bahan ajar limit kontinu

7/26/2019 Bahan Ajar Limit Kontinu

1/14

Bahan Ajar II

L i m i tDr. Nurdin, S.Si., M.Si.


2/14

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat Rahmat dan Karunia-Nya,

karena atas Kehendak-Nya editing Diktat kuliah Matematika Dasar dapat diselesaikan

pada waktunya.

Ucapan terima kasih sepatutnya kami sampaikan kepada para penyusun materi ini dari

tahun ke tahun yang telah bekerja keras untuk memberikan sebuah bahan ajar bagi

mahasiswa dalam memahami Matematika yang diajarkan di tingkat perguruan tinggi.

Terima kasih juga kami sampaikan kepada Ketua Jurusan Matematika dan Kepala UPT

MKU Universitas Hasanuddin beserta jajarannya yang telah memberikan kesempatan

kepada kami untuk memberikan sedikit kerja keras dalam menyusun materi ajar ini.

Terima kasih juga disampaikan kepada dosen, asisten, dan mahasiswa yang selalu bisa

menemukan bagian-bagian yang salah tulis ataupun salah pengertian sebuah pernyataan,

contoh ataupun persoalan yang terungkap dari hasil evaluasi pembelajaran yang

dilaksanakan setiap tahun. kami akan sangat menghargai analisis dan kritikan yang

datang dari pembaca sehingga dengan analisis dan kritikan tersebut edisi berikutnya

dapat menjadi lebih baik.

Dikat ini disusun sebagai pegangan bagi mahasiswa yang mengikuti kuliah Matematika

Dasar dan menjadi penuntun untuk memahami konsep matematika dan dapat membantu

untuk memahami berbagai literatur yang mempunyai muatan matematika. Sasaran yang

ingin dicapai setelah mempelajari diktat ini adalah mahasiswa memperoleh pengetahuandasar dan pola pikir yang terstruktur dan terarah. Setelah sasaran ini dicapai mahasiswa

akan lebih mudah mempelajari bidang lain yang membutuhkan konsep matematika.

Beberapa hal dalam perbaikan ini adalah berusaha meminimalisir kesalahan cetak dan

layout buku. Sebagai proyek awal, kami sadar akan resiko yang kami hadapi dengan

menyajikannya agak berbeda, yaitu banyaknya perubahan tata letak gambar ataupun

tabel dari diktat ini dibandingkan dengan diktat edisi sebelumnya. Beberapa materi


3/14

masih belum sempat diperbaiki karena keterbatasan waktu dan ruang untuk melakukan

eksplorasi menyeluruh dalam isi diktat. Untuk itu pada edisi ini yang kami perbaiki

hanya sebagian kecil saja dari edisi sebelumnya. Namun materi yang disajikan dalam

diktat ini masih sama dan meliputi: sistem bilangan riil, fungsi riil, limit dan turunan,

integral, matriks dan system persamaan linier.

Kami menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna dan masih menyisakan

ruang-ruang kesalahan. Oleh karenanya diharapkan koreksi, saran, dan kritik dari para

pembaca. Segala usulan perbaikan itu akan kami jadikan landasan untuk memperbaiki

isi diktat ini, karena materinya akan dievaluasi berkelanjutan, baik dalam penyusunan

Rancangan pembelajarannya, Metode pembelajaran, Evaluasi proses pembelajaran yang

telah dilakukan.

Akhir kata, semoga diktat ini dapat berguna dan berhasil guna bagi semua pihak yang

terkait dengan keberadaan diktat ini.

Makassar, 9 February 2016


4/14

Fungsi peubah banyak

4

A

x

y (x,y)

x

y

a

b (a,b)

P

1.2.Limit Fungsi Dua Peubah

Definisi 1.2

Jika P(x,y) dan A(a,b) adalah dua titik di dalam R2, maka jarak antara P dan A

ditulis AP , di mana

22 byaxAP .

gambar 1.6 JarakP danAdi R2

Definisi 1.3 (Bola buka di R)

Misalkan A(a,b) titik di R2dan rbilangan positif, maka bola buka B(A,r) adalah

sebuah himpunan titik-titik di dalam lingkaran berpusat di A dengan jari-jari r,


5/14


5

atau himpunan semua titik P(x,y)di R2dimana jaraknya terhadap titik A adalah

rAP

dan dinyatakan sebagai himpunan Bola buka berpusat di A dan

berjari-jari r,

( ) {( ) | ( ) ( ) }

gambar 1.7 Bola buka()Definisi 1.4

Misalkanmerupakan fungsi dua peubah yang terdefinisi pada bola buka ()dan ( )titik limit dari , maka()()( )

jika yang cukup kecil, maka terdapat sehingga untuk setiap

( ) dan

(

)

(

)

berlaku

|( ) | .

Dari gambar 8, jika (x,y) di dalam bola buka B(x0,y0,), maka

LyxfL , .

Contoh 1.3

Buktikan bahwa

11323,1,

yxmilyx

.

Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap 0 , terdapat 0 sehingga

1132 yx , dimana 0 22

31 yx .


6/14


6

Dengan menggunakan sifat baba diperoleh

331293221132 yxyxyx .

Karena

22 311 yxx dan 22 313 yxy

maka

j2x+ 3y 11j 2jx 1j+ 3jy 3j

2p

(x 1)2 + (y 3)2 + 3p

(x 1)2 + (y 3)2

= 5p

(x 1)2 + (y 3)2

< 5

sebab

0 22 31 yx .

Dengan memilih 5

1 ,

maka

3233121132 yxyx

dimana

0 22 31 yx

Jadi terbukti bahwa

1132

3,1,

yxmilyx

.

Syarat cukup apakah yang diperlukan agar suatu limit fungsi dua peubah ada?

Untuk fungsi satu peubah, syarat cukup agar limit fungsi ada apabila limit kanan

sama dengan limit kiri atau

xfmilax

ada jika dan hanya jika

xfmilax

= xfmilax


7/14


7

oleh karenanya dalam mendekati titik a, pendekatan dilakukan dari arah kiri dan

dari arah kanan.

.

Hal ini terjadi karena bola buka di Rberbentuk Interval Buka. Sedangkan untuk

limit fungsi dua peubah, bola buka di R2berbentuk himpunan titik (x,y) di dalam

lingkaran, oleh karenanya untuk mendekati titik limit (x0,y0) di dalam lingkaran

tersebut, dapat dilakukan dari sembarang arah (lihat gambar 1.8).

gambar 1.8 Cara mendekati 00 ,yx

Berikut ini adalah sebuah ilustrasi tentang pendekatan ke titik (0,0) dari sebuah

bentuk limit dengan 4 contoh pendekatan saja.

yxfmil

yx

,0,0,

Jika S1adalah himpunan semua titik pada sumbuxpositif, berarti y = 0, maka

yxfmil

yx

,0,0,

= 0,0

xfmilx

, 1, Syx

Jika S2adalah himpunan semua titik pada sumbu ynegatif, berartix = 0, maka

yxfmil

yx

,0,0,

= yfmily

,00

, 2, Syx

Jika S3adalah himpunan semua titik pada garisy = xmaka,

yxfmil

yx

,0,0,

= xxfmilx

,0

, 3, Syx

Jika S4adalah himpunan semua titik pada parabola y = x2maka,

yxfmilyx

,0,0,

= 20

,xxfmilx

, 4, Syx

x xa


8/14


8

Perhatikan gambar 1.9 berikut yang merupakan himpunan 4321 ,,, SSSS

mendekati titik (0,0) :

gambar 1.9 Pendekatan terhadap titik (0,0)

Jika pada limit fungsi satu peubah limit fungsi ada jika dan hanya jika

limit kiri sama dengan limit kanan , maka pada limit fungsi dua peubah ,

Lyxfmil

yxyx

,00 ,,

(ada)

jika dan hanya jika untuk setiap himpunan Syang memuat (x0,y0) berlaku :

Lyxfmil

yxyx

,00 ,,

, Syx ,

Contoh 1.5

Misalkan 22

,yx

xyyxf

, apakah

yxfmilyx

,0,0,

ada?

Ambil S1himpunan semua titik pada sumbuxberartiy= 0, maka

yxfmil

yx

,0,0,

= 0,0

xfmilx

= 00

02

0

x

milx

, 1, Syx

Ambil S2himpunan semua titik pada garisy = x


9/14


9

maka

yxfmilyx

,0,0,

=2

122

2

0

xx

xmil

x

, 2, Syx

karena

yxfmilyx

,0,0,

= 0 untuk (x,y) S1tidak sama dengan

yxfmil

yx

,0,0,

=2

1untuk (x,y) S2berarti

22

0,0, yx

xymil

yx tidak ada.

Teorema. 1.1

Jika g fungsi dua peubah dengan limitnya di titik ( ) adalah

byxgmilyxyx

,00 ,,

, dan f merupakan fungsi satu peubah yang kontinu pada

b, maka

bfyxgfmilyxyx

,00 ,,

atau

yxgmilfyxgfmilyxyxyxyx

,,0000 ,,,,

.

Bukti:

Misalkanf kontinu pada bjadi 01 terdapat 01 sehingga :

1 bfzf dimana 1bz .(1.1)

Misalkan pula

byxgmilyxyx

,00 ,,

, maka untuk setiap 01 terdapat 02

sedemikian hingga 1,

byxg untuk

200 ,,0 yxyx .(1.2)

Dari persamaan (1.1) dan (1.2), zdiganti dengang(x,y) maka untuk setiap 01

terdapat 01 sedemikian hingga

bfyxgf , untuk 200 ,,0 yxyx

Dari sini disimpulkan bahwa :


10/14


10

bfyxgfmil

yxyx

,00 ,,

1.3.

KONTINUITAS

Definisi 1.5

Fungsi f (dua peubah) dikatakan kontinu pada (x0,y0) jika memenuhi:

i. ( )adaii. lim(x;y)!(x0;y0)f(x; y)ada

iii. lim(x;y)!(x0;y0)

f(x; y) = f(x0; y0).

Contoh 1.6

Selidikilah kontinuitas di titik (0,0) untuk fungsi

( ) ( ) () ( ) ()Dengan menggunakan definisi 1.5,

i.

f(0,0) = 0 ada

ii.

yxfmilyx

,0,0,

=

03

22

2

0,0,

yx

yxmil

yx

iii.

00,0,0,0,

fyxfmilyx

Jadi f(x,y) kontinu di titik (0,0).

Contoh 1.7

Selidikilah kekontinuitas fungsi berikut di (0,0),

( ) ( ) () ( ) ()Dengan cara yang sama dengan contoh 1.6 diperoleh nilai fungsi ada, () .Tapi nilai limit tidak ada, hal ini telah ditunjukkan dengan dua pendekatan

terhadap (0,0) untuk limit ini memberikan hasil berbeda pada contoh 1.5. Jadi

disimpulkan bahwa fungsi tidak kontinu di (0,0).


11/14


11

Teorema 1.2

Jika fdangfungsi yang kontinu di

( )maka

1. kontinu di ( )2. kontinu di ( )3. kontinu di ( )asalkan ( ) .

Bukti

Analog pada fungsi kontinu satu peubah (kalkulus I).

Teorema 1.3

Misalkan fungsi satu peubah dan adalah fungsi dua peubah. Jika kontinupada ( ) dan kontinu pada ( ), maka fungsi komposisi jugakontinu pada ( ). Buktikontinu pada ( ), maka untuk setiap 01 terdapat 01 sehingga

100 , yxgfzf untuk

100 ,

yxgz (1.3)g kontinu padag (x0,y0)maka untuk setiap 01 terdapat 02 sehingga

100 ,, yxgyxg dimana

200 ,,0 yxyx . (1.4)dari persamaan (1.3) dan (1.4) danz diganti dengang (x,y), maka diperoleh ;

01 terdapat 02 sehingga :

100 ,, yxgfyxgf untuk

200 ,, yxyx atau

gf kontinu di (x0,y0).

Contoh 1.8

Tentukan daerah agar fungsi 1, xynlyxh kontinu.

Misalkan 1, xyyxg dan f(t) =ln t.


12/14


12

Karena fungsi f(t) =ln t kontinu untuk t > 0, maka

h(x,y) = ( gf )(x,y) = f(g(x,y)) = ln g(x,y),

kontinu untukg(x,y) > 0atau

xy1 > 0.

Dengan kata lain, 1, xynlyxh kontinu jikaxy > 1 (lihat gambar 1.10).

Gambar 1.10. Daerah kekontinuan fungsi h

LATIHAN


13/14


13

III. Tentukan nilai 0 , untuk setiap 0 sehingga

1.

1432,3,

yxmilyx

2.

2354,2,

yxmilyx

3.

2221,1,

yxmilyx

IV. Selidiki apakah fungsi di bawah ini limitnya ada , jika ada, carilah nilai

limitnya untuk 0,0, yx .

1. 22

22

,yx

yxyxf

2.

yx

xyxf

2

2

,

3. 22

33

,yx

yxyxf

4.

222

3224

)(

23,

yx

xyyxxyxf

5. 33

22

,yx

yxyxf

6.

22,

yx

xyyxf

V. Selidiki apakah fungsi berikut ini kontinu di titik (0,0) ?

1.

0

, 22 yx

xy

yxf

2.

0

, 22

2

yx

yx

yxf

3.

0

, 22 yx

yx

yxf

,Jika (x,y) (0,0)

,Jika (x,y) = (0,0)

,Jika (x,y) (0,0)

,Jika (x,y) = (0,0)

,Jika (x,y) (0,0)

,Jika (x,y) = (0,0)


14/14


14

4.

0

, 22

33

yx

yx

yxf

5.

0

, yx

yx

yxf

VI. Tentukan daerah kekontinuan fungsi di bawah ini :

1. 4

,22

yx

xyxf 2.

22

22

9,

yx

yxyxf

3. 2216

,yx

xyyxf

4.

3694,

22

yx

xyxf

,Jika (x,y) (0,0)

,Jika (x,y) = (0,0)

,Jika (x,y) (0,0)

,Jika (x,y) = (0,0)

bahan ajar limit kontinu

Documents