CURSO MI 51 A - CASO 1

BALANCES DE MATERIALES DE PROCESOS METALURGICOS

Cualquier proceso metalúrgico que involucra interacciones entre dos o más materiales, puede ser sometido a un análisis que envuelva balance de materiales. En la vida de un proceso desde el punto de vista ingenieril, existen dos etapas clásicas en las cuales debe efectuarse un balance:

i) Etapa de Diseño, cuando las eficiencias de las reacciones son estimadas, se ignoran las pérdidas o no son anticipadas, y se efectúan cálculos exactos de balance, y

ii) Etapa Operacional, cuando para propósitos de control del proceso o evaluación de rendimiento, se efectúan balances reales por muestreo y medición de entradas y salidas del proceso. Esto último, a menudo es bastante difícil, sobre todo cuando hay reacciones a alta temperatura, no cerrando los balances por los errores de medición o la necesidad de estimar los pesos de varios flujos, ya sea sólidos, líquidos o gaseosos.

Conservación de la Materia

En los cálculos estequiométricos la base de todos los balances de materiales es la ley de conservación de materia, que puntualiza que la materia no puede ser creada o destruida en un sistema dado (por supuesto, esto no se aplica a las reacciones nucleares). Esto significa que el peso de los productos de la reacción tiene que ser igual al peso de los reactantes. En el caso de los procesos, no necesariamente ello ocurre en forma estricta, ya que es posible tener una situación de estado no estacionario, en la cual se pueden dar condiciones de acumulación o disminución de materia. En general, entonces:

Materia Entra = Materia Sale ± Acumulaciones Materia

Materia Entra Materia SalePROCESO

± Acumulación

1

La ecuación general en el caso de un proceso continuo sería :

Materia EntraUnidad de tiempo

= Materia SaleUnidad de Tiempo

± AcumulaciónUnidad de Tiempo

(2-3)

En un proceso continuo, el estado estacionario se define como el estado de un proceso en el cual no hay cambio con el tiempo en ninguna condición de éste. Esto incluye la cantidad y composición promedio de material dentro de la operación unitaria de proceso, de tal manera, que en un proceso de operación continua en estado estacionario no puede haber acumulación o disminución de materia, así :

Materia EntraUnidad de Tiempo

= Materia SaleUnidad de tiempo

(3-3)

Por otra parte un proceso discontinuo por carga o por “batch” como mal suele utilizarse, es aquel que nunca está en estado estacionario, y normalmente no involucra acumulación de material, así que:

Materia EntraCarga

= Materia SaleCarga

Es evidente que la base de cálculo de cualquier balance de materiales es fuertemente dependiente del proceso que se esté analizando, y por lo general, ella se selecciona por conveniencia de acuerdo a los datos disponibles. Por ejemplo, ver Figura 1, la base de calculo de un tostador de lecho fluidizado, dentro del cual se alimenta en forma continua una pulpa de agua y calcopirita (CuFeS2) y aire suficiente para tostar el mineral a Fe3O4 y CuSO4, puede ser razonable escoger “toneladas de pulpa alimentada”, “toneladas de aire”, “toneladas de productos sólidos” ó “minutos de operación”

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Figura 1 Tostador de lecho fluidizado

Un proceso discontinuo normalmente tiene como base de cálculo un peso unitario de producto. Por ejemplo, la base de cálculo para un balance de materiales de un horno de arco eléctrico de producción de aceros puede ser 1 tonelada de acero fundido.

La ley de conservación de masa se aplica no sólo al total de la masa, sino que también a la conservación de elementos. Esto es, en estado estacionario o discontinuo, la masa de cualquier elemento puesto dentro de un proceso debe ser igual a la masa del elemento que sale. Puesto que la suma de todos los balances de masas elementales deben ser iguales al balance de masa total, es obvio, que si hay C elementos presentes, entonces habrán C balances de masa independientes aún cuando sea posible plantear C+1 ecuaciones. No obstante, el balance total puede ser utilizado en lugar de cualquier balance elemental.

Por ejemplo, en la fusión de una aleación en un horno de laboratorio, el cálculo del peso de los materiales cargados involucra necesariamente efectuar tantos balances como el número de elementos presentes en ella:

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i) Una aleación de 70 % de Ni - 30 % Cu, que se quiera obtener a partir de Ni y Cu puros, y scrap conteniendo 50 % Ni y 50 % Cu, requerirá 2 ecuaciones para determinar cuanto de cada material a usar : un balance de peso total y ya sea un balance de Cu o Ni, ó ambos, un balance de Cu y Ni (pero no un balance total).

ii) Una aleación de 70 % Ni - 25 % Cu - 5 % Sn desde scrap de aleación, Cu, Ni y Sn metálicos puros, requeriría 3 ecuaciones : un balance de peso total y 2 balances elementales o tres balances elementales.

En los problemas de fusión, tal como los anteriores, en principio cualquier balance elemental puede ser usado. No obstante, en otros casos esto no puede ser así debido a restricciones adicionales. Consideremos el siguiente caso, el cual ilustra el rol de una restricción adicional, la aproximación al establecimiento de los balances, y la diferencia entre un balance en la etapa de diseño y un balance de análisis operacional.

EJEMPLO 1 Un mineral de hierro conteniendo Fe3O4 y SiO2 es tratado para separar magnetita mediante un separador magnético en dos corrientes, una rica y una baja en magnetita. ¿Cuantos balances independientes se pueden escribir?

Alimentación (1) Separador Flujo (2) Magnético Rico en Fe3O4

Flujo (3)

Bajo en Fe3O4

Solución : Hay tres elementos presentes, Fe, Si y O, los cuales no son independientes, ya que una proporción definida de oxígeno está asociada con el hierro en un caso y con la sílice en el otro y no hay transferencia de oxígeno entre ellos por reacción. En otras palabras, en este sistema existen sólo dos balances elementales independientes, Fe y Si, o Fe3O4 y Si.

Adicionalmente, por supuesto al balance total que puede ser escrito como:

Peso Flujo (1) = Peso Flujo (2) + Peso Flujo (3)

¿Qué otros balances se pueden escribir? Estos dependen de la información disponible.

i) Caso de etapa de diseño:

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Si el balance está hecho en etapa de diseño, el análisis de los productos no está disponible, pero una eficiencia de operación proyectada se asume como conocida; por ejemplo 90 % del Fe3O4 de alimentación va al flujo de proceso (2), esto al producto enriquecido en magnetita. Si el análisis del flujo alimentado (1) y su tasa son conocidos, por ser 30 % Fe3O4 y 1000 kg/h, respectivamente, los datos disponibles pueden ser representados como sigue :

Información Flujo(1) (2) (3)

Flujo másico total x 0 0Flujo Fe3O4 x x xFlujo SiO2 x 0 0

Ahora sólo dos ecuaciones independientes pueden ser escritas :

Balance total : P2 + P3 = 1000

Balance Fe3O4 : (1000)(0,3)(0,9)2 + (1000)(0,3)(0,1)3 = (1000)(0,3)1

270 + 30 = 300

ó P2 = 270 + PSiO2 en (2)

y P3 = 30 + PSiO2 en (3)

No obstante, aún no hay suficiente información para resolver el balance completo.

El balance de SiO2 puede también ser escrito, pero a menos que el flujo total de masa de una de las corrientes (2) o (3), ó el análisis ya sea del flujo (2) ó (3) sea especificado, el balance de materiales completo no puede ser resuelto. Si se asume, por ejemplo, asignando una variable de diseño, que el análisis de la corriente (2) es 20 % de SiO 2, entonces 270 kg de Fe3O4 es 80 % de (2) y PSiO2 es 67,5 kg (270/0,8 - 270). Ahora se puede completar el balance:

P2 = 270 + 67,5 = 337,5 kg

P3 = 1000 - 337,5 = 662,5 kg

El análisis de P3 entonces es igual a

30662 ,5 * 100 = 4,53 % Fe3O4.

ii) Caso de análisis operacional:

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Supongamos ahora que el proceso está funcionando y una evaluación de su desempeño, por ejemplo, su eficiencia de separación es deseada. En este caso un análisis de cada flujo, pero no necesariamente el flujo másico es conocido. Reconociendo que sólo dos ecuaciones independientes de balances pueden ser escritas:

Fe 3 O4 : [% Fe3O4

100 ]1× P 1 = [%Fe3O4

100 ]2 × P 2 + [%Fe3 O4

100 ]3

× P 3

SiO 2 : [%SiO2

100 ]1 × P 1 = [%SiO2

100 ]2

× P 2 + [%SiO2

100 ]3

× P 3

Se puede observar que hay dos ecuaciones y tres incógnitas, P1, P2 y P3. Entonces al menos uno de los flujos másicos debe ser conocido antes que el balance completo sea resuelto. Por ejemplo, si P1 es medido y es de 1000 kg/h, entonces las ecuaciones de balance son:

Total: 1000 = 1,0 P2 + 1,0 P3

Fe3O4 : (0,3)(1000) = [% Fe3 O4

100 ]2 x P2 +

[% Fe3 O4

100 ]3x P3

SiO2 : (0,7)(1000) = [% SiO2

100 ]2x P2 +

[% SiO2

100 ]3 x P3

Aún no se pueden resolver las ecuaciones a menos que se especifiquen algunas composiciones. Si el análisis del flujo (2) es 3 % Fe3O4 y 97% SiO2 y el del flujo (3) es 80% Fe3O4 y 20% SiO2, insertando dichos datos en las ecuaciones y resolviendo el balance para P2 en función de P3 o viceversa, se tiene:

Total: 1000 = 1,0 P2 + 1,0 P3

Fe3O4 : (0,3)(1000) = (0,8) P2 + (0,03) P3

SiO2 : (0,7)(1000) = (0,2) P3 + (0,97) P3

P3 = 649,35 kg

P2 = 350,65 kg

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La eficiencia de separación puede ser ahora calculada considerando la distribución de Fe3O4 en los flujos 2 y 3

kg Fe3O4 en (2) = (0,8) (350,65) = 280,52

kg Fe3O4 en (3) = (0,03) (649,35) = 19,48

Siendo la eficiencia:

280 , 52300 = 0,935 ó 93,5 % de la magnetita reportada en el flujo

de salida.

Este ejemplo puntualiza que : Suficiente información debe estar disponible para escribir balances de los componentes

o balance de masa total.

La información disponible depende de la situación.

La solución de las ecuaciones simultáneas puede ser resuelta por diferentes técnicas.

En referencia el último punto se debe notar que en el primer caso, una vez que la información estaba disponible, la solución fue directa, o sea, una ecuación fue resuelta y su solución fue usada directamente para resolver la otra. En el caso de evaluación de funcionamiento se requirió una solución simultánea de dos ecuaciones, ya que la incógnita estaba presente en ambas ecuaciones.

Solución de un conjunto de ecuaciones

En general, los problemas de balance de materiales requieren la solución de un conjunto de ecuaciones tales como:

X1 = f (X2, X3, ....Xn)

X2 = f (X1, X3, ....Xn)...Xn = f (X1, X2, ....Xn-1)

Estas ecuaciones son generalmente lineales, de la forma:

aiXi + ai+1Xi+1 + ai+2Xi+2 + .... = bi

donde, ai, bi, son coeficientes numéricos. La linealidad proviene del hecho que las variables X1 , X2, etc., no están elevadas a ninguna potencia ni son función de log(x) u otras similares.

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Entre las técnicas de solución de un conjunto de ecuaciones se encuentran:

1. Partición de ecuaciones2. Determinantes3. Eliminación Gaussiana (se usa para grandes conjuntos de ecuaciones, más de

3 ecuaciones y 3 incógnitas)4. Inversión de Matrices5. Acondicionamiento de Matrices 6. Separación de ecuaciones (se resuelve un conjunto de ecuaciones en forma

consecutiva)

Aún cuando la inversión de matrices y la eliminación gaussiana permiten obtener la solución de grandes y complejos conjuntos de ecuaciones simultáneas, ellas no están exentas de errores o fallas. La solución puede ser en algunos casos no realista, pero ser matemáticamente correcta.

Regla de solución de un balance de materiales

La solución de un balance de materiales debe ser efectuado en forma ordenada, para lo cual se deben seguir los siguientes pasos o regla nemotécnica:

1. Definir el sistema, este puede ser por ejemplo:

i. Un horno al cual se carga scrap y adiciones de aleación y desde el cual se remueve la aleación y una escoria.

ii. Una planta de sinterización al cual se carga coque y mineral, de manera continua y se extrae sinter granulado.

iii. Una planta integrada.

2. Dibujar un diagrama de flujos esquemático del sistema, mostrando todas las entradas y salidas de materiales.

3. Seleccionar una base de cálculo útil, por ejemplo, 1000 toneladas de acero en barra, o una tonelada de concentrado de cobre, etc.

4. Colocar todos los datos conocidos sobre el diagrama, incluyendo las reacciones químicas que ocurren dentro del sistema.

5. Escribir los balances posibles y las ecuaciones restrictivas que se aplican al sistema. Este es el paso más crítico de toda la secuencia, ya que se debe tener cuidado que sólo se incluyan las relaciones independientes.

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