bakala´rskˇ a pr´ ace´ · ii podˇekov´an´ı velky´ d´ık patˇr´ı vedouc´ımu pr´ace...

CESKE VYSOKE UCENI TECHNICKE V PRAZEFAKULTA ELEKTROTECHNICKA

KATEDRA ELEKTROMAGNETICKEHO POLE

BAKALARSKA PRACE

Modalnı analyza mikropaskovych patch anten

Vypracoval: Miloslav Capek

Vedoucı prace: Ing. Pavel Hazdra

Ceske Budejovice 2007

i

ZadanıSeznamte se s dutinovym modelem pouzıvanym pro analyzu mikropaskovych patchanten. Implementujte tento model (napr. v MATLABu) a propojte ho se stavajıcımfraktalovym IFS generatorem. Zamerte se na modalnı vlastnosti vybranychfraktalovych patch anten, stanovte rezonancnı frekvence a rozlozenı proudove hus-toty. Navrhnete moznosti propojenı dutinoveho modelu a IFS generatoru s opti-malizacnı smyckou (napr. GA toolbox v MATLABu) pro minimalizaci rezonancnıfrekvence zakladnıho modu.

ii

PodekovanıVelky dık patrı vedoucımu prace panu Ing. Pavlu Hazdrovi za poskytnutı odborneliteratury a dalsıch materialu a za pocatecnı osvetlenı problematiky, stejne tak jakoza motivaci a cenne rady behem celeho semestru, ve kterem tato prace vznikala.

Dale bych chtel podekovat Ing. Pavlu Tisnovskemu za moznost nahlednout dojeho prace a Mgr. Jane Konigsmarkove za provedenı korektur.

iii

ProhlasenıTımto stvrzuji, ze tato prace je me vlastnı dılo a ze vsechny pouzite zdroje jsouuvedeny v Literature (prıpadne na datovem nosici). Dale souhlasım s prıpadnymvyuzitım me prace pro nekomercnı ucely Katedry Elekromagnetickeho pole naFEL-CVUT.

V Ceskych Budejovicıch dne 16. 7. 2007.

iv

AbstraktCılem projektu je navrh a realizace funkcnıho generatoru a analyzatoru IFSfraktalnıch patch anten. Prvnı polovina prace se zabyva popisem a realizacıvlastnı geometrie anteny bez nutne znalosti specifik antennı techniky. Jsou zdepredstaveny druhy fraktalu a podmınky jejich vzniku, maticova podoba a realizacev programu MatLab. Vyuzitı MatLabu a variabilnıho vstupu, ktery kontrolujeuzivatel, umoznuje vznik ruznorodych struktur. Jejich presentacı prace pokracuje.Druha polovina textu uvadı ruzne prıstupy k analyze mikropaskovych patchanten. Jedna z techto metod – dutinovy model – je vybrana a realizovana pomocıPDE toolboxu a podrobne popsanych podpurnych programu. Na zaver je spolus konkretnımi vysledky uvedeno nekolik navrhu, jak praci v budoucnu vylepsit arozsırit. Velky potencial predstavuje optimalizacnı algoritmus (GA prıpadne PSO)ci propojenı s externım a presnejsım simulacnım softwarem (FemLab); i temtoeventualitam je venovan dostatecny prostor.

Klıcova slova

Fraktal, IFS, dutinovy model, Neumannova hranicnı podmınka, PDE, rezonancnıfrekvence, proudove rozlozenı, mody, geneticky algoritmus.

v

AbstractThe aim of this project is a design and an implementation of IFS fractal patchantenna’s functional generator and analyzer.

The first half of the thesis works with a description and an implementationof antenna’s own geometry without any necessary knowledge of the antenna tech-nique specifics. It introduces kinds of fractals and terms of their creation, a matrixform and an implementation in the MatLab programme. The usage of MatLaband flexible input, which is under user’s control, enables an inception of variedstructures. The thesis then carries on with their presentation.

The second part of the itroduces various approaches to the microstrip patchantenna’s analysis. One of these methods, cavity model, is selected and carried outby PDE toolbox and in detail described supporting programmes.

In conclusion along with particular outcomes there are presented severalproposals of how to improve and extend the work in future. There is a greatpotential in optimization algorithm (GA eventually PSO) or interconnection withan external and more accurate simulation software (FEMLAB): a sufficient spaceis given even to these contingencies.

Keywords

Fractal, IFS, cavity model, Neumann condition, PDE, resonant frequency, currentdistribution, modes, genetical algorithm.

vi

PredmluvaS pojmem fraktal jsem se poprve setkal pred lety v knize B.B.Mandelbrota [5],s termınem rezonancnı frekvence a antena na strednı prumyslove skole, s nazvemMATLAB az na skole vysoke, zkratka PDE se do toho vseho pripletla prımo pripsanı Semestralnıho projektu, GA pri psanı Bakalarske prace a PSO vlastne uplnenahodou . . .

Vsechny tyto pojmy zasahujı do technicke praxe. V jejich vzajemne propojenıv jeden program, jez obsahuje desıtky trıd a postupem casu zacına zıt vlastnımzivotem bez vnejsıho prispenı autora, jsem nikdy nedoufal. Tato prace tak skutecneposlouzila svemu ucelu v mnoha aspektech. Mimo jine ukazala, jak tezke je realizo-vat technicky projekt od pocatecnı ideje po zaverecnou zpravu. Posouzenı nakolikuspesny tento proces byl zustane na ctenari nasledujıcıch stranek.

Je fascinujıcı sledovat, jak vsechny entity fraktalnı povahy vykazujı stejnoumnozinu vlastnostı. Skrze tyto vlastnosti lze do znacne mıry predvıdat jejichchovanı a nalezat necekane analogie naprıc rozlicnymi obory. V tomto kontextunenı moudre pristupovat k fraktalnım antenam jako k izolovanemu problemu anaprosto se uzavrıt podnetum z jinych vednıch oboru. Striktnım zamerenım se najedinou uzce specializovanou oblast se uzavırajı dvere k resenı podobnych problemuznamych jinym odvetvım techniky. A prave tato universalnost a jisty

”pansoficky“

nadech jsou nejvetsım tajemstvım fraktalu, ktere pusobı i na autora teto prace.

Obsah

1 Uvod 11.1 Koncepce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Konspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Historie, vznik a vyvoj fraktalu 3

3 Teorie fraktalu 63.1 Definice fraktalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Topologicka a Hausdorffova dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Sobepodobnost, sobeprıbuznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Ukazky zakladnıch fraktalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Rozdelenı fraktalu 174.1 L-systemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 System iterovanych funkcı IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Dynamicke systemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Nepravidelne fraktaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Teorie generace IFS 215.1 Zakladnı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 Pevny bod, kontraktivnı zobrazenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 Hutchisonuv operator, mnozina bodu, pokrytı . . . . . . . . . . . . 235.4 Transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5 Zkracena matice transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Generator IFS v MATLABu 306.1 GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Export . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3 Prıklady generace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.4 Casova narocnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

vii

OBSAH viii

6.5 Mozna vylepsenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Mikropaskove patch anteny 427.1 Princip cinnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Napajenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.3 Parametry patch anten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8 Analyza patch anten 528.1 Dutinovy (Cavity) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2 Vedenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3 MoM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.4 FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.5 FD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9 PDE analyzator modu v MatLabu 579.1 Dutinovy model v MatLabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.2 Optimalizacnı smycka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.3 GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.4 Analyzovane vzorky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.5 Nepresnosti, vylepsenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10 Zhodnocenı dosazenych vysledku 6310.1 Rezonancnı frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.2 Studie proudoveho rozlozenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6610.3 Ucinek sterbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

11 Optimalizacnı algoritmy,mozne vylepsenı IFS + PDE 7411.1 Potreba globalnı optimalizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411.2 GA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7511.3 PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.4 ACO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.5 GSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

12 Zaver 79

13 Prılohy 8513.1 Dodatek A - Seznam a popis funkcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

13.1.1 Korenovy adresar IFS-PDE-CM: . . . . . . . . . . . . . . . 8513.1.2 Slozka Fractal Engine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8613.1.3 Slozka Fractal GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

OBSAH ix

13.1.4 Slozka Fractal Others . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8913.1.5 Slozka Generic Antenna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9013.1.6 Slozka PDE tool mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

13.2 Dodatek B - Obsah CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9113.3 Dodatek C - Vyvojove schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9213.4 Dodatek D - Okna programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Seznam obrazku

3.1 Bifurkacnı graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Lorencuv atraktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Mandelbrotova mnozina, pohled na celek . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Mandelbrotova mnozina, detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Fraktalnı struktura v Pascalove trojuhelnıku . . . . . . . . . . . . . 163.6 Fraktal v Hegelove systemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.1 Princip pokryvanı zakladnıho objektu . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.1 Knoflık Mx = My aktivovany (vlevo) a vypnuty (vpravo). . . . . 336.2 Sierpinskeho trojuhelnık, IFS generator, pouze 3.iterace . . . . . . . . 376.3 Sierpinskeho trojuhelnık, IFS generator, 6. iterace . . . . . . . . . . . 386.4 Sierpinskeho koberecek, IFS generator, 3 iterace . . . . . . . . . . . . 396.5 Cantorovo discontinuum, IFS generator, 6 iteracı . . . . . . . . . . . . 406.6 Zavislost doby vypoctu (vlevo) a zobrazenı (vpravo) na stupni iter-

ace a na poctu bodu a transformacı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.1 Mikropaskova patch antena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Mod proudoveho rozlozenı fraktalnı struktury. . . . . . . . . . . . . 447.3 Napajenı patch anteny: a)mikropaskovym vedenım, b) koaxialnım

vedenım, c) prurez antenou b) v rovine strednıho vodice koaxialnıhonapajece. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.4 Napajenı pomocı vazebnı sterbiny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.1 Okrajove podmınky patch anteny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2 Fraktal c. 1, 1-2 iterace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.3 Fraktal c. 2, 1-2 iterace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.4 Fraktal c. 3, 1-2 iterace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.1 Graf klesajıcı frekvence s iteracı a modem, 1. fraktal,vc. degenerovanych modu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

x

SEZNAM OBRAZKU xi

10.2 Graf klesajıcı frekvence s iteracı a modem, 1. fraktal. . . . . . . . . 6710.3 Graf klesajıcı frekvence s iteracı a modem, 2. fraktal. . . . . . . . . 6810.4 Graf klesajıcı frekvence s iteracı a modem, 3. fraktal. . . . . . . . . 6810.5 Proudove rozlozenı, antena c.1, mody 1,2,3,4,5 a 19. . . . . . . . . . 6910.6 Proudove rozlozenı, antena c.2, mody 1,2,3,8,11 a 13. . . . . . . . . 7010.7 Proudove rozlozenı, antena c.3, mody 1,3,5 a 29. . . . . . . . . . . . 7110.8 Ukazka chybneho (dominantnıho) modu. . . . . . . . . . . . . . . . 7210.9 Ukazka sousednıch degenerovanych modu. . . . . . . . . . . . . . . 7210.10Mutace fraktalu c.1 zmenou transformacnıch parametru. . . . . . . 7210.11Mutace fraktalu c.2 zmenou transformacnıch parametru. . . . . . . 7310.12Vyvojove schema GA, k vykladu v kap.11. . . . . . . . . . . . . . . 73

13.1 Vyvojove schema programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9213.2 Hlavnı panel programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9313.3 Generic tool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9413.4 PDE analyza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9513.5 PDE toolbox – MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Seznam tabulek

3.1 Hodnoty topologicke dimenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro nektere prırodnı utvary. . . . . 83.3 Hodnoty Hausdorffovy dimenze geometrickych utvaru a zakladnıch

fraktalu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.1 Struktura .txt souboru s body. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Struktura .txt souboru s transformacemi. . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Struktura souboru data.3dt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.4 Struktura souboru data.txt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.5 Rust slozitosti vypoctu. Poznamka: b. – body, t. – tranformace . . . 41

7.1 Hodnoty εr podle pouziteho substratu. . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2 Zlepsenı parametru modifikacı struktury. . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1 Vlastnosti vybranych zaricu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

10.1 Vlastnı cısla a rezonancnı frekvence, 1. antena. . . . . . . . . . . . . 6310.2 Vlastnı cısla a rezonancnı frekvence, 2. antena. . . . . . . . . . . . . 6410.3 Vlastnı cısla a rezonancnı frekvence, 3. antena. . . . . . . . . . . . . 6510.4 Srovnanı vysledku rezonancnı frekvence frn [GHz]. . . . . . . . . . . 65

xii

Seznam symbolu

Symbol Velicina

εr relativnı permitivitaε0 permitivita vakua (=)µr relativnı permeabilitaµ0 permeabilita vakua (=)Dt topologicka dimenzeDh Hausdorffova dimenzeω afinnı transformaceMS, Mx, My transformace zmeny merıtkaPx, Py posun polygonuλ vlnova delkaΓ modul cinitele odrazu RΦ faze cinitele odrazu Rtan δ ztratovy cinitel dielektrikaω uhlova rychlostE vektor intenzity elektrickeho poleH vektor intenzity magnetickeho poles11 cinitel odrazuj imaginarnı jednotkaQT cinitel jakosti antenykn vlastnı (n-te) cıslok vlnovy vektorEz,n vlastnı funkcec0 rychlost svetla ve vakuuPSV pomer stojatych vlnBW sırka pasma anteny (v% z pracovnı frekvence)Pd ztraty v dielektrikuPc ztraty v kovuPr ztraty vyzarovanımWt celkova energieη ucinnost

xiii

Seznam znacek a zkratek

Operator Vyznam

∇t Nabla operator

(∂2

∂2x2 + ∂2

∂2y2

)⋃m

i=1 obecne sjednocenı (general consequence op.)∑ni=0 suma od i = 0 do i = n

→ blızı se−→ zobrazenıdx diferencial x∂∂

parcialnı derivace× vektorovy soucin

Zkratky

PDE Partial Differential EquationGA Genetic AlgorithmPSO Particle Swarm OptimizationGSO Genetic Swarm OptimizationACO Ant Colony OptimizationIFS Iterated Function SystemMoM Method of MomentsFEM Finite Element MethodGUI Graphical User InterfacePMC Perfect Magnetic ConductorPEC Perfect Electric ConductorTM Transversal MagneticTE Transversal Electric

Nadpis.Funkce, cizojazycny vyraz.

Prıkaz, menu.

Matematika.Tlacıtko.

Literatura.

xiv

Kapitola 1

Uvod

1.1 Koncepce

Patchove anteny jsou znamy vıce jak 50 let. Stejne dlouhou dobu existence oslavıv brzku i nektere fraktaly, ktere budou dale v praci uvedeny. Presto se spojenımikropaskovych patch anten, fraktalu a dobre zvolene simulacnı metody obje-vuje az v poslednıch letech. Ve spojenı s robustnım optimalizacnım algoritmem setoto tema stava velice zajımavym a v poslednı dobe, kdy strme roste vypocetnıvykon pocıtacu, skutecne

”modnım“. Mnoho clanku nebo studiı kopıruje podobne

schema, kdy je nastolen problem vysetrenı sırky pasma ci velikosti rezonancnıfrekvence u konkretnıho typu fraktalnı anteny. Tato je nasledne odsimulovanaspecializovanym softwarem a na nı je aplikovan optimalizacnı algoritmus – castogeneticky, v poslednı dobe potom rojovy nebo jejich vzajemny hybrid. Velka castprace je zpravidla realizovana v programu MatLab.

Autor teto prace prejıma ustalene schema v uvedene podobe, ale rad by sevenoval problemu od pocatku, tedy od definice fraktalu, az po zaverecny vybervhodne optimalizace, a to takrıkajıc bez vyuzitı

”vecı z druhe ruky“. Dalsım ax-

iomem postulujıcım zadanı je obecnost. Program, ktery dokaze analyzovat jednukonkretnı strukturu jednım konkretnım procesem, je sice nazorny a jednoduchy,1

ale jinak ne prılis pouzitelny.Jako idealnı se potom jevı vyuzitı pouze takovych prostredku, ktere

byly samostatne vyvinuty, nebo jsou jiz dale tezko rozlozitelnym ele-mentem (PDE toolbox v MatLabu). Pokud by se tento cıl podarilo splnit, vzniklby vnitrne konzistentnı a kompaktnı produkt, ktery navıc dokaze resit mnohouniversalnıch problemu. I z tohoto duvodu byl pro simulaci patchove anteny pouzitdutinovy model (cavity model), ktery se – ackoliv poskytuje uspokojujıcı presnost

1Coz je ne vzdy spatne; na jiste partikularnı problemy se tento zpusob resenı hodı.

1

Modalnı analyza fraktalnıch anten 1.2. Konspekt

– nemuze merit s komercnım softwarem.Pro zaber prace, ovsem i pro jine duvody je zrejme, ze ne vse bylo v BP vyreseno

a dokonceno (ve skutecnosti je tato prace pouze vychozım bodem a shlukemmyslenek pro navazujıcı projekt vetsıch rozmeru, kdy mnoho problemu stale cekana vyresenı). V uvodu je vhodne podotknout, ze charakter teto bakalarske praceje implementacnı a nasledne simulacnı. Je tedy snaha naplnit ustalene schema propodobny druh pracı: teorie - analyza - implementace - vysledky - zhodnocenı.

Tato pruvodnı zprava byla koncipovana tak, aby prehledne a logicky vysvetlilakrok po kroku vytvarenı jak generatoru, tak analytickeho bloku a na zaklade techtovedomostı presentovala vysledky v sirsıch souvislostech.

1.2 Konspekt

Nasledujıcı radky jsou venovany kratkemu seznamenı se s obsahem bakalarskehoprojektu.

Uvod do fraktalnı geometrie, nastıneny v prvnıch trech kapitolach, ma resersnıpresah, nebot’ na tomto stezejnım pojmu je cela prace vystavena. V teto oblastitak plynule navazuje na Semestralnı projekt, z jehoz zaveru cerpa. Zaroven jetento projekt prıtomen v podobe nekolika pocatecnıch (prepracovanych) kapitol.Fraktalum je celkove venovano vıce pozornosti, nez by v pomeru k dulezitostiostatnıch kapitol bylo adekvatnı. Je tomu tak z duvodu, ktery – jak autor doufa– nekolik stranek ve prospech fraktalu ospravedlnuje: nenı mnoho kvalitnı ceskeliteratury venujıcı se fraktalum smerem jımz se vydava tato prace. Nadto je uplnepochopenı fraktalnı geometrie nezbytne.

Rovnez popisu jednotlivych aplikacnıch sekcı v programu MatLab je venovandostatek prostoru v rozmezı kapitol 6. a 9. Oddıly 7. a 8. pak pojednavajı oantennı technice, konkretne mikropaskovych antenach, jez fyzikalne konkretizujıdoposud vytvorene matematicke modely. Predposlenı 11. kapitola,venovana opti-malizacnım algoritmum, reflektuje vyvoj v teto oblasti, kratce jednotlive druhyoptimalizacnıch metod popisuje a navrhuje vhodne moznosti realizace na jizdokoncenem simulatoru.

Zaver kratce spravuje o dosazenych vysledcıch, presentovanych vpredchazejıcıch kapitolach; navazujıcı dodatky sumarizujı fakta, jejichz uvedenıuvnitr state by text zneprehlednilo. Jedna se zejmena o uplny vycet realizovanychfunkcı a vypis obsahu pruvodnıho CD. Prılohy uzavıra vyvojovy diagrampriblizujıcı funkci programu a take screenshoty rozhranı programu.

2

Kapitola 2

Historie, vznik a vyvoj fraktalu

”Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not

circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straightline.1“

— Benoit B. Mandelbrot

Euklidovska geometrie, zrcadlıcı se v nasem zjednodusenem uvazovanı o svetea vyucujıcı se na zakladnıch skolach, je ve sve podstate naprosto primitivnı.Predstavit si ctverec, kruh ci krychli nepredstavuje zadny problem – vsak taketyto utvary byly objeveny jiz pred 3500 lety starymi Reky a za tuto dobu seoperace s nimi staly intuitivnımi a samozrejmymi.

Mozna prave proto si prvnı struktury, pozdeji nazvane fraktaly, vydobyvalysve pozice tak obtızne. Jednou z prvnıch takovych konstukcı byla spojita funkceKarlaWeierstrasse, ktera ovsem nemela v zadnem bode derivaci2. Nasledneprichazı George Cantor s diskontinuem, Helge von Koch s nekonecne dlouhoukrivkou . . .

Vsechny tyto struktury byly prijımany matematickou verejnostı chladne, daloby se rıci az s odporem3. Je to pochopitelne – byly nositeli vlastnostı, ktere pouka-zovaly na nutnost revidovat dogmaticky a modernı vedou tezce zkouseny pohled nasvet. Tvrdilo se, ze jsou

”matematickymi strasaky“ ci

”monstry“. Neodpovıdaly

1Mraky nejsou kulovite, hory nejsou kuzele, pobrezı nenı kruhove a kura nenı hladka; anisvetlo necestuje prımo.

2Objevena roku 1872.3Ch.Hermite v dopise T. Stieltjesovi o Weierstrasseho krivce: ”. . . odvratil jsem se s hruzou a

osklivostı od toho politovanıhodneho zla, kterym jsou funkce bez derivace. . . “ [3]

3

Modalnı analyza fraktalnıch anten

totiz ani v nejmensım matematickym potrebam symetrie a”cistoty“. Nadto se

tyto obrazce obtızne definovaly a popisovaly. Pro tyto vlastnosti se v obdobı naprelomu 19. a 20. stoletı fraktalum venujı pouze nadsenci – mezi nez patrı nekolikmatematiku a umelcu.

Behem 20. stoletı se zacına skutecne ukazovat, kterak jsou jiste fraktalnı struk-tury vhodne pro popis reality. Dokonce mnohem vıce nez euklidovska geome-trie. Fraktalnı geometrie mnohem vıce zohlednuje clenitost a slozitost nasehosveta. To je obrovsky rozdıl oproti typicky

”hladke“ geometrii – ta mnoho

relevancı (ztratove) aproximuje. Fyzika, obor, ktery tak casto a nadsene reflektujepoznatky matematiky, narazı tez na problemy. Popis pohybu dvou bodu v sous-tave a jejich vzajemna interakce4 je bezproblemovy, ale jiz pri snaze popsat pohybtrı teles narazıme na neprekonatelne obtıze. Analyticke resenı teto situace neexis-tuje a celek se chova chaoticky a to i pres to, ze situace chaoticka nenı. Systemu,ktere se takto chovajı se postupem casu objevuje mnoho – turbulentnı pohybytekutin, vyvoj pocası, chovanı na burze, rozlozenı hmoty ve vesmıru, vyska kteredosahuje reka pri pravidelnych zaplavach a mnoho dalsıch. Jelikoz prave fraktalybudou shledany

”podivnymi“ atraktory vetsiny techto systemu, nebo je alespon

dokazı uspokojive popsat, tusıme zde rozsahle propojenı fraktalu se svetem a jehozakonitostmi.

Prichazı 70. leta 20. st. a s nimi – jak ho pregnantne nazyvajı pratele – nekon-vencnı

”outsider“ Benoit B.Mandelbrot, oznacovany tez za otce fraktalu. Tento

matematik se jednoho st’astneho dne stretava s problemem, ktery ma fraktalnıcharakter. Snazı se totiz odhalit zakonitosti fluktuace cen bavlny. Na stejnyproblem narazı i u dalsıho ukolu – odhalenı chyb na telekomunikacnı lince. Uprveho problemu sice nedokaze vysledovat chovanı cen, celkovy trend se ovsemopakuje v ruznych casovych merıtkach. U druheho problemu nachazı podobnostvyskytu chyb s rozlozenım Cantorova diskontinua. Na zaklade techto dvou poz-natku se zacına o sobepodobnost5 blıze zajımat.

Prave v teto dobe vznikajı knihy [5] a predevsım slavna [4]. V techto knihachuzıva Mandelbrot svuj typicky styl vykladu, pomocı nehoz postupuje vpred jaksiintuitivne bez presnych vet a definicı naprıc mnoha vednımi obory. Za tentoprıstup (dalece vzdalenemu od rigoroznıho stylu matematiku) si vyslouzil ze stranykolegu mnoho kritiky. Presto dıky temto dvema kniham vznika novy obor matem-atiky – fraktalnı geometrie.6 Na Mandelbrotovu pocest je po nem pozdeji poj-menovan nejznamejsı z fraktalu –Mandelbrotova mnozina. Sice Mandelbrot nebylprvnım, kdo mnozinu objevil, ale byl prvnım, kdo ji popsal a publikoval.

4Za prıklad poslouzı pohyb Zeme a Slunce vesmırem.5Charakteristicka vlastnost fraktalu.6Teprve zde se poprve objevuje slovo Fraktal. Mandelbrot ho odvodil z latinskeho slova

fractus – ”rozlamany, rozbity“ [5, str.11].

4


Od te doby je fraktalum venovana stale vetsı pozornost, a to jak prımymhledanım a studiem novych struktur, ci neprımo jejich vyuzitım (to je prıpad i tetoprace). Fraktaly nasly postupne uplatnenı v

”chaotickych“ vedach, softwarovem

inzenyrstvı, elektronice atd.

5

Kapitola 3

Teorie fraktalu

3.1 Definice fraktalu

Chceme-li nadale uzıvat termınu fraktal, je potreba ho (exaktne) definovat. Tımbudeme schopni rıci, co fraktalem je a co nenı. Obecne existujı dva prıstupyk teto definici, ktere se vetsinou uvadejı paralelne. Prvnı tvrzenı pochazı odB. B.Mandelbrota, druhe je ciste matematickou definicı.

Fraktal podle B.B.Mandelbrota:

”Fraktalem je kazdy objekt, jehoz topologicka dimenze se lisı od dimenze

fraktalnı (Hausdorffovy).“ [5]

tedy:Dt 6= Dh (3.1)

Fraktal podle matematiky:1

”Fraktal je objekt, jehoz geometricka struktura se opakuje v nem

samem. Fraktaly se delı na sobepodobne a sobeprıbuzne.“ [3] [4]

Prva definice bude pro svou nazornost probrana nıze. K tomu je potreba definovatnekolik dalsıch termınu.

1Ve skutecnosti zadna korektnı matematicka definice dodnes neexistuje. Uvedena pro uplnost;bez dalsıch podrobnostı.

6

Modalnı analyza fraktalnıch anten 3.2. Topologicka a Hausdorffova dimenze

3.2 Topologicka a Hausdorffova dimenze

Topologicka dimenze (Dt)

Topologicka dimenze je jednım z udaju, ktery potrebujeme zıskat pro porovnanıklasickeho hladkeho utvaru a fraktalu. Tuto dimenzi dobre zname a intuitivnechapeme; nazyvame ji zpravidla mohutnostı prostoru, nebo take stupnem volnosti.

Topologicka dimenze nabyva hodnoty celeho nezaporneho cısla, nejcasteji0, 1, 2, 3, obecne vsak 0, 1, 2 . . .∞. Cıslo nam rıka, kolika smery je moznepohybovat po objektu s bodem, resp. kolika udaji se da presne popsat pozice boduna/v utvaru. V prıpade jednoho bodu Dt = 0, v prıpade spojite krivky Dt = 1a tak dale. To ovsem neznamena, ze krivka s dimenzı jedna je zobrazovana vjednorozmernem prostoru. Prehledneji to ukazuje tabulka:

Hodnota Dt Prıklad uvaru Moznosti pohybu0 bod Bez mozneho pohybu1 krivka Pohyb po delce l2 plocha Pohyb po plose [x, y]3 prostor Pohyb v prostoru [x, y, z]4 . . . Pohyb napr. v hyperkomplexnı rovine

Tabulka 3.1: Hodnoty topologicke dimenze.

Tato tabulka platı ovsem pouze pro hladke, euklidovske utvary. At’ merımehladkou krivku v jakemkoliv merıtku, dostaneme vzdy konecne cıslo.

V prıpade fraktalu, jak dokazal napr. Richardson pri merenı delky pobrezı,je tento popis nedostatecny, nebot’ do hry vstupuje merıtko. Ve sve studii totizukazal, ze slozitost (v tomto prıpade udaj o delce pobrezı) je umerna merıtku, vnemz pobrezı merıme.2 Budeme-li postupovat s presnostı 1km, dostaneme radovejiny vysledek, nez pokud kolem pobrezı pujdeme se skolnım pravıtkem. Pokudbychom merıtko zmensovali nadevsechny meze, dostali bychom nekonecnou delku.Prave z duvodu tohoto narustanı slozitosti napr. v modernıch atlasech udaj o delce

2Pro uplnost – na zaklade mnoha dat se mu povedlo empiricky odvodit nasledujıcıvztah zavislosti delky pobrezı na zvolenem merıtku. Konstanta D je de-factofraktalnı (Hausdorffovo) dimenzı. Jejı skutecny vyznam odhalil az Mandelbrot.

K = NεD ,

kde: K – delka pobrezı, N – pocet usecek nutnych k aproximaci, ε – delka meridla,D – fraktalnı dimenze.

7


pobrezı nebo delce hranic sousednıch statu chybı. Tento udaj totiz nema zadnysmysl, dokonce i na umele zvolenych hranicıch,3 ktere zname ze statu Afriky aUSA. Tım se dostavame k druhe casti kapitoly.

Hausdorffova dimenze (Dh)

Pro vetsinu utvaru, vyskytujıcıch se v okolnım svete, dostacuje uvazovat pouzetopologickou dimenzi, ktera byla diskutovana vyse. Nikoliv ovsem pro fraktaly. Naprıkladu merenı pobrezı bylo videt, ze slozitost krivky roste do nekonecna. Intu-itivne tedy zabıra v prostoru

”vıce mısta“ nez krivka hladka. Presto ale nezabıra

vsechno mısto (pak by se stala plochou). Je tedy jasne, ze dimenze teto krivky budez intervalu (1, 2) a nebude celym cıslem. Toto necele cıslo se obecne nazyva fraktalnıdimenzı.4 Pro tuto vlastnost lze fraktaly definovat jako uvary s necelocıselnou di-menzı Dh, resp. dimenzı lisıcı se od dimenze topologicke (ve shode s Mandelbrotovodefinicı fraktalu).

Nadto rozdıl ∆f = |Dh − Dt| udava mıru slozitosti objektu. Tato hodnotamuze limitne nabyvat hodnoty ∆f → 15 a platı, ze s rostoucı hodnotou roste iuroven clenitosti objektu.

Pro predstavu je uvedena tabulka s fraktalnımi dimenzemi nekolika prırodnıchobjektu tak, jak se uvadejı v literature ([3] [W2] a jine):

Prırodnı utvar Odhad Dh

Pobrezı ∼ 1.26Povrch mozku cloveka ∼ 2.76

Povrch neerodovanych skal ∼ 2.2 − 2.3Obvod 2D prumetu mraku ∼ 1.33

Tabulka 3.2: Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro nektere prırodnı utvary.

3Zde muze hodnota nekontrolovatelne rust vlivem vyskovych rozdılu.4Casto pouzıvanym termınem je take Hausdorffova-Besicovicova nebo jen Hausdorffova di-

menze, dale se pouzıva termın Kolmogorovova dimenze, nebo tez kapacita.5Tato hodnota platı pouze pro ”krivkovy“ fraktal v plose – Sierpinskeho trojuhelnık, Man-

delbrotovu mnozinu aj. Pokud by fraktal byl stejne povahy, ale umısten v objemu, tato limitaby se mohla blızit dvema.

8


Vypocet Hausdorffovy dimenze

Pro vypocet Dh platı:

Dh = limε→0

ln N(ε)

ln(1ε)

= limε→0

log N(ε)

log(1ε)

, (3.2)

kde N(ε) je minimalnı pocet elementarnıch utvaru a ε je merıtko. ε je prvnımparametrem, ktery ma zcela prakticky vyznam pro tuto praci – jeho castecneanalogie ke kontrakci vyuzıva IFS generator. Pro merıtko ε platı:

ε =1

N1

Dh

(3.3)

Pokud vyraz upravıme:

log ε = − log N1

Dh (3.4)

Tedy:

Dh =log N

log (1ε), (3.5)

kde N oznacuje faktor zmeny delky a 1ε

faktor zmeny merıtka.

Vztah (2.5) lze uzıt pouze u fraktalu tzv. sobepodobnych, zatımco vztah (2.2) lzeuzıt i u fraktalu sobeprıbuznych, ktere jsou obecneji definovane nez fraktalysobepodobne (nelze u nich proto vypustit lim ε → 0).

Na zaver uvedu prehled nejdulezitejsıch dimenzı Dh a merıtek ε.

Geometricky utvar ε Dh

Usecka 1N

1

Ctverec 1

N12

2

Krychle 1

N13

3

Cantorovo diskontinuum 13

0.6309Kochova krivka 1

31.2619

Sierpinskeho trojuhelnık (12)n 1.5850

Tabulka 3.3: Hodnoty Hausdorffovy dimenze geometrickych utvaru a zakladnıchfraktalu.

9

Modalnı analyza fraktalnıch anten 3.3. Sobepodobnost, sobeprıbuznost

3.3 Sobepodobnost, sobeprıbuznost

Sobepodobnost

Pro popis fraktalu je tento pojem stezejnı. Kazdy fraktal je pomocı tohoto (neboslabsı obdoby – sobepodobnosti) pojmu definovan. Sobepodobnost6 je jednım zhlavnıch znaku fraktalnıch utvaru.

Sobepodobnost podle Mandelbrota:

”Kterakoliv cast fraktalu je presnou kopiı puvodnıho motivu.“ [3] [4]

[W2]

Mandelbrotovuv pojem sobepodobnosti matematizoval Hutchinson,7 kteryvychazel z toho, ze sobepodobne mnoziny jsou podobne celku, zmensenemu jistymmerıtkem. Jelikoz se se sobepodobnymi fraktaly lze setkat pouze v matematice ajsou pouhou idealizacı, ktera v prırode nenı mozna, pokusım se sobepodobnost imatematicky zadefinovat.

Definujme tedy sobepodobnou podmnozinu W obecne n-rozmerneho eukli-dovskeho prostoru Rn tak, ze existuje konecne mnoho kontraktivnıch, prıp. iafinnıch zobrazenı (transformacı).8

w1, w2, . . . , wm : Rn → Rn (3.6)

takovych, ze dale platı:

W =m⋃

i=1

wi(W ) , (3.7)

pritom pro libovolna i 6= j obsahuje prunik

wi(W ) ∩ wj(W ) (3.8)

jen konecny pocet prvku (nebo je prazdny). Na potenci Rn je zobrazenımi definovanoperator

w(X) =m⋃

i=1

wi(X) , X ⊆ Rn (3.9)

ktery se nazyva Hutchinsonuv operator. Vıce o tomto operatoru bude uvedeno vkapitole o generaci IFS, kde zastava stezejnı roli.

6V matematice se pouzıva termınu ”invariace vzhledem ke zmene merıtka.“7Vıce infomacı napr. clanek [A4]8Dale vyklad pokracuje analogicky s [3], pouze s transkripcı symbolu z [A4].

10

Modalnı analyza fraktalnıch anten 3.4. Ukazky zakladnıch fraktalu

Mnozina definovana pomocı tohoto operatoru ma nekolik velmi zajımavychvlastnostı:

Sobepodobna mnozina vznika opakovanım sebe sama pri urcite transfor-maci (zmena merıtka, rotace, posunutı, zkosenı. . . ).

Sobepodobne mnoziny jsou invariantnı vuci zmene merıtka. Pri libovolnemzvetsenı ci zmensenı vypadajı stejne (viz obrazky nıze).

Sobepodobna mnozina vznika sama ze sebe, resp. vznika opakovanım motivu.

Tato definice obsahuje velmi striktnı kriteria, ktera splnuje jen mala castzkoumanych utvaru.9 Z tohoto duvodu se zpravidla zavadı dva druhysobepodobnosti: presna a statisticka. Pro jejich nedulezitost v intencıch teto pracenebudou dale probırany. Vıce informacı viz [3].

Sobeprıbuznost

Definuje se nasledovne:

”Kterakoliv cast fraktalu je podobna vzoru. Jde o slabsı zavislost nez

sobepodobnost; ruzne pohledy nemusı byt nutne tvarove stejne, nybzpodobne.“ [4] [W2]

V prırode se jedna napr. o vetve, koreny stromu, mraky, poustnı duny, delty rek,pohledy na pobrezı v ruznych merıtkach apod. Pro komplikovanou matematickouformulaci se zde omezıme pouze na definici uvednou vyse.

3.4 Ukazky zakladnıch fraktalu

Tato podkapitola byla zarazena pro jednoduchost a nazornost, s jakou je moznepresentovat fraktaly ve forme ilustrace. Bylo vybrano nekolik zakladnıch, navzajemruznorodych fraktalu, dale doplnenych o kratky komentar.

Naprosta vetsina z nich jiz nasla sve uplatnenı, casto vne vedecko-technickehoramce, tak jako v prıpade fraktalu uziteho filozofem Hegelem, skrytym vPascalovo pravdepodobnostnım trojuhelnıku [W2] nebo fraktaly vyzdobena bazi-lika v Italii [3, Obr.8].

Tato cast nenı nezbytne nutna pro vlastnı vyklad; lze pokracovat kapitolou 4.na strane 17.

9Fraktal casto nabyva v ruznych castech ruzne velke hodnoty Hausdorffovy dimenze, a protoje vypocet na zaklade sobepodobnosti obtızny.

11


Brownuv pohyb

Brownuv pohyb je dostatecne znamym fenomenem, aby se obesel bez ilustrace.Jedna se o nahodily pohyb castecek hmoty vlivem nenulove absolutnı teplotytelesa. Tento pohyb je fraktalnı povahy. Lze pomerne verne simulovat na pocıtaci.Takto vytvorene programy se uzıvajı naprıklad na generaci recist’ rek apod.

Bifurkacnı graf

Tento proces ma dynamickou povahu, protoze system se vyvıjı v case. Tento typfraktalu tedy muzeme zaradit mezi dynamicke systemy (kapitola 3.3).

Obrazek 3.1: Bifurkacnı graf

Rust v urcitem obdobı zavisı na stavu populace v obdobı minulem. Pripohledu zleva doprava, jak pribyva cas, vidıme efekt tzv.

”zdvojovanı periody“.

Tento jev se vyskytuje u mnoha dynamickych systemu tesne predtım, nez systempodlehne chaosu (fibrilace srdecnıch komor, kapanı vody z povoleneho kohoutku).Poslednı tretina zcela napravo je chaoticke povahy a o vyvoji populace nemuzemes jistotou dopredu nic rıci.

Dynamicky zakon populacnıho rustu:

xn+1 = f (x, n) = xn + rxn(1− xn) (3.10)

Tento system je stabilnı pouze pro dve hodnoty (1 a 0). Vıce [W2].

12


Lorencuv atraktor

Tento podivny atraktor je prvnı, ktery se kdy povedlo vygenerovat. Ackoliv techtoprubehu existuje nekonecne mnoho, nikdy se zadny neprotne s jinym; a to ani priprubehu mezi

”ovaly“.10

Obrazek 3.2: Lorencuv atraktor

Ed Lorenz se zabyval pocasım a moznostmi ho dostatecne presne predpovedet.Na jeho – z dnesnıho pohledu – starickem pocıtaci se mu povedlo nakonec vykreslittento obrazek vznikly podle 3 dynamickych rovnic. Pridrzıme-li se pocası, je tentoatraktor, jak sam rıka, mapa podnebı. Neboli moznych stavu systemu. Mimo tentoatraktor tedy lezı takove stavy jako je snıh na Sahare nebo tropicke pocası napolech. Ackoliv tyto stavy mohou s jistou pravdepodobnostı kratkodobe nastat,jsou velmi rychle pritahovany k tomuto atraktoru.

”Typicke“ pocası zkratka putuje

po teto krivce.Jak je ovsem videt, je tento atraktor velmi slozity, de-facto nekonecne slozity.

Navıc je, tak jako vsechny chaoticke systemy, velmi citlivy na pocatecnı hodnoty.Z toho je patrne, ze stoprocentnı predpoved’ pocası nenı nikdy mozna.

10Obrazek 2.2 zobrazuje konecne mnoho periodickych prubehu. Je to zpusobeno omezujıcımipodmınkami a skutecnostı, ze fraktal byl generovan na pocıtaci s omezenymi schopnostmi.

13


Mandelbrotova mnozina

Tento objekt je povazovan za jakousi ikonu vsech fraktalu. Jedna se o ne-linearnı (viz rovnice 2.11) deterministicky fraktal. Tento fraktal, generovany podlejednoduche rovnice

zn+1 = z2n + c ; z, c ∈ C (3.11)

je tım nejslozitejsım utvarem, ktery lze vygenerovat. Jeho topologicka dimenze jerovna 1, jeho fraktalnı dimenze je ovsem 2. K plnemu pochopenı je potreba siuvedomit, ze tento fraktal je pouha krivka, ktera ovsem zabıra v plose prostor,ktery vidıme na obrazku.

Obrazek 3.3: Mandelbrotova mnozina, pohled na celek

Generace zacına s jistou pocatecnı hodnotou z0 a nasledne se behem iteracemenı zn na zn+1 s tım, ze c zustava konstatnı. Nynı musıme rozhodnout, zdaposloupnost zn konvegruje ci diverguje pro pocatecnı hodnoty z0 a c. Zname-li tedy nynı posloupnost, ktera po nekonecnem poctu iteracı podle funkce 2.11nema body v nekonecnu, muzeme posloupnoust techto bodu nazvat Mandelbro-tovo mnozinou.11 Zacına se v nule, parametr je komplexnı cıslo c.

Obr. 3.4 ukazuje jeden z detailu. V mnozine se da najıt mnoho zajımavych mısts pozoruhodnymi vlastnostmi. Nektere oblasti jiz byly dokonce pojmenovany.12

11Anglicky Mandelbrot set nebo M-set12Napr. Elephantine valley – pripomına udolı na nemz stojı v rade se zvetsujıcı sloni

14


Obrazek 3.4: Mandelbrotova mnozina, detail

Pascaluv trojuhelnık

Tohoto trojuhelnıku se vyuzıva v pravdepodobnostnı matematice. Primarne nemas fraktaly zcela jiste nic spolecneho. O to vetsım bylo prekvapenım najıt v nemparalelu se Sierpinskeho trojuhelnıkem (vzhuru nohama). Pokud vybereme pouzesuda cısla, tedy opet zcela ne-fraktalnı zavislost a vyznacıme je at’ uz tucnenebo pevnou hranicı jako na obrazku, zobrazı se nam fraktal. Vzhledem k tomu,ze Pascaluv trojuhelık nema pevnou zakladnu a ze jejı sıre se stale zvetsuje,bude fraktal nekonecny. Pro vetsı nazornost je lepsı obsahnout co nejvıce patertrojuhelnıka.

Hegeluv system

Hegel byl jednım z nejvetsıch filozofu a pravdepodobne tım nejvetsım nemeckymfilozofem pocatku 19. stoletı (nakolik snese srovnanı s Schopenhauerem ciNietzschem patrı asi do jine prace). I v dnesnı dobe stojı svym vyznamem bokpo boku dalsım filozofickym velikanum. Ackoliv nakonec Hegel ve sve filozofiiztroskotava, zustava jeho ucenı pro filozofii cenne. Tento obrazek, umısteny spısejako vsuvka, dokazuje jak jsou fraktaly uzitecne.

15


Obrazek 3.5: Fraktalnı struktura v Pascalove trojuhelnıku

Obrazek 3.6: Fraktal v Hegelove systemu

16

Kapitola 4

Rozdelenı fraktalu

Na obrazcıch v minule kapitole bylo videt, jak clenite a ruzne mohou fraktaly byt.Postupem casu je zacali matematici (tak jako cokoliv jineho) na zaklade nekterychspolecnych vlastnostı rozdelovat do skupin. Tyto skupiny jsou v soucastne dobectyri. Ackoliv fraktaly z ruznych skupin se jinak generujı, popisujı a zpravidla seuzıvajı i v jinych oborech, nektere obrazce lze generovat i ve vıce systemech.1

Zakladnı rozdelenı fraktalu:

L-systemy

IFS - system iterovanych funkcı

Dynamicke systemy

Nepravidelne fraktaly

4.1 L-systemy

Lindenmayerovy systemy jsou skupinou fraktalu definovane pomocı prepisovacıchgramatik. Podstatou tvorby L-systemu je prepisovanı retezcu podle urcitychpravidel. Kazdemu symbolu v retezci je prisouzen jisty geometricky vyznam,naprıklad transformaci ci generovanı objektu.

Fraktalem se L-systemy stavajı po pouzitı iterace, tedy pouzitı iterace v gra-matice.2 S pomocı techto systemu lze vygenerovat fraktaly, ktere se podobajı rost-linam, stromum a dalsım prırodnım utvarum.

1Napr. Sierpinskeho trojuhelnık lze vygenerovat pomocı L-systemu i pomocı IFS.2Pouzıva se specificke dvojice znacek, do kterych se iterovany vyraz uzavre.

17

Modalnı analyza fraktalnıch anten 4.2. System iterovanych funkcı IFS

Protoze vsak tyto systemy nemajı nic spolecneho se zadanym ukolem, nebudesi jimi prace dale zabyvat. Tato problematika je dostatecne zpracovana v literatureo fraktalech.

4.2 System iterovanych funkcı IFS

Soubor techto fraktalu v prırode nenajdeme. Jsou pouhou idealizacı vzniklou vpocıtacıch. Tyto fraktaly jsou prısne sobepodobne a neobsahujı zadne nepravidel-nosti ve fraktalnı strukture. IFS ve sve podstate nenı nazvem druhu fraktalu, aleoznacenım zpusobu generace. Jak se tyto fraktaly vytvarejı je uvedeno v kapitole5.

Pro svuj umely puvod nachazı uplatnenı ve vedeckych aplikacıch. Tyto fraktalyzabırajı velmi malo mısta v pameti pocıtace – predstavujı je pouze seznamy vrcholua transformacı. I proto lze IFS vyuzıt jako kompresnı algorimus nebo jako editorpravidelnych textur apod. Prave techto struktur vyuzıva tato prace pro generacianten. V dalsıch kapitolach bude ukazan zpusob jejich generace konkretne, vcetneimplementace maticovych struktur do programu MatLab.

Zvlastnı moznostı doplnujıcı deterministickou generaci IFS tak jak bylapopsana vyse, kdy je kazda transformace v jednom kroku provedena presne jed-nou, je generace stochasticka. Vse probıha stejne az do chvıle, kdy se ma provesttransformace. Ty jsou totiz v tomto prıpade popsany pravdepodobnostı, s jakouse majı provadet (dohromady vzdy 1, tedy 100%). Takto vznikly fraktal nenı zcelapravidelny jako fraktal vznikly deterministickou cestou. Presto vykazuje stejnytvar a konverguje-li pocet iteracı k nekonecnu, jsou identicke.

4.3 Dynamicke systemy

Dynamicke systemy jsou tım typem fraktalu, ktery ma v praxi pravdepodobnenejsirsı uplatnenı. Dynamicky system je matematicky model zavisly na urcitepromenne, zpravidla na case. Vychazı z pocatecnıch podmınek, jimiz je jimi vcase determinovan.

Existujı dynamicke systemy, ktere se po urcitem case neustalı v pevnem stavu,ale ani nedivergujı. Tento prıpad, ktery pripomına iracionalnı cısla, ma vetsinoufraktalnı dynamiku a oznacuje se termınem

”deterministicky chaos.“

Dynamicky system sestava ze stavoveho prostoru, jehoz souradnice popisujıstav systemu v danem case a z dynamickych podmınek, ktere popisujı zmenutohoto systemu v case. Stav systemu je potom popsan vektorem, ktery cely lezı

18

Modalnı analyza fraktalnıch anten 4.3. Dynamicke systemy

ve stavovem prostoru. Dynamicke podmınky jsou vetsinou zadany soustavoudiferencialnıch rovnic popisujıch zmenu stavoveho vektoru v case. Zmena stavudynamickeho systemu se uskutecnuje provedenım techto diferencialnıch rovnic anahrazenım stareho vektoru vektorem novym.

Dynamicky system muze byt deterministicky nebo stochasticky (nahodny).Deterministicky dynamicky system lze pomerne presne popsat, zatımco usystemu stochastickeho jsme odkazani pouze na statisticke vlastnosti takovehosystemu (naprıklad strednı hodnota, disperze, smerodatna odchylka, centralnımoment aj.).

Atraktor dynamickeho systemu

Atraktor3 dynamickeho systemu je stav, do nehoz system smeruje. Je to tedylokace stavoveho vektoru v nekonecnem case.

System muze spet do jednoho z nasledujıcıch atraktoru:

pevny bod (napr. u kyvadla)

periodicke body (napr. obeh Zeme kolem Slunce)

kvaziperiodicke body

chaoticky atraktor (napr. sirka postavena na hlavicku)

podivny atraktor (viz nıze)

Ze vsech techto moznostı bude kratce zmınen pouze poslednı z vyctu, tedy podivnyatraktor.

Podivny atraktor4 je zdaleka nejzajımavejsım prıkladem atraktoru. Tentoatraktor muze byt velmi komplikovany a chaoticky, presto bude vzdy vykazo-vat nektere pravidelnosti a vlastnosti shodne s fraktaly. Podivny atraktor tedymuzeme povazovat za fraktal. Striktne empiricky popis techto objektu zatım nenıznam. Prvnı podivny atraktor objevil Ed Lorenz v roce 1963 a je znam pod jehojmenem (vıce viz. kapitola 2.4).

3Anglicky attractor – ”pritahovat, upoutat“4Anglicky strange attractor ; poprve zaveden roku 1970.

19

Modalnı analyza fraktalnıch anten 4.4. Nepravidelne fraktaly

4.4 Nepravidelne fraktaly

Poslednı skupinou jsou fraktaly nepravidelne, vyuzıvajıcı ke svemu vznikunahodu (resp. pravdepodobnost). Tato skupina nevznikla, jak by se ctenar mohlmylne domnıvat, pro zarazenı vsech zbyvajıcıch fraktalu. Pro vznik techto utvaruse vyuzıva generatoru nahodnych cısel – at’ uz gaussovo ci jineho prubehu.

Ve vsech trech predchozıch prıpadech, s malou vyjimkou v prıpade stocha-stickych IFS, vznikaly soumerne a pravidelne fraktaly. Tento stav ovsem nenıvzdy zadoucı – naprıklad v pocıtacove grafice, kdy je potreba vygenerovat stromtezko pouzijeme klasickych L-systemu; strom v prırode take neroste rovnomernea jednotlive vetve jsou v ruznych vyskach a ruzne dlouhe. Pro tyto ucely bylavyvinuta nahodna generace.

Nahodne fraktaly mohou vznikat nasledujıcımi zpusoby:

1. pomocı simulace Brownova pohybu (jak v plose, tak v prostoru)

2. metodou presouvanı strednıho bodu5

3. spektralnı syntezou (vychazı z Fourierovy rady)6

5Kratka ukazka pro Sierpinskeho trojuhelnık: Nakresleme na papır 3 body, vrcholytrojuhelnıka. Dale zvolme jeden bod libovolne na papıre. Dalsı zakresleme v polovine usecky spo-jujıcı nas bod a libovolny vrchol, ktery si zvolıme. Budeme-li tento postup opakovat dostatecnedlouho, objevı se nam fraktal.

6Podle [W2].

20

Kapitola 5

Teorie generace IFS

IFS algoritmy pracujı s afinnımi transformacemi a zjednodusene receno nedelajı nicjineho, nez ze v postupnych iteracıch nad zvolenym objektem a objekty postupnevznikajıcımi provadejı tyto transformace. Afinnı transformace lze reprezentovatruzne, ale idealnım zpusobem se jevı zapis a prace s nimi v maticove podobe. Tonam take pomaha, pokud chceme generator navrhnout v programu MatLab, kterypracuje taktez s maticemi.

V teto kapitole bude zmınena nejnutnejsı teorie generace IFS. Tatoteorie musı byt, a take je, prımo implementovana do budoucıho generatoru.Tım zde de-facto zacına popis programu. System iterovanych funkcı pracujes mnozinou bodu, jakozto objektem, a s transformacemi, ktere vzniknouslozenım (nekolika) tzv. afinnıch transformacı.1 Pomocı techto transformacı uzivatel

”pokryje“ zakladnı objekt. V kazdem kroku behu programu se nactou objekty

vypocıtane v minule iteraci a nad temito objekty se realizuje aplikace jednotlivychtransformacı. Nove vznikle objekty se zapısı na konec fronty a zaroven se dokreslıdo existujıcı kolaze. V dalsım kroku jsou jako zakladnı objekty k vypoctum pouzitytyto. Slozitost vypoctu rychle narusta – operace se provadejı nad kazdym poly-gonem v plose a spolu se vzrustajıcım poctem zadanych bodu, transformacı neboiteracı je cas potrebny pro resenı exponencialne prodluzovan.

1Mezi afinnı transformace se pocıtajı vsechny zakladnı linearnı transformace – zmensenı,zvetsenı, rotace, zkosenı, posunutı, strih. Vıce viz 5.4

21

Modalnı analyza fraktalnıch anten 5.1. Zakladnı pojmy

5.1 Zakladnı pojmy

Linearnı algebra

Generace IFS pripomına cvicenı z linearnı algebry. Pro dalsı se predpokladazavedenı skalaru a vektoru (tj.mnoziny libovolnych prvku) a podmınek pro vzniklinearnıho prostoru.2

Maticovy pocet

Matice je usporadane schema realnych cısel v obecne forme mÖn. M i n jsou pevnedana cısla menıcı se pouze za zvlastnıch okolnostı jako je nasobenı. Matice budouznaceny velkymi pısmeny. Matici lze popsat bud’to jejı vlastnostı nebo radkovymici sloupcovymi vektory.

Metrika a metricky prostor

Metricky prostor je teoreticky mezikrok, podstatny pro odvozenı konktrakce aBanachovy vety. Jeho odvozenı je uvedeno na strance 90 v [3]. Z odvozenı jepodstatna pouze podoba metrickeho prostoru (X, d).

5.2 Pevny bod, kontraktivnı zobrazenı

Nasledujıcı cast aplikuje vetu o Banachove pevnem bodu:

Necht’ X je metricky prostor s metrikou d. Dale, necht’ f je funkce mapujıcımnozinu A na mnozinu X:

f : A → U (5.1)

pricemz A je podmnozinou mnoziny X.

Jestlize dale pro funkci f existuje bod x0 takovy, ze platı:

f(x0) = x0 (5.2)

tj. bod x0 je funkcı f mapovan sam na sebe, pak se bod x0 nazyva pevny bod.Pro predstavu; bod [0, 0] je funkcı nasobenı vzdy mapovan sam a sebe, tudız vsoustave realnych cısel a funkce nasobenı se jedna o pevny bod.

2Nad vektory je definovano: scıtanı a nasobenı, kumulativnost a asociativita scıtanı, existenceopacnych vektoru, platnost distributivnıho zakona apod.

22

Modalnı analyza fraktalnıch anten 5.3. Hutchisonuv operator, mnozina bodu, pokrytı

Je-li X metricky prostor s metrikou d a platı i vyse uvedene, pak zobrazenıf : X → X je kontraktivnı na mnozine A ⊆ X, pokud existuje δ ∈ (0, 1)takove, ze pro kazda p, q ∈ A platı:

d(f(p), f(q)) ≤ δd(p, q). (5.3)

Konstanta δ se nazyva kvocient kontrakce. Pro generaci IFS fraktalu je urcujıcı,aby zobrazenı bylo kontrakcı. Vznikajıcı kopie jsou tedy mensı nez objekt puvodnı,dochazı ke zmensovanı vzoru a tato posloupnost ma bodovy atraktor. Pokudzobrazenı nenı kontrakcı, velmi rychle rostou rozmery objektu. Tento stav nenızadoucı.

5.3 Hutchisonuv operator, mnozina bodu,

pokrytı

Hutchisonuv operator je definovan vztahem (3.9). V tomto vztahu figurujı velicinyw a X – zobrazenı, tedy transformace a mnozina bodu. Mnozina bodu X jemnozinou, nad kterou se realizujı transformace w tak, aby se nasel spolecny prunikvsemi realizovanymi transformacemi.

Tento vztah je stezejnı, ale v kodu lehce proveditelny, proto se o nem dalenebudeme zminovat.

Pokrytı zakladnıho objektu je ve skutecnosti zadanı transformacnıch matic.Na obrazku nıze je videt postup jak vse probıha. V idealnım prıpade uzivatelnakreslı / zada pomocı bodu zakladnı objekt a zadefinuje tez podobu objektuvzniklych prvnı iteracı programu. Vytvorenı takoveho algoritmu je ovsem obtıznea navıc rucnı zadavanı nenı dostatecne presne. IFS tedy vyuzıva popisu pomocıtransformacı zakladnıho objektu. V teto praci je vyuzito dvou vzajemne ekvi-valetnıch metod, a to bud’ zadavanı pomocı parametru transformacnıch maticuvedenych dale (jejich prepocet zarıdı MatLab), nebo pomocı nactenı externıhosouboru v preddefinovanem formatu (vyuzıva matice tvaru [a b c d e f ], ktera jenormou pro zadavanı IFS transformacı v cizojazycne literature). Je na uzivateli,zvolı-li prvnı ci druhou metodu. Program navıc funguje jako velmi primitivnıprevadec mezi obema druhy zapisu, jak je zmıneno v kapitole 6.

23

Modalnı analyza fraktalnıch anten 5.4. Transformace

Obrazek 5.1: Princip pokryvanı zakladnıho objektu

5.4 Transformace

Afinnı transformace je definovana vztahem:

x(w) = AW + B (5.4)

Tato rovnice muze byt dale rozepsana:

w :

(x2

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

) (x1

y1

)+

(b1

b2

)(5.5)

Jednotlive koeficienty matice A se uplatnujı pri rotaci, zkosenı a zmene merıtka,koeficienty matice B pri posunutı. Souradnice xn a yn nalezı iterovanemu bodu.

Vysledna matice je tedy typu 3Ö3 a vznika slozenım matic A a B tak, jak budeuvedeno dale. V nektere literature se dajı najıt i metody, kdy se matice nechavajırozdelene, ale to pouze ve chvıli, kdy mame jiz finalnı transformacnı matici, tedyprıpadny soucin dılcıch parametrizovanych afinnıch matic (transformacı). Vzhle-dem k tomu, ze ukolem teto prace je nalezt obecne resenı, je potreba se pridrzetnejobecnejsıho zadavanı matic.

Z receneho vyse vyplyva tvar matice 3Ö3 ve vztahu (5.6) vpravo.

w : [x2, y2, 1] = [x1, y1, 1]

a11 a12 0a21 a22 0tx ty 1

(5.6)

Kde tx resp. ty odpovıda b1 resp. b2 v (5.5). Tato matice bude dale v textuoznacovana jako Mat. Tato uprava, ackoliv zdanlive nepodstatna, umoznujevzajemne nasobenı pozadovanych matic, ktere se navolı pred vypoctem ulohy. Takese prehodı poradı pro nasobenı matice A s vektorem. Pred vyjmenovanım vsech

24


moznych transformacı provedeme jeste roznasobenı naznacene na (5.6). Tato sous-tava trı rovnic nazorne demonstruje vnitrnı mechanismy vypoctu bodu a umoznujerychle si overit vypocet matice Mat.

x2 = x1a11 + y1a12 + tx (5.7)

y2 = x1a21 + y1a22 + ty (5.8)

1 = 0x1 + 0y1 + 1 (5.9)

Vztah (5.9) nenı potreba dale uvadet. V matici pouze udrzuje kompaktnost 3Ö3.Uplatnil by se pouze v perspektivnım zobrazenı nebo v nelinearnı transformaci (anijedno nebude pro planarnı navrh potreba). Presto se v programu matice objevujecela.

Zakladnı matice transformacı:

Posun bodu v vektor [px, py].

Zmena merıtka s koeficientem Ms.

Horizontalnı zmena merıtka s koeficientem Mx.

Vertikalnı zmena merıtka s koeficientem My.

Horizontalnı zesikmenı s koeficientem Sx.

Vertikalnı zesikmenı s koeficientem Sy.

Rotace kolem pocatku o uhel α.

(Prazdna matice 3.)

Nynı budou podrobne popsany jednotlive transformace vcetne parametru, a tov poradı, v jakem se vyskytujı v generatoru IFS. Pridrzıme se upravy z [W2].Vsechny tyto operace lze vyuzıvat samostatne, nebo v libovolnych kombinacıch.4

3Resp. jednotkova matice: 1 0 00 1 00 0 1

Ackoliv tato matice nijak neovlivnı vysledek, umyslne byla pridana. Vyskytuje se totiz v napro-gramovanem generatoru.

4Pro tento prıpad obsahuje program funkce, ktere jednotlive transformace nactou, vynasobıa upravı.

25


Posun bodu o vektor [px, py]:

Zapis pomocı souradnic bodu:

x2 = x1 + px

y2 = y1 + py (5.10)

Transformacnı matice:

Mtrans1 =

1 0 00 1 0px py 0

(5.11)

Tato transformace posune bod v souradnicovem systemu x− y o zvoleny usek. Ato nezavisle na dalsıch transformacıch. Je treba pocıtat s tım, ze pokud napr. dalsızvolenou transformacnı maticı pro tuto transformaci bude zmena merıtka, jepotreba velikost posunu vynasobit obracenou hodnotou merıtka. Kontrakce totizprobıha vcetne prvnı iterace.

Zmena merıtka s koeficientem Ms:


x2 = Msx1

y2 = Msy1 (5.12)


Mtrans2 =

Ms 0 00 Ms 00 0 1

(5.13)

Tato transformace vynasobı koeficientem Ms souradnice vsech bodu. Obecne

platı –ma-li se jednat o IFS – ze Ms

!< 1. Jedna se tedy o kontrakci5. Jako

podmınka existence IFS fraktalu totiz platı nasledujıcı vztah:

limiter→∞

Mtrans2 w[xiter−1, yiter−1, 1] −→ 0 (5.14)

Tım je zajisten bodovy atraktor IFS systemu.

5Tj. zmensovanı rozmeru celeho objektu.

26


Horizontalnı zmena merıtka s koeficientem Mx:


x2 = Mxx1

y2 = y1 (5.15)


Mtrans3 =

Mx 0 00 1 00 0 0

(5.16)

Obdoba 2. transformace, nicmene tato menı pouze merıtko x-ove souradnice.Opet by melo Mx < 1.

Vertikalnı zmena merıtka s koeficientem My:


x2 = x1

y2 = Myy1 (5.17)


Mtrans4 =

1 0 00 My 00 0 0

(5.18)

Jako (4.13), pouze pro y-ovou souradnici.

Horizontalnı zesikmenı s koeficientem Sx:


x2 = x1 + Sxy1

y2 = y1 (5.19)


Mtrans5 =

1 0 0Sx 1 00 0 0

(5.20)

27

Modalnı analyza fraktalnıch anten 5.5. Zkracena matice transformace

Vertikalnı zesikmenı s koeficientem Sy:


x2 = x1

y2 = y1 + Syx1 (5.21)


Mtrans6 =

1 Sy 00 1 00 0 0

(5.22)

Rotace okolo pocatku o uhel α:


x2 = x1 cos(α)− y1 sin(α)

y2 = x1 sin(α) + y1 cos(α) (5.23)


Mtrans7 =

cos(α) sin(α) 0− sin(α) cos(α) 0

0 0 1

(5.24)

Nutno zadavat v radianech.

Toto byly vsechny zakladnı (linearnı) transformacnı matice, jejichz kom-binacı (soucinem) vznikne vysledna matice. Ta se ulozı jako jedna z transformacı(tr1, tr2 . . . trn)6.

5.5 Zkracena matice transformace

Velice casto lze natrefit v souvislosti se zadavanım transformacı na jiny druhzapisu. Naprıklad [A1],[A10],[A11] a [3] preferujı matici formatu [a b c d e f ]. Vtomto prıpade jde skutecne pouze o odlisny zpusob vyjadrenı jednotlivych trans-formacı. Z prvnı na druhou jsou potom tyto matice preveditelne.

6V cizojazycne literature se transformace zpravidla oznacujı (w1, w2 . . . wn) [A1] [A2].

28

Modalnı analyza fraktalnıch anten 5.5. Zkracena matice transformace

Jednotlive parametry definuje nasledujıcı rovnice, ktera je pouze prepisemvztahu (5.5):

w

(x1

x2

)=

(a bc d

) (x1

x2

)+

(ef

)(5.25)

kde koeficienty a a d odpovıdajı zmene merıtka ve smeru x resp. y, koeficienty e af representujı posun ve smeru x resp. y a konecne b a c odpovıdajı rotaci.

Tento zpusob je vyuzıvan programem v prıpade zadavanı transformacı sou-borem .txt, jak je uvedeno v nasledujıcı kapitole. Vyhodou je jednodussı formu-lace, problem nekdy muze byt fakt, ze tato matice neodpovıda afinnı transformacia v principu muze udavat libovolne slozitou transformaci (zpetne je obtızne ro-zlozitelna). Pro potreby generace IFS to ale nenı podstatne.

29

Kapitola 6

Generator IFS v MATLABu

Na zaklade teorie uvedene v kapitolach 3 a 5 byl naprogramovan generator, kterybude nynı popsan. Sklada se z 33 funkcı, ktere jsou vyjmenovany v Dodatku Akapitoly 12. Protoze kod i bez GUI obsahuje pres tisıc radku, nelze ho zde detailnepopisovat – prıpadny zajemce si muze cely program postupne prohlednout naprilozenem CD; nejdulezitejsı funkce jsou podrobne komentovane.

Zasadnım rozhodnutım byla volba promennych, protoze tyto se vyskytujı i vPDE casti a musı byt tedy kompaktibilnı. Nejdulezitejsı promenne jsou:

POINTS ARRAY

Globalnı promenna, rozmer n × 3, kde n urcuje aktualnı pocet pocatecnıchbodu (vrcholu). Dulezite jsou pouze sloupce c.1 a 2, poslednı sloupec je implicitnedoplnen na hodnotu 1.1 Tato matice je tedy promenlive delky a representujepocatecnı objekt.

Lze do nı body pridavat, nebo vzdy od poslednıho zadaneho odebırat, a to imezi behy programu. Tato promenna se take automaticky naplnı body, uchovanymiv 1. nebo 2. slotu, pokud je jeden z nich aktivovan. Body zadane do te doby jsousmazany. Podobny je postup, je-li nacten soubor bodu.

TRANSFORM ARRAY

Kazda submatice m × n z matice m × n × t odpovıda jedne zatım nevypocıtanetransformaci slozene z jednotlivych afinnıch transformacı (kde kazda radka modpovıda jedne). Hodnota t koresponduje s celkovym poctem transformacı.

1Snaha dodrzet konvenci neustale doplnovat matici do prostorove podoby. Pozdeji je tretısloupec opet odrıznut.

30

Modalnı analyza fraktalnıch anten 6.1. GUI

Tak jako u matice POINTS ARRAY lze transformace kdykoliv pridavat, neboubırat, zvolit nactenı zasobnıku ci souboru.

NOI

Skalarnı velicina udava pocet iteracı. Jelikoz se tato hodnota menı nejcasteji, jetaktez globalnı.

Volitelne funkce

Matice 4 × 1 uchovava informace o dodatecnych volbach. Toto pole se samo naplnıpo spustenı get IFS.

COMPLETE CELL

Cell naplneny polygony zkonstruovaneho fraktalu. Kazda bunka obsahujevıcerozmernou matici se seznamem bodu pro danou iteraci.

6.1 GUI

Pro beh programu je nezbytny spusteny MatLab. IFS generator lze spustit po-mocı funkce fractal preamble.m, nebo zadanım fractal preamble do promptuMatLabu, je-li soucasne Workspace uvnitr korenoveho adresare programuIFS-PDE-CM. Po chvilce se nacte a na obrazovce zobrazı okno s hlavickou Hlavnı

menu.Graficke rozhranı je zobrazeno na obrazku 12.2. Jednotlive funkce budouprobrany dale.

Zadavanı bodu

K vkladanı jednotlivych bodu slouzı oblast nahore vlevo. Vzdy je potreba zadatobe souradnice. S vyhodou lze body zadavat i pomocı matematickych operatoru,konstat, prıpadne funkcı, ktere MatLab zna (π, cos, sin, . . .). Pro ulozenı bodu dopameti stacı stisknout tlacıtko Add point. Pri prvnım akceptovanem bodu bymelo tlacıtko zezelenat. Program automaticky spojı poslednı zadany bod s prvnım,a tak vznikne pocatecnı uzavreny obrazec – polygon.

Pocet bodu by nemel presahnout 10, cas nutny k vykreslenı fraktalu potomroste s kazdou iteracı velmi strme. Pokud jsou body zadany spravne lze prejıt kzadavanı transformacı. Uzivateli by tez mely pomoci pointery umıstene pod hornımokrajem okna.

31


Zadavanı transformacı

Nejprve je potreba rozhodnout, ktere z afinnıch transformacı budou pridany dokonkretnı transformace. Budou to ty, u kterych se aktivuje knoflık Pouzıt?.Zcela na prave strane je legenda, ktera kazdou afinnı transformaci popisuje;jsou serazeny v souladu s odstavcem 5.4. Po stisku Transform probehne prokazdou transformaci nactenı potrebnych afinnıch matic ze zdroje a jejich vzajemnepronasobenı. Zelena barva indikuje spravne nactenı, cervena znacı opak.

Pokud uzivatel vybere nekterou z transformacı, ale nezada pozadovanyparametr nastane jedna z eventualit:

Pokud nechal implicitne zadanou hodnotu (tj. 0), program to akceptuje anasobı ostatnı matice s touto. V prıpade merıtka to znamena automatickyspatny vysledek; v prıpade posunu nikoliv.

Pokud vsak nebyla zadana zadna hodnota a byla smazana i nula, je na vystupvypsana chyba a program dal nepokracuje. Spolu s tım se thread programuzastavı na mıste, odkud jiz nelze pokracovat.

Funkce Save / Load

Seznam bodu i transformacı muze byt dlouhy nebo komplikovany na vkladanı. Pakje vhodne tuto cinnost provest pouze jednou. Tım se usporı cas a eliminuje moznostchyby pri zadavanı. Proto byly do programu implementovany funkce podobneschrance z Windows. V prıpade potreby stacı stisknout Save1, popr. Save2.Pote se body ulozı do prvnı nebo druhe schranky. Zde jsou k dispozici i poznovuspustenı programu a dajı se ihned nacıst stiskem Load1, popr. Load2.Pri praci s transformacemi je postup analogicky.

Prace se soubory

Program umoznuje nacıtat preddefinovane soubory bodu i transformacı. Je-lipotreba cela databaze fraktalu, je tento postup vyhodny. Dokonce lze bodyci transformace zadane a otestovane v programu ulozit jako .txt soubor. Dalsımoznostı je editovat jiz existujıcı soubory. Aby tyto byly akceptovany programem,musı korespondovat se vzory v tabulce 6.1 a 6.2. Oddelovacem desetinych mıst jepouze tecka, oddelovacem hodnot mezera.

Zobrazit pocatecnı body

Tlacıtko Show points na obrazovce vykreslı polygon z doposud nactenych bodu.Tato funkce je vhodna ke kontrole zadanı.

32


x1 y1

x2 y2

x3 y3...

Tabulka 6.1: Struktura .txt souboru s body.

a1 b1 c1 d1 e1 f1

a2 b2 c2 d2 e2 f2

a3 b3 c3 d3 e3 f3...

Tabulka 6.2: Struktura .txt souboru s transformacemi.

Zpet

Tlacıtko Zpet lze vyuzıt pokud byly posledne zadane koordinaty chybne.Umoznuje totiz obebrat z globalnıch promennych poslednı matici. Je pouzitelne iv prıpade nactenı bodu ze souboru nebo schranky, a tak lze dosahnout zajımavychvysledku. Lze vracet samostatne bod po bodu, prıpadne transformace.

Stejne / Variabilnı merıtko

Obrazek 6.1: Knoflık Mx = My aktivovany (vlevo) a vypnuty (vpravo).

33


Umoznuje prepınat zobrazenı. V drtive vetsine prıpadu je vhodny pomermerıtek defaultne nastaven automaticky. V prıpade vypnutı teto volby muze nas-tat prıpad, kdy nenı kolaz zobrazena, nebo nastane chyba. Bohuzel presny duvodzatım nebyl lokalizovan.

Pocet iteracı

Dale je potreba zvolit pocet iteracı, tj. kroku programu. Po spustenı je nastavenahodnota 3, jez se da libovolne menit. Je ovsem potreba dbat narocnosti vypoctu.Optimalnı postup respektuje doporucenı zadavat nejprve hodnotu v rozmezı 1-3iteracı, zobrazuje-li se fraktal podle predstav, lze postupne pocet iteracı zvysovat.Pro pouhou predstavu o tvaru struktury jsou naprosto dostacujıcı 2 iterace.

Vsechny transformace /Od transformace

Tento knoflık je defaultne aktivovany. To znamena, ze program vypocıta i vykreslıvsechny iterace. To je v nekterych prıpadech nevyhodne.2 Deaktivace zajistı od-krytı nabıdky Od iterace:. Zde je mozne zadat, od ktere iterace je vykreslovanıpozadovano, pro zobrazenı samotne poslednı iterace se musı shodovat hodnotyPocet iteracı: a Od iterace:.

Get IFS

Po zadanı vsech vyse uvedenych parametru lze pomocı tohoto tlacıtka odstartovatvlastnı generaci fraktalu. V MatLabu jsou parametry budoucıho fraktalu spolu svolitelnymi funkcemi znovu uvedeny. Fraktal je vypocıtan a zobrazen, jsou vypsanyudaje o celkove dobe vypoctu a dobe vykreslovanı.

get PDE

Tato volba nenı k dispozici, dokud nenı vypocıtan IFS fraktal. Ten je vyuzit jakovychozı struktura. Umoznuje spustit PDE ulohu, dale je probrana v 9. kapitole.Z IFS je do PDE nactena struktura fraktalu, dale vrcholy bodu, transformace apocet iteracı.

2U Sierpinskeho trojuhelnıka dochazı k prekreslovanı hran vlivem zaokrouhlovanı. Pokud sevykreslı pouze poslednı iterace je objekt hladky a bez preskoku. Navıc pro dalsı vyuzitı je vhodnavychozı struktura s mene polygony umoznujıcı rychlejsı vypocet. U vetsiny fraktalu je v prıpadesimulace nezbytne tento knoflık deaktivovat, tedy potvrdit vykreslenı pouze poslednı iterace.

34

Modalnı analyza fraktalnıch anten 6.2. Export

GenTool fc.

Podobna funkce jako get PDE, dale probrana v 9. kapitole.

Znovu

Restartuje program, jenz je uveden do stavu bezprostredne po spustenı. Sloty sbody a transformacemi nejsou regenerovany.

Konec

Pokusı se ukoncit hlavnı, ale i vsechna ostatnı okna a grafy. Uvnitr funkce jeimplementovana klausule try-catch snazıcı se zachytit thread.

6.2 Export

Jednou z poslednıch voleb je export vysledku. Program nabızı dva mozne formatyvysledneho souboru. Prvnı ma prıponou .txt, druhy prıponou .3dt. Oba souborylze nalezt v adresari program output IFS generatoru. Za upravu ukladanychsouboru je zodpovedna funkce registry.m resp. registry3dt.m. Export lze bezproblemu modifikovat dle potreby. Idealnım zpusobem je tvorba nove trıdy,zakomponovanı dalsıho radio buttonu do trıdy fractal main window.m a drobnauprava zkopırovane funkce podle vlastnıho pranı.

POLY Σα1 α2 0β1 β2 0γ1 γ2 0

POLY Σ...

Tabulka 6.3: Struktura souboru data.3dt.

Legenda k tab. 6.3: Σ oznacuje pocet bodu (v polygonu), α1,2 souradnice bodu x,β1,2 bodu y a γ1,2 bodu z v polygonu. Pouzitelny pro export napr. do Excelu.

Legenda k tab. 6.4: X oznacuje poradove cıslo polygonu, α1,2 souradnice

35

Modalnı analyza fraktalnıch anten 6.3. Prıklady generace

bodu x, β1,2 bodu y a γ1,2 souradnice z v polygonu X . Tento soubor lze nacıst doIE3D k nasledne simulaci.

PolyX :α1 α2 0β1 β2 0γ1 γ2 0

Poly(X + 1) :...

Tabulka 6.4: Struktura souboru data.txt.

6.3 Prıklady generace

Nynı budou uvedeny nektere vytvorene IFS kolaze. Ke vsem objektum je ulozensoubor s polygony a obrazek.

Sierpinskeho trojuhelnık

Sierpinskeho trojuhelnık je jednım z nejznamejsıch IFS fraktalu. K jeho gen-eraci je zapotrebı 3 bodu – vrcholu trojuhelnıka a 3 transformacı. Jednotlivetransformace w1,2,3 obsahujı afinnı transformace

”zmena merıtka“ a

”posun bodu“.

Body, pomocı jichz byl fraktal generovan:bod c.1: x = 0 ; y = 0bod c.2: x = 100 ; y = 0bod c.3: x = 50 ; y = 70.71

Transformace:w1 : Ms = 1

2

w2 : Ms = 12; Px = 100

w3 : Ms = 12; Px = 50 ; Py = 70.71 ;3

3Px znamena posun ve smeru x, podobne Py posun ve smeru y. Aby posuny odpovıdalyspravnemu posunu v nulte iteraci, je potreba je vynasobit merıtkem Ms. Toto nasobenı totizprovadı sam generator a pri zadavanı transformacı je nutno na to pomatovat.

36


Obrazek 6.2: Sierpinskeho trojuhelnık, IFS generator, pouze 3.iterace

Sierpinskeho koberecek

Dalsım vygenerovanym fraktalem je Sierpinskeho koberecek (Sierpinsky car-pet, obr. 6.4). Tento fraktal se generuje pomerne dlouho uz pri nızkych iteracıch,protoze obsahuje 4 body, na ktere se aplikuje 8 transformacı.

Body, pomocı jichz byl fraktal generovan:bod c.1: x = 0 ; y = 0bod c.2: x = 50 ; y = 0bod c.3: x = 50 ; y = 50bod c.4: x = 0 ; y = 50

Transformace:w1 : Ms = 1

3; Px = 200 ; Py = 200

w2 : Ms = 13; Px = 200 ; Py = 50

37


Obrazek 6.3: Sierpinskeho trojuhelnık, IFS generator, 6. iterace

w3 : Ms = 13; Px = 200 ; Py = −100

w4 : Ms = 13; Px = 50 ; Py = −100

w5 : Ms = 13; Px = −100 ; Py = −100

w6 : Ms = 13; Px = −100 ; Py = 50

w7 : Ms = 13; Px = −100 ; Py = 200

w8 : Ms = 13; Px = 50 ; Py = 200

Cantorovo discontinuum

Jeden z prvnıch objevenych fraktalu vubec. Da se mimo jine generovat i pomocıIFS.

Potrebne body:bod c.1: x = 0 ; y = 0bod c.2: x = 100 ; y = 0

38

Modalnı analyza fraktalnıch anten 6.4. Casova narocnost

Obrazek 6.4: Sierpinskeho koberecek, IFS generator, 3 iterace

Transformace:w1 : Mx = 1

3; Py = 3

w2 : Mx = 13; Px = 200 ; Py = 3 ;4

Dalsı fraktalnı struktury vhodnejsı k simulaci budou predstaveny v kapitole 9.

6.4 Casova narocnost

Nıze uvedene tabulky a grafy demonstrujı silnou nelinearnı zavislost delky zobra-zovanı na poctu iteracı. Dokonce ani pomer casu potrebneho na vykreslenı jednohopolygonu nenı konstatnı. Ackoliv by program vyssı iterace velmi rychle vypocıtal,

4Zde je potreba zadat pouze merıtko Mx, ne merıtko Ms – zmensoval by se potom i vertikalnıodstup car.

39

Modalnı analyza fraktalnıch anten 6.4. Casova narocnost

Obrazek 6.5: Cantorovo discontinuum, IFS generator, 6 iteracı

zobrazenı vysledku by trvalo prilis dlouho. Dale je videt, ze doba vypoctu je rela-tivne kratka a s rostoucım poctem prvku se prılis nezvysuje. Je to dano i tım, zeMatLab je na tento typ uloh uzpusoben a vypocet nenı tak slozity jako vykreslenı.

Obrazek 6.6: Zavislost doby vypoctu (vlevo) a zobrazenı (vpravo) na stupni iteracea na poctu bodu a transformacı.

Tyto hodnoty byly zıskany na desktopu P4 Prescott, 3.03GHz, 1GB RAM,Dual Channel dıky funkcım tic-toc. Zajımavostı je, ze na notebooku (AMD Tu-rion) s vyrazne pomalejsım procesorem a polovicnı pametı, jiz temer celou zabıralMatLab dosahoval pri vyssıch iteracıch program lepsıch vysledku. Vysvetlenı bymohl podat prave procesor Prescott, ktery na uloze pracoval vzdy jen jednım zedvou jader procesor.

40

Modalnı analyza fraktalnıch anten 6.5. Mozna vylepsenı

Pocet iteracı Doba vypoctu [s] Doba vykreslovanı [s]3 b., 3 t. 8 b., 5 t. 3 b., 3 t. 8 b., 5 t.

1 iterace 0.0939 0.0940 0.531 0.6412 iterace 0.0939 0.0940 0.751 2.5633 iterace 0.0940 0.1560 2.180 35.4204 iterace 0.1250 0.2500 10.703 351.9535 iteracı 0.1300 0.2562 73.297 6777.4696 iteracı 0.2340 0.2630 364.906 > 120000

Tabulka 6.5: Rust slozitosti vypoctu. Poznamka: b. – body, t. – tranformace

6.5 Mozna vylepsenı

Zaver teto kapitoly bude venovan dalsımu rozvoji generatoru. Velka cast ne-dostatku z puvodnı verze byla odstranena – zkvalitnil se vstup parametru a jejichsprava, program byl zrychlen. Taktez byly vytvoreny funkce, ktere postupem casu,jak se generator vyuzıval, zacaly byt potrebne. Spolu s nimi ovsem vznikla nutnostdalsıch drobnych uprav celku.

Shrnutı

1. Vylepsenı

procistenı kodu

sjednocenı funkcı, objekty

vyresit problem s tlacıtkem Kreslit:Mx = My?5

pri ukoncovanı programu, nebo nahlasene chybe opet najıt thread

2. Rozsırenı

moznost zadat uvodnı objekt v grafickem podobe, program najdevrcholy sam

editace jakehokoliv bodu ze seznamu

nabıdka, zda fraktal vykreslit, nebo pouze vypocıtat (uspora casu)

5Prepis funkce Axis. Ta implicitne umoznuje vytvorenı osoveho krıze pouze pri2, 4, 6 . . . elementech.

41

Kapitola 7

Mikropaskove patch anteny

Prvnı koncepty mikropaskovych anten se objevujı v 50. letech. V nasledujıcıchdesetiletıch, s prıchodem novych materialu (jako jsou nızkoztratova dielektrika) atake novych potreb zejmena ve vojenstvı, se tyto anteny stavajı nejen uspokojiverealizovatelnymi, ale i popularnımi. Jelikoz je presny navrh techto anten obtızny,dochazı ke skutecnemu boomu az v letech osmdesatych s nastupem pocıtacovetechniky a s tım spojene presne a kvalitnı analyzy. V soucasne dobe se jedna ovelice rozsıreny typ anten pracujıcıch v radu kmitoctu od 100MHz vyse.

Predstavu o podobe patchove anteny z mikropasku poskytuje obrazek 7.1.Zacneme popis obrazku od jeho spodnı casti. Ta je tvorena zemnı rovinou (GroundPlane), k nız prileha tenka vrstva dielektrickeho materialu (Antenna Substrate).Na nı je umısten kovovy utvar representujıcı vlastnı flıckovou antenu (Patch An-tenna1). Tato antena muze mıt teoreticky libovolny tvar, jako je pasek, ploska,elipsa, mezikruzı atp., ovsem v teto praci si budeme dale vsımat pouze patchus fraktalnım charakterem; konkretne to znamena, ze na povrchu dielektrika jeumıstena IFS kolaz. Rozmer tohoto segmentu byva λ

2.

Je-li vhodne umısteno napajenı (viz cast 7.2), vznikne na povrchu motivu sto-jata proudova vlna. Tato je pak zdrojem vyzarovaneho elektromagnetickeho pole.Tvar tohoto pole se nazyva mod.2 V prıpade modalnı analyzy se tedy v podstatejedna o porovnanı snımku rozlozenı proudu. Abychom tyto obrazky zıskali, musımevyuzıt jednu z analyzacnıch metod uvedenych v 8. kapitole.

Za urcitych podmınek je mozne vyuzıt planarnı rezonator i pro vedenı postupneproudove vlny podel antennı struktury. Ta je taktez schopna vyzarovat elektromag-netickou vlnu do prostoru. Zpravidla se ale jedna o tvarove jiny typ anteny, nez vprıpade prvnım. Vıce o techto antenach, stejne tak jako jejich vyobrazenı viz [12].

1Anglicky termın patch v prekladu znamena ”zaplata, flıcek“. Prestoze se v nektere ceskeliterature tento termın vyskytuje, zustala vetsina autoru u puvodnıho pojmu patch antena

2Analogie s kovovymi vlnovody.

42

Modalnı analyza fraktalnıch anten 7.1. Princip cinnosti

Obrazek 7.1: Mikropaskova patch antena.

7.1 Princip cinnosti

Pro popis mikropaskove anteny je nutno zavest nekolik zjednodusenı. Postupujmedale ve shode s [W3]. Potrebne vztahy pro jednotlive ztraty, ucinnost a celkovouenergii odvodıme na zaklade [13] a [14].

Pro malou vysku anteny (< λ10

), tedy vzdalenost patch–zemnıcı rovina, jezrejme, ze energie pole je smerovana pod patch. Toto pole je skrze substrat dalevyzarovano do prostoru. Cast energie odpovıda ztratam, kvantifikovanym vzta-hy (7.3), (7.4) a (7.6). Dale si pro zjednodusenı muzeme antenu predstavit jakodeskovy vlnovod s otevrenym koncem a zkoumat velikost cinitele odrazu |Γ|e−jφ.Modul muzeme vyjadrit:

Γ = e2πhλ0 e−jΦ , (7.1)

fazi Φ potom:

Φ =4h

λ0

ln

(eλ0

γh

)−

∞∑i =1

sin −1

(2h

nλ0

)− 2h

nλ0

, (7.2)

kde e.= 2.718 a γ

.= 1.781. Vycıslit tyto vztahy je pro komplikovanou provazanost

geometrie a materialu substratu s modulem i fazı obtızne. Problem je mozne

43

Modalnı analyza fraktalnıch anten 7.1. Princip cinnosti

Obrazek 7.2: Mod proudoveho rozlozenı fraktalnı struktury.

vyznamne redukovat zjistenım, ze impendance je na (otevrenem) konci vlnovoduvelmi (teoreticky nekonecne) vysoka. Ze vztahu mezi elektrickym a magnetickympolem Z = E

Ha pri Z → ∞ dostavame okrajovou podmınku H → 0. Tato

skutecnost, kdy ma magneticke pole na hranici patche minimum, se nazyvadokonala magneticka stena PMC. Analogicky lze naproti tomu zemnı rovinu azaric ohranicit dokonalou elektrickou stenou PEC. Celkove pole pod patchem jetedy superpozicı jednotlivych TEM vln (modu) respektujıcıch okrajove podmınky.

Tyto predpoklady dale rozvıjı Dutinovy model uvedeny v casti 8.1, umoznujıcıanalyzovat patch a zıskat numericke resenı pole, tj. jednotlive mody.

Vztahy popisujıcı mikropaskovou antenu

Ztraty v dielektriku Pd:

Pd =ωε tan δ

2

∫∫∫|Ez|2 dυ (7.3)

Ztraty v kovu Pc:

Pc = Rs

∫∫|H|2 ds , (7.4)

44

Modalnı analyza fraktalnıch anten 7.2. Napajenı

kde |H| je velikost proudove hustoty na hornı a spodnı casti dokonale magnetickesteny a odpor Rs:

Rs =

√πfrµ0

δc

(7.5)

pro δc vodivost kovu.Dale z integralnıho vztahu pro Poyntinguv vektor odvodit ztraty vyzarovanım Pr:

Pr =1

4Z0

∫ 2π

0

∫ π

0

|E|2 r2 sin θ dθ dυ (7.6)

Na zaklade vztahu (7.3), (7.4) a (7.6) definujeme vyzarovacı ucinnost:

η =Pr

Pr + Pd + Pc

(7.7)

Celkova energie pri rezonanci lze sumarizovat integralem:

WT =ε

2

∫∫∫|Ez|2 dυ (7.8)

Cinitel ztrat tan δeff jako pomer ztrat a celkove energie:

tan δeff =Psum

ωWT

, (7.9)

kde Psum = Pr + Pd + Pc

Vztah mezi cinitelem ztrat a cinitelem jakosti:

QT =1

tan δeff

(7.10)

Sırka pasma BW:

BW =PSV − 1

QT

√PSV

, (7.11)

BW ∈ (0, 1), pomer stojatych vln PSV ≥ 1. [14] dodava, ze tento vztah je validnıpouze pokud se antena chova jako jednoduse laditelny RLC obvod.

7.2 Napajenı

Napajenı anteny je proveditelne jednım ze ctyr nasledujıcıch zpusobu. Prvnı dvakontaktnı zpusoby jsou hojne pouzıvany, dalsı dve mladsı a sofistikovanejsı metodyvyuzıvajı elektromagnetickou vazbu. Umoznujı napr. zvetsit tloust’ku substratu cinapajet antennı radu bez vzajemnych interakcı.

45


Mikropaskove vedenı

Jedna se o nejjednodussı zpusob napajenı. Napajecı vedenı je na stejnem substratujako vlastnı antena. Protoze je napajecı pasek spojen s vyzarujıcım elementem,podılı se na vyzarovacı charakteristice vlastnım parazitnım vyzarovanım. Dalsımfaktorem provazejıcım tento druh zapojenı jsou ztraty na vedenı a s nimi souvisejıcısnızenı celkove ucinnosti anteny, stejne tak nemoznost pouzıt substraty vetsıchelektrickych tloust’ek.

Obrazek 7.3: Napajenı patch anteny: a)mikropaskovym vedenım, b) koaxialnım ve-denım, c) prurez antenou b) v rovine strednıho vodice koaxialnıho napajece.

Mikropasek napajejıcı antenu musı byt rovnez impendancne prizpusoben –impendance anteny se musı rovnat impendanci vedenı. Toho lze dosahnout dvemazpusoby:

1. λ4-vlnnym transformatorem

Usek vedenı s elektrickou delkou λ4

ma na obou koncıch stejnou impendanci.Tento poznatek lze vyuzıt pro prizpusobenı napajenı.

2. zapustenym paskem

Vyuzıva se znalosti proudoveho rozlozenı na vodivych castech anteny, volı sevhodne mısto a hloubka zapustenı tak, aby byly impendance shodne.

Anteny napajene mikropaskem jsou jednoduche na seriovou vyrobu a dajı sesnadno sdruzovat do rad. Proto se stale pouzıvajı.

46


Koaxialne

Koaxialnı vodic je pripojen zespoda k zemnı rovine, strednı vodic prochazı sub-stratem a je spojen se zaricem. Pouzitı koaxialnı sondy vede k potlacenı parazit-nıho vyzarovanı prıtomneho v prvnım prıpade. Impendacnıho prizpusobenı je opetdosazeno vhodnou volbou pozice napajenı, tedy umıstenım koaxialnıho konektoru.Za velky klad lze oznacit frekvencnı nezavislost, a tedy moznost budit strukturyna vyssıch modech, resp. o vıce ruznych modech.

Takto napajene anteny je bohuzel temer nemozne sdruzovat do rad, uspoko-jive resene je obtızne. Dalsım negativem je nutnost pouzıt koaxialnı konektor, nakterem mohou vznikat nezadnoucı odrazy.

Problemu, jak nalezt optimalnı pozice pro napajenı se mj. venuje [W4]. Do-porucuje se hledat vhodne mısto pro napajenı nejprve na podelne ose zarice vevzdalenosti zhruba 1

3ve smeru rezonancnıho rozmeru L.3 Idealnı mısto pro napajenı

je vzdy nutno najıt pred analyzou konkretnıho vzorku, v opacnem prıpade jsouvysledky zatızeny chybou.

Vazebnı sterbinou

Zaric je vybuzen pomocı elektromagneticke vazby. Tu zprostredkovava sterbina vzemnı rovine, jak je videt na obr.7.4. Jednou z prednıch vyhod je moznost vyuzitıelektricky vyssıch substratu, coz je mnohdy zadoucı4 a snızenı interakce napajenıa zaricu v prıpade antennıch rad (podle [10]). Velka variabilita prizpusobovanıkoresponduje se slozitostı tohoto procesu.

Otevrenym koncem vedenı

Jedna se tez o nevodive spojenı. Napajecı otevreny konec mikropasku je umıstenv nizsı vrste substratu, vodorovne s patchem. Mezi antenou a otevrenym koncemnenı zemnıcı rovina tak jako v predchozım prıpade, proto, ac podobne, jsou vlast-nosti tohoto typu napajenı horsı. Ilustraci k tomuto typu napajenı lze nalezt napr.v [10] a [14].

3Kde impendance klesa od hodnot 100 - 250Ω na hrane patche az po teoretickou hodnotu 0Ωve stredu patche.

4V ramci zlepsenı konkretnıho parametru tento krok shrnuje tab. 7.2.

47

Modalnı analyza fraktalnıch anten 7.3. Parametry patch anten

Obrazek 7.4: Napajenı pomocı vazebnı sterbiny.

7.3 Parametry patch anten

Nasleduje kratky prehled parametru typickych pro patchove anteny uvadene vliterature. Nıze uvedene hodnoty jsou sjednoceny podle [10].

Rozsah pracovnı frekvence se pohybuje od stovek MHz do stovek GHz, pricemzsırka pasma je velice uzka, typicky 2-6% v oblasti GHz. Duvodem male sırky pasmaje vysoky cinitel jakosti beznych zaricu pohybujıcı se v radu nekolika desıtek.Pouzitım vhodneho tvaru patche, tvaru a druhu substratu (feritovy, εr = 9 − 16,prirozena anizotropie, moznost premagnetovanı) a napajenı je mozne dosahnoutaz 30 i vıce procent pro stredne vysoke kmitocty. Smerovost muzeme ocekavatv rozmezı 5 az 10 dBi, pro vyssı substraty s nizsı relativnı permitivitou i vıce.Vyzarovacı ucinnost anteny se pohybuje kolem 80 procent (jedna se vzdy o udajpro prıpad bezeztratove anteny), celkova ucinnost je potom od 40-50 do maximalne90 procent.

Pokud je relativnı permitivita substratu vetsı nez jedna (vzduchova a penovadielektrika), muze na rozhranı substrat–vzduch dochazet ke vzniku povrchovych

48


vln. Ty zhorsujı impendancnı i vyzarovacı vlastnosti a snizujı ucinnost anteny,coz je nezadoucı. Problematicka je tez vykonova zatızitelnost, pohybuje se kolemmax. 100W.

Relativnı permitivita εr substratu oznacuje schopnost dielektrika se polarizovat.Cıselna hodnota dava do pomeru tuto schopnost u mereneho materialu a u vakua.Ani u konkretnıho materialu nenı stala – je ovlivnena tlakem, teplotou a takeprovoznı frekvencı. U vetsiny latek s vyjimkou feroelektrik se pohybuje v rozmezı1-10. Krom dielektricke konstanty je pri navrhu nutne zvazit i velikost ztratovehouhlu, homogenitu materialu, rozsah pracovnıch teplot, pruznost, pevnost a opra-covatelnost substratu.5 Nasledujıcı tabulka shrnuje pouzıvane materialy:6

Substrat εr [-] Substrat εr [-]

(vzduch) (1.00059) Kremenne sklo 3.75Eccofoam PP-4 1.06 Korund 9.8Rohacell 51 1.07 Oxid hlinity 9.9RT Duroid 5880 (Teflon) 2.1 Safır 11Polypropylen 2.18 Polo-isolacnı GaAs 13Teflon (RT)+ sklo 2.55 Ferit 9-16Polystyren. pena 3.2plnena titan. oxidem

Tabulka 7.1: Hodnoty εr podle pouziteho substratu.

Na prıkladu IFS kolaze slozene z hexagonalnıch polygonu pouzite pro srovnanıv kapitole 9 a 10 a analyzovane pomocı metody momentu v [A2], lze dolozit po-zitivnı vliv fraktalnı struktury na parametry anteny. Pro prıpad druheho moduuvadı autor v prıspevku nasledujıcı parametry: fr2 = 1.403GHz, S11 = −21.88dB,BW = 0.19GHz a konecne pomer fr2 / fr1 = 5.33. Pro zajımavost je uvedenatez sırka pasma BW tretıho modu: BW = 0.95GHz, pri rezonancnı frekvencifr3 = 4.263GHz. Takto prıznive hodnoty byly dosazeny jiz pri druhe iteraci.

Tab. 7.2 cituje doporucene upravy struktury uvedene v [12] vedoucı ke zlepsenıpozadovane vlastnosti.7

5Naprıklad jinak vyhodny korund se obtızne obrabı. Tento problem odpada u jeho monokrys-talicke formy safıru s velice kvalitnımi parametry. Danı je vsak velmi vysoka cena.

6Casti tabulky prevzaty z [12] a [W10].7Tabulka urcena primarne pro obdelnıkovy patch.

49


Nutne vlastnosti antenyPozadavovana vlastnost Vyska substr. εr substr. Plocha patche

Vysoka vyzar. ucinnost vysoky nızka rozsahlaNızke dielektricke ztraty nızky nızka —Nızke vodivostnı ztraty vysoky — —Velka sırka pasma vysoky nızky rozsahlaNızke postrannı vyzar. nızky nızka —Mala krızova polarizace — nızka —Lehke zatızenı nızky nızka —Velke zatızenı vysoky vysoka rozsahla

Tabulka 7.2: Zlepsenı parametru modifikacı struktury.

Pro sve vlastnosti jsou anteny pouzıvany zejmena v letectvı, satelitnı technice,vojenske technice (rakety apod.), mobilnıch telefonech, WLAN, biomedicıne a vmnoha dalsıch oblastech.

V zaveru kapitoly jsou shrnuty vlastnosti ovlivnujıcı zasadnım zpusobemnasazenı mikropaskovych patch anten v konkretnı aplikaci. Obsahleji se nekterymz vyhod venuje publikace [12].

1. Vyhody

nızky profil (zemnı rovina, substrat, motiv)

nızka hmotnost

jednoducha a levna vyroba (tistene obvody)

mechanicka robustnost

snadna integrace do antennıch rad

rychly navrh podle pozadavku

mohou byt vzajemne integrovany do obvodu

moznost prizpusobit antenu samotnym napajenım

plochou se muze prizpusobit okolı

Fraktalnı patch anteny majı navıc nasledujıcı vyhody:

uzpusobenı pro vıcepasmovou cinnost

nizsı rezonancnı frekvence

moznost simulace antennı rady (lokalizace proudu)

50


mırne snızenı rozmeru

2. Nevyhody

mala sırka pasma (velky cinitel jakosti Q)

omezeny vykon

obtızne dosazenı ciste polarisace

vykonejsı antennı pole vyzadujı slozity system napajenı

pro spickove hodnoty je potreba velmi kvalitnı (drahy) substrat

nelze pouzıt unifikovane napajenı pro vsechny typy anten

3. Podle pouzitı

vyzarovanı pouze do jedne poloroviny (prıtomnost zemnı roviny)

51

Kapitola 8

Analyza patch anten

Analyza umoznuje – vıce ci mene presne – odhadnout parametry navrhovaneanteny. Dochazı k uspore casu i materialu. Muzeme tak studovat fyzicky neexis-tujıcı struktury. Vlastnı vypocet je vsak komplikovan mnoha faktory. Mezi ne patrınaprıklad prıtomnost vıcevrstveho dielektrika, slozity tvar patche, vazba mezi vıcezarici nebo komplikovany zpusob napajenı.

Pro potreby analyzy mikropaskovych anten existuje mnoho metod vyuzıvajıcıchruzne prıstupy k simulaci elektromagnetickeho pole. Obecne platı, ze slozitejsımetoda dava presnejsı vysledky, ovsem za cenu delsıho casu vypoctu a vetsıchnaroku na operacnı pamet’. Proto je treba nalezt optimalnı pomer mezi navzajemambivalentnımi pozadavky presnosti a rychlosti. Metody lze v prvnım priblızenırozdelit na tzv. analyticke a numericke. Dıky cetnym zjednodusenım jsou analyt-icke metody rychle a jednoduche na implementaci. Prakticky nejsou vyuzıvany prokomercnı software. Dutinovy model a model vedenı patrı prave do teto skupiny.

Oproti tomu numericke metody pracujı bez pocatecnıch zjednodusenı acasto nejsou omezeny tvarem ani slozenım struktury anteny. Poskytujı presnejsıvysledky. Pro jejich efektivnı vyuzıvanı je nutny kvalitnı software i hardware. Mezinejznamejsı patrı metoda konecnych prvku (FEM), momentova metoda (MoM) ametoda konecnych diferencı (FD). Tyto metody lze dale delit podle domeny, vektere se hleda resenı na casove a frekvencnı. Prvne jmenovane umoznujı naleztresenı pro libovolny casovy prubeh. Druhy typ strukturu analyzuje pro soubordiskretnıch frekvencı. Nutnym prubehem je tedy harmonicky ustaleny stav. Meziobema domenami lze prechazet pomocı (diskretnı) Fourierovy transformace.

Nejvıce pozornosti bude venovano dutinovemu modelu, ostatnı metody budouzmıneny pouze okrajove.

52

Modalnı analyza fraktalnıch anten 8.1. Dutinovy (Cavity) model

8.1 Dutinovy (Cavity) model

Zrekapitulujme zavery 7. kapitoly stezejnı pro dutinovy model. Ten popisujemikropaskovou patch antenu jako dutinu obklopenou na okraji dokonalou mag-netickou (PCM) a ze spodu a ze shora elektrickou (PEC) okrajovou podmınkou, vsouladu s obr.8.1.

Obrazek 8.1: Okrajove podmınky patch anteny.

Matematicky lze tyto podmınky vyjadrit nasledovne:

E× z = 0, H.z = 0; pro z = 0, z = h (8.1)

H× n = 0, E.n = 0; na hranici anteny. (8.2)

Vztah pro dokonalou magnetickou stenu (PMC) ∂Ez,n

∂n= 0 je znam jako Neu-

mannova okrajova podmınka.Zanedbatelna vyska anteny umoznuje uvnitr dutiny zanedbat rozmer z, tedy:

Ex = 0, Ey = 0, Hz = 0 . (8.3)

Tım zbyvajı nenulove slozky Ez, Hx a Hy. Tımto krokem je problem omezen nadva rozmery, resp.muzeme ocekavat plosne proudove rozlozenı, cili TM modya take vertikalnı elektricke pole. Na tomto zaklade lze namısto puvodnı sloziterovnice (7.1) odvodit z Maxwellovych rovnic Helmholzovu vlnovou rovnici (8.4) proslozku Ez (Maxwellovy rovnice umoznujı dodatecne vypocıtat i Hx a Hy).

(∇t + k2n) Ez,n = 0 , (8.4)

kde diferencialnı operator ∇t =

(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2

), k2

n jsou vlastnı cısla odpovıdajıcı

jednotlivym rezonancnım frekvencım frn, (n ∈ 1, 2, 3 . . .∞) a Ez,n jsou vlastnıfunkce mapujıcı rozlozenı Ez v dutine. Nula na prave strane rovnice indikuje stav

53

Modalnı analyza fraktalnıch anten 8.1. Dutinovy (Cavity) model

bez buzenı. Protoze tato prace studuje strukturu prave v tomto stavu, prıpadems vnucenou proudovou hustotou se zabyvat nebudeme.1

Resenı Helmholzovy rovnice v uzavrenem tvaru je zname pouze pro nekolikelementarnıch tvaru, slozitejsı patche je nutno resit numericky. Pro tuto praci bylzvolen PDE toolbox v MatLabu. Rozlozenı pole ukazuje graficky vystup toolboxu.Rezonancnı frekvence vycıslıme upravou vztahu (8.5) a (8.6):Definujme rovnost koeficientu λn vypocteneho MatLabem a vlastnıho cısla kn:

λn = k2n , (8.5)

a obecnou podmınku rezonance:

k2n = k2 , (8.6)

kde k =√−jωµ(δ + jωε).

Dale polozme µr = 1, εr = 1 a δ = 0. Rovnice prejde do tvaru:

λ = ω2µ0ε0 , (8.7)

nynı aplikujme vztahy c0 = 1√ε0µ0

a ω = 2πfr:

λ =4π2f 2

r

c20

(8.8)

a konecne vyjadreme fr:

frn =c0

√λn

2π. (8.9)

Index n odpovıda n-temu modu struktury, c0.= 3.108ms-1 je rychlost svetla ve

vakuu.Vyse popsany zpusob nam tedy umoznuje urcit rezonancnı frekvenci struktury

a tvar proudoveho rozlozenı jednotlivych modu. Pro sve omezujıcı predpoklady jsouvysledky zıskane s pomocı dutinoveho modelu ve srovnanı s komlexnejsımi postupyzatızeny chybou. Handicapem DM je i striktnı pozadavek na typ zaricu. Motiv ob-sahujıcı vıce navzajem vodive nespojenych segmentu nelze z duvodu zanedbavanıvzajemnych vazeb analyzovat. Slozite je take vycıslenı ztrat. Klady teto metodyspocıvajı v nazornosti, jednoduchosti a relativnı rychlosti.

1V opacnem prıpade je nutno aplikovat naprıklad slozitou tzv. modalnı expanzi.

54

Modalnı analyza fraktalnıch anten 8.2. Vedenı

8.2 Vedenı

Patch je nahrazen dvema vyzarujıcımi sterbinami (podobnost rozlozenı pole vpravouhle sterbine a na okraji patche). Usek mezi napajenım a temito sterbinami jesimulovan odpovıdajıcımi castmi prenosoveho vedenı. Puvodnı model disponovalvelmi omezenymi schopnostmi. Zdokonalena varianta zahrnuje vztahy pro kom-plexnı popis anteny, vcetne interakcı mezi zarici. Nerespektuje vybuzenı a vlivpovrchovych vln.

8.3 MoM

Resı Maxwellovy rovnice v integralnım tvaru. Diskretizujeme pouze vodiveplosky (resp. povrch teles). Velice vhodna metoda pro resenı planarnıch struk-tur (mikropasku). Zaver vypoctu spocıva ve zjednodusenı a vycıslenı rozsahle mat-ice (rozlozıme-li strukturu na N dılku, obsahuje matice N ×N dılku). K eliminacivelkeho poctu linearnıch rovnic se uzıva klasicke Gaussovy eliminace, mnohdy idalsıch, sofistikovanejsıch postupu. Velikost N prımo ovlivnuje presnost vypoctu.Oproti dutinovemu modelu poskytuje MoM vıce informacı o zkoumane strukture.Nevyhodou je striktnı pozadavek na umıstenı dielektrika a jeho homogenitu. Tentomodel je vyuzıvan programem IE3D. Implementacı MoM do MatLabu se zabyvamj. diplomova prace [W11], kde jsou uvedeny dalsı podrobnosti vc.matematickehopopisu problemu.

8.4 FEM

Metoda konecnych prvku (FEM – Finite Element Method) resı obecne parcialnıdiferencialnı rovnice. Jiz z toho je tedy patrne, ze jde o model umoznujıcı analy-zovat ruzne slozite a clenite struktury. Nejsou zde kladeny tak prısne pozadavkyna tvar patche jako u dutinoveho modelu. Tento model je vyuzıvan nadstavbouMatLabu FEMLabem. Tato metoda v budoucnu nahradı nami vyuzıvany dutinovymodel (PDE toolbox bude nahrazen FEMLabem).

8.5 FD

Maxwellovy rovnice v diferencialnım tvaru jsou diskretizovane v case a prostoru.Lze simulovat i prechodove deje. Nemeshuje pouze vodivou cast jako dutinovymodel, nybrz celou oblast obklopujıcı strukturu, a take definuje tzv. absorpcnıhranicnı podmınky. Nutna je velmi jemna diskretizacnı sıt’. Jedna se o nejobecnejsı

55

Modalnı analyza fraktalnıch anten 8.5. FD

metodu bez omezujıcıch pozadavku na geometrii nebo parametry zadavane anteny.Obtızna metoda na prımou implementaci. Zastupcem programu vyuzıvajıcıchtuto technologii je napr. hojne pouzıvane CST Microwave Studio.

Nıze uvedene fraktaly se vztahujı k nasledujıcı kapitole. Jsou zobrazeny vestadiu po zapisu do PDE toolboxu.

Obrazek 8.2: Fraktal c. 1, 1-2 iterace.



56

Kapitola 9

PDE analyzator modu v MatLabu

9.1 Dutinovy model v MatLabu

Nutnost prımeho propojenı IFS a PDE tak, aby mohl pro svou cinnost jedensegment vyuzıvat vysledku druheho, byla od pocatku prace stale zretelnejsı.Tato potreba byla vyresena pomocı 13 funkcı dohromady odpovıdajıcıch duti-novemu modelu probranemu v 8.kapitole; tri z techto funkcı jsou pozmenene m-filypuvodnıho PDE toolboxu z MatLabu. Pro prıpadne osvetlenı cinnosti jednotlivychfunkcı byl zarazen DodatekA kapitoly 13.

Nasledujıcı pojednanı o funkci modelu respektuje navaznost jednotlivychoperacı od spustenı PDE po zıskanı vysledku.

Otevrenı noveho okna na obrazovce je pruvodnı jev bezproblemoveho nactenıpotrebnych parametru. Tyto parametry jsou: seznam polygonu (jejich vrcholu) apuvodne zadane udaje pro generaci IFS (v prıpade potreby slouzı k rekonstrukcipuvodnıho fraktalu, obsahujı matici parametru). Nesnane-li se tak a nove oknose neobjevı, je nutne zkontrolovat prompt, kde se zobrazı prıpadne upozornenıs chybou. V prıpade stisku tlacıtka get PDE se rozhranı podoba obr. 13.4, vprıpade stisku GenTool fc. je totozne s obr. 13.3.

Nejprve je velikost cele struktury modifikovana (zobrazenı anteny v realnychhodnotach desıtek milimetru je nazorne a prakticke). Rozmery zarice se v kazdemkroku zmensujı na polovinu. A to tak dlouho, dokud vetsı z delek neklesne pod70mm.1

Nynı je nezbytne obdrzene polygony zakreslit do PDE toolboxu a sjednotit tak,aby tvorily ucelenou plochu.2 Program pridelı kazdemu segmentu unikatnı label,

1Parametr mozno zmenit na radce c.11 funkce modify cell.m.2Muze byt libovolne clenita a obsahovat sterbiny, ale mezi vsemi polygony musı existovat

vodive spojenı.

57

Modalnı analyza fraktalnıch anten 9.1. Dutinovy model v MatLabu

zobrazujıcı se pri nacıtanı ve stavove radce toolboxu. Dıky nemu jsou spravnezakresleny a sjednoceny vsechny polygony. Operace zakreslenı v uhrnu odpovıdapres 90 procentum casu potrebneho na cely vypocet. A to z duvodu, ze kazdy krokzapisu updatuje celkou strukturu. Zapis se tedy s pribyvajıcım poctem polygonurapidne zpomaluje. V zavislosti na rychlosti pocıtace se unosna mez pohybuje vrozmezı 25 az 50 polygonu. Pro zvysenı komfortu byla zakomponovana funkcenabızejıcı v prıpade vysokeho poctu polygonu odebranı cele poslednı iterace3 atake stavovy panel vyskytujıcı se v IFS casti. Sjednocenı (odstranenı nepotrebnychhranic) provadı PDE automaticky.

Dalsı krok predstavuje prirazenı Neumannovy podmınky hranici mikropasku.Tu lze nastavit jednotnym prıkazem pro vsechny casti hranice. Predevsım u sterbinuvnitr patche vsak tento postup koncı chybou. Strukturu nelze dale upravovat aprogram nepokracuje. Pro lepsı manipulaci s clenitymi utvary byl na tomto mıstekod rozsıren o try-catch formuli vlozenou do for cyklu. Nynı nehrozı v prıpadevnitrnıch problemovych hranic pad programu. Ani behem dlouhe doby testovanıtoto resenı nevykazalo zadny problem.

V tuto chvıli je potreba plochu zarice rozdelit na elementarnı plosky vhodnevelikosti. Sıt’ (mesh) musı byt nejen dostatecne jemna, ale take kvalitnı, cımzje mysleno dalsı zjemnenı ok v oblasti tenkych spojek a drobnych vystupku –tedy vsude tam, kde bude dochazet k extremnım zmenam pole. Pro vhodnenameshovanı je urcena funkce pde tool mesh.m. I pres existenci postupu vhodnychk individualnımu urcenı poctu ok nove incializovane sıte byla experimentalne zvo-lena hodnota 50 ok na jeden polygon.4 Jedna se o kompromis rychlosti a presnosti.Plocha je tak dlouho refinovana, dokud nevyhovı teto podmınce. Aktualnı pocetsegmentu diskretizacnı mrıze se vypisuje do promptu MatLabu.

Potrebny rozsah pro nalezenı dostatecneho poctu vlastnıch cısel, tedy i rezo-nancnıch frekvencı, je umerny rozmeru patche, jeho tvaru a clenitosti. Tvarem jev [A7] myslena fraktalnı dimenze anteny a jejı hranice. Podle Berryho lze na zakladetechto dodatecnych informacı aproximovat nezbytnou delku matice vlastnıch cısel,presneji urcit pocet techto modu nasledovne:

N(k) =MDkD

(D2)!(4π)

D2

− mdkd

4(d2)!(4π)

d2

+ . . . , (9.1)

kde k →∞ a hledany pocet modu kn < k, D odpovıda rozmeru oblasti, d rozmeruhranice oblasti, tedy d = D − 1, MD resp. md se rovna Hausdorffove dimenzioblasti, resp.hranice.

3Dialog se objevı pri poctu vyssım nez je 50. Tuto hodnotu lze upravit ve funkci modify cell.m.4Opet lze zmenit, viz pde tool mesh.m, radka 56.

58

Modalnı analyza fraktalnıch anten 9.1. Dutinovy model v MatLabu

Ackoliv je vycıslenı teto rovnice jednoduche, je nepravdepodobne, ze by uzivatelvzdy znal vsechny potrebne parametry. Pak je nutne prenest povinnost zıskat tytohodnoty na simulacnı program. Implementace teto funkce je vsak pro ucely PDEsimulatoru zbytecne prılis slozita, navıc pri pevne zvolenych mezıch nedochazelok vyraznym rozdılum v poctu zıskanych resenı.5 Tento zpusob zadanı zustal za-chovan.6

Nasledne muzeme pristoupit k vlastnımu numerickemu resenı rovnice (8.4).Vypocet obstara PDE toolbox MatLabu spusteny funkcı solve pde task.m,konktetne prıkaz na radce 31. Bezprostredne predtım dochazı k nastavenı do-datecnych voleb prıstupnych tez v okne toolboxu – zejmena se jedna o barevnyrast pro zobrazenı gradientu napetı, barvu a prıtomnost sipek ukazujıcıch smerproudu.

Obdrzene vysledky jsou ve tvaru Lambda(n), n ukazuje poradı modu. Proprepocet na rezonancnı frekvence je vyuzit vztah (8.9).

Pri analyze nekterych fraktalu vychazela frekvence dominantnıho modu nes-myslne nızka, casto o 10 i vıce radu nizsı nez dalsı frekvence v poradı. Zarazenımcyklu, ktery z pomeru fr3 a fr1 vypocte strmost, s jakou frekvence stoupa, a kterytuto strmost porovnava se strmostı zadanou v programu,7 byl problem odstranen.Tato uprava se tyka nejvyse prvnıch dvou frekvencı. Uzivatel je o odebranı hodnotinformovan v okne MatLabu. Zobrazenı v PDE toolboxu nejsou techto fiktivnıchfrekvencı zbavena.

Je-li tabulka rezonancnıch frekvencı v poradku upravena, je pripravena navystup na obrazovku. O ten se starajı funkce print result.m, type frequence,prıpadne pde tool.m. Pocet vypsanych frekvencı odpovıda poctu nalezenych modu,vcetne modu degenerovanych (jedna se o nezadoucı mody vznikle pravdepodobnevinou nepresnosti vypoctu; vıce viz kap.10). Pocet nalezenych modu se obvyklepohybuje mezi 5-20.

V prıpade prıstupu k PDE pres funkci GenTool fc. se vyse uvedene schemaopakuje v kazdem kroku optimalizacnı smycky, ktera je popsana v nasledujıcıcasti.

5Vlivy zpusobujıcı velkou rozdılnost resenı jsou do znacne mıry eliminovany. Rozmery ifraktalnı dimenze anten jsou srovnatelne. Totez platı o jednotlivych dimenzıch IFS patche.

6Konkretne je velikost [0 50000], ve vyjımecnem prıpade je nutne tento rozsah zvetsit upravoufunkce PDE tool mesh.m na radce 72. Pak lze ocekavat vetsı pocet modu.

7Parametr orezavaci pomocny pomer na radce 42 funkce solve pde task.m. Je rovny 50.

59

Modalnı analyza fraktalnıch anten 9.2. Optimalizacnı smycka

9.2 Optimalizacnı smycka

Funkce mutate structure.m zavadı jednoduchou optimalizaci. V prvnım kroku jsounactena data z minule generace. Je zhodnocela velikost rezonancnı frekvence a tımurcena strategie pro dalsı krok. Snızila-li se frekvence prvnıho modu v minulemkroku (od stavu predminule generace), pokracuje program dalsı zmenou stejnehoparametru, naopak zvysila-li se, je parametr vracen do puvodnıho stavu a zvolendalsı v rade. Parametry fraktalu jsou nacıtany v poradı a, b, c, d, e, f .

Pocet kroku algoritmu je rızen uzivatelem, skoncı take ale, pokud strukturaprojde celym rozhodovacım sıtem. Prvnı a druha generace optimalizaci pouze ini-cializujı. Je vhodne podotknout, ze se jedna o skutecne velice primitivnı funkciurcenou pouze pro studium IFS kolazı. Kvalitnı optimalizacnı algoritmus budepouzit v navazujıcı diplomove praci.

9.3 GUI

Pro resenı PDE ulohy jsou v programu k dispozici dve odlisna okna. Na obr. 13.4je zobrazeno okno PDE tool, jımz popis zacneme.

Okno otevreme, spustıme-li po generaci kolaze v IFS generatoru nove odkrytetlacıtko get PDE. Prvnı volba Ponechat iterace upravuje matici, ktera rep-resentuje body pozdeji vykreslovane do toolboxu. Pozadujeme-li pouze poslednıiteraci, coz byva obvykly pozadavek, ponechame defaultnı nastavenı. GUI si samzjistı pocet iteracı v cellu a podle toho menu nastavı. Pocet iteracı se zobrazujeo radku vyse, po stisknutı Modify jsou pologony prevedeny na matici, jez jepo aktivaci Kreslit polyg.. . . zakreslena do PDE toolboxu. V prıpade velkychmatic je zobrazeno upozornenı.

Dalsı tlacıtko nastavuje hranicnı podmınku (Neumannovu), hustotudiskretizacnı sıte a jine, v casti 9.1 uvedene parametry. Poslednı volbaVyresit PDE ulohu spustı prıkazem solve PDE vypocet. Chyby z ruznychduvodu vniknuvsı behem vypoctu se ohlasujı standardne zcervenanım tlacıtka. Vprıpade vetsıho poctu polygonu, ze kterych je konstruovan zaric nebo v prıpade,ze je struktura velmi clenita, muze vypocet trvat dlouho (radove az hodiny). Vprıpade potreby lze program prerusit pouze systemove (zachytit uzivatelsky signalk ukoncenı je v MatLabu retivne obtızne, odhledneme-li od primitivnı varianty scyklickym checkem globalnı promenne).

Slozitejsı variantou, nabızejıcı navıc prımy vystup frekvencı a optimali-zacnı smycku z casti 9.2, je okno Genetic Algorithm (obr. 13.3) spustitelneGenTool fc. v IFS generatoru. Krome ve vsech oknech se vyskytujıcıch voleb

60

Modalnı analyza fraktalnıch anten 9.4. Analyzovane vzorky

Znovu a Konec obsahuje pouze tlacıtko Evoluce, jez proces optimaliza-ce spoustı. Nalevo od nej se skryva tabulka oznamujıcı stav jednotlinych ope-racı, rozbalı se az po spustenı programu. Dodatecna nastavenı jsou umıstenav dolnı casti. Knoflık Sprodlevami? zajistı vlozenı kratke pauzy8 mezi jed-notlive evoluce. Nastavenı OD: -- DO: odpovıda Ponechat iterace v PDE toolu,Pocet evolucı (tedy kroku optimalizace) se doporucuje volit z intervalu 3, 20. Jepravdepodobne, ze do hodnoty 20 smycka projde vsechny moznosti, dalsı opakovanıprogramu jiz neprinası zlepsenı struktury, zaroven hodnoty mensı nez 3 nelzepouzıt (program ohlası chybu).

9.4 Analyzovane vzorky

Pro analytickou cast bakalarske prace v kapitole 10 byly zvoleny fraktaly uvedenena obr. 8.2, 8.3 a 8.4. Protoze variabilita IFS vstupu je velka a pocet potencialnevzniklych struktur je obrovsky, muzeme specifikovat vlastnosti konvenujıcı prodany ucel. Shrnme pozadavky hledanych struktur:

1. moznost analyzy dutinovym modelem (celo-vodivy patch)

2. nızky pocet transformacı (20-30 polygonu pri 2.iteraci)

3. clenity povrch jiz pri 2-3 iteraci (kvalita fraktalnı hranice)

4. ruzny pocet vrcholu pocatecnı struktury

5. min. 1 kolaz studovana v literature (mozne srovnanı apod.)

6. vzajemna rozdılost, zajımavy vzhled

Parametry uvedenych zaricu, podstatne z hlediska generace:

Fraktal Pocet Polygonu iteraceVrcholu9 Transformacı 0. 1. 2. 3.

c.1 (obr. 8.2) 4 4 1 5 25 125c.2 (obr. 8.3) 8 5 1 5 25 125c.3 (obr. 8.4) 6 6 1 6 36 216

Tabulka 9.1: Vlastnosti vybranych zaricu.

8Okno PDE s vyslednym proudovym rozlozenım dominantnıho modu se uzavre az po uplynutıteto doby, trva 2 sekundy.

61

Modalnı analyza fraktalnıch anten 9.5. Nepresnosti, vylepsenı

Fraktal c.1 je v literature pomerne hojne realizovany. Pro tuto praci byl mırnemodifikovan – byla pozmenena prostrednı spojka, upraveny rozmery a typ trans-formacı (jednotlive sekce jsou na sebe jinak navazany).

V poradı druhy zaric je atraktivnı zejmena pro svou prostrednı zuzenou cast. Vhorizontalnım a vertikalnım smeru u nej muzeme ocekavat zcela odlisne vlastnosti,navıc vykazuje velkou clenitost. Se vzrustajıcı iteracı se strednı mezera norı stalehloubeji do struktury10

Z pohledu symetrie je naopak poslednı fraktal zcela rovnomerny. Rozlozenıpolygonu je podobne rozlozenı Sierpinskeho trojuhelnıka, proto i zde muzemeocekavat zajımave alokace proudu, resp. sklon k chovanı patche coby antennnırady. Vysledky analyzy ze zabyva kapitola 10.

9.5 Nepresnosti, vylepsenı

Nepresnosti dutinoveho modelu budou diskutovany v 10. kapitole. Jiz nynı je vsakvhodne zmınit experimentalnı overenı imanentnıch nepresnostı teto metody. Mırachyby splnila u vetsiny vzorku ocekavanı, presto nektere struktury ve srovnanı sreferencnımi vysledky zıskanymi FEMLabem vykazovaly naprosto odlisne vlast-nosti (myslena rezonancnı frekvence a posloupnost modu).

Zasadnım problemem se ukazalo i zaokrouhlovanı MatLabu pri nevhodne zvo-lene presnosti. Pri zadavanı bodu a transformacı s nulovou tolerancı11 nebylPDE toolbox schopen celou strukturu sjednotit a dochazelo k chybam. Pro eli-minaci tohoto nedostatku je vhodne jiz pri zadavanı hodnot pocıtat s drobnymipresahy. Dalsım krokem pro zpresnenı vysledku teto prace je odebranı vyse popiso-vane smycky a propojenı analyzatoru s efektivnım optimalizacnım algoritmem.Vhodnymi alternativami se zabyva kapitola 11. Budeme-li i nadale trvat na vyuzitıPDE toolboxu, je treba pristoupit k nasledujıcım upravam:

zjednodusit PDE, vyvarovat se refreshovanı polygonu

novy GUI umoznujıcı efektivnejsı praci se strukturou a vysledky

prevest na objektove programovanı

stabilizace a zachycenı vzniklych chyb za behu programu (prıprava pro delsıvypocty)

obecne zlepsit exporty a vystup

10Svislou delku mezery lze vyjadrit vztahem: v = h∑

ni=0

(12

)n+1, resp. v = h− h(

12

)n+1 , kdeh je celkova vyska motivu a n odpovıda poctu iteracı.

11Tedy body [0 5] a [5 0].

62

Kapitola 10

Zhodnocenı dosazenych vysledku

10.1 Rezonancnı frekvence

V prıpade fraktalnıch patchu lze ocekavat u dominantnıho modu snızenı rezo-nancnı frekvence. Tento jev je velice zadoucı. Zda (a nakolik )k nemu dochazı bylozkoumano na zvolenych trech zaricıch.

Mod c. 1. iterace 2. iterace 3. iterace 4. iteracefr1 [GHz] λ fr2 [GHz] λ fr3 [GHz] λ fr4 [GHz] λ

1. 1.537 1036 1.081 512.6 0.723 229.4 0.505 1122. 2.264 2886 1.084 515.9 0.774 262.9 0.538 126.93. 2.992 3929 1.155 589.5 0.778 265.5 0.538 126.94. 3.079 4160 3.156 4370 2.221 2163 1.515 10075. 4.017 7078 3.793 6313 2.466 2669 1.687 12506. 4.634 9420 3.800 6336 2.467 2670 1.689 12527. 5.158 11670 3.872 6579 2.467 2670 1.689 12528. 5.311 12380 5.155 11660 2.472 2682 1.703 12729. 5.389 12740 6.266 17230 2.575 2908 1.760 136010. 6.029 15950 6.282 17310 2.578 2916 1.761 1361

Tabulka 10.1: Vlastnı cısla a rezonancnı frekvence, 1. antena.

Prvnım krokem bylo overenı platnosti metody pro elementarnı patche v pro-gramu FEMLab (FEM metoda). Porovnana byla frekvence prvnıho a druhehomodu patche 50mm× 30mm, 100mm× 60mm a patche se sterbinou. Velikostfrekvencı se lisila v radu MHz, coz konkretne pri rezonanci na 3GHz znamenachybu nekolik promile az jednotek procent1. Na zaklade jsme pristoupili k vlastnı

1Chyba je mj. zavisla na hustote diskretizacnı mrıze a slozitosti utvaru, [A12] uvadı chybu DM

63

Modalnı analyza fraktalnıch anten 10.1. Rezonancnı frekvence

Mod c. 1. iterace 2. iterace 3. iteracefr1 [GHz] λ fr2 [GHz] λ fr3 [GHz] λ

1. 2.040 1832 1.695 1261 1.448 9202. 3.236 4594 3.155 4366 2.989 39203. 4.383 8425 4.127 7474 3.746 61564. 6.774 20130 4.943 10720 3.983 69595. 7.150 22430 4.949 10740 3.988 69776. 7.239 22990 6.217 16960 5.114 114707. 9.274 37730 6.542 18780 5.491 132308. 10.440 47820 6.616 19200 6.483 184409. 10.450 47980 7.118 22230 6.683 1959010. 10.590 49240 8.832 34220 8.275 30040


analyze.Podle tabulek je zrejme, ze frekvence zvysujıcı se s iteracı skutecne klesa.

Zajımave by bylo studovat, do kolikate iterace a jak strme se frekvence snizuje (ve-likost jejıho gradientu podel iteracı). Tempo snizovanı nemohlo byt zaznamenano,protoze nebyl (pro narocnost vypoctu vyssıch iteracı) zıskan potrebny pocet udajupro zkonstruovanı grafu. Presto lze tvrdit, ze vliv iterace na snızenı frekvencekonkretnıho utvaru je veliky. Proto je zadoucı volit velikost iterace na hraniciunosne pro analyzu a vyrobu.

Tucne udaje v tabulkach representujı tzv. degenerovane mody. Tyto modymajı hodnotu frekvence velice blızkou predchozımu modu. Nejedna se o novy typproudoveho rozlozenı, pouze o jinou orientaci stejneho modu. Tyto hodnoty nemo-hou byt akceptovany, chceme-li sledovat chovanı a frekvenci jednotlivych modu.Obrazek 10.1 vychazı ze seznamu, ktery takove mody obsahuje. U vsech prubehujsou videt vodorovne linky, stavy kdy stupen modu roste, ale frekvence nikoliv.Tento nesvar byl eliminovan v prıpade obrazku 10.2 - 10.4, jez lze povazovat zarelevantnı prubehy snizovanı frekvence2. Tyto grafy obsahujı mene hodnot, nezgraf na obr. 10.1. To je dano tım, ze po vyrazenı degenerovanych modu zbydemene hodnot (z 10-15 modu PDE toolboxu zustalo po selekci kolem 8 hodnot, prokonstrukci smerodatneho grafu stale akceptovatelne cıslo).

Po simulaci fraktalu v PDE toolboxu byla provedena srovnavacı analyza jed-notlivych struktur v programu FEMLab. Frekvence prvnıho a druheho patche se

max. 5-15%.2Grafy jsou znazorneny pomocı spojiteho prubehu. Ten byl zvolen pro vetsı nazornost. Ve

skutecnosti tomu tak nenı.

64

Modalnı analyza fraktalnıch anten 10.1. Rezonancnı frekvence

Mod c. 1. iterace 2. iterace 3. iteracefr1 [GHz] λ fr2 [GHz] λ fr3 [GHz] λ

1. 3.280 4720 3.019 3998 2.468 26732. 3.280 4720 3.019 3999 2.469 26713. 5.387 12730 5.560 13560 4.552 90914. 5.387 12730 5.562 13570 5.490 132205. 6.855 20620 6.810 20350 9.164 368406. 6.855 20620 9.883 42850 9.193 370707. 8.181 29360 10.09 44690 9.194 370808. 9.423 38950 10.30 46590 9.205 371709. 9.428 39000 10.30 46620 9.227 3734010. 9.502 39600 10.62 49550 9.227 37350


Mod c. Obdel. patch Fraktal c.1 Fraktal c.2 Fraktal c.3PDE FEM PDE FEM PDE FEM PDE FEM

1. 3.007 3 1.444 1.43 1.448 1.431 2.468 1.4312. 5.0053 5 1.542 1.611 2.789 2.002 2.469 1.5473. – – 2.435 2.563 3.746 3.895 4.552 1.796

Tabulka 10.4: Srovnanı vysledku rezonancnı frekvence frn [GHz].

po odebranı degenerovanych modu rovnaly (s jistou chybou), ovsem tretı patchvysel odlisne. Pro ucel teto prace je FEMLab povazovan za presny referencnı an-alyzator, proto je potreba hledat chybu v nastavenı PDE toolboxu nebo v propo-jovacım programu. Tento nedostatek byl odhalen kratce pred dokoncenım prace,proto jiz nebylo mozne jej odstranit. Efektivnım resenım se jevı propojenı IFSprımo s FEMLabem, s cımz tato prace v budoucnu pocıta. Proudove rozlozenı jev prıpade obou metod totozne.

Srovnanı chyb prvnıch dvou fraktalu pomerne presne koresponduje spredpoklady, prıpad tretıho fraktalu byl diskutovan vyse. Dalsıho snızenı frekvencelze dosahnout vhodnou upravou struktury, vıce v casti 10.3.

65

Modalnı analyza fraktalnıch anten 10.2. Studie proudoveho rozlozenı

Obrazek 10.1: Graf klesajıcı frekvence s iteracı a modem, 1. fraktal,vc. degenerovanych modu.

10.2 Studie proudoveho rozlozenı

Proudove rozlozenı vybranych modu je zobrazeno na obr. 10.5 - 10.7. Nejprve vsakupozorneme na obr. 10.8 a 10.9. 10.8 ukazuje jeden z nesmyslnych modu, kterePDE toolbox obcas vydava za dominantnı mod. Hodnota vlastnıho cısla je vsakprılis nızka a rozlozenı proudu nelze fyzikalne interpretovat. Tyto mody jsou proucely optimalizace odstranovany, jinak by je algoritmus vydaval za idealnı nalezenestruktury (s nejnizsı fr).

Taktez na obr. 10.9 je zobrazen jeden z nezadoucıch jevu. Jedna se o sousednı,vzajemne degenerovane mody. V teto praci byly jiz zmıneny. Za resenı muzemepovazovat vzdy pouze jeden, dalsı je jen variacı pro jinou osu symetrie. Vysvetlujese zde, proc v tabulce 10.3 nalezame pro vyssı iterace mnoho degenerovanychmodu – vysledny fraktal se sklada z sesti, od stredu stejne vzdalenych, shodnychpolygonu.

Studovane patche daly dostatecnou odpoved’ na otazky polozene v zadanı tetoprace. Pro vyssı mody lze skutecne muzeme videt zajımave alokace proudu (10.5vpravo dole, 19.mod, dale 10.6 vpravo dole, 13.mod), prıpadne sklon k chovanıpatche jako antennı rady (10.7 vpravo dole, 29.mod).

Pozn.: mody na obrazcıch jsou serazeny zleva doprava, zezhora dolu.

66

Modalnı analyza fraktalnıch anten 10.3. Ucinek sterbin

Obrazek 10.2: Graf klesajıcı frekvence s iteracı a modem, 1. fraktal.

10.3 Ucinek sterbin

Program GenTool fc. byl vyuzit pro studium vlivu zmeny parametru na rozlozenıproudu. Ukazalo se, ze alokace proudu je skutecne zavisla na geometrii struk-tury. V prvnım prıpade (viz struktura uvedena na obrazku 10.10) vznikla jiz po6 generacıch programu. Doslo ke zmensenı frekvence prvnıho modu z 0.723GHzna 0.67GHz (na obrazku uvedena hodnota vlastnıho cısla). Pro tyto ucely nenıdulezita absolutnı hodnota frekvence, ale velikost jejı zmeny.

Modu zobrazenemu na 10.11 vlevo odpovıda frekvence 1.1577GHz, zhrubao 20% mene nez bez modifikace. Podobne upravenych struktur lze vytvoritmnoho, problemem zustava jejich realizovatelnost (prılis tenke spojky / velkaclenitost / obtızna analyza).

Rozbor vlivu zmen parametru ukazal nutnost zavedenı globalnı optimalizace.Touto moznostı se zabyva 11. kapitola.

67




68


Obrazek 10.5: Proudove rozlozenı, antena c.1, mody 1,2,3,4,5 a 19.

69


Obrazek 10.6: Proudove rozlozenı, antena c.2, mody 1,2,3,8,11 a 13.

70


Obrazek 10.7: Proudove rozlozenı, antena c.3, mody 1,3,5 a 29.

71


Obrazek 10.8: Ukazka chybneho (dominantnıho) modu.

Obrazek 10.9: Ukazka sousednıch degenerovanych modu.

Obrazek 10.10: Mutace fraktalu c.1 zmenou transformacnıch parametru.

72


Obrazek 10.11: Mutace fraktalu c.2 zmenou transformacnıch parametru.

Obrazek 10.12: Vyvojove schema GA, k vykladu v kap.11.

73

Kapitola 11

Optimalizacnı algoritmy,mozne vylepsenı IFS + PDE

Optimalizace je pro potreby elektroniky, konkretne antennı techniky, hojnevyuzıvana. Jiz bylo publikovano mnoho clanku a knih venujıcıch se nalezenı idealnıstruktury pro zadane parametry. Tento ukol je nejcasteji realizovan pomocı gene-tickeho algoritmu (viz sekce 11.2) v MatLabu (GA toolbox). Autor si klade za cılkratce seznamit ctenare s moznostmi implementace optimalizacnıch algoritmu naproblem mikropaskovych fraktalnıch patch anten. Rozhodne se tedy nejedna o uce-leny popis problematiky. Nejprve bude demonstrovana situace, kdy nelze pouzıtklasicke funkce hledajıcı extrem.

11.1 Potreba globalnı optimalizace

Nynı bude nastolena otazka, na ktere se da uzitecne ukazat potrebnost genetickychalgoritmu, prıpadne dalsıch modifikacı tohoto postupu.

Predstavme si naprosto jednoduchy spojiny prubeh jiste funkce – v tomtoprıpade nerozhoduje zda linearnı ci nikoliv. Pokud budeme u tohoto prubehu hledatmaximum nebo minimum v rozumnem rozpetı promenne veliciny, jevı se idealnımiterativnı algoritmus prohledavajıcı cılene dany interval z jedne ci druhe strany, ato s pevne zadanou selektivitou. Vystupem zaverecne komparace je hodnota, kteranejlepe splnila zadane kriterium (max./min. apod.). Prıkladem muze byt hledanahodnota teploty tanı konkretnıho vzorku morske vody s presnostı na 0.1, kdy sjistoutou vıme, ze tato hodnota bude v intervalu ϑ ∈ (-10°C,0°C). Je zde pouzejeden stupen volnosti, jımz je teplota;

ttani = f(ϑmor.vody) . (11.1)

74

Modalnı analyza fraktalnıch anten 11.2. GA

Avsak nastoleny problem nemusı byt funkcı jedne promenne, nemusı bytlinearnı, jednotlive parametry se mohou vzajemne ovlivnovat a jejich platnostmuze byt omezena intervalem, ktery nezname. Nadto nemusı byt znama urovenhledaneho resenı. Potom se musıme spokojit nikoliv s nejlepsım resenım, ale sresenım dostatecne kvalitnım, jez se v jistem tolerancnım intervalu tomu idealnımublızı.

Takovy problem predstavuje i optimalizace fraktalnıho patche, kde zname jed-notlive transformace a celkovou podobu patche a hledame nejnizsı rezonancnıfrekvenci dominantnıho modu. Vsechny parametry majı prımy vliv na geometriizarice, jejich modifikace ovsem prispıva k podobe vysledne struktury, a tım velikostifrekvence, nedeterministickym zpusobem. Pri zmene jedne hodnoty je vlivemvzajemne interakce pozmenen charakter cele anteny. A tak po serii uspesnychuprav parametru muze s dalsım krokem nastat skokova zmena hledane frekvencesmerem vzhuru (nalezenı jednoho z mnoha lokalnıch extremu). Dostavame se doslepe ulicky.

Pro resenı techto uloh byly vynalezeny optimalizacnı algoritmy, v naprostevetsine inspirovane prırodou. Uved’me kratce typicke pozadavky na optimalizacnıalgoritmus (OA):

1. odolnost vuci konvergenci do lokalnıho extremu

2. rychlost

3. presnost nalezeneho resenı

4. jednoduchost implementace

5. naroky na vypocetnı vykon PC

6. universalita, obecne vyuzitı

11.2 GA

K rozvoji dochazı v 60. letech. Geneticke algoritmy jsou analogiı Darwinovy teorie ovyvoji druhu. Smerovanı populace je rozhodovano na zaklade celeho druhu, nikolivkonkretnıho jedince, byt’ by byl v ramci resenı tım nejlepsım (jak je tomu u prıkladuv uvodu kapitoly).

Nejprve musıme vytvorit jedince prvnı generace. Ti mohou vzniknout bud’tonahodne nebo podle zadanych parametru transformacı. Je nutne, aby jedinci,prıpadne tvz. fitness funkce1, respektovali alespon z casti vlastnosti pozadovane

1Udava kvalitu jedince v porovnanı s ostatnımi, tedy schopnost jedince dosahnout maxima.

75

Modalnı analyza fraktalnıch anten 11.3. PSO

struktury. Pokud nikterak neomezıme podobu pocatecnıch jedincu, obdrzıme zcelanahodnou strukturu (ma-li mıt finalnı struktura jiste parametry, zaradıme tytopozadavky do operace selekce a nevhodne jedince vyrazujeme, tak nasilne korigu-jeme evoluci). Jedincem je binarnı retezec. Jednotlive bity (nebo jejich skupiny)representujı urcitou vlastnost (vıce viz [W5]).

V dalsım kroku jsou jedinci testovani fitness funkcı. Pro uspokojivou clenitostpopulace jsou jedinci dostatecne kvalitnı doplneni nekolika mene kvalitnımi. Pokudbudou neustale vybırany pouze prvky s nejlepsımi vysledky, hrozı uvıznutı vlokalnım maximu. Vhodny typ selekce je znam pod nazvem proporcionalnı,viz [W4]. Tento postup zajistı ohodnocenı jedincu fitness funkcı a podle jejı ve-likosti idividualne priradı pravdepodobnost vyberu do nove generace. Velice kva-litnı prvky majı vetsı sanci, ze budou vybrany, presto jsou v nove populaci vzdyzastoupeny i ty mene kvalitnı.

Po vyberu vhodnych jedincu musıme vytvorit nasledujıcı generaci. Pozadavkemje dostatecna ruznorodost novych prvku. K dispozici mame dva operatory. Krızenıa mutaci. Prvne jmenovany kombinuje casti kodu dvou rodicu. Operator lze nas-tavit tak, ze krızı bity na konstatne udanych pozicıch, nebo je vybıra nahodne.Velikostı krızenych retezcu lze strukturu taktez ovlivnit. Zbyvajıcı operator, mu-tace, pracuje stejnym zpusobem, jakym se objevujı mutace v prırode. Operatorrealizujeme aplikacı bitove negace na nahodne zvoleny bit.

Komplikacı GA je skutecnost, ze nezname fitness funkci (tedy velikostfrekvence, ke ktere ma struktura spet a proti ktere majı byt jednotlivı jed-inci testovani). Nevıme totiz nic o cılove strukture, jejıch parametrech ci rezo-nancnı frekvenci. Zvolıme-li tuto mez nahodne, nemusıme dospet k resenı vubec,nebo naopak jich muzeme mnoho, ovsem neprılis vysoke kvality. Provizoriem sejevı rucnı nastavovanı, podobne jako v prıpade hledanı uspokojive velikosti ite-race IFS. Tento postup je vsak pomaly a neefektivnı. Jina alternativa spocıvav nalezenı vhodneho vztahu, jenz popisuje teoretickou minimalnı rezonancnıfrekvenci souboru struktur totozneho charakteru. Tento problem zatım nebyl zcelavyresen.

11.3 PSO

PSO (Particle Swarm Optimization) patrı spolu s ACO (Ant Colony Opti-mization) k technikam tzv. rojove inteligence. Mezi obema metodami exis-tujı rozdıly (zejm. feromonove stopy v ACO), ale i vyznamne paralely. V obouprıpadech studujeme kolektivnı chovanı decentralizovanych samoorganizujıcıch sesystemu. Tento system muze tvorit hejno ptaku, vcel, bakteriı, mravencu atp. Vysejmenovane, zpravidla velice pocetne skupiny jedincu, se naucily v prırode komu-

76

Modalnı analyza fraktalnıch anten 11.4. ACO

nikovat a kooperovat tak, aby uspesne splnily potrebny ukol – muze se jednat onalezenı potravy nebo jen o proste prezitı. V ramci efektivnı cinnosti hejna (usporysil, casu ci sancı na prezitı) je tendence tento proces optimalizovat.

Jedinec, ktery je clenem onoho spolecenstvı, je pro ucely PSO/ACO defi-novan nejcasteji jako agent. Agenti interagujı mezi sebou navzajem a s okolnımprostredım. Komunikace muze probıhat prımo nebo neprımo pusobenım na okolnıprostredı. Prestoze tyto systemy nejsou centralne rızeny ani kontrolovany, lokalnıinterakce mezi agenty a jednoduche vzory chovanı casto vedou k emergenciglobalnıho chovanı ([L8]).

PSO je velice efektivnı metoda. V literature je pozitivne hodnocena vysokaodolnost proti uvıznutı v lokalnıch extremech. Lze ji s uspechem aplikovat na resenıvelice narocnych optimalizacnıch uloh. Mutace PSO a GA – GSO – je zvazovanapro implementaci do upravene verze IFS-PDE programu.

Realizace pocıta s vytvorenım velkeho poctu agentu (ruzne vzorky anteny) aprogramovou simulacı socialnı struktury podobne hejnu. V kazdem kroku musıbyt jedincovo chovanı ohodnoceno (IFS fraktal z transformacı, z nej rezonancnıfrekvence pomocı PDE/FEMLabu) a jeho uspechy sdeleny hejnu. Na zakladedılcıch uspechu agentu a vjemu z okolı (musı byt vhodne vahovany) dochazı kezmene konstelace celeho roje. Klıcovy je design vzajemnych interakcı mezi agentya nastavenı adekvatnıho chovanı tak, aby konecnym bodem vetsiny agentu byl bodukazujıcı optimalizovanou strukturu/frekvenci.

11.4 ACO

Tato optimalizace se inspiruje chodem skutecneho mraveniste. I pres veliceomezenou inteligenci jedincu a relativnı trivialitu pravidel, jimiz se komunita rıdı,lze optimalizovat i velice komplikovane ulohy.

Mravenci jsou (podobne jako vcely) povazovani za socialnı hmyz – jejichchovanı smeruje k zachovanı kolonie (viz [W7]). Navıc prısna stratifikace rolı jedin-cu v ramci dane socialnı struktury si vyzadala stabilizaci prısunu potravy. Tentoproces je silne optimalizovan. Velkou zbranı mravencu pri honbe za potravou jechemicka latka feromon, kterou kazdy mravenec vylucuje. Ostatnı mravenci umıdetekovat feromony zanechane jinym mravencem, a tak si vybırajı cestu s nejvetsıkoncentracı feromonu (nevedomky tak zvysujı svou sanci na nalezenı potravy). Je-li na danem mıste feromon prıtomen ve vetsım mnozstvı, znamena to, ze tudyproslo vıce mravencu. To indikuje blızkost potravy, resp. vysokou frekventovanostcesty v obou smerech. Pravdepodobnost volby teto cesty dalsım mravencem seopet zvysı. Zmizı-li zdroj potravy na cılovem mıste, musejı mravenci pokracovat

77

Modalnı analyza fraktalnıch anten 11.5. GSO

dale a vracejı se jinou (kratsı) cestou.2

Ukazuje se, ze pocıtacovy program schopny simulovat mravencı kolonii muzeresit slozite problemy. Samoorganizujıcı se struktura generuje pozadovane patchebez jakehokoliv centralnıho (vnejsıho) rızenı. Muzeme najıt i prace, ktere uvazujıo nekolika druzıch feromonu. Vysledna realizace je do jiste mıry obtıznejsı, nadruhou stranu jsou resenı zıskana ve vyrazne kratsım casovem intervalu.

Bohuzel je implementace teto metody obtızna (presneji implementace v MAT-Labu pro IFS), a proto nebude pro nase ucely preferovana.

11.5 GSO

Jak bylo receno vyse, jedna se o kombinaci GA a PSO. Podle [A5] je tato metodavelice rychla a uspesna, z puvodnıch metod prebıra jednotlive vyhody. Lze ji apliko-vat na obecnou optimalizacnı ulohu. Polovina jedincu prvnı generace je zpracovanapomocı PSO, druha pomocı GA, prvky mohou byt voleny strıdave. V zaveru krokujsou vybrana resenı promıchana a operace se opakuje. Metoda vyuzıva tez GAoperatory selekce, krızenı a mutace. Pravdepodobne jde o idealnı metodu opti-malizace geometrie patch zarice. Nevyhodnou je nutna znalost GA i PSO.

2Chovanı jedincu pri navratu do mraveniste, pokud je nejkratsı cesta bez feromonove stopy,je komplikovanejsı.

78

Kapitola 12

Zaver

V programu MatLab byl implementovan proces generujıcı IFS fraktaly. Parametrypro jejich vznik lze zadavat nekolika zpusoby. Zaroven tato technika poskytujevysledky pro rozumne velky pocet iteracı, kdy hodnoty vyssı nez 4 jiz mohou delatpotıze. Program byl dale rozsıren o moznost exportu a moznost ukladanı bodu itransformacı. Generator ma jiz finalnı podobu a nebude vyznamne rozsirovan.

Dale byla implementovana metoda zalozena na analyze v generatoru vzniklychplanarnıch struktur, a to pomocı PDE toolboxu propojeneho s generatorem. Duti-novy model, simulujıcı patch antenu, patrı mezi jednodussı analyticke metody,presto poskytuje vysledky srovnatelne s programem FEMLAB. Pri realizaci semuselo vyresit nekolik dılcıch problemu uvedenych v 9. kapitole. Nektere z nichbudou dale reseny. Take je nutno program zjednodusit.

V 11. kapitole byly nastıneny varianty pouzitelnych optimalizacnıch algoritmu.Kazda z moznostı nabızı jiste vyhody, ale oproti ostatnım zahrnuje i zapornevlastnosti. Volba spravneho vyhledavacıho algoritmu se tedy musı podrıdit jed-nomu ze zakladnıch pozadavku, kterym muze byt kratka doba vypoctu, presnost,odolnost proti konvergenci do lokalnıho maxima apod. Pro sve vlastnosti –obecnost a rychlost – je vyrazne preferovan GSO algoritmus, jehoz podoba jenastınena v [A5] a s jehoz propojenım se stavajıcım programem se pocıta dobudoucna.

Projekt predstaveny v teto praci umoznuje nejen optimalizaci jedne, predem danea nemenne struktury, ale celeho souboru struktur (u nichz stacı splnit IFS teorem)a dale simulovat tu nejlepsı variantu podle GA/PSO. Je otazkou, zda budouvsechny mozne scenare (pro ruzne pocatecnı struktury) vzdy konvergovat k urcitejedne strukture, nebo pro ruzne struktury najde optimalizace vzdy ruzna resenı.Prvnı z moznostı by vıce odpovıdala povaze fraktalu a jejich vlastnostem, prestoje pravdepodobnejsı varianta druha – vyhledavacı algoritmy pracujı s velkym

79


poctem zcela nahodnych promennych, ktere do kazde individualnı struktury vnasıchaos a neusporadanost. Kazdy vysledek se potom lisı, i kdyz byla pocatecnıstruktura ve vsech prıpadech stejna.

Dılcı vysledky uvedene v 6., 9. a 10. kapitole je vhodne pro absenci optimalizacepovazovat spıse za vedlejsı produkt nadrazeneho, ale nekompletnıho procesu. Jehodopracovanı by mohl byt vychozı ukol pro navazujıcı diplomovou praci.

I tak bylo overeno nekolik tvrzenı – prokazala se zavislost velikosti iterace,druhu struktury (prıpadne modifikace parametru IFS) na rezonancnı frekvenci arozlozenı proudu. Byl potvrzen vyskyt lokalizace proudu u vyssıch modu, nekterez nich mely charakter antennı rady. Dalsı lze oznacit za degenerovane. Klıcova jetez stratifikace patchu na struktury s fraktalnım obvodem a fraktalnım obsahem.Prvne jmenovane lze resit metodou planarnıho rezonatoru (tedy CM), druhe pronemoznost zanedbanı vzajemnych vazeb nikoliv. Vytvorene .txt soubory fraktalumohou v budoucnu poslouzit za vychozı mustr antennıch struktur se zajımavymivysledky.

Pro uplnost je vhodne upozornit na to, ze diskutovana metoda optimalizace (ijakakoliv prıbuzna) je znacne casove narocna a bude tedy potreba upravit celyprogram tak, aby pro rozumny pocet populacı nebyl cas nutny pro vyresenı ulohyprılis vysoky. Navıc bude potreba zajistit vysokou stabilitu programu a konecnetake kvalitnı vypocetnı techniku. Lze vhodne vyuzıt toho, ze komparace jedincuprobıha na zaklade srovnanı s fitness funkcı. Ani v tomto prıpade nejsou dulezitepresne hodnoty, ale jejich pomer, kdy nam za vysledek poslouzı hodnota spadajıcıdo vetsıho intervalu nez byva bezne.1 Presna metoda analyzy potom muze bytvyuzita na vyslednem jedinci.

1Jedinec nemusı fitness funkce dosahnout, pouze se jı s jistou tolerancı priblızit.

80

Literatura

Monografie

[1] Karel Zaplatılek, BohuslavDonar: MATLAB pro zacatecnıky. 2.vydanı,BEN, Praha, 2005. ISBN 80-7300-175-6

[2] Karel Zaplatılek, Bohuslav Donar: MATLAB tvorba uzivatelskychaplikacı. 1.dotisk 1.vydanı, BEN, Praha, 2005. ISBN 80-7300-133-0

[3] Ivan Zelinka, FrantisekVcelar, Marek Candık: Fraktalnı geometrie:principy a aplikace. BEN, Praha, 2006. ISBN 80-7300-191-8

[4] BenoitB.Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman,1982.

[5] BenoitB.Mandelbrot: Fraktaly: tvar, nahoda a dimenze. 1.vydanı, Kolum-bus, Praha, 2003. Edice Kolumbus – Svazek 163. ISBN 80-204-1009-0

[6] Peter Coveney, Roger Highfield: Mezi chaosem a radem. 1.vydanı,Kolumbus, Praha, 2003. Edice Kolumbus – Svazek 160. ISBN 80-204-0989-0

[7] IlyaPrigogine, Isabelle Stengersova: Rad z chaosu. 1.vydanı, Kolumbus,Praha, 2001. Edice Kolumbus – Svazek 158. ISBN 80-204-0910-6

[8] The MathWorks: Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox. ver. 2.,User’s Guide, The MathWorks, 2006.

[9] The MathWorks: Partial Differential Equation Toolbox. ver. 1., User’sGuide, The MathWorks, 2002.

[10] MilosMazanek, Pavel Pechac: Sırenı elektromagnetickych vln a anteny.dotisk 2.vydanı, CVUT, Praha, 1998. Nakladatelstvı CVUT, 10931. publikace.ISBN 978-80-01-03032-5

81

Modalnı analyza fraktalnıch anten Literatura

[11] Blanka Heringova, Petr Hora: MatLab. Dıl I. - Prace s programem.. Plzen,1995, H-S.

[12] J.R. James, P. S.Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London,1989. Peter Peregrinus Ltd. ISBN 0-86341-150-9. chapter 1− 3

[13] Microstrip Antenna Design Handbook. chapter: Analytical Models forMicrostrip Antennas, pgs. 90− 111

[14] Basic methods of calculation and design of patch antennas. pgs. 71− 87

Clanky a prıspevky

[A1] JordiRomeu, Yahya Rahmat-Samii: Fractal Elements and TheirApplications to Frequency Selective Surfaces. IEEE Antennas and Wireless,2000.

[A2] P.W.Tang, P.F.Wahid: Hexagonal Fractal Multiband Antenna.IEEE Antennas and Wireless letters, vol.3, 2004.

[A3] KrzysztofGdawiec: Fractals. 2006.

[A4] Carla M.Riggi: Hutchinson Operators In R3. http:/facweb.uofs.edu/

[A5] A.Gandelli, F.Grimaccia, M.Mussetta, P. Pirinoli, R. E. Zich:Genetical Swarm Optimization: an Evolutionary Algorithm for AntennaDesign. AUTOMATIKA 47 (2006) 3− 4, str.105− 112

[A6] J. Lacık, Z. Raida: Analyza planarnıch struktur pomocı metody momentu ajejich optimalizace. VUT v Brne, grantovy prıspevek

[A7] M.V.Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University ofBristol, Bristol. 1986.

[A8] M.V.Berry: Improved Eigenvalue Sums for Inferring Quantum BilliardGeometry. University of Bristol, Bristol. 1986.

[A9] Sachendra N. Sinha, Manish Jain: A Self-Affine Fractal Multi-bandAntenna. AWPL 0126-2006.

[A10] D.H.Werner, P. L.Werner, K.H.Church: Genetically EngineeredMultiband Fractal Antennas. ELECTRONICS LETTERS, Vol. 37, No. 19.2001.

82


[A11] Z.Baharav: Fractal Arrays Based on Iterated Function System. IEEE,1999. 0-7803-5639-X/99.

[A12] P.Hazdra, M.Polıvka, V. Sokol: Microwave Antennas and CircuitsModeling Using Electromagnetic Field Simulator.

Prace vetsıho rozsahu

[W1] PavelHazdra: Compact Fractal Antenna Structures. Technical Thesis, dep.of Electromagnetic Field, CTU. Prague, 2005.

[W2] Pavel Tisnovsky: Interaktivnı editor afinnıch transformacı. Diplomovaprace, VUT. Brno, 1999.

[W3] PavelHazdra: Fraktalove anteny. Diplomova prace, CVUT. Praha, 2003.

[W4] JanRohan: Navrh patchove anteny pomocı genetickeho algoritmu.Bakalarska prace, VUT. Brno, 1999.

[W5] Geneticke algoritmy. Diplomova prace, Praha.

[W6] Miroslav Janosık: Algoritmy pro optimalizaci sıtı GAME. Bakalarskaprace, CVUT. Praha, 2006.

[W7] MilosNemec: Optimalizace pomocı mravencıch koloniı. Diplomova prace,CVUT. Praha, 2006.

[W8] Martin Stumpf: Frekvencne selektivnı struktury s fraktalnımi motivy.Bakalarska prace, VUT v Brne.

[W9] VlastimilKoudelka: Neuronova sıt’ pro navrh sirokopasmove anteny..Bakalarska prace, VUT v Brne. Brno, 2007.

[W10] Ales Marsalek: Multifrekvencnı ozarovac male parabolicke anteny skruhovou polarizacı.. Diplomova prace, VUT v Brne.

[W11] PavelHamouz: Analyza anten metodou charakteristickych modu.. Diplo-mova prace, CVUT v Praze. Praha, 2007.

83


Internetove zdroje

[L1] www.root.cz: Fraktaly v pocıtacove grafice. Serial. I.–IV. 2006.

[L2] www.fractalus.com: Galleries and Resources. Otevrena galerie fraktalu.

[L3] www.ai-junkie.com/ga/intro/gat1.html, gat2.html, gat3.html:Genetic Algorithms in Plain English.

[L4] http://artax.karlin.mff.cuni.cz/ beda/cz/matlab/primercz/: MatLabtutorial.

[L5] http://uprt.vscht.cz/majerova/matlab/lekce2.html, . . . ,lekce9.html:MatLab.

[L6] Pavel Hazdra: Simulace elektromagnetickeho pole. Presentace (nawww.elmag.org / www.rfprop.com).

[L7] Pavel Hazdra: Numericka simulace elektromagnetickeho pole – Simulatoryelmag. pole. Presentace k predmetu.

[L8] www.milosnemec.cz Rojova inteligence,mravencnı kolonie.. Osobnıstranky zabıvajıcı se mj. rojovou optimalizacı.

84

Kapitola 13

Prılohy

13.1 Dodatek A - Seznam a popis funkcı

13.1.1 Korenovy adresar IFS-PDE-CM:

K temto funkcım, umıstenym v korenovem adresari, je k dispozici obsahlanapoveda. Stacı editovat prıslusny m-file nebo zadat help jmeno funkce dopromptu MatLabu. Funkce (fce) v tomto adresari zpravidla obsahujı GUI, nebofungujı jako prepınace. Jsou to zakladnı fce programu, ktere volajı nizsı proce-dury.

all in one generic function.mRespektuje globalnı promenne z IFS casti. Obsahuje GUI inicial-izujıcı uzivatelske okno. Zpracuje vstupnı informace a vola fcigate between aiog and genere, ta vola dalsı funkce a vracı vysledek.Ten je dale zpracovan a vypsan.

fractal preamble.mTouto funkcı se spoustı cely program. Obsahuje vetvenı try-catch pro vsechnydalsı cinnosti. Definuje globalnı promenne, generuje GUI hlavnıho okna,dokaze ukoncit vsechna okna, prıpadne je restartovat.

fractal preamble pde switch.mPo vyresenı IFS ulohy umoznuje spustenı navazujıcıch funkcı (skryta tlacıtkagetPDE a GenTool fc.). Dokud nenı spravne vypocten IFS fraktal, ne-jsou tato tlacıtka zobrazena.

gate between aiog and genere.mObsahuje dve vetve – funkce se vola poprve nebo jiz po nekolikate. Podle

85

Modalnı analyza fraktalnıch anten 13.1. Dodatek A - Seznam a popis funkcı

tohoto pristupuje ruzne ke generaci fraktalu.1 Dale vola fce, ktere strukturumeshujı, ohranicujı a konecne pocıtajı.

gate between gui and genere.mZpracovava zadane udaje, kontroluje jejich spravnost event. vypisujechybovy dialog. Vola funkci engine, ktera generuje fraktal.

pde tool.mTato funkce resı PDE ulohu po krocıch, ktera kontroluje uzivatel. Obsahujevlastnı GUI. Vysledek je zobrazen v PDE toolboxu a vypsan na vystup.

points array.matV teto promenne jsou ulozeny souradnice bodu, ktere zadal uzivatel a uloziltlacıtkem Save1.

points array2.matPodobne jako u points array.mat, jedna se o druhy zasobnık.

transform matrix.matZde jsou ulozeny transformace zadane uzivatelem. Tato funkce se da vyuzıtk prevodu afinnıch transformacı do formatu [a b c d e f ].

transform matrix2.matPodobne jako transform matrix.mat, jedna o se slot 2.

13.1.2 Slozka Fractal Engine

Zde jsou ulozeny funkce, ktere se podılejı na generaci fraktalu.

affine transform source.mZdroj afinnıch transformacı. Koncipovan tak, aby sla zakladnı transformacekdykoliv pridat.2 Odsud jsou nacıtany ty matice, ktere jsou potreba ke kom-pletaci vstupnıch parametru.

complete cell.matPromenna typu cell ukryva souradnice vsech zadanych / jiz vypocıtanychpolygonu.

1V druhem prıpade jiz existuje tabulka z parametry z minule generace. Ta se nacte a fraktalse generuje znovu s pozmenenymi parametry z teto tabulky

2S tım je nutno zmenit GUI Hlavnıho menu.

86


core.mVlastnı vypocetnı jadro. Pocıta matice polygonu. 4 zanorene for cykly. Vracıcell.

engine.mSpravce generace IFS. Podle navestı (FLAG) sjednocuje transformace nastejny format, zjist’uje pocet pocıtanych polygonu pro waitbar edit, vola corea uklada seznam polygonu do globalnı promenne.

finalization transform matrix.mNacıta jednotlive afinnı transformace ze zdroje, nasobı je a uklada do jednematice. Takto postupuje se vsemi zadanymi transformacemi.

number of polygons.mFce dokaze ze seznamu bodu, zadanych transformacı a poctu iteracı urcitpocet polygonu. To se hodı pro hruby odhad doby vypoctu, prıpadne zapisu.

13.1.3 Slozka Fractal GUI

Slozka obsahuje jednotlive fce, ktere obsluhujı tlacıtka v Hlavnım menu.

add point.mPrida bod do globalnı promenne POINTS ARRAY, navysı poitery.

add transform.mPrida koordinaty transformace do globalnı promenne TRANS-FORM ARRAY, navysı pointery.

back points.mSmaze poslednı zadany bod. Funguje i na seznam bodu nacteny ze souboru,nebo zasobnıku.

back trans.mSmaze poslednı transformaci. Nelze pouzıt na smazanı poslednı transformacez nacteneho souboru.

by with iteration.mObsluhuje skrytou nabıdku Od iterace:.

level up.mPrepne bezıcı thread o uroven vyse v adresarove strukture.

87


load points.mNacte body z promenne points array.mat.

load points from file.mOtevre dialog pro vlozenı souboru s body. Tento soubor musı mıt struk-turu uvedenou v kapitole 6. Tyto body se pokusı nacıst a zobrazı vysledek.Defaultnı adresar je umısten v: IFS-PDE-CM\ program output\Polygony.

load points2.mNacte body z promenne points array2.mat.

load transform from file.mOtevre adresar IFS-PDE-CM\ program output\Transformace a pokusı senacıst zadany soubor s transformacemi.

load transform.mNacte transformace ze zasobnıku. Promenna transform matrix.mat.

load transform2.mNacte transformace z promenne transform matrix2.mat

save points.mUlozı body do prvnıho slotu.

save points2.mUlozı body do druheho slotu.

save points to file.mOtevre dialogove okno vyzyvajıcı k ulozenı bodu do souboru.

save transform.mUlozı transformace do prvnıho slotu.3

save transform2.mUlozı transformace do druheho slotu.

save trans to file.mAnalogie k ukladanı bodu do souboru.

show start points.mZobrazı nactene / zadane pocatecnı body. Vola fci draw points.

3Sloty pro body a transformace nejsou spolecne, jedna se tedy o 4 rozdılne zasobnıky.

88


13.1.4 Slozka Fractal Others

Obsahuje fce pro vykreslenı, export apod. Nektere z techto procedur jsou volanyvıcekrat za beh programu, prıp. jsou pretezovany.

close all.mZavre vsechna okna.

count resonant frequency.mVypocıta rezonancnı frekvenci podle [A7]. Tato funkce nenı zakomponovanado programu.

draw points.mVykreslı fraktal. Hranice jsou prubezne upravovany tak, aby se do vyrezuvesel cely obrazec. Casove velmi narocna funkce.4

draw points from incoming matrix.mVykreslı body pocatecnı body.

registry3dt.mZajist’uje export do souboru .3dt (IE3D). Zapisuje polygony v takovemformatu, ktery lze exportovat prımo jako geometrii. Vysledny soubor sejmenuje polygons.3dt a je ulozen v adresari program output.

registrytxt.mZapisuje vysledne vrcholy do souboru .txt. Soubor se jmenuje polygons.txt aje ulozen v adresari program output.

show start polygons.mZajist’uje vykreslenı bodu a soucasne vola funkci waitbar edit. Respektujemeze iteracı zadane uzivatelem.

waitbar edit.mPrepsana funkce waitbar, kterou obsahuje MatLab. Zobrazuje horizontalnıstavovou stupnici. Informuje o prubehu vykreslenı / zapisu apod. Musı bytvzdy zavrena. I kdyz je volana pro kazdy krok zvlast’, nezabıra mnohovypocetnıho casu.

4Ackoliv je fraktal o 7 iteracıch vypocıtan za 13 sekundy, vykresluje se i nekolik hodin.Zpravidla vsak stacı fraktal o 3 iteracıch, ktere jsou bez problemu zvladnutelne v radu nejvısedesıtek sekund.

89


13.1.5 Slozka Generic Antenna

Zde jsou ulozeny fce, ktere souvisejı s upravou geometrie patchove anteny.

genere new structure.mZnovu generuje fraktal. Zde v rozhranı PDE. Obsahuje volanı, ktera informujıuzivatele o stavu procesu.

mutate structure.mJednoduchy algoritmus, ktery upravuje geometrii anteny. Thread probırapostupne jednotlive parametry. Nerespektuje jejich vzajemnou provazanost.

print results.mVypisuje vysledky. Zobrazuje nejmensı nalezenou frekvenci a vykresluje grafjejı zmeny pri zmene parametru.

type frequence.mVypisuje aktualnı nalezene rezonancnı frekvence do okna PDE.

13.1.6 Slozka PDE tool mesh

Nasledujıcıch 6 funkcı zajist’uje beh PDE toolboxu.

draw polygons to the pde toobox.mZapisuje jednotlive polygony do PDE toolboxu. Nejprve inicializuje wait-bar edit a nastavı presahy u okna zobrazujıho polygony v PDE, potom spustıvlastnı zapisovanı odehravajıcı se ve volane funkci low level mesh drawing.

low level mesh drawing.mHlıda hranice vykreslovanı, nastavuje pdeinit a pde fig, vola vnorenou fcipdepoly time optimal

modify cell.mUpravuje rozmery anteny tak, aby jejı parametry byly realne, at’ uz uzivatelzada jakoukoliv velikost. Take upozornuje na prılis mnoho polygonu, kteremırı k zapisu do PDE – proces zapisu by se tım stal neunosne dlouhy.

pde tool mesh.mZjistı pocet relevatnıch hranic polygonu a tyto hranice nastavı – posjednocenı – na Neumanovu podmınku. Inicializuje a refinuje meshovou sıt’.Podle poctu trojuhelnıku refinuje sıt’ tak dlouho, dokud jeden polygon neob-sahuje alespon 50 elementarnıch trojuhelnıcku.

90

Modalnı analyza fraktalnıch anten 13.2. Dodatek B - Obsah CD

pdepoly time optimal.mZjednodusena fce z PDE toolboxu MatLabu. Vsechny nepotrebne sekce bylypro usporu vypocetnıho casu zakomentovany. Zakreslı jeden objekt do oknaPDE toolboxu a updatuje strukturu.

solve pde task.mVypocıta vlastnı cısla. Obsahuje uzivatelske nastavenı toolboxu – barvyvykreslovanı, prıtomnost ekvidistant atd. Pocıta frekvence a je nekolikpocatecnıch nesmyslnych, orızne je.

13.2 Dodatek B - Obsah CD

CD odevzdane spolecne s pracı obsahuje:

1. Vlastnı text teto prace ve formatu .pdf.

2. Dosazene vysledky (tabulky, obrazky, grafy . . . ).

3. Zdrojovy kod (soubory m-file a mat-soubory) v adresari IFS-PDE-CM.

4. Zdrojovy kod v .zip archivu.

5. Vybrane clanky ze seznamu literatury, nebo clanky s nimi souvisejıcı.

6. Video fractals.mpg zobrazujıcı rust Mandelbrotovy mnoziny.

7. Video PSO.avi. 3D-graf z MatLabu ukazuje konvergenci hejna ke globalnımuextremu.

8. Program PSODemo.exe simulujıcı chovanı hejna, tedy rojovou optimalizaci.

91

Modalnı analyza fraktalnıch anten 13.3. Dodatek C - Vyvojove schema

13.3 Dodatek C - Vyvojove schema

Obrazek 13.1: Vyvojove schema programu

Vyse uvedeny obr. 13.1 respektuje soucasny stav programu. Cervene vyznacenebloky nejsou zatım realizovany. Pujde o optimalizacnı algoritmus, o nemz po-jednavala kapitola 10, resp. o realizaci PDE ulohy v programu FemLab. Zelene amodre segmenty naznacujı navaznost cinnostı uvnitr IFS a PDE.

92

Modalnı analyza fraktalnıch anten 13.4. Dodatek D - Okna programu

13.4 Dodatek D - Okna programu

Obrazek 13.2: Hlavnı panel programu

Na obrazcıch 13.2 − 13.5 jsou screenshoty z programu. Tato okna jsouserazena v takove posloupnosti, v jake se s nimi muze setkat uzivatel. Kodjednotlivych uzivatelskych rozhranı je ulozen ve funkcıch fractal preamble,all in one generic function, pde tool a pdetool. Protoze byl GUI napsan rucne,muze byt jednoduse modifikovan.

93


Obrazek 13.3: Generic tool

94


Obrazek 13.4: PDE analyza

Obrazek 13.5: PDE toolbox – MatLab

95

bakala´rskˇ a pr´ ace´ · ii podˇekov´an´ı velky´ d´ık patˇr´ı vedouc´ımu pr´ace...

Documents