barisan dan deret - · pdf filecontoh soal 1. carilah 4 suku pertama dari barisan berikut,...
TRANSCRIPT
1 |
BARISAN DAN DERET
A. POLA BILANGAN
Berbagai jenis bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai
pola tertentu. Pola ini sering digunakan dalam menentukan urutan / letak
bilangan dari sekumpulan bilangan yang ditentukan, contoh bilangan ganjil
ke-5 dari bilangan : 1, 3, 5, 7,… yaitu 9.
B. BARISAN BILANGAN
Barisan adalah himpunan sembarang unsur-unsur yang ditulis
secara berurutan. Barisan bilangan adalah bilangan yang disusun menurut
suatu aturan tertentu.
Contoh :
a. 1, 3, 5, ⋯
b. 10, 9, 8, 7, ⋯
Contoh Soal
1. Carilah 4 suku pertama dari barisan berikut, jika :
a. 𝑈𝑛 = 𝑛2
𝑛 + 1
b. 𝑈𝑛 = 𝑛 + 1
𝑛2 − 2𝑛 + 1
c. 𝑈𝑛 = 1
(4𝑛−3)(2𝑛−1)
2. Tuliskan tiga suku berikutnya dari setiap barisan berikut ini dan tentukan
rumus sederhana suku ke – n !
2 |
a. −8, −4, 0, ⋯
b. 1, √2, 2, ⋯
c. 4, 2, 1, ⋯
3. Tentukan rumus sederhana suku ke-n dari barisan berkut.
a. −1, −1
2, −
1
4, −
1
2, ⋯
b. 1
1 × 2,
1
3 × 4,
1
5 × 8,
1
7 × 16, ⋯
c. 1
2,
1
2√2 ,
1
2√3,
1
2√4, ⋯
d. √5 − √2, √7 − √4, √9 − √6, ⋯
e. 1
√2 + 1,
1
√3 − √2,
1
2 + √3,
1
√5 − 2, ⋯
4. Rumus umum suku ke-n suatu barisan adalah 𝑈𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛. Suku ke-2
dan suku ke-7 barisan tersebut masing-masing 8 dan 63.
a. Hitunglah 𝑎 dan 𝑏 serta rumus umum suku ke-n
b. Tentukan suku ke-10
5. Suku ke-n sebuah barisan ditentukan dengan rumus :
𝑈𝑛 = (−1)𝑛 𝑛3 − 1
𝑛2+ 𝑛 + 1
a. Tentukan suku ke-5, suku ke-10 dan suku ke-15
b. Suku ke berapakah yang nilainya −24
C. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET
Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan
bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda
“,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.
3 |
Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan
Aritmetika dan barisan Geometri.
1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)
1.1 BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan
menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap
itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.
Contoh-contoh barisan Aritmetika :
1) 1,3,5,.... bedanya b = ...
2) 0,5,10,... bedanya b = ...
3) 100,97,94,... bedanya b = ...
4) 3 2 , 7 2 ,11 2 ,... bedanya b = ... .
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = U1 = a dan beda = b, maka :
Un a + (n – 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
b = 1 nn UU
Contoh 1 : Tentukan beda dari :
a) 1, 5, 9 b) 10,81
2,7,...
Jawab : a) ………….
b) ………….
4 |
Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !
Jawab : ……………
Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !
Jawab : …………..
Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !
Jawab : …………….
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U5 21 dan U10 41 . Tentukan
U15 !
Jawab : …………….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !
a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...
b) 1,11
2,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...
2. Tentukan suku yang diminta ! a) 4,10,16,... suku ke-25
b) 20 3 ,18 3 ,16 3 ,... suku ke-40
3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :
a) b = 4, U6 21 , a = ...
b) a = -5, U20 33 , b = ...
c) a = 9, b = -2, Un 19 , n = ...
d) U4 1 , U7 8 , a = ... , b = ...
e) U3 71
2 , U6 15 , U10 ...
5 |
4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan
hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !
6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali
menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000
jika bunganya tidak diperhitungkan !
1.2 DERET ARITMETIKA
Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat
deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika
abababUbUUS
UbUbUbabaaS
UUUUUS
nnnn
nnnn
nnn
)()2(.......)2()(
)()2(..........)2()(
....... 1321
+
)(2
)()()(........)()()(2
nn
nnnnnnn
UanS
UaUaUaUaUaUaS
S n a Un n 1
2( ) , karena U a n bn ( )1 , maka :
])1(2[2
1bnanSn Sn : jumlah n suku pertama
U S Sn n n 1
Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !
a) 1+3+5+...sampai 50 suku
b) 2+5+8+...+272
Jawab : a) ……………..
6 |
b) …………….
Contoh 2: Tentukan 𝑥 jika 5+7+9+……+ x = 192
Jawab : ……………
Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 sampai 100 yang habis dibagi 4
tetapi tidak habis dibagi 5 !
Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = 1S =……..
Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 +
80 + 100 = 2S = ……
Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 =
1S - 2S = ……..
Contoh 4: Tentukan U10 jika S nn 2
Jawab : …………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku
b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53
d) 25+21+17 + ... + 1
2. Tentukan x jika ; a) 1+3+5+ ... + x = 441
b) 1+5+9+ ... + x = 561
3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :
a) a = 2, S b22 737 , ...
b) b=5, U S10 1546 , ...
c) U U S4 7 109 18 , , ...
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi
tidak habis dibagi 3
7 |
6. Tentukan U8 jika S n nn 2 2
2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)
2.1 BARISAN GEOMETRI
Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan
tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio
(pembanding) dilambangkan dengan r.
Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...
Jawab : …………
Suku ke-n barisan geometri
Jika suku pertama u a1 dan rasio = r, maka :
1 n
n arU
Dimana 1
n
n
U
Ur
Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....
Jawab : …………….
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...
Jawab : ………………
8 |
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 4 dan U5 16 . Tentukan U8 !
Jawab : ……………….
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan
hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu !
Jawab : Misal ketiga bilangan itu xrxr
x,, maka
32727.. 3 xxxrxr
x
Jadi
9,3,13
1,3,93
1
0)3)(13(0310313333 2
abilangannyr
abilangannyr
rrrrrxrr
Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !
Jawab : ……………..
LATIHAN SOAL
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :
a) 1,3,9,..... suku ke-7
b) 3,6,12,....suku ke-8
c) 16,8,4, ... suku ke-10
2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :
a) 1
4
1
21, , ,....
9 |
b) 2 2 2 4, , ,....
3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :
a) a U U 4 324 6, , ...
b) b U a 1
335, , ...
c) U U U3 6 58 64 , , ...
d) U U U3 5 21 25 , , ...
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan
hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !
6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap
bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul
21.20 !
2.2 DERET GEOMETRI
Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat
deret geometri.
Jumlah n suku pertama deret geometri
nnn
n
nnn
n
ararararararrS
rxarararararaS
1232
1232
.............
..............
-
n
nn ararSS
1,1
)1(
1
)1(
r
r
ra
r
raS
nn
n dimana U S Sn n n 1
10 |
Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....
Jawab : ……………
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243
Jawab : ………………
Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 2 2 2552 .... n
Jawab : ………………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 1
4
1
21 10 .... ...S
b) 36+18+9+.... S6 ...
c) 2 2 2 2 8 ... ...S
2. Tentukan jumlah dari :
a) 1/3+1+3=....+81
b) 32+16+8+....+1/8
3. Tentukan n jika :
a) 3 3 3 3 3632 3 ... n
b) 2 2 2 2 10222 3 1 ... n
4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a) U U S1 3 550 200 , , ...
11 |
b) a r S nn 1 3 29524, , , ...
c) S r a8 155
6
1
2 , , ...
5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah
27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk
semula !
2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Sa r
r
a
r
r
rn
n n
( )1
1 1 1
Untuk n maka :
S n
Lim )
11(
r
r
r
a n
Untuk –1 < r < 1 maka :
Srr
a
1
0
1 sehingga S
r
a
1 syarat –1 < r < 1
Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah)
jika –1 < r < 1
Contoh 1: Hitung ....4
1
2
11
Jawab : ………………
Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)
Jawab : ……………….
12 |
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama
dengan 9, maka tentukan rasionya !
Jawab : …………………….
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah jumlahnya dari :
a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….
b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….
c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….
d. 1/2+1/3+2/9+…. h. ....122
2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a. r = -2/5, S 15 maka a = ….
b. a = 2, 8
13 U maka S ….
c. 27
1,9 72 UU maka S ….
d. 8
1,
2
9531 UUU maka S ….
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi
semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti
4.
Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di
samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas
keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.
13 |
5. NOTASI SIGMA
Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat
keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan ""
b
ai
ix
dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan
ix adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks
menggunakan huruf kecil.
b
ai
x1 dibaca “sigma dari ix untuk harga i dari a sampai b”.
Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari
5
1
)12(k
k
Jawab :
5
1
)12(k
k = ………………… = …………
Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. +
28
Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi
rumus sigma sifatnya tidak unik.
ck
cn
cn
k
n
n xx0
14 |
Contoh 3 : Ubahlah
5
0
)34(k
k menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !
Jawab :
12
7
75
7
5
0
)254(3)7(4)34(kkk
kkk
LATIHAN SOAL
1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :
n
k
k
n
k
ki
i
k
xe
n
nd
kc
ib
ka
1
6
0
10
1
7
3
2
7
1
2.
2.
3)1(.
.
)45(.
2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :
144.........941.
56.........642.
256.......421.
20
21......
3
4
2
32.
101......261710.
41......951.
74......852.
g
f
e
d
c
b
a
3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5
15 |
n
i
x
x
n
k
i
id
c
nb
ka
0
10
7
10
3
8
0
2
1.
2.
)210(.
)43(.
6. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus
dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli.
Misalkan Pn suatu pernyataan dan nAsli sedemikian sehingga :
1. nP benar untuk n = 1
2. Misal kP benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n
sehingga menyebabkan 1kP benar pula, maka nP benar untuk n
Asli. Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan
jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan
jatuh pula.
Contoh 1 : Buktikan )1(2
.....321 nn
n dengan menggunakan
induksi matematika !
Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = )11(2
1 benar.
Misal untuk sembarang n = k maka )1(2
.....321 kk
k benar.
Sehingga untuk n = k+1 :
16 |
)2(2
1
2
)1(2)1(
2)1()1(
2)1(......321
k
kkk
kkk
kkk
benar.
Jadi )1(2
.....321 nn
n benar untuk nAsli.
LATIHAN SOAL
Buktikan dengan induksi matematika !
738.9
33.8
2.7
1222........222.6
)11(2
5)530(.......152025.5
11)212(.....6810.4
2
)15()35(.......1272.3
)12(.......531.2
)1(2.....642.1
2
3
2
32
2
2
n
nn
darifaktor
nndarifaktor
nndarifaktor
nnn
nnn
nnn
nn
nnn