Bank Runs, Deposit insurance, and liquidityDouglas W. Diamond & Philip H. Dybvig

Journal of Political Economy – June 1983, vol 91, no. 3 , pp 401-19

DINH Thi Yen LyMaster 111

Introduction

Exemple « D’un petit rien a une course a la banque»

Modèle de Diamond et Dybvig

Modèle de Diamond et Dybvig

Demande de la liquidité

Rôle de la banque

Bank runs

Assurance pour des dépôts et suspension de convertibilite

Présentation générale du modèle Temps: 3 moments

◦ T = 0 , T= 1 , T= 2

Agents : ◦ Investisseurs/ déposants = un continuum (0, 1) des

agents, de 2 types: Impatients (type 1)- avec une fraction t 𝛜 (0,1) Patients ( type 2) – avec une fraction 1-t

Une dotation initiale = 1, aversion de risque, maximiser leur utilité.

◦ Les producteurs

◦ Les banques

Présentation générale du modèle Investissement et rendement :

À partir de T=1 on a 2 options différentes : (0,R) le choix des agents patients ( type 2) ( 1,0) le choix des agents patients ( type

2)

Fonction d’utilite de chaque option:

U= ρ est facteur d'escompte

1 ≥ ρ > 1/R

A T= 0, un agent qui estime leur rendement dans future ( a T= 2), peut se mettre devant ces 2 options. Esperance de l’utilite

E(U) = t u(r1) + ρ(1-t) u(r2)

Présentation générale du modèle

Idée Pour qu’un projet soit rentable au maximum, il faut les laisser aboutir, il doit dans ce cas exister une fraction fixe des agents voulant laisser leur argent dans les projets jusqu’à T=2, sans retirer en avance.

On va considérer les 3 situations différentes des agents pour voir si cela est possible:

1/ En autarcie2/ Avec l’existence d’un marche

financier3/ Avec l’existence d’une banque

En autarcie

Comportement des agents en autarcie – une situation inefficiente Supposons qu’il existe initialement une fraction des agents

qui veulent laisser leur argent dans les projets jusqu’à T=2, on va voir si ces agents vont attendre ou pas dans un modèle « en autarcie ».

S’il existe 4 situations différentes: C11 ( les agents de type 1

qui reste toujours en type 1 jusqu’à la fin), C12 ( agents de

type 1 qui se trouve en type 2 a la fin) , C22 , C2

1 ( raisonner de même façon) on va montrer C1

2 > 0 , C21 >0

Le but du jeu c’est de montrer que ces agents vont changer leur comportement facilement en autarcie car il y a plusieurs niveau de L ( la fraction des agents qui change de 1 a 2) qui donne un même niveau de U maximisée

Comportement des agents en autarcie – une situation inefficiente

( sans l'existence d'un marché financier, pas d'échange entre les agents)

Si un agent investit I de sa dotation initiale et consomme le reste, alors:

Une unité investit en 0 donne R > 1 à T = 2 et donne L < 1 si le projet est liquidé prématurément à T = 1.

C1 = LI + 1 − I ( si le projet est « mort » à T=1)

C2 = RI + 1 − I ( si le projet est « mort » à T=2)

0< I <1

π1 probabilité de consommer à T= 1

π2 probabilité de consommer à T= 2

(π1 + π2 = 1)

 Max U = Max [ π1u (C1) + ρπ2u (C2)]

quand U' (I) =0 => (L-1) π1u' (C1) + (R-1)ρπ2u' (C2)=0

 Þ (1 − L) π1u' (C1) = ρπ2 (R − 1) u'(C2)

En effet si, l’agent veut consommer en 2, la partie stockée

constitue une perte. Si il veut consommer en 1 la partie investie

dans le projet long est aussi une perte.

Donc, il existent plusieurs I qui donnent le même niveau de U max si L satisfait la condition:(1 − L) π1u' (C1) = ρπ2 (R − 1) u'(C2) , et si au contraire, aucun point I qui donne un U max.

Þ c’est-à-dire, il existe toujours plusieurs points U qui donnent le même niveau d’utilite ( je dois pas rester en C2

2 ou C12 pour avoir

U max) Les agents n’ont pas de raison de rester « fideles » avec son projet.

Þ Les projets ont besoin de l’argent qui ne « bougent » pas neanmoins en autarcie on ne peut pas en avoir.

Avec l’existence d’un marché à terme

Supposons maintenant qu’il existe un marché financier où s’échangent des promesses de livraison d’une unité de bien en t = 2 contre p unités de bien en t = 1. Nécessairement, p ≤ 1 (sinon je vends de telles promesses et je stocke les biens).

On va démontrer que dans ce cas une situation « souhaitant » (les agents de type 2 ne changent pas leur idée) pour les producteurs peut se réaliser.

S’il existe 4 situations différentes: C11 ( les agents de type 1 qui

reste toujours en type 1 jusqu’à la fin), C12 ( agents de type 1

qui se trouve en type 2 a la fin) , C22 , C2

1 ( raisonner de même façon) on va montrer que C1

2 = 0 , C21 =0

Le but du jeu c’est de montrer qu’une fraction des agents vont pas changer leur comportement

Mais on démontrer de plus que dans ce cas, l’utilité des agents n’est pas encore maximisée. C’est la raison pour la quelle la banque participe sur le marché.

Les consommateurs ne changent pas leur comportement

Les consommateurs ne changent pas leur comportement Ainsi, un agent de type 1 va vendre une partie des

projets qui n’aboutissent pas encore - une fraction I de sa dotation, à terme, et liquide le reste pour consommer à T= 1.

(il aime consommer à T=1, accepte consommer moins)

C1 = pRI + 1 − I

L’agent 2 va acheter une quantité 1 − I de promesses pour consommer à la période 2. Sa consommation est

( il veut consommer à T=2, et consommer plus)

C2 = RI + 1 − I/p

π1 probabilité de consommer à T= 1

π2 probabilité de consommer à T= 2

(π1 + π2 = 1)

équilibre demande = offre des produits à terme :

=> π1RI = π2(1- I) /p

Regardons au niveau du prix:

• Si pR > 1, regarde fonction C1, pRI > I ( C1 est plus grand si l’on vend tous les projet a terme) => tout le monde veut vendre à terme, les agents. Le marché ne peut être en équilibre. ( vente infinie, sans demande).

• Si pR < 1, C1 et C2 tout le monde veut consommer à I = 0 et le marché dans cette situation ne peut pas être équilibré. ( demande des produits à terme infinie, sans offre).

Le seul prix d’équilibre possible est pR = 1.

Dans ce cas, C1 = 1 et C2 = R.

( C11 =1, C22 = R et C12 =C21=0)

Quand on regarde sur l’allocation optimale ( avec optimum pareto) , ce marché ne permet pas cet équilibre:

On regarde sur 1 agent ( type 1ou 2 peu importe )

Π1C1 = 1− I (une fraction de dotation initiale, consommée à T=1)

Π2 C2 = RI ( une fraction de dotation initiale, consommée à T=2)

Combien investir pour maximiser d’utilité des agents ?

Max U = Max [ π1u (C1) + ρπ2u (C2)]

=> U' (I) =0

 

que ca veut dire?

Utilité marginale = productivité marginale ( maximiser le gain de l’utilité des déposants )

qui n'atteint que seulement si :

Allocation n’est pas optimale

Illustration de l’allocation n’est pas optimale

Comparaison entre actif liquide et illiquide:

Un continuum d’agent ¼ de type 1¾ de type 2R= 2, dotation initiale =1, les

actifs sont illiquide:

Suppose l’existence des actifs plus liquide, dont les revenus soit:◦R1 = 1,28 > 1, R2= 1,813 plus

liquide que actif a long terme. Esperance de l’utilite:

Remarque : La supériorité se voit quand U’’(r) < 0.

Resumer:Sans l’existence d’une banque mais avec un

marché à terme, les agents de type 2 qui veulent changer leur comportement vont sur ce marché pour trouver un acheteur de leur projet ( en autarcie, on va perdre l’argent), ainsi, les C1

2 =0 et C21 = 0.

Le marché des promesses ( vente a terme) permet de déterminer un niveau d’investissement long terme efficiente.

Néanmoins on n’atteint pas une allocation optimale ( ce que peut atteindre un actif plus liquide)

La banque vend la liquidité à prix intéressant et plus intéressant que marché à terme !

Elle vend r1 > 1 à des agents type 1 et vend la liquidité ( capacité à retirer à tout moment) à des agents type 2 . La banque fonctionne quand les agents raisonnent sur l’espérance de l’utilité de manière que :

π1U(r1)+ π2U(r2) > π1U(1)+ π2U(R)

Demande de liquiditéLes 3 conditions d’un optimum de la

consommation que l’on veut atteindre:

1. Aucun consommateur change leur comportement

Pour maximiser le gain des projets2. Productivité marginale = utilité

marginale

Pour maximiser l’utilité des déposants3. Contrainte budgétaire

Avec l’existence d’une banque

Le rôle de la banque Créateur de la liquidité nécessaire pour maximiser

l’utilité des déposants et pour collecter suffisamment d’argent pour que les projets à long terme soient abouti.

Mécanisme: La banque permet des dépôts avec plus de liquidité,

donc, moins de perte quand liquider avant l'échéance. Contrainte de la banque: elle sait qu’il existe une

fraction des agents qui est dans le type 2 (nécessaire pour elle, mais elle ne sait pas qui est dans le type 2 )

=> elle doit attirer tous les agentsSon travail est de déterminer des niveau de rendements

qui permettent de retirer les 2 types ( quand elle peut maximiser leur utilité)

La banque propose r1 a des agents type 1, r2 a des agents type 2. => r1 > 1 et r2 < R

Travail de la banque1. Collecter l’argent ( retirer tous les déposants

de type 1 et type 2) à T=0.2. Investir l’argent dans les projets.3. A T=1, payer une partie à des agents types 1.4. Le reste du montant initial est toujours resté

dans les projets, son rendement va être utilisé pour payer à des agents de type 2 à T=2.

Þ Les banques sont trop fragiles: si la fraction des agents n’est pas comme ses jugements initiaux,

le niveau de r1 et r2 qu’elle a promis a ses clients s’écartent trop a ce qu’elle peut payer en vrai, elle va connaitre des problèmes.

DémonstrationLa forme générale relie l’utilité et l’aversion

de risque:

Condition d’allocation optimale: U'(r1) = RU'(r2)

r1 >1 pour attirer tous les agents à la banque

Démonstration

r1 >1 pour que les agents qui aiment la liquidité achètent des produits liquides des banques au lieu d’investir et liquider leur projets avant l’échéance et gagnent = 1.

r2 < R mais l’espérance de l’utilité = π1U1+ π2U2 peut atteindre un niveau supérieur que sur le marché à terme.

Une fraction t des agents à T=1, avec rendement = r1

Une fraction de 1-t des investisseurs type 2 rendement r2 à T=2

Dotation initiale =1.A T=1, une fraction t qui liquide leurs actifs à

T=1, le montant liquidé est: r1tLe montant non liquidé continue à être

investi pour rembourser à T = 2 est: ( 1- tr1), qui permet un rendement de R à unité, divisé à 1-t agents patients

Le rôle de la banque

Le rôle de la banque Optimum du rendement des

montants liquidés r1:

=> r1

Bank runsBank runs est la situation dans la

quelle, un banque perd sa capacité de payer a ses clients le montant qu’elle a promis, quand il y a un grand nombre des agents retirent l’argent en même temps

A chaque unité d’argent que la banque paie avant l’échéance => recette de la banque baisse car elle a moins d’argent pour investir)

Bank runsA T=1, les agents commence a se

différencier en type 1 ou type 2 sur leur information privée et leur raisonnement.

f est la fraction des agents qui décident de se trouver parmi les impatients ( type 1)

Ainsi, le montant qui reste, permettant de payer a des « patients» a T= 2 dépend de cette fraction:

La course a la banque se passe quand dans le raisonnement des patients ( type 2)

Remarque Quand t=f => « bonne équilibre » - car on voit

en réalité f>t peut quand même exister, sans bank runs, pourvu que r2 (f) > r1 .

Banks runs se passe avant que f =1, mais à partir du moment ou dans les raisonnements des patients on va gagne moins ( même perd tout) si on attend.

Cette situation peut commence par des raisonnements, terminent par une panique réelle.

Des mesures de préventions

Suspension de convertibilité

Assurance pour des dépôts

Suspension de convertibilité

Quand une banque proclame un seuil de retrait permis a ses agents.◦sous entendu: elle accepte pas que f

> t◦Et assure que :

a T=2Il est nécessaire de savoir en ex ante

le niveau t, ce qui n’est pas possible si t est distribuée d’une manière aléatoire

Assurance pour des dépôts

Sans suspension de convertibilité, la banque garantit de payer le montant promis a tout niveau de retrait.

Ce montant paye est venu de:◦ une taxe qui permet de financer ces

paiements

Assurance pour des dépôtsRecette des agents de type 1

après impôt :

Recette des agents de type 2 après impôt

Assurance pour des dépôtsImpôt fait que recette des agents de type 1 est

toujours inférieure que celle des agents type 2 dans toute condition :

Qui implique que aucun agent de type 2 pense à retire l’argent avant :

Conclusion Modèle qui fournit un autre point de

vue des banques et leur rôle de créateur de liquidité

Panique bancaire est « grave » pour l’ économie◦ de type auto réalisateur◦Touche la production a travers des

retraits des emprunts des banques.

« des petits riens » peuvent arriver a une crise.

BibliographieBank Runs, Deposit insurrance, and liquidity

Douglas W. Diamond & Philip H. Dybvig - Journal of Political Economy – June 1983, vol 91, no. 3 , pp 401-19

Banks and Liquidity, Creation: A Simple Exposition of the Diamond-Dybvig Model - DouglasW. Diamond- Economic Quarterly—Volume 93, Number 2—Spring 2007—Pages 189–200

Les fondements micro-économiques du concept de panique bancaire, une introduction François Marini Revue économique. 1992, n°2. pp. 301-326