balanza centroscópica de simple eje -...

Autor: David Serrano Martínez 01/12/2001

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PRINCIPIOS TEÓRICOS DEL FUNCIONAMIENTO DE LA BALANZA CENTROSCÓPICA DE SIMPLE EJE

ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 2

1.1 OBJETO.......................................................................................................... 2 1.2 ALCANCE ....................................................................................................... 2

2. DOCUMENTACIÓN DE REFERENCIA.................................................................. 2 3. DESCRIPCIÓN DE LA BALANZA CENTROSCÓPICA SCHENCK WM-1............. 3 4. TEORÍA DEL CÁLCULO DE ERRORES DE MEDIDA........................................... 4 5. PROCEDIMIENTO GENERAL DE MEDIDA .......................................................... 7 6. FUNCIONAMIENTO DE LA CÉLULA DE CARGA............................................... 15 7. OTROS PROCEDIMIENTOS DE MEDIDA .......................................................... 18 8. ESTIMACIÓN DE LA CONSTANTE K DE LA BALANZA..................................... 21 9. APLICACIONES PRÁCTICAS.............................................................................. 24

9.1 MEDIDA EN HORIZONTAL DE LA POSICIÓN DEL C.D.M......................... 24 9.2 MEDIDA EN VERTICAL DE LA EXCENTRICIDAD DEL C.D.M................... 27 9.3 MEDIDA EN HORIZONTAL DE LA EXCENTRICIDAD DEL C.D.M. ........... 30


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1. INTRODUCCIÓN

1.1 OBJETO

El objeto del presente documento es explicar la base teórica en que descansan los

procedimientos de medida con la balanza centroscópica Schenck WM-1. Se detallará la

teoría de la medición y el cálculo de errores para los procedimientos generales de medida

con dicha balanza.

Como punto de partida haremos una sucinta descripción de la balanza

centroscópica y de su principio de funcionamiento. Asimismo expondremos los

fundamentos del cálculo de errores ya que éste se usará a lo largo de todo el texto.

1.2 ALCANCE

Los procedimientos que se describen en este documento sólo alcanzan a la medición con

máquinas de eje simple. No obstante las máquinas de eje doble pueden usarse como si

fueran de eje simple, por lo que para este caso les son aplicables los procedimientos

descritos.

2. DOCUMENTACIÓN DE REFERENCIA

Para la realización de este documento se ha usado la siguiente referencia:

• Especificaciones técnicas de la balanza centroscópica Schenck WM-1.


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3. DESCRIPCIÓN DE LA BALANZA CENTROSCÓPICA SCHENCK WM-1

(Figura 1)

En esencia, la balanza centroscópica consta de una palanca dotada de un plato

giratorio donde se coloca el objeto a medir. El momento que el peso P de dicho objeto

genera respecto del eje de apoyo de la palanca (el cual es perpendicular al plano de la

figura 1 y pasa por O) se ve equilibrado por medio de la fuerza C que una célula de

carga (simbolizada por el resorte de la figura 1) ejerce sobre la palanca. Dicha célula de

carga envía una señal eléctrica a una unidad de visualización o display.

La balanza dispone así mismo de una bandeja portapesas. Ésta es útil en

ocasiones, ya que si se dispone sobre el plato un objeto muy pesado, podemos colocar

en la bandeja un peso W conocido que contrarreste el momento generado por P, y así

evitaremos dañar la célula de carga.

Por último cabe reseñar que la palanca dispone de un peso roscado con el que se

puede mover el c.d.m. de la misma y puede usarse para ajustar el cero del display.

CW

P

+9999

O

Peso


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4. TEORÍA DEL CÁLCULO DE ERRORES DE MEDIDA

Supongamos que queremos determinar el valor de una magnitud y que depende

funcionalmente de n magnitudes x1, x2,... , xn, de la forma:

( )nxxxfy ,...,, 21= [1]

Para cada magnitud xi, sea xi* su verdadero valor (que será para nosotros

desconocido). Se sabe, no obstante, que éste estará dentro de un intervalo de

incertidumbre, expresado de la forma:

[ ]ieii

eii xxxxx Δ+Δ−∈ ,* ; 0≥Δ ix [2]

En la expresión anterior eix es el punto medio del intervalo, y será considerado

como la medida de la magnitud xi.

El valor ixΔ se denominará incertidumbre en la medida de xi. Definiremos a

continuación e(xi) como la diferencia entre el verdadero valor de xi y su medida. Lo

llamaremos error en la medida de xi.

( ) eiii xxxe −= * [3]

(Figura 2)

e(xi)

Δxi

xie xi*


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El verdadero valor de y vendrá dado por:

( )**,...,*,* 21 nxxxfy = [4]

Asimismo el valor que adoptaremos como medida de y será:

( )en

eee xxxfy ,...,, 21= [5]

El error en la determinación de y vendrá dado entonces por:

( ) ( ) ( )en

een

e xxxfxxxfyyye ,...,,**,...,*,* 2121 −=−= [6]

Esto se puede escribir de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )en

een

en

ee xxxfxexxexxexfye ,...,,,...,, 212211 −+++= [7]

Si los e(xi) son pequeños y la función f es diferenciable, podemos aproximar el

incremento en la función f por su diferencial, de la forma:

( ) ( )i

n

ixxxi

xexfye

en

ee

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≅∑=1

,..., 21

[8]

Para cada magnitud xi podemos establecer las desigualdades:

( ) iii xxex Δ≤≤Δ− [9]

Llamemos yΔ a:

i

n

ixxxi

xxfy

en

ee

Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=Δ ∑=1

,..., 21

[10]


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Podemos escribir, por tanto:

( ) yyey Δ≤≤Δ− [11]

Si sumamos ey a cada término de la desigualdad, resulta:

( ) yyyeyyy eee Δ+≤+≤Δ− [12]

Es decir:

yyyyy ee Δ+≤≤Δ− * [13]

Hemos llegado por tanto una acotación para el verdadero valor de y.

Podemos escribir, a modo de resumen, las siguientes cuatro expresiones:

RESUMEN DE EXPRESIONES PARA LA MEDIDA Y CÁLCULO DE ERRORES

• Función de medida de y a partir de x1, x2, ... , xn: ( )nxxxfy ,...,, 21=

• Valor medido de y: ( )en

eee xxxfy ,...,, 21=

• Incertidumbre en la medida de y: i

n

ixxxi

xxfy

en

ee

Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=Δ ∑=1

,..., 21

• Acotación de la incertidumbre de y: yyyyy ee Δ+≤≤Δ− *


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5. PROCEDIMIENTO GENERAL DE MEDIDA

(Figura 3)

En la figura 3 se dispone un esquema de la balanza en planta. Se supondrá que la

máquina está perfectamente nivelada, de manera que la vertical es perpendicular al

plano de la figura 3. El sistema de ejes {O,x,y} es solidario a la palanca de la balanza.

Por otra parte el sistema {O,X,Y} es solidario al plato giratorio. Entre ambos sistemas

mediará un ángulo α. Se definen a continuación los siguientes puntos, fuerzas y pares:

• OW: es el punto intersección de la línea de acción del peso W colocado en la

bandeja portapesas con el plano de la figura 3. El par que genera dicho peso

sobre el eje y será rW⋅W.

• OC: es el punto intersección de la línea de acción de la fuerza C que ejerce la

célula de carga con el plano de la figura 3. Al par que genera dicha fuerza

sobre el eje y lo denominaremos M.

• OQ: es el punto intersección de la línea de acción del peso Q del conjunto

palanca + plato giratorio + bandeja portapesas, (considerando Q aplicado en el

c.d.m. de dicho conjunto) con el plano de la figura 3. A par que genera dicho

peso sobre el eje y lo llamaremos MQ.

OC OQ

OP

rα

x

y

OWβ

X

Y

rW

O


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• OP: es el punto de intersección de la línea de acción del peso P del objeto

colocado sobre el plato giratorio (considerando P aplicado en el c.d.m. de

dicho objeto) con el plano de la figura 3.

El criterio de signos usado se recoge en la siguiente tabla. Éste está referido a la

figura 1.

Signo

Magnitud Positivo Negativo

Fuerza Hacia abajo Hacia arriba

Brazo de fuerza De derecha a izquierda De izquierda a derecha

Momento Sentido horario Sentido antihorario

(Tabla 1)

El objeto de la medida es determinar los valores de r y β, representados en la

figura 3. La ecuación de equilibrio de la balanza se puede escribir como:

( ) 0cos =++++ PrMMWr QW βα [14]

Definamos los siguientes términos:

βcosrrX = [15]

βsinrrY = [16]

Si desarrollamos el coseno de la expresión [14], y usamos las definiciones [15] y

[16], la ecuación de equilibrio de la balanza se transforma en:

0sincos =−+++ αα PrPrMMWr YXQW [17]

Podemos observar que hemos cambiado las incógnitas r y β por las nuevas rX y rY.

A partir de ahora trabajaremos con la expresión [17], lo cual facilitará mucho los

cálculos.


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Si a continuación giramos el plato en cuatro ángulos distintos obtendremos cuatro

lecturas del momento M.

0sincos =−+++ iYiXQiW PrPrMMWr αα ; i = 1,2,3,4. [18]

Si restamos la ecuación de equilibrio correspondiente a α2 de la correspondiente a

α1 y hacemos lo propio con las ecuaciones correspondientes a α3 y α4 obtenemos las

dos siguientes ecuaciones que nos permitirán calcular los valores de rX y rY.

( ) ( ) 0sinsincoscos 212121 =−−−+− αααα PrPrMM YX [19]

( ) ( ) 0sinsincoscos 434343 =−−−+− αααα PrPrMM YX [20]

Sea eP el peso medido del cuerpo, 01 =eα , πα =e2 ,

23πα =e ,

43

4πα =e las cuatro

posiciones angulares citadas, y eM1 , eM 2 , eM 3 , eM 4 sus respectivas lecturas de M.

Los valores medidos de rX y rY se calcularán:

e

eeeX P

MMr2

21 −−= [21]

e

eee

Y PMMr

243 −= [22]

Para la determinación de los errores de medida construyamos las siguientes

funciones:

( ) ( ) ( ) 0sinsincoscos,,,,,, 2121212121 =−−−+−= αααααα PrPrMMPMMrrf YXYX

[23] ( ) ( ) ( ) 0sinsincoscos,,,,,, 4343434343 =−−−+−= αααααα PrPrMMPMMrrg YXYX

[24]


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Calcularemos a continuación todas las derivadas parciales de las funciones f y g,

las cuales serán usadas posteriormente. Se particularizarán dichas derivadas en los

valores medidos, que recordamos son:

eP , 01 =eα , πα =e

2 , 23πα =e ,

43

4πα =e , eM1 , eM 2 , eM 3 , eM 4

Presentamos los resultados de dichos cálculos en las siguientes dos tablas:

Derivada Valor Particularización

Xrf

∂∂ ( )21 coscos αα −P eP2

Yrf

∂∂ ( )21 sinsin αα −− P 0

1Mf

∂∂

1 1

2Mf

∂∂

-1 -1

1α∂∂f 11 cossin αα PrPr YX −− ee

Y Pr−

2α∂∂f 22 cossin αα PrPr YX + ee

Y Pr−

Pf

∂∂ ( ) ( )2121 sinsincoscos αααα −−− YX rr e

Xr2

(Tabla 2)


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Derivada Valor Particularización

Xrg

∂∂ ( )43 coscos αα −P 0

Yrg

∂∂ ( )43 sinsin αα −− P eP2−

3Mg

∂∂

1 1

4Mg

∂∂

-1 -1

3α∂∂g 33 cossin αα PrPr YX −− ee

X Pr−

4α∂∂g 44 cossin αα PrPr YX + ee

X Pr−

Pg∂∂ ( ) ( )4343 sinsincoscos αααα −−− YX rr e

Yr2−

(Tabla 3)

Representemos con t cualquier variable del conjunto {M1, M2, α1, α2, P}. A

continuación diferenciamos la función f respecto de t.

0=∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

tf

tr

rf

tr

rf Y

Y

X

X

[25]

Puesto que en cualquier caso 0=∂∂

Yrf , podemos despejar directamente

trX

∂∂ , de

manera que:

tf

Prftf

tr

e

X

X

∂∂

−=

∂∂∂∂

−=∂∂

21 [26]


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De forma análoga representemos con t cualquier variable independiente del

conjunto {M3, M4, α3, α4, P}. A continuación diferenciamos la función g respecto de t.

0=∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

tg

tr

rg

tr

rg Y

Y

X

X

[27]

Puesto que en cualquier caso 0=∂∂

Xrg , podemos despejar directamente

trY∂∂ , de

manera que:

tg

Prgtg

tr

e

Y

Y

∂∂

=

∂∂∂∂

−=∂∂

21 [28]

Los resultados de los cálculos según las expresiones [26] y [28] se exponen en la

tabla a continuación:

eX

PMr

21

1

−=∂∂ e

Y

PMr

21

3

=∂∂

eX

PMr

21

2

=∂∂ e

Y

PMr

21

4

−=∂∂

21

eYX rr

=∂∂α

23

eXY rr

−=∂∂α

22

eYX rr

=∂∂α

24

eXY rr

−=∂∂α

e

eXX

Pr

Pr

−=∂∂ e

eYY

Pr

Pr

−=∂∂

(Tabla 4)


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A continuación supondremos que la incertidumbre máxima en la medidas de los

pares Mi de la célula de carga es siempre la misma, y la notaremos como ΔM. De igual

manera supondremos que la incertidumbre máxima en el posicionamiento de los

ángulos αi del plato es siempre la misma, y la notaremos como Δα. Las incertidumbres

en la medida de rX y rY se pueden escribir como:

PPrrrM

MrM

Mrr XXXXX

X Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

≅Δ αα

αα 2121

[29]

PPrrrM

MrM

Mrr YYYYY

Y Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

≅Δ αα

αα 4343

[30]

Si usamos los resultados de la tabla 4 junto con las expresiones [29] y [30],

obtenemos:

PPr

rPMr e

eXe

YeX Δ+Δ+Δ

≅Δ α [31]

PPr

rPMr e

eYe

XeY Δ+Δ+Δ

≅Δ α [32]

En la siguiente tabla presentamos un resumen de las expresiones para el

procedimiento general de medida:

Incógnitas rX rY

Medida e

eeeX P

MMr2

21 −−= e

eee

Y PMMr

243 −=

Incertidumbre P

Pr

rPMr e

eXe

YeX Δ+Δ+Δ

≅Δ α PPr

rPMr e

eYe

XeY Δ+Δ+Δ

≅Δ α

Intervalo de

incertidumbre X

eXXX

eX rrrrr Δ+≤≤Δ− * Y

eYYY

eY rrrrr Δ+≤≤Δ− *

(Tabla 5)


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A partir de la medida de rX y rY podemos obtener r, de la forma:

22YX rrr += [33]

El valor medido de r será:

22 eY

eX

e rrr += [34]

La incertidumbre en la medida de r se calculará de la forma:

Ye

eY

Xe

eX r

rr

rrr

r Δ+Δ≅Δ [35]

El intervalo de incertidumbre lo expresaremos de la forma:

rrrrr ee Δ+≤≤Δ− *},0max{ [36]

Para concluir debemos señalar que, como se puede comprobar en la tabla 5, la

calidad de la medida se ve afectada por la indeterminación Δα de los ángulos αi. Si el

plato de la balanza dispone de cuatro posiciones de anclaje en los ángulos: 01 =eα ,

πα =e2 ;

23πα =e y

43

4πα =e , a efectos prácticos podemos considerar el error debido a

Δα despreciable frente al resto de los sumandos.

Las expresiones escritas en la tabla 5 aún no son muy útiles porque la célula de

carga no ofrece directamente el valor del par M. Desconocemos así mismo la

incertidumbre ΔM de este valor. Solventaremos este problema en el siguiente apartado.


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6. FUNCIONAMIENTO DE LA CÉLULA DE CARGA

La célula de carga puede trabajar a tracción y a compresión. Ésta envía una señal

eléctrica de voltaje proporcional al par M de la fuerza C que la célula ejerce sobre la

palanca. Este voltaje se traduce en un número entero en sobre el display de la unidad de

control de la máquina. Si la fuerza C es hacia arriba (C negativa y M positivo), la célula

trabaja a compresión y la lectura en será negativa. Si la fuerza C es hacia abajo (C

positiva y M negativo), la célula trabaja a tracción y la lectura en será positiva.

La relación entre en y M, que denominaremos f(M) no es, en general, una función

lineal. Además no será una función inyectiva, ya que, debido a efectos de histéresis,

f(M) no valdrá lo mismo si se ha llegado a un valor M desde valores de par menores,

que si se ha llegado a M desde valores de par mayores. No obstante, dicha curva f(M)

podrá incluirse, en todo el dominio de M, dentro de una banda lineal, como puede verse

en la figura 4.

(Figura 4)

M

n

Δn

ΔM

bMK

n +⋅=1


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Así pues, bajo buenas condiciones de funcionamiento el fabricante nos garantiza

que si obtenemos una lectura en en el display, el verdadero valor M* del momento que

la célula de carga ejerce sobre la palanca estará acotado de la siguiente forma:

( ) ( ) MbnKMMbnK ee Δ+−≤≤Δ−− * [37]

En la expresión anterior K es una constante de escala, siendo K<0. Por otra parte

b es una constante de posición y MΔ corresponde a la incertidumbre en la medida de

momentos.

De manera equivalente podemos decir que si M* es el verdadero valor del

momento que la célula de carga ejerce sobre la palanca, la lectura en del display estará

dentro del siguiente intervalo:

nbMK

nnbMK

e Δ++≤≤Δ−+ *1*1 [38]

En la expresión [38] el valor nΔ corresponde a la incertidumbre de medida en la

unidad de visualización. Los valores de K, MΔ y nΔ están relacionados mediante la

siguiente expresión:

nMKΔΔ

−= [39]

En la expresión [39] vemos que K representa la sensibilidad de medición de la

balanza. Como se podrá observar en las tablas 6, 7 y 8, no es necesario conocer el valor

de b para operar con la balanza, pero sí necesitaremos conocer la pareja de valores K y

MΔ (o sus equivalentes K y nΔ ), los cuales nos los ha de suministrar el fabricante de

la máquina.


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Como medida del momento M tomaremos el punto medio del intervalo [37], esto

es:

( )bnKM ee −= [40]

El análisis presentado desde la expresión [37] hasta la expresión [40] no es exacto,

pues hemos dicho que el display de la máquina sólo presenta números enteros y

nosotros hemos hecho los cálculos suponiendo que fueran números reales. No obstante

un estudio con números enteros es más complicado y no ofrece resultados

significativamente diferentes a los dados.

Si usamos las expresión [40], los resultados de la tabla 5 los podemos presentar de

esta forma:

Incógnitas rX rY

Medida 2

21ee

eeX

nnPKr −

−= 2

43ee

ee

Ynn

PKr −

=

Incertidumbre P

Pr

rPMr e

eXe

YeX Δ+Δ+Δ

≅Δ α PPr

rPMr e

eYe

XeY Δ+Δ+Δ

≅Δ α

Intervalo de

incertidumbre X

eXXX


eYYY


(Tabla 6)


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7. OTROS PROCEDIMIENTOS DE MEDIDA

Seguidamente explicaremos de manera sucinta otros procedimientos, más

simplificados pero en ocasiones menos formales, para la medida de las variables rX , rY

y r.

Para la medida de rX podemos disponer, sin haber apoyado aún el cuerpo objeto

de medición sobre la balanza, el eje X del plato giratorio en la posición 01 =eα . La

ecuación de equilibrio de la máquina en estas condiciones será:

00 =++ QW MMWr [41]

A continuación, y sin cambiar la orientación del eje X del plato, cargamos sobre el

mismo el cuerpo de peso P objeto de medición. La ecuación de equilibrio será ahora:

0sincos 111 =−+++ αα PrPrMMWr YXQW [42]

Si restamos la ecuación [41] de la ecuación [42] resulta:

0sincos 1101 =−+− αα PrPrMM YX [43]

Si lo que queremos es determinar rY, seguiremos los dos pasos anteriores, con la

diferencia de que el eje X lo colocaremos en un ángulo 23πα =e , llegándose a la

siguiente ecuación:

0sincos 3303 =−+− αα PrPrMM YX [44]

Si seguimos la metodología de cálculo aplicada en las secciones anteriores para la

determinación de los errores de cálculo, llegamos a los resultados que se exponen en la

siguiente tabla resumen:


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Incógnitas rX rY

Medida ( )eee

eX nn

PKr 01 −−= ( )ee

ee

Y nnPKr 03 −=

Incertidumbre P

Pr

rPMr e

eXe

YeX Δ+Δ+Δ

≅Δ α2 PPr

rPMr e

eYe

XeY Δ+Δ+Δ

≅Δ α2

Intervalo de

incertidumbre X

eXXX


eYYY


(Tabla 7)

Podemos observar que si bien este método es un poco más rápido que el anterior,

también ofrece una calidad de medida algo inferior.

A continuación presentaremos un procedimiento no formal de medida de r cuya

ventaja es que no requiere determinar previamente rX y rY. Es por tanto un

procedimiento más rápido que los anteriores. Para empezar definiremos el ángulo θ

como:

βαθ += [45]

La ecuación [14] se puede escribir entonces de la forma siguiente:

0cos =+++ θrPMMWr QW [46]

Tomaremos dos medidas en sendas orientaciones del plato, que denominaremos

θM y θm, de manera que θM se corresponda con la lectura nM máxima algebraica

(teniendo en cuenta el signo) visualizada en el display y θm se corresponda con la

lectura nm mínima algebraica visualizada en el display, al hacer girar el plato de la

balanza. Sea MM el par correspondiente a la lectura nM y Mm el par correspondiente a la

lectura nm. Las dos ecuaciones de equilibrio son:

0cos =+++ MQMW rPMMWr θ [47]


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0cos =+++ mQmW rPMMWr θ [48]

Si restamos [47] – [48] llegamos a la expresión:

( ) 0coscos =−+− mMmM rPMM θθ [49]

Como podemos observar, este método no es formal por cuanto que no podemos

medir los ángulos θM y θm. No obstante es evidente que eMn y e

MM se alcanzarán para

un ángulo θM en el entorno de 0, por lo que asumiremos: 0=eMθ , mientras que e

mn y

emM se alcanzarán para un ángulo θm en el entorno de π, por lo que asumiremos:

πθ =em .

Partiendo de la expresión [49], de las consideraciones realizadas, y aplicando la

teoría de errores llegamos a las expresiones para la medida e incertidumbre que se

resumen en la tabla siguiente:

Incógnita r

Medida 2

em

eM

ee nn

PKr −

−=

Incertidumbre P

Pr

PMr e

e

e Δ+Δ

≅Δ

Intervalo de

incertidumbre rrrrrmáx ee Δ+≤≤Δ− *},0{

(Tabla 8)

Podría pensar el lector que, pese a la no formalidad de este método de medición,

ofrece una acotación bastante precisa del error, ya que, como se puede observar en la

tabla 8, la incertidumbre consta tan sólo de dos sumandos en lugar de los tres sumandos

que aparecen en las tablas 6 y 7.


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Las verdaderas expresiones para la medida de r y su incertidumbre son

respectivamente las fórmulas [50] y [51] que se detallan a continuación. Dichas

expresiones se simplifican en las mostradas en la tabla 8 al sustituir los valores

supuestos 0=eMθ y πθ =e

m . Si pudiéramos dar sendas medidas de Mθ y mθ ,

seguramente diferirían en algo de los valores supuestos, y por ende llegaríamos a una

medida de r diferente y a un intervalo de incertidumbre mayor.

em

eM

em

eM

ee nn

PKr

θθ coscos −−

−= [50]

( ) θθθ

θθ

θθΔ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

++Δ+Δ

−−≅Δ e

em

eM

em

eM

e

e

em

eM

e rPPrn

PKr

coscossinsin

coscos2 [51]

8. ESTIMACIÓN DE LA CONSTANTE K DE LA BALANZA

Ya hemos señalado en el apartado 6 del presente documento que para poder

operar con la balanza centroscópica debemos conocer la pareja de valores K y MΔ (o

sus equivalentes K y nΔ ). Dichos valores nos los debe suministrar el fabricante de la

máquina.

El presente apartado explica un procedimiento para estimar el valor de la

constante K en caso de que no se conozca.

Pongamos un peso W1 sobre la bandeja portapesas de la balanza. La ecuación de

la balanza [14] se escribirá en este caso:

( ) 0cos11 =++++ PrMMWr QW βα [52]

Retiremos el peso W1 y en su lugar coloquemos un peso W2 (siendo W2>>W1). La

ecuación de la balanza será ahora:

( ) 0cos22 =++++ PrMMWr QW βα [53]


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Si operamos [53] - [52] tendremos:

( ) 01212 =−+− MMWWrW [54]

Definamos la magnitud X como:

12 MMX −= [55]

Usando esta definición, la expresión [54] se puede escribir de la forma:

( )12 WWrX W −−= [56]

En la tabla siguiente se presentan la medida de X y su incertidumbre:

Incógnita X

Medida ( )eeeW

e WWrX 12 −−=

Incertidumbre WrrWWX eWW

ee Δ+Δ−=Δ 212

Intervalo de

incertidumbre XXXXX ee Δ+≤≤Δ− *

(Tabla 9)

En la expresión para la incertidumbre hemos supuesto que los dos pesos presentan

la misma, esto es: WΔ .

Por otra parte, al colocar el peso W1 habremos obtenido una lectura del display en1 , mientras que al colocar el el peso W2 la lectura del display habrá sido en2 . Si

combinamos las expresiones [37] y [39] podemos escribir:

( ) ( )nbnKMnbnK ee Δ−−≤≤Δ+− 111 * [57]


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( ) ( )nbnKMnbnK ee Δ−−≤≤Δ+− 222 * [58]

Hemos impuesto la condición W2>>W1 para asegurar que los intervalos [57] y

[58] sean disjuntos. Por otra parte el correspondiente a *2M está más a la derecha en la

recta real que el otro. A partir de estos dos intervalos y usando la relación [55]

escribiremos:

( ) ( )nnnKXnnnK eeee Δ−−≤≤Δ+− 2*2 1212 [59]

Para que el intervalo presentado en la tabla 9 y el presentado en la expresión [59]

tengan intersección no nula deben cumplirse las siguiente condiciones:

( ) ( )nnnKWrrWWWWr eeeWW

eeeeeW Δ+−≥Δ+Δ−+−− 22 121212 [60]

( ) ( )nnnKWrrWWWWr eeeWW

eeeeeW Δ−−≤Δ−Δ−−−− 22 121212 [61]

Las expresiones [60] y [61] acotan el valor de K de la siguiente manera:

( ) ( )nnn

WrrWWWWrK

nnnWrrWWWWr

ee

eWW

eeeeeW

ee

eWW

eeeeeW

Δ−−

Δ−Δ−−−−≤≤

Δ+−

Δ+Δ−+−−

22

22

12

1212

12

1212

[62]

A la vista del intervalo anterior, como estimación de K podemos tomar:

ee

eee

W nnWWrK

12

12

−−

−≅ [63]

Podemos usar esta estimación de K en los cálculos, pero ya no podremos

garantizar completamente la validez de los intervalos de acotación expresados en los

distintos métodos explicados.


24 de 37

9. APLICACIONES PRÁCTICAS

Una vez conocidos los procedimientos generales de medición con la balanza

centroscópica, describiremos a continuación una serie de métodos específicos para la

determinación de la posición del c.d.m. de un cuerpo. Nos centraremos sobre todo en los

cuerpos de revolución, en los que podemos definir el concepto de excentricidad del c.d.m.

como la distancia del c.d.m. al eje de simetría del cuerpo. Éste eje es, por definición, el eje

entre puntos del torno con el que fue mecanizado dicho cuerpo.

9.1 MEDIDA EN HORIZONTAL DE LA POSICIÓN DEL C.D.M.

(Figura 5)

x

y

X

Y

a

b

c

GS’GT’G’

O

δ

l

d

α

θ

A1


25 de 37

Se dispone del objeto a medir (pieza naranja de la figura 5) sobre un soporte y se

apoya contra el tope del mismo. Se explica a continuación la nomenclatura que se usará

en el desarrollo de este procedimiento de medida:

• G’: proyección sobre el plato de la balanza del c.d.m. del objeto a medir (pieza

naranja) .

• GS’: proyección sobre el plato de la balanza del c.d.m. del soporte.

• GT’: proyección sobre el plato de la balanza del c.d.m. de los dos cuerpos

anteriores.

• P: peso del cuerpo a medir.

• S: peso del soporte.

El objeto del procedimiento es medir δ.

Observando la figura 5 podemos escribir:

)( PSbcPaS +=+ [64]

Si despejamos c obtendremos:

PaSPSbc −+

=)( [65]

Por otra parte se cumple la relación:

θθδθ

coscostan ldc =+− [66]

La magnitud d que aparece en la expresión [66] tiene signo. Éste es positivo si su

sentido coincide con el representado en la figura 5. Si despejamos δ resulta:

θθδ sincos dcl +−= [67]


26 de 37

La medición de a y b se hará por alguno de los métodos ya explicados en la

primera parte de este documento. El montaje del soporte se hará de manera que 0=eθ .

Aplicando la teoría de errores llegamos a las siguientes tablas:

Incógnita c

Medida e

eeeeee

PSaPSbc −+

=)(

Incertidumbre

( ) PP

SbaS

Pba

bPSa

PSc

e

eee

e

ee

e

e

e

e

Δ−

+Δ−

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++Δ≅Δ 21

Intervalo de

incertidumbre ccccc ee Δ+≤≤Δ− *

(Tabla 10)

Incógnita δ

Medida eee cl −=δ

Incertidumbre θδ Δ+Δ+Δ≅Δ edcl

Intervalo de

incertidumbre δδδδδ Δ+≤≤Δ− ee *

(Tabla 11)

El valor θΔed es a priori desconocido. Si realizamos el montaje del soporte de

manera que el eje A1 coincida con el eje X del plato, podemos suponer el error θΔed

muy inferior a los otros sumandos y por tanto despreciarlo.


27 de 37

9.2 MEDIDA EN VERTICAL DE LA EXCENTRICIDAD DEL C.D.M.

(Figura 6)

Se apoya la base del cuerpo a medir (pieza naranja de la figura 6) sobre el plato de

la balanza centroscópica. En dicha figura se ha representado de manera exagerada un

error de perpendicularidad entre el eje del cuerpo y su base, así como un error al intentar

hacer coincidir el centro de la base del cuerpo con el centro del plato.

Se explica a continuación la nomenclatura que se usará en el desarrollo de este

procedimiento de medida:

• G: Centro de masas del objeto a medir.

• A: intersección del eje del cuerpo con el plato de la balanza.

O

B G

O

ab

c

r

A


28 de 37

• B: intersección del eje del cuerpo con el plano que contiene a G y es

perpendicular al eje del cuerpo.

• El vector a corresponde al vector OA . Supondremos que la distancia entre O y

A está acotada dentro del intervalo [ ]aΔ,0 .

• El vector b es la proyección sobre el plato del vector AB . Supondremos que la

distancia entre A y B está acotada dentro del intervalo [ ]Mm ll , .

• El vector c es la proyección sobre el plato del vector BG . La excentricidad

que pretendemos medir (y que llamaremos e) es la norma del vector BG .

• El vector r es la suma de los tres vectores anteriores. Con los métodos ya

estudiados podemos medir r . Supondremos que esta distancia está acotada

dentro del intervalo [ ]Mm rr , .

• Supondremos que el ángulo entre el eje del cuerpo y su base se encuentra

acotado en el intervalo [ ]αΔ,0 .

De la figura 6 obtenemos la siguiente relación vectorial:

( )barc +−= [68] Si al vector c le aplicamos los dos enunciados de la desigualdad triangular

resulta:

( ) αΔ+Δ+≤++≤++≤+−= cosMM larbarbarbarc [69]

( ) ( ) αΔ−Δ−≥−−=+−≥+−≥+−= cosMm larbarbarbarbarc

[70]

Por otra parte es fácil ver la siguiente relación:

ece ≤≤Δαsin [71]


29 de 37

Si combinamos [69], [70] y [71] resulta:

{ } ( )αα

α Δ+Δ+Δ

≤≤Δ−Δ− cossin

1cos,0 MMMm larelarmáx [72]

La medición se efectuará con el cuidado suficiente para asegurar un error de

posicionamiento del centro de la base del cuerpo con respecto del centro del plato muy

pequeña. Así pues consideraremos cero la medida de dicha magnitud. Por otra parte se

entiende que el error de perpendicularidad entre la base del cuerpo y su eje es muy

pequeño. Por ello la medida de dicha magnitud también se considerará cero.

Si esto así, la medida de e será igual a la medida de r , que denominaremos er .

Por último podemos sustituir Ml por su valor medido el , con lo que cometemos tan sólo

un error de segundo orden.

A continuación resumimos en una tabla los resultados obtenidos:

Incógnita e

Medida ee re =

Intervalo de

incertidumbre { } ( )α

αα Δ+Δ+

Δ≤≤Δ−Δ− cos

sin1*cos,0 e

Me

m larelarmáx

(Tabla 12)


30 de 37

9.3 MEDIDA EN HORIZONTAL DE LA EXCENTRICIDAD DEL C.D.M.

Aún cuando la base del cuerpo se centre muy bien en el plato ( aΔ muy pequeño),

si el cuerpo tiene su c.d.m. a una altura considerable ( el grande) y su error de

perpendicularidad es también acusado ( αΔ grande), el intervalo de incertidumbre dado

en la tabla 12 puede llegar a ser inaceptablemente grande.

Para solventar este problema nos vemos obligados a usar un procedimiento no

formal de medida, consistente en apoyar el cuerpo sobre una cuna dotada de rodillos.

(Figura 7)

A B’ G’

γ

b

Sección a-a’

B

G

x

y

X

Y

G

O

α

θ

BA

C

A2

A1

a

a’

a2

a2’

a1

a1’

b

b’

ε


31 de 37

En la figura 7 se ha representado el cuerpo dispuesto sobre la cuna de rodillos. Se

ha destacado el posible error de circularidad de la sección transversal al eje del cuerpo

que contiene al c.d.m. De manera análoga se destaca el posible error de paralelismo

entre los ejes A1 y A2 que se definirán a continuación.

Explicamos la nomenclatura que se usará en el desarrollo de este procedimiento

de medida:

• Eje A1: es la intersección entre el plano de simetría del soporte de rodillos y el

plato de la balanza.

• Eje A2: es el eje del cuerpo a medir.

• Plano a-a’: es aquél que siendo perpendicular a A1, pasa por el centro de masas

G del cuerpo a medir.

• Plano a1-a1’: es aquél que siendo paralelo al plano a-a’, pasa por la primera fila

de rodillos.

• Plano a2-a2’: es aquél que siendo paralelo al plano a-a’, pasa por la segunda fila

de rodillos.

• Plano b-b’: es aquél que siendo perpendicular a A2, pasa por el centro de

masas G del cuerpo a medir.

• A: punto intersección del plano a-a’ y el eje A1.

• B: punto intersección del plano a-a’ y el eje A2.

• C: punto intersección del plano b-b’ y el eje A2.

• B’: proyección del punto B sobre el plato de la balanza.

• G’: proyección del centro de masas del cuerpo sobre el plato de la balanza.

• a: distancia entre los puntos O y A.

• b: viene representado en la figura 7. Es una magnitud dotada de signo, siendo

éste positivo si su orientación coincide con la dibujada en dicha figura.

• Los ángulos α, θ, ε y γ vienen señalados con claridad en la figura 7, por lo que

omitimos su descripción.

Está claro que la excentricidad buscada corresponde a:


32 de 37

CGe = [73]

Si llamamos ξ al ángulo que forman los vectores BG y CG , podemos escribir:

eBG =ξcos [74]

La ecuación de equilibrio de la balanza será en este caso:

( ) 0sincoscos

cos =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++ PebaMMWr QW θαγ

ξε [75]

Manteniendo constante el ángulo α, tomaremos dos medidas en sendas

orientaciones del cuerpo, que denominaremos γM y γm, de manera que γM se corresponda

con la lectura nM máxima algebraica (teniendo en cuenta el signo) visualizada en el

display y γm se corresponda con la lectura nm mínima algebraica visualizada en el

display, al hacer girar el cuerpo sobre los rodillos. Sea MM el par correspondiente a la

lectura nM y Mm el par correspondiente a la lectura nm. Las dos ecuaciones de equilibrio

son:

( ) 0sincoscos

cos =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++ PebaMMWr M

MMMMQMW θαγ

ξε [76]

( ) 0sincoscos

cos =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++ PebaMMWr m

mmmmQmW θαγ

ξε [77]

Si operamos [76] - [77] obtenemos:

( ) ( ) ( ) 0sincoscos

coscoscoscos =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−+− PebbaaMM

m

m

M

MmMmmMMmM θα

ξγ

ξγεε

[78]


33 de 37

Como podemos observar, este método no es formal por cuanto que no podemos

medir las magnitudes Ma , ma , Mε , mε , Mγ , mγ , Mξ , mξ , Mb y mb . Haremos las

siguientes consideraciones:

• Si el montaje del soporte lo hacemos de manera que 0=eθ y la medición la

efectuamos con un ángulo 2πα =e , es evidente que e

Mn y eMM se alcanzarán

para un ángulo γM en el entorno de 0, por lo que asumiremos: 0=eMγ , mientras

que emn y e

mM se alcanzarán para un ángulo γm en el entorno de π, por lo que

asumiremos: πγ =em .

• Si efectuamos el montaje del soporte de manera que los ejes A1 y X coincidan,

entonces podemos suponer:

o ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ+Δ−∈ επεπε

2,

2*M , siendo

2πε =e

M .

o ( ) ( )[ ]alala eeeeM Δ+−Δ−−∈ δδ ,* , siendo eee

M la δ−= .

o ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ+Δ−∈ επεπε

2,

2*m , siendo

2πε =e

m .

o ( ) ( )[ ]alala eeeem Δ+−Δ−−∈ δδ ,* , siendo eee

m la δ−= .

• También es razonable realizar las siguientes suposiciones:

o [ ]ξξξ ΔΔ−∈ ,*M , siendo 0=eMξ .

o [ ]ξξξ ΔΔ−∈ ,*m , siendo 0=emξ .

o [ ]bbbM ΔΔ−∈ ,* , siendo 0=eMb .

o [ ]bbbm ΔΔ−∈ ,* , siendo 0=emb .

Partiendo de la expresión [78], teniendo las últimas consideraciones estudiadas y

aplicando la teoría de errores llegamos a las expresiones para la medida e incertidumbre

que se resumen en la tabla siguiente:


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Incógnita e

Medida e

em

eMe

PnnKe

2)( −

−=

Incertidumbre ( ) εδ Δ−+Δ+Δ+Δ

≅Δ eee

e

e lbPPe

PMe

Intervalo de

incertidumbre { } eeeeemáx ee Δ+≤≤Δ− *,0

(Tabla 13)

Centrémonos a continuación en la sección a1-a1’. Esta tendrá un pequeño error de

circularidad (figura 8), debido a dos posibles causas: pequeñas deficiencias en el

torneado de la pieza y falta de paralelismo entre los ejes A1 y A2

La máxima distancia posible Δb1 entre el punto B1 y el plano de simetría de los

rodillos, podemos extraerla de la figura 9, donde ρ es el radio de los rodillos.

(Figura 8)

rM

rm

B1

Sección a1-a1’


35 de 37

(Figura 9)

Observando la figura 9 podemos escribir:

( )2

cos1drb M −+=Δ ζρ [79]

Si aplicamos el teorema del coseno al triángulo dibujado tenemos:

( ) ( ) ( ) ζρρρ cos2222MMm rddrr +−++=+ [80]

Si despejamos ( ) ζρ cosMr+ de la expresión anterior obtenemos:

( ) ( ) ( )[ ]222

21cos drrd

r mMM ++−+=+ ρρζρ [81]

Si combinamos [79] y [81] llegamos a:

( ) ( )d

rrb mM

2

22

1+−+

=Δρρ [82]

ρ+rM ρ +rm

Δb1

B1

d

ζ

Sección a1-a1’


36 de 37

La expresión anterior se puede escribir de la siguiente forma:

( )[ ]( )d

rrrrb mMmM

22

1−++

=Δρ [83]

Denominemos Δr1 al error de circularidad del cuerpo en la sección a1-a1’.

mM rrr −=Δ 1 [84]

En este punto cometeremos tan sólo un error de segundo orden si aproximamos el

promedio de rM y rm con el radio nominal de la sección a1-a1’, que llamaremos Nr , tal y

como se indica en la expresión siguiente:

2mM

Nrrr +

≅ [85]

Cometeremos también un error de segundo orden si sustituimos los valores

exactos de ρ y d (los cuales son desconocidos), por sus respectivos valores medidos eρ

y ed .

Atendiendo a estas consideraciones y combinando [83], [84] y [85] obtendremos:

11 rd

rb eN

e

Δ+

=Δρ [86]

Podemos efectuar el mismo análisis en la sección a2-a2’, llegando a una expresión

equivalente:

22 rd

rb eN

e

Δ+

=Δρ [87]

Puesto que los puntos B1, B y B2 pertenecen al eje A2, y el punto B está situado

entre los otros dos, es claro que:


37 de 37

{ }21, bbmáxb ΔΔ≤Δ [88]

Definamos Δr como:

{ }21, rrmáxr ΔΔ=Δ [89]

Entonces podemos acotar Δb de la siguiente forma:

rd

rb eN

e

Δ+

≤Δρ [90]

Llegando a este punto podemos reformular las expresiones de la tabla 13 en su

expresión definitiva, como se recoge en la tabla siguiente:

Incógnita e

Medida e

em

eMe

PnnKe

2)( −

−=

Incertidumbre ( ) εδρΔ−+Δ

++Δ+

Δ≅Δ ee

eN

e

e

e

e lrd

rPPe

PMe

Intervalo de

incertidumbre { } eeeeemáx ee Δ+≤≤Δ− *,0

(Tabla 14)

balanza centroscópica de simple eje -...

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