bahan ajar kalkulus diferensial -...
TRANSCRIPT
Bahan Ajar
Kalkulus DiferensialYosep Dwi Kristanto https://orcid.org/0000-0003-1446-0422
Ciptaan disebarluaskan di bawah Lisensi Creative Commons Atribusi 4.0
Internasional.
Model-Model Matematis:Daftar Fungsi-Fungsi Esensial
Proses Pemodelan
Permasalahan kehidupan nyata
Model matematis
Kesimpulan matematis
Prediksi kehidupan nyata
Model Linear
Fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑐𝑐
Grafik fungsi tersebut berupa garis dengan gradien 𝑚𝑚 dan memotong sumbu-y di 𝑐𝑐.
Latihan Soal
a. Ketika udara kering naik, udara tersebut akan mengembang dan menjadi dingin. Jika suhu di permukaan tanah adalah 20℃ dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10℃, nyatakan suhu 𝑇𝑇 (dalam ℃) sebagai fungsi terhadap ketinggian (dalam km), dengan mengasumsikan bahwa model linear berlaku untuk masalah ini.
b. Gambarlah grafik fungsi pada bagian a. Apa yang direpresentasikan gradiennya?
c. Berapakah suhu pada ketinggian 2,5 km?
Latihan Soal
Tabel berikut mendaftar tingkat karbondioksida dalam atmosfer, yang diukur dalam ppm dari 1980 sampai 2012. Gunakan data dalam tabel tersebut untuk menentukan model tingkat karbondioksida.Tahun 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996Tingkat CO2
338,7 341,2 344,4 347,2 351,5 354,2 356,3 358,6 362,4
Tahun 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012Tingkat CO2
366,5 369,4 373,2 377,5 381,9 385,6 389,9 393,8
Polinomial
Fungsi 𝑃𝑃 disebut polinomial jika𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0
dimana 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat tidak negatif dan 𝑎𝑎0, 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, …, 𝑎𝑎𝑛𝑛adalah bilangan-bilangan real. Bilangan-bilangan 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, …, 𝑎𝑎𝑛𝑛 yang disebut koefisien dan 𝑎𝑎0 disebut konstanta.
Latihan Soal
Sebuah bola dijatuhkan dari gedung dengan ketinggian 450 m, dan tingginya dicatat setiap 1 detik dalam tabel di bawah. Temukan model yang cocok untuk data tersebut untuk memprediksi kapan bola tersebut sampai di permukaan tanah.
Waktu (detik) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tinggi (meter) 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61
Fungsi Pangkat
Fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑎𝑎, dimana 𝑎𝑎 konstanta disebut sebagai fungsi pangkat.Beberapa kasus fungsi ini adalah sebagai berikut.1. 𝑎𝑎 = 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif.2. 𝑎𝑎 = ⁄1 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif.3. 𝑎𝑎 = −1.
Fungsi Rasional
Fungsi rasional 𝑓𝑓 merupakan rasio dari dua polinomial:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝑥𝑥𝑄𝑄 𝑥𝑥
dimana 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 adalah polinomial.Domain fungsi ini memuat semua nilai 𝑥𝑥 sedemikian sehingga 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ≠ 0.
Fungsi Aljabar
Suatu fungsi 𝑓𝑓 disebut sebagai fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibentuk dengan operasi-operasi aljabar yang dimulai dari polinomial.Contoh:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 1
𝑔𝑔 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
+ 𝑥𝑥 − 1 3 𝑥𝑥 + 1
Fungsi Trigonometri
Fungsi-fungsi sinus dan cosinus memiliki domain −∞,∞ dan range selang tutup −1, 1 .
−1 ≤ sin 𝑥𝑥 ≤ 1 −1 ≤ cos 𝑥𝑥 ≤ 1Fungsi-fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi-fungsi periodik dengan periode 2𝜋𝜋.
sin 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = cos 𝑥𝑥
Latihan Soal
Tentukan domain fungsi berikut.
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =1
1− 2 cos 𝑥𝑥
Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 , dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif.
Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = log𝑏𝑏 𝑥𝑥, dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif, adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial.
Latihan Soal
Klasifikasikan fungsi-fungsi berikut sesuai dengan jenis-jenis fungsi yang telah dibahas sebelumnya.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥
(b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥10
(c) ℎ 𝑥𝑥 = 1+𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥
(c) 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 5𝑡𝑡4 − 3𝑡𝑡2 + 9
Latihan Soal (Lagi)Biaya berkendara sebuah mobil setiap bulannya bergantung pada jarak tempuh. Pada bulan Mei, Maria mengeluarkan biaya Rp380.000,00 untuk berkendara sejauh 480 km dan pada bulan Juni dia mengeluarkan biaya Rp 460.000,00 untuk berkendara sejauh 800 km.a. Nyatakan biaya berkendara bulanan 𝐵𝐵 sebagai fungsi terhadap jarak 𝑠𝑠,
dengan asumsi bahwa relasinya linear.b. Gunakan bagian a untuk memprediksi biaya berkendara sejauh 1.500 km
per bulan.c. Gambarlah grafik fungsi linear tersebut. Apa yang direpresentasikan
gradiennya?d. Apa yang direpresentasikan perpotongan grafik terhadap sumbu vertikal?e. Mengapa fungsi linear cocok sebagai model pada permasalahan ini?
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Transformasi Fungsi
Pergeseran vertikal dan horizontal Misalkan 𝑐𝑐 > 0. Untuk memperoleh grafik
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke atas𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke bawah𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke kanan𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke kiri
Pergeseran
x
y
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐
0
𝑐𝑐 𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑐𝑐 Pergeseran grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
Transformasi FungsiDilatasi dan pencerminan vertikal dan horizontal Misalkan 𝑐𝑐 > 1. Untuk mendapat grafik
𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑥𝑥 , rentangkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara vertikal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = ⁄1 𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , susutkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara vertikal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑥𝑥 , susutkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara horizontal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ⁄𝑥𝑥 𝑐𝑐 , rentangkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara horizontal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-x.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-y.
Dilatasi dan Pencerminan
0x
y
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑐𝑐 > 1
𝑦𝑦 =1𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥
𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥
Dilatasi dan pencerminan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
Latihan Soal
Diberikan grafik fungsi 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥di samping. Gunakan transformasi untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2, 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥dan 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥. 1
1
x
y𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
Latihan Soal
Skestasalah grafik fungsi-fungsi berikut.a. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 13.b. 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = sin 2𝑥𝑥c. ℎ 𝑥𝑥 = 1− sin 𝑥𝑥
Kombinasi Fungsi-Fungsi
Dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 dapat dikombinasikan untuk membentuk fungsi baru 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔, 𝑓𝑓𝑔𝑔, dan ⁄𝑓𝑓 𝑔𝑔 dengan cara yang serupa ketika menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi bilangan-bilangan real.
𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔𝑓𝑓𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔⁄𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
𝑔𝑔 𝑥𝑥Domain: 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔 | 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0
Komposisi Fungsi
Definisi Diberikan dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔, fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 (juga disebut dengan komposisi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔) didefinisikan sebagai berikut.
𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥
Latihan Soal
Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 dan 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2− 𝑥𝑥, tentukan masing-masing fungsi berikut beserta domainnya.a. 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔b. 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓c. 𝑓𝑓 ∘ 𝑓𝑓d. 𝑔𝑔 ∘ 𝑔𝑔
Latihan Soal
Diberikan 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = sin2 𝑥𝑥 − 4 , tentukan fungsi 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎsedemikian sehingga 𝐹𝐹 = 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ∘ ℎ.
Permasalahan Garis Singgung dan Kecepatan
Permasalahan Garis Singgung
Apa yang dimaksud garis singgung?
Garis Singgung?
(a) (b)
𝑡𝑡𝐶𝐶
𝑡𝑡
𝑠𝑠
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 pada titik 𝑃𝑃 1, 1 .
𝑃𝑃 1, 1
0
𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
Garis Potong
Gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄adalah
𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1
Misalkan, untuk 𝑥𝑥 = 1,5:
𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =1,5 2 − 11,5− 1
= 2,5
𝑃𝑃 1, 1
0
𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑅𝑅
𝑡𝑡
Pendekatan Gradien
𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷
2 31,5 2,51,1 2,11,01 2,011,001 2,001
𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷
0 10,5 1,50,9 1,90,99 1,990,999 1,999
Berdasarkan tabel di samping, maka gradien garis singgung parabola adalah
𝑚𝑚 = lim𝑃𝑃→𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃
dan
𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→1
𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1
= 2
Persamaan Garis Singgung
Berdasarkan investigasi sebelumnya diperoleh gradien garis singgung 𝑚𝑚 = 2 dan melalui titik 𝑃𝑃 1, 1 . Maka, persamaan garis singgung tersebut adalah𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦 − 1= 2 𝑥𝑥 − 1𝑦𝑦 − 1= 2𝑥𝑥 − 2
𝑦𝑦= 2𝑥𝑥 − 1
𝑃𝑃 1, 1
0
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
1−1−1
1
Ilustrasi Proses Limit
Permasalahan Kecepatan
Bagaimana mendefinisikan kecepatan sesaat?
Contoh 2
Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari puncak Gama Tower di Jakarta, 290 meter di atas permukaan tanah. Tentukan kecepatan bola tepat setelah 5 detik dijatuhkan.
Kecepatan
Jarak 𝑠𝑠 yang telah ditempuh bola setelah jatuh 𝑡𝑡 detik dapat dirumuskan
𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 4,9𝑡𝑡2
Rumus kecepatan rata-rata adalah
kecepatan rata−rata =perubahan posisi
waktuBerapakah kecepatan bola tepat ketika 𝑡𝑡 = 5 detik?
Pendekatan Kecepatan Sesaat
Kecepatan rata-rata ketika 𝑡𝑡 = 5 detik sampai 𝑡𝑡 = 5,1:
kecepatan rata-rata = perubahan posisiwaktu
=𝑠𝑠 5,1 − 𝑠𝑠 55,1− 5
=4,9 5,1 2 − 4,9 5 2
5,1− 5= 49,49m/s
Kecepatan rata-rata pada selang 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 adalah 49,49 m/s.
Kecepatan Sesaat
Berdasarkan tabel di samping kecepatan rata-ratanya akan mendekati —? —.Kecepatan sesaat ketika 𝑡𝑡 = 5didefinisikan sebagai nilai limit kecepatan rata-rata tersebut selama periode waktu yang terus menerus semakin singkat, yang dimulai dari 𝑡𝑡 = 5.
Selang Waktu Kecepatan rata-rata (m/s)
5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 49,495 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,015 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,0055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,001
Hubungan Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
0 𝑡𝑡
𝑠𝑠
𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝑎𝑎 𝑎𝑎 + ℎ
𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2
Gradien garis potong = kecepatan rata-rata
0 𝑡𝑡
𝑠𝑠
𝑃𝑃
𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2
Gradien garis singgung = kecepatan sesaat
Latihan SoalTitik 𝑃𝑃 3,−1 terletak pada kurva 𝑦𝑦 = ⁄1 2− 𝑥𝑥 .(a) Jika 𝑄𝑄 adalah titik 𝑥𝑥, ⁄1 2− 𝑥𝑥 , gunakan kalkulator untuk
menentukan gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄 (sampai 6 angka di belakang koma) untuk nilai-nilai 𝑥𝑥 berikut:(i) 2,5 (ii) 2,9 (iii) 2,99 (iv) 2,999(v) 3,5 (vi) 3,1 (vii) 3,01 (viii) 3,001
(b) Dengan menggunakan hasil di bagian (a), perkirakan gradien garis singgung kurva pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .
(c) Dengan menggunakan gradien di bagian (b), tentukan persamaan garis singgung pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .
Limit Suatu Fungsi
Pertanyaan Awal
Bagaimana perilaku fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 untuk
nilai-nilai 𝑥𝑥 yang dekat dengan 3?
Tabel Nilai Fungsi
𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙2 3 4 112,5 4,25 3,5 8,252,8 5,24 3,2 6,842,9 5,61 3,1 6,412,95 5,8025 3,05 6,20252,99 5,9601 3,01 6,04012,995 5,98003 3,005 6,020032,999 5,996 3,001 6,004
Grafik Fungsi
Tampak bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 6 dengan memilih nilai x yang dekat dengan 3.
lim𝑥𝑥→3
𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 = 6
3
0
6
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3
𝑥𝑥
𝑦𝑦
f(x) mendekati
6.
x mendekati 3.
Definisi Intuitif Limit
Misalkan f(x) terdefinisi ketika x dekat dengan a. Maka kita menuliskan
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
dan mengatakan “limit f(x), untuk x mendekati a, sama dengan L”jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih nilai x yang dekat ke a (pada kedua sisinya) tetapi tidak sama dengan a.
Ilustrasi Limit Fungsi
… tetapi 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎
a0
L
x
y
a0
L
x
y
a0
L
x
y
Contoh 1
Tebaklah nilai limit
lim𝑥𝑥→2
𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4
Pembahasan Tabel di samping memberikan nilai-nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥untuk 𝑥𝑥 mendekati 2 (tetapi tidak sama dengan 2).
𝒙𝒙 < 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙1,5 0,2857141,9 0,256411,99 0,2506721,999 0,2500631,9999 0,250006
𝒙𝒙 > 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙2,5 0,2222222,1 0,2439022,01 0,2493772,001 0,2499382,0001 0,249994
Contoh 1
Berdasarkan tabel sebelumnya dan grafik di samping diperoleh
lim𝑥𝑥→2
𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4
= 0,25
2
0,25
x
y
𝑦𝑦 =𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4
Masalah…
Bagaimana jika,
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4
, 𝑥𝑥 ≠ 2
1, 𝑥𝑥 = 2Berapakah nilai
lim𝑥𝑥→2
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = —?—
2
0,25
x
y
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
Latihan Soal
Perkirakan nilai limit berikut.
lim𝑡𝑡→0
𝑡𝑡2 + 25− 5𝑡𝑡2
Kesalahan Kalkulator
Pada latihan soal sebelumnya bagaimana jika kita memilih nilai-nilai x yang sangat dekat dengan 0?
𝒕𝒕 𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒕𝒕𝟐𝟐
±0,000001 0.099476±0,0000001 0.0888178±0,00000001 0,0000000
−5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5
−10−6 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 10−6
Latihan Soal
Selidikilah nilai limit berikut.
lim𝑥𝑥→0
sin𝜋𝜋2𝑥𝑥
Nilai Limit Tidak Ada
2–2 x
y
1
–1
𝑦𝑦 = sin𝜋𝜋2𝑥𝑥
Terlalu banyak fluktuasi
Nilai Limit Tidak Ada
–1–2–3 1 2 3 x
1
–1
yf(x) = 1
f(x) = –1
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =− 𝑥𝑥𝑥𝑥
Perilaku kanan & kiri tidak sama
Limit Sepihak
DEFINISI LIMIT KIRI Kita menulislim𝑥𝑥→𝑎𝑎−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
dan mengatakan limit kiri f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x kurang dari a.
Limit Sepihak
DEFINISI LIMIT KANAN Kita menulislim𝑥𝑥→𝑎𝑎+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
dan mengatakan limit kanan f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x lebih dari a.
Ilustrasi Limit Sepihak
x a x
y
0
f(x) L
x
y
0 a x
f(x)L
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
Limit dan Limit Sepihak
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
jika dan hanya jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿.
Latihan Soal
Gunakan grafik di samping untuk menentukan nilai-nilai limit (jika ada) berikut.(a) lim
𝑥𝑥→2−𝑔𝑔 𝑥𝑥 (b) lim
𝑥𝑥→2+𝑔𝑔 𝑥𝑥
(c) lim𝑥𝑥→5−
𝑔𝑔 𝑥𝑥 (d) lim𝑥𝑥→5+
𝑔𝑔 𝑥𝑥
(e) lim𝑥𝑥→2
𝑔𝑔 𝑥𝑥 (f) lim𝑥𝑥→5
𝑔𝑔 𝑥𝑥
1 2 3 4 5
1
2
3
4
y
x
y = g(x)
Definisi Formal (ε-δ) Limit
Permasalahan Awal
Gunakan grafik 12𝑥𝑥2 untuk menentukan
seberapa dekat 𝑥𝑥 ke 2 untuk menjamin bahwa 𝑓𝑓 𝑥𝑥 berjarak kurang dari 0,5 dari 2. Mengapa?
1 2 3 x
1
2
3
y
0
𝑦𝑦 =12𝑥𝑥2
Pembahasan
1 2 3 x
1
2
3
y
0
21,5 2,5
2
1,5
2,5
2 2,52 1,5
Pembahasan
Nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥 akan berjarak kurang dari 0,5 dari 2, atau dapat dituliskan𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 < 0,5
Jika nilai-nilai 𝑥𝑥 berada di antara 2 1,5 ≈ 1,732 dan 2 2,5 ≈2,236, yaitu 1,732 < 𝑥𝑥 < 2,236. Dari dua ujung interval tersebut, 2,336 lebih dekat ke 2, yaitu 2 – 2,236 = 0,236.Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa:
Jika 1,764 < 𝑥𝑥 < 2,236 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 < 0,5
Definisi Formal Limit
Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada beberapa selang buka yang memuat bilangan a, kecuali mungkin di a itu sendiri. Maka kita mengatakan limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
Jika untuk setiap bilangan ε > 0 ada bilangan δ > 0 sedemikian sehingga
jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀(Definisi ini sering disebut dengan definisi ε-δ limit.)
Cerita Nanang & Christin
Nanang memiliki dugaan bahwa:lim𝑥𝑥→1
2𝑥𝑥 + 3 = 5
Bagaimana Nanang membuktikan kepada Christin bahwa dugaannya benar?
Contoh Soal
Dengan menggunakan definisi ε-δ limit, buktikan bahwa limit (4x –5) untuk x mendekati 2 sama dengan 3, yaitu
lim𝑥𝑥→2
4𝑥𝑥 − 5 = 3
PembahasanAnalisis Pendahuluan Misalkan diberikan bilangan positif ε. Kita ingin mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga
jika 0 < 𝑥𝑥 − 2 < 𝛿𝛿 maka 4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀.Padahal, dengan menggunakan aljabar kita peroleh
4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀⇔ 4𝑥𝑥 − 8 < 𝜀𝜀⇔ 4 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀⇔ 4 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀⇔ 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀
4
Sehingga kita pilih 𝛿𝛿 = ⁄𝜀𝜀 4.
Sifat Nilai Mutlak: 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎
Pembahasan
Bukti Formal Diberikan ε > 0 pilih δ = ε/4. Jika 0 < |x – 2| < δ, maka4𝑥𝑥 − 5 − 3 = 4𝑥𝑥 − 8
= 4 𝑥𝑥 − 2= 4 𝑥𝑥 − 2< 4 � 𝜀𝜀
4= 𝜀𝜀
Dengan menggunakan sifat transitif = dan <, diperoleh4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀
Tugas Kelompok
Definisi Limit SepihakDefinisi Limit Kiri
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
Jika untuk setiap bilangan 𝜀𝜀 > 0 ada bilangan 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehinggajika 0 < 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀.
Definisi Limit Kananlim𝑥𝑥→𝑎𝑎+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
Jika untuk setiap bilangan 𝜀𝜀 > 0 ada bilangan 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehinggajika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀.
Contoh
Gunakan definisi limit sepihak untuk membuktikan bahwalim𝑥𝑥→0+
𝑥𝑥 = 0
PEMBAHASANAnalisis Pendahuluan Misalkan ε adalah bilangan positif yang diberikan. Kita akan mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga
jika 0 < 𝑥𝑥 − 0 < 𝛿𝛿 maka 𝑥𝑥 − 0 < 𝜀𝜀yaitu, jika 0 < 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 maka 𝑥𝑥 < 𝜀𝜀
PembahasanPerhatikan bahwa,
𝑥𝑥 < 𝜀𝜀𝑥𝑥 < 𝜀𝜀2
Sehingga, kita pilih 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2.Bukti formal Diberikan 𝜀𝜀 > 0 ada 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2, sedemikian sehingga jika 0 <𝑥𝑥 − 0 < 𝛿𝛿, maka
𝑥𝑥 − 0 = 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀Berdasarkan definisi limit sepihak, terbukti bahwa lim
𝑥𝑥→0+𝑥𝑥 = 0.
Teorema-Teorema Limit
Beberapa Limit Dasar
Teorema A Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta. Maka1. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑘𝑘; 2. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; 3. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛.
Teorema Limit Utama
Teorema B Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta, dan 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di 𝑎𝑎. Maka1. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ;
2. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;
3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;
4. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 � lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;
5. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥
=lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥jika lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0;
6. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛;
7. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 , asalkan
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≥ 0 jika 𝑛𝑛 genap.
Contoh 1Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya.
lim𝑥𝑥→1
3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5
PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya.lim𝑥𝑥→1
3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 = lim𝑥𝑥→1
3𝑥𝑥2 − lim𝑥𝑥→1
2𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1
5
= 3 lim𝑥𝑥→1
𝑥𝑥2 − 2 lim𝑥𝑥→1
𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1
5
= 3 12 − 2 1 + 5= 6
Teorema B2 dan B3
Teorema B1
Teorema A3, A2, dan A1
Latihan 1
Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya.
lim𝑥𝑥→2
3𝑥𝑥5 − 7𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 1
Teorema Substitusi
Teorema C Jika 𝑓𝑓 adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan 𝑎𝑎 berada di domain 𝑓𝑓, maka
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Latihan 2
Tentukan limit berikut.
lim𝑥𝑥→5
𝑥𝑥2 − 25𝑥𝑥 + 5
Fungsi yang Berbeda di Satu Titik
Teorema D Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 dengan syarat limit-limitnya ada.
Contoh 2
Tentukan lim𝑥𝑥→5
𝑔𝑔 𝑥𝑥 dimana
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 + 5 jika 𝑥𝑥 ≠ 5𝜋𝜋 jika 𝑥𝑥 = 5
PEMBAHASAN Di sini fungsi 𝑔𝑔 terdefinisi di 𝑥𝑥 = 5 dan 𝑔𝑔 5 = 𝜋𝜋. Tetapi nilai limit 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 5 untuk 𝑥𝑥 ≠ 5, maka
lim𝑥𝑥→5
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→5
𝑥𝑥 + 5 = 5 + 5 = 10
Pembahasan
0 2 4 6 8
5
10
𝑥𝑥
𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
0 2 4 6 8
5
10
𝑥𝑥
𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥
Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2)
Latihan 3
Tentukan nilai limit-limit berikut.
(a) limℎ→0
2+ℎ 2−4ℎ
(b) lim𝑡𝑡→0
𝑡𝑡2+9−3𝑡𝑡
Teorema Apit
Teorema E Misalkan 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎadalah fungsi-fungsi yang memenuhi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ ℎ 𝑥𝑥untuk semua 𝑥𝑥 yang dekat dengan 𝑎𝑎, kecuali mungkin di 𝑎𝑎 dan
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
ℎ 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿a
L
x
y
0
f
g
h
Latihan 4
Tunjukkan bahwa
lim𝑥𝑥→0
𝑥𝑥2 sin1𝑥𝑥
= 0
Ilustrasi
x
y
0
Limit-Limit Trigonometri
Limit Fungsi-Fungsi Trigonometri
Teorema A Untuk setiap bilangan real a dalam domain fungsi,1. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎sin 𝑥𝑥 = sin𝑎𝑎 2. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎cos 𝑥𝑥 = cos𝑎𝑎
3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
tan 𝑥𝑥 = tan 𝑎𝑎 4. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
cot 𝑥𝑥 = cot 𝑎𝑎
5. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
sec 𝑥𝑥 = sec 𝑎𝑎 6. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
csc 𝑥𝑥 = csc 𝑎𝑎
Pembuktian Teorema A
Bukti Teorema A1 Pertama kita akan buktikan untuk x = 0. Misalkan x > 0 dan misalkan titik-titik A, B, dan P didefinisikan seperti pada gambar di samping. Maka,
0 < 𝐵𝐵𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐵𝐵 < �𝐴𝐴𝐵𝐵Karena 𝐵𝐵𝐵𝐵 = sin 𝑥𝑥 dan �𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝑥𝑥, maka
0 < sin 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥Jika 𝑥𝑥 < 0 maka 𝑥𝑥 < sin 𝑥𝑥 < 0. Dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh lim𝑥𝑥→0
sin 𝑥𝑥 = 0.
𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝐴𝐴 1, 0
𝐵𝐵 cos𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥
0, 1
𝑥𝑥
Pembuktian Teorema A
Untuk melengkapi bukti, kita perlu membuktikan lim𝑥𝑥→0
cos 𝑥𝑥 = 1. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit akar.
lim𝑥𝑥→0
cos 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0
1− sin2 𝑥𝑥 = 1− lim𝑥𝑥→0
sin 𝑥𝑥2= 1− 02 = 1
Pembuktian Teorema A
Sekarang, untuk menunjukkan bahwa lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
sin 𝑥𝑥 = sin𝑎𝑎, pertama kita misalkan ℎ = 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 sehingga ℎ → 0 jika 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎. Maka,
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
sin 𝑥𝑥 = limℎ→0
sin 𝑎𝑎 + ℎ
= limℎ→0
sin𝑎𝑎 cos ℎ + cos𝑎𝑎 sinℎ
= sin𝑎𝑎 limℎ→0
cos ℎ + cos𝑎𝑎 limℎ→0
sin ℎ
= sin𝑎𝑎 1 + cos𝑎𝑎 0= sin𝑎𝑎
Contoh 1
Tentukan lim𝑥𝑥→0
𝑥𝑥2−1 sin 𝑥𝑥𝑥𝑥+1
.
PEMBAHASAN Pertama kita gunakan teorema limit perkalian,kemudian kita gunakan Teorema A1.
lim𝑥𝑥→0
𝑥𝑥2−1 sin 𝑥𝑥𝑥𝑥+1
= lim𝑥𝑥→0
𝑥𝑥2−1𝑥𝑥+1
lim𝑥𝑥→0
sin 𝑥𝑥
= −1 0 = 0.
Limit perkalian
Substitusi dan A1
Latihan 1
Tentukan nilai limit berikut.
lim𝑡𝑡→0
cos2 𝑡𝑡1 + sin 𝑡𝑡
Limit-Limit Trigonometri Khusus
Teorema B1. lim
𝑥𝑥→0sin 𝑥𝑥𝑥𝑥
= 1 2. lim𝑥𝑥→0
1−cos 𝑥𝑥𝑥𝑥
= 0
Pembuktian Teorema B
Bukti Teorema B1 Pada pembuktian sebelumnya, kita telah menunjukkan
lim𝑥𝑥→0
cos 𝑥𝑥 = 1 dan lim𝑥𝑥→0
sin 𝑥𝑥 = 0
Untuk − ⁄𝜋𝜋 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ⁄𝜋𝜋 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, kita gambar ruas garis vertikal BP dan busur BC, seperti pada gambar di samping.Dari gambar kita dapat melihat bahwa
𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿∆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
𝐵𝐵 cos𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥
𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝐴𝐴 1, 0
0, 1
𝑥𝑥𝐶𝐶
Pembuktian Teorema B
Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi, sedangkan luas juring dengan sudut pusat x dan berjari-jari r adalah 1
2𝑟𝑟2 𝑥𝑥 .
Sehingga,12cos 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 ≤ 1
2cos 𝑥𝑥 sin 𝑡𝑡 ≤ 1
212 𝑥𝑥
Dengan mengalikan semua ruas dengan ⁄2 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 , kita peroleh
cos 𝑥𝑥 ≤ sin 𝑥𝑥𝑥𝑥
≤ 1cos 𝑥𝑥
Pembuktian Teorema B
Karena bentuk ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥 positif untuk − ⁄𝜋𝜋 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ⁄𝜋𝜋 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, maka ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥. Sehingga,
cos 𝑥𝑥 ≤sin 𝑥𝑥𝑥𝑥
≤1
cos 𝑥𝑥Karena limit fungsi-fungsi “terluar” di atas untuk x mendekati 0 sama dengan 1, maka dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh
lim𝑥𝑥→0
sin 𝑥𝑥𝑥𝑥
= 1
Contoh 2
Tentukan lim𝑥𝑥→0
sin 5𝑥𝑥𝑥𝑥
.
PEMBAHASAN Dengan menggunakan teorema-teorema limit, kitaperoleh
lim𝑥𝑥→0
sin 5𝑥𝑥𝑥𝑥
= lim𝑥𝑥→0
5 � sin 5𝑥𝑥5𝑥𝑥
= 5 lim𝑥𝑥→0
sin 5𝑥𝑥5𝑥𝑥
= 5 lim𝑦𝑦→0
sin 𝑦𝑦𝑦𝑦
= 5 1 = 5
Kalikan dengan 5/5
Limit perkalian konstanta
Misal 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥
Latihan 2
Tentukan nilai limit-limit trigonometri berikut.
(a) lim𝑥𝑥→0
sin 2𝑥𝑥3𝑥𝑥
(b) lim𝑡𝑡→0
1−cos 𝑡𝑡sin 𝑡𝑡
(c) lim𝑥𝑥→0
tan 3𝑥𝑥sin 𝑥𝑥
Tugas
Pada gambar di samping, misalkan D adalah luas segitiga ABP dan E adalah luas daerah yang diarsir.
(a) Tebaklah lim𝑥𝑥→0+
𝐷𝐷𝐸𝐸
dengan melihat gambar di samping.
(b) Temukan rumus D/E dalam x.(c) Gunakan kalkulator untuk mendapat
perkiraan yang lebih akurat dari nilai lim𝑥𝑥→0+
𝐷𝐷𝐸𝐸.
𝐵𝐵 cos𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥
𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝐴𝐴 1, 0
0, 1
𝑥𝑥
𝑥𝑥
Limit di Tak Hingga;Limit Tak Hingga
Limit di Tak Hingga
Apa yang terjadi pada g(x) ketika nilai x semakin besar terus menerus?
5–5 0
0,5
–0,5
x
y𝑔𝑔 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1
Tabel Nilai-Nilai Fungsi
Dari tabel dapat dilihat bahwa g(x) semakin kecil ketika x semakin besar.
lim𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1
= 0
Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa
lim𝑥𝑥→−∞
𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1
= 0
𝑥𝑥𝑥𝑥2
𝑥𝑥2 + 110 0,0990100 0,01001.000 0,001010.000 0,0001
↓ ↓∞ ?
Definisi Formal Limit Ketika 𝑥𝑥 → ±∞
Limit Ketika 𝑥𝑥 → ∞ Misalkan f terdefinisi pada [a, ∞) untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim
𝑥𝑥→∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk
setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀
Limit Ketika 𝑥𝑥 → −∞ Misalkan f terdefinisi pada (–∞, a] untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim
𝑥𝑥→−∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk
setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika 𝑥𝑥 < 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀
Contoh 1
Tunjukkan bahwa jika k adalah bilangan bulat positif, maka
lim𝑥𝑥→∞
1𝑥𝑥𝑘𝑘
= 0
Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0. Kita akan menemukan bilangan M sedemikian sehingga
jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀 maka 1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 < 𝜀𝜀
Pembahasan
Perhatikan bahwa1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 < 𝜀𝜀
1𝑥𝑥𝑘𝑘
< 𝜀𝜀
Misalkan kita pilih M > 0. Akibatnya x > 0. Sehingga
1𝑥𝑥𝑘𝑘< 𝜀𝜀
𝑥𝑥𝑘𝑘 > 1𝜀𝜀
𝑥𝑥 > 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀Sehingga, kita akan memilih
𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀
Pembahasan
Bukti Formal Misalkan diberikan 𝜀𝜀 > 0. Pilih 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀, sedemikian sehingga jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀, maka
1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 = 1
𝑥𝑥𝑘𝑘< 1
𝑀𝑀𝑘𝑘 = 𝜀𝜀
Latihan 1
Buktikan bahwa
lim𝑥𝑥→−∞
1𝑥𝑥𝑘𝑘
= 0
Contoh 2
Buktikan bahwa
lim𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1
= 0
PEMBAHASAN Kita bagi pembilang dan penyebut dengan 𝑥𝑥berpangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yaitu 𝑥𝑥2.
lim𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1
= lim𝑥𝑥→∞
1𝑥𝑥
1 + 1𝑥𝑥2
=lim𝑥𝑥→∞
1𝑥𝑥
lim𝑥𝑥→∞
1 + lim𝑥𝑥→∞
1𝑥𝑥2
=0
1 + 0= 0
Latihan 2
Tentukan lim𝑥𝑥→−∞
3𝑥𝑥3
1−𝑥𝑥3.
Definisi
Limit Suatu Barisan Misalkan sn terdefinisi untuk semua bilangan asli lebih dari atau sama dengan beberapa bilangan a. Kita mengatakan bahwa lim
𝑛𝑛→∞𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝐿𝐿 jika untuk setiap ε > 0 ada bilangan
asli M sedemikian sehinggajika 𝑛𝑛 > 𝑀𝑀 maka 𝑠𝑠𝑛𝑛 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀
Latihan 3
Tentukan limit barisan berikut.
lim𝑛𝑛→∞
2𝑛𝑛 + 1𝑛𝑛 − 2
Limit Tak Hingga
Definisi Kita mengatakan bahwa lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ jika untuk setiap bilangan positif M, ada δ > 0 sedemikian sehingga
jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀
Contoh 3
Tentukan lim𝑥𝑥→3+
1𝑥𝑥−3 2 dan lim
𝑥𝑥→3−1
𝑥𝑥−3 2.
PEMBAHASAN Ketika 𝑥𝑥 → 3+ penyebutnya tetap positif tetapi mendekati 0, sedangkan pembilanganya tetap 1. Sehingga ⁄1 𝑥𝑥 − 3 2
dapat dibuat besar dengan membatasi x untuk dekat, tetapi di kanan 3. Sehingga,
lim𝑥𝑥→3+
1𝑥𝑥−3 2 = ∞
Dengan alasan yang serupa
lim𝑥𝑥→3−
1𝑥𝑥−3 2 = ∞
0 2 4 6
2
x
y𝑦𝑦 =
1𝑥𝑥 − 3 2
Limit Tak Hingga & Asimtot
Garis 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 merupakan asimtot vertikal grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 jika sembarang dari empat pernyataan berikut benar.1. lim
𝑥𝑥→𝑐𝑐+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ 2. lim
𝑥𝑥→𝑐𝑐+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞
3. lim𝑥𝑥→𝑐𝑐−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ 4. lim𝑥𝑥→𝑐𝑐−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞
Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan di Suatu Titik
Definisi 1 Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Fungsi fkontinu di a jika
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Perhatikan bahwa definisi ini secara implisit memerlukan tiga hal untuk dipenuhi agar f kontinu di a:1. f(a) terdefinisi (yaitu, a berada di domain f)2. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ada
3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Contoh 1
Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi f. Di mana sajakah f tidak kontinu? Mengapa?PEMBAHASAN Fungsi f tidak kontinu di 1 karena tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi f tidak kontinu di 3 karena limitnya tidak ada. Fungsi f juga tidak kontinu di 5 karena
lim𝑥𝑥→5
𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 𝑓𝑓 51 2 3 4 5 x
y
0
Latihan 1
Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2−9𝑥𝑥−3
, 𝑥𝑥 ≠ 3. Bagaimana f didefinisikan di x = 3 agar f kontinu di 3?
Kontinu dari Kiri dan dari Kanan
Definisi 2 Suatu fungsi f kontinu dari kanan di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Dan f kontinu dari kiri di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Contoh 2
Untuk setiap bilangan bulat 𝑛𝑛, fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 (lihat gambar di samping) kontinu dari kanan tetapi tidak kontinu dari kiri karena
lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+
𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑛𝑛 1 2 3 x–1
y
0
1
Kekontinuan pada Interval
Definisi 3 Suatu fungsi kontinu pada interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan dalam interval tersebut. (Jika f terdefinisi hanya pada satu sisi titik ujung, maka yang dimaksud kontinu pada titik ujung tersebut berarti bahwa kontinu dari kiri atau kontinu dari kanan.)
Contoh 3
Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥2 kontinu pada selang [–1, 1].PEMBAHASAN Jika –1 < a < 1, maka dengan menggunakan teorema-teorema limit
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
1 − 𝑥𝑥2
= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
1− 𝑥𝑥2
= 1− 𝑎𝑎2
= 𝑓𝑓 𝑎𝑎Sehingga, berdasarkan definisi, f kontinu di a jika –1 < a < 1.
Pembahasan
Dengan menggunakan perhitungan yang serupa, diperoleh
lim𝑥𝑥→−1+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −1 , dan
lim𝑥𝑥→1−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 1
sehingga f kontinu dari kanan di –1 dan kontinu dari kiri di 1. Akibatnya, berdasarkan Definisi 3, f kontinu pada [–1, 1].
–1 1
1
y
x0
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1− 𝑥𝑥2
Operasi-Operasi Fungsi
Teorema 4 Jika f dan g kontinu di a dan jika c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a.1. f + g 2. f – g 3. cf4. fg 5. f/g, jika g(a) ≠ 0
Pembuktian
Bukti Kelima bagian dari Teorema 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema limit. Misalkan di sini kita akan membuktikan bagian pertama. Karena f dan g kontinu di a, maka
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 , dan
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑎𝑎 .
Sehingga,lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥
= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥
= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥
= 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 𝑔𝑔 𝑎𝑎Hal ini menunjukkan bahwa f + gkontinu di a.
Fungsi-Fungsi Kontinu
Teorema 5 Jenis-jenis fungsi berikut kontinu di setiap bilangan dalam domainnya.• Fungsi polinomial• Fungsi rasional• Fungsi akar• Fungsi trigonometri
Latihan 2
Di interval-interval mana saja fungsi berikut kontinu?
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 − 4
Teorema Limit Fungsi Komposit
Teorema 6 Jika f kontinu di b dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑏𝑏 . Dengan kata lain
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥
Secara khusus, jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 kontinu di a.
Latihan 3
Dimanakah fungsi berikut kontinu?
𝐹𝐹 𝑥𝑥 =1
𝑥𝑥2 + 7− 4
Teorema Nilai Tengah
Teorema 7 Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] dan misalkan N sembarang bilangan di antara f(a) dan f(b), dimana f(a) ≠ f(b). Maka ada bilangan c di dalam (a, b) sedemikian sehingga f(c) = N.
a bc1 c2 c3
N
f(a)
f(b)
0 x
y
Latihan 4
Tunjukkan bahwa ada akar persamaan x4 + x – 3 = 0 di antara 1 dan 2.
Turunan
Permasalahan Garis Singgung
0 x
y
P
Q
Q
Q
Q
0 a x x
P(a, f(a))
Q(x, f(x))
x – a
fx) – f(a)
y
y = f(x)
Garis Singgung
DEFINISI Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(a, f(a)) adalah garis yang melalui P dan bergradien
𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
Latihan
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2/x di titik (2, 1).x0
y
(2, 1)
y = 2/x
Permasalahan Kecepatan
0
Posisi ketika t = a
Posisi ketika t = a + h
f(a)
f(a + h)
f(a + h) – f(a) sKecepatan rata-rata
𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ
Kecepatan Sesaat
Kecepatan sesaat adalah nilai limit dari kecepatan rata-rata:
𝑣𝑣 𝑎𝑎 = limℎ→0
𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ
Latihan
Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan 60 km/jam dan kemudian direm, sehingga posisinya dari awal pengereman dapat dimodelkan dengan
𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 60𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡2
Tentukan kecepatan sesaat mobil tersebut 5 detik setelah pengereman.
Dua Bentuk Satu Makna
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
limℎ→0
𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ
Turunan
DEFINISI Turunan suatu fungsi f pada bilangan a, dinotasikan dengan f’(a), adalah
𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 = limℎ→0
𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ
Latihan
Tentukan turunan fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 di 𝑥𝑥 = 4.
Latihan
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di bilangan a.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3− 5𝑥𝑥(b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1(c) ℎ 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥(d) 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0
Latihan
Masing-masing bentuk berikut ini merupakan turunan, tetapi turunan dari fungsi apa dan di bilangan mana?
(a) limℎ→0
4+ℎ 2−16ℎ
(b) lim𝑥𝑥→3
5𝑥𝑥−
53
𝑥𝑥−3
Tugas
Jari-jari balon udara yang berbentuk bola bertambah dengan kecepatan 0,5 cm per detik. Jika jari-jarinya adalah 0 cm ketika t = 0, tentukan kecepatan perubahan volume balon udara tersebut pada saat t = 3.
Turunan Sebagai Suatu Fungsi
Turunan Sebagai Suatu Fungsi
DEFINISI Turunan f didefinisikan sebagai berikut.
𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = limℎ→0
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ
untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada.Catatan: Nilai f’ di x, yaitu f’(x), dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai gradien garis singgung grafik f di titik (x, f(x)).
Contoh 1
Grafik fungsi f ditunjukkan pada gambar di samping. Gunakan gambar tersebut untuk mensketsa grafik f’.
1 2 3
1
2
0 x
y
y = f(x)
Pembahasan
Kita dapat memperkirakan nilai turunan pada sembarang x dengan menggambar garis singgung di titik (x, f(x)) kemudian memperkirakan gradiennya. Dengan memperkirakan turunan f di beberapa titik kemudian menghubungkannya dengan kurva harus, diperoleh grafik f’ seperti gambar di samping.
1 2 3 x
1
2y
m = 0
m = 0
m = 0m = 1
y = f’(x)
Soal 1
(a) Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥, tentukan rumus untuk f’(x).(b) Ilustrasikan rumus ini untuk membandingkan grafik f dan f’.
Soal 2
Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, carilah turunan f. Nyatakan domain f’.
Soal 3
Tentukan f’ jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2−𝑥𝑥1+𝑥𝑥
.
Notasi-Notasi Lainnya
Jika kita gunakan notasi y = f(x) untuk menunjukkan bahwa xsebagai varibel bebas dan y sebagai variabel terikat, maka beberapa notasi alternatif turunan adalah sebagai berikut.
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦′ =𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
=𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑥𝑥
=𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑥𝑥
Jika kita ingin menunjukkan nilai turunan dalam notasi dy/dx (notasi Leibniz) pada bilangan tertentu a, maka kita tuliskan
�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑎𝑎
atau �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑎𝑎
Fungsi Terdiferensialkan
DEFINISI Fungsi f terdiferensialkan di a jika f’(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, ∞) atau (–∞, a) atau (–∞, ∞)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang tersebut.
Soal 4
Dimanakah fungsi f(x) = |x| terdiferensialkan?
Terdiferensialkan Mengakibatkan Kekontinuan
TEOREMA Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.
Bagaimana Bisa Fungsi Tidak Terdiferensialkan
(a) Pojok (b) Tidak kontinu (c) Garis singgung vertikal
0 a x
y
0 a x
y
0 a x
y
Turunan yang Lebih Tinggi
Jika f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka turunannya f’ juga merupakan suatu fungsi, sehingga f’ memiliki turunan sendiri, dan dinotasikan dengan (f’)’ = f”. Fungsi baru ini disebut dengan turunan kedua dari f. Dengan menggunakan notasi Leibniz, turunan kedua dari y = f(x) dapat dituliskan menjadi
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
=𝑑𝑑2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥2
Soal 5
Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥, cari dan interpretasikan f”(x).
EksplorasiDiberikan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 dan 𝑥𝑥0 = 1.
(a) Gambarlah grafik y = f(x).(b) Tentukan bentuk
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ
(c) Tentukan limit bentuk (b) ketika h mendekati 0.(d) Substitusi nilai 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 dan gambarlah grafik fungsi y = f(x) bersama dengan garis
singgungnya di titik tersebut.(e) Substitusikan beberapa nilai x yang lebih dari atau kurang dari x0 ke dalam rumus (c).
Apakah hasilnya masuk akal dengan grafiknya?(f) Gambarlah grafik yang diperoleh pada bagian (c). Apa artinya ketika nilainya negatif? Nol?
Positif? Apakah masuk akal dengan grafik pada bagian (a)? Berikan alasan.
Aturan-Aturan Turunan
Apa yang Telah Kalian Pelajari?
• Menentukan gradien garis singgung suatu kurva pada titik tertentu.
• Menentukan kecepatan sesaat suatu objek pada waktu tertentu.• Menggunakan definisi limit untuk menentukan turunan suatu
fungsi pada titik tertentu.• Menyatakan turunan sebagai suatu fungsi dengan menggunakan
definisi limit.• Memahami hubungan antara kekontinuan dan keterdiferensialan.
Apa yang Akan Kalian Pelajari?
• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi Konstan.
• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Pangkat.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Perkalian
Konstanta.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi
Konstan.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan
Penjumlahan dan Pengurangan.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Hasil Kali
dan Hasil Bagi.
Fungsi Konstan
• L
0 x
y
c
gradien = 0
y = c
Gambar di samping adalah grafik fungsi
konstan. Apakah turunan dari fungsi konstan?
Turunan Fungsi Konstan
TEOREMA 1 Turunan dari fungsi konstan adalah 0. Yaitu, jika cadalah bilangan real, maka
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑐𝑐 = 0
BUKTI Kita terapkan definisi turunan kepada f(x) = c, fungsi yang outputnya selalu konstanta c. Untuk setiap nilai x, diperoleh
𝑓𝑓′ 𝑑𝑑 = limℎ→0
𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑑𝑑ℎ
= limℎ→0
𝑐𝑐 − 𝑐𝑐ℎ
= limℎ→0
0 = 0
Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif
TEOREMA 2 Jika n adalah bilangan bulat positif, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1
Ekspansi Binomial
Sebelum membuktikan turunan bilangan bulat positif, kita akan cari pola dalam ekspansi binomial:
𝑑𝑑 + ℎ 2 = 𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑ℎ + ℎ2
𝑑𝑑 + ℎ 3 = 𝑑𝑑3 + 3𝑑𝑑2ℎ + 3𝑑𝑑ℎ2 + ℎ3
𝑑𝑑 + ℎ 4 = 𝑑𝑑4 + 4𝑑𝑑3ℎ + 6𝑑𝑑2ℎ2 + 4𝑑𝑑ℎ3 + ℎ4
𝑑𝑑 + ℎ 5 = 𝑑𝑑5 + 5𝑑𝑑4ℎ + 10𝑑𝑑3ℎ2 + 10𝑑𝑑2ℎ3 + 5𝑑𝑑ℎ4 + ℎ5
Secara umum, ekspansi binomial untuk suatu bilangan bulat positif n adalah
𝑑𝑑 + ℎ 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑𝑛𝑛 + 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1ℎ + 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2
2ℎ2 +⋯+ ℎ𝑛𝑛.
Faktor persekutuan suku-suku ini adalah h2
Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif
BUKTI Jika n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka dengan menggunakan ekspansi binomial kita peroleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑛𝑛 = limℎ→0
𝑥𝑥+ℎ 𝑛𝑛−𝑥𝑥𝑛𝑛
ℎ
= limℎ→0
𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1ℎ+𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2
2 ℎ2+⋯+ℎ𝑛𝑛−𝑥𝑥𝑛𝑛
ℎ
= limℎ→0
𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1 + 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2
2ℎ +⋯+ ℎ𝑛𝑛−1
= 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1 + 0 +⋯+ 0= 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1
Untuk kasus n = 1, pembuktian diserahkan kepada pembaca.
Aturan Pangkat
TEOREMA 3 Jika n adalah sembarang bilangan real, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1
untuk semua x dimana xn dan xn – 1 terdefinisi.
CONTOH 1
(a) Jika 𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑8, maka 𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 8𝑑𝑑7.(b) Jika 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑100, maka 𝑦𝑦𝑓 = 100𝑑𝑑99.
(c) Jika 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡5, maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 5𝑡𝑡4
(d) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟3 = 3𝑟𝑟2
Sekarang coba Uji Pemahaman 7
Aturan Perkalian Konstanta
TEOREMA 4 Jika c adalah suatu konstanta dan f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑑𝑑
Aturan Perkalian Konstanta
BUKTI Misalkan g(x) = cf(x). Maka,
𝑔𝑔𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0
𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ
= 𝑐𝑐 limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ
= 𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑
Contoh 2Turunan berikut
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝟑𝟑𝑑𝑑2 = 𝟑𝟑 � 2𝑑𝑑 = 6𝑑𝑑
menyatakan bahwa jika kita mengalikan masing-masing koordinat-y dengan 3, maka kita juga mengalikan gradien garis singgung pada masing-masing titik dengan 3. 1 2–2 –1 0
1
2
3(1, 3)
(1, 1)
gradien = 2
gradien = 6
x
y
y = 3x2
y = x2
Sekarang coba Uji Pemahaman 8
Aturan Penjumlahan dan Pengurangan
TEOREMA 5 Jumlah (atau selisih) dua fungsi-fungsi yang terdiferensialkan menghasilkan fungsi yang terdiferensialkan. Selain itu, turunan dari f + g (atau f – g) merupakan jumlah (atau pengurangan) dari turunan f dan g.
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑑𝑑 +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑔𝑔 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑑𝑑 − 𝑔𝑔 𝑑𝑑 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑑𝑑 −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑔𝑔 𝑑𝑑
Aturan Penjumlahan
Aturan Pengurangan
Aturan Penjumlahan dan PenguranganBUKTI Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka,
𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0
𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ +𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ − 𝑐𝑐 𝑥𝑥 +𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ
+ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ
+ limℎ→0
𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ
= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑑𝑑
Aturan Pengurangan dapat dibuktikan dengan cara yang serupa.
Contoh 3
Apakah kurva y = x4 – 2x2 + 2 memiliki garis singgung horizontal? Jika iya, dimana?PEMBAHASAN Garis singgung horizontal, jika ada, terjadi jika gradiennya nol. Padahal
𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑
= 4𝑑𝑑3 − 4𝑑𝑑
PembahasanSelanjutnya kita selesaikan persamaan dy/dx = 0:
4𝑑𝑑3 − 4𝑑𝑑 = 04𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 − 1 = 0
𝑑𝑑 = 0, −1, 1Jadi, kurva tersebut memiliki garis singgung horizontal di x = 0, –1, dan 1. Perhatikan gambar di samping.
1–1
1
(0, 2)
(1, 1)(–1, 1)
0 x
yy = x4 – 2x2 + 2
Sekarang coba Uji Pemahaman 12–14
Aturan Hasil Kali
TEOREMA 6 Jika f dan g keduanya terdiferensialkan, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑔𝑔 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑑𝑑
Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam𝑢𝑢𝑢𝑢 ′ = 𝑢𝑢𝑢𝑢′ + 𝑢𝑢′𝑢𝑢
Aturan Hasil Kali
BUKTI Misalkan F(x) = f(x)g(x). Maka
𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0
𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ
Untuk menentukan nilai limit ini, kita akan memisahkan fungsi-fungsi f dan g seperti pada pembuktian di Aturan Penjumlahan.
Aturan Hasil Kali
Untuk memisahkan f dan g, kita jumlahkan dan kurangkan sukuf(x + h)g(x) pada pembilang.
𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 +𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ
+ 𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ � limℎ→0
𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ
+ limℎ→0
𝑔𝑔 𝑑𝑑 � limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ
= 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑑𝑑
Contoh 4Tentukan turunan dari F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1).PEMBAHASAN(a) Dari Aturan Hasil Kali, kita peroleh
𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑2 − 3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑3 + 1 + 𝑑𝑑3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑2 − 3
= 𝑑𝑑2 − 3 3𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑3 + 1 2𝑑𝑑= 3𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑4 + 2𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑
(b) Turunan F juga bisa ditentukan dengan mengalikan faktor-faktornya terlebih dahulu: F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1) = x5 – 3x3 + x2 – 3. Sehingga
𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑 Sekarang coba Uji Pemahaman 11
Gambaran Aturan Hasil KaliMisalkan f(x) dan g(x) positif dan nilainya naik ketika x naik, dan h > 0. Maka, perubahan fg merupakan selisih luas “persegi” yang lebih besar dengan yang lebih kecil, yang sama dengan jumlah dari luas persegi panjang merah bagian atas dan kanan.
∆𝑓𝑓𝑔𝑔 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ 𝑔𝑔 𝑑𝑑 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑
= 𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ ∆𝑔𝑔 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 ∆𝑓𝑓
Dengan membagi bentuk tersebut dengan h, diperoleh∆𝑐𝑐𝑔𝑔ℎ
= 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ ∆𝑔𝑔+𝑔𝑔 𝑥𝑥 ∆𝑐𝑐ℎ
Limit bentuk tersebut untuk ℎ → 0+ akan menghasilkan Aturan Hasil Kali.
f(x) f(x + h)
Δf
g(x)
g(x + h)Δg
f(x)g(x)
f(x + h)Δg
g(x)Δf
0
Aturan Hasil Bagi
TEOREMA 7 Jika f dan g terdiferensialkan, maka
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑔𝑔 𝑑𝑑
=𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑑𝑑 − 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑
𝑔𝑔 𝑑𝑑 2
Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam𝑢𝑢𝑢𝑢
′=𝑢𝑢𝑓𝑢𝑢 − 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑓
𝑢𝑢2
Aturan Hasil Bagi
BUKTI Misalkan F(x) = f(x)/g(x). Maka
𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0
𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥
ℎ
= limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥
Selanjutnya kita akan memisahkan f dan g.
Aturan Hasil Bagi
Pemisahan f dan g dapat dilakukan dengan menjumlahkan dan mengurangkan bentuk f(x)g(x) pada pembilang.
𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥
= limℎ→0
𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 +𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥
= limℎ→0
𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥
ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥
=limℎ→0
𝑔𝑔 𝑥𝑥 �limℎ→0
𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ −lim
ℎ→0𝑐𝑐 𝑥𝑥 �lim
ℎ→0𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥
ℎlimℎ→0
𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ �limℎ→0
𝑔𝑔 𝑥𝑥=
𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥
𝑔𝑔 𝑥𝑥 2
Contoh 5
Misalkan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6𝑥𝑥3+5
, maka
𝑦𝑦𝑓 =𝑥𝑥3+5 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6 − 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥3+5
𝑥𝑥3+5 2
= 𝑥𝑥3+5 2𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6 3𝑥𝑥2
𝑥𝑥3+5 2
= 2𝑥𝑥4−𝑥𝑥3+10𝑥𝑥−5 − 3𝑥𝑥4−3𝑥𝑥3−18𝑥𝑥2
𝑥𝑥3+5 2
= −𝑥𝑥4+2𝑥𝑥3+18𝑥𝑥2+10𝑥𝑥−5𝑥𝑥3+5 2
Pembahasan
Kita dapat menggunakan kalkulator grafik untuk memeriksa jawaban Contoh 8 masuk akal. Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi pada Contoh 5 dan turunannya. Perhatikan bahwa ketika y naik dengan cepat (di dekat –2), y’bernilai besar. Dan ketika y naik secara perlahan, y’ dekat dengan 0.
–4
3
–3
4
y
y’
Sekarang coba Uji Pemahaman 10
Rangkuman
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑐𝑐 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1
𝑐𝑐𝑓𝑓 ′ = 𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓′ + 𝑔𝑔𝑓 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓′ − 𝑔𝑔𝑓
𝑓𝑓𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓𝑔𝑔′ + 𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑔𝑔
′= 𝑔𝑔𝑐𝑐′+𝑐𝑐𝑔𝑔′
𝑔𝑔2
Turunan Fungsi-Fungsi Trigonometri
Fungsi Sinus
π/2 π 2π0
π/2 π 2π0
y = f(x) = sin x
y = f’(x)
y
y
x
x
Apakah turunan fungsi sinus?
Menemukan Turunan Fungsi SinusMisalkan f(x) = sin x. Maka
𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = limℎ→0
𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
sin 𝑥𝑥+ℎ −sin 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
sin 𝑥𝑥 cos ℎ+cos 𝑥𝑥 sin ℎ−sin 𝑥𝑥ℎ
= limℎ→0
sin 𝑥𝑥 cos ℎ−sin 𝑥𝑥ℎ
+ cos 𝑥𝑥 sin ℎℎ
= limℎ→0
sin 𝑥𝑥 cos ℎ−1ℎ
+ cos 𝑥𝑥 sin ℎℎ
= limℎ→0
sin 𝑥𝑥 � limℎ→0
cos ℎ−1ℎ
+ limℎ→0
cos 𝑥𝑥 � limℎ→0
sin ℎℎ
= sin 𝑥𝑥 0 + cos 𝑥𝑥 1 = cos 𝑥𝑥
Definisi turunan
Substitusi f(x) = sin x
Identitas penjumlahan sudut
Pisahkan
Faktorkan
Limit Perkalian
Sederhanakan
Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
TEOREMA 1 Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensialkan, dan
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
sin 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
cos 𝑥𝑥 = − sin 𝑥𝑥
Latihan 1
Tentukan turunan dari 𝑦𝑦 = 5 sin 𝑥𝑥 − 7 cos 𝑥𝑥.
Menemukan Turunan Fungsi Tangen
Dengan menggunakan Aturan Hasil Bagi, kita bisa mendapatkan𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
tan 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
sin 𝑥𝑥cos 𝑥𝑥
=cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 sin 𝑥𝑥−sin 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 cos 𝑥𝑥
cos2 𝑥𝑥
= cos 𝑥𝑥�cos 𝑥𝑥−sin 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥cos2 𝑥𝑥
= cos2 𝑥𝑥+sin2 𝑥𝑥cos2 𝑥𝑥
= 1cos2 𝑥𝑥
= sec2 𝑥𝑥
Identitas trigonometri
Aturan Hasil Bagi
Turunkan
Sederhanakan
Identitas trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya
Teorema 2 Untuk semua x dalam domain fungsi,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
tan 𝑥𝑥 = sec2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
cot 𝑥𝑥 = − csc2 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
sec 𝑥𝑥 = sec 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
csc 𝑥𝑥 = − csc 𝑥𝑥 cot 𝑥𝑥
Latihan 2
Tentukan turunan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =sec 𝑥𝑥
1+tan 𝑥𝑥. Tentukan semua nilai x
yang membuat grafik f memiliki garis singgung horizontal.
–π π x
y
2
–2
0
y = f(x)
Latihan 3
Suatu objek di ujung sebuah pegas ditarik sejauh 4 cm dari posisi istirahatnya dan dilepaskan pada waktu t = 0. (perhatikan gambar di samping.) Posisi objek tersebut pada waktu t adalah
𝑠𝑠 = 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 4 cos 𝑡𝑡Tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t dan gunakan hasilnya untuk menganalisis gerak objek tersebut.
0
4
s
Latihan 4
Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Perhatikan persamaan diferensial berikut.
𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 + 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 0(a) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk
sembarang konstanta A.(b) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐵𝐵 cos 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk
sembarang konstanta B.(c) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 cos 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut
untuk sembarang konstanta A dan B.
Latihan 5
Turunan sinn x Tentukan turunan-turunan berikut dengan menggunakan Aturan Hasil Kali.
(a) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
sin2 𝑥𝑥 (b) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
sin3 𝑥𝑥 (c) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
sin4 𝑥𝑥
(d) Berdasarkan jawaban pada bagian (a) – (c), buatlah dugaan mengenai 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥sin𝑛𝑛 𝑥𝑥 .
Aturan Rantai
Turunan Fungsi Komposit
Fungsi 𝑦𝑦 = 23𝑥𝑥 = 1
32𝑥𝑥 merupakan komposisi dari fungsi 𝑦𝑦 = 1
3𝑢𝑢
dan 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥. Padahal,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 2
3, 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑= 1
3, dan 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑= 2.
Karena 23= 1
3� 2, kita dapat melihat dalam kasus ini bahwa
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
B: u putaran
32
1
C: y putaranA: x putaran
CONTOH 1
Fungsi y = (2x2 – 1)2 merupakan komposisi dari fungsi y = f(u) = u2
dan u = g(x) = 2x2 – 1. Kita tentukan turunan fungsi komposit tersebut, dan diperoleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
= 2𝑢𝑢 � 4𝑥𝑥= 2 2𝑥𝑥2 − 1 � 4𝑥𝑥= 16𝑥𝑥3 − 8𝑥𝑥
Turunan y = (2x2 – 1)2 juga dapat ditentukan dengan mengekspansi (2x2 – 1)2 = 4x4 – 4x2 + 1. Sehingga kita peroleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥2 + 1
= 16𝑥𝑥3 − 8𝑥𝑥
Aturan Rantai
Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan di titik u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan di x, maka fungsi komposit (f ∘ g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x, dan
𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ′ 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓′ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ⋅ 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka
𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
=𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑢𝑢
⋅𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥
dimana dy/du ditentukan di u = g(x).
Latihan 1
Jika 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , dimana grafik f ditunjukkan pada gambar di samping, tentukan g’(4) dan g’(–2).
2
2
0 x
y
y = f(x)
Latihan 2
Sebuah objek bergerak di sepanjang sumbu-x sedemikian sehingga posisinya pada sembarang waktu t ≥ 0 diberikan oleh persamaan
𝑥𝑥 𝑡𝑡 = sin 𝑡𝑡2 + 1Tentukan kecepatan objek tersebut sebagai fungsi terhadap t.
Contoh 2
Aturan Luar-Dalam Tentukan turunan sin(x2 + x) terhadap x.PEMBAHASAN Kita langsung gunakan Aturan Rantai untuk memperoleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
sin 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 ⋅ 2𝑥𝑥 + 1
Fungsi dalam
Fungsi dalam tetap
Turunan fungsi dalam
Latihan 3
Penggunaan Berulang Aturan Rantai Tentukan turunan fungsi berikut.
𝑓𝑓 𝑡𝑡 = tan 3 + cos 5𝑡𝑡
Aturan Rantai untuk Fungsi Pangkat
Aturan Pangkat dan Aturan Rantai Jika n adalah sembarang bilangan real dan u = g(x) terdiferensialkan, maka
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑢𝑢𝑛𝑛−1𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥
Atau dapat dituliskan menjadi𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥
Latihan 3
Tentukan turunan dari fungsi berikut.
𝑔𝑔 𝑡𝑡 =1− 3𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡
10
Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai?
Analisis Pendahuluan Misalkan y = f(x) dan x berubah dari a ke a + Δx, kita definisikan perubahan y sebagai
Δ𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + Δ𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎Berdasarkan definisi turunan,
limΔ𝑑𝑑→0
∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎
Sehingga jika kita notasikan selisih Δy/Δx dan f’(a) sebagai ε, kita peroleh
limΔ𝑑𝑑→0
𝜀𝜀 = limΔ𝑑𝑑→0
∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑− 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎
= 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 − 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 = 0
Tetapi
𝜀𝜀 =∆𝑦𝑦∆𝑥𝑥 − 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ⇒ ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀∆𝑥𝑥
Jika kita definisikan ε sama dengan nol ketika Δx = 0, maka ε menjadi fungsi yang kontinu terhadap Δx. Sehingga untuk fungsi f yang terdiferensialkan, kita dapat menulis
∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀∆𝑥𝑥 Persamaan 1
dimana 𝜀𝜀 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0 dan εmerupakan fungsi kontinu terhadap Δx.
Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai?
Pembuktian Aturan Rantai Misalkan u = g(x) terdiferensialkan di adan y = f(u) terdiferensialkan di b = g(a). Jika Δx adalah perubahan di x dan Δu dan Δy merupakan perubahan di u dan y yang bersesuaian, maka kita dapat menuliskan
∆𝑢𝑢 = 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀1∆𝑥𝑥 = 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥 Persamaan 2
dimana 𝜀𝜀1 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0. Dengan cara yang serupa,∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 ∆𝑢𝑢 + 𝜀𝜀2∆𝑢𝑢 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 ∆𝑢𝑢 Persamaan 3
dimana 𝜀𝜀2 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0.
Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai?
Jika kita substitusi bentuk Δu dari persamaan 2 ke persamaan 3, kita peroleh∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥
Sehingga∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1
Ketika ∆𝑥𝑥 → 0 persamaan 2 menunjukkan bahwa ∆𝑢𝑢 → 0 juga. Sehingga 𝜀𝜀1 →0 dan 𝜀𝜀2 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0. Oleh karena itu
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
= lim∆𝑑𝑑→0
∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= lim
∆𝑑𝑑→0𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1
= 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓′ 𝑔𝑔 𝑎𝑎 ′𝑔𝑔 𝑎𝑎Kita telah membuktikan Aturan Rantai.
Pemecahan Masalah
Piston Roda Perhatikan piston roda pada gambar di samping. Roda tersebut memiliki jari-jari 10 cm dan berputar berlawanan arah jarum jam pada kecepatan 2 radian per detik. Batang besi yang menghubungkan roda dan kepala piston tersebut panjangnya 50 cm. Pada waktu t = 0, titik Pberkoordinat di (10, 0).(a) Tentukan koordinat P pada waktu t.(b) Tentukan koordinat-y titik Q pada waktu t (koordinat-x
titik Q selalu nol).(c) Tentukan kecepatan Q pada waktu t. (Gunakan fakta
bahwa 𝐷𝐷𝑑𝑑 𝑢𝑢 = 12 𝑑𝑑
.)
(10, 0)x
y
P
Q
50
Turunan Implisit
Fungsi Terdefinisi Implisit
Beberapa fungsi didefinisikan secara implisit sebagai suatu relasi antara x dan y:
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 25, 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥3 + 𝑦𝑦3 = 9𝑥𝑥𝑦𝑦
Grafik Fungsi Implisit
4–4 0
𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓1 𝑥𝑥
𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓2 𝑥𝑥
𝑦𝑦3 = 𝑓𝑓3 𝑥𝑥
𝑦𝑦1 = 25− 𝑥𝑥2
𝑦𝑦1 = − 25 − 𝑥𝑥2
–5 50 x
y
30
𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥
𝑦𝑦1 = − 𝑥𝑥
x
y
x
y
Contoh 1
Tentukan ⁄𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 dari 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0.PEMBAHASAN Persamaan 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0 mendefinisikan dua fungsi yang terdiferensialkan terhadap x, yaitu 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦2 = − 𝑥𝑥. Sehingga turunan kedua fungsi ini adalah
𝑑𝑑𝑦𝑦1𝑑𝑑𝑑𝑑
= 12 𝑑𝑑
dan 𝑑𝑑𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑑𝑑
= − 12 𝑑𝑑
Pembahasan
Turunan y terhadap x juga dapat ditentukan tanpa kita harus mengetahui persamaan fungsinya. Dengan menurunkan kedua ruas kita peroleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
0𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑦𝑦2 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 = 0
2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑− 1 = 0𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑= 1
2𝑦𝑦
Latihan 1
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 25 di titik (3, –4).
Turunan Implisit
PROSEDUR Langkah-langkah berikut digunakan untuk menentukan turunan implisit.(1) Turunkan kedua ruas terhadap x, anggap y sebagai fungsi
terdiferensialkan terhadap x.(2) Asingkan suku-suku dy/dx pada satu ruas persamaan,
kemudian selesaikan dy/dx.
Latihan 2
Tentukan dy/dx jika𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 + sin 𝑥𝑥𝑦𝑦
𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 + sin 𝑥𝑥𝑦𝑦
2
2
x
y
Latihan 3
Tentukan ⁄𝑑𝑑2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥2 jika 2𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 = 8.
Tugas
Apakah ada yang spesial dari garis singgung kurva 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥3 dan 2𝑥𝑥2 +3𝑥𝑥2 = 5 di titik 1,±1 ? Berikan alasan.
𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥3
2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥2 = 5
(1, –1)
(1, 1)
x
y
Nilai Maksimum dan Minimum
Pertanyaan Awal
Apa yang dapat kalian amati pada grafik f ketika x = 1 dan 5?
2 4 6
2
4
x
y
0
y = f(x)
Maksimum dan Minimum Absolut
DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam doman D fungsi f. Maka f(c) merupakan• Nilai maksimum absolut dari f di D jika f(c) ≥ f(x)
untuk semua x di D.• Nilai minimum absolut dari f di D jika f(c) ≤ f(x)
untuk semua x di D.
Nilai maksimum dan minimum disebut sebagai nilai ekstrem.
Contoh 1
2–2 0
2
x
y
2–2 0
2
x
y
2–2 0
2
x
y
2–2 0
2
x
y
y = x2 pada (–∞, ∞)Hanya min absolut
y = x2 pada [0, 2]Maks dan min absolut
y = x2 pada (0, 2]Hanya maks absolut
y = x2 pada (0, 2)Tidak ada maks/min
absolut
Teorema Nilai Ekstrem
TEOREMA 1 Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai maksimum absolut f(c) dan nilai minimum absolut f(d) untuk beberapa bilangan c dan d di [a, b].
Latihan 1
Tentukan nilai ekstrem absolut fungsi f dan g di samping. Apakah kedua fungsi tersebut memenuhi Teorema Nilai Ekstrem?
–1 10
–1
1
x
y
y = f(x)
–1 10
–1
1
x
y
y = g(x)
Maksimum dan Minimum Lokal
DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam domain D fungsi f. Maka f(c) merupakan• Nilai maksimum lokal dari f jika f(c) ≥
f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.
• Nilai minimum lokal dari f jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.
c2c1 c3 x
yMaks lokal
Min lokal Min
lokal
Teorema Turunan Pertama untuk Nilai-Nilai Ekstrim Lokal
TEOREMA 2 Jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di cdan f’(c) ada, maka f’(c) = 0.
Calon Titik Ekstrim Lokal
a bc d e
f’(d) = 0
f’(e) tidak ada
f’(c) tidak ada
x
Titik Kritis
DEFINISI Titik kritis suatu fungsi f adalah c dalam domain fsedemikian sehingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.
Latihan 2
Tentukan titik-titik kritis fungsi fberikut pada [–3, 3].
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 + 3–4 4
–5
–25
Menentukan Maksimum dan Minimum Absolut
METODE SELANG TUTUP Penentuan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.1. Tentukan nilai f di titik-titik kritis pada (a, b).2. Tentukan nilai f di titik-titik ujung selang [a, b].3. Nilai terbesar dari nilai-nilai pada Langkah 1 dan 2 merupakan
nilai maksimum absolut; nilai terkecil dari nilai-nilai tersebut merupakan nilai minimum absolut.
Latihan 3
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi f pada Latihan 2.
Tugas
Setiap Detik Berharga Anda harus pergi dari titik P untuk menolong seseorang yang akan tenggelam dalam danau, yang posisinya 50 m dari titik Q di pantai dan titik tersebut terletak 50 m dari posisi Anda, perhatikan gambar di samping. Jika Anda dapat berlari dengan kecepatan 4 m/s dan berenang dengan kecepatan 2 m/s, di titik manakah seharusnya Anda mulai berenang?
50 mx50 – x
QP
50 m
Turunan dan Grafik Fungsi
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
DEFINISI Suatu fungsi f dikatakan naik pada selang I jika
𝑓𝑓 𝑥𝑥1 < 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam ISuatu fungsi f dikatakan turun pada selang I jika
𝑓𝑓 𝑥𝑥1 > 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam I
f turun: f(x1) > f(x2) ketika x1 < x2
x1 x20 x
yy = f(x)
x1 x20 x
yy = f(x)
f naik: f(x1) < f(x2) ketika x1 < x2
Apa yang Ditunjukkan f’ Tentang f?
A
B
C
D
0 x
y
Uji Naik/Turun
Teorema 1(a) Jika f’(x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang
tersebut.(b) Jika f’(x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang
tersebut.
Uji Naik/Turun
Bukti(a) Misalkan x1 dan x2 sembarang dua
bilangan dalam suatu selang dengan x1 < x2. Berdasarkan definisi fungsi naik, kita akan tunjukkan bahwa f(x1) < f(x2).Karena f’(x) > 0, maka fterdiferensialkan dalam [x1, x2]. Sehingga berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, ada bilangan c di antara x1 dan x2 sedemikian
sehinggaf(x2) – f(x1) = f’(c)(x2 – x1)
Karena f’(c) > 0 dan (x2 – x1) > 0, maka ruas kanan persamaan sebelumnya positif.
f(x2) – f(x1) > 0 atauf(x2) > f(x1)
Sehingga f fungsi naik.(b) Bagian (b) dapat dibuktikan
dengan cara serupa.
Latihan 1
Tentukan di mana fungsi f(x) = x4 – 2x2 + 3 naik dan di mana fungsi tersebut turun.
Nilai-Nilai Ekstrem Lokal
Teorema 2 Uji Turunan PertamaMisalkan c adalah titik kritis fungsi kontinu f.(a) Jika f’ berubah dari positif ke negatif di c, maka f memiliki
maksimum lokal di c.(b) Jika f’ berubah dari negatif ke positif di c, maka f memiliki
minimum lokal di c.(c) Jika f’ positif di kiri dan kanan c, atau negatif di kiri dan kanan c,
maka f tidak memiliki lokal maksimum atau minimum di c.
Ilustrasi Uji Turunan Pertama
(a) Maksimum lokal (b) Minimum lokal (c) Tidak ada maks atau min
(d) Tidak ada maks atau min
f’(x) > 0f’(x) > 0
f’(x) > 0
f’(x) < 0f’(x) < 0
f’(x) < 0 f’(x) < 0
f’(x) > 0
c x
y
0 c x
y
0 c x
y
0 c x
y
0
Latihan 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal fungsi f pada Latihan 1.
Kecekungan
DEFINISI Grafik fungsi terdiferensialkan y = f(x)(a) terbuka ke atas pada selang I
jika f’ naik pada I;(b) terbuka ke bawah pada selang I
jika f’ turun pada I.0 x
y
y = x3
f’ turun
f’ naik
Uji Kecekungan
Teorema 3(a) Jika f”(x) > 0 untuk semua x
dalam I, maka grafik f terbuka ke atas pada I.
(b) Jika f”(x) < 0 untuk semua xdalam I, maka grafik f terbuka ke bawah pada I.
–1
y = x2
x
y
2
0
y” > 0 y” > 0
Titik Belok
DEFINISI Titik P pada kurva y = f(x) disebut titik belok jika f kontinu di titik tersebut, dan kecekungan kurvanya berubah (dari terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, atau sebaliknya).
Latihan 3
Sketsalah grafik fungsi f yang memenuhi kondisi-kondisi berikut.(a) f(0) = 0, f(2) = 3, f(4) = 6, f’(0) = f’(4) = 0.(b) f”(x) > 0 untuk x < 1 dan f”(x) < 0 untuk x > 1.
Uji Turunan Kedua
Teorema 4 Misalkan f” kontinu di dekat c.(a) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal di c.(b) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal di c.
Latihan 4Sketsa grafik fungsi
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥3 + 10dengan langkah-langkah berikut.(a) Tentukan dimana ekstrim f terjadi.(b) Tentukan selang ketika f naik dan selang ketika f turun.(c) Tentukan dimana grafik f terbuka ke atas dan di mana f terbuka ke
bawah.(d) Sketsa bentuk umum grafik f.(e) Plot beberapa titik, misalkan titik-titik maksimum dan minimum lokal, titik-
titik belok, dan titik-titik potong sumbu-x dan sumbu-y.
Rangkuman Sketsa Grafik
Panduan Sketsa Grafik y = f(x)
1. Domain. Tentukan domain Ddari f, yaitu himpunan nilai-nilai x dimana f didefinisikan.
2. Simetri. Gunakan kesimetrian fungsi. Apakah ffungsi genap? Fungsi ganjil?
3. Turunan pertama dan kedua. Informasi ini berguna untuk menentukan nilai
ekstrem, kecekungan, titik belok, dan selang naik/turun.
4. Titik kritis dan titik belok.Tentukan titik-titik dimana f’(x) = 0 atau f’(x) tidak terdefinisi. Tentukan titik-titik dimana f”(x) = 0 atau f”(x) tidak terdefinisi.
Panduan Sketsa Grafik y = f(x)
5. Selang naik/turun dan terbuka ke atas/bawah.Turunan pertama digunakan untuk menentukan selang naik/turun. Turunan kedua digunakan untuk menentukan selang terbuka ke atas/bawah.
6. Nilai ekstrem dan titik belok.
Gunakan turunan pertama atau kedua untuk mengklasifikasi titik-titik kritis.
7. Asimtot dan perilaku ujung.Asimtot vertikal sering muncul ketika penyebutnya nol. Tentukan limit x → ±∞ untuk menentukan asimtot horizontal.
Panduan Sketsa Grafik y = f(x)
8. Titik potong. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu-y dengan mensub-stitusi x = 0. Titik potong sumbu-x dapat dicari dengan menyelesaikan f(x) = 0.
9. Sketsa grafik. Dengan menggunakan semua informasi 1–8, sketsalah grafik fungsi yang diberikan.
Contoh 1
Pemanasan Berikut ini merupakan informasi mengenai turunan pertama dan kedua fungsi f yang kontinu pada (−∞, ∞). Rangkumlah informasi tersebut dengan garis bilangan, dan sketsalah kemungkinan grafik fungsi f.
f’ < 0, f” > 0 pada (−∞, 0) f’ > 0, f” > 0 pada (0, 1)f’ > 0, f” < 0 pada (1, 2) f’ < 0, f” < 0 pada (2, 3)f’ < 0, f” > 0 pada (3, 4) f’ > 0, f” > 0 pada (4, ∞)
Garis Bilanganf’ < 0, f” > 0
TurunTer. ke atas
f’ > 0, f” > 0Naik
Ter. ke atas
f’ > 0, f” < 0Naik
Ter. ke bawah
f’ < 0, f” < 0Turun
Ter. ke bawah
f’ < 0, f” > 0Turun
Ter. ke atas
f’ > 0, f” > 0Naik
Ter. ke atas
0 1 2 3 4
Minimum lokal
Maksimum lokal
Minimum lokal
Titik belok Titik belok
Sketsa Grafik y = f(x)
0 1 2 3 4 x
y = f(x)
Latihan 1
Fungsi Polinomial Gunakan panduan mensketsa grafik sebelumnya untuk menggambar grafik fungsi f berikut pada domainnya.
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥3
3− 400𝑥𝑥
Latihan 2
Fungsi Rasional Sketsalah grafik fungsi g berikut pada domainnya.
𝑔𝑔 𝑥𝑥 =10𝑥𝑥3
𝑥𝑥2 − 1
Tugas
Sketsa f dari Grafik f’ dan f”Gambar di samping menunjukkan grafik turunan pertama dan turunan kedua fungsi y = f(x). Jika grafik f melalui titik P, sketsalah grafik f tersebut. x
y
y = f’(x)y = f”(x)
0
Optimasi Terapan & Aturan L’Hôpital
Optimasi Terapan
Menyelesaikan Masalah Optimasi Terapan1. Baca masalahnya. Apa yang
diberikan? Kuantitas apa yang akan dioptimasi?
2. Buat gambar. Gambarlah informasi penting dalam soal.
3. Identifikasi variabel. Daftarlah semua relasi dalam gambar dan soal sebagai suatu persamaan atau bentuk aljabar, dan identifikasi variabel yang tidak
diketahui.4. Tulis persamaan untuk kuantitas
yang tidak diketahui. Jika bisa, nyatakan kuantitas yang tidak diketahui sebagai sebuah fungsi.
5. Ujilah titik-titik kritis dan titik-titik ujung dalam domain kuantitas yang tidak diketahui.
Latihan 1
BIAYA MINIMUM Kaleng aluminium yang berbentung tabung akan dibuat untuk menampung air 1 L. Tentukan ukuran kaleng tersebut agar biaya untuk membeli aluminium seminimum mungkin.
Latihan 2
PENDAPATAN MAKSIMUM Sebuah toko telah menjual 200 TV layar datar dalam seminggu dengan harga satuan 3,5 juta rupiah. Suatu survei pasar menunjukkan bahwa setiap potongan harga sebesar Rp100.000,00 yang diberikan kepada pembeli, maka banyaknya TV yang terjual akan naik sebanyak 20 dalam seminggu. Tentukan fungsi harga (fungsi permintaan) dan fungsi pendapatannya. Seberapa besar potongan harga yang harus ditawarkan agar toko tersebut mendapatkan pendapatakan maksimum?
Latihan 3
MELIPAT KERTAS Bagian pojok kanan atas kertas berukuran 21 cm × 29,7 cm dilipat sampai menyentuk sisi bawahnya (perhatikan gambar). Bagaimana Anda melipatnya agar menghasilkan panjang lipatan terpendek? Dengan kata lain, bagaimana Anda memilih x untuk meminimumkan y?
𝑦𝑦
21 cm
29,7 cm
𝑥𝑥
Aturan L’Hôpital
Misalkan f dan g terdiferensialkan pada selang buka I yang memuat a dengan g’(x) ≠ 0 pada I ketika x ≠ a. Jika lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0
maka
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥
= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥𝑔𝑔′ 𝑥𝑥
dengan syarat limit bentuk yang di ruas kanan ada.
Latihan 3
Menggunakan Aturan L’Hôpital Tentukan limit-limit berikut ini.
(a) lim𝑥𝑥→1
𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−2𝑥𝑥𝑥𝑥−1
(b) lim𝑥𝑥→0
9−3𝑥𝑥−3𝑥𝑥
ReferensiBoelkins, M. R., Austin, D., & Schlicker, S.
(2016). Active calculus, 2016 edition. Allendale: Orthogonal Publishing L3C.
Briggs, W. L., Cochran, L., Gillett, B., & Schulz, E. P. (2013). Calculus for scientists and engineers early transcendentals. Boston, MA: Pearson Education.
Briggs, W. L., Cochran, L., Gillett, B., & Schulz, E. P. (2015). Calculus: Early transcendentals. Boston: Pearson.
Goldstein, L. J. (2014). Calculus & its applications. Boston: Pearson Education.
Hass, J., Weir, M. D., & Thomas, G. B. (2016). University calculus: Early transcendentals. Boston: Pearson.
Kristanto, Y. D., & Putra, D. W. (2018). Students' Mathematical Reasoning in Exploring Functions and Its Derivative. In B. Utomo, J. Donovan, H. Avci, & F. Lin (Eds.), Proceedings of International Conference on Research in Education (pp. 383-392). Yogyakarta: Sanata Dharma University Press.
Kristanto, Y. D., Melissa, M. M., & Panuluh, A. H. (2019). Discovering the formal definition of limit through exploration in dynamic geometry environments. Journal of Physics: Conference Series, 1180, 012004. doi:10.1088/1742-6596/1180/1/012004
Larson, R., & Edwards, B. H. (2014). Calculus. Boston, MA: Brooks/Cole.
Stewart, J. (2016). Calculus. Boston, MA: Cengage Learning.
Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2016). Thomas calculus. Upper Saddle River: Pearson.
Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon, S. (2006). Calculus. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.