bai giang li thuyet mach

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2

Giáo viên: TS. Nguyễn Việt Sơn

Bộ môn: Kỹ thuật đo và Tin học công nghiệp

C1 - 108 - Đại học Bách Khoa Hà Nội

- 2010 -

Cơ sở kỹ thuật điện 2 2


Nội dung chƣơng trình:

Chƣơng 1: Khái niệm về mạch phi tuyến.

I. Khái niệm về mạch phi tuyến.

II. Tính chất mạch phi tuyến.

III. Tuyến tính hóa - Quán tính hóa phần tử phi tuyến.

IV. Phương pháp xét mạch phi tuyến.

Chƣơng 2: Chế độ xác lập hằng trong mạch phi tuyến.

I. Khái niệm chung.

II. Phương pháp đồ thị.

III. Phương pháp dò.

IV. Phương pháp lặp




Chƣơng 3: Chế độ xác lập dao động trong mạch phi tuyến


II. Phương pháp đồ thị với giá trị tức thời.

III. Phương pháp cân bằng điều hòa.

IV. Phương pháp điều hòa tương đương.

V. Phương pháp dò.

VI. Phương pháp tuyến tính hóa quanh điểm làm việc.

Chƣơng 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.


II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phương pháp sai phân liên tiếp.

IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).




Chƣơng 5: Lý thuyết về mạch có thông số dải - Đƣờng dây dài đều tuyến tính.

I. Mô hình đường dây dài đều.

II. Chế độ xác lập điều hòa trên đường dây dài.

III. Quá trình quá độ trên đường dây dài không tiêu tán.



Tài liệu tham khảo:

1. Cơ sở kỹ thuật điện 1 & 2 - Nguyễn Bình Thành - Nguyễn Trần Quân - Phạm Khắc

Chương - 1971.

2. Cơ sở kỹ thuật điện - Quyển 1 - Bộ môn Kỹ thuật đo và Tin học công nghiệp - 2004

3. Giáo trình lý thuyết mạch điện - PGS - TS. Lê Văn Bảng - 2005.

4. Fundamentals of electric circuits - David A.Bell - Prentice Hall International

Edition - 1990.

5. Electric circuits - Norman Blabanian - Mc Graw Hill - 1994.

6. Methodes d’etudes des circuit electriques - Fancois Mesa - Eyrolles - 1987.

7. An introduction to circuit analysis a system approach - Donald E.Scott - Mc

Graw Hill - 1994.

http://www.mica.edu.vn/perso/Nguyen-Viet-Son/Ly-Thuyet-Mach/




















Chƣơng 1: Khái niệm về mạch phi tuyến


II. Tuyến tính hóa - Quán tính hóa phần tử phi tuyến.

III. Tính chất mạch phi tuyến.

IV. Phƣơng pháp xét mạch phi tuyến.

Bài tập: 1 - 4, 6, 7, 8 - 13.





I.1. Mạch và hệ phƣơng trình mạch phi tuyến.

I.2. Phần tử mạch phi tuyến.

I.3. Hàm đặc tính của phần tử phi tuyến.







Sơ đồ mạchLuật

6000( )c

mf

E(x, y, z, t), H(x,y,z,t) …

Thiết bị điện

Mạch hóa

Mô hình trƣờngMô hình hệ thống

u(t), i(t), p(t) …

Mô hình mạch

(năng lƣợng) Kirchoff

Mô hình mạch

tín hiệu

Hệ phƣơng trình

toán học

gtb >> gmoi truong

Hữu hạn các trạng thái.

l << λ

Luật Kirchoff 1, 2

Luật bảo toàn công suất

Luật Ohm

Xét sự truyền đạt năng lƣợng

giữa các thiết bị điện

Hình vẽ mô phỏng

thiết bị điện

Cơ sở kỹ thuật điện 2



9

Mô hình mạch phi tuyến là mô hình mạch mà quá trình xét được mô tả bởi một hệ

phương trình vi tích phân phi tuyến trong miền thời gian.

11 1 2

1 2

( , ,..., , )

...

( , ,..., , )

n

nn n

dxf x x x t

dt

dxf x x x t

dt

Trong mạch điện, ta có:

Biến trạng thái x1, …, xn là dòng điện, điện áp, từ thông, điện tích …

f1, …, fn là các kích thích, hàm phi tuyến.

t biến độc lập thời gian



I.2. Phần tử mạch phi tuyến.

10

Phần tử mạch phi tuyến là một phần tử của mạch điện mà quan hệ các trạng thái trên đó

là một phương trình (hệ phương trình) vi tích phân phi tuyến.

Điện trở phi tuyến:

R(i)

u,rR(i)

u(i)

i

0

u(t) = R(i).i(t)

Cuộn dây phi tuyến: Tụ điện phi tuyến:

L(i) C(u)

ψ,L

L(i)

ψ(i)

i

0

C,q

C(u)

q(u)

u

0

( ) ( ) ( )( ) .

( )( ) ( ).

L

L

t i di tu t

t i dt

di tu t L i

dt

( ) ( ) ( )( ) .

( )( ) ( ).

C

C

q t q u du ti t

t u dt

du ti t C u

dt




11

Để thuận tiện cho tính toán, khảo sát, cần phân tích phương trình trạng thái các phần tử,

xác định rõ những quan hệ hàm đặc trưng (hàm đặc tính) của quá trình mỗi phần tử.

Tính chất, đặc điểm

quá trình mạch

Hệ phƣơng trình

toán học

(Bộ các toán tử)

Phần tử + Kết cấu

mạch

Có 2 loại hàm đặc tính:

Đặc tính trạng thái: Nói lên quan hệ giữa 2 trạng thái của cùng một phần tử phi

tuyến.

Ví dụ: u = u(i), ψ = ψ(i), q = q(u), …

Đặc tính hệ số: Nói lên tính chất và quá trình của thiết bị điện (tuyến tính hay phi

tuyến, phi tuyến nhiều hay ít, đối xứng hay không đối xứng …)




12

Với một phần tử phi tuyến:

Định nghĩa những hàm đặc tính (đặc tính trạng thái hay đặc tính hệ số).

Tìm cách đo và biểu diễn chúng:

Bảng số.

Đồ thị.

Hàm giải tích.

Có 2 loại đặc tính hệ số:

d

yK

x

β

x

y

Hệ số động:

Ví dụ: ( ) ( ). ( ).

d i i di diL i

dt i dt dt

Hệ số tĩnh:( )

t

y xK

x

α

Ví dụ:( ) ( )

( ) ; ( ) ,...t t

u i q ur i c u

i u




13

Đặc tính dạng đồ thị:

Ví dụ: Cho một diode

A

V

0,80,60,40,20

0,4

0,3

0,2

0,1

Đặc tính dạng bảng số:

U(V) 0 0,2 0,4 0,6 0,8

I(A) 0 0,01 0,02 0,05 0,1

Đặc tính dạng giải tích:2. .I aU bU

Bằng cách coi đặc tính gần đúng đi qua 2 điểm B(0,2 ; 0,01) và C(0,8 ; 0,1)

2

2

0,2. 0,2 . 0,01 a = 0,025

b = 0,1250,8. 0,8 . 0,1

a b

a b

2 0,025. 0,125.I U U

KA




I. Khái niệm về mạch phi tuyến - Phần tử phi tuyến.


II.1. Tuyến tính hóa.

II.2. Quán tính hóa phần tử phi tuyến.





II.1. Tuyến tính và phi tuyến

15

Hệ phƣơng trình vi

tích phân phi tuyến

Hệ thống phi tuyến(đặc tính các phần tử phi

tuyến)

Hệ thống phi tuyến nhiều nếu trong phạm vi làm việc, đoạn đặc tính trạng thái khác xa

với đường thẳng (hoặc đặc tính hệ số động biến thiên nhiều so với giá trị hằng (ngược lại

ta có hệ thống phi tuyến ít).

Trong 1 hệ thống, đặc tính phi tuyến của 1 phần tử có thể (hoặc không) quyết định tính

phi tuyến nhiều / ít của hệ thống.

Tuyến tính hóa:

Đặc tính phi tuyến: Coi đoạn đặc tính làm việc gần với 1 đoạn thẳng.

Phương trình toán học: Coi gần đúng số hạng phi tuyến trong phương trình là tuyến

tính hoặc triệt tiêu số hạng phi tuyến (phương trình tuyến tính suy biến)



II.2. Quán tính hóa phần tử phi tuyến

16

Tính quán tính nói lên độ tức thì của 1 quá trình khi có sự thay đổi trạng thái.

Phần tử có quán tính là phần tử có các thông số phi tuyến theo giá trị hiệu dụng

và tuyến tính theo giá trị tức thời

Ví dụ: Xét quá trình nhiệt của bếp điện, lò nung cao tần …

Phương pháp xét phần tử phi tuyến có quán tính được gọi là phương pháp quán

tính hóa (phương pháp điều hòa tương đương).




I. Khái niệm về mạch phi tuyến và phần tử phi tuyến.






III. Tính chất của mạch phi tuyến

18

Không có tính chất của mạch tuyến tính

Tính chất tuyến tính

Tính chất xếp chồng

Tính tạo tần

Có nhiều tính chất đặc biệt khác

Ví dụ: Tính chất đa trạng thái, tính chất tự dao động phi tuyến, ….




I. Khái niệm về mạch phi tuyến và phần tử phi tuyến.






IV. Các phƣơng pháp xét mạch phi tuyến

20

Phương pháp giải tích:

Biểu diễn đặc tính phi tuyến bằng những hàm giải tích phù hợp.

Tìm nghiệm dưới dạng các chuỗi hàm.

Ví dụ: Phương pháp cân bằng điều hòa, phương pháp biên pha biến thiên chậm, phương

pháp tham số bé …

Phương pháp đồ thị:

Sử dụng đường cong phi tuyến để tìm nghiệm dưới dạng đồ thị.

Thường dùng để giải các mạch đơn giản (không quá cấp 2).

Phương pháp số:

Sử dụng các thuật toán, chương trình để tính nghiệm dạng xấp xỉ, bảng số …

Cho phép tính nghiệm đến độ chính xác tùy ý.

Ví dụ: Phương pháp dò, phương pháp lặp, phương pháp sai phân liên tiếp …





II. Phƣơng pháp đồ thị.

III. Phƣơng pháp dò.

IV. Phƣơng pháp lặp

Bài tập: 1, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 17, 18 + bài thêm






III.Phƣơng pháp dò.



Chƣơng 2: Chế độ xác lập hằng trong mạch phi tuyến

I. Khái niệm chung

23

Xét mạch phi tuyến có kích thích hằng, vậy đáp ứng trong mạch có 2 trạng thái:

Dao động chu kỳ (tự dao động phi tuyến). Không xét

Trạng thái hằng (dừng).

),,...,(

...

),,...,(

),,...,(

21

.

212

.

2

211

.

1

txxxfx

txxxfx

txxxfx

nnn

n

n

0),...,(

...

0),...,(

0),...,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxf

xxxf

Chế độ dừng

0,0 dt

dt



Hệ phƣơng trình đại

số phi tuyến

Mạch phi tuyến ở chế độ xác lập hằng là mạch phi tuyến thuần trở.

Phương pháp giải: Phương pháp đồ thị, phương pháp dò, phương pháp lặp.



II. Phƣơng pháp đồ thị

25

Sử dụng các phép đồ thị để giải hệ phương trình đại số phi tuyến.

Nội dung:

Biểu diễn các quan hệ hàm dưới dạng đồ thị

Thực hiện các phép đại số (cộng, trừ) các quan hệ hàm.

Thực hiện phép cân bằng các quan hệ hàm.

Ƣu, nhƣợc điểm:

Cho kết quả nhanh.

Sai số nghiệm lớn.

Chỉ thực hiện đối với các bài toán đơn giản.




26

Ví dụ 1: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập hằng. Đặc tính phi tuyến của điện trở

phi tuyến cho như hình vẽ. Tìm dòng điện, điện áp trên các phần tử. R=10Ω

E=30V

U(I)

V

A

43210

40

30

20

10

Giải: Lập phương trình mạch: E = UR + U(I) = R.I + U(I)

Phương pháp trừ đồ thị:

1. E - R.I = U(I) 30 - 10I = U(I)

M

%667,1%100.30

305.29%

*

E

EE

2. Điểm cắt: M(0.85A ; 21V)

3. Sai số: E* = 0.85.10 + 21 = 29.5(V)




27

R=10Ω

E=30V

U(I)

V

A

43210

40

30

20

10

Giải: Lập phương trình mạch: E = UR + U(I) = R.I + U(I)

Phương pháp cộng đồ thị:

N Nhận xét:

Trong trường hợp này, phương pháp trừ đồ

thị cho kết quả chính xác hơn phương pháp

cộng đồ thị.

1. E = R.I + U(I) 30 = 10.I + U(I)

2. Điểm cắt: N(0.85A ; 30V)

Ví dụ 1: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập hằng. Đặc tính phi tuyến của điện trở

phi tuyến cho như hình vẽ. Tìm dòng điện, điện áp trên các phần tử.




28

A

V

806040200

2

1.5

1

0.5

Lập phương trình mạch:

ab

ab

UUU

EUU

III

32

1

321

Cộng dòng: )()()( 321 ababab UIUIUI

Cộng áp: )()( 111 IUIUE ab

Đọc kết quả:

)(21

)(58

)(3.1

1

1

VU

VU

AI

ab

)(25.0

)(1

3

2

AI

AI

E=80V

U1(I1)

U2 (I

2 )

U3 (I

3 )

B

AGiải: Phương pháp cộng đồ thị

Ví dụ 1: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập hằng. Đặc tính phi tuyến của các

điện trở phi tuyến cho như hình vẽ. Tìm dòng điện, điện áp trên các phần tử.




29

A

V

129630

4

3

2

1

Giải:

U2(I2)

U3(I3)

Lập phương trình mạch:1 2 3

1 AB

I I I

E RI U

Cộng dòng: )()()( 321 ababab UIUIUI

Trừ áp: 1 1 1( ) 12 3abU I E RI I

Đọc kết quả:

1 2,5( )

4,2( )ab

I A

U V

2

3

2,1( )

0.25( )

I A

I A

Ví dụ 3: Cho mạch điện như hình vẽ biết đặc tính phi tuyến của điện trở phi tuyến

R2 và R3 cho như hình vẽ. Tính dòng điện các nhánh theo phương pháp đồ thị

E=12V

U2 (I

2 )

U3 (I

3 )

B

A1 3R

UAB(I1)

12 - 3I1


11

1( ).

k kk k k n nn n k k

x xx x f f

f f


III. Phƣơng pháp dò

31

Thuật toán:


Phù hợp với mạch phức tạp nối dạng xâu chuỗi.

Tính nhanh, cho phép tính đến sai số nhỏ tùy ý.

Có thể sử dụng máy tính để tính nghiệm (sử dụng hệ “chuyên gia”).

cy

k

f

ff.

Cho xk

n

Tính kích thích

fkNghiệm

Đúng

Sai




32

Các bước dò:

E=12V

U2 (I

2 )

U3 (I

3 )

B

A 31R

A

V

129630

4

3

2

1

U3(I3)

15

Tra U3(I3)

Kết quả dò:

n Uab I2 I3 I1 Etính = R1.I1 + Uab

Sai số:11,85 12

% 100% 1,25%12

Ví dụ 3: Cho mạch điện biết đặc tính phi tuyến của điện trở phi

tuyến R2 và R3 cho như hình vẽ. Tính dòng điện các nhánh

theo dò

Cho Uab

Tính I1 = I2 + I3 ; Etính = R1.I1 + Uab

So sánh Etính và Echo= 12V

I3

I2

3V1 1.95A 9.45V2.15A0.2A

4.5V3 2.2A 11.85V2.45A0.25A

6V2 2.45A 14.85V2.95A0.5A




33

Ví dụ 2: Cho mạch điện: R1 = R2 = 4Ω, R3 = 8Ω, R4 =

10Ω, E = 15V. Tính dòng I5 theo phương pháp dò.

A

V

43210

0.8

0.6

0.4

0.2

U5(I5)

Tra U5(I5)

n I5 U5 I4 I3 U3 UAC I2 I1 Etính

1 0.4 3 0.3 0.7 5.6 8.6 2.15 2.85 20V > 15V

2 0.2 2.5 0.25 0.45 3.6 6.1 1.53 1.98 14V < 15V

3 0.25 2.6 0.26 0.51 4.08 6.68 1.67 2.18 15.4V

E

BA

R1R5

R2

R3

R4

Cách 1: Dò trực tiếp từ sơ đồ mạch

C

Cho I5 U55

4

4

UI

R 3 4 5I I I 3 3 3U I R

3 5ACU U U

2

2

ACUI

R

1 2 3I I I 1 1tÝnh ACE R I U

Sai số:15.4 15

% 100% 2,67%15

I1

I4

I5

I2

I3




34

Ví dụ 2: Cho mạch điện: R1 = R2 = 4Ω, R3 = 8Ω, R4 = 10Ω, E = 15V.

Tính dòng I5 theo phương pháp dò.

A

V

43210

0.8

0.6

0.4

0.2

U5(I5)

Kết quả dò:

n I5 U5 Etính

1 0.4A 3V 5V > 3.75V

2 0.2A 2.5V 3.5V < 3.75V

3 0.25A 2.6V 3.85V > 3.75V

Ehở

Rv

R5

Cách 2:

4 1 2 3/ / / /vR R R R R 5vR

4

3 4

3.75hëAE R V

R R

1 2 3 4 1

1 1 16.75A A

EV

R R R R R

Lập phương trình: 5 5( )hë vE R I U I

Tra U5(I5)Cho I5 U5 5 5 5( )tÝnh vE R I U I

Biến đổi mạch theo sơ đồ Thevenil:

Sai số:

3.85 3.75% 100% 2,67%

3.75




35

Ví dụ 3: Cho mạch điện biết J = 12A (1 chiều), E =

20V (1 chiều), R = 30Ω. Mạng 2 cửa thuần trở có bộ

số: A11 = 1.1 ; A12 = 20 ; A21 = 0.5 ; A22 = 10. Phần tử

phi tuyến có đặc tính cho theo bảng:

Giải:

J

A

I1A

U1A

I2A

U2A

R

EU(I)

I(A) 0 0.5 1 1.5 2 2.2

U(V) 0 7 10 14 20 25

Tính dòng chảy qua điện trở phi

tuyến.

Biến đổi mạng 2 cửa + nguồn dòng sơ đồ Thevenil

1

2 22

2 210

1020

0.5

Avao

A I

U AR

I A

2

1 12

21 210

1224( )

0.5th ho

I

I JE U V

A A

Eth

R

EU(I)

Rvao

24 20

20 30 22,4( )1 1 1 1

20 30

th

vaoTD

vao

E E

R RE V

R R

. 20.3012

20 30

thTD

th

R RR

R R




36

Phương trình dò:

Eth

R

EU(I)

Rvao

. ( )TD TDE R I U I

I(A) 0 0.5 1 1.5 2 2.2

U(V) 0 7 10 14 20 25

I(A) RTD.I Etính = RTD.I + U(I)

0.5 6 13V < 22.4V

1 12 22 < 22.4V

1.5 18 32 > 22.4V

22,4( )TDE V

12TDR

Áp dụng công thức nội suy tuyến tính:

1.5 11.5 (22.4 32). 1.02( )

32 22I A

Vậy dòng điện chảy qua điện trở phi tuyến là: I = 1.02(A)







IV. Phƣơng pháp lặp.



III. Phƣơng pháp lặp

38

Nội dung phƣơng pháp:

Biểu diễn quá trình mạch Kirhoff theo phương trình phi tuyến dạng:

x = φ(x)

Cho một giá trị của x0 tính giá trị x1 = φ(x0)

Thay giá trị x1 để tính giá trị x2 = φ(x1)

Quá trình tính lặp dừng khi xn- xn-1 nhỏ hơn sai số cho trước.




39

Nội dung phƣơng pháp:

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y = φ(x)

y

x

0

y = φ(x)

x = φ(x)

Nghiệm là hoành độ giao điểm:

Đường thẳng y = x

Đường cong y = φ(x)

Điều kiện hội tụ : Trong miền các

giá trị lặp xk, trị tuyệt đối độ dốc

đường y = φ(x) nhỏ hơn độ dốc

đường y = x.

|φ’(x)| < 1




40

Thuật toán:


Cần kiểm tra điều kiện hội tụ của phép lặp.

Tính nhanh, cho phép tính đến sai số nhỏ tùy ý.

Có thể lập trình cho máy tính để tính nghiệm tự động.

Cho xk Tính

xk+1 = φ(xk)Nghiệm

x = xk+1

Đúng

Sai

1

.

( ) ( )

( )

k k

y ck

x x

x

xk = xk+1




41

Ví dụ: Cho mạch điện gồm điện dẫn tuyến tính g = 0.2(Si) mắc nối tiếp với phần tử

phi tuyến có đặc tính u(i) = 2i2. Nguồn cung cấp một chiều E = 10V. Dùng phương

pháp lặp để tính các giá trị dòng áp trong mạch.

Chọn biến lặp i: u = Ri + 2i2 10 = 5i + 2i2

i = - 0.4i2 + 2

Giải: Lập phương trình mạch: u = u(i) + ug

Kết quả lặp:

k ik ik+1 = 2 – 0,4.ik2 |∆ik| = |ik+1 - ik|

0 1(A) 1,6(A) 0,6(A)

1 1,6(A) 0,976(A) 0,624(A)

2 0,976(A) 1,619(A) 0,643(A)

3 1,619(A) 0,952(A) 0,667(A)

4 0,952(A) … …Không hội tụ

Điều kiện hội tụ:

0,8 1d

idx

0 1,25i




42

Ví dụ: Cho mạch điện gồm điện dẫn tuyến tính g = 0.2(Si) mắc nối tiếp với phần tử

phi tuyến có đặc tính u(i) = 2i2. Nguồn cung cấp một chiều E = 10V. Dùng phương

pháp lặp để tính các giá trị dòng áp trong mạch.

Chọn biến lặp u1: u = u1 + 2i2 10 = u1 + 2(u1 / R)2

u1 = 10 – 0,08. u12


Kết quả lặp:

k uk uk+1 = 10 – 0,08.uk2 |∆uk| = |uk+1 - uk|

0 6(V) 7,12(V) 1,12(V)

1 7,12(V) 5,945(V) 1,176(V)

2 5,945(V) 7,173(V) 1,228(V)

3 7,173(V) 5,884(V) 1,289(V)

4 5,884(V) … …Không hội tụ

Điều kiện hội tụ:

1

( )0,16 1

d xu

dx

10 6,25u




43

Chọn biến lặp u:


Kết quả lặp:

Hội tụ

2

( )

22

u Ri u i

uu i i

10 5 10 52 2

u uu u

k uk uk+1 = 10 – 5.sqrt(uk/2) |∆uk| = |uk+1 - uk|

0 3,2(V) 3,67(V) 0,47(V)

1 3,67(V) 3,23(V) 0,44(V)

2 3,23(V) 3,65(V) 0,42(V)

3 3,65(V) 3,24(V) 0,41(V)

4 3,24(V) 3,64(V) 0,40(V)

5 3,64(V) 3,25(V) 0,39(V)

6 3,25(V) 3,63(V) 0,38(V)

7 3,63(V) 3,26(V) 0,37(V)





II. Phƣơng pháp đồ thị với giá trị tức thời.

III. Phƣơng pháp cân bằng điều hòa.

IV. Phƣơng pháp điều hòa tƣơng đƣơng.

V. Phƣơng pháp tuyến tính hóa quanh điểm làm việc.

Bài tập: 2, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 16 + bài thêm


Chƣơng 3 : Chế độ xác lập dao động

trong mạch phi tuyến


Xét mạch phi tuyến làm việc ở chế độ dao động xác lập:

Kích thích không chu kỳ tự dao động phi tuyến.

Kích thích chu kỳ dao động cưỡng bức.

45

),,...,(

...

),,...,(

),,...,(

21

.

212

.

2

211

.

1

txxxfx

txxxfx

txxxfx

nnn

n

n



Chế độ xác lập dao động



.

1 1 1 2

.

2 2 1 2

.

1 2

( , ,... , )

( , ,... , )

...

( , ,... , )

n

n

n n n

x f x x x t

x f x x x t

x f x x x t

Phƣơng pháp giải: Đồ thị với giá trị tức thời ; Cân bằng điều hòa ; Điều hòa tương

đương ; Phương pháp dò ; Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc.




II. Phƣơng pháp đồ thị với giá trị tức thời

Nội dung: Thực hiện bằng đồ thị những phép đại số và giải tích (đạo hàm, tích phân …)

trên các biến thời gian và những hàm đặc tính nhằm giải hệ phương trình vi tích phân phi

tuyến của mạch.

Ví dụ: Cho mạch điện gồm 1 điện trở R = 50 Ω mắc song song với một diode biết đặc

tính V-A như hình vẽ. Dòng điện iAB(t) = 0,2.sin1000t (A). Vẽ điện áp uAB(t)

47

A

B

uR(t)ud(t)

iAB(t)

id(t)

u(t)

5 10

iAB(t)

0.1

0.2

T/4T/8 3T/8

T/2 3T/4 7T/85T/8

T/8

T/4

3T/8

T/2

5T/8

3T/4

7T/8

T

T

t

t

ud(t) uR(t)

uAB(t)

iAB(t)iR(t)

0.2

0.1

0

0




III. Phƣơng pháp cân bằng điều hòa

Phương pháp cân bằng điều hòa thường sử dụng xét :

Mạch tự dao động xác lập (không có kích thích chu kỳ)

Mạch dao động phi tuyến kích thích chu kỳ.

49

1 1

( ) .cos .sinn n

k kx t A k t B k t

Nội dung:

Xét hệ phi tuyến có kích thích chu kỳ với tần số cơ bản ω mô tả bởi hệ vi phân :

f(x, x’, x’’, …, t) = 0

Chú ý: Cần vận dụng các tính chất của mạch (mạch thuần trở, thuần kháng …)

để đơn giản hóa việc đặt nghiệm.

Đặt nghiệm cần tìm dạng các hàm điều hòa bội (đến cấp cần thiết) của ω:

Thay nghiệm x(t) vào phương trình mạch và áp dụng nguyên tắc cân bằng điều hòa

để tính các giá trị biên độ hiệu dụng Ak, Bk.


Đặt nghiệm:




Ví dụ 1: Điện cảm có đặc tính phi tuyến ψ(i) = 2.i – 3,75.i3. Dùng

phương pháp cân bằng điều hòa tính điều hòa bậc 1 và bậc 3 của

áp u(t) nếu biết dòng i(t) = 0,5sin314t (A)

50

2( ) . ( ) . . ( ) 100 2 ' 11,25 '(*)d i

u t R i t R i u t i i i idt i t

Giải:

Lập pt mạch:

Ψ(i)u(t)

R = 100

2 2 2

2

( ) 0,5sin 314 ( ) ' 157cos(314 )( )

' 0,25.157sin 314 . os314 39,25(1 os 314 ) os314

' 9,8125cos314 9,8125cos942

i t t A i t A

i i t c t c t c t

i i t t

( ) Asin314 cos314 sin942 cos942u t t B t C t D t

Thay vào phương trình (*):

50sin314 203,58cos314 110,39cos942VP t t t

50

203,58

0

110,39

A

B

C

D

Vậy nghiệm:

( ) 50sin314 203,58cos314 110,39cos942 ( )u t t t t V


Đặt nghiệm: i(t) = Amsinωt + Bmcosωt




Ví dụ 2: Xét mạch điện nối tiếp bởi cuộn dây tuyến tính L1 = 0,5H

và một cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = a.i – b.i3 =0,5.i –

0,01.i3 với -4A < I < 4A. Cho u(t) = 300.cos314t (V). Tìm hàm

điều hòa cơ bản của dòng điện xác lập trong mạch.

51

L1 Ψ(i)u(t)

1 2

'

1

' 2 ' ' 2 '

1

( ) ( ) ( ) . . ( )

. ( 3. . ). ( ) 0,03. . 300.cos

L L

iu t u t u t L i u t

i t

L i a b i i u t i i i t

Giải:

Lập phương trình vi tích phân của mạch:

Thuần cảm

i’ = ω.Im.cosωt i2.i’ = ω.Im3.sin2(ωt).cos(ωt) = 0,5.ωIm

3.sin(2ωt).sin(ωt)

i2 = Im2.sin2ωt i2.i’ = 0,25.ωIm

3.[cos(ωt) - cos(3ωt)]

i(t) = Amsinωt


Thay vào phương trình:

ω.Im.cosωt – 0,03.0,25.ωIm3.[cos(ωt) - cos(3ωt)] = 300.cos(ωt)




52

L1 Ψ(i)u(t)

Giải:

Cân bằng điều hòa cùng cấp:

ω.Im – 0,0075.ω.Im3 = 300

3,26. Im3 – 314.Im + 300 = 0

Giải phương trình ta có: I1m = 0,96 (A) ; I2m = 11 (A) ; I3m = 12 (A)

Vậy dòng điện trong mạch là:

i(t) = 0,96.sin(314t) (A)




IV. Phƣơng pháp điều hòa tƣơng đƣơng

Phương pháp điều hòa tương đương dùng để giải bài toán phần tử phi tuyến có

quán tính:

Với trị tức thời ~ có thể coi phần tử phi tuyến có quán tính như phần tử tuyến tính.

Với kích thích điều hòa đáp ứng rất gần với điều hòa.

Bỏ qua hiện tượng tạo tần số có thể lập phương trình phức với trị hiệu dụng.

54

C Ψ(i)

u(t) = Umsin(ωt)

. . .

L C

L C

U U U

U U U

.

LU

.

CU

.

I

1. Phƣơng pháp đồ thị với trị hiệu dụng:

Ví dụ 1: Xét mạch thuần kháng gồm tụ điện C mắc nối tiếp với một cuộn dây phi tuyến có

quán tính cung cấp bằng 1 nguồn áp điều hòa.

Phương trình mạch:






Từ phương trình, ta có đồ thị dạng chữ N.

55

C Ψ(i)

u(t) = Umsin(ωt)

U

I

43210

40

30

20

10

C

L phi tuyến

. . .

L C

L C

U U U

U U U

c

a

b

Hiện tượng trigơ dòng (đa trạng thái dòng):

Tăng áp liên tục từ 0 ∞:

Dòng tăng từ điểm 0 a.

Dòng nhảy từ a c.

Dòng tăng liên tục từ c ∞.

Giảm áp liên tục từ ∞ 0:

Dòng giảm từ ∞ c b.

Dòng nhảy từ b ~ 0 (do có điện áp rơi

trên điện trở của cuộn dây).

Tính chất:

Đa trạng thái về dòng điện: một giá trị áp có 2 - 3 trạng thái dòng.

Tồn tại 2 trạng thái ổn định của áp: 1 khi áp tăng, 1 khi áp giảm.

Tăng (giảm) dòng liên tục từ 0 ∞ (∞ 0): Ta thu được toàn bộ đặc tính chữ N.






Ví dụ 2: Xét mạch thuần kháng gồm tụ C mắc song song với

một cuộn dây phi tuyến có quán tính.

Phương trình mạch:

56

. . .

; L C L CI I I I I I .

CI

.

LI

.

U

C

Ψ(i)

U

I

43210

40

30

20

10

C

L phi tuyếnc

a

b

Hiện tượng trigơ áp (đa trạng thái áp):

Tăng dòng liên tục từ 0 ∞:

Áp tăng từ điểm 0 a.

Áp nhảy từ a c.

Áp tăng liên tục từ c ∞.

Giảm dòng liên tục từ ∞ 0:

Áp giảm từ ∞ c b.

Áp nhảy từ b ~ 0.

Tăng (giảm) áp liên tục từ 0 ∞ (∞ 0):

Ta thu được toàn bộ đặc tính.

Tính chất:

Đa trạng thái về điện áp.

Tồn tại 2 trạng thái ổn định của dòng.





2. Phƣơng pháp dò phức:

Nội dung:

Thuật toán dò giống với phép dò đã xét.

Thực hiện phép dò với các đại lượng phức.

57

Sai

NghiệmĐúng

Cho .

k

nXTính kích thích.

kF

. .

..

k

y c

F F

F

Chú ý: Trong phương pháp dò phức, nói chung góc pha của các đại lượng phức được

hiệu chỉnh sau khi dò.






Ví dụ 1: Cho mạch điện, biết phần tử phi tuyến có quán tính có đặc tính như

hình vẽ. Biết , tụ điện tuyến tính C = 20μF.

Tìm điện áp trên các phần tử.

Giải:

58

A

V

129630

4

3

2

1

UR(IR)

15

. . .

. . .

2 2

ABR L

C R L

C R L

U U U

I I I

I I I

.

ABU.

RI.

LI

.00 ( )AB ABU U V

Tra đồ thị.

0

.0

0 ( )

90 ( )

R R

L L

I I A

I I A

2 2

.0 :

C R L

C C L

R

I I I

I I Iarctg

I

. .

. . .

1.

. .C C

ABC

U Ij C

U U U

So sánh .0130 30tinhU

A

B

u(t)

UL(I)UR(I)

C

3 0( ) 130 2 sin(10 30 )( )u t t V

Các bước dò:

Cho

Tính Tính







Bảng kết quả dò:

59

A

V

129630

4

3

2

1

UR(IR)

15

A

B

u(t) UL(I)

UR(I)

C

n UAB(V) IL(A) IR(A) So sánh

1

2

3

.

( )tinhU V.

( )CU V.

( )CI A

2,35 77,74 117,5 167,74 111,64 167,09

3,28 52,43 164 142,43 156,97 140,43

2,69 68,2 134,5 158,2 127,59 156,93

6 0

9 0

7,5 0

2,3 90

2,6 90

2,5 90

0,5 0

2 0

1 0

127,59 130% 1,85%

130

tinh cho

cho

U U

U

Hiệu chỉnh góc pha:

.

130 30( )U V

.

.

7,5 186,93( )

134,5 28,73( )

AB

C

U V

U V

. .

2,5 96,93( ) ; 1 186,93( )RLI A I A .

2,69 118,73( )CI A

130V

130V

~130V






Ví dụ 2: Cho mạch điện, biết nguồn điều hòa E1 = 20V, ω = 5 rad/s,

R1 = 20Ω, R2 = 10Ω, ZC = -j10Ω. Cuộn dây phi tuyến có đặc tính phi

tuyến theo trị hiệu dụng cho theo bảng. Tính công suất phát của

nguồn và công suất tiêu tán trên R1, R2.

60

.00L LI I

Các bước dò:

Cho

Giải:

.090LU I

I

Ψ 0 0.6 0.9 1.4 2

I(A) 0 0.25 0.5 0.75 1

.0

2 2 0R LU R I . . .

2C R LU U U .

.C

C

C

UI

Z

. . .

1 2R R CI I I . . .

1 11. R CE R I U tÝnh


n.

LI.

LU.

2RU.

CU.

CI.

1RI.

1E tÝnh

00.5 004.5 90

05 0 06.73 41.99 00.67131.99 00.5 84.06 015.7167.39

00.75 007 90

07.5 0 010.26 43.03 01.03133.03 00.75 86.41 023.56 69.012

1






.

61

Áp dụng công thức nội suy tuyến tính:

Giải:


n

1

2

.

LI.

LU.

2RU.

CU.

CI.

1RI.

1E tÝnh

00.5 004.5 90

05 0 06.73 41.99 00.67131.99 00.5 84.06 015.7167.39

00.75 007 90

07.5 0 010.26 43.03 01.03133.03 00.75 86.41 023.56 69.01

0,75 0,5

20 15,71 0,5 0,6423,56 15,71

LI

7 4,5

0,64 0,5 4,5 5,90,75 0,5

LU

;

00.64 005.9 90

06.4 008.7 42.67 00.87132.67 00.64 85.53 020.1168.413

Công suất phát của nguồn:

1 1 11 1 cos 20,11.0,64.cos 68,41 85,53 12,30( )E E IP E I W

Công suất tiêu tán trên điện trở:

1 1

22

1 20.0,64 8,19( )R RP R I W 2

22

2 10.0,64 4,10( )LR RP R I W




V. Phƣơng pháp tuyến tính hóa quanh điểm làm việc

1. Khái niệm:

Phương pháp tuyến tính hóa là phương pháp tìm cách thay thế đặc tính phi tuyến của một

phần tử phi tuyến bằng một hay nhiều đoạn thẳng tuyến tính (phần tử tuyến tính):

Tuyến tính hóa đoạn đặc tính làm việc.

Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc.

63

i

u(i)

i1 i2 i5i4i30

Quá trình tuyến tính đoạn đặc tính làm việc phải đảm bảo sai số

giữa đường cong phi tuyến và đường thẳng tuyến tính luôn nhỏ

hơn sai số yêu cầu: δk ≤ γy.c

δk

Sau khi tuyến tính hóa, trong mỗi khoảng tuyến tính hóa hoặc

tại mỗi vị trí điểm làm việc M, mạch phi tuyến được xét như

một mạch tuyến tính. i

u(i)

I0

MU





2. Nội dung:

Phương pháp tuyến tính hóa quanh điểm làm việc thường được sử dụng giải mạch phi

tuyến có nguồn kích thích chu kỳ (1 chiều + xoay chiều điều hòa các tần số) trong đó

thành phần 1 chiều có biên độ lớn hơn nhiều so với thành phần điều hòa.

64

Xét thành phần điều hòa:

Xét thành phần 1 chiều : Tìm điểm làm việc của mạch.

Gây ra dao động nhỏ xung quanh điểm làm việc.

Thay thế phần tử phi tuyến bằng hệ số động Kd.

Xét và giải mạch tuyến tính.





Ví dụ 1: Cho mạch điện biết . Điện trở phi tuyến có đặc tính U(I) như hình

vẽ. Tính dòng điện qua nhánh không nguồn.

65

A

B

e(t)25V

10mH

U(I)

20μF

3( ) 2 sin10 . ( )e t t V

V

A

0,40,30,20,10

40

30

20

10

Giải:

Xét thành phần 1 chiều: U(I) = 25V dùng phương pháp đồ thị xác

định được điểm làm việc M(0,14A ; 25V).

M

Xét thành phần xoay chiều:

Biên độ nguồn xoay chiều nhỏ hơn nhiều so với

nguồn 1 chiều dùng phương pháp tuyến tính

hóa quanh điểm làm việc.

Kẻ tiếp tuyến của đặc tính tại điểm làm việc M

Thay điện trở phi tuyến bằng hệ số động Rd

27 2246

0,2 0,09d

UR

I





66

A

B

e(t)

10mH

Rd

20μF

Giải:


Tính dòng điện trong các nhánh

.0.

. . . . .

1 00,0013 *0,0247( )

. 2,0758 *40,4513

0,0051 *0,0014( ) ; 0,0063 *0,0233( )

C

d LC

d L

LR C L C R

L

EI j A

R Z jZ

R Z

ZI I j A I I I j A

R Z

Tổng hợp nghiệm:

3 0

0 1( ) ( ) 0,14 0,0052. 2.sin(10 165 )( )Ri t i i t t A





67

( ) 50 2sin5. ( )e t t V

Giải:

Xét thành phần 1 chiều:

Ví dụ 2: Cho mạch điện biết , R1 = 10Ω, R2 =

15Ω, L = 0.1H, tụ điện phi tuyến Cx có đặc tính q = 10-3u + 10-5 u3.

Tính công suất tiêu tán trên R1, R2.

1

1 2

502( )

25

EI A

R R

Điểm làm việc của Cx :2 2 1 30( )C RU U R I V

Tuyến tính hóa tụ phi tuyến:3 5 2

30'( ) 10 10 .3 0,028( )d u

C q u u F

Xét thành phần xoay chiều:1 1

.5.0,1 0,5 ; 7,145.0,028dL CZ j L j j Z j j j

C

1 2/ / 14.12 24.61dtd C LZ R Z R Z 1 0,1 24,61R

td

EI A

Z

2 1

2

0,044 41,51d

d

C

R R

C L

ZI I A

Z R Z

1

2 210.2 10.0,1 40,10( )RP W

2

2 215.2 15.0,044 60,03( )RP W





68

( ) 50 2sin5. ( )e t t V

Giải:


Ví dụ 2: Cho mạch điện biết , R1 =

10Ω, R2 = 15Ω, L = 0.1H, tụ điện phi tuyến Cx có đặc

tính q = 10-3u + 10-5 u3. Tính công suất trên R1, R2.

1

1 2

502( )

25

EI A

R R

Điểm làm việc của Cx :

2 2 1 30( )C RU U R I V

Tuyến tính hóa tụ phi tuyến bằng hệ số động:

3 5 2

30'( ) 10 10 .3 0,028( )d u

C q u u F





69

Giải:


1 1.5.0,1 0,5 ; 7,14

5.0,028dL CZ j L j j Z j j jC

1 2/ / 14.12 24.61dtd C LZ R Z R Z

1 0,1 24,61R

td

EI A

Z 2 1

2

0,044 41,51d

d

C

R R

C L

ZI I A

Z R Z

1

2 210.2 10.0,1 40,10( )RP W 2

2 215.2 15.0,044 60,03( )RP W

( ) 50 2sin5. ( )e t t V Ví dụ 2: Cho mạch điện biết , R1 =

10Ω, R2 = 15Ω, L = 0.1H, tụ điện phi tuyến Cx có đặc

tính q = 10-3u + 10-5 u3. Tính công suất trên R1, R2.





70

( ) 2 2 sin1000 ( )e t t V

Giải:


Ví dụ 3: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập điều hòa. Biết E1 =

15V (1 chiều), C = 20μF, L = 20mH, , điện

trở phi tuyến có đặc tính cho trong bảng. Tính áp uC(t) và công suất

của nguồn.

Đoạn chứa điểm làm việc: (0.4A ; 13.5V) – (1.6A ; 16.5V)

E1 Ce2(t)

R1R2L

I(A) 0 0.4 1.6 2 2.5 3

U(V) 0 13.5 16.5 20 22 23

1.6 0.41.6 (15 16.5). 1( )

16.5 13.5I A

Điểm làm việc: (1A ; 15V)

Tuyến tính hóa điện trở phi tuyến bằng hệ số động:

16.5 13.52.5

1.6 0.4d

UR

I





71

( ) 2 2 sin1000 ( )e t t V

Giải:


Ví dụ 3: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập điều hòa. Biết E1 =

15V (1 chiều), C = 20μF, L = 20mH, , điện

trở phi tuyến có đặc tính cho trong bảng. Tính áp uC(t) và công suất

của nguồn.

E1 Ce2(t)

R1R2L

I(A) 0 0.4 1.6 2 2.5 3

U(V) 0 13.5 16.5 20 22 23

Công suất nguồn 1 chiều:

PE1 = 15.1 = 15W

.

2

.

0.2493 85.72121 1 1

LC

d C L

E

ZU

R Z Z

Vậy áp uC(t) là:

( ) 0.2493 2.sin(1000. 85.7212)( )Cu t t V

..

20.1 82.8678

( / / )L

L d C

EI

Z R Z

Công suất nguồn xoay chiều:

*. .

22 Re( . ) 0.0249( )LEP E I W





II. Phƣơng pháp tham số bé (nhiễu loạn).

III. Phƣơng pháp sai phân liên tiếp.

IV. Phƣơng pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).

Bài tập: 2, 3, 7, 13 + bài thêm.


Chƣơng 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến


73

Mạch phi tuyến (quy luật, tính chất)

Hệ phƣơng trình vi tích

phân phi tuyến

Luật

Mạch phi tuyến được mô tả bởi những hệ phương trình vi tích phân phi tuyến trong miền thời gian.

Quá trình quá độ của hệ thống nghiệm đúng hệ phương trình mới, khởi đầu từ thời điểm t = 0+.

t = t0:

Thay đổi kết cấu

thông số của mạch

Mạch phi tuyến mới (Quy luật, tính chất mới)

Hệ phƣơng trình vi tích

phân phi tuyến mới

Luật

K

K

Động tác đóng mở kết thúc một quá trình cũ và khởi đầu một quá trình quá độ hiện hành.

tQuá trình cũ Quá trình mới

0- +Quá trình quá độ Quá trình mới

xác lậpThời gian quá độ




75

Nội dung: Được sử dụng để giải các bài toán quá độ của mạch phi tuyến (tính phi tuyến

ít) có phương trình mô tả dạng:

f(x, x’, x’’, …, t) = μ.φ(x, x’, …) (*)

trong đó: f(x, x’, x’’, …) là những số hạng tuyến tính.

μ.φ(x, x’, …) là số hạng phi tuyến (ít đủ nhỏ so với số hạng tuyến tính).

Phƣơng pháp:

Tìm nghiệm của phương trình tuyến tính cốt yếu: f(x, x’, x’’, …, t) = 0 x0(t).

Đặt nghiệm của phương trình (*) dưới dạng các hàm hiệu chỉnh (số hàm hiệu chỉnh

được đặt tùy theo độ chính xác yêu cầu):

x(t) = x0(t) + μ.x1(t) + μ2.x2(t) + …

Thay vào phương trình (*) và cân bằng theo bậc của μ để tìm các hàm hiệu chỉnh.




76

Ví dụ 1: Dùng phương pháp nhiễu loạn tính dòng quá độ với 1 hàm hiệu

chỉnh trong cuộn dây lõi thép đóng vào nguồn áp E = 24V, biết đặc tính

cuộn dây: ψ(i) = 2.i – 3,75.i3, R = 50Ω.

E = 24V

Ψ(i)

R=50Ω

250. . 24 2. ' 50. 24 11,25. . ' (*) ( 11,25)i

i i i i ii t


Đặt nghiệm gần đúng với 1 hàm hiệu chỉnh: i(t) = i0(t) + μ.i1(t)

' '

0 1

2 2 2 2

0 1 0 1

' .

. 2. . .

i i i

i i i i i

Thay vào (*):

' ' 2 2 2 ' '

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

' ' 2 ' 2 3

0 0 1 1 0 0

2. 2. . 50. 50. . 24 .( . 2. . . )( . )

(2. 50. 24) .(2. 50. . ) .(...) .(...) 0

i i i i i i i i i i

i i i i i i

Cân bằng theo bậc của μ:

'

0 02. 50. 24 0i i

μ bậc 1: ' 2 '

1 1 0 02. 50. . 0i i i i

μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến)

Giải:




77

E = 24V

Ψ(i)

R=50Ω

Xét phương trình tuyến tính suy biến:

Sơ kiện: i(0) = 0; Nghiệm xác lập: i = 24/50 = 0,48(A)

2 2 . 2. .

0 0

' .

0

.(1 2. )

. .

t t

t

o

i I e e

i I e

Tra bảng Ảnh - Gốc (dùng công thức Hevixaide):

'

0 02. 50. 24 0i i

' 2 '

1 1 0 02. 50. . 0i i i i

Phương trình đặc trưng: 2.p + 50 = 0 p = -25

Nghiệm là : i0(t) = 0,48.(1 – e-25.t) (A) = I0.(1 – e-α.t) (A)

Xét phương trình μ bậc 1:

Thay vào ta có:' 3 . 2. . 3. .

1 1 02. 50. . .( 2. )t t ti i I e e e

Chuyển sang miền ảnh Laplace:3

1 0

1 2 12( ). ( ) . .( )

2. 3.p I p I

p p p

3

01 2

. 1 2 1( ) .

2 ( ) ( 2. ).( ) ( 3. ).( )

II p

p p p p p

25. 50. 75.

1( ) 0,0555. (25. 1,5). 2. 0,5.t t ti t t e e e

Vậy nghiệm của bài toán là: 25. 25. 50. 75.( ) 0,48.(1 ) 0,625. (25. 1,5). 2. 0,5.t t t ti t e t e e e




78

Ví dụ 2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình

điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện

q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq3 (α>0)

3

0

1' 0q q Rq

C Lập phương trình: uC + uR = 0

Đặt nghiệm với 1 hàm hiệu chỉnh: q(t) = q0(t) + μ.q1(t)' '

0 1' .q q q

Thay vào (*): 3' '

0 1 0 1 0 1

0

1R q q q q q q

C

Cân bằng theo bậc của μ:

'

0 0

0

12. . 0q q

C

μ bậc 1: ' 3

1 1 0

0

1.R q q q

C

μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến):

C R

Giải:

3 3

0

1' (*)Rq q q q

C




79

Ví dụ 2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình

điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện

q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq3 (α>0)

Xét phương trình tuyến tính suy biến:

Phương trình đặc trưng:

0 0

1 10Rp p

C RC

Xét phương trình μ bậc 1:

'

0 0

0

12 0q q

C

C R

Giải:

0

tq Ae td

Nghiệm quá độ: 0 0 0

tq q q Ae qd xl tdSơ kiện

q(0) = Q0

0 0.tq Q e qd

3' 301 1

tQq q e

R

3

01

1( ) ( )

3

Qp Q p

R p

3

01( )

( 3 )( )

QQ p

R p p

Laplace

Hevixaide 3

301( )

2

t tQq t e e

R

3 3' ' 0 0 0 00 1 0' .

2 2

t t tC Q C Qq q q Q e e e



III. Phƣơng pháp sai phân liên tiếp

81

Là phương pháp gần đúng tính bằng số dùng sai phân hóa để giải bài toán vi tích phân thời

gian của các hệ thống phi tuyến và tuyến tính.

Chia trục thời gian t thành những bước h = Δt.

t0 = 0 ; t1 = Δt ; t2 = 2.Δt ; … ; tk = k.Δt

Δt t

Sai phân hóa:

1k kx xdx x

dt t h

2

2 1

2 2

2.k k kx x xd x

dt h

Sai phân hóa hệ phương trình mạch bằng những biểu thức sai phân thu được một hệ

sai phân liên hệ trị xk ở các bước thời gian liên tiếp biết xk tính được giá trị xk+1

Sai phân hóa là thay thế gần đúng những vi phân của biến thời gian t của ẩn x bằng những vi

phân của chúng.

Phương pháp sai phân liên tiếp chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần đúng và

dùng phương pháp số để tìm dần từng bước nghiệm gần đúng:



IV. Phƣơng pháp sai phân liên tiếp

82

Ví dụ 1: Dùng phương pháp sai phân tính dòng quá độ khi đóng mạch vào

một cuộn dây có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3, R = 60Ω, vào nguồn hằng E

= 24V.

260. . 24 60. (1,75 8,4. ). ' 24i

i i i ii t

1 2

(24 60. ).

1,75 8,4.

kk k

k

i hi i

i

E = 24V

Ψ(i)

R=60Ω


Sai phân hóa phương trình mạch: 2 160. (1,75 8,4. ). 24k kk k

i ii i

h

Tính bước sai phân: Xét phương trình tuyến tính suy biến:

1 11,75. ' 60 24 1,75. 60 0 34,3 0,03 .3. 10

| | 10i i p p s h ms

p

240,4( )

60xli A Nghiệm xác lập:

Bảng kết quả:t(ms) 0 10 20 30 40 50 60 70 80

i(A) 0 0,14 0,24 0,32 0,37 0,4 0,4 0,4 0,4




83

Ví dụ 2: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E

= 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3. Tính

10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms)

Giải:

Biến đổi mạch:

Đạo hàm 2 vế của phương trình:

1 212

1 2

17,14R R

RR R

12 2

1 2

22,86E

E R VR R

Lập phương trình mạch:12 12R L Cu u u E

2

12 12 12

1 1. 1,75 8,4di di

R i idt R i i idt Ei dt C dt C

0'')4,875,1()'(8,16' 22

12 C

iiiiiiR

010

'')4,875,1()'(8,16'14,174

22

iiiiii




84




Giải:

Sai phân hóa:

Tính sơ kiện: i0 = i(0) = 0 ; uC(0) = 0

010

2)4,875,1()(8,1614,17

42

122211

kkkkk

kkk

kk i

h

iiii

h

iii

h

ii

)4,875,1(10

)(10.8,16)(10.14,172

24

2

1

4

1

42

12

k

kkkkkkkkk

i

iiiiihihiii

)0(')0()0(

)0(' 1101 hiii

h

ii

h

iii

217,14 (0) [1,75 8,4 (0)] '(0) (0) 22,86Ci i i u

Phương trình mạch ở chế độ mới:

2

12 121,75 8,4 '( ) ( )CR i i i t u t E

'(0) 13,06( / )i A s 1 (0) '(0) 13.06i i hi h




85




Giải:

Phương trình sai phân:

t(ms) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

i(A) 0 0,0131 0,0260 0,0387 0,0513 0,0635 0,0754 0,0869 0,0979 0,1084

)4,875,1(10

)(10.8,16)(10.14,172

24

2

1

4

1

42

12

k

kkkkkkkkk

i

iiiiihihiii

0

1

0

13.06

i

i h

Bảng kết quả:



V. Phƣơng pháp biên pha biến thiên chậm

87

Nội dung:

Phương pháp biên pha biến thiên chậm (phương pháp biến thiên hệ số tích phân)

thường được dùng để xét bài toán mạch phi tuyến Kirhoff cấp 2 với chế độ tự dao

động phi tuyến:

0 0 0( ) ( ). os[ ( )] ( ).cos ( )sinx t A t c t t B t t C t t

Với những dao động gần với điều hòa, các cặp A(t), θ(t) hay B(t), C(t) sẽ biến thiên

chậm: và đủ nhỏ gia tốc và lũy thừa của tốc độ rất nhỏ, có

thể bỏ qua.

.( )( )

dA tA t

dt

.( )( )

d tt

dt

.. .2

0 . . ( , ) 0x x f x x

Nghiệm của phương trình xét có tính dao động, nhưng do tính chất phi tuyến nên

dao động rất gần với điều hòa được biểu diễn toán học bằng các hàm điều hòa có

biên độ và góc pha biến thiên.




88

Nội dung:

Do nghiệm của bài toán rất gần với điều hòa có thể coi nghiệm x(t) chuyển dần từ

nghiệm dao động điều hòa x0(t) của phương trình dao động tuyến tính suy biến:

x0(t) = A0.cos(ω0t + θ0)

. .

0 0 0

0 0

( ) ( ) .cos ( ) ( ).cos ( )

t t

x t A A t dt t t dt A t t

. . .

0.cos .( ).sinx A A Bỏ qua những số

hạng nhỏ

.

0. .sinx A

.. .. . . .. . . .2

0 0 0.cos .( ).sin . .sin ( ). .sin ( ) . .cosx A A A A A

.. . .2

0 0 02. . .sin ( 2. . ). .cosx A A Bỏ qua những số

hạng nhỏ

Nghiệm x(t) của bài toán sẽ có dạng:

Vậy ta có:




89

Ví dụ: Cho phương trình Vanderpol (*)

Sơ kiện x(0) = X0 và

Phân tích phương trình:

.

(0) 0x

.. .2.(1 ). 0x x x x

.. .2.(1 ). 0x x x x

tuyến tính phi tuyến

Xét phương trình tuyến tính: đa thức đặc trưng p2 + 1 = 0 p = ± j..

0x x

Nghiệm: x0(t) = A0.cos(t + φ0) dx0/dt = -A0.sin(t + φ0)

Xét tại t = 0: x0(t) = X0.cos(t)0 0 0

0 0

.cos

0 .sin

X A

A

Nghiệm của phương trình (*) là:. .

0

0 0

( ) .cos ( ).cos ( )

t t

x t X Adt t dt A t t




90

Ví dụ:

Thay vào phương trình (*):. .

2 22. .sin (1 2. ). . os . os .(1 .cos ). .sin 0A Ac Ac A A

3 3. . . .2. .sin 2. . . os . .sin sin .sin 2

4 4

A AA Ac A

Biến đổi lượng giác:

Cân bằng các điều hòa cùng cấp:

33 ..

. .

1 ...2. .

2 44

2. . 0 0 do A 0

AAA AA A

A

3

0

0

1 .( ) . cos

2 4

tA

x t X A dt t

Vậy nghiệm là:



Chƣơng 5: Lý thuyết về mạch có thông số dải - Đƣờng dây dài

đều tuyến tính

I. Mô hình đƣờng dây dài đều.

II. Chế độ xác lập điều hòa trên đƣờng dây dài.

III. Quá trình quá độ trên đƣờng dây dài không tiêu tán.

Bài tập: 1 - 7, 10, 11, 19 - 24 + Bài thêm.


Chƣơng 5 : Lý thuyết về mạch có thông số rải

Đƣờng dây dài đều tuyến tính

I. Mô hình đƣờng dây dài đều

93

6000( )c

kmf

Thiết bị điện

Mô hình trƣờngMô hình hệ thống

u(t), i(t), p(t) …

Mô hình

trƣờng điện từMô hình

đƣờng dây dài

E(x, y, z, t), H(x,y,z,t) …

Hệ phƣơng trình Macxuel

u(x, t), i(x, t) …

Hệ phƣơng trình Kirhoff

Mô hình đường dây dài mô tả những đường dây trên không, cáp có chiều dài so được với

độ dài sóng hoặc độ dài xung: l ~ 1/10 bước sóng.

Thời gian truyền sóng điện từ dọc đường dây đủ lớn quá trình dòng điện, điện áp ở hai

đầu dây sai khác rõ rệt.

Không thể mô tả sự phân bố dòng, áp liên tục dọc đường dây bằng một vài phần tử mạch.





94

Trong mô hình đường dây dài: Biến u(x, t), i(x, t) phân bố, truyền dọc đường dây.

i(x, t) i + di

dx

u(x, t)

- du- di

x

u + du

Rdx Ldx

Gdx Cdx

Luật Kirhoff 1: -di(x, t) = i(x, t) – i(x+dx, t) = diC(x, t) + dig(x, t)

( , )( , ) . ( , ). ( , )g C

u x tdi x t G u x t dx di x t C dx

t

( , ) ( , ). . ( , )

i x t u x tC G u x t

x t

Xét nguyên tố đường dây dx trên đó có cặp i(x, t), u(x, t):

Gọi C và G là điện dung và điện dẫn rò tính cho một vi phân đường dây dx.





95

i(x, t) i + di

dx

u(x, t)

- du- di

x

u + du

Rdx Ldx

Gdx Cdx

Luật Kirhoff 2: -du(x, t) = u(x, t) – u(x+dx, t) = duL(x, t) + duR(x, t)

Gọi L và R là điện cảm và điện trở tính cho một vi phân đường dây dx.

( , )( , ) dx ( , ) . ( , )L R

i x tdu x t L du x t R i x t dx

t

( , ) ( , ). . ( , )

u x t i x tL dx R i x t

x t

Mô hình toán học của đường dây dài: ( , ) ( , ). . ( , )

( , ) ( , ). . ( , )


x t


x t





96

Rdx Ldx

Gdx Cdx

Mô hình toán học của đường dây dài:

( , ) ( , ). . ( , )

( , ) ( , ). . ( , )


x t


x t

Hệ phương trình ứng với sơ đồ mạch tạo bởi các phần tử

của mạch Kirhoff, nhưng vô cùng nhỏ: Rdx, Ldx, Cdx,

Gdx và phân bố rải dọc đường dây.

Bài toán đường dây dài là bài toán bờ có sơ kiện: Nghiệm

được xác định bởi điều kiện bờ hai đầu đường dây (x = x1,

x = x2) và sơ kiện tại t = t0.

Đường dây dài đều là mô hình đường dây dài có các thông số cơ bản của đường dây (R, L, C,

G) không thay đổi theo không gian và thời gian.

Đường dây dài đều không tiêu tán: R = G = 0

( , ) ( , ).

( , ) ( , ).

u x t i x tL dx

x t

i x t u x tC

x t







1. Hiện tƣợng sóng chạy.

2. Các thông số đặc trƣng sự truyền sóng trên đƣờng dây.

3. Hiện tƣợng méo – Đƣờng dây dài không méo.

4. Hiện tƣợng phản xạ sóng trên đƣờng dây dài.

5. Sự phân bố áp, dòng dạng hàm lƣợng giác Hypecbol.

6. Đƣờng dây dài đều không tiêu tán.





II. Chế độ xác lập điều hòa trên đƣờng dây dài

1. Hiện tƣợng sóng chạy

98

Xét đường dây hệ số hằng có kích thích điều hòa:

Ở chế độ xác lập điều hòa: Trạng thái dòng, áp trên mỗi vi phân đường dây là một hàm

điều hòa có biên – pha tùy thuộc vào x.

( , ) ( , ). . ( , )

( , ) ( , ). . ( , )


x t


x t

( , ) ( ). 2.sin ( ) ( ), ( )

( , ) ( ). 2.sin ( ) ( ), ( )

u u

i i

u x t U x t x U x x

i x t I x t x I x x

Xét trong miền ảnh phức ta có: .

.

( , ). . ( )

( , ) ( )

u x tj U x

t

u x t d U x

x dx

.. ( )

.. ( )

( , ) ( ). ( )

( , ) ( ). ( )

u

i

j x

j x

u x t U x e U x

i x t I x e I x

Vậy ta có mô hình toán học trong miền ảnh phức:.

. .

.. .

( . . ). .

( . . ). .

d UR j L I Z I

dx

d IG j C U Y U

dx






99

2 2 0 ( . )p p j

Trong đó:

2 .

( ) . ( )

Z Y

j

( ) . .Z j R j L

Phương trình đặc trưng có dạng:

.. .

.. .

( . . ). .

( . . ). .

d UR j L I Z I

dx

d IG j C U Y U

dx

.2 . .

2

2

.2 . .

2

2

. . .

. . .

d UZ Y U U

dx

d IZ Y I I

dx

Đạo hàm theo x

hai vế phương trình

: Tổng trở trên đơn vị dài

( ) . .Y j G j C : Tổng dẫn trên đơn vị dài

Vậy nghiệm tổng quát có dạng:. . . . . .

. . . .1 2 1 2( ) . . ; ( ) . .x x x xU x A e A e I x B e B e

Mặt khác:

. . .. . .

1 2. . . .1 2

1. . . .x x x xd U A A

I A e A e e eZ ZZ dx Z Z






100

.. j

C c

ZZ Z e

1

2

..

1 1

..

2 2

.

.

j

j

A A e

A A e

Chuyển về miền thời gian ta có:

1 2

1 2

.. . . . . .. .

1 2

.. . . . . . . .. .1 2

( ) . . . .

( ) . . . .

j x j j x jx x

j x j j j x j jx x

C C

U x A e e A e e

A AI x e e e e

Z Z

Đặt: là tổng trở sóng của đường dây.. . . .

.1 2 1 2. . . . . .. . . .x x x j x j

C C

A A A AI e e e e

Z Z Z Z

Giả sử: Vậy ta có:

. . .. .

1 2

. . .. .

1 2

( ) . .

( ) . .

x x

x x

U x A e A e

I x B e B e

Thay vào phương trình ta có:

. .

1 1 2 2

. .1 21 2

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

x x

x x

C C

u x t A e t x A e t x

A Ai x t e t x e t x

Z Z






101

Xét hàm sin(ω.t – β.x) = -sin(β.x - ω.t):

. .

1 1 2 2

. .1 21 2

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

x x

x x

C C



Z Z

. . .x t x t

Vậy hàm sin(ω.t – β.x) với 2 đối số không gian – thời gian ngược dấu nhau mô tả sóng

hình sin dịch theo chiều x với vận tốc đều: v

π

v

x0

2π Δψ = β.xΔψ

Δx

u+

Tại t = 0: -sin(β.x)

Sau khoảng Δt: -sin(β.x- ω.Δt)

Sóng truyền đi theo chiều x một đoạn βΔx

tương ứng với một đoạn dịch pha của tín hiệu

là Δψ = ω.Δt.






102

Xét hàm sin(ω.t + β.x)

. .

1 1 2 2

. .1 21 2

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

x x

x x

C C



Z Z

. . .x t x t

Vậy hàm sin(ω.t + β.x) với 2 đối số không gian – thời gian cùng dấu nhau mô tả sóng

hình sin chạy theo ngược chiều x với vận tốc đều: v

u+

v

x

ψ = β.x

ΔψΔx

Tại t = 0: sin(β.x)

Sau khoảng Δt: sin(β.x + ω.Δt)

Sóng truyền đi theo chiều -x một đoạn βΔx

tương ứng với một đoạn dịch pha của tín hiệu

là Δψ = ω.Δt.






103

Vậy ở chế độ xác lập điều hòa:

Sự phân bố dòng, áp trên dây là sự xếp chồng của sóng chạy thuận và sóng chạy ngược

. .

1 1 2 2

. .1 21 2

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

x x

x x

C C



Z Z

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

u x t u x t u x t

i x t i x t i x t

Sóng thuận u+(x, t), i+(x, t) có dạng hình sin với biên độ giảm dần theo chiều truyền

sóng (chiều x).

. .. . .. .

1 2

. .. ..

( ) ( ) ( ) . .

( ) ( )( ) ( ) ( )

x x

C C

U x U x U x A e A e

U x U xI x I x I x

Z Z

Sóng ngược u-(x, t), i-(x, t) có dạng hình sin với biên độ tăng dần theo chiều x (giảm dần

theo chiều truyền sóng).





2. Các thông số đặc trƣng sự truyền sóng trên đƣờng dây

104

Hệ số tắt α(ω):

Đặc trưng cho tốc độ tắt của biên độ sóng dọc đường dây theo chiều truyền sóng.

. .

1 1 2 2

. .1 21 2

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )

x x

x x

C C



Z Z

.

1

.( 1)

1

[ /m ; nep/km ; dB]2. .( ) ( )ln

1 8,68( 1) ( 1)2. .

x

x

nepA eU x U xe

nep dBU x U xA e

Xét trên một đơn vị dài đường dây biên độ sóng giảm đi exp(α) lần.

Hệ số pha β(ω) [rad/m ; rad/km]:

Đặc trưng cho tốc độ biến thiên góc pha của sóng dọc đường dây theo chiều truyền

sóng.





2. Các thông số đặc trƣng sự truyền sóng trên đƣờng dây

105

Vận tốc truyền sóng v(ω):

Đặc trưng cho tốc độ truyền sóng trên đường dây.

Sự phân bố vận tốc truyền sóng theo tần số gọi là sự tán sắc vận tốc trong quá

trình truyền sóng.

v

Tổng trở sóng ZC(ω):

. .

. ..

C

U U Z Z ZZ

YZ YI I

Hệ truyền sóng γ(ω) :

Đặc trưng cho quá trình truyền sóng (biến thiên về biên độ và góc pha) dọc đường

dây theo chiều truyền sóng.

. .j Z Y





3. Hiện tƣợng méo - Đƣờng dây dài không méo

106

Xét đường dây tiêu tán truyền tín hiệu dòng (áp) gồm phổ sóng điều hòa nhiều tần số.

Do α, v, ZC là các hàm phụ thuộc vào tần số các điều hòa sẽ lan truyền:

Vận tốc khác nhau v(ω)

Biên độ tắt khác nhau: α(ω)

Tổng trở sóng khác nhau: ZC(ω)

Thay đổi tỷ số biên độ các điều hòa.

Thay đổi vị trí tương đối các điều hòa.

Thay đổi quan hệ sóng áp - sóng dòng.

Hiện tƣợng méo tín hiệu

Một đường dây dài có tiêu tán không làm méo tín hiệu nếu các thông số của đường dây

thỏa mãn điều kiện: R G

L C

1. ; ;

.C

RR G v Z

GL C

Các đường dây thông tin muốn tránh méo phải thực hiện Pupin hóa đường dây: Nối

thêm vào đường dây những cuộn cảm tập trung L có giá trị phù hợp.





4. Hiện tƣợng phản xạ sóng trên đƣờng dây dài

107

Ta coi sóng ngược là kết quả phản xạ của sóng thuận đi tới.

Tại vị trí cuối dây (đầu dây) nối tải Z2 (Z1) ta có:

. ..

. ..

( ) ( ) ( )

. ( ) ( ) ( )C

U x U x U x

Z I x U x U x

Hệ số phản xạ n(x) tại điểm x là tỉ số của sóng ngược và với sóng thuận

và ở điểm đó.

.

( )U x.

( )I x.

( )U x

.

( )I x

. . . .

. . . .

( ) . ( )( ) ( )( )

( ) . ( )( ) ( )

C

C

U x Z I xU x I xn x

U x Z I xU x I x

.

.

( )( )

( )

U xZ x

I x

Tổng trở vào tại x ( )

( )( )

C

C

Z x Zn x

Z x Z

2 12 1

2 1

; C C

C C

Z Z Z Zn n

Z Z Z Z

với

Nếu Z2 = ZC (n2 = 0) không có sóng phản xạ (tải hòa hợp đường dây)

Nếu Z2 = ∞ (n2 = 1) phản xạ toàn phần.

Nếu Z2 = 0 hoặc Z1 = 0 (n2 = -1 ; n1 = -1) phản xạ toàn phần có đổi dấu





5. Sự phân bố áp – dòng dạng hàm lƣợng giác Hyperbol

108

Đặt:

Vậy ta có phương trình dạng Hyperbol:

Ta có:

.

( ) . ( . ) . ( . )U x M ch x N sh x

.

0

.

0

. 0 . 0

. . 0 . 0C

U M ch N sh M

Z I M sh N ch N

.. 1 1( ) . . . ( . ) . . ( . ) . ( . ) . ( . )

C

d UI x M sh x N ch x M sh x N ch x

Z dx Z Z Z

Tại gốc tọa độ x = 0 có:. .

0 0, U I

. . .

00

.. .

00

( ) . ( . ) . . ( . )

( ) . ( . ) . ( . )

C

C

U x U ch x Z I sh x

UI x sh x I ch x

Z

.2 . .

2

2

.2 . .

2

2

. . .

. . .

d UZ Y U U

dx

d IZ Y I I

dx





5. Sự phân bố áp, dòng dạng hàm lƣợng giác Hyperbol

109

Khi biết trị số dòng – áp ở đầu dây gắn gốc tọa độ x = 0 ở đầu dây, hướng chiều x về

phía cuối dây. Khi đó ta có hệ phương trình:

. . .

11

.. .

11

( ) . ( . ) . . ( . )

( ) . ( . ) . ( . )

C

C

U x U ch x Z I sh x

UI x sh x I ch x

Z

Khi biết trị số dòng - áp ở cuối dây gắn gốc tọa độ x = 0 ở cuối dây, hướng chiều x về

phía đầu dây. Khi đó:

( . ) ( . )

( . ) ( . )

x x

sh x sh x

ch x ch x

. . .

22

.. .

22

( ) . ( . ) . . ( . )

( ) . ( . ) . ( . )

C

C

U x U ch x Z I sh x

UI x sh x I ch x

Z





5. Sự phân bố áp – dòng dạng hàm lƣợng giác Hyperbol

110

Mạng hai cửa tương đương của đường dây dài đều:

Khi dùng đường dây dài truyền tải năng lượng, ta quan tâm quan hệ truyền đạt dòng áp

giữa 2 đầu đường dây.

Ta coi quá trình truyền đạt của đường dây theo mô hình mạng 2 cửa Kifhoff.

Do kết cấu đối xứng của đường dây, mạng 2 cửa của đường dây dài là đối xứng.

Xét phương trình bộ số A. . .

. . .21 2

221 11 12. . .

. . .221 1 2221 22

( . ). . ( . ). . .( . )

. ( . ). . .

C

C

U ch l U Z sh l I U A U A Ish l

I U ch l I I A U A IZ

2 2

11 22 12 21

11 22

. . ( . ) ( . ) 1

( . )

A A A A ch l sh l

A A ch l

Mạng 2 cửa tuyến

tính, tương hỗ,

đối xứng

T

π





6. Đƣờng dây dài đều không tiêu tán.

111

Một đường dây dài không tiêu tán nếu các thông số của đường dây thỏa mãn điều kiện:

R << ω.L (R = 0) ; G << ω.C (G = 0)

Đặc điểm của đường dây dài không tiêu tán:

Hệ số tắt: α(ω) = 0

( ) . .L C

. . .

22

.. .

22

( ) . os( . ) . . .sin( . )

( ) . .sin( . ) .cos( . )

C

C

U x U c x j Z I x

UI x j x I x

Z

Hệ số pha:

Tổng trở sóng: ( ) /CZ L C

Vận tốc sóng: ( ) 1/ . ( ons )v L C c t

Hệ số truyền sóng: ( ) . ( )j

Phân bố dòng – áp trên đường dây không tiêu tán:

( ) .sin( . )

( ) os( . )

sh j x j x

ch j x c x





112

Ví dụ 1: Cho đường dây dài đều R = 0,3Ω/Km, L = 2,88mH/Km, C = 3,15.10-9F/Km, G = 0.

Tính hệ số truyền sóng γ, vận tốc truyền sóng υ, bước sóng λ và tổng trở sóng ZC của đường

dây ở tần số f = 50Hz.

Giải:60,3 0,9 / ; 1,21.10 /Z R j L j Km Y G j C j Si Km

6 3. (0,3 0,9) 1,21.10 (0,18 1,09).10 (1/ )Z Y j j j Km

Hệ số truyền sóng:

5

3

2 3142,88.10 /

1,09.10

fv Km s

Vận tốc truyền sóng:

886,1 9,2C

ZZ

Y

Tổng trở sóng:52,88.10

576050

vkm

f

Bước sóng:





113

Ví dụ 2: Cho đường dây dài đều. Chứng minh rằng:

a. Ở tần số đủ cao:

b. Ở tần số đủ thấp:

1; ; C

Lv LC Z

CLC

Giải:

a. Ở tần số đủ cao:Z R j L Z j L

Y G j C Y j C

; C

RRG Z

G

. .Z Y j L j C j LC

LC 1

vLC LC

C

Z j L LZ

Y j C C

b. Ở tần số đủ thấp:Z R j L Z R

Y G j C Y G

. .Z Y R G

C

Z RZ

Y G





114

Ví dụ 3: Cho đường dây dài đều không tiêu tán biết hệ số truyền sóng γ = jβl, hệ số phản xạ

cuối dây n2. Đầu dây cung cấp bởi nguồn điều hòa có biên độ U1, cuối dây nối tải R2. Coi

mọi trạng thái dòng áp trên đường dây là sự xếp chồng của sóng tới và sóng phản xạ.

a. Tính. .

1 1 2 theo , ,U U n j l

.

1U2R

.

1I

.

2U

l. . . . . .

1 1 1 1 1 1U U U U U U

.

1U

ch¹y tõ phÝa 2 vÒ 1. .

1 2 . j lU U e

.

. .2

2 22 2.

2

UU n U

U

MÆt kh¸c: n

. .

1 22. . j lU n U e

.

2U

ch¹y tõ phÝa 1 vÒ 2. .

2 1 . j lU U e

. .

21 12. . j lU n U e

. . . . .2

1 1 1 1 12 . j lU U U U n U e

..

11

2

21 . j l

UU

n e

. .2

1 1 21 . j lU U n e





115




b. Tính.

1U2R

. .

2 2, , UU U K

.

1I

.

2U

l.. .

12 1

2

21

j lj l

j l

U eU U e

n e

.. . .

12 2 2 22

2

(1 )1

j l

j l

U eU U U n

n e

.

2 2

. 2

21

(1 )

1

j l

U j l

n eUK

n eU





116




c. Tính công suất P2 theo.

1U2R

.

1 2, ,U n j l

.

1I

.

2U

l*. .

222 2 2Re . .U I U I

Ta cã: P

. .2

2 12

2

(1 )

1

j l

j l

n eU U

n e

. .. . . .

2 2 22 2 2 1

2

2

(1 )

1

j l

j lC C C

n eU UI I I U

Z Z Z n e

C

Z LZ

Y C

§êng d©y kh«ng tiªu t¸n

(sè thùc)

2

2 2 21 1 cos(2 ) sin(2 )j ln e n l jn l XÐt

2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 2 cos(2 ) cos (2 ) sin (2 )j ln e n l n l n l





117




c. Tính công suất P2 theo.

1U2R

.

1 2, ,U n j l

.

1I

.

2U

l

2

2 2

2 2 21 1 2 cos(2 )j ln e n l n

. . . .2 2

2 1 2 12 2

2 2 2

(1 ) 1

1 1 2 cos 2

j l

j l

n e nU U U U

n e n l n

. . . .2 2

2 21 12 2

2 2 2

(1 ) 1

1 1 2 cos 2

j l

j l

C C

n e nI U I U

Z n e Z n l n








1. Khái niệm.

2. Phƣơng pháp Petecxen.

3. Phản xạ nhiều lần trên đƣờng dây.





119

Xét sự truyền sóng dạng bất kỳ trên đường dây dài không tiêu tán khi có một kích thích

tác động lên đường dây (đóng 1 nguồn áp, xung sét đánh hoặc cảm ứng vào đường dây).

Xét phương trình cơ bản của đường dây không tiêu tán:

( , ).

( , ).

u x t iL

x t

i x t uC

x t

( , ). . ( , ) . ( ,0)

( , ). . ( , ) . ( ,0)

dU x pp L I x p L i x

dx

dI x pp C U x p C u x

dx

Chuyển sang miền

ảnh Laplace

Giả thiết tại t = 0, trên đường dây không có dòng và áp: u(x, 0) = 0; i(x, 0) = 0

( , ). . ( , )

( , ). . ( , )

dU x pp L I x p

dx

dI x pp C U x p

dx

22 2

2

22 2

2

( , ). . . ( , ) . ( , )

( , ). . . ( , ) . ( , )

d U x pp L C U x p U x p

dx

d I x pp L C I x p I x p

dx

Đạo hàm

theo x

1. Khái niệm





120

1. Khái niệm

Biến đổi ngược từ ảnh ra gốc, đặt:

1 1

2 2

( , ) ( , ) ; ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ; ( , ) ( , )

U x p u x t A x p f x t

I x p i x t A x p f x t

. . . . .

1 2

. . . . . .1 2

( , ) ( , ). ( , ).

( , ) ( , )( , ) . .

p L C x p L C x

p L C x p L C x

U x p A x p e A x p e

A x p A x pI x p e e

L L

C C

Dịch gốc. . .

1 1

. . .

2 2

( , ). ( . . )

( , ). ( . . )

p L C x

p L C x

A x p e f t L C x

A x p e f t L C x

Đặt:1

. ; C

LL C Z

v C

Vậy nghiểm tổng quát của phương trình là:

1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1( , ) . ( ) . ( ) ( ) ( )

C C

x x x xu x t f t f t u t u t

v v v v

x x x xi x t u t u t i t i t

Z v Z v v v

Nghiệm của phương trình có dạng:





121

Nhận xét:

Sự phân bố áp là tổng 2 thành phần: Áp thuận và áp ngược

1. Khái niệm

1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1( , ) . ( ) . ( ) ( ) ( )

C C

x x x xu x t f t f t u t u t

v v v v

x x x xi x t u t u t i t i t

Z v Z v v v

1

.v

L C

( )x

u tv

( )x

u tv

Sự phân bố dòng là hiệu 2 thành phần: Dòng thuận và dòng ngược( )x

i tv

( )x

i tv

Các sóng dòng, áp đều truyền với vận tốc đều:

0 t

u

0t

u

( )u t ( )x

u tv

1t

Nghiệm tổng quát của phương trình:

1

xt

v





122

2. Phƣơng pháp Petecxen:

Dùng tính dòng, áp cuối dây trong chế độ quá độ trên đường dây dài không tiêu tán.

Xét một sóng tới utới từ phía đầu dây truyền tới, đập vào tải tập trung Z2:

Gặp 1 điều kiện bờ mới, tạo trên tải Z2 một hàm u2(t) = Z2.i2.

Tại thời điểm đó và xuất phát từ vị trí tải sẽ có một sóng phản xạ ngược lại uphản sao

cho hợp với utới vừa bằng u2.

Gắn gốc tọa độ vào cuối dây, và chọn gốc thời gian là thời điểm sóng tới đập vào cuối

dây, khi đó:

Tại tải tập trung, có quan hệ:u2(t) = u2tới + u2ph

i2(t) = i2tới – i2ph

ZC. itới = utới

ZC. iph = uph

Quan hệ sóng tới, sóng phản:

2.u2tới = ZC.i2 + u2

2.u2tới = (ZC + Z2) i2





123


Dòng, áp cuối dây u2(t), i2(t) được tính theo một sơ đồ tập trung gồm:

01 nguồn áp bằng 2 lần sóng tới: 2.utới

Tổng trở trong của nguồn có giá trị bằng tổng trở sóng ZC của đường dây tới.

Đóng mạch vào tải tập trung ở cuối đường dây.

u2ph(t) = u2 - u2tới

i2ph(t) = i2tới – i2 = u2ph / ZC

Dòng, áp phản xạ truyền về phia đầu dây:

2.u2tới = (ZC + Z2) i2

Tải

Zu2

i2utới

ZC

Tải

Z2.utới

u2

i2ZC

uph(x’,t) = u2ph(t - x’/v)

iph(x’,t) = i2ph(t-x’/v)

(Gốc: x’=0 ở

cuối dây)

Sơ đồ Petecxen





124


Xét đường dây ZC1 nối với đường dây ZC2:

Sóng từ đường dây 1 đến điểm nối sẽ sinh ra sóng phản xạ và tín hiệu u2(t), i2(t)

truyền (khúc xạ) vào đường dây 2 (sóng khúc xạ ukx, ikx)

Khi sóng khúc xạ chưa truyền tới cuối đường dây 2 (chưa có sóng phản xạ lại) thì

chúng liên hệ với nhau qua ZC2: u2kx(t) = ZC2.i2kx(t)

u+

ZC12.u+

u2

i2ZC1

ZC2

Dây 1 Dây 2

ZC2

Nếu tại điểm nối giữa 2 đường dây có thêm các tải tập trung (L, C, …) thì trong sơ

đồ Petecxen cần bổ sung các phần tử tập trung đó.

Sơ đồ Petecxen





125


utới

ZC1 2.utới

ZC1

ZC2 ZC2

L/2

L/2

3’

3

2’

2

2’

2

3’

3L

utới

ZC1ZC2C

3

2’

2

2.utới

ZC1

ZC2

2’

2

C

Sơ đồ Petecxen

Sơ đồ Petecxen





126


Ví dụ 1: Cho đường dây có ZC1 = 300Ω nối với máy phát Z2 = 1200 Ω.

Sóng áp hình chữ nhật U = 1000kV đánh vào đường dây.

a. Tính sóng khúc xạ vào máy phát.

ZC1

Z2

2Utới(p)

2

1 2

2 ( ) 2000 1600( ) 1200

(300 1200)

tíi m¸ykx

C

U pU p Z kV

Z Z p p

b. Giữa dây và máy có cáp ZC3 = 60Ω. Tính sóng khúc xạ từ dây vào cáp, từ cáp vào máy.

ZC3

Z2

2Utới(p)

3

1 3

2 ( ) 333( ) tíi

çpkx C

C C

U pU p Z kV

Z Z p

1600 m¸ykxU kV

333 çpkxU kV

2

3 2

2 ( ) 635( ) tíi

m¸ykx

C

U pU p Z kV

Z Z p

635 çpkxU kV

ZC1

ZC3

2Utới(p)





127


Ví dụ 2: Cho đường dây có ZC1 = 400Ω nối nối tiếp với 3

đường dây song song có ZC2 = 300 Ω. Sóng áp hình chữ nhật U

= 100kV đánh vào đường dây thứ nhất. Tính dòng, áp khúc xạ,

phản xạ.

Áp dụng phương pháp Petecxen ta có sơ đồ:

21

2 ( ) 2.100 0,4( )

(400 100)

3

tíikx

CC

U pI p kA

Z p pZ

ZC2

ZC2

ZC2

ZC1

100kV

ZC1

ZC2

2Utới(p)Giải:

0,4kxI kA

0,4133

3 mçi ®êngkxI A

2. 133.300 40 mçi ®êngkx kx CU I Z kV 40 100 60ph¶n x¹ kx tíiU U U kV

1

600,15

400

ph¶n x¹

ph¶n x¹

C

UI kA

Z





128


Ví dụ 3: Cho đường dây có l > 30km, ZC = 400Ω, tải tập trung

có R2 = 100Ω, L2 = 0,5H, đóng vào một nguồn áp hằng 35kV.

Sau khi sóng phản xạ đã chạy được 30km tính dòng áp khúc xạ,

phản xạ tại cuối dây ?

Áp dụng phương pháp Petecxen ta có sơ đồ:

2 2

2 ( ) 70 140( )

(500 0,5 ) ( 1000)

tíikx

C

U pI p

Z R pL p p p p

1000( ) 0,14 1 t

kxi t e kA

70(100 0,5 ) 140(0,5 100) 14000 70( )

(0,5 500) ( 1000) ( 1000) 1000kx

p pU p

p p p p p p p

2.Utới(p)

ZC

R2

L2

1000( ) 14 56 ( )t

kxu t e kV 1000( ) ( ) ( ) 21 56 ( )ph¶n kx tíi

tu t u t u t e kV





129


Ví dụ 3: Cho đường dây có l > 30km, ZC = 400Ω, tải tập trung

có R2 = 100Ω, L2 = 0,5H, đóng vào một nguồn áp hằng 35kV.

Sau khi sóng phản xạ đã chạy được 30km tính dòng áp khúc xạ,

phản xạ tại cuối dây ?

34

8

30.1010

3.10T s

2.Utới(p)

ZC

R2

L2

( ) 64,67

( ) 13,3

kx

kx

u t T kV

i t T A

1000( )

( ) 52,5 140ph¶n

ph¶n

t

C

u ti t e A

Z

Coi vận tốc truyền sóng v = 3.108 m/s thời gian sóng chạy 30km là:

Vậy ta có:

( ) 29,67

( ) 74,18

ph¶n

ph¶n

u t T kV

i t T A





130


Ví dụ 4: Cho đường dây dài ZC = 400Ω. Cuối đường dây nối tụ

C = 0,5μC song song với máy phát Z2 = 1000Ω. Tại t = 0, một

sóng hình chữ nhật U = 200kV chạy tới cuối đường dây. Tính

sóng khúc xạ, phản xạ của dòng, áp vào máy.6

12

22

2 ( ) ( )1 2.10( ) / /

( 7000) ( )1/ /

tíikx

C

U p F pU p Z

pC p p F pZ Z

pC

Áp dụng công thức Hevixaide:

Dòng khúc xạ vào máy:

2.Utới(p)

ZC

Z21/pC

1

2

2

00

7000

pF

p

2 ' 2 7000F p

7000( ) 285,71(1 )t

kxu t e kV

7000

2

( )( ) 285,71(1 )tkx

kx

u ti t e A

Z

Áp phản xạ:7000( ) ( ) ( ) 85,71 285,71tíi

t

ph kxu t u t u t e kV

Dòng phản xạ:

70007000

( ) 85,71 285,71( ) 214,28 714,28

400

tph t

ph

C

u t ei t e A

Z





131


Ví dụ 5: Đường dây dài ZC1 = 500Ω nối với một đường dây dài

có ZC1 = 300Ω. Giữa 2 đường dây nối điện cảm L = 5mH. Tinh

áp khúc xạ và phản xạ khi có áp

truyền từ đường dây 1 tới

9

1

3 3

1 2 2

2 ( ) ( )5.10( )

( 160.10 )( 25.10 ) ( )

tíikx

C C

U p F pI p

Z pL Z p p p F p

Áp dụng công thức Hevixaide:

Áp khúc xạ vào đường dây 2:

325.10( ) 500 1 tu t e kV

6

3

25.102 ( )

( 25.10 )tíiU p

p p

3 3160.10 25.10( ) 1,25 0,23. 1,48.t t

kxi t e e kA

3 3160.10 25.10

2( ) . ( ) 375 69. 444.t t

kx C kxu t Z i t e e kV

2.Utới(p)

ZC1

ZC2

LA

Dòng điện khúc xạ:





132


Ví dụ 5: Đường dây dài ZC1 = 500Ω nối với một đường dây dài

có ZC1 = 300Ω. Giữa 2 đường dây nối điện cảm L = 5mH. Tinh

áp khúc xạ và phản xạ khi có áp

truyền từ đường dây 1 tới

325.10( ) 500 1 tu t e kV

Ta có:3 3

2( ) ( ) ( ) 5.10 ( 60.10 ). ( )A C kx kxU p Z pL I p p I p

Áp phản xạ trở lại đường dây 1:

3 325.10 160.10

1

( )( ) 0,25 0,482. 0,23

ph t t

ph

C

u ti t e e A

Z

2.Utới(p)

ZC1

ZC2

LA

3 325.10 160.10( ) 375 259. 115,7.t t

Au t e e kV

3 325.10 160.10( ) ( ) ( ) 125 241. 115,7.tíi

t t

ph Au t u t u t e e kV

Dòng phản xạ trở lại đường dây 1:





133

3. Phản xạ nhiều lần trên đƣờng dây:

U n = 1

Ux

2.Ux

2.U x

Tại t = 0, xét một nguồn áp hằng U đóng vào đường dây không tiêu tán có chiều dài l,

không nối với tải (Z2 = ∞).

22

2

1C

C

Z Zn

Z Z

0 :l

tv

2.:

l lt

v v

2. 3.:

l lt

v v

U x

xU

3. 4.:

l lt

v v

4. 5.:

l lt

v v

Ix

I x

x

x

1 2 1

1 2 1

.

.

ng th

ng th

U n U U

I n I I

- I

- I

Ix

1 1

1 1

2.

0

th ng

th ng

U U U U

I I I

11

1

2 1 1

2 1 1

1

.

.

C

C

th ng

th ng

Z Zn

Z Z

U n U U

I n I I

4.lT

vChu kỳ:

bai giang li thuyet mach

Education