bangun ruang
TRANSCRIPT
BANGUN RUANG
Makalah ini disusun dalam rangka memenuhi tugas kelompok dalam Mata Kuliah
Telaah II
Dosen Pembimbing: Abu Syafik, M. Pd
Disusun oleh :
Kelompok 1 / 4H
Nama Anggota:
1. Heru Sujatmiko Nugroho (102144056)
2. Iin Rachmadiyanti (102144057)
3. Indah Prawesti (102144058)
4. Khotmiyatun Ma’rifah (102144059)
5. M. Khotim Ansori (102144060)
6. Nur Aeni (102144061)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO
2012-2013
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke-hadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
makalah ini tanpa ada suatu halangan apapun.
Laporan ini dapat terwujud berkat bantuan dari berbagai pihak. Dalam
kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Abu Syafik, M.Pd., selaku dosen pembimbing mata kuliah Telaah II yang
telah membimbing dengan teliti dan penuh kesabaran.
2. Kedua orang tua tercinta yang telah mendidik dan membimbing penulis dari kecil.
3. Teman-teman yang telah membantu serta mendukung penulis dalam proses
pembuatan makalah ini.
Namun, penulis menyadari bahwa penulisan makalah ini masih sangat
jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran
dari teman-teman yang bersifat membangun dalam penyempurnaan makalah ini.
Semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi penulis dan para pembaca serta
merupakan salah satu bentuk pengabdian kita kepada Allah SWT.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Purworejo, Oktober 2012
Penulis
DIMENSI TIGA
A.Macam-macam Bangun Ruang :
1. Kubus :
Ciri-ciri Kubus :
1. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar
(ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,)
2. Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)
3. Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang
(AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG)
4. Semua sudutnya siku-siku
5. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang
4 diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF.
12 diagonal bidang = garis
AC,BD,EG,FH,AH,DE,BG,CF,AF,BE,CH,DG)
Volume (V) = s x s x s = s3
Luas (L) = 6 x s x s = 6 s2
Keliling = 12 x s
Panjang diagonal bidang = s2 + s2 = 2s2 = s √ 2
Panjang diagonal ruang = s2 + s2 + s2 = 3s2 = s √3
2. Balok:
Ciri-ciri Balok :
1. Alasnya berbentuk segi empat
2. Terdiri dari 12 rusuk
3. Mempunyai 6 bidang sisi
4. Memiliki 8 titik sudut
5. Seluruh sudutnya siku-siku
6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang
Volume = p x l x t
Luas = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt) }
Keliling = 4 x (p+ l + t)
Diagonal Ruang = √ p2+ l2+t 2
3. Limas
Ciri-ciri :
Luas alas = 12
alas x tinggi
Volume = 13
Luas alas x tinggi
Luas = Luas alas + (3 x luas tegak segitiga)
4. Kerucut
Ciri-ciri :1. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut
Luas selimut = π x r x sLuas alas = π x r2
Luas Permukaan kerucut = Luas alas + Luas Selimut= π x r2 + π x r x s= π r (r + s)
Nama Limas Sisi Rusuk Titik SudutLimas Segitiga 4 6 4Limas Segiempat 5 8 5Limas Segilima 6 10 6Limas Segienam 7 12 1
Volume = 13
x Luas alas x tinggi
= 13
x πx r2 x t
5. Bola
Ciri-ciri :
1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi
2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk
Volume = 43
π r 3
Luas = 4 π r 2
Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Benda berdemensi tiga memiliki tiga unsur, yakni :
a. Titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdemensi)
dan hanya ditentukan oleh letaknya saja. Titik disimbolkan dengan noktan
(•) dan biasanya diberi nama dengan huruf besar (kapital), misalnya A, B, C,
D dan lain sebagainya
b. Garis adalah kumpulan atau himpunan titik yang membentuk kurva
lurus. Garis merupakan bangun berdemensi satu, karena ukuran
(demensi) yang dimiliki hanya satu yaitu panjang, garis biasanya diberi
nama dengan huruf kecil, misalnya: p. q, r dan lain sebagainya
c. Bidang disebut bangun berdemensi dua, karena memeliki dua demensi yakni
demensi panjang dan demensi lebar, bidang tidak memeiliki dimensi
ketebalan.
1. Kedudukan Titik Terhadap Garis Dan Bidang
a. Kedudukan titik terhadap garis
Jika diperhatikan gambar di atas maka kedudukan titik terhadap garis ada
dua, yakni :
Titik terletak di garis atau garis yang melalui titik tertentu, seperti titik
A terletak di garis g, atau garis g melalui titik A.
Titik yang terletak di luar garis, atau titik tidak terletak di garis atau
dengan kata lain garis tidak melalui titik tertentu, contohnya titik B
tidak terletak di garis h, atau garis h tidak melalui titik B.
b. Kedudukan titik terhadap bidang
1) Titik Terletak pada Bidang Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang,
jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang.
Titik B terletak Pada Bidang α
g
A
h
B
2) Titik di Luar Bidang Sebuah titik dikatakan terletak di luar bidang, jika
titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang.
Titik B tidak terletak Pada Bidang α
2. Kedudukan Dua Garis
a. Dua Garis Sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar, jika dua buah garis
tersebut sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan.
Garis k dan l sejajar
b. Dua Garis Berpotongan Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika dua
buah garis tersebut sebidang dan mempunyai satu titik persekutuan, yang
dinamakan titik potong.
Garis k dan l berpotongan
c. Dua Garis Berimpit Dua garis dikatakan berimpit, jika jarak antara kedua
garis tersebut adalah nol.
Garis k dan l berimpit
d. Dua Garis Bersilangan Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua
buah garis tersebut tidak sebidang atau melalui kedua garis tersebut tidak
dapat dibuat sebuah bidang datar.
Garis g dan h bersilangan
3. Kedudukan Garis dan Bidang
a. Garis Terletak pada Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik pada garis
tersebut juga terletak pada bidang.
Garis g terletak pada bidang α
b. Garis Sejajar Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang tidak
mempunyai satu pun titik persekutuan.
Garis g sejajar bidang α
c. Garis Memotong (Menembus) Bidang
Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika garis dan
bidang mempunyai satu titik persekutuan yang dinamakan titik potong atau
titik tembus.
Garis g memotong bidang α di titik A
6.2 Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang
dimensi tiga
Yang dimaksud dengan jarak antara dua buah bangun adalah panjang
ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada
bangun-bangun tersebut.
A B
G1 G2
Jika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri. Maka G1 dan G2 dapat
dipikirkan sebagai himpunan titik-titik. Sehingga dapat dilakukan pemasangan
satu-satu antara titik-titik pada G1 dan G2. Jika AB adalah yang terpendek antara
semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut
jarak antara bangun G1 dan G2.
Konsep jarak yang pernah dipelajari dalam geometri bidang di antaranya
adalah:
Jarak titik A ke titik B dapat digambar dengan cara menghubungkan titik A
dan titik B dengan ruas garis AB (diperlihatkan pada gambar (a)). Jika d
adalah jarak titik A( x1 , y1 ) ke titik B( x2 , y2 ) maka jarak d dapat ditentukan
dengan menggunakan hubungan:
d=AB=√( x2−x1 )2+( y2− y1)2
Jarak titik P ke garis g dapat digambarkan dengan cara membuat garis dari
titik P dan tegak lurus ke garis g (diperlihatkan pada gambar (b)). Jika d
adalah jarak titik P( x1 , y1 ) ke garis g ≡ax+by+c=0; maka jarak d dapat
ditentukan dengan menggunakan hubungan:
d=|ax1+by1+c
√a2+b2 |
Konsep jarak yang pernah dipelajari dalam geometri bidang itu selanjutnya
akan diperluas untuk menggambar dan menghitung jarak dalam geometri ruang.
A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )
Gambar (a)
P ( x1 , y1 )
dg ≡ax+by+c=0
Gambar (b)
AB
C
D
E
F
GH
Cara menggambar jarak adlam geometri ruang pada dasarnya sama dengan cara
menggambar jarak dalam geometri bidang, yaitu cara menggambar garis hubung
terpendek. Perhitungan jarak dalam geometri ruang lebih banyak menggunakan
hubungan Teorema Pythagoras dab sifat-sifat bangun ruang. Berikut ini
pembahasan bagaimana cara menghitung jarak-jarak dalam ruang:
A. Jarak titik ke titik
Jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang daoat digambarkan dengan cara
menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB. Jarak titik A ke
titik B ditentukan oleh panjang ruas garis AB.
Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 5 cm. Titik P pertengahan
rusuk CG. Hitunglah jarak
a) titik A ke titik G
b) titik A ke titik P
c) titik B ke titik P
Jawab:
a) Jarak titik A ke titik G = panjang ruas garis AG
= panjang diagonal ruang AG
= 5√3 cm
b) Jarak titik A ke titik P = panjang ruas garis AP
AP=√ ( AC )2+ (CP )2
AP=√ (5√2 )2+( 52 )
2
A
B
C
D
E
F
G
H
P
α
A d B
AB
C
D
E
F
GH
AP=√50+ 254
AP=√ 2254
AP=152
=7,5 cm
c) Jarak titik B ke titik P = panjang ruas garis BP
BP=√ (BC )2+ (CP )2
BP=√ (5√2 )2+( 52 )
2
BP=√25+ 254
BP=√ 1254
BP=52√5 cm
B. Jarak titik ke garis
Jika sebuah titik berada diluar garis, maka ada jarak antara titik ke garis itu.
Jarak titik A ke garis g (titik A berada diluar garis g) dapat digambarkan
dengan menggunakan langkah-langkah berikut:
Buatlah bidang α yang melalui titik A dan garis g.
Pada bidang α tersebut buatlah garis AP tegak lurus terhadap garis g.
Ruas garis AP merupakan jarak titik A ke garis g yang diminta.
Contoh:
α
A
d
g P
AB
C
D
E
F
GH
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 5 cm. Titik P pertengahan
rusuk CG. Hitunglah jarak
a) Titik A ke garis FG
b) Titik C ke garis FH
c) Titik F ke garis BD
Jawab:
a) Jarak titik A ke garis FG adalah AF = 5√2 cm
b) Jarak titik C ke garis FH adalah CO, dengan O adalah pertengahan FH
Perhatikan ∆ COF siku-siku di O, CF = 5√2 cm dan OF = 52√2cm.
CO¿√ (CF )2+(OF )2
CO=√ (5√2 )2+( 52√2)
2
CO=√50−252
CO=√ 752
CO=52√6 cm
Jadi, jarak titik C ke garis FH adalah CO ¿52√6 cm
c) Jarak titik P ke garis BD adalah PR, dengan R pertengahan BD
Perhatikan ∆ RCP siku-siku di C, RC = 52√2 cm, dan PC =
52
cm
PR=√( RC )2+( PC )2
PR=√(52
√2)2
+( 52 )
2
PR=√ 252
+ 254
PR=√ 754
A
B
C
D
E
F
G
H
R
P
O
PR=52
√3 cm
Jadi, jarak titik P ke garis BD adalah PR=52
√3 cm
C. Jarak titik ke bidang
Jarak sebuah titik berada diluar bidang, maka ada jarak antara titik ke bidang
itu. Jarak titik A ke bidang α (titik A berada diluar bidang α) dapat
digambarkan menggunakan langkah-langkah berikut:
Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang α.
Garis g menembus bidang α di titik Q.
Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang α yang diminta.
Contoh:
Perhatikan gambar dibawah ini. Diketahui
balok ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm, AD
= 8 cm, dan AE = 6 cm. Titik O adalah titik
potong diagonal-diagonal bidang alas AC dan
BD. Hitunglah jarak
a) titik A ke bidang CDHG
b) titik O ke bidang ABFE
c) titik O ke bidang BCGF
Jawab:
a) Jarak titik A ke bidang CDHG adalah AD = 8 cm, sebab AD tegak lurus
bidang CDHG.
b) Jarak titik O ke bidang ABFE adalah OP = 12
PQ=12
(8 )=4 cm .
c) Jarak titik O ke bidang BCGF adalah OR = 12
SR=12
(10 )=5 cm.
α
Q
A
g
A
B
CD
EF
GH
D. Jarak dua garis sejajar
Misalkan diketahui garis g dan garis h sejajar. Jarak antara garis g dan garis
h yang sejajar itu dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah
berikut:
Buatlah bidang α yang melalui garis g dan garis h.
Buatlah garis k yang memotong tegak lurus terhadap garis g dan garis h,
misalnya titik-titik potong itu berturut-turut adalah titik A dan titik B.
Panjang ruas garis AB ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan garis h
yang sejajar.
E. Jarak dua garis bersilangan
Misalkan garis g dan garis h bersilangan. Jarak antara garis g dan garis h
yang bersilangan itu dapat digambarkan dengan langkah-langkah berikut:
Buatlah garis g’ sejajar garis g sehingga memotong garis h. gais g’ dan h
membentuk bidang α .
Buatlah garis k yang tegak lurus terhadap g’ dan h. garis k dan h
membentuk bidang β dan bidang β ditembus oleh garis g di titik P.
Buatlah garis melalui P dan sejajar garis k sehingga memotong garis h di
titik Q.
PQ tegak lurus terhadap garis g dan juga terhadap garis h, sehingga
panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak garis g dan garis h yang
bersilangan.
d
A
B
g
h
α
h
g’k
Q
d
P
β
A B C
g
F. Jarak garis dan bidang yang sejajar
Misalkan garis g dan bidang α sejajar. Jarak antara garis g dan bidang α yang
sejajar itu dapat digambarkan melalui langkah-langkah sebagai berikut:
Ambil sebarang titik P pada haris g.
Buatlah garis k yang melalui titik P dan tegak lurus bidang α.
Garis k memotong atau menembus bidang α di titik Q.
Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan bidang
α yang sejajar.
TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG
1. Uraian dan Contoh Tiga unsur pangkal dalam geometri, yaitu titik, garis, dan bidang.
Ketiga unsur tersebut, dapat juga disebut sebagai tiga unsur yang tak didefinisikan.
Sebuah titik dipikirkan sebagai suatu tempat/posisi dalam ruang. Titik tidak memiliki panjang maupun ketebalan. Sebuah titik direpresentasikan dengan sebuah noktah dan diberinama dengan suatu huruf kapital.
Sebuah garis dipikirkan sebagai suatu himpunan titik berderet yang panjang tak terbatas, tetapi tidak memiliki lebar. Seutas benang yang diregangkan, goresan pensil mengikuti tepi sebuah penggaris dapat difikirkan sebagai model sebuah garis. Untuk memberinama sebuah garis, dapat memanfaatkan dua buah titik pada garis tersebut, atau dengan sebuah huruf kecil. Cara menuliskannya: CA , BA , ´BC , ´AC , AB ,atau g, misalnya seperti pada gambar berikut:
α
αk
g
Q
Gambar 1
Sebuah bidang difikirkan sebagai suatu himpunan titik berderet dan berjajar secara rapat dan tak terbatas, tetapi tidak memiliki ketebalan. Permukaan sebuah meja, atau permukaan selembar kertas putih polos, yang dibentang ke segala arah tak terbatas, dapat difikirkan sebagai model fisik sebuah bidang. Sebuah bidang direpresentasikan dengan gambar sebuah jajargenjang, dan nama sebuah bidang dapat menggunakan sebuah huruf kapital atau huruf Yunani. Seperti yang ditampilkan pada gambar 2 berikut ini:
KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG
1. Kedudukan dua titik
Definisi dari dua titik berimpit adalah dua titik yang sama. Dua buah titik dapat terjadi keduanya berimpit atau keduanya berlainan. Dua buah titik yang berimpit dapat dipikirkan sebagai sebuah titik yang memiliki dua nama. Misalnya seperti disajikan pada Gambar 3 berikut:
2. Kedudukan titik dan garis
Definisi dari titik-titik segaris (kolinear) adalah titik-titik yang terletak pada satu garis (titik-titik yang tidak terletak pada satu garis disebut titik-titik tak segaris (non-kolinear)).
H
DB
A
F
E
C
α
Gambar 2
GFE
A
D
Gambar 3
Sebuah titik dan sebuah garis dapat terjadi sebuah titik tersebut terletak pada sebuah garis tersebut atau sebuah titik tersebut tidak terletak pada sebuah garis tersebut. Jika sebuah titik terletak pada suatu garis, maka dapat juga dikatakan garis tersebut melalui sebuah titik. Jika sebuah titik tidak terletak pada suatu garis, maka dapat dikatakan sebuah titik di luar sebuah garis.
3. Kedudukan titik dan bidang
Sebuah titik dapat terletak pada suatu bidang atau sebuah titik tidak terletak pada sebuah bidang. Jika sebuah titik A terletak pada suatu bidang, maka dapat dikatakan pula bidang- melalui titik A atau titik A pada bidang.
Aksioma
Sebarang tiga buah titik terletak pada sekurang-kurangnya satu bidang. Sebarang tiga buah titik non-kolinear terletak pada tepat satu buah bidang.
Definisi coplanar Titik-titik dikatakan koplanar (coplanar) atau sebidang jika dan hanya
jika ada suatu bidang yang memuat semua titik tersebut.
Q
LN
PS
R
O
K
Mg
Gambar 4
V
S
TR
Pada Gambar 5, titik R, titik S, dan titik T merupakan tiga buah titik yang non-kolinear, dan ketiganya terletak pada satu bidang, yaitu bidang-α. Dengan demikian, titik R, titik S, dan titik T dikatakan sebagai tiga buah titik yang koplanar. Sedangkan titik V tidak terletak pada bidang-α . Oleh karena itu titik R, titik S, titik T, dan titik V, merupakan empat buah titik yang non-koplanar.
4. Kedudukan dua buah garis.
Dua buah garis dapat terjadi keduanya sebidang atau tak-sebidang. Jika dua garis sebidang, maka dapat terjadi keduanya berpotongan atau sejajar. Jika dua buah garis tak-sebidang, maka keduanya dikatakan bersilangan.
Dua buah garis berbeda dikatakan saling sejajar jika dan hanya jika keduanya koplanar dan tidak berpotongan, dan dua buah garis berbeda dikatakan saling bersilangan jika dan hanya jika keduanya non-koplanar. Jika dua buah garis berbeda berpotongan, maka keduanya terletak pada tepat satu bidang.
5. Kedudukan garis dan bidang.Jika ada suatu garis dan suatu bidang, maka kejadian yang dapat
terjadi, yaitu garis tersebut memotong/menembus bidang tersebut, garis tersebut sejajar dengan bidang tersebut, atau garis tersebut terletak pada bidang tersebut.
6. Kedudukan dua buah bidang. Jika ada dua buah bidang, maka kejadian yang dapat terjadi, yaitu:
kedua bidang tersebut berpotongan atau kedua bidang tersebut saling sejajar.
Dua buah bidang dikatakan berpotongan, jika keduanya bersekutu tepat pada sebuah garis. Dengan demikian garis yang berekutu merupakan himpunan semua titik yang terletak pada ke dua bidang . Dua buah bidang dikatakan sejajar, jika keduanya tidak bersekutu pada satu titik pun.
7. Kedudukan tiga buah bidang.Jika ada tiga buah bidang, yang ketiganya berbeda, maka kejadian
yang dapat terjadi, yaitu ketiganya berpotongan atau ketiganya saling sejajar. Jika ketiga bidang tersebut berpotongan, maka dapat terjadi ketiganya berpotongan di satu titik, ketiganya berpotongan di satu garis, atau sepasang-sepasang dari ketiganya berpotongan pada satu garis dan terbentuk tiga buah garis yang saling sejajar.
Gambar 5
MENENTUKAN LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG
Dalam menentukan volume bangun ruang menggunakan pendekatan dengan mengaitkannya dengan daerah segi banyak. Dengan cara membagi bangun ruang itu menjadi bagian-bagian yang lebih keci.
1. Kubus
Volume: s× s× s=s3
Luas:
s× s×6=6 ∙ s2
2. Balok
Volume:
p ×l ×t
Luas:
( p×l )+( p×l )+(l× t )+ (l ×t )+( p×t )+ ( p× t )=2 ( p×l )+2 ( l× t )+2 ( p ×t )
¿2 {( p ∙l )+(l ∙ t )+( p ∙ t)}
3. Prisma
Dalam bangun ruang prisma terdapat banyak sekali macamnya, diantaranya prisma segi empat, prisma segi tiga, prima segi lima, prisma segi enam dll.
Volume:
L alas× t
s
s
s
t
lp
Pada rumus volume prisma untuk menentukan luas alas tergantung dari bentuk alas.
Luas:
(2× L alas )+(K alas× t)
4. Limas
Bangun ruang limas memiliki banyak macamnya, diantaranya limas segi tiga, limas segi empat dll.
Volume:
13
L alas× t
Luas:
L alas+Jum L sisi tegak
5. Kerucut
Volume:
13
L alas× t
Luas:
π ∙r (r+s )
di mana untuk mencari S
6. Bola
Volume:
rO
D
B
A
C
43
π ∙ r3
Luas:
4 π 2
7. Tabung
Volume:
L alas× t
Luas:
2πr (r+t)
MENENTUKAN PROYEKSI TITIK DAN GARIS PADA BIDANG
1. Proyeksi titik pada bidang
Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g menembus bidang H di titik P’. titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H.
2. Proyeksi garis pada bidang
,dengan r adalah jari-jari bola
t
r
g
P’
P
H •
•
g’ B’A’H
g
BA
••
••
Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik yang terletak pada garis itu ke bidang. Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’.
Fakta-fakta:
Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis.
Jika garis g tegak lurus h maka proyeksi garis g pada bidang h berupa titik.
Jika garis g sejajar bidang h maka g’ yaitu proyeksi garis g pada h dan sejajar garis g.
BEBERAPA ISTILAH DALAM GAMBAR BANGUN RUANG
A. Bidang Gambar
Bidang gambar adalah sebuah bidang sebagai tempat untuk
menggambar atau melukis bangun ruang. Contohnya adalah kertas
gambar, buku tulis atau papan tulis. Pada gambar di bawah ini, bidang
gambar diwakili oleh bidang S.
D C
BA
E F
GHS
B. Bidang Frontal
Bidang frontal adalah bidang gambar atau bidang-bidang lain yang
sejajar dengan bidang gambar. Pada gambar 7.64, bidang-bidang
frontalnya di wakili oleh bidang ABFE dan bidang DCGH.
Kekhususan bidang frontal
Unsur-unsur ruang (garis dan bidang) yang terletak pada bidang frontal
digambar dengan bentuk dan ukuran ang sebenarnya. Sebagai contoh,
bidang sisi ABFE adalah bidang frontal. Oleh karena itu, bidang sisi
ABFE dilukis menurut bentuk dan ukuran yang sebenarnya pada gambar
ruangnya, yaitu berbentuk persegi atau bujur sangkar dengan panjang sisi
3 cm.
C. Bidang Ortogonal
Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus terhadap bidang
frontal. Pada gambar 7.64, bidang-bidang orthogonal diwakili oleh bidang-
bidang ABCD,ADHE,BCGF, dan EFGH. Bentuk dan ukuran bidang
ortogonal pada gambar ruang tidak sama dengan bentuk dan ukuran
sebenarnya.
Misalnya pada bidang orthogonal ADHE, bidang ADHE sebenarnya
berbentuk persegi dengan panjang sisi 3 cm, tetapi dalam gambar ruang
dilukis kurang dari 3 cm. Sudut-sudut yang sebenarnya 900, tetapi dalam
gambar ruang dilukis sebagai sudut lancip ¿ dilukis kurang dari 900¿ atau
sudut tumpul (∠ ADH dan∠ AEH dilukis lebih dari 900 ) .D. Garis Frontal
Garis frontal adalah garis-garis yang terletak pada bidang frontal. Pada
gambar 7.64, garis frontalnya adalah AE, BF, CG, dan DH (disebut garis
frontal vertical) serta garis-garis AB, DC, EF, dan HG (disebut garis
frontal horizontal)
E. Garis Ortogonal
Garis ortogonal adalah garis-garis yang tegak lurus terhadap bidang
frontal. Panjang garis orthogonal yang dilukis dalam gambar ruang tidak
sama dengan panjang garis yang sebenarnya. Panjang garis orthogonal
yang dilukis dalam gambar ruang ditentukan oleh nilai perbandingan
orthogonal. Pada gambar 7.64, garis orthogonal diwakili oleh garis-garis
AD, BC, EH, dan FG.
F. Sudut Surut
Sudut surut adalah sudut dalam gambar ruang yang besarnya
ditentukan oleh garis frontal horizontal ke kanan dengan garis orthogonal
ke belakang. Sudut surut menunjukkan seberapa jauh miringnya garis
orthogonal terhadap garis frontal horizontal. Oleh karena itu, sudut surut
juga disebut sebagai sudut miring atau sudut menyisi.
Pada gambar 7.64, sudut surutnya adalah <BAD dan <FEH. Besar <
BAD dan < FEH yang sebenarnya sama dengan 900 , tetapi dalam gambar
ruang dilukis kurang dari 900 atau lebih dari 900.
G. Perbandingan Ortogonal
Perbandingan orthogonal adalah perbandingan antara panjang garis
orthogonal yang digambar dengan panjang garis orthogonal yang
sebenarnya. Pada gambar 7.64, perbandingan orthogonal dapat ditentukan
sebagai berikut:
Perbandingan orthogonal ¿panjang AD yangdigambar
panjang AD yang sebenarnya
Panjang garis orthogonal yang digambar seolah-olah merupakan
proyeksi dari panjang garis orthogonal yang sebenarnya. Oleh karena itu,
perbandingan orthogonal sering disebut sebagai perbandingan proyeksi.
Menjelaskan garis dan bidang dalam ruang
a. Garis
Suatu garis merupakan himpunan titik-titik tidak terbatas
banyaknya. Garis dikatakan berdimensi satu karena hanya
memiliki satu ukuran saja. Suatu garis biasanya dilukiskan terbatas
dan disebut juga dengan segmen garis (ruang garis) dan
dinotasikan dengan huruf kecil. Luas garis itu sendiri dinotasikan
dengan menyebut titik pangkal dan titik ujung garis tersebut,
sebagai contoh, garis g,h,l atau ruas garis AB, PQ.
Contoh: B
b. Bidang
Bidang merupakan himpunan titik-titik yang mempunyai panjang
dan luas, oleh karena itu bidang dikatakan berdimensi dua.
Penotasian suatu bidang diwakili oleh α, β, γ atau titik-titik sudut
bidang itu.
(a) (b)
Bidang α bidang ABCD
Menggambar dan menghitung sudut antara dua garis pada bangun
ruang
Kita masih ingat bahwa kedudukan garis g dan garis h dalam ruang
dapat berpotongan, berimpit, sejajar, atau bersilangan. Berdasarkan
kedudukan garis g dan garis h dalam ruang itu, dapat diamati fakta-
fakta:
A B
QP
A B
CD
α
Type equation here .
1. Dalam hal garis g berimpit dengan garis h atau garis g sejajar
garis h, maka sudut yang dibentuk oleh kedua garis itu sama
dengan nol.
2. Dalam hal garis g berpotongan dengan garis h atau garis g
bersilangan dengan garis h, maka terdapat sudut yang dibentuk
oleh kedua garis itu.
Cara mengukur menggambar dan menghitung) sudut antara dua
garis yang saling berpotongan dan dua sudut antara dua garis yang
bersilangan.
a. Sudut antara dua garis berpotongan
Misalkan garis g dan garis h berpotongan di titik P sehingga
kedua garis itu terletak pada sebuah bidang α. Sudut antara
garis g dan garis h yang berpotongan dapat digambarkan
melalui langkah-langkah sebagai berikut:
Ambil sebarang titik A pada garis g daan sebarang B pada
titik h.
Besar sudut APB ditetapkan sebagai ukuran sudut antara
garis g dan garis h yang berpotongan.
Proses menentukan sudut antara garis g dan garis h yang
berpotongan itu dapat divisualisasikan dengan gambar ruang
sebagaimana diperhatikan pada gambar 7-89a.
b. Sudut antara dua garis bersilangan besar sudut antara dua garis
yang bersilangan dapat ditentukan dengan menggunakan
pertolongan sifat sudut dalam geometri bidang datar. Sifat yang
dimaksud dikemukakan sebagai berikut.
Sifat: dua garis yang sama besar
Dua buah sudut dikatakan sama besar, jika kaki-kaki kedua
sudut itu sejajar dan searah.
Misalkan diketahui garis g dan garis h bersilanga. Garis g
menembus bidang α di P dan garis h terletak pada bidang α.
Sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat
digambarkan melalui langkah-langkah sebagai berikut:
Ambil sebarang titik O pada bidang α.
Melalui titik O, buatlah garis g' sejajar dengan garis g dan
garis h’ sejajar dengan garis h.
Sudut yang dibentuk oleh garis g' dan h' ditetapkan sebagai
ukuran besar sudut antara garis g dan gasih h yang
bersilangan.
Proses menentukan sudut antara garis g dan garis h yang
bersilangan itu dapat divisualisasikan pada gambar 7-89b.
Catatan:
1. Sudut antara garis g dengan garis h dilambangkan dengan
<(g,h)
2. Jika besar sudut <(g,h) = 90˚ serta
a. g dan h berpotongan, maka garis g daan garis h
dikatakan berpotongan tegak lurus.
b. g dan h bersilangan, maka garis g dan garis h dikatakan
bersilangan tegak lurus.
A
B
α
A
O
h'
hP
α
g'g
Dalam menggambarkan sudut antara dua garis g dan garis h
yang bersilangan, lebih praktis apabila titik O diambil salah
satu garis (garis g atau garis h).
1) misalkan titik O diambil pada garis g (titik O diambil tepat
berimpit dengan titik P)
melalui titik O, buatlah garis h’ yang sejajar dengan
garis h.
sudut yang dibentuk oleh garis g dan h’ merupakan
ukuran besar sudut anatara garis g dan garis h yang
bersilangan. Hal ini dapat diperhatikan dengan gambar
ruang pada gambar 7-90a.
2) misalkan titik O diambil pada garis h
melalui titik O, buatlah garis g' yang sejajar dengan
sudut yang dibentuk oleh garis g' dengan garis h
merupakan ukuran besar sudut antara garis g dan garis h
yang bersilangan. Hal ini dapat diperhatikan dengan
gambar ruang pada gambar 7-90b.
Sebagai contoh, aplikasikan bagaimana cara menentukan sudut
antara dua garis yang bersilangan dengan menggunakan
konsep-konsep yang telah dijelaskan di atas, simaklah ilustasi
berikut ini.
Ph'
O
αh
g'g
O
P
α
1. Pada kubus ABCD.EFGH dalam Gambar 7-91a, garis AD
dan garis BG merupakan dua garis yang bersilangan. Sudut
antara garis AD dan garis BG yang bersilangan itu
ditentukan oleh sudut antara garis AD dan garis AH (yaitu
<DAH), sebab garis AH sejajar dengan garis BG. Garis BC
dan garis AH juga merupakan dua garis yang bersilangan
itu ditentukan oleh sudut BC dan garis BG. Sudut antara
garis BC dan garis BG (yaitu <CBG), sebab garis BG
sejajar dengan garis AH.
Perhatikan bahwa besar <DAH = besar <CBG.
Mengapa demikian?
2. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD dalam gambar 7-
91b, garis TA dan garis DC merupakan dua garis
bersilangan. Sudut antara garis TA dan garis DC yang
bersilangan itu ditentukan oleh sudut antara garis TA dan
garis AB (yaitu <CBG), sebab garis AB sejajar dengan
garis DC.
Menggambar dan menghitung sudut antara garis dan bidang pada
bangun ruang
H
E F
G
D C
BA
αA
α
T
D C
B
Kita ingat kembali bahwa kedudukan antara garis dan bidang dalam
ruang kemungkinannya adalah:
1. Garis terletak pada bidang,
2. Garis sejajar bidang, dan
3. Garis memotong atau menembus bidang.
jika sebuah garis memotong atau menembus bidang, maka terdapat
ukuran sudut yang dibentuk oleh garis atau bidang itu. Misalkan
bahwa garis g memotong bidang α di titik tembus P. sudut antara garis
g dan bidang α yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-
langkah sebagai berikut:
a. Ambil sebarang titik Q pada garis g.
b. Melalui titik Q, buatlah garis h yang tegak lurus terhadap bidang α.
Garis h ini menembus bidang α di titik Q'.
c. Sudut QPQ' ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g
dan bidang α yang berpotongan.
Proses menentukan sudut antara garis g dan bidang α yang berpotongan itu
dapat divisualisasikan dengan gambar ruang sebagaimana diperlihatkan
pada gambar 7-93.
Catatan:
Berdasarkan paparan di atas, sudut antara garis dan bidang yang
berpotongan dapat didefinisikan sebagai berikut.
Defiisi: sudut antara garis dan bidang yang berpotongan
1. Garis g' yang melalui P dan Q' pada gambar 7-93 disebut proyekssi garis g
pada bidang α.
2. Sudut antara garis g dan bidang α dilambangkan dengan <(g, bidang α)
g'α
Q
h
P
g
sebagai contoh aplikasi bagaimana cara menentukan ukuran sudut ruang
yang dibentuk oleh garis dan bidang yang berpotongan, simaklah ilustrasi
berikut ini.
1. Kubus ABCD,EFGH pada Gambar 7-94a, garis diagonal BH
memotong bidang alas ABCD. Sudut antara garis BH dengan
bidang alas ABCD atau <(BH, bidang ABCD), ditentukan oleh
sudut yang dibentuk oleh garis BH dan garis BD (yaitu <BDH),
sebab garis BD merupakan proyeksi dari garis BH pada bidang alas
ABCD.
2. Limas segiempat beraturan T.ABCD pada gambar 7-94b, rusuk sisi
TB memotong bidang alas ABCD. Sudut antara garis TB dengan
bidang alas ABCD atau <(TB, bidang ABCD) ditentukan oleh
sudut yang dibentuk oleh garis TB dan garis BO (yaitu <TBO),
sebab garis BO merupakan proyeksi dari garis TB pada bidang alas
ABCD.
Contoh soal 36:
Kubus ABCD-EFGH dengan panjang rusuk 6cm.
a) Hitunglah besar <(AH, bidang ABCD)
sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh
garis g dengan proyeksinya pada bidang α.
D C
BA
E F
H G
T
D C
BA
b) Jika sudut antara diagonal ruang AG dengan bidang alas ABCD adalah
α, hitunglah:
i. Sin α
ii. Cos α
iii. Tan α
Jawab:
a) <(AH, bidang ABCD) = <DAH, yaitu sudut yang dibentuk oleh
gari AH dengan garis AD, sebab AD adalah proyeksiAH pada
bidang ABCD (perhatikan Gambar 7-95a).
b) ∆ADH adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga <DAH = 45˚.
c) <(AG, bidang ABCD) = < CAG, yaitu sudut yang dibentuk oleh
garis AG dan garis AC, sebab AC adalah proyeksi AG pada bidang
ABCD (perhatikan gambar 7-95a).
d) ∆ ACG merupakan segitiga siku-siku di C dengan AC = 6√2 cm,
AG = 6√3 cm dan CG = 6 cm.
Dengan mengambil sinus, cosines, dan tangent sudut α pada
∆ ACG, diperoleh:
(i) Sin α ¿CGAG
= 6
6√3 =
1
√3 =
13√3
(ii) Cos α = ACAG
= 6√26√3
= √2√3
= 13√6
(iii) Tan α = CGAC
= 6
6√2 =
1
√2 =
12
√2
CD
F
GH
E
A
D
H G
FE
C
B
Menggambar Dan Menghitung Sudut Antara Dua Bidang Pada
Bangun Ruang
Kita ingat kembali bahwa kedudukan dua bidang dalam ruang
kemungkinannya adalah:
1. Dua bidang berimpit
2. Dua bidang sejajar
3. Dua bidang berpotongan
Jika dua bidang berimpit atau dua bidang sejajar, maka sudut yang
dibentuk oleh dua bidang yang berimpit atau dua bidang yang sejajar
itu sama dengan nol. Tetapi jika dua bidang itu berpotongan, maka
terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang
berpotongan itu.
Misalkan bahwa bidang α dan bidang β berpotongan pada garis potong
(α,β). Sudut antara bidang α dan bidang β yang bepotongan dapat
diteentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:
a. Ambil sebarang titik P pada garis potong (α,β).
b. Melalui titik P, buatlah garis PQ pada bidang α dan PR pada bidang
β yang masing-masing tegak lurus dengan garis potong (α,β).
c. Sudut PQR ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidang α dan
bidang β yang berpotongan.
Perhatikan bahwa sudut PQR merupakan sudut yang dibentuk oleh
perpotongan garis PQ dengan garis PR.
A B
(α,β) ((ααα,α
Q
S
R
P
β
α
Berdasarkan papararan di atas, sudut antara dua bidang yang
berpotongan dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi: sudut antara dua bidang berpotongan
Dalam menentukan sudut antara bidang α dan bidang β (bidang α dan
bidang β berpotongan) yang telah dibicarakan di atas, ada beberapa
istilah dan ketentuan yang perlu dipahami. Beberapa istilah dan
ketentuan itu diantaranya adalah:
1. Sudut QPR yang menyatakan ukuran sudut antara bidang α dan
bidang β yang berpotongan dinamakan sebagai sudut tumpuan.
Bidang PQRS yang memuat sudut tumpuan dinamakan sebagai
bilangan tumpuan.
2. Jika α mewakili bidang ABC dan β mewakili bidang BCD, maka
sudut tumpuan antara kedua bidang itu dituliskan sebagai
<A(BC)D atau <A.BC.D
3. Jika besar sudut antara bidang α dan bidang β yang berpotongan itu
sama dengan 90˚, maka dikatakan bidang α tegak lurus bidang β
dan sebaliknya atau kedua bidang saling tegak lurus sesamanya.
Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang
dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidng
pertama dan sebuah garis lagi pada bidang kedua), garis-garis itu
tegak lurus terhaadap garis potong antara kedua bidang tersebut.
4. Jika sudut antara dua bidang yang saling berpotongan itu bukan
sudut istimewa, maka yang dihitung cukup nilai perbandingan
trigonometri (sinus, kosinus, atau tangent) dari sudut itu.
5. Rumus-rumus perbandingan trigonometri dan hubungan teorema
PPhytagoras sering digunakan sebagai pertolongan untuk
menentukan besarsudut antara dua bidang yang saling berpotongan
itu.
B. Menggambar irisan bangun ruang
a. Melukis bidang datar pada bangun ruang
Irisan atau penampang terjadi karena suatu bidang memotong suatu
bangun ruang. Bidang irisan yang dimaksud kemudian disebut dengan
bidang alpha (α).
Definisi 1:
Penampang atau irisan adalah suatu daerah bidang datar yang
dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan sisi dari bangun
ruang. Penampang atau irisan membagi bangun ruang menjadi dua
bagian.
Definisi 2:
Sumbu afinitas (garis dasar) adalah garis potong antara bidang
irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya.
Gambar 1. Ilustrasi bidang irisan
Pertanyaan konsep:
Manakah alas dari sebuah kerucut?
Manakah alas dari sebuah limas?
Manakah alas dari sebuah kubus?
Manakah alas dari sebuah balok?
Catatan:
Bidang yang berwarna abu-abu adalah bidang alpha yang dimaksud.
b. Irisan bidang alpha melalui 3 titik tak segaris.
Teorema 1:
Melalui 3 titik tak segaris, dapat dibuat tepat 1 bidang.
contoh:
Permasalahan
Lukiskan bidang alpha yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus
ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R adalah masing-masing titik tengah
AE, AB, dan BC. Panjang rusuk kubus adalah 6 cm.
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, saya akan menjelaskan
langkah-per-langkah proses melukisnya. Perhatikan, saya tak menuntut
saudara untuk melukis dengan bentuk stereometris, jadi lukis kubus
seefisien mungkin.
Langkah-langkahnya:
Melukis kubus lengkap.
Lukis kubus ABCD.EFGH dengan ukuran 6 cm, lengkap dengan titik
P, Q, dan R.
Menemukan sumbu afinitas.
Karena ketiga titik sudah jelas, maka langkah selanjutnya adalah
menghubungkan ketiga titik tersebut.
Perhatikan bahwa QR merupakan garis potong bidang alpha dengan
alas kubus. Dengan demikian, garis QR merupakan sumbu afinitas.
Selanjutnya perpanjang sumbu afinitas sampai panjang yang cukup.
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong dengan sisi ABCD.
Selanjutnya proses yang lebih mudah adalah mencari garis
potong bidang alpha dengan sisi ADHE.
Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi yang lain (dalam
proses ini mendahulukan sisi ADHE, saudara silahkan mencoba
dengan sisi yang lain terlebih dahulu). Perhatikan bahwa titik P telah
terletak pada bidang ADHE dan P terletak pada bidang alpha.
Jelas titik P merupakan titik potong antara bidang alpha dengan sisi
ADHE. Artinya untuk menemukan garis potong bidang alpha dengan
sisi ADHE, sukup ditemukan 1 titik yang lain yang merupakan titik
potong bidang alpha dan bidang ADHE.
teorema :
melalui 2 titik, dapat dibuat tepat 1 garis)
Untuk membuat garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE,
perpanjang rusuk AD hingga memotong sumbu afinitas dan titik
potongnya adalah titik M1.
Tugas:
Hubungkan M1 dan P sampai memotong HE. Sebut perpotongan M1P
dan HE dengan nama titik U. Hasil lukisan adalah sebagai berikut:
Catatan:
Sekarang saudara telah memiliki garis potong bidang alpha dengan sisi
ADHE.
Langkah selanjutnya lebih mudah dengan membuat garis potong
bidang alpha dengan sisi CDHG.
Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.
Seperangkat tugas yang harus dikerjakan:
Perpanjang DH dan PU, sehingga berpotongan di M2 Perpanjang
DC sehingga berpotongan dengan sumbu afinitas di M3.
Pertanyaan:
a. Apakah M2 terletak di CDHG?
b. Apakah M2 terletak di bidang alpha?
c. Kalau begitu, disebut apakah M2?
d. Apakah M3 terletak di CDHG?
e. Apakah M3 terletak di bidang alpha?
f. Kalau begitu, disebut apakah M3?
g. Saya akan menghubungkan M2 dengan M3.
h. Apakah M2.M3 memotong GH?
i. Apakah M2.M3 memotong CG?
Sebut titik potong M2.M3 dan GH dengan sebutan titik T, dan sebut
titik potong M2.M3 dan CG dengan sebutan titik S.
Gambar lukisan kondisi di atas adalah sebagai berikut?
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong hampir ke semua sisi.
Langkah terakhir adalah menguhungkan RS dan TU, dan bidang
alpha yang dimaksud adalah PQRSTU.
Menggambar relasi dan Fungsi
1. Kubus
Contoh :
Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuknya 3 cm,
bidang frontal sisi ABFE dan AB horizontal, sudut surut 30 , dan⁰
perbandingan 2/3 orthogonal.
Penyelesaian:
Langkah-langkah untuk menggambar kubus ABCD.EFGH adalah sebagai
berikut:
1. Gambar garis frontal horizontal
AB yang panjangnya 3 cm dan
garis frontal vertical AE yang
panjangnya 3cm, kemudian
buatlah bidang frontal yaitu sisi
ABFE, gambarnya berbentuk
persegi dengan panjang rusuk-
rusuknya 3cm.
2. Dari titik A kita buat ruas garis
yang membentuk sudut 30⁰
dengan rusuk AB, yaitu sudut
surut sebesar 30 . Dengan⁰
perbandingan proyeksi 2/3
maka panjang garis orthogonal
pada gambar adalah 2/3 AD x 3
cm = 2 cm. Tarik garis sejajar
AD dari B, F, dan E dengan
ukuran garis yang sama.
3. Gambar rusuk CG dan DH yang
sama dan vertikal dengan garis
AE dan BF. Kemudian
hubungkan rusuk DC dan HG
yang sama dan horizontal
dengan garis AB dan DF.
3cm
3cm
F
BA
E
3cm
3cm
D
C
FE
BA
G
H
2 cm
30⁰
G H
B
C2 cm
30⁰
F
3cmA
3cm
E
D
2. Balok
Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh 6 bidang sisi berbentuk persegi
panjang yang sepasang-sepasang saling berhadapan dan kongruen.
Contoh
Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen.
Balok mempunyai 12 rusuk.
4 buah rusuk yang sejajar sama panjang.
Balok mempunyai 8 titik sudut.
Contoh 1:
Gambar balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 4 cm, AD = 2 cm, dan AE
= 3 cm. Bidang frontal sisi ABFE dan AB horizontal, sudut surut 40 , dan⁰
perbandingan orthogonal ½.
Penyelesaian:
Langkah-langkah untuk menggambar balok ABCD.EFGH adalah sebagai
berikut:
1. Gambar garis frontal horizontal
AB yang panjangnya 4 cm dan
garis frontal vertical AE yag
GH
BA
CD
FE
4 cm
3 cm
A B
FE
panjangnya 3 cm, kemudian
bidang frontal yaitu sisi ABFE,
gambarnya berbentuk persegi
panjang.
2. Gambar sudut surut yang
dibentuk oleh rusuk AB dan
rusuk orthogonal AD besarnya
40 , dengan perbandingan⁰
proyeksi sepanjang ½ AD x 2
cm = 1 cm. Tarik garis sejajar
AD dari B, F, dan E dengan
ukuran garis yang sama.
3. Gambar rusuk CG dan DH yang
sama dan vertikal dengan garis
AE dan BF. Kemudian
hubungkan rusuk DC dan HG
yang sama dan horizontal
dengan garis AB dan DF
sehingga diperoleh gambar
ruang balok.
3. Limas
Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh segitiga-segitiga yang bertemu
pada sebuah titik dan sebuah segi banyak yang disebut bidang alas. Limas teratur
adalah limas yang alasnya berbentuk segi banyak beraturan dan proyeksi titik
puncaknya berimpit dengan titik pusat lingkaran luar bidang alasnya.
3 cm
1 cm
4 cm
40⁰
GH
BA
CD
FE
G
4 cm
3 cm
1 cm
40⁰
A B
C
FE
D
H
Limas adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas segi banyak dan
dari bidang alas tersebut dibentuk suatu sisi berbentuk segitiga yang akan
bertemu pada satu titik.
Nama limas ditentukan oleh bentuk alasnya.
Limas beraturan yaitu limas yang alasnya berupa segi beraturan.
Tinggi limas adalah garis tegak lurus dari puncak limas ke alas limas.
Macam-macam bentuk limas :
1. Limas segitiga alasnya berbentuk segitiga
2. Limas segiempat alasnya berbentuk segiempat
3. Limas segilima alasnya berbentuk segilima
4. Limas segienam alasnya berbentuk segienam
Nama Limas Sisi Rusuk Titik Sudut
Limas Segitiga 4 6 4
Limas Segiempat 5 8 5
Limas Segilima 6 10 6
Limas Segienam 7 12 7
T
A
CD
B
Limas segitiga Limas segienam Limas segiempat
Contoh 1:
Limas segiempat T.ABCD dengan panjang AB = AD = 4 cm, tinggi limas 3
cm, titik E dan F merupakan titik tengah rusuk AD dan BC. Gambarlah limas
tersebut dengan bidang TEF frontal dan EF horizontal, sudut surut 30 , dan⁰
perbandingan orthogonal ½.
Penyelesaian :
Langkah-langkah untuk menggambar limas segiempat T.ABCD adalah
sebagai berikut :
1. Gambar garis frontal EF
horizontal yang panjangnya
4 cm kemudian cari titik
tengah EF buatlah tinggi
limas melalui titik tengah
EF setinggi 3 cm. Buatlah
garis frontal miring TE dan
TF sehingga membentuk
bidang frontal TFE.
2. Gambar sudut surut 30⁰
yang dibentuk oleh garis g
yang melalui titik E dan
garis EF, kemudian gambar
garis orthogonal AD dan
BC dengan perbandingan
orthogonal ½ maka 4 cm x
½ = 2 cm. Tarik garis titik
4 cm
T
OE F
3 cm
C
B
30⁰
2 cm
4 cm
FOE
T
3 cmg
D
A
AB dan CD yang akan
membentuk bidang ABCD.
3. Hubungkan titik T dengan
titik-titik A, B, C, dan D
sehingga diperoleh gambar
ruang limas segiempat
T.ABCDseperti disamping.
7.6 Menggambar Irisan Suatu Bidang dengan Bangun Ruang
7.6.1 Pengertian Irisan dan Sumbu Afinitas
A. Pengertian Irisan
G
C
BA
30⁰
2 cmFOE
T
4 cm
3 cm
D
B
αK L
MNE
GH
CDA
P Q
F
Gambar 0.1
Perhatikan kubus ABCD EFGH di atas!
Panjang rusuk AB = 4cm. Titik K dan L adalah pertengahan rusuk AE dan BF,
titik M pada rusuk CG sehingga CM = 34
CG = 34
x 4cm = 3cm.
Melalui titik-tik K, L, dan M dibuat bidang α. Bidang α memotong sisi
ABFE pada garis KL, memotong sisi BCGF pada garis LM, memotong sisi
CDHG pada garis MN, dan memotong sisi ADHE pada garis KN.
Garis-garis potong KL, LM, MN dan KN membentuk bidang segiempat
KLMN. Segiempat KLMN inilah yang dimaksud irisan atau penampung
antara bidang α dengan kubus ABCD EFGH. Irisan itu membagi kubus
ABCD EFGH menjadi dua bagian, yaitu bagian bangun ruang ABCD KLMN
dan bagian bangun ruang KLMN EFGH. Jadi dapat disimpulkan bahwa:
Irisan antara bidang dengan bangun ruang adalah sebuah bangun datar yang
dibatasi oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang-bidang sisi
dari bangun ruang, sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua
bagian.
B. Pengertian Sumbu Afinitas
Perhatikan kembali gambar 0.1 di atas!
Bidang irisan KLMN berpotongan dengan bidang atas ABCD pada garis
potong PQ. Garis potong PQ disebut sumbu afinitas atau garis dasar atau garis
koliniasi. Perhatikan bahwa sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan pada
bidang alas. Dengan demikian, sumbu afinitas dapat didefinisikan sbb:
Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas
bangun ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan
bidang alas.
7.6.2 Menggambar Irisan Bangun Ruang
A. Menggambar Irisan Bangun Ruang
Contoh:
Gambar 0.2
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4cm. Titik K pada rusuk
AE sehingga panjang AK = 3cm, titik L pada rusuk BF sehingga panjang BL
= 1cm. Bidang α melalui titik-titik H, K, dan L. Gambarlah irisan antara
bidang α dengan kubus ABCD EFGH.
Jawab:
Secara umum ada dua cara untuk mnggambar irisan antara bidang dengan
bangun ruang, yaitu:
Cara 1 : Dengan menggunakan sumbu afinitas.
Cara 2 : Dengan menggunakan sifat titik potong diagonal bidang irisan.
Cara 1 : Dengan sumbu afinitas
Untuk menggambar irisan dengan menggunakan sumbu afinitas, diperlukan
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Gambarlah sumbu afinitasnya (perhatikan gambar 0.2.a)
Titik HL dan KLmenembus bidang alas ABCD di titik P dan Q.
Garis PQ bertindak sebagai sumbu afinitas.
QP
L
K
GH
FE
D C
BA
Keterangan:
Garis-garis HL, KL, dan HK terletak pada bidang α, sehingga titik
tembusnya dengan bidang alas ABCD terletak pada sumbu afinitas.
Sumbu afinitas dapat digambar jika kita dapat menentukan sekurang-
kurangnyadua titik tembus antar garis-garis tadi dengan bidang alas
ABCD. Dalam contoh ini kita pilih garis HL dan garis KL yang
menembus bidang alas ABCD di titik P dan titik Q.
2. Gambarlah garis potong bidang α dengan bidang sisi BCGF (gambar
0.2.b)
Garis CB memotong sumbu afinitas PQ di titik R.
Garis RL memotong rusuk CG di titik M, sehingga LM adalah garis
potong bidang α dengan bidang sisi BCGF.
Keterangan:
Garis potong bidang α dengan bidang sisi BCGF melalui titik L dan
menembus bidang alas ABCD di sebuah titik yang terletak pada sumbu
afinitas. Karena garis potong terletak pada bidang BCGF, maka titik
tembusnya dengan bidang alas ABCD ditentukan oleh titik potong garis
CB dengan sumbu afinitas PQ, yaitu titik R. Dengan demikian, garis
potong melalui titik R dan L serta memotong rusuk CG di titik M.
3. Gambarlah garis potong bidang α dengan bidang sisi CDHG, yaitu HM.
4. Garis potong HK, KL, LM, dan HM membentuk segiempat HKLM.
Segiempat HKLM adalah irisan antara bidang α dengan kubus ABCD
EFGH yang diminta (perhatikan bagian yang diraster pada gambar 0.1.b)
Sumbu afinitasR
QP
M
L
K
GH
E
D
BA
F
C
QP
L
K
GH
FE
D C
BA
Gambar 0.2.a Gambar 0.2.b
Cara 2 : Dengan menggunakan sifat titik potong diagonal bidang irisan
Garis potong bidang α dengan sisi BCGF melalui titik L dan memotong rusuk
CG pada sebuah titik. Misalkan titik itu adalah titik M. Titik M dilukis dengan
cara sbb:
Garis KM dan garis HL terletak pada bidang ACGE dan bidang BDHF, kedua
bidang ini berpotongan pada garis persekutuan PQ. Dengan demikian, garis
KM dan HL haruslah berpotongan di sebuah titik yang terletak pada garis
persekutuan PQ. Karena HL memotong garis persekutuan PQ di O maka KM
juga berpotongan di O. Jadi, titik M merupakan titik potong antara
perpanjangan KO dengan rusuk CG.
Setelah titik M diperoleh, irisan bidang α dengan kubus ABCD EFGH
adalah segiempat HKLM (peratikan bagian yang dirasfer pada gambar 0.1.c)
Peratiakan bahwa titik M diperoleh setelah titik O ditentukan. Titik O
merupakan titik potong diagonal-diagonal KM dan HL (diagonal-diagonal
bidang irisan). Oleh karena itu, cara ini dikatakan menggunakan sifat titik
potong diagonal bidang irisan.
Sifat irisan pada kubus:
Dalam contoh di atas, sisi ABFE dan sisi DCGH adalah berpasangan dan sejajar,
sehingga garis-garis potong KL//HM. Begitu pula sisi ADHE dan sisi BCGF,
sehingga garis potong KH//LM.
L
Q
O
P
MK
H G
E
D C
BA
F
Gambar 0.2.c
Latihan Soal!
1. Perhatikan balok ABCD EFGH di bawah ini!
Tentukan:
a. Jarak garis AB ke garis CD
b. Jarak garis FH ke garis BD
c. Jarak garis AB ke garis GH
2. Limas beraturan T.ABCD dengan AB = 2cm dan rusuk tegaknya √3 cm.
Tentukan besar sudut antar bidang TAD dan bidang TBC!
3. Diketahui sebuah kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4cm. Titik K
terletak pada rusuk AE sehingga AK = 14
AE, titik L terletak pada rusuk AB
sehingga AL : LB = 1 : 3, dan titik M adalah pertengahan rusuk CD. Bidang α
melalui titik-titik K, L dan M. Gambarlah irisan bidang α dengan kubus itu.
FE
GH
B
CD
A
2 cm
4 cm6 cm
B
T
CD
A