bahan pertemuan 6-14 (matriks)
DESCRIPTION
matriksTRANSCRIPT
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
11
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k
1583
A
1*45*48*43*4
4A
4203212
4A
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
22
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :k(B+C) = kB + kCk(B-C) = kB-kC(k1+k2)C = k1C + k2C(k1-k2)C = k1C – k2C(k1.k2)C = k1(k2C)
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
33
Contoh :
dengan k = 2, maka
K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B
1210
A
1143
B
06106
0353
*2)1143
1210
(*2)(2 BA
06106
2286
2420
1143
*21210
*222 BA
TERBUKTI
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
44
Contoh :
dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka
(k1+k2)C = k1.C + k2.C
1211
C
51055
1211
*51211
*)32(*)( 21 Ckk
TERBUKTI
51055
3633
2422
1211
*)3(1211
*)2()**( 21 CkCk
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
55
Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
66
Contoh :
013
B
11)0*1()1*2()3*3(013
*123*
BA
123A
000123369
1*02*03*01*12*13*11*32*33*3
123*013
* AB
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
77
Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya
Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)
Apabila AB = AC belum tentu B = C Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau
B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :1. A(BC) = (AB)C2. A(B+C) = AB+AC3. (B+C)A = BA+CA4. A(B-C)=AB-AC5. (B-C)A = BA-CA6. A(BC) = (aB)C= B(aC)7. AI = IA = A
LATIHAN SOAL MATRIKS
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS
99
Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku :
A2 = A AA3 = A2 AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan seterusnya
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS
1010
Tentukan hasil A² dan A³
0211
A
2213
0211
02112 AxAA
2635
2213
021123 AxAA
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS
1111
Tentukan hasil 2A² + 3A³
0211
A
4426
2213
22 2A
66915
2235
33 3A
101079
66915
4426
32 32 AA
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
1212
Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n
Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol
Sifat-sifat dari matriks nol :-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0-A*0=0, begitu juga 0*A=0.
1341
A
000000
23xO
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
1313
Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.Contoh :
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama
500020001
33xD
500050005
33xD
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
1414
Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.
Sifat-sifat matriks identitas :A*I=AI*A=A
Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol
Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol
100010001
D
600210542
A
152043001
B
DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS
1515
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan
Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.
Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN
1616
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar
Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|
NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN
1717
Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :
Contoh :
2221
1211
aaaa
A 21122211)det( aaaaA
3152
A 156)det( A
2221
1211)det(aaaa
A
3152
)det( A
METODE SARRUSMETODE SARRUS
1818
Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
METODE SARRUSMETODE SARRUS
1919
Contoh :
Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2= 18
102311322
A
MINORMINOR
2020
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan Mij Contoh Minor dari elemen a₁₁
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A3332
232211 aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
A444342
343332
242322
11
aaaaaaaaa
M
MINORMINOR
2121
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
KOFAKTOR MATRIKSKOFAKTOR MATRIKS
2222
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan
Contoh :Kofaktor dari elemen a11
232332
23 )1( MMc
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
2323
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
2424
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama|A|
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
3231
222113
3331
232112
3332
232211
131312121111
131312121111
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
2525
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga|A|
3231
121123
3331
131122
3332
131221
232322222121
232322222121
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
MaMaMacacaca
2221
121133
2321
131132
2322
131231
333332323131
333332323131
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
2626
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama|A|
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
2322
131231
3332
131221
3332
232211
313121211111
313121211111
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
2727
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga|A|
2321
131132
3331
131122
3331
232112
323222221212
323222221212
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
MaMaMacacaca
2221
121133
3231
121123
3231
222113
333323231313
333323231313
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
MaMaMa
cacaca
DET MATRIKS SEGITIGADET MATRIKS SEGITIGA
2828
Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
dstaaaA 332211)det(
1296496)3(2)det( A
TRANSPOSE MATRIKS
2929
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh Aͭ dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
Contoh : matriks A : berordo 2 x 3
transposenya : berordo 3 x 2
314131
A
311341
tA
TRANSPOSE MATRIKS
3030
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
TT
TTT
TT
TTT
kAkA
ABAB
AA
BABA
).(4
).(3
).(2
).(1
TRANSPOSE MATRIKS
3131
Pembuktian aturan no1 :
232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
babababababa
bbbbbb
aaaaaa
BA
232221
131211
bbbbbb
B
232221
131211
aaaaaa
A
2313
2212
2111
aaaaaa
AT
2313
2212
2111
bbbbbb
BT
23231313
22221212
21211111
2313
2212
2111
2313
2212
2111
babababababa
bbbbbb
aaaaaa
BA TT
TERBUKTI
23231313
22221212
21211111
)(babababababa
BA T
TRANSPOSE MATRIKS
3232
Pembuktian aturan no 2 :
232221
131211
aaaaaa
A
2313
2212
2111
aaaaaa
AT
232221
131211
2313
2212
2111
)(aaaaaa
aaaaaa
A
T
TT
TERBUKTI
MATRIKS SIMETRI
3333
Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
Contoh :1. 2.
002003231
002003231
TA
A
2112
2112
TB
B
AAT
INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS
3434
1A
IAA 1
dcba
A
acbd
bcadA 11
INVERS MATRIXINVERS MATRIX
3535
Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :- Cari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga menjadi- Cari adjoin matriks- Gunakan rumus
TM
))(()det(
11 MadjoinM
M
INVERS MATRIXINVERS MATRIX
3636
Contoh Soal :
- Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1- Transpose matriks M
065410321
M
043612501
TM
INVERS MATRIXINVERS MATRIX
3737
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya
- Hasilnya :
==> ==>
1454152051824
1454152051824
INVERS MATRIXINVERS MATRIX
3838
Hasil Adjoinnya :
Hasil akhir
1454152051824
1454152051824
111M
1454152051824
REFERENSIREFERENSI
3939
1. Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition; 2007
2. http://p4tkmatematika.org/3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php