Badania operacyjne

Wykład 8

2

Wadliwy produkt – przypomnienie

3

• Jak optymalne rozwiązanie zależy od prawdopodobieństwa tego, że skala problemu jest duża?– wpływ na oczekiwaną stratę– wpływ na optymalność wariantów

• Rozwiązanie:– w praktyce – oprogramowanie– teraz – analiza wypłat dla poszczególnych wariantów

• cztery warianty do analizy

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości

4

• Oznaczmy Pr(duża skala)=x, (wyjściowo x=40%)

• Oczekiwana wartość poszczególnych wariantów:– EV(zignorować)=-150x– EV(upublicznić)=-100x-30(1-x)-1– EV(badać, upubliczniać)= 20%*(-150x-80(1-x)) + 80%*(-100x)-5– EV(badać, ignorować)= 20%*(-150x-80(1-x)) + 80%*(-150x)-5

• Po uproszczeniu kolejno:– -150x– -70x-31– -94x-21– -134x-21

• Łatwe analityczne rozwiązanie wartości x zrównujących warianty

Wpływ prawdopodobieństwa dużej skali problemu

5

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości

-85

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-5035% 36% 37% 38% 39% 40% 41% 42% 43% 44% 45%

EV1 EV2 EV3 EV4

Wpływ parametru na wypłaty dla wariantów jest liniowy, ale wpływ na optymalną wypłatę dla problemu nieliniowy!!!

6

• Często bardziej skomplikowane wyrażenia (Bayes) + więcej wariantów

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości

7

• Jaka wartość możliwości prowadzenia badań?• Ile maksymalnie warto zapłacić za badania?

Wartość opcji (1/3)

75 tysięcy $

8

• Jaka wartość możliwości ukrycia negatywnych wyników i sprzedaży pola?

Wartość opcji (2/3)

9

• Strategia – rozwiąż bez opcji i porównaj oczekiwane wypłaty

Wartość opcji (3/3)

11

EVPI – prosty przykład

12

• Jak zależy EVPI [tys.] w poprzednim problemie od:– prawdopodobieństwa wygranej– wartości w przypadku wygranej

EVPI – ćwiczenie 1

Pr. 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

EVPI 0 8 16 21 18 15 12 9 6 3 0

wypł. 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

EVPI 9 12 15 18 21 21 21 21 21 21 21

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%0

5

10

15

20

25

Prawdopodobieństwo wygranej

EVPI

10 30 50 70 90 110 130 1500

5

10

15

20

25

Wypłata w razie wygranej

EVPI

14

• EVPI =0, jeśli:– brak niepewności, np. p1=1

– taka sama decyzja dla każdego stanu i, pi>0– (pierwsze to szczególny przypadek drugiego)

Kiedy EVPI=0?

iiidi

iid

iii

iiii

pdVpdV

pVpVEVPI

)stan,(max)stan,(max

)stan,decyzja()stan),stan(decyzja(

DecyzjeDecyzje

Funkcja użyteczności

• Funkcja użyteczności rosnąca i często wklęsła (malejąca użyteczność krańcowa)

• Dla dowolnej rosnącej funkcji użyteczności rozkład dominujący w sensie FOSD zapewnia większą oczekiwaną użyteczność

Numer rzutu Wypłata Użyteczność

ln(wypłata)1 2 0,69

2 4 1,39

3 8 2,08

4 16 2,77

5 32 3,47

15

Funkcja użyteczności a awersja do ryzyka

0,5

0,5

2

10

1 6

16

Awersja do ryzyka a wybór

• Awersja do ryzyka:– decydent zawsze preferuje wartość oczekiwaną wypłat niż

(niezdegenerowaną) loterię o tej wartości oczekiwanej

• Awersja do ryzyka wklęsła funkcja użyteczności

• Czy istnieje sposób porównywania rozkładów uwzględniający awersję do ryzyka (może wybór oczywisty nawet bez FOSD)?

17

Ekwiwalent pewności i premia za ryzyko

0,5

0,5

2

10

14,5

16

18

Ćwiczenie

• Wyliczmy ekwiwalent pewności dla loterii Bernoulliego i użyteczności u(x)=ln(x)

Numer rzutu Wypłata Użyteczność

ln(wypłata)1 2 0,69

2 4 1,39

3 8 2,08

4 16 2,77

5 32 3,47

Kwantyfikacja awersji do ryzyka

• O sile awersji do ryzyka świadczy wielkość premii za ryzyko – wypłaty, której odjęcie jest równoważne (w sensie preferencji) dodaniu ryzyka

• Wielkość tej premii zależy od kształtu funkcji użyteczności – im bardziej wklęsła funkcja, tym większa premia

• Ilościowo mierzy to współczynnik awersji do ryzyka Arrowa-Pratta

• ARA to miara lokalna – jej wartość zależy od x – uszeregowanie funkcji użyteczności może zależeć od punktu odniesienia

20

21

Wprowadzenie awersji do ryzyka

• Załóżmy, że firma ma W=1000 budżetu wyjściowego• I charakteryzuje się awersją do ryzyka (obawia się

bankructwa)• Jej preferencje względem ryzyka opisane są funkcją log(W+x)

u(W+x)=log(1000-200)

Zmiana decyzji na upublicznić

CE(ignor)=-64,7516 CE(upubl)=-59,6313CE(badac)=-60,1522

• Skala Fahrenheita i Celsiusza(°F - 32) x 5/9 = °C

• Tak samo jest z użytecznością kardynalną, a taka użyteczność wykorzystywana jest w decyzjach w warunkach ryzyka

• Pytanie kontrolne:– Czy przedstawione poniżej użyteczności są

kardynalne? Jeśli, to które są ordynalne?

100 212

0 32

Fahr

enhe

it

Celsi

uszA1 A2 A3 A4

u 1,0 0,6 0,2 0,0u' 1,6 0,8 0,0 -0,4

A1 A2 A3 A4v 1,0 0,7 0,3 0,0v' 20 0,8 -17 -17,1

A1 A2 A3 A4s 1,0 0,7 0,3 0,0s' 1,1 1,2 3,2 2,0

Miara ryzykowności• Ktoś oferuje Tobie szansę 50:50 zyskania 120 złotych bądź straty 100

złotych• Czy powinieneś zaakceptować?

– Przed Bernoullim: Akceptuj, bo dodatnia wartość oczekiwana (+10 złotych)

– Po Bernoullim: Niekoniecznie – awersja do ryzyka• Skąd się bierze awersja do ryzyka?

– Dodatnia wartość oczekiwana - DOBRE– Strata 100 złotych z prawd. ½ - ZŁE

• Jak zła jest strata?– Masz w kieszeni 1000 złotych na tego rodzaju gierki – strata mało dotkliwa:

10 % UBYTKU budżetu– Masz w kieszeni 100 złotych budżetu – strata oznacza BANKRUCTWO

• Załóżmy, że grasz 10 razy w taką loterię.• Prawdopodobieństwo straty całego budżetu jest:– Więcej niż 60% jeśli budżet początkowy = 100 złotych– Mniej niż 0,1% jeśli budżet początkowy = 1000 złotych

• Zatem awersja do ryzyka może brać się z awersji do bankructwa

• Decyzje dotyczące ryzykownych wyborów zależą od budżetu (majątku) – użyteczności DARA

• Miarę ryzykowności można łatwo liczyć:– Analitycznie– Bądź numerycznie

• Ma bardzo dobre właściwości teoretyczne• Ma intuicyjną interpretację i może łatwo

zastąpić inne miary ryzyka stosowane w bankach