BALANÇO DE MATERIAIS

1a) RESERVATÓRIOS DE GÁS

Balanço molar ni = n + np

Lei dos gases T.R.z.nV.P = ou T.R.z

V.Pn =

Logo, temos que: T.R.z

V.Pni

iii =

T.R.zV.Pn i=

sc

pscp T.R

G.Pn = ou

ou sc

psci

i

ii

T.RG.P

T.R.zV.P

T.R.zV.P

+= logo, pisc

sc

i

i GV.T

.T.PzP

zP

−=

Finalmente, pmGazP

−= onde

i

i

zP

a = isc

sc

V.T.T.P

m =

Vi

n = ni - npz

P

Vi

ni zi

Pi

P∇

Exemplo 1) Determinar o Gás In-Place G (ou GIP)

1. Solução gráfica: extrapole a reta até o eixo horizontal

2. Calcule m = tg(φ) Com m calcule Vi Com Vi calcule G usando a lei dos gases reais

Exemplo 2) Determinar P sendo conhecidos Gp e G

1. Com G e Gp calcule P/z usando o gráfico ou a fórmula abaixo 2. Com P/z e com a densidade do gás calcule z e P por iteração

CGV.T

.T.PzP

zP

pisc

sc

i

i =−= e zCP =

Problema Gás-1: Ti = 70 ºC Pi = 200 kgf/cm2 γg = 0,60 P/z (kgf/cm2) Gp (m3std)

222 5,00x106 210 15,0x106 186 35,0x106 156 60,0x106

1. Estimar o volume de Gás “In Place” 2. Qual será a pressão P quando Gp for igual a 120,0x106 m3std? 3. Qual será o valor de Gp quando a pressão do reservatório atingir 100 kgf/cm2?

Gp

zp

φ

i

iz

p

G

1b) RESERVATÓRIOS DE GÁS com os efeitos: Expansão da água conata Expansão da rocha Vi = V + ∆Vw + ∆Vr

Seja a compressibilidade da água dada pela relação: P.V

VC

w

ww ∆

∆=

Ou seja: P.VCV www ∆=∆ . Mas como ww

iwporw S

S1V

S.VV−

==

Então PS1

S.V.CV

w

wiww ∆

−=∆

Para a rocha o procedimento é semelhante:

P.VVC

r

rr ∆

∆= P.VCV rrr ∆=∆ logo, P

S1V.CV

w

irr ∆

−=∆

Vimos que ni = n + np e como V = Vi - ∆Vw - ∆Vr

O balanço fica: ( )sc

pscrwi

i

ii

T.RG.P

T.R.zVVV.P

T.R.zV.P

+∆−∆−

=

Simplificando, temos que ( )

pisc

sc

i

i

w

rww GV.T

.T.PzP

S1PCS.C1

zP

−=

−

∆+−

Observe que a diferença entre essa equação e a do balanço anterior é o coeficiente de

P/z que antes era 1, e agora é ( )

−

∆+−

w

rww

S1PCS.C1

Exercício: calcule o coeficiente para os seguintes parâmetros: Cw = 40x10-6 cm2/kgf Cr = 60x10-6 cm2/kgf ∆P = 100 kgf/cm2 Swi = 0,20

Vi

ni zi

Pi

V n z P ∆Vr

∆Vw

P∇

1.c) RESERVATÓRIOS DE GÁS com Influxo de Água G.Bgi = (G-Gp)Bg + We Re-arranjando, fica:

BgiBgWeG

BgiBgBg.Gp

−+=

− ou então y = G + x

G.Bgi

Pi

(G-Gp)Bg

P We

P∇

We . Bg-Bgi

We < real

We = real

We > real

G

Gp.Bg . Bg-Bgi

2.a) RESERVATÓRIOS DE ÓLEO sub-saturado P > Pb

Bo)NpN(Boi.N −= ou BoiBoBo.NpN

−=

N = volume de óleo “in place”

N.Boi

Pi

(N-Np)Bo

P

P∇

PPb

Bo

Pi

2.b) RESERVATÓRIOS DE ÓLEO sub-saturado, com os efeitos: Expansão da água conata Expansão da rocha

VwVrBo).NpN(Boi.N ∆+∆+−=

Vimos anteriormente que Sw1

P.Boi.N.CrVr−

∆=∆

Sw1P.Sw.Boi.N.CwVw

−∆

=∆

Substituindo e resolvendo para N obtemos:

−∆+

−−=

SwPCrSwCwBoiBo

BoNpN

1).(1.

. e como P.Boi.CoBoiBo ∆=− , temos:

PSw

CrSwCwSoCoBoi

BoNpN∆

−++

=.

1...

.

Problema Óleo-1: Reservatório de óleo sub-saturado Pressão inicial de 300 kgf/cm2. Boi = 1,215 m3/m3 @ 300 kgf/cm2 Produziu 1,0x106 m3 e a pressão caiu 50 kgf/cm2 de modo que Bo = 1,300 @ 250 kgf/cm2. Sw = 0,30 Cw = 45x10-6 cm2/kgf Cr = 60x10-6 cm2/kgf Estime o volume de óleo “in place” N de duas maneiras:

a) Desprezando as compressibilidades da rocha e da água conata b) Considerando Cr e Cw.

N.Boi

Pi

(N-Np)Bo

P

∆Vr∆Vw

P∇

2.c) RESERVATÓRIOS DE ÓLEO SATURADO, com os efeitos: Expansão da água conata Expansão da rocha

VwVrGásLivreBo).NpN(Boi.N ∆+∆++−= GLIVRE = GINICIAL – GPRODUZIDO - GSOLUÇÃO GLIVRE = N.Rsi – Np.Rp – (N - Np).Rs onde Rp = Gp/Np GLIVRE = N(Rsi – Rs) + Np(Rs – Rp) , m3std ( Gás livre nas condições padrão) Multiplicando por Bg teremos o volume em condições de reservatório: GLIVRE = N(Rsi – Rs)Bg + Np(Rs – Rp)Bg , m3res Substituindo as expressões para GLIVRE, ∆Vr e ∆Vw na equação do balanço, fica:

Sw1P.Boi.N.Cr

Sw1P.Sw.Boi.N.CwBg)RpRs(NpBg)RsRsi(NBo).NpN(Boi.N

−∆

+−

∆+−+−+−=

Re-arranjando e resolvendo para N, obtemos:

( )[ ]( )

∆

−+

−−+−

−+=

P.Sw1

)CrSw.Cw(1BoiBoBgRsRsi

BgRsRpBoNpN ou então:

( )[ ]( )

−++

∆+−

−+=

Sw1CrSw.CwSo.CoP.BoiBgRsRsi

BgRsRpBoNpN

N.Boi

Pi

P∇

(N-Np)Bo

P ∆Vr

∆Vw

GÁS LIVRE

LINEARIZAÇÃO DA E. B. M. Fazendo [ ]Bg).RsRp(BoNpF −+= Bg).RsRsi(Eg −=

∆

−+

−−= PSw1

)CrSw.Cw(1BoiBoB

Podemos escrever a equação de balanço de materiais na forma F = N.(Eg + B) equação de uma reta de inclinação N

Eg + B

tg(θ) = N F

Problema Óleo-2: Reservatório de óleo saturado Co = 150x10-6 cm2/kgf Bg = 1/P Pi = 200 kgf/cm2 Rsi = 70 m3/m3 P = 100 kgf/cm2 Rs = 35 m3/m3 Boi = 1,16 Sw = 0,20 Cw = 40x10-6 cm2/kgf Cr = 60x10-6 cm2/kgf Calcule N em função de F (numerador) de duas maneiras:

a) Considerando Cw e Cr b) Desprezando Cw e Cr

Problema Óleo-3: Calcule N usando a linearização da Equação de Balanço de Materiais, sabendo que: Cr = 60x10-6 cm2/kgf Cw = 40x10-6 cm2/kgf Sw = 0,20 Pressão Bo Rs Bg Gp Np kgf/cm2 m3/m3 m3/m3 m3/m3 Mm3 Mm3

195,0 1,34914 106,6 0,00513 0 0180,0 1,3227 97,7 0,00555 550 5167,0 1,3001 90,0 0,00599 1200 1068,0 1,1428 33,7 0,01645 15000 50

2.d) RESERVATÓRIOS DE ÓLEO com capa de GÁS: Definir m como sendo a razão entre os volumes da capa de gás e da zona de óleo

BgiBoi.N.mG,então

Boi.NBgi.Gm ==

A equação do balanço de materiais pode ser escrita como: G.Bgi + N.Boi = G.Bg + GLIB + (N – Np)Bo Vimos que o gás liberado, em condições de reservatório, pode ser expresso por: GLIB = N(Rsi – Rs)Bg + Np(Rs – Rp)Bg Substituindo na equação do balanço de materiais, fica: G.Bgi + N.Boi = G.Bg + N(Rsi – Rs)Bg + Np(Rs – Rp)Bg + (N – Np)Bo Substituindo a expressão para G, fica: m.N.Boi + N.Boi = G.Bg + N(Rsi – Rs)Bg + Np(Rs – Rp)Bg + (N – Np)Bo Re-arranjando e resolvendo para N obtemos:

[ ])BgiBg(

BgiBoimBg)RsRsi(BoiBo

Bg)RsRp(BoNpN−+−+−

−+=

E como Bt = Bo + (Rsi – Rs)Bg , podemos escrever:

[ ]

)BgiBg(BgiBtimBtiBt

Bg)RsiRp(BtNpN−+−

−+=

N.Boi

Pi

P∇

(N-Np)Bo

P

G. Liberado

G.Bgi G.Bgi

Exemplo ) Determinar o valor de m a) Podemos escrever a E.B.M. na seguinte forma:

Eg.mEoFN+

= , ou então ( )Eg.mEoNF += , onde

F = Np[ Bo + (Rp – Rs)Bg ] Eo = Bo – Boi + (Rsi – Rs)Bg

Eg = Boi(Bg – Bgi)/Bgi

Um gráfico de F versus (Eo+m.Eg) deve ser uma reta. Como m é desconhecido, ajustamos seu valor por tentativas

b) Podemos também escrever a equação na forma: )Eg.mEo(NF +=

ou então: EoEg.N.mN

EoF

+=

Um gráfico de F/Eo versus Eg/Eo deve ser uma reta de inclinação igual a m.N e N será a interseção da reta com o eixo vertical.

Eo + m.Eg

m < real

m = real

m > realF

tg(θ) = N

Eg/Eo

F/Eo tg(θ) = m.N

N

2.e) RESERVATÓRIOS DE ÓLEO SATURADO com os efeitos: Influxo de Água

Expansão da água conata Expansão da rocha

( )[ ]( )

∆

−+

−−+−

−−+=

P.Sw1

)CrSw.Cw(1BoiBoBgRsRsi

WeBgRsRpBoNpN

Podemos escrever a equação na forma: Eo

WeFN −=

Re-arranjando, obtemos : EoWeN

EoF

+=

Um gráfico de F/Eo versus We/Eo deve ser uma reta e N será a interseção da reta com o eixo vertical. 2.f) RESERVATÓRIOS DE ÓLEO : Forma geral da E. B. M.

( )[ ]( ) ( ) P

SwCrSwCwBoimBgiBgmBoiBgRsRsiBoiBo

BginjGinjBwinjWinjWeBwWpBgRsRpBoNpN∆

−+

++−+−+−

−−−+−+=

.1.)1(1/

...

We/Eo

We < real

m = real

We > realF/Eo

N