim
ini akan merupakan nilai maksimum jika dan dan
merupakan nilai minimim jika dan
Contoh:
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi
Jawab:
untuk dan
maksimum untuk nilai
maksimum =80
minimum untuk nilai minimum =-28
Menentukan titik stasioner
diketahui y = f (x).
Bila f’(a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner
- (a, f(a) ) titik minimum jika f ’’ (a) > 0
- (a, f(a) ) titik maksimum jika f ’’ (a) < 0
I. Titik Kritis
Definisi titik kritis
8
Titik kritis adalah titik interior dalam f dimana f ‘ 0 atau tidak ada.
• f(x) = 4x – 3x2 + 1 ; x [2,1] , tentukan nilai ekstrim fungsi f !
a. titik –titik ujung adalah x = 2 dan x = 1
X = 2f(2) = 4(2) – 3(2)² +1 = 8 – 12 + 1= -3
x = 1f(1) = 4(1) – 3(1)² +1 = 4 – 3 + 1 = 2
b. Titik kritis
f(x) = 4x – 3x² - 1
f’(x) = 4 – 6x
f’ (x) = 0
4 – 6x = 0
4 = 6x
4/6 = x, maka tidak mencapai titik kritis
Nilai minimum = { -3, 2},
nilai maksimum = {-3, 2 } = 2
J. Titik Belok fungsi
1. Definisi titik belok fungsi
Jika pada titik (a, f(a)) terjadi perubahan kecekungan grafik fungsi y=f(x)
(dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas atau sebaliknya) maka titik
(a,f(a)) dinamakan titik belok fungsi y= f(x). Untuk memeriksa kondisi bagi
titik belok fungsi, simaklah fungsi berikut ini.
fungsi - 1. turunan pertama dan kedua dari fungsi
-1 berturut-turut adalah:
dan
Tanda-tanda di sekitar x=0
diperlihatkan pada gambar. Berdasarkan tanda-
tanda itu, dapat dibaca sebagai berikut.
a. < 0 untuk x < 0 fungsi cekung
ke bawah
b. = 0 untuk x = 0 fungsi
mempunyai titik belok di (0,-1)
9
c. >0 untuk x > 0 fungsi cekung
ke atas.
Jadi grafik fungsi -1 mengalami perubahan
kecekungan dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas dan perubahan
kecekungan ini terjadi di titik (0,-1). Titik (0,-1) disebut titik belok bagi
fungsi -1.
Selain itu, berdasarkan pengamatan pada nilai turunan kedua syarat
perlu atau kondisi perlu bagi sebuah titik belok fungsi dan diungkapkan
melalui teorema beriku
2. Teorema :syarat perlu bagi titik belok
Jika f(x) diferensiabel dua kali pada x=a atau f’’(a) ada dan (a,f(a)) adalah
titik belok grafik fungsi y= f(x) maka f’’(a) = 0
K. Titik Balik
Andaikan f kontinu di c. Kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f
cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Grafik
berikut menunjukkan sejumlah kemungkinan.
10
L. Menggambar grafik fungsi
Langkah-langkah untuk memggambar grafik fungsi:
Langkah I
1. tentukan koordinat-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat,
jika koordinat-koordinat itu mudah ditentukan.
Titik potong dengan sumbu X diperoleh dari syarat y = 0
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x = 0
2. tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi , yaitu
dan . Dari turunan pertama , dapat ditentukan:
interval-interval dimana naik dan turun
titik ekstrim fungsi serta jenis-jenisnya.
Dari turunan kedua dapat ditentukan:
Interval-interval dimana cekung ke atas dan cekung ke
bawah,
Titik belok fungsi .
3. jika fungsi didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai fungsi
pada ujung-ujung interval.
4. jika diperlukan, tentuakan beberapa titik tertentu.
Langkah II
Titik-titik yang diperoleh pada langkah I digambarkan pada bidang cartesius.
Langkah III
Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada
langkah II dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi
dan kecekunga fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan.
Contoh
Gambarlah grafik dari persamaan
11
Langkah I
1 koordianat-koordinat titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat
titik potong dengan sumbu X diperoleh dengan syarat y = 0
Nilai-nilai yang memenuhi persamaan tersebut adalah akar-akar dari
persamaan sukubanyak tersebut. Akan tetapi akar-akar dari persamaan suku
banyak itu sulit untuk ditentukan, sehingga koordinat titik potong dengan sumbu
X tidak perlu ditetapkan.
Titik potong dengan sumbu diperoleh dari syarat .
Titik potong dengan sumbu adalah (0,4)
2. Turunan pertama dan kedua dari fungsi berturut-
turut adalah dan .
a. Dari dapat ditentukan:
naik diperoleh dari
atau
turun diperoleh dari
atau
Fungsi naik dalam interval atau dan
turun dalam interval .
Nilai-nilai stasioner diperoleh dari
12
atau
Untuk , diperoleh .
merupakan nilai balik maksimum , sebab berubah
tanda dari positif menjadi negatif ketika melewati ,
Untuk x = 3, diperoleh f(3) = (3)3 – 2(3)2 + 3(3) + 4.
f(3) = 4 merupakan nilai balik minimum f(x), sebab f’(x) berubah tanda
dari negatif menjadi positif ketika melewati x = 3 ,
fungsi mempunyai koordinat titik balik
maksimum (1, 5⅓) dan koordinat titk balik minimum (3, 4).
b. dari f” (x) = 2x – 4 dapat ditentukan.
f(x) cekung ke atas diperoleh dari f ” (x) > 0
2x – 4 > 0 ↔ x > 2
f(x) cekung kebawa diperoleh dari f” (x) < 0
2x – 4 < 0 ↔ x< 2
Fungsi cekung keatas dalam interval x >
2 dan cekung kedalam dalam interval x< 2
syarat perlu bagi titik belok diperoleh dari f” (x) = 0
2x – 4 < 0 ↔ x= 2
Untuk x = 2, diperoleh f(2) = (2)3 – 2(2)2 + 3(2) + 4 = 4
Titik (2, 4 ) merupakan titoik belok fungsi f(x), sebab fungsi f(x)
mengalami perubahan kecekungan dari cekung kebawah (f”(x) <
0)menjadi cekung ke atas (f”(x) > 0) ketika melewati x=2.
Langkah II
Titik-titik yang diperoleh dri langkah 1 digambarkan pada bidang
Cartesius
13
Langkah III
Selanjutnya titik-titil yang telah digambarkan pada bidang cartesius
tersebut dihubungkan sehingga diperoleh grafik fungsi
.
M. SOAL
1. Carilah turunan dari
2. Carilah turunan kedua dari
3. Carilah turunan dari y =
4. Carilah nilai balik maksimum dan nilai balik minimum pada fungsi
f(x)=x⁴ - 2x²
5. Tentukan koordinat-koordinat titik belok fungsi f(x)= x⁴ -8x³
+18x²+12x-25 dalam daerah asal Df = {x/XєR}
14
DAFTAR PUSTAKA
Wirodikromo, Sartono. 2002. MATEMATIKA untuk SMA Kelas XII , Penerbit
Erlangga, Jakarta.
Edwin j.purcell, dale varberg. 1984. Kalkulus dan geometri analitis , Penerbit
Erlangga, Jakarta
Stewart, James. 2001. KALKULUS edisi keempat ,Penerbit Erlangga, Jakarta.
Simangunsong, wilson. 1997. matematika dasar , Penerbit Erlangga, Jakarta.
Anonym .2009. Turunan (Differensial) ,(online), www.BELAJAR-
MATEMATIKA.com .
Anonym .2007. Math11.Differensial Fungsi sederhana ,(online),
www.matematika.com .
15