banach tarski

TedX: Banach Tarski Pseudo démonstration d’un

paradoxe géométrique hallucinant

@flornt

• EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS

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• Je ne suis pas un matheux ! • Mais …. • J’adore les maths !

DISCLAIMER !


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• Il s’agit d’une pseudo-démonstration ! • Mettez de côté la rigueur mathématique !

DISCLAIMER !


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Banach-Tarski


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• Un théorème, démontré en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski

Banach-Tarski


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• Il est possible de couper une boule de l'espace usuel R^3 en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près.

Banach-Tarski


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• WTF !? • Oui, mais les morceaux ne doivent pas

être mesurables ! • Ouf ! :)

Banach-Tarski


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• Dans la vraie vie, une sphère contient un nombre fini d’atomes

• Dans l’ensemble des nombre réels, il y’a une infinité de nombres entre [0 - 1]

Non mesurable ?


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• Soit une fonction f : f(x)= x * 2 • Appliquée pour chaque réel x de [0 - 1] • On obtient un réel y de [0 - 2] • On peut dire qu’il y’a autant de réels x que

de réels y, vu qu’il existe une relation entre les deux.

• Il y’a donc autant de réels dans [0 - 1] que dans [0 -2]

Non mesurable ?


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• Mais d’un autre côté, on peut dire aussi qu’il y’a deux fois plus de réels dans [0 - 2] que dans [0 -1]

• C’est un paradoxe, de la même espèce que Banach-Tarski

Non mesurable ?


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• Prenons une sphère: par exemple la terre • Deux axes de rotation • L’axe de rotation classique du pôle nord

au pôle sud • Un autre axe traversant l’équateur depuis

le point de longitude 0° au point de longitude 180°

Une sphère !


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• Faisons tourner cette sphère: • De façon à ne jamais retomber à la

position initiale en appliquant N fois la rotation

• Pour ça, on va choisir un angle irrationnel • Irrationnel: On ne peut pas l’exprimer

sous forme de fraction relative à un tour complet !

• Par exemple : Racine(2), Pi, Log(7)

Une sphère !


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• Ainsi en faisant tourner la sphère N-fois avec un angle irrationnel, on ne peut pas retomber sur la position de départ !

• Et ceci est valable pour les rotations sur les deux axes !

• On fixe donc un valeur irrationnelle à cet angle, sa valeur n’est pas intéressante.

Une sphère !


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• Introduisons une notation : • A : une rotation sur l’axe normal dans le

sens des aiguilles • B : une rotation sur l’autre axe dans le

sens des aiguilles • A-1 : une rotation sur l’axe normal dans le

sens inverse des aiguilles • B-1 : une rotation ur l’autre axe dans le

sens inverse des aiguilles

Une notation


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• Ainsi on peut désigner les mouvements • A B A-1 A-1 : • une rotation sur l’axe normal dans le

sens des aiguilles, suivie de: • une rotation sur l’autre axe dans le sens

des aiguilles, suivie de: • deux rotations sur l’axe normal dans le

sens inverse des aiguilles

Une notation


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• On peut simplifier quand une rotation annule la précédente : • A B A B B-1 A-1 • A B A A-1

• A B

Une notation


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• Par contre: ABA-1 != B • On ne peut pas annuler deux rotations

inverses si il y’a une rotation entre les deux !

Une notation


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• Soit S l’ensemble (infini) des successions de rotations possibles à partir de notre position de départ en utilisant l’angle irrationnel choisi.

• Dans S, on a pris soin de simplifier les rotations.

• Ainsi pour chaque élément de S, on aura une orientation différente de notre sphère.

Démonstration


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• On peut découper S en 4 sous-ensembles : • (set 1) : Toutes les rotations commençant

par A • (set 2) : Toutes les rotations commençant

par B • (set 3) : Toutes les rotations commençant

par A-1 • (set 4) : Toutes les rotations commençant

par B-1

Démonstration


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• Si on prend (set 3) : toutes les rotations commençant par A-1 • On sait que la première opération est A-1 • On sait donc que la deuxième opération

ne peut pas être A • On a simplifié les écritures des

rotations, on ne peut pas écrire A-1 A • C’est donc forcément A-1,B ou B-1 • Ce sont donc les sets 3, 2 et 4

Démonstration


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• Autrement dit: • (A suivi de(set 3)) s’écrit AA-1 suivi des

sets 2, 3 et 4 • (A suivi de (set 3)) = (set 2) + (set 3) +

(set 4) • S = (set 1) + (set 2) + (set 3) + (set 4) • S = (set 1) + (A suivi de (set 3))

Démonstration


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• On a écrit S, pour qu’il ne dépende que des sets 1 et 3

• S = (set 1) + (A suivi de (set 3)) • On peut faire de même avec B : • S = (set 2) + (B suivi de (set 4))

Démonstration


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• Pour l’instant on a réussi à exprimer l’ensemble des rotations S comme la somme de deux des sous-ensembles des rotations

• S = (set 1) + (A suivi de (set 3)) • S = (set 2) + (B suivi de (set 4))

Démonstration


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• Ainsi l’ensemble des rotations S est la somme de seulement 2 des 4 sous-ensembles des rotations

• Ça ressemble au paradoxe, mais …

Démonstration


25

• Mais ce ne sont que des rotations, on ne parle pas de surface

• Il s’agit juste de successions de rotations appliquées avec l’angle irrationnel choisi

Démonstration


26

• Depuis un point sur la surface, en appliquant toutes les rotations de S, on obtient un nombre infini de points.

• Mais cela ne forme pas toute la surface de la sphère !

• Il manque tous les points accessibles depuis: • Les autres valeurs d’angle irrationnels • Les angles rationnels

Démonstration


27

• On appelle réseau l’ensemble des points que l’on peut connecter par les rotations S

• Il existe un nombre infini de réseaux • L’ensemble de tous les points de tous

réseaux forme la surface de la terre

Démonstration


28

• On choisit pour chaque réseau un point au hasard • (L’axiome du choix nous le permet)

• On appelle M l’ensemble de ces points

Démonstration


29

• En appliquant l’ensemble S des rotations à l’ensemble des points M, on obtient la surface de la terre !

Démonstration


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• Du coup on peut diviser la surface en 4: • L’ensemble des points atteignables depuis

tout point de M par (set 1) -> (section 1) • L’ensemble des points atteignables depuis



tout point de M par (set 4) -> (section 4)

Démonstration


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• On peut exprimer la surface de la terre : • Surface = (section 1) + (section 2) +

(section 3) + (section 4)

Démonstration


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• On a déjà vu que : • A suivi de (set 3) == (set 2) + (set 3) +

(set 4) • De façon identique • (section 3 tournée de A) == (section 2) +

(section 3) + (section 4)

Démonstration


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• Surface = (section 1) + (section 3 tournée de A)

• Surface = (section 2) + (section 4 tournée de B)

Démonstration


34

• C’est généralisable aux volumes • En prenant tout l’espace en dessous de la

surface jusqu’au centre • Volume = (volume 1) + (volume 3 tourné

de A) • Volume = (volume 2) + (volume 4 tourné

de B)

Démonstration


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• Une démonstration simplifiée (en anglais) : h t tp : / /www. i r regularwebcomic .net /2339.html

• La démonstration complète : http://www.madore.org/~david/math/bantar.pdf

• L’axiome du choix : https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix

• h t t p s : / / f r . w i k i p e d i a . o r g / w i k i /Paradoxe_de_Banach-Tarski

Références

http://www.irregularwebcomic.net/2339.html

http://www.madore.org/~david/math/bantar.pdf

https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski


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Conclusion


37

Pas de temps pour les questions

?

Merci!

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