BALANCEO DE ROTORES RIGIDOS ANÁLISIS

Se considera balanceado un rotor cuando las reacciones dinámicas en sus apoyos son nulas. Considerando un rotor rígido con su matriz de inercia conocida, apoyado en sus extremos separadas por una distancia L, girando a una velocidad angular ω y aceleración α se tiene: Considerando un sistema de referencia móvil, solidario al rotor y con el eje Z alineado con el eje de giro del rotor, se conocen... L - La distancia entre apoyos Mt - El momento motor que acciona al rotor kMtMt

r⋅=

I - La matriz de inercia del rotor relativa al sistema de referencia móvil.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

IIIIIIIII

I ∫∫

⋅⋅=

⋅+=

MXY

MXX

dMYXI

dMZYI 22

Fig. 1

Se elabora el Diagrama de Cuerpo Libre del rotor sin tomar en cuenta la aceleración de la gravedad, ya que no nos interesa calcular las reacciones estáticas sino las dinamitas. Esto es equivalente a suponer al rotor suspendido en el espacio. Las ecuaciones de equilibrio para el sistema son: A.- CaMF ⋅=∑ (Primera Ley de la Mecánica) donde ( )CCC RRa ××+×= ωωα es la aceleración absoluta del centro de masa kzjyixR CCCC

ˆˆˆ ⋅+⋅+⋅= es el radio-vector desde A al centro de masa k̂⋅= ωω es la velocidad angular de la máquina y k̂⋅= αα es la aceleración angular del rotor en su rotación alrededor de su eje. B.- ( )ωωα ⋅×+⋅=∑ IIMo Segunda Ley de la Mecánica El rotor estará balanceado cuando las reacciones en los vínculos sean nulos; es decir:

0===== YXZYX BBAAA

Fig. 2

Aplicando la primera ley de la mecánica en cada dirección de eje coordenado, se tiene: ( )CCXX XYMBA ⋅−⋅−⋅=+ 2ωα donde CX , CY y CZ ( )CCYY YXMBA ⋅−⋅⋅=+ 2ωα

0=ZA Las reacciones axiales son nulas debido a que el centro de masa no esta acelerado en esa dirección. De estas ecuaciones se desprende que las sumas de reacciones horizontales o verticales serán nulas si el centro de masa se encuentra sobre el eje de giro (condición básica de balanceo estático); sin embargo, esto no garantiza que las reacciones en si sean nulas, por lo que no garantiza el balanceo del rotor. Esto queda ilustrado en el caso del rotor de la figura.

Fig. 3

Para que un rotor no plano este equilibrado o balanceado dinámicamente, todas las reacciones radiales deben ser nulas. Esto pone de manifiesto al aplicar la segunda ley de la mecánica:

( )ωωα ⋅×+⋅= IIM A Donde:

AM es el momento respecto al punto A de todas las reacciones I es la matriz de inercia, según el sistema de coordenadas con origen en el punto A

AA es la aceleración del punto A (en este caso nula) 0=AA

La matriz de inercia esta definida de la forma: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

IIIIIIIII

I

Al aplicar la segunda ley al caso particular del rotor y separando las componentes X, Y y Z del momento, se obtiene las siguientes relaciones:

2ωα ⋅+⋅−=⋅− YZXZY IILB donde L es la distancia entre apoyos.

2ωα ⋅−⋅−=⋅ XZYZX IILB

α⋅= ZZIMt Para que las reacciones en B se anulen (para cualquier condición de aceleración y velocidad angulares) debe cumplirse que los productos de inercia sean nulos. Esto es equivalente a decir que el eje de rotación debe ser un eje principal de inercia (condición de simetría). En rotores rígidos donde los productos de inercia no sean nulos, esta condición puede corregirse mediante la adición de masa en dos planos de corrección distintos del rotor.

BALANCEO DE ROTORES RIGIDOS

Fig. 4

En la figura anterior se ilustra un rotor rígido y dos planos de corrección idénticos como 1 y 2 (también se acostumbra la nomenclatura de planos cercano y lejano). Se demuestra que estos planos son suficientes para lograr el equilibrio dinámico del rotor. Introduciendo las masas de corrección a las ecuaciones de equilibrio, se obtiene:

00

2211

2211

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

YmYmYMXmXmXM

C

C Condición de equilibrio estático

0ZYmZYmI0ZXmZXmI

222111YZ

222111XZ

=⋅⋅+⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅+

Condiciones de equilibrio dinámico

Me queda un sistema de ecuaciones así:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⋅−⋅−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZY

ZX

C

C

1

11

11

1

1

II

YMXM

YmYmXmXm

ZZZZ

2

22

2

2

000011000011

En el anterior sistema de ecuaciones produce las siguientes soluciones:

12

211 ZZ

ZXMIXm CXZ

−⋅⋅−

=⋅ 12

122 ZZ

ZXMIXm CXZ

−⋅⋅−

=⋅

12

211 ZZ

ZYMIYm CYZ

−⋅⋅−

=⋅ 12

122 ZZ

ZYMIYm CYZ

−⋅⋅−

=⋅

Las coordenadas Z1 y Z2 de los planos de corrección pueden seleccionarse (en teoría) a voluntad, no son incógnitas. Sin embargo la geometría de los mismos rotores impone restricciones de carácter práctico. Nótese que las correcciones vienen calculadas como un momento de masa (producto de la masa de corrección por una dimensión). Otra forma de expresar las correcciones de balanceo consiste en la combinación de momentos de corrección (mr1 y mr2) y sus respectivos ángulos (θr1 y θr2). Para ello, basta con expresar las ecuaciones de equilibrio en coordenadas cilíndricas, obteniéndose:

( ) ( )2

12

2

2

12

221

21111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅−=+⋅=⋅

ZZZYMI

ZZZXMI

YXmrm CYZCXZ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅⋅−

= −

2

211 tan

ZXMIZYMI

CXZ

CYZθ

( ) ( )2

12

1

2

12

122

22222 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅−=+⋅=⋅

ZZZYMI

ZZZXMI

YXmrm CYZCXZ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅⋅−

= −

1

112 tan

ZXMIZYMI

CXZ

CYZθ

METODO PARA BALENCEO EN CAMPO DE ROTORES RIGIDOS El método que se describe a continuación no es si no un procedimiento practico para lograr mediciones que permitan calcular la correcciones que equilibran a cada rotor rígido. Como es lógico pensar, los cálculos de correcciones deducidos anteriormente no pueden ser aplicados a rotores físicos de maquinas. El procedimiento consiste en tres etapas o corridas de prueba, efectuada a la misma velocidad de rotación durante las cuales debe medirse los vectores de vibración (amplitud y fase) en dos puntos diferentes de la maquina que estén lo mas cercanos posibles a los planos de corrección (usualmente en las cercanías de los cojinetes. En esta descripción, se denominará a los planos de corrección como “plano cercano” y “plano lejano”. Paso 1.- Se miden las vibraciones que presenta el rotor originalmente (debido al desbalance existente).

Fig. 5

Paso 2.- Se coloca un peso (arbitrario) de prueba en uno de los planos de corrección (como por ejemplo, el plano cercano) y se miden nuevamente las vibraciones que presenta el rotor (debido a la combinación de desbalances).

Fig. 6

El vector A representa el efecto en el plano cercano de agregar el peso de prueba para esta segunda corrida y el producto α.A representa el efecto correspondiente en el plano lejano. Paso 3.- Se remueve el peso de prueba de la corrida dos (Paso 2) y se coloca un nuevo peso de prueba en el otro plano de corrección (por ejemplo, el plano lejano) y se miden nuevamente las vibraciones.

Fig. 7

Donde de se cumplir las siguientes condiciones: 1) CtteBAL =ω 2) CRITICABAL ωω ≠ ( )bφ 3) Medir ángulos consistentes

El vector B representa el efecto en el plano debido al segundo peso de prueba β.B representa el efecto correspondiente en el plano cercano. Los anteriores vectores y coeficientes complejos de influencias pueden ser calculados fácilmente si se mantiene una representación fasorial de las vibraciones:

O1

O1

LLACCA

−=⋅−=

α

O1

O1

CCLL

−−

=α

O2

O2

CCBLLB

−=⋅−=

β

O2

O2

LLCC

−−

=β

Para balancear el rotor se requiere colocar un peso de corrección en cada plano, cuyos efectos sean: OCBA −=⋅+ β y OLAB −=⋅+α La solución puede hallarse del calculo de dos coeficientes de fasoriales de influencia que modifiquen las magnitudes y ángulos de los pesos de prueba utilizados, con el fin de satisfacer las dos ecuaciones anteriores: lC WW ⋅= σ y 2L WW ⋅= γ Donde CW es el peso de corrección a colocar en el plano cercano

LW es el peso de corrección a colocar en el plano lejano 1W es el peso de prueba utilizado en el Paso 2. 2W es el peso de prueba utilizado en el Paso 3.

( )βαβ

σ⋅−⋅

−⋅=

1ACL OO y ( )βα

αγ

⋅−⋅−⋅

=1B

LC OO