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MAX−PLANCK−INSTITUT
DYNAMIK KOMPLEXER
TECHNISCHER SYSTEME
MAGDEBURG
9. Elgersburg Workshop,2. - 6. Marz 2014
Balanciertes Abschneiden in beschranktenFrequenzintervallen fur hochdimensionale
Systeme
Patrick Kurschnermit
Peter Benner und Jens Saak
Computational Methods in Systems and Control Theory (CSC)Max-Planck-Institut fur Dynamik komplexer Technischer Systeme
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 1/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Einleitung
LTI System:
Σ :
x = Ax + Bu,
y = Cx .
Annahmen:
A ∈ Rn×n Hurwitz, n groß, dunnbesetzt:
Matrix-Vektorprodukte, sowie Losung von Au = v effizient moglich,Schur-, Eigen-, Singularwertzerlegung nicht.
B ∈ Rn×m mit m n,
C ∈ Rp×n mit p n.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 2/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Einleitung Σ : x = Ax + Bu, y = Cx
Balanciertes Abschneiden (BT)
Σ(A,B,C ), heißt balanciert, falls die Losungen P, Q deralgebraischen Lyapunovgleichungen (ALE)
AP+ PAT+ BBT = 0, ATQ +QA + CTC = 0,
P = Q = diag(σ1, . . . , σn) mit σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σn > 0 erfullen.
σ1, . . . , σn sind die Hankel-Singularwerte von Σ.
Balancierte Realisierung durch Zustandsraumtransformation
T : (A,B,C) 7→ (TAT−1,TB,CT−1)
=
([A11 A12
A21 A22
],
[B1
B2
],[
C1 C2
]).
Abschneiden reduziertes Modell: (A, B, C ) = (A11,B1,C1).
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 2/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Einleitung Σ : x = Ax + Bu, y = Cx
Implementierung: SR (square root) Methode
1 Berechne (Cholesky-)Faktoren der Losungen derLyapunovgleichungen,
P = ZZT , Q = YY T .
2 Berechne Singularwertzerlegung (SVD)
Y TZ = [U1, U2 ]
[Σ1
Σ2
] [V T
1
V T2
].
3 DefiniereW := YV1Σ
−1/21 , V := ZU1Σ
−1/21 .
4 Das reduzierte Modell ist: (W TAV ,W TB,CV ).
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 3/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Einleitung Σ : x = Ax + Bu, y = Cx
Implementierung: SR (square root) Methode1 Berechne Niedrigrang-Faktoren der Losungen der
Lyapunovgleichungen,
P ≈ ZZT , Q ≈ YY T .
2 Berechne Singularwertzerlegung (SVD)
Y TZ = [U1, U2 ]
[Σ1
Σ2
] [V T
1
V T2
].
3 DefiniereW := YV1Σ
−1/21 , V := ZU1Σ
−1/21 .
4 Das reduzierte Modell ist: (W TAV ,W TB,CV ).
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 3/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Einleitung
Integraldarstellung der Gramschen bzgl. Frequenzen ω
P =1
2π
∞∫−∞
(iωI − A)−1BBT (iωI − A)−Hdω,
Q =1
2π
∞∫−∞
(iωI − A)−HCTC (iωI − A)−1dω.
Haufig nur Frequenzintervall
Ω = [−ω2, − ω1] ∪ [ω1, ω2], 0 < ω1 < ω2 <∞
interessant / relevant.
Auch moglich: Betrachtung einer einzelnen Frequenz ω ∈ R.(P. Benners Vortrag 2013) [Du/Benner/Yang/Ye ’13]
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 4/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Einleitung
Einschrankung auf Intervall Ω frequenzbegrenztes balanciertes Abschneiden (BTΩ)
Motivation / ZieleBTΩ erreicht verglichen mit standard BT
- eine hohere Genauigkeit in Ω bei gleicher reduzierterDimension, oder
- eine vergleichbare Genauigkeit in Ω bei niedrigerer reduzierterDimension.
Hauptanliegen dieses VortragesNumerisch durchfuhrbare und effiziente Umsetzung von BTΩ undobigen Zielstellungen.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 5/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
BT in beschrankten Intervallen
Frequenzbegrenzte Gramsche bzgl. Ω = [−ω2, − ω1] ∪ [ω1, ω2]
PΩ :=1
2π
∫Ω
(iωI − A)−1BBT (iωI − A)−Hdω,
QΩ :=1
2π
∫Ω
(iωI − A)−HCTC (iωI − A)−1dω
Darstellung durch gewohnliche Gramsche: [Gawronski/Juang ’90]
PΩ := SΩP + PSTΩ ,
QΩ := STΩ Q + QSΩ
mit
SΩ = Re
1π
ω2∫ω1
(iωI − A)−1dω
.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 6/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
BT in beschrankten Intervallen
Frequenzbegrenzte Gramsche bzgl. Ω = [−ω2, − ω1] ∪ [ω1, ω2]
PΩ :=1
2π
∫Ω
(iωI − A)−1BBT (iωI − A)−Hdω,
QΩ :=1
2π
∫Ω
(iωI − A)−HCTC (iωI − A)−1dω
Darstellung durch gewohnliche Gramsche: [Gawronski/Juang ’90]
PΩ := SΩP + PSTΩ ,
QΩ := STΩ Q + QSΩ
mit
SΩ = 12π
∫Ω
(iωI − A)−1dω.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 6/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
BT in beschrankten Intervallen
Frequenzbegrenzte Gramsche bzgl. Ω = [−ω2, − ω1] ∪ [ω1, ω2]
PΩ :=1
2π
∫Ω
(iωI − A)−1BBT (iωI − A)−Hdω,
QΩ :=1
2π
∫Ω
(iωI − A)−HCTC (iωI − A)−1dω
Darstellung durch gewohnliche Gramsche: [Gawronski/Juang ’90]
PΩ := SΩP + PSTΩ ,
QΩ := STΩ Q + QSΩ
mit
SΩ = Re
1π
ω2∫ω1
(iωI − A)−1dω
.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 6/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
BT in beschrankten Intervallen
Alternative Darstellung als Losung von Lyapunovgleichungen
APΩ + PΩAT + SΩBB
T + BBTSTΩ = 0,
ATQΩ + QΩA + STΩ CTC + CTCSΩ = 0
mit SΩ = Re
1
π
ω2∫ω1
(iωI − A)−1dω
= Re
(i
πlog((A + iω1I )
−1(A + iω2I )))
.
[Gawronski/Juang ’90, Petterson ’13]
Dabei ist logM der Hauptzweig des komplexen, matrixwertigen,naturlichen Logarithmus fur M ∈ Cn×n mit Λ(M) ∈ C\R−.z ∈ C\0: log z = log |z |+ i arg z
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 7/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
BT in beschrankten Intervallen
Alternative Darstellung als Losung von Lyapunovgleichungen
APΩ + PΩAT + SΩBB
T + BBTSTΩ = 0,
ATQΩ + QΩA + STΩ CTC + CTCSΩ = 0
mit SΩ = Re
1
π
ω2∫ω1
(iωI − A)−1dω
= Re
(i
πlog((A + iω1I )
−1(A + iω2I )))
.
[Gawronski/Juang ’90, Petterson ’13]
Dabei ist logM der Hauptzweig des komplexen, matrixwertigen,naturlichen Logarithmus fur M ∈ Cn×n mit Λ(M) ∈ C\R−.z ∈ C\0: log z = log |z |+ i arg z
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 7/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
BT in beschrankten Intervallen
Implementierung von BTΩ
1 Berechne SΩ = Re(
iπ log
((A + iω1I )
−1(A + iω2I )))
.
2 Berechne Niedrigrang-Losungen PΩ ≈ ZΩZTΩ , QΩ ≈ YΩY
TΩ der
Lyapunovgleichungen
APΩ + PΩAT + SΩBB
T + BBTSTΩ = 0,
ATQΩ + QΩA + STΩ CTC + CTCSΩ = 0.
3 Berechne Singularwertzerlegung (SVD)
Y TΩ ZΩ = [U1, U2 ]
[Σ1
Σ2
] [V T
1
V T2
].
4 Definiere WΩ := YΩV1Σ−1/21 , VΩ := ZΩU1Σ
−1/21 .
5 Das reduzierte Modell ist: (W TΩ AVΩ,W
TΩ B,CVΩ).
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 8/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Matrixlogarithmus
Lyapunovgleichungen
APΩ + PΩAT + SΩBB
T + BBTSTΩ = 0,
ATQΩ + QΩA + STΩ CTC + CTCSΩ = 0
mit
BΩ := SΩB, CΩ := CSΩ,
SΩ = Re(
iπ log
((A + iω1I )
−1(A + iω2I ))).
benotigen Matrixfunktion f (A) mit f (z) = log(
z+iω2
z+iω1
)stabile Berechnung z.B. mit “inverse scaling and squaring”(logm in MATLAB®), [Higham ’08]
benotigt u.A. Schurform von A,
Rechenaufwand O(n3), Speicherbedarf O(n2)⇒ fur große n zu teuer.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 9/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Matrixlogarithmus
Lyapunovgleichungen
APΩ + PΩAT + BΩB
T + BBTΩ = 0,
ATQΩ + QΩA + CTΩ C + CTCΩ = 0
mit BΩ := SΩB, CΩ := CSΩ,
SΩ = Re(
iπ log
((A + iω1I )
−1(A + iω2I ))).
benotigen “nur“ die Anwendung einer Matrixfunktion: u = f (A)v
erheblich attraktiver fur große n,
zahlreiche Methoden verfugbar,[Z.B.: Van der Vorst ’86, Higham ’08, Knizherman/Simoncini ’10, . . .]
B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n
⇒ m + p n solcher Anwendungen benotigt.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 9/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Matrixlogarithmus
1. Moglichkeit: Quadratur
Ausgangsdarstellung von SΩ:
BΩ = SΩB =1
πRe
ω2∫ω1
(iωI − A)−1Bdω
≈ 1
πRe
∑j
βj(iwj I − A)−1B
mit Quadraturgewichten, -punkten βj ∈ (0, 1), wj ∈ [ω1, ω2].
benotigt Losung von LGS (iwj I − A)−1B hohe Genauigkeit via adaptiver Quadratur ⇒ hohe Anzahl von LGS nicht fur alle Systeme effizientMATLAB:
integral(@(t) (1i*t*speye(n)-A)\B,w1,w2,’ArrayValued’,true));.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 10/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Matrixlogarithmus
2. Moglichkeit: Projektionsverfahren fur u = f (A)v
Sei v ∈ V = span V ⊂ Cn, dim(V) = k n, V HV = Ik .Approximation: u ≈ VV Hu = V u ∈ V, u := V Hu.Ritz-Galerkin Bedingung:
V u − f (A)VV Hv ⊥ V⇔ u = V H f (A)VV Hv
≈ f (V HAV )V Hv
⇒ u ≈ V f (V HAV )︸ ︷︷ ︸∈Ck×k
V Hv
Auch zweiseitige Projektion moglich:
V u − f (A)VW Hv ⊥ W ⊂ Cn
⇒ u ≈ Vf (W HAV )W Hv
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 11/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Matrixlogarithmus
2. Moglichkeit: Projektionsverfahren fur u = f (A)v
Sei v ∈ V = span V ⊂ Cn, dim(V) = k n, V HV = Ik .Approximation: u ≈ VV Hu = V u ∈ V, u := V Hu.Ritz-Galerkin Bedingung:
V u − f (A)VV Hv ⊥ V⇔ u = V H f (A)VV Hv
≈ f (V HAV )V Hv
⇒ u ≈ V f (V HAV )︸ ︷︷ ︸∈Ck×k
V Hv
Auch zweiseitige Projektion moglich:
V u − f (A)VW Hv ⊥ W ⊂ Cn
⇒ u ≈ Vf (W HAV )W Hv
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 11/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Matrixlogarithmus
Verschiedene Moglichkeiten fur V:
Krylovraum
V = spanv ,Av ,A2v , . . . ,Ak−1v
=: Kk(A, v)
Shift-and-Invert Krylovraum
V = span
(A− τ I )−1v , (A− τ I )−2v , . . . , (A− τ I )−kv
Erweiterter Krylovraum: [Druskin/Knizherman ’98]
V = EKk := Kk(A, v) ∪ Kk(A−1, A−1v)
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 12/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Matrixlogarithmus
Beispiele:
Testsystem Rechenzeiten
Herkunft n,m, p ω1 ω2 logm integral EK
fom,SLICOT1 1006,1,1 102 103 38 sec 1 sec 1.5 sec
fdm 2d,LyaPack2, Ex. 1
6400,4,41 102 3–4 h 2 min 5 sec
103 104 – 1.5 min 50 sec
chip,OWR3 20082,1,5 101 103 – 22 min 2.5 min
ifiss4,Ex. T-CD 2
66049,1,1 10 102 – 7.5 min 1.5 min
1SLICOT: http://slicot.org2Lyapack: http://www.netlib.org/lyapack/3Oberwolfach MOR Collection:
http://portal.uni-freiburg.de/imteksimulation/downloads/benchmark4http://www.cs.umd.edu/~elman/ifiss.html
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 13/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Lyapunovgleichungen
Gramsche der Erreichbarkeit
Suchen 0 ≤ P ∈ Rn×n s.d. AP + PAT + BBT = 0
Haben rank(BBT ) = m n P hat niedrigen numerischen Rang.[Penzl ’99, Antoulas/Sorenson/Zhou ’02,
Grasedyck ’04]
rank(P,u) = f n
100 200
100
10−10
u
σ63σ1
≈ u
Normierte Singularwerte
σ(P)
Vorgehen:
Suchen Niedrigrang-Approximation Pk = ZkZTk s.d.,
‖Pk − P‖ < τ 1 mit rank(Pk) = k n
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 14/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Lyapunovgleichungen
Existenz von Niedrigranglosungen
Fur AX + XAT + W = 0, rank(W ) = m n, ε 1 existiertk = γ(Λ(A), ε)m, Xk = ZkZ
Tk , rank(Zk) = k mit
‖X − Xk‖ ≤ ε.
[Penzl ’00, Grasedyck ’04]
Algorithmen zur Berechnung von Niedrigranglosungen:
Krylovraumverfahren (EKSM, RKSM)[Druskin/Knizherman/Simoncini ’07/’11]
Niedrig-rang (alternating directions implicit) ADI Iteration (LR-ADI)[Penzl ’99, Li/White ’02, Benner/K./Saak ’13]
Ausschlaggebend fur Existenz von Niedrigranglosungen und damit derPerformance der Algorithmen sind m, Λ(A).
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 15/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Lyapunovgleichungen
Existenz von Niedrigranglosungen
Fur AX + XAT + W = 0, rank(W ) = m n, ε 1 existiertk = γ(Λ(A), ε)m, Xk = ZkZ
Tk , rank(Zk) = k mit
‖X − Xk‖ ≤ ε.
[Penzl ’00, Grasedyck ’04]
Algorithmen zur Berechnung von Niedrigranglosungen:
Krylovraumverfahren (EKSM, RKSM)[Druskin/Knizherman/Simoncini ’07/’11]
Niedrig-rang (alternating directions implicit) ADI Iteration (LR-ADI)[Penzl ’99, Li/White ’02, Benner/K./Saak ’13]
Ausschlaggebend fur Existenz von Niedrigranglosungen und damit derPerformance der Algorithmen sind m, Λ(A).
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 15/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Lyapunovgleichungen
Frequenzbegrenzte Gramsche der Erreichbarkeit
Suchen 0 ≤ PΩ ∈ Rn×n s.d. APΩ + PΩAT + BΩB
T + BBTΩ = 0
Habenrank(BBT ) = m
< rank(BΩBT + BBT
Ω ) = 2m n.Erwartung:
rank(PΩ,u) > rank(P,u).Beobachtung:
rank(PΩ,u) < rank(P,u). 100 200
100
10−10
u
Normierte Singularwerte
σ(P)
σ(PΩ)
Anschauliche Erklarung: PΩ = SΩP + PSTΩ .
Spektralradius von SΩ
Sei 0 < ω1 < ω2 <∞, SΩ = Re(
iπ log
((A + iω1I )
−1(A + iω2I )))
.
Dann gilt ρ(SΩ) < 12 .
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 16/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Lyapunovgleichungen
Frequenzbegrenzte Gramsche der Erreichbarkeit
Suchen 0 ≤ PΩ ∈ Rn×n s.d. APΩ + PΩAT + BΩB
T + BBTΩ = 0
Mit |ω2 − ω1| max |λ(A)| ist ρ(SΩ) 12 moglich
rank(PΩ,u) < rank(P,u),
PΩ theoretisch besser durch Niedrigranglosung approximierbar als P,
theoretisch besseres Konvergenzverhalten von Niedrigranglosern(vgl. mit AP + PAT + BBT = 0).
Aktuelle ForschungLyapunovgleichung AX + XAT + W = 0:Bisher geht nur rank(W ) in die theoretischen Betrachtungen bzgl.der Niedrigrangapproximation von X ein.Genauer Einfluss von W noch nicht ausreichend erforscht.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 17/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Lyapunovgleichungen
Frequenzbegrenzte Gramsche der Erreichbarkeit
Suchen 0 ≤ PΩ ∈ Rn×n s.d. APΩ + PΩAT + BΩB
T + BBTΩ = 0
Mit |ω2 − ω1| max |λ(A)| ist ρ(SΩ) 12 moglich
rank(PΩ,u) < rank(P,u),
PΩ theoretisch besser durch Niedrigranglosung approximierbar als P,
theoretisch besseres Konvergenzverhalten von Niedrigranglosern(vgl. mit AP + PAT + BBT = 0).
Aktuelle ForschungLyapunovgleichung AX + XAT + W = 0:Bisher geht nur rank(W ) in die theoretischen Betrachtungen bzgl.der Niedrigrangapproximation von X ein.Genauer Einfluss von W noch nicht ausreichend erforscht.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 17/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Numerische Beispiele
Beispiel 1: LyaPack, Example 1: [Penzl ’99]
FDM Diskretisierung des Operators
L(x) := ∆x − 100ξ1dx
dξ1
− 1000ξ2dx
dξ2
.
auf (0, 1)2 fur x = x(ξ1, ξ2), homogene Dirichlet RB.80 Gitterpunkte ⇒ n = 6400, m = p = 4.ω1 = 1, ω2 = 100.
Konvergenzhistorie fur LR-ADI fur PΩ, QΩ:
20 40 60 80 10010−10
10−4
102
tol.45.3 sec
49.5 sec
LR-ADI Iteration
Lya
p.
Res
idu
um P Q
PΩ QΩ
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 18/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Numerische Beispiele
Beispiel 1: LyaPack, Example 1: [Penzl ’99]
FDM Diskretisierung des Operators
L(x) := ∆x − 100ξ1dx
dξ1
− 1000ξ2dx
dξ2
.
auf (0, 1)2 fur x = x(ξ1, ξ2), homogene Dirichlet RB.80 Gitterpunkte ⇒ n = 6400, m = p = 4.ω1 = 1, ω2 = 100.Konvergenzhistorie fur LR-ADI fur PΩ, QΩ:
20 40 60 80 10010−10
10−4
102
tol.45.3 sec
49.5 sec
LR-ADI Iteration
Lya
p.
Res
idu
um P Q
PΩ QΩ
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 18/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Numerische Beispiele
Beispiel 1: LyaPack, Example 1: [Penzl ’99]
Reduktion auf Ordnung k = 5 mit/ohne Frequenzbegrenzung.Rechenzeiten ≈50 sec. fur BT & BTΩ.
10−1 101 103 104
100
101
ω
‖H(iω
)‖2
original BT BTΩ
10−1 101 103 10410−6
10−3
100
ω1 ω2
rela
tive
rF
ehle
r
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 18/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Numerische Beispiele
Beispiel 1: LyaPack, Example 1: [Penzl ’99]
Reduktion auf Ordnung k = 5 mit/ohne Frequenzbegrenzung.Rechenzeiten ≈50 sec fur BT, ≈100 sec BTΩ.
10−1 100 101 102
100
101
ω
‖H(s
)‖2
original BT BTΩ
10−1 100 101 10210−6
10−3
100
ω1 ω2
rela
tive
rF
ehle
r
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 18/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Numerische Beispiele
Beispiel 2: IFISS, Ex. T-CD2:FEM Diskretisierung einer Konvektions-Diffusionsgleichung auf (−1, 1)2.256 Gitterpunkte ⇒ n = 66049, m = p = 1.ω1 = 10, ω2 = 100.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 19/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Numerische Beispiele
Beispiel 2: IFISS, Ex. T-CD2:Reduktion auf Ordnung k = 15 mit/ohne Frequenzbegrenzung.
10−1 100 103
50
100
ω1 ω2
ω
‖H(s
)‖2
original BT BTΩ
10−1 100 10310−5
10−2
101
101 102
ω
rela
tive
rF
ehle
r
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 19/20
Einleitung BT in beschrankten Intervallen Matrixlogarithmus Lyapunovgleichungen Numerische Beispiele
Zusammenfassung / Ausblick
Zusammenfassung:Frequenzbegrenztes balanciertes Abschneiden auch furhochdimensionale Systeme umsetzbar:
Berechnung von f (A)B, f H(A)CT mit f (z) = log(
z+iω2z+iω1
), z.B., via
Quadratur oder Krylovraumverfahren moglich.Numerische Losungen der Lyapunovgleichungen durchNiedrigrangloser(PΩ,QΩ haben niedrigeren numerischen Rang als P,Q).Verglichen mit gewohnlichem BT: hohere Genauigkeit bei gleicherreduzierter Ordnung.
Weiterfuhrende Problemstellungen:BT in begrenzten Zeitintervallen (D) [Gawronski/Juang ’90]
begrenzte Zeit/Frequenzintervalle fur zeit-diskrete Systeme (D)[Horta/Juang/Longman ’93]
Frequenzgewichtetes BT (?) [Z.B. Enns ’84]
PW :=1
2π
∞∫−∞
(iωI − A)−1W (iω)BBTW (iω)H(iωI − A)−Hdω.
Max-Planck-Institut Magdeburg [email protected] P. Kurschner, Frequenzbegrenztes BT 20/20