barisan dan deret - rinim.files. · pdf filefungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan...
TRANSCRIPT
![Page 1: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/1.jpg)
Barisan dan Deret
![Page 2: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/2.jpg)
Definisi
Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli.
Notasi: f: N R
n f(n ) = an
Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {an} dengan an adalah suku ke-n.
Bentuk penulisan dari barisan : 1. bentuk eksplisit suku ke-n
2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya.
3. bentuk rekursi
n
nn
a
aaa
1,1 11
2
an = n
1
...,4
1,
3
1,
2
1,1
![Page 3: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/3.jpg)
Definisi: {an} dikatakan konvergen menuju L dan
ditulis sebagai
3
Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang berhingga dinamakan divergen.
Jika untuk setiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk
Lann
lim
LaNn n
![Page 4: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/4.jpg)
Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut.
4
Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah L’ Hopital untuk soal peubah kontinu.
Lxfx
)(limJika Lnfn
)(lim, maka
![Page 5: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/5.jpg)
Sifat dari limit barisan, jika {an} konvergen ke L dan {bn} konvergen ke M, maka
5
1. MLblimalimbalim nn
nn
nnn
2. M.Lblim.alimb.alim nn
nn
nnn
3.
M
L
blim
alim
b
alim
nn
nn
n
n
n
, untuk M 0
{an} dikatakan
a. Monoton naik bila an+1 an
b. Monoton turun bila an+1 an
![Page 6: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/6.jpg)
Tentukan konvergensi dari barisan dengan rumus suku ke n di bawah ini:
lim lim2 1
nn n
na
n
6
2 1n
na
n
1.
maka {an } konvergen menuju ½.
Jawab:
1lim ,
2n
na
Karena
(1) 1lim .
1 22
n
n
nn
![Page 7: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/7.jpg)
lim ( ) lim2 1x x
xf x
x
7
artinya barisan an konvergen menuju ½.
Atau:
Ambil ( )2 1
xf x
x
Dengan dalil L’Hopital, 1 1
lim ( ) lim2 2n x
f x
1 1lim ( ) lim
2 2n
n nf x a
Karena
![Page 8: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/8.jpg)
8
2
2
4 11.
2 3n
na
n n
23 2
2.1
n
na
n
3.1
n
na
n
4.4
n
n na
ln( )
5. n
na
n
1 2 3 49. , , , ...
2 3 4 5
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:
6.3
n
na
n n
27. na n n
2
2
58.
3n
na
n
1 1 110. 1, , , , ...
4 9 16
![Page 9: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/9.jpg)
Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut:
9
dengan an adalah suku ke-n.
1 2 3
1
... ...n n
n
a a a a a
![Page 10: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret
, maka
0i
ia
{Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial dari
0i
ia
Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.
S1 = a1
S2 = a1 + a2
.
.
. Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an =
n
0i
ia
![Page 11: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Deret tak hingga 0
n
n
a
dikatakan konvergen
dan mempunyai jumlah S jika barisan jumlah parsialnya {Sn} konvergen ke S.
Sebaliknya apabila {Sn} divergen maka deret dikatakan divergen.
![Page 12: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/12.jpg)
Bentuk umum deret geometri adalah
12
dengan a 0.
Jumlah parsial deret ini adalah
Sn =
n
1i
1iar = a +ar +a r2 + ... + a r
n-1
Sehingga
nn ararararrS ...32
n
n araSr )1(
r
araS
n
n
1
1 2 3
1
...i
i
ar a ar ar ar
![Page 13: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Jadi, deret Geometri konvergen, jika
1;
1;1
1limlim
r
rr
a
r
araS
n
nn
n
1r
dengan jumlah .1
aS
r
Karena lim ; 11
nn
aS r
r
maka nS Konvergen.
![Page 14: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/14.jpg)
14
...32
1
16
1
8
1
4
1
2
11.
Kalau kita perhatikan, deret ini adalah deret geometri
dengan rasio ½ ( r<1).
Sehingga deret ini konvergen dengan jumlah
12/11
2/1
S
Jawab:
![Page 15: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/15.jpg)
15
2.2.
Jawab: Kalau kita perhatikan
Dan
Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.
Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya
Sn =
1n
1
n
1...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11 =
1n
11
nn
Slim
=n
lim
1n
11 = 1
(Deret Kolaps) 1
1
( 1)n n n
1 1
1n n
![Page 16: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/16.jpg)
16
3.3.
Jawab: Dari sini kita dapatkan
Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.
1i i
1
Sn = 1 + n
1...
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
Sn = 1 + n
1...
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 + n
1...
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
1
= 1 + n
1...
2
1
2
1
2
1
2
1
(Deret Harmonik)
![Page 17: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/17.jpg)
17
0n
na konvergen maka lim 0.nn
a
Ekivalen dengan
lim 0,nn
a
maka deret divergen.
Contoh: Buktikan bahwa
1n2
2
4n3n3
ndivergen.
Bukti 2
2lim
3 3 4n
n
n n
2
2
2
(1)lim
3 43
n
n
nn n
1
3
Karena divergen.
1n2
2
4n3n3
n
Jika
lim 0,nn
a
lim nn
a
maka
![Page 18: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/18.jpg)
Dalam banyak kasus bahwa
18
lim 0nn
a
, tetapi dari sini
kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen.
Sebagai contoh deret harmonik,
1
1 1 1 1 1 1 1 1 11 . . .
2 3 4 5 6 7 8n n n
Jelas bahwa lim 0nn
a
, tetapi deret harmonik adalah
deret yang divergen.
Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.
![Page 19: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/19.jpg)
1. Uji Integral
19
Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,).
a. Jika integral tak wajar
b. Jika integral tak wajar
1( )f x dx
konvergen,
1
n
n
a
konvergen.
divergen,
divergen.
1)( dxxf
1
n
n
a
maka
maka
Nnnfan ),(Andaikan
![Page 20: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/20.jpg)
1. Selidiki kekonvergenan dari
20
2
1
n
n
ne
Jawab. Kita ambil 2
( ) xf x xe , sehingga 2
1
xxe dx
2
1lim
bx
bxe dx
2 2
1
1lim ( )
2
bx
be d x
2
1
1lim
2
bx
be
2
1 1 1lim
2 bb ee
1
2e
Jadi karena 2
1
xxe dx
konvergen, maka 2
1
n
n
ne
juga konvergen.
![Page 21: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/21.jpg)
2. Selidiki kekonvergenan dari
21
Jawab. Kita ambil , sehingga
Jadi karena divergen, maka
juga divergen.
2
1
lnn n n
xxxf
ln
1)(
b
b xx
dx
xx
dx
22 lnlim
ln
2 ln
)(lnlim
x
xd
b
2lnlnlnlnlimlnlnlim bxbb
2 ln xx
dx
2
1
lnn n n
![Page 22: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/22.jpg)
22
2n2 nlnn
1
1n 1n2
1
1n2 1n4
1
1n 2
3
n34
1
2.
4.
5.
3.
1.
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
3n2
2n
1
![Page 23: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/23.jpg)
2. Uji Deret p
1
1
npn
23
Deret-p atau deret hiperharmonik berbentuk .1
1
npn
dengan menggunakan uji integral, kita dapatkan
dx
x pt 1
1lim
p
t p
t
1
1lim
1
10;
1;1
1
p
pp
Jika p<0
Jika
.1
lim pn n
Maka deret divergen
,0p
Sehingga
konvergen jika p>1 dan divergen jika 1p
1;1
lnlim
1;11
1lim 1
pt
x
pt
xp
t
p
t
![Page 24: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/24.jpg)
Apakah deret berikut konvergen atau divergen?
24
1.
1001,1
1
n n
Berdasarkan uji deret-p, deret
1001,1
1
n n konvergen
karena p=1,001 > 1
2.
Berdasarkan uji deret-p, deret divergen
karena p= ½ < 1
1 21
1
n n
1 21
1
n n
![Page 25: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/25.jpg)
3. Uji banding biasa
(Uji banding dengan deret lain)
25
Andaikan
`1n
na
`1n
nbdan deret positif,
1. Jika konvergen, maka
1`
n
n
a
1`
, dann n n
n
a b b
1`
, dann n n
n
a b b
1`
n
n
a
konvergen
2. Jika divergen, maka divergen
![Page 26: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/26.jpg)
Selidiki Kekonvergenan deret berikut:
26
32 5
.1n n
n
Jawab:
Bandingkan dengan 52
n
nan
Perhatikan bahwa .1
5 22 nn
n
n
n
Karena
1nn
1
32 5n n
n
deret divergen (deret harmonik), maka
divergen.
nbn
1
![Page 27: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Jawab:
Bandingkan dengan
konvergen.
12 53
1.2
n n
21
1
3 5n n
2 2 2
1 1 1 1.
3 5 3 3n n n
53
12 n 2
1
n
21
1
n n
Perhatikan bahwa
Karena konvergen dengan uji-p (p=2)
maka
![Page 28: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/28.jpg)
Selidiki kekonvergenan deret berikut
28
1nn 12
1
3n2
2n
1
1n 1n2
1
2.
4.
5.
3.
1. 2 1n
n
n
33
1
5n n
33 4n
n
n
6.
![Page 29: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/29.jpg)
4. Uji Banding limit
29
Andaikan dan deret positif dan lim n
nn
aL
b
1. Jika 0 < L < maka 1`
n
n
a
1`
n
n
b
dan sama-sama
konvergen atau divergen
2. Jika L = 0 dan 1`
n
n
b
`1n
na
konvergen maka
konvergen.
1`
n
n
a
1`
n
n
b
![Page 30: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/30.jpg)
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :
30
123 75
32
n nn
n1.
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
sehingga
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=
lim n
nn
aL
b
1n23 7n5n
3n2 konvergen.
Jadi karena L=2 dan
Jawab:
12
1
n n
21
n
2
23
175
32
lim
n
nnn
n
3 2
3 2
2 3lim 2
5 7n
n n
n n
konvergen (uji deret p, p=2),
![Page 31: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/31.jpg)
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :
31
2.
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
sehingga
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=
lim n
nn
aL
b
divergen.
Jadi karena L=1 dan
Jawab:
divergen (deret harmonik),
12 4
1
n n
1n2 4n
1
n1
n1
4n1
lim2
n
2
2lim 1
4n
n
n
= =
1
1
n n
maka
![Page 32: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/32.jpg)
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
32
12 32n nn
n
13 4
13
n n
n
1 1
1
n nn
12
32
n n
n
12
ln
n n
n
2.
4.
5.
3.
1.
![Page 33: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/33.jpg)
5. Uji Hasil Bagi
33
1
n
n
a
1lim n
nn
a
a
Diketahui merupakan suatu deret dengan
1
n
n
a
1. Jika < 1 maka deret konvergen
suku-suku yang positif, dan
1
n
n
a
divergen 2. Jika > 1 maka deret
= 1 maka uji ini tidak memberikan kesimpulan
3. Jika
![Page 34: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/34.jpg)
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
34
1.
1 !
3
n
n
n
Misalkan suku ke-n adalah an = !
3
n
n
, maka suku ke n+1
adalah an+1= !1
3 1
n
n
sehingga
Karena maka
1 !
3
n
n
nkonvergen
Jawab:
13
lim
nn
0 !13
!3lim
1
n
nn
n
n
!3
!13
lim
1
n
nn
n
n
1lim n
nn
a
a
0 1,
![Page 35: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/35.jpg)
35
2.
12
3
n
n
n
Misalkan suku ke-n adalah an = 2
3
n
n
, maka suku ke n+1
adalah an+1=
2
1
1
3
n
n
sehingga
Karena , maka
12
3
n
n
ndivergen
Jawab:
3
2
2
3lim
1n
n
n
1 2
2
3lim
3 1
n
nn
n
n
1
2
2
31
lim3
n
nn
n
n
1lim n
nn
a
a
3 1,
![Page 36: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/36.jpg)
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
36
14
!
n n
n
1 !
5
n n
n
1 !2n
n
n
n
1 !
4
n
n
n
n
1
3
!2n n
n
2.
4.
5.
3.
1. 1
5
1
n
n n
1 !n
n
n
6.
7.
![Page 37: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/37.jpg)
6. Uji Akar
lim nn
na a
37
Diketahui merupakan suatu deret dengan
1. Jika a < 1 maka deret konvergen
divergen
= 1 maka uji ini tidak memberikan kesimpulan
suku-suku yang positif, misalkan
2. Jika a > 1 maka deret
3. Jika a
1
n
n
a
1
n
n
a
1
n
n
a
![Page 38: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/38.jpg)
Selidiki kekonvergenan deret
38
1.
1 1
22
n
n
n
n
Jawab:
Misalkan suku ke-n adalah an =
n
n
n
1
22, maka
Karena a = 2 (> 1), maka
1 1
22
n
n
n
ndivergen
1/
2 2 2 2lim lim lim 2
1 1
nn
nn
n n n
n na a
n n
![Page 39: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/39.jpg)
39
2.
1 12
2
n
n
n
n
Jawab:
Misalkan suku ke-n adalah an =
n
n
n
12
2, maka
Karena a = ½ (< 1), maka
1 1
22
n
n
n
nkonvergen
1/
2 2 1lim lim lim
2 1 2 1 2
nn
nn
n n n
n na a
n n
![Page 40: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/40.jpg)
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
40
1 ln
1
n
n
n
1 12
23
n
n
n
n
1 23n
n
n
n
1
1
2
1
n
n
n
2. 4.
3. 1.
![Page 41: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Kesimpulan
Untuk menguji kekonvergenan deret na perhatikan ;na
1. Jika
2. Jika an memuat bentuk
nnn
aa 0lim divergen.
nn nrn ,,! , gunakan uji hasil bagi.
3. Jika an hanya memuat bentuk pangkat n yang konstan,
gunakan uji banding limit.
4. Usaha terakhir, cobakan uji banding biasa, uji akar,
atau uji integral.
![Page 42: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/42.jpg)
42
32 5
1.1
n n
12 5
.2n n
n
Periksa kekonvergenan dari deret berikut :
32
2
1.4
n n
1 !
5.3
n
n
n
12
2
2
3.5
nn
nn
e
ee
2
ln.6
n n
n
1 !.7
n
n
n
n
21
3 cos8.
n
n
n
21
9.5n
n n
n
3
1
10.!n
n
n
Latihan
![Page 43: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/43.jpg)
Deret Ganti Tanda
Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut
43
1
1 2 3 4
1
1 ...n
n
n
a a a a a
dengan an > 0, untuk semua n.
Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu
1
1
1 1 1 11 1 ...
2 3 4
n
n n
![Page 44: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/44.jpg)
44
2. lim 0nn
a
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut
...4
1
3
1
2
11 1.
2. ...!4
1
!3
1
!2
11
Deret ganti tanda, dikatakan konvergen jika:
nn aa 1.1 (an monoton turun)
![Page 45: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Dari soal ini, kita punya
1;na
n
1
11 1
. 1 11
1
n
n
a nnaa n n
n
Artinya
1.lim lim 0n
n nb a
n
Karena kedua syarat terpenuhi maka deret ganti tanda tersebut konvergen.
1. Jawab :
1
11
nan
1n na a
an monoton turun.
1
1
11
n
n n
dengan:
![Page 46: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/46.jpg)
2. Jawab (uji ganti tanda)
46
Dari soal diatas kita punya
1;
!na
n
1
1
1 !na
n
a.
11
!11
!1
1
n
n
n
a
a
n
n
b. 0!
1limlim
na
nn
n
Karena a dan b terpenuhi maka deret ganti tanda tersebut konvergen.
1n na a
1
1
11
!
n
n n
dengan:
![Page 47: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/47.jpg)
Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:
47
1
1
13
21
n
n
n
1 3
1n
n
n n
12
31
n
n
nn
n
1
1
!1
n
nn
n
n
1 )1(
11
n
n
nn
2.
4.
5.
3.
1.
![Page 48: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/48.jpg)
Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga
48
1
n
n
U
Atau dengan kata lain
dikatakan konvergen mutlak jika 1
n
n
U
konvergen.
1
n
n
U
divergen,
1
n
n
U
konvergen.
Dan dikatakan konvergen bersyarat jika
tetapi
mutlak deret tersebut konvergen.
![Page 49: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/49.jpg)
49
1
||n
nU
Langkah pengujian
(konvergen mutlak/bersyarat/divergen):
Uji
Konvergen deret konvergen mutlak
Divergen
nU
Konvergen deret konvergen
bersyarat
Divergen deret divergen (dgn DGT)
(uji deret positif)
Uji
1n
nU
![Page 50: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/50.jpg)
Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen
50
1.
1
1
!
21
n
nn
n
Jawab:
1
1
21 !
lim lim2
!
n
n
nn nn
na
an
2 .2 !lim
2 1 !
n
nn
n
n
1
2lim
nn
Dari soal diatas kita punya 1 21
!
nn
nUn
Menurut uji hasilbagi ,
Misal
0
2
| |!
n
nUn
2
!
n
nan
Gunakan UHB
1n
nU konvergen, maka
1
1
!
21
n
nn
nkonvergen mutlak.
Uji
1 1 !
2||
n n
n
nn
U
![Page 51: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/51.jpg)
51
2.
1
1 11
n
n
n
Jawab:
1
1 11
n
n
n
Selanjutnya, uji DGT,
1
1 11
n
n
nn
U
1 1
1
n n
nn
U
Maka konvergen bersyarat.
Deret ini divergen dengan uji deret-p (p=1/2)
(i) nn aa 1
(ii) 01
limlim n
an
nn
DGT konvergen,
(tunjukkan)
Karena
1n
nU divergen, tetapi
1n
nU konvergen
![Page 52: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/52.jpg)
52
1 51
nn
n n
12
)4(
n
n
n
1 23
)1(
n
n
n
1 1
11
n
n
nn
1
1
ln
)1(
n
n
nn
1
1
1
)1(
n
n
nn
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen:
![Page 53: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/53.jpg)
Deret pangkat secara umum ada dua bentuk
1. Deret pangkat dalam x didefinisikan
53
2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan
2 3
0 1 2 3
0
...n
n
n
a x a a x a x a x
2 3
0 1 2 3
0
( ) ( ) ( ) ( ) ...n
n
n
a x b a a x b a x b a x b
Yang akan ditentukan adalah selang (himpunan) kekonvergenan, yaitu himpunan semua bilangan real x sehingga
deret kuasa konvergen.
![Page 54: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/54.jpg)
1
54
Misalkan
00 n
n
n
n
n Uxa
gunakan uji hasil bagi mutlak, n
n
n U
U 1lim
1
1
1. Jika
2. Jika
3. Jika
maka deret konvergen mutlak.
maka deret divergen.
tidak dapat diambil kesimpulan
![Page 55: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/55.jpg)
Tentukan selang kekonvergenan deret
55
0 2)1(nn
n
n
x
0!)1(
n
n
n
x
0
!)1(
n
nxn
1.
2.
3.
0
1
2
)1(.4
nn
nx
![Page 56: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
1
1lim :
2 ( 2) ( 1)2
n n
n nn
x x
n n
2
x( 1)
lim2 ( 2)n
x n
n
1 1
2 1
11 2
n
nn n nn
n
n
n U
U 1lim
0
1.( 1)2
n
nn
x
n
2212
xx
* Untuk x=2,
![Page 57: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Untuk x = –2
Sehingga selang kekonvergenannya adalah [-2,2)
deret ini adalah deret ganti tanda (DGT)
11 1
1
21
2
n
n
nn
n
nn
(i) an monoton turun
(ii) 01
1limlim
na
nn
n
1lim lim . 1
1
n
n nn
aL n
b n
Karena L=1, dan 1
nbn
Divergen (deret harmonik)
maka 1
1
1n n
divergen
DGT konvergen
Gunakan Uji Banding Limit, 1
nbn
![Page 58: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
1
lim :2 ! 1 !
n n
n
x x
n n
0
lim
2n
x
n
Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)
0
2.( 1)!
n
n
x
n
n
n
n U
U 1lim
![Page 59: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.
12 !lim
1 !
n
nn
n x
n x
lim 2n
n x
0, 0
, 0
jika x
jika x
0
3. ( 1)! n
n
n x
n
n
n U
U 1lim
![Page 60: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/60.jpg)
0
1
2
)1(.4
nn
nx
60
n
n
n U
U 1lim
11
2
)1(
2.
2
)1(lim
n
n
n
n
n x
x
2
)1(lim
x
n 2
1
x
* Deret konvergen jika
1321212
1
xx
x
* Uji x=-3
0
1
0
11
0
1
2.)1(2
2)1(
2
)2(
n
n
nn
nn
nn
n
Ini DGT, 02lim
nn
a jadi DGT divergen.
* Untuk x = 1 .22
)2(
00
1
nn
n
n
Deret ini divergen dengan uji
kedivergenan suku ke-n. Jadi HK = (-3,1).
1,
yaitu,
Jawab(4)
![Page 61: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Himpunan kekonvergenan deret pangkat
0n
nn xa
selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:
1. satu titik x = 0 2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau
keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan real
berbentuk
![Page 62: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Himpunan kekonvergenan deret pangkat 0
( )n
n
n
a x b
berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :
1. satu titik x = b 2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau
keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan real
![Page 63: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/63.jpg)
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:
63
02
1
)1(
n
n
n
x
...!3
2
!2
22.2
32
xx
x
1.
1
( 2)4. ( 1)
.3
nn
nn
x
n
1
1
25. ( 1)
.3
n nn
nn
x
n
02
2
)1(.3
n
n
n
x
![Page 64: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/64.jpg)
Dalam pasal sebelumnya untuk
64
,11 x
x
aax
n
n
1
1
Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di
1n
naxatas (misal S(x)= )
didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.
misalkan bagaimana jika S(x)
![Page 65: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/65.jpg)
65
0
)(n
n
n xaxS
0
)(')(n
n
nx xaDxSi
1
1
n
n
n xna
x
dttSii0
)()(
0
0n
xn
n dtta
0
1
1n
nn xn
a
= D[a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x
3+ . . .]
Misal
maka
![Page 66: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/66.jpg)
21
1
x 21
1
1
1
xxDx
1
1
n
n
xn
(i) Perhatikan, ...1 32
0
xxxxn
n
merupakan deret geometri dengan a = 1 ; r = x, maka
1||;1
1
0
xx
xn
n
(ii)
66
![Page 67: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/67.jpg)
2 3
0 0
11 ...
1
x x
dt t t t dtt
...4
1
3
1
2
1)1ln( 432 xxxxx
...4
1
3
1
2
1...
4
1
3
1
2
1)1ln( 432
0
432 xxxxttttx
x
67
2 31 1ln(1 ) ...
2 3x x x x
(iii)
1
1
1ln(1 ) ( 1) ; | | 1n n
n
x x xn
![Page 68: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/68.jpg)
68
(iv)Perhatikan
0 !n
n
n
x
Deret ini konvergen untuk setiap x bilangan real.
Misal ...!3!2
1)(32
xx
xxS
...!3!2
1)('32
xx
xxS
S(x)=S’(x) xexS )(
Jadi
0 !n
nx
n
xe
![Page 69: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/69.jpg)
Contoh
Nyatakan sebagai deret pangkat dalam x
Jawab :
![Page 70: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/70.jpg)
70
xxf
1
1)(
xx
x
xxf
1
1
1)( 2
2
x
xxf
1
1ln)(
21
1)(
xxf
1.
3.
6. 2.
5. f(x)=tan-1(x)
xxf
32
1)(
7.
21
1)(
xxf
4.
Nyatakan f(x) berikut sebagai deret pangkat dalam x: (gunakan rumus operasi deret)
xexf 2)(.8
2)(.9 xexf
![Page 71: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/71.jpg)
...!2
)()(''
!1
)()(')()(
2
bxbfbxbf
bfxf
71
0
)(
!
)()(
n
nn
bxn
bfxf
Deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b.
Bila b = 0, diperoleh Deret Mac Laurin, yaitu
Misalkan f(x) dapat diturunkan hingga n kali pada x = b,
Maka f(x) dapat dinyatakan sebagai deret kuasa dalam (x-b):
2''(0)( ) (0) '(0) ...
2!
ff x f f x x
![Page 72: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/72.jpg)
Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:
1. f(x)= sin x
Jawab:
72
f(x) = sin x
f ’(x) = cos x
f ’’(x) = - sin x f’’(0) = 0
f’(0) = 1
f(0) = 0
f ’’’(x) = - cos x f’’’(0) = -1
f lV (x) = sin x f lV(0) = 0
Sehingga,
...!7!5!3
sin)(753
xxx
xxxf
0
12
!121
n
nn
n
x
![Page 73: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/73.jpg)
2. f(x)= ex
Jawab:
73
f(x) = ex
f ’(x) = ex
f ’’(x) = ex f’’(0) = 1
f’(0) = 1
f(0) = 1
f ’’’(x) = ex f’’’(0) = 1
f lV (x) = ex f lV(0) = 1
Sehingga,
...!4!3!2
1)(432
xxx
xexf x
0 !n
n
n
x
![Page 74: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/74.jpg)
3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat di x=1
Jawab:
74
f(x) = ex
f ’(x) = ex
f ’’(x) = ex f’’(1) = e
f’(1) = e
f(1) = e
f ’’’(x) = ex f’’’(1) = e
f lV (x) = ex f lV(1) = e
Sehingga,
...
!3
1
!2
1)1()(
32
x
ex
exeeexf x
0 !
1
n
n
n
xe
![Page 75: Barisan dan Deret - rinim.files. · PDF fileFungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {a n} dengan a n adalah suku ke-n](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052123/5a75c5fd7f8b9a1b688cb3cc/html5/thumbnails/75.jpg)
1. Perderetkan f(x) berikut dalam deret Maclaurin
75
a. f(x) = cos x
b. f(x) = ln(3+2x)
a. f(x) = ex, a = 2
2. Perderetkan f(x) berikut dalam deret taylor dengan pusat x = a
1
1)(.
xxfd
3,2
1)(.
a
xxfb
3,1
)(. ax
xfc
2. ( )
5c f x
x