bande di energia perche esistono i livelli energetici? in meccanica quantistica le particelle hanno...
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BANDE DI ENERGIA
PERCHE’ ESISTONO I LIVELLI ENERGETICI?
In meccanica quantistica le particelle hanno anche una componente ondulatoria
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BANDE DI ENERGIA
Una particella confinata in una certa zona dello spazio può essere vista come un’onda stazionaria su una corda con estremi fissi
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BANDE DI ENERGIA
Naturalmente l’analogo degli estremi fissi della corda sono le pareti della scatola in cui è confinata la particella
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BANDE DI ENERGIA
Il punto fondamentale è che gli estremi devono essere fissi: ma gli unici punti fissi di un’onda sono i nodi
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BANDE DI ENERGIA
Questo significa che i nodi devono coincidere con gli estremi della corda
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BANDE DI ENERGIA
Ma la distanza tra due nodi vicini è pari a mezza lunghezza d’onda, ciò significa che la metà della lunghezza d’onda deve essere una frazione intera della distanza tra gli estremi della corda
λ/2
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BANDE DI ENERGIAIn formule, se λ è la lunghezza d’onda, L quella della corda, n un numero intero:
n
L
2
n
L2
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BANDE DI ENERGIA
Nel caso di una particella racchiusa in una scatola L è lo spigolo della scatola
n
L2
L
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BANDE DI ENERGIA
Ma la lunghezza d’onda è legata alla velocità dalla relazione di DeBroglie
mv
h
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BANDE DI ENERGIA
Combinando queste due e ricavandone la velocità si ottiene:
mv
h
n
L2
nmL
hv2
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BANDE DI ENERGIA
Nel caso di una particella che si muova liberamente tra le pareti della scatola l’energia è puramente cinetica
2
2
1mvE
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BANDE DI ENERGIA
Quindi, combinando le due formule, si ottiene:
2
2
1mvE n
mL
hv2
22
2
8n
mL
hE
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BANDE DI ENERGIA
Questa è la formula dei livelli energetici di una particella che si muove liberamente in una scatola
22
2
8n
mL
hE
n è il numero quantico principale
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BANDE DI ENERGIA
Non è, ovviamente, paragonabile alla formula di Bohr per l’atomo di idrogeno; in quel caso infatti l’elettrone non è libero
2
6,13
n
eVE
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BANDE DI ENERGIA
Nel legame metallico gli elettroni di valenza sono per certi versi liberi di muoversi nel reticolo degli ioni
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BANDE DI ENERGIA
D’altra parte essi risentono ancora fortemente del campo coulombiano generato dagli ioni
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BANDE DI ENERGIA
I livelli energetici nel campo coulombiano sono pochi e separati da un grosso salto di energia,
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BANDE DI ENERGIA
Nel caso dell’atomo di idrogeno, ad esempio, i livelli 1 e 2 sono separati da un salto di quasi 10 elettronvolt
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BANDE DI ENERGIA
Al contrario, i livelli della particella nella scatola sono moltis-simi ed estremamente ravvicinati
ENERGIA
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BANDE DI ENERGIA
I livelli energetici degli elettroni in un solido cristallino assumono una struttura intermedia tra i due casi:
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BANDE DI ENERGIA
Vi è un enorme numero di livelli molto ravvicinati, come nel caso della particella nella scatola……ma questi livelli sono raggruppati in BANDE DI ENERGIA, separate da intervalli molto ampi privi di livelli
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BANDE DI ENERGIA
Bande
Intervalli
ENERGIA
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BANDE DI ENERGIA
Bisogna inoltre ricordare che gli elettroni sono fermioni, quindi su ogni livello ce ne possono stare al più due con spin opposto
ENERGIA
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BANDE DI ENERGIA
Poiché ogni banda è formata da un numero grande, ma finito di livelli, ciò significa che le bande verranno riempite di elettroni dalla più bassa a salire
ENERGIA
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BANDE DI ENERGIA
La più alta banda piena si dice BANDA DI VALENZA.La prima banda vuota BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
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BANDE DI ENERGIA
L’intervallo tra banda di conduzione e banda di valenza si dice ENERGY GAPBANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
L’energy gap è tipicamente dell’ordine di alcuni elettronvolt, energia paragonabile a quella dei salti tra i livelli atomici
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
In un conduttore percorso da corrente l’energia degli elettroni è di due tipi:• energia termica, che origina il moto caotico degli elettroni nel reticolo cristallino•Energia elettrica, che genera il moto ordinato noto come corrente elettrica
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BANDE DI ENERGIA
L’energia termica degli elettroni, a temperature ordinarie, è dell’ordine di qualche centesimo di eV
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BANDE DI ENERGIA
L’energia che un generatore elettrico può fornire ad un elettrone è in genere molto più piccola di quella termica, non più di pochi decimillesimi di eV
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BANDE DI ENERGIA
Ricordiamo inoltre questo principio basilare: un elettrone può saltare da un livello ad un altro a due condizioni:• che il livello di destinazione sia libero• che gli sia fornita un’energia pari alla differenza di energia tra i due livelli
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BANDE DI ENERGIA
Ricapitoliamo poi le energia in gioco:
• Energy gap: qualche elettronvolt• Energia termica: qualche centesimo di elettronvolt• Energia elettrica: qualche decimillesimo di elettronvolt
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BANDE DI ENERGIA
Ne concludiamo quindi che
L’ENERGIA ELETTRICA NON PUO’ CONSENTIRE IL SALTO DA UNA BANDA ALL’ALTRA, MA SOLO TRA LIVELLI DELLA STESSA BANDA
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BANDE DI ENERGIA
Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza è totalmente occupata da elettroni mentre la banda di conduzione è vuota
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
Gli elettroni non possono acquistare energia elettrica perché non hanno livelli vuoti abbastanza vicini in cui saltare
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
Il corpo risulterà quindi un ISOLANTE
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza non è del tutto piena…
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
O quello equivalente in cui l’energy gap non esiste e le due bande sono fuse
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
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BANDE DI ENERGIA
In entrambi i casi gli elettroni possono acquisire anche minime quantità di energia elettrica in quanto hanno livelli liberi vicinissimi
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
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BANDE DI ENERGIA
In questo caso il corpo risulta un CONDUTTORE
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
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BANDE DI ENERGIA
Si è fin qui trascurato il ruolo dell’energia termica: pur essendo in media molto bassa alcuni elettroni potrebbero averne abbastanza per superare l’energy gap
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BANDE DI ENERGIA
Si avrebbero così livelli liberi in banda di valenza ed elettroni in banda di conduzione
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
Questo può avvenire di fatto solo se l’energy gap è piccolo, mentre se è grande l’effetto è insignificanteBANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
Le sostanze in cui nonostante la struttura a bande sia da isolante avviene la conduzione si dicono semiconduttori
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
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BANDE DI ENERGIA
Germanio e silicio hanno un energy gap pari rispettivamente a 0,67 e 1,1 eV, e sono i più noti semiconduttori
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BANDE DI ENERGIA
Il carbonio nella forma di diamante ha un energy gap di 5,5 eV ed è un ottimo isolante