bab3. fungsi dua peubah
DESCRIPTION
Kalkulus 2TRANSCRIPT
![Page 1: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/1.jpg)
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah
1Mat2-Unpad
![Page 2: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Sistem KoordinatSistem Koordinaty
x
P(x,y)
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV
y
x
y
z
x
P(x,y,z)
Oktan 1
R3(Ruang) R2(Bidang)
Mat2-Unpad
![Page 3: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/3.jpg)
3Mat2-Unpad
![Page 4: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Permukaan di Ruang (RPermukaan di Ruang (R33))
Ax By Cz D
Jejak di bidang XOY, z = 0
Jejak di bidang XOZ, y = 0
Jejak di bidang YOZ, x = 0
1. Bidang
Bentuk umum:
Cara menggambar permukaan: tentukan jejak(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)
Ax By D Ax Cz D
By Cz D
(garis lurus)
(garis lurus)
(garis lurus)
Mat2-Unpad
![Page 5: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Gambar bidang 3 4 2 12x y z
Mat2-Unpad
![Page 6: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/6.jpg)
6
2 2 2 2 , 0x y z a a
2 2 2x y a Jejak di bidang XOY, z = 0
Jejak di bidang XOZ, y = 0
(lingkaran)
2 2 2x z a (lingkaran)
Jejak di bidang YOZ, x = 0 2 2 2y z a (lingkaran)
2. Bola
Persamaan umum bola :
Mat2-Unpad
![Page 7: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Gambar BolaGambar Bola
Z
x
y
7Mat2-Unpad
![Page 8: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/8.jpg)
8
3. Elipsoida2 2 2
2 2 21 , , , 0
x y za b c
a b c
2 2
2 21
x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips
2 2
2 21
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Elips
2 2
2 21
z y
c b Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Elips
Bentuk umum :
Mat2-Unpad
![Page 9: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Gambar ElipsoidaGambar Elipsoida
Z
x
y
Mat2-Unpad
![Page 10: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/10.jpg)
10
2 2 2
2 2 21 , , , 0
x y za b c
a b c
2 2
2 21
x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips
2 2
2 21
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 21
y z
b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbola
4. Hiperboloida berdaun satu
Bentuk umum :
Mat2-Unpad
![Page 11: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Gambar Hiperboloida Berdaun SatuGambar Hiperboloida Berdaun Satu
Z
x
y
Mat2-Unpad
![Page 12: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/12.jpg)
12
2 2 2
2 2 21
x y z
a b c
2 2
2 21
x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 21
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 21
y z
b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejak
Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips
5. Hiperboloida Berdaun dua
Bentuk umum :
Mat2-Unpad
![Page 13: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Gambar Hiperboloida Berdaun DuaGambar Hiperboloida Berdaun Dua
Z
x
y
Mat2-Unpad
![Page 14: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/14.jpg)
14
2
2
2
2
b
y
a
xz
2
2
2
2
b
y
a
xz
2 2 2
2 2 20
x y z
a b c
6. Paraboloida Elips :
7. Paboloida Hiperbola :
8. Kerucut Elips :
Mat2-Unpad
![Page 15: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/15.jpg)
15
GambarGambarZ
x
y
z
x
y
Z
x
y
Paraboloida Elips
Paraboloida Hiperbola
Kerucut ElipsMat2-Unpad
![Page 16: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah• Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang
mengaitkan setiap pasangan (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)Notasi : f : A R
(x,y) z = f(x,y)Contoh:
2 212. ( , ) 36 9 4
3f x y x y
2
22
23. ( , )
2
y xf x y
x y
2( )A R
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
Mat2-Unpad
![Page 17: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Daerah Asal (Daerah Asal (DDff) dan Daerah Nilai () dan Daerah Nilai (RRff))
2( , ) ( , )fD x y R f x y R
Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari
( , ) ( , )f fR f x y x y D
2 212. ( , ) 36 9 4
3f x y x y
3. ( , ) (1 )f x y x y
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
Berupa daerah di bidang
Mat2-Unpad
![Page 18: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Jawab :Jawab :
x
y
2.2 2 21
( , ) 36 9 43fD x y R x y R
2 22( , ) 1
4 9
x yx y R
x
y
2
3
2 2 2
2
1. ( , ) | 3 2
( , )
fD x y R x y R
x y R
(seluruh daerah di bidang)
2 2 2( , ) 36 9 4 0x y R x y
2 2 2( , ) 9 4 36x y R x y
Mat2-Unpad
![Page 19: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/19.jpg)
19
x
y
23. ( , ) (1 )fD x y R x y R
= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)0 atau x 0 dan (1–y)0}
= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1}
2( , ) (1 ) 0x y R x y
Mat2-Unpad
![Page 20: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/20.jpg)
20
LatihanLatihan
2
22
21. ( , )
2
y xf x y
x y
2. ( , )1
xf x y
y
3. ( , ) 2y
f x yx
Tentukan dan gambarkan domain dari fungsi berikut:
Mat2-Unpad
![Page 21: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah• Grafiknya berupa permukaan di ruang
Z=f(x,y)
Df
x
y
z
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbu zakan memotong grafik tepat di satu titik.
Mat2-Unpad
![Page 22: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/22.jpg)
Mat2-Unpad 22
![Page 23: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/23.jpg)
23
ContohContoh
Paraboloida elips2 2
1 13 2
x yz
Z
x
y
Z
x
y
3
3
Gambarkan grafik
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
2 212. ( , ) 36 9 4
2f x y x y
2
2 2 2
14 9 9
x y z
2 2 24 36 9 4z x y
elipsoida
Mat2-Unpad
![Page 24: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/24.jpg)
24
LatihanLatihan
1. x2 + y2 = 42. y = x2
3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 14. 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 365. z =4
Gambarkan grafik dari :
2 26. ( , ) 3f x y x y
Mat2-Unpad
![Page 25: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Turunan ParsialTurunan ParsialDefinisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah.
0
( , ) ( , )( , ) limx
h
f x h y f x yf x y
h
2. Turunan parsial pertama f terhadap y (x dianggap konstan):
0
( , ) ( , )( , ) limy
h
f x y h f x yf x y
h
1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y dianggap konstan):
,x
f zf
x x
y
z
y
ff y
Notasi lain :
Mat2-Unpad
![Page 26: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Contoh:Contoh:
4 21. ( , )f x y x y xy
Tentukan fx dan fy
Jawab :
3 21. 4 ;xf x y y
2 22. ( , ) cos( )f x y y x y
2 22. 2 sin( )xf xy x y
)sin(2)cos( 22222 yxyyxf y
4 2yf x xy
Mat2-Unpad
![Page 27: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/27.jpg)
27
LatihanLatihan I I
31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy
cos2. ( , )y t
xf x y e dt
Tentukan fx dan fy
33. ( , ) cos( ) sin(2 )f x y x x y y xy
4. ( , ) tan 2yf x y e x
3 2 35. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y
Mat2-Unpad
![Page 28: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/28.jpg)
Mat2-Unpad 28
LatihanLatihan II II
Tentukan Fx dan Fy
1. f(x,y) =ln(x2 – y2)
2. f(x,y) = xey – sin(x/y) + x3y2
3. f(x,y) = x2sin(xy2)
4. f(x,y) = ycos(x2 + y2)
![Page 29: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Definisi: Misalkan f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah,
maka
0
( , , ) ( , , )limxh
f x h y z f x y zf
h
2. Turunan parsial pertama f terhadap y (x,z konstan):
0
( , , ) ( , , )limyh
f x y h z f x y zf
h
1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y,z konstan):
3. Turunan parsial pertama f terhadap z (x,y konstan):
0
( , , ) ( , , )limzh
f x y z h f x y zf
h
Mat2-Unpad
![Page 30: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/30.jpg)
30
LatihanLatihan
21. ( , , ) 3f x y z xy y z xz
2. ( , , ) cos( ) 2f x y z x y z xy
Tentukan fx, fy dan fz
23. ( , , ) secyf x y z xe z
24. ( , , ) ln( )xyzf x y z e x y z
Mat2-Unpad
![Page 31: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Turunan Parsial KeduaTurunan Parsial Kedua2
2( , )xx
f ff x y
x x x
2
2( , )yy
f ff x y
y y y
2
( , )xy
f ff x y
y x y x
2
( , )yx
f ff x y
x y x y
Mat2-Unpad
![Page 32: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/32.jpg)
32
ContohContohTentukan
Jawab :
2 3 3( , )f x y xy x y , , ,xx xy yx yyf f f f dari
2 2 33xf y x y 36xxf xy
3 22 3yf xy x y
2 22 9xyf y x y
2 22 9yxf y x y
32 6yyf x x y
Mat2-Unpad
![Page 33: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/33.jpg)
33
LatihanLatihanTentukan , , ,xx xy yx yyf f f f dari
31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy
2. ( , ) sin 3 cos 2f x y x y
2 23. ( , ) ln( )f x y x xy y 2
4. ( , )x y
f x yxy
2 25. ( , ) sin cosx yf x y e y e x
Mat2-Unpad
![Page 34: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Arti Geometris Turunan Parsial PertamaArti Geometris Turunan Parsial Pertama
z
x
y
(a, b)
s),(
),(),(lim
0yxf
h
yxfyhxfm x
h
Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu x positif
Mat2-Unpad
![Page 35: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/35.jpg)
35
z
x
y (a, b)
s0
( , ) ( , )lim ( , )yh
f x y h f x ym f x y
h
Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu y positif
Arti Geometris Turunan Parsial PertamaArti Geometris Turunan Parsial Pertama
Mat2-Unpad
![Page 36: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/36.jpg)
36
0..
dx
dy
y
F
dx
dx
x
FFdy x
Fdxy
Fungsi Implisit
(i) Jika ( , ) 0F x y bentuk implisit dari ( )f x y maka
(ii) Jika ( , , ) 0F x y z bentuk implisit dari ( , )f x y z maka
0...
x
z
z
F
x
y
y
F
x
x
x
F Fz xFx
z
0...
y
z
z
F
y
y
y
F
y
x
x
F Fz y
Fyz
Mat2-Unpad
![Page 37: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Contoh :
dx
dy1. Tentukan dari 3 2 410 0x x y y
2. Tentukan z
x
dari 3( , , ) sin( ) 0y zF x y z x e y x z
Jawab :2
2 3
(3 2 )1.
( 40 )
Fdy x xyxFdx x y
y
2
3
32.
( cos( ))
y z
y z
Fz x exFx x e y x z
z
Mat2-Unpad
![Page 38: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Aturan RantaiAturan Rantai
Misalkan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di tdan z = f(x,y) terdirensialkan di (x(t), y(t))Maka z = f(x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t dan didefinisikan sebagai
dz z dx z dy
dt x dt y dt
Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka
i z z x z y
s x s y s
ii z z x z y
t x t y t
Mat2-Unpad
![Page 39: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/39.jpg)
39
ContohContoh
1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan dw
dt
Jawab: dw w dx w dy
dt x dt y dt
3 2 2 22 (3 ) 3 (2 )xy t x y t
3 2 3 2 3 2 2 22 ( ) (3 ) 3( ) ( ) (2 )t t t t t t
3 6 2 6 4 112 3 3 2 12t t t t t t t
Mat2-Unpad
![Page 40: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/40.jpg)
40
ContohContoh2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s+7t dan y = 5st,
z
t
Jawab:
6 .7 2 .5z z x z y
x y st x t y t
tentukan z
s
dan
6 .2 2 .5z z x z y
x y ts x s y s
242(2 7 ) 50z
s t s tt
212(2 7 ) 50z
s t sts
Mat2-Unpad
![Page 41: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/41.jpg)
41
LatihanLatihan
1. Tentukandw
dt(dalam t)
2. Tentukan w
t
2 2
. ; sin , sinx yb w e x s t y t s
2 2. ln ; ,s
a w x y x x y s tt
2 3 2. sin( ) ; , ,c w xyz x t y t z t
. sin sin ; 3 , 2x yb w e y e x x t y t
2 2. ; cos , sina w x y y x x t y t
Mat2-Unpad
![Page 42: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Vektor GradienVektor GradienDefinisi:Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2 Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D
didefinisikan sebagai
ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y i f x y j
adalah vektor satuan arah sumbu x,y positif
Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)
ˆ ˆ,i j
Definisi
Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah
ˆˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k
adalah vektor satuan arah sumbu x,y,z positif.ˆˆ ˆ, ,i j kMat2-Unpad
![Page 43: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/43.jpg)
43
ContohContohTentukan ( , )f x y
dan ( 1, 1)f
dari ( , ) xyf x y x e
( , ) xy xyxf x y e xye
Jawab :
2( , ) xyyf x y x e
( 1, 1) 2xf e e e
( 1, 1)yf e
2ˆ ˆ( , ) xy xy xyf x y e xye i x e j
ˆ ˆ( 1, 1) 2f e i e j
Jadi:
Mat2-Unpad
![Page 44: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/44.jpg)
44
LatihanLatihanA. Tentukan f
dari
2
1. ( , )x y
f x yx y
2 22. ( , ) lnf x y x y
3 24. ( , ) sinf x y x y
5. ( , ) ln( )f x y xy x y
B. Tentukan f
di titik yang diberikan2 21. ( , )f x y x y xy
3 2 32. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y
2
3. ( , )x
f x yy
di P (–2,3)
di P (–3, 3)
di P (2, –1)
23. ( , , ) x zf x y z x y e 26. ( , ) secyf x y x e z
Mat2-Unpad
![Page 45: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Bidang SinggungBidang Singgung• Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan
F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada
0 0 0( , , )f x y z
Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan
bidang singgung di titik adalah : 0 0 0( , , )x y z
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z
Untuk permukaan ( , ) ( , , ) ( , )z f x y atau F x y z f x y z
Persamaan bidang singgung di 0 0 0( , , )x y z adalah :
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y
0 0 0( , , )x y z
Mat2-Unpad
![Page 46: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Definisi :
Garis normal permukaan S di Po adalah garis yangmelalui 0 0 0( , , )x y z dan searah vektor normal bidang singgung
pada S di Po yaitu :
0 0 0 0( ) ( , , )X r t t F x y z
atau
0 0 0 0( , , )xx x tF x y z
0 0 0 0( , , )yy y tF x y z
0 0 0 0( , , )zz z tF x y z
Mat2-Unpad
![Page 47: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/47.jpg)
47
ContohContoh1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)
Jawab: Misalkan
ˆˆ ˆ( , , ) 2 2 4f x y z x i y j z k
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah
ˆˆ ˆ(1,2,3) 2 4 12f i j k
2(x – 1) + 4(y + 2) + 12 (z – 2) = 0
2x + 4y + 12 z = 46
2 2 2( , , )F x y z x y z
Mat2-Unpad
![Page 48: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12t
2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
Permukaan di (1, 2, -5)
Jawab:
2( , ) 2 2 3xf x y x y y
( , ) 2 6yf x y x xy
(1,2) 2 4 12 6xf
(1,2) 2 12 10yf
2 2( , ) 2 3 2f x y x xy xy
Mat2-Unpad
![Page 49: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah
5 (1,2)( 1) (1,2)( 2)x yz f x f y
5 6( 1) 10( 2)z x y
6 10 21x y z
1 6 , 2 10 , 5x t y t z t
Mat2-Unpad
![Page 50: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/50.jpg)
50
LatihanLatihan1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan
a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)
2. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). (yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama).
Mat2-Unpad
![Page 51: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/51.jpg)
Mat2-Unpad 51
3. Tentukan semua titik pada permukaan z = x2 – 2xy – y2 – 8x + 4y, dimana bidang singgung mendatar
4. Tentukan sebuah titik pada permukaan z = 2x2 + 3y2 dimana bidang singgung sejajar terhadap bidang 8x – 3y – z = 0
5. Perlihatkan bahwa permukaan x2 + 4y + z2 = 0 dan
x2 + y2 + z2 – 6z + 7 = 0 saling menyinggung di titik (0, -1, 2); yakni perlihatkan bahwa mereka
mempunyai bidang singgung yang sama di (0, -1, 2)
![Page 52: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Nilai Ekstrim Fungsi Dua PeubahNilai Ekstrim Fungsi Dua Peubah
Definisi:
Misalkan fDyx ),( 00
jika
),()( 00 yxfi disebut nilai maksimum global dari f pada Df ,
, maka:
fDyxyxfyxf ),(),(),( 00
),()( 00 yxfii disebut nilai minimum global dari f pada Df ,
jika fDyxyxfyxf ),(),(),( 00
),()( 00 yxfiii disebut nilai ekstrim global dari f pada Df ,jika ia merupakan nilai maksimum global atauminimum global.
Jika (i) dan (ii) hanya berlaku untuk bola buka yang berpusat di (x0,y0), maka nilai yang diperoleh disebut maksimum lokalatau minimum lokal. Mat2-Unpad
![Page 53: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/53.jpg)
5353Mat2-Unpad
![Page 54: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/54.jpg)
Kalkulus2-Unpad 54
![Page 55: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Di mana nilai ekstrim muncul?Di mana nilai ekstrim muncul?
• Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis
• Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu– Titik-titik batas Df
– Titik Stasioner
– Titik Singular
0),(0),(0),(),( 00000000 yxfdanyxfyxfyx yx
)adatidak),(( 00 yxf
Mat2-Unpad
![Page 56: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Uji Nilai Ekstrim LokalUji Nilai Ekstrim Lokal
• Untuk menguji apakah di titik stasioner terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0),
dan
0),( 00 yxf
maka
200000000 ),(),(.),(),( yxfyxfyxfyxDD xyyyxx
1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxf xx
2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxf xx
3. f(x0,y0) bukan nilai ekstrim jika D<0 ((x0,y0) titik pelana)4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan
Mat2-Unpad
![Page 57: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/57.jpg)
57
ContohContoh1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya, dari
Jawab :
fx(x,y) = 8x3 – 2x fy(x,y) = 6yfxx(x,y) = 24x2 – 2 fyy(x,y) = 6
fxy(x,y) = 0
Titik kritis (stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu
8x3 – 2x=0 2x (4x2 – 1)=0 x=0 , x =± ½
6y =0 y = 0
Jadi titik-titik kritisnya (titik stasioner) adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0)
224 32),( yxxyxf
Mat2-Unpad
![Page 58: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Titik stasioner
fxx fyy fxy D Keterangan
(0,0)– 2
6 0–12
f(0,0) bukan nilai ekstrim
(½, 0) 4 6 0 24 f(1/2,0) nilai minimum lokal
(-½, 0) 4 6 0 24 f(-1/2,0) nilai minimum lokal
Uji nilai ekstrim lokal dengan D :
Jadi nilai minimum lokal8
1)0,
2
1( f dan
8
1)0,
2
1( f
Titik (0,0) merupakan titik pelana.
Mat2-Unpad
![Page 59: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/59.jpg)
59
LatihanLatihan
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari
a. f(x,y) = x3+y3-6xyb. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2
c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y
yxxyyxfe
42),(.
yyxyxyxff 44),(. 32
323),(. 2 xyxyyyxfg
2933),(. 233 yxyyxyxfh
Mat2-Unpad
![Page 60: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/60.jpg)
Kalkulus2-Unpad 60
Metoda LagrangeMetoda Lagrange
0),(),(),( 000000 yxgdanyxgyxf
dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange
),(),(),( 000000 yxhyxgyxf
dengan (x0,y0) titik kritis, , µ pengali langrange
g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0
• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0)
terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan sistem persamaan:
• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0)
terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0) selesaikan sistem persamaan:
![Page 61: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/61.jpg)
Kalkulus2-Unpad 61
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari1. f(x,y)= x2 – y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1
Jawab:
Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange :
),(),( yxgyxf
0),( yxgdan
yaitu:2x = 2x …….(1)
– 2y = 2y …….(2)
x2+y2 = 1 ……..(3)
jyixyxf ˆ2ˆ2),(
jyixyxg ˆ2ˆ2),(
Contoh
![Page 62: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/62.jpg)
Kalkulus2-Unpad 62
Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehingga
Untuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2)di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 x = ± 1
Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1)di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 y = ± 1
Jadi titik-titik kritisnya : (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)
f(1, 0) = 2,
f(-1, 0) = 2
f(0, 1) = 0,
f(0,-1) = 0
maka titik kritis : (1,0) dan (-1,0)
maka titik kritis : (0,1) dan (0,-1)
![Page 63: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/63.jpg)
2. Tentukan nilai minimum global dari
Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)
Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),
523),,( zyxzyxf
terhadap kendala 049),,( 22 zyxzyxg
Jawab:
kjigkjif ˆˆ8ˆ18;ˆˆ2ˆ3
),(),( yxgyxf
0),( yxg
049
1
82
183
22
zyx
y
x
(1)
(3)
(2)
(4)
Kalkulus2-Unpad 63
![Page 64: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/64.jpg)
Substitusi ke (4), didapat4
1,
6
11 yxKarena
2
1z
Sehingga nilai minimumnya adalah:
2
1,
4
1,
6
1Jadi titik kritis :
2
14
2
1,
4
1,
6
1
f
Kalkulus2-Unpad 64
![Page 65: Bab3. Fungsi Dua Peubah](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081415/55cf9d7c550346d033add32b/html5/thumbnails/65.jpg)
Kalkulus2-Unpad 65
LatihanLatihanGunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari
1.f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0
2.f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1
3.f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1
4.f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12