snama2019.kamindo.org · barisan dan kekonvergenan bagaimana archimedes menentukan luas lingkaran?...
TRANSCRIPT
Dari Barisan Bilangan ke Barisan FungsiWorksop Pembelajaran Matematika SNAMA 2019 @UPH
Oki Neswan
FMIPA - ITB
6 September 2019
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 1 / 47
Garis Besar
Barisan bilangan real
De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarakPerumumannya
Barisan fungsi real
Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifatPerumuman
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 2 / 47
Garis Besar
Barisan bilangan real
De�nisi: motivasi dan gagasan
Kekonvergenan: konsep jarakPerumumannya
Barisan fungsi real
Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifatPerumuman
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 2 / 47
Garis Besar
Barisan bilangan real
De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarak
Perumumannya
Barisan fungsi real
Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifatPerumuman
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 2 / 47
Garis Besar
Barisan bilangan real
De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarakPerumumannya
Barisan fungsi real
Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifatPerumuman
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 2 / 47
Garis Besar
Barisan bilangan real
De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarakPerumumannya
Barisan fungsi real
Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifatPerumuman
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 2 / 47
Garis Besar
Barisan bilangan real
De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarakPerumumannya
Barisan fungsi real
Membangun kekonvergenan
Masalah invarian/pewarisan sifatPerumuman
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 2 / 47
Garis Besar
Barisan bilangan real
De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarakPerumumannya
Barisan fungsi real
Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifat
Perumuman
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 2 / 47
Garis Besar
Barisan bilangan real
De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarakPerumumannya
Barisan fungsi real
Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifatPerumuman
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 2 / 47
Barisan dan Kekonvergenan
Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?
Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.Secara natural isu kekonvergenan muncul.
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Matematika memilah atau mengklasi�kasi agar kita lebih memahamiAda kontras antara barisan
� n+2n
�dan
��� 54
�n�.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 3 / 47
Barisan dan Kekonvergenan
Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.
Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.Secara natural isu kekonvergenan muncul.
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Matematika memilah atau mengklasi�kasi agar kita lebih memahamiAda kontras antara barisan
� n+2n
�dan
��� 54
�n�.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 3 / 47
Barisan dan Kekonvergenan
Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.
Secara natural isu kekonvergenan muncul.
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Matematika memilah atau mengklasi�kasi agar kita lebih memahamiAda kontras antara barisan
� n+2n
�dan
��� 54
�n�.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 3 / 47
Barisan dan Kekonvergenan
Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.Secara natural isu kekonvergenan muncul.
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Matematika memilah atau mengklasi�kasi agar kita lebih memahamiAda kontras antara barisan
� n+2n
�dan
��� 54
�n�.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 3 / 47
Barisan dan Kekonvergenan
Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.Secara natural isu kekonvergenan muncul.
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Matematika memilah atau mengklasi�kasi agar kita lebih memahami
Ada kontras antara barisan� n+2n
�dan
��� 54
�n�.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 3 / 47
Barisan dan Kekonvergenan
Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.Secara natural isu kekonvergenan muncul.
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Matematika memilah atau mengklasi�kasi agar kita lebih memahamiAda kontras antara barisan
� n+2n
�dan
��� 54
�n�.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 3 / 47
Kekonvergenan
Matematika: klasi�kasi: konvergen vs divergen
De�nition (Kekonvergenan)
Barisan bilangan real (xn) dikatakan konvergen ke x jika untuk tiap ε > 0ada N 2 N sehingga
n � N =) jxn � x j < ε.
Notasi: limn!∞ xn = x dan x disebut limit dari barisan. Barisan (xn)disebut konvergen jika terdapat bilangan real x sehingga limn!∞ xn = x .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 4 / 47
Kekonvergenan
Matematika: klasi�kasi: konvergen vs divergen
De�nition (Kekonvergenan)
Barisan bilangan real (xn) dikatakan konvergen ke x jika untuk tiap ε > 0ada N 2 N sehingga
n � N =) jxn � x j < ε.
Notasi: limn!∞ xn = x dan x disebut limit dari barisan. Barisan (xn)disebut konvergen jika terdapat bilangan real x sehingga limn!∞ xn = x .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 4 / 47
De�nisi kekonvergenan melibatkan limit:
Membuktikan limit tetapi sudah tahu limitnya atau calon limitSulit bila kita tidak memiliki gambaran mengenai calon limit.
Diperlukan kriteria kekonvergenan yang tidak melibatkan limit
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 5 / 47
De�nisi kekonvergenan melibatkan limit:
Membuktikan limit tetapi sudah tahu limitnya atau calon limit
Sulit bila kita tidak memiliki gambaran mengenai calon limit.
Diperlukan kriteria kekonvergenan yang tidak melibatkan limit
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 5 / 47
De�nisi kekonvergenan melibatkan limit:
Membuktikan limit tetapi sudah tahu limitnya atau calon limitSulit bila kita tidak memiliki gambaran mengenai calon limit.
Diperlukan kriteria kekonvergenan yang tidak melibatkan limit
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 5 / 47
De�nisi kekonvergenan melibatkan limit:
Membuktikan limit tetapi sudah tahu limitnya atau calon limitSulit bila kita tidak memiliki gambaran mengenai calon limit.
Diperlukan kriteria kekonvergenan yang tidak melibatkan limit
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 5 / 47
Kriteria Cauchy
De�nition
Barisan (xn) disebut barisan Cauchy jika memenuhi syarat jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n,m � N =) jxn � xm j < ε.
Syarat ini disebut kriteria Cauchy.
Theorem
Barisan bilangan real (xn) konvergen jikka (xn) barisan Cauchy.
Kriteria Cauchy memungkinkan kita untuk menguji kekonvergenantanpa harus mengetahui limitnyaPerhatikan bahwa pada kriteria Cauchy, jxn � xm j < ε untuk tiapn,m � N.
Bedakan dengan jxn � xn+k j < ε untuk tiap n � N ataulimn!∞ jxn � xn+k j = 0.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 6 / 47
Kriteria Cauchy
De�nition
Barisan (xn) disebut barisan Cauchy jika memenuhi syarat jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n,m � N =) jxn � xm j < ε.
Syarat ini disebut kriteria Cauchy.
Theorem
Barisan bilangan real (xn) konvergen jikka (xn) barisan Cauchy.
Kriteria Cauchy memungkinkan kita untuk menguji kekonvergenantanpa harus mengetahui limitnyaPerhatikan bahwa pada kriteria Cauchy, jxn � xm j < ε untuk tiapn,m � N.
Bedakan dengan jxn � xn+k j < ε untuk tiap n � N ataulimn!∞ jxn � xn+k j = 0.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 6 / 47
Kriteria Cauchy
De�nition
Barisan (xn) disebut barisan Cauchy jika memenuhi syarat jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n,m � N =) jxn � xm j < ε.
Syarat ini disebut kriteria Cauchy.
Theorem
Barisan bilangan real (xn) konvergen jikka (xn) barisan Cauchy.
Kriteria Cauchy memungkinkan kita untuk menguji kekonvergenantanpa harus mengetahui limitnya
Perhatikan bahwa pada kriteria Cauchy, jxn � xm j < ε untuk tiapn,m � N.
Bedakan dengan jxn � xn+k j < ε untuk tiap n � N ataulimn!∞ jxn � xn+k j = 0.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 6 / 47
Kriteria Cauchy
De�nition
Barisan (xn) disebut barisan Cauchy jika memenuhi syarat jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n,m � N =) jxn � xm j < ε.
Syarat ini disebut kriteria Cauchy.
Theorem
Barisan bilangan real (xn) konvergen jikka (xn) barisan Cauchy.
Kriteria Cauchy memungkinkan kita untuk menguji kekonvergenantanpa harus mengetahui limitnyaPerhatikan bahwa pada kriteria Cauchy, jxn � xm j < ε untuk tiapn,m � N.
Bedakan dengan jxn � xn+k j < ε untuk tiap n � N ataulimn!∞ jxn � xn+k j = 0.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 6 / 47
Kriteria Cauchy
De�nition
Barisan (xn) disebut barisan Cauchy jika memenuhi syarat jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n,m � N =) jxn � xm j < ε.
Syarat ini disebut kriteria Cauchy.
Theorem
Barisan bilangan real (xn) konvergen jikka (xn) barisan Cauchy.
Kriteria Cauchy memungkinkan kita untuk menguji kekonvergenantanpa harus mengetahui limitnyaPerhatikan bahwa pada kriteria Cauchy, jxn � xm j < ε untuk tiapn,m � N.
Bedakan dengan jxn � xn+k j < ε untuk tiap n � N ataulimn!∞ jxn � xn+k j = 0.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 6 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Metrik
Konvergen () jarak
ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat
ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .
De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)
Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n � N =) ρ (xn, x) < ε.
U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 7 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Metrik
Konvergen () jarak
ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.
(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat
ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .
De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)
Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n � N =) ρ (xn, x) < ε.
U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 7 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Metrik
Konvergen () jarak
ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat
ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .
De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)
Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n � N =) ρ (xn, x) < ε.
U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 7 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Metrik
Konvergen () jarak
ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat
ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .
ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .
De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)
Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n � N =) ρ (xn, x) < ε.
U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 7 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Metrik
Konvergen () jarak
ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat
ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .
ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .
De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)
Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n � N =) ρ (xn, x) < ε.
U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 7 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Metrik
Konvergen () jarak
ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat
ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .
De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)
Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n � N =) ρ (xn, x) < ε.
U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 7 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Metrik
Konvergen () jarak
ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat
ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .
De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)
Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n � N =) ρ (xn, x) < ε.
U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 7 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Metrik
Konvergen () jarak
ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat
ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .
De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)
Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga
n � N =) ρ (xn, x) < ε.
U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 7 / 47
Beberapa metrik
ρ (x , y) = jx � y j
ρ (~x ,~y) =q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2
ρ (~x ,~y) = max fjx1 � y1j , � � � , jxn � yn jgρ̄ (~x ,~y) = min fρ (~x ,~y) , 1g
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 8 / 47
Beberapa metrik
ρ (x , y) = jx � y j
ρ (~x ,~y) =q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2
ρ (~x ,~y) = max fjx1 � y1j , � � � , jxn � yn jgρ̄ (~x ,~y) = min fρ (~x ,~y) , 1g
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 8 / 47
Beberapa metrik
ρ (x , y) = jx � y j
ρ (~x ,~y) =q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2
ρ (~x ,~y) = max fjx1 � y1j , � � � , jxn � yn jg
ρ̄ (~x ,~y) = min fρ (~x ,~y) , 1g
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 8 / 47
Beberapa metrik
ρ (x , y) = jx � y j
ρ (~x ,~y) =q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2
ρ (~x ,~y) = max fjx1 � y1j , � � � , jxn � yn jgρ̄ (~x ,~y) = min fρ (~x ,~y) , 1g
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 8 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.
(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .
Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .
Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .
Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .
Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .
Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .
Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .
Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .
Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .
Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikg
Barisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .
Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kekonvergenan pada Ruang Topologi
Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika
f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .
Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N
sehinggan � N =) xn 2 U.
Metrizable.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47
Kuratowski Closure Axioms
Lebih kentara tema limit dan kedekatannya.
Diberikan himpunan X dan P (X ) himpunan kuasa X . Operatortutupan (closure) adalah operator c : P (X )! P (X ) sehingga
c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .
Himpunan tutup adalah himpunan A sehingga c (A) = A. HimpunanA disebut buka jika A adalah komplemen dari suatu himpunan tutup.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 10 / 47
Kuratowski Closure Axioms
Lebih kentara tema limit dan kedekatannya.
Diberikan himpunan X dan P (X ) himpunan kuasa X . Operatortutupan (closure) adalah operator c : P (X )! P (X ) sehingga
c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .
Himpunan tutup adalah himpunan A sehingga c (A) = A. HimpunanA disebut buka jika A adalah komplemen dari suatu himpunan tutup.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 10 / 47
Kuratowski Closure Axioms
Lebih kentara tema limit dan kedekatannya.
Diberikan himpunan X dan P (X ) himpunan kuasa X . Operatortutupan (closure) adalah operator c : P (X )! P (X ) sehingga
c (∅) = ∅
Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .
Himpunan tutup adalah himpunan A sehingga c (A) = A. HimpunanA disebut buka jika A adalah komplemen dari suatu himpunan tutup.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 10 / 47
Kuratowski Closure Axioms
Lebih kentara tema limit dan kedekatannya.
Diberikan himpunan X dan P (X ) himpunan kuasa X . Operatortutupan (closure) adalah operator c : P (X )! P (X ) sehingga
c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .
Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .
Himpunan tutup adalah himpunan A sehingga c (A) = A. HimpunanA disebut buka jika A adalah komplemen dari suatu himpunan tutup.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 10 / 47
Kuratowski Closure Axioms
Lebih kentara tema limit dan kedekatannya.
Diberikan himpunan X dan P (X ) himpunan kuasa X . Operatortutupan (closure) adalah operator c : P (X )! P (X ) sehingga
c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.
Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .
Himpunan tutup adalah himpunan A sehingga c (A) = A. HimpunanA disebut buka jika A adalah komplemen dari suatu himpunan tutup.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 10 / 47
Kuratowski Closure Axioms
Lebih kentara tema limit dan kedekatannya.
Diberikan himpunan X dan P (X ) himpunan kuasa X . Operatortutupan (closure) adalah operator c : P (X )! P (X ) sehingga
c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .
Himpunan tutup adalah himpunan A sehingga c (A) = A. HimpunanA disebut buka jika A adalah komplemen dari suatu himpunan tutup.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 10 / 47
Kuratowski Closure Axioms
Lebih kentara tema limit dan kedekatannya.
Diberikan himpunan X dan P (X ) himpunan kuasa X . Operatortutupan (closure) adalah operator c : P (X )! P (X ) sehingga
c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .
Himpunan tutup adalah himpunan A sehingga c (A) = A. HimpunanA disebut buka jika A adalah komplemen dari suatu himpunan tutup.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 10 / 47
Basis dan Subbasis
De�nition
Misalkan (X , T ) adalah ruang topologi. Basis bagi topologi atas X adalahkoleksi B subset dari X , disebut elemen basis sehingga
1 Untuk tiap x , terdapat B 2 B yang memuat x .2 Jika x 2 B1 \ B2,B1 2 B,B2 2 B, maka terdapat B3 2 B sehinggax 2 B3 � B1 \ B2.
3 A � X buka dalam topologi yang dibangkitkan B jika dan hanya jikauntuk tiap x 2 A terdapat B 2 B sehingga x 2 B � A.
Subbasis bagi suatu topologi dari X adalah koleksi himpunan bagianX yang gabungannya adalah X .
Topologi yang dibangkitkan oleh subbasis S adalah T yangmerupakan koleksi semua gabungan dari irisan-irisan hingga darianggota S .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 11 / 47
Barisan Fungsi: De�nisi
Pada barisan fungsi disepakati bahwa fungsi-fungsi dari X ! Y .Y X = ff : f : X ! Y g .
De�nition
Barisan fungsi adalah fungsi F :N ! Y X . Notasi: F (n) = fn.
F = (fn) = ffngn�n0 = ffn0 , fn0+1, fn0+2, . . .g
dengan fn adalah fungsi.
Disini hanya akan dibicarakan fungsi-fungsi real yang terde�nisi padahimpunan bagian dari R,
f 2 AR,A � R.
Konsep barisan fungsi menyelinap dalam mata kuliah kalkulusmaupun pendahuluan analisis real dalam nama deret pangkat.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 12 / 47
Kekonvergenan dan Limit
Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.
Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.
Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.
Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 13 / 47
Kekonvergenan dan Limit
Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.
Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.
Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.
Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 13 / 47
Kekonvergenan dan Limit
Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.
Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.
Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 13 / 47
Kekonvergenan dan Limit
Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.
Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.
Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.
Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 13 / 47
Kekonvergenan dan Limit
Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.
Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.
Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 13 / 47
Kekonvergenan dan Limit
Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.
Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.
Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .
Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 13 / 47
Kekonvergenan dan Limit
Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.
Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.
Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 13 / 47
Kekonvergenan Barisan Fungsi
Telah disebutkan sebelumnya kita akan menggunakan gagasankekonvergenan barisan bilangan real konvergen ke suatu bilanganuntuk membangun suatu pengertian kekonvegenan barisan fungsi kesuatu fungsi.
Berikut adalah plot dari barisan�n sin xn
�, untuk n = 1..10 bersama
garis y = x . Tampak gra�k mendekati garis y = x walau tidakserentak.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 14 / 47
Kekonvergenan Barisan Fungsi
Telah disebutkan sebelumnya kita akan menggunakan gagasankekonvergenan barisan bilangan real konvergen ke suatu bilanganuntuk membangun suatu pengertian kekonvegenan barisan fungsi kesuatu fungsi.
Berikut adalah plot dari barisan�n sin xn
�, untuk n = 1..10 bersama
garis y = x . Tampak gra�k mendekati garis y = x walau tidakserentak.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 14 / 47
Kekonvergenan Barisan Fungsi
Berikut adalah plot dari barisan�n sin xn
�, untuk n = 1..10 bersama
garis y = x . Tampak gra�k mendekati garis y = x walau tidakserentak.
Tapi ini memberi cukup alasan untuk mengatakan bahwa barisan�n sin xn
�konvergen ke y = x .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 15 / 47
Kekonvergenan Barisan Fungsi
Berikut adalah plot dari barisan�n sin xn
�, untuk n = 1..10 bersama
garis y = x . Tampak gra�k mendekati garis y = x walau tidakserentak.Tapi ini memberi cukup alasan untuk mengatakan bahwa barisan�n sin xn
�konvergen ke y = x .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 15 / 47
Kekonvergenan Per Titik
De�nition
Barisan fungsi (fn) disebut konvergen per titik pada D ke fungsif : D ! R jika untuk tiap x 2 D,
limn!∞
fn (x) = f (x) .
Fungsi f disebut limit dari (fn) pada D.
De�nition
Himpunan D disebut daerah kekonvergenan (fn) jika
D = fx : (fn (x)) adalah barisan konvergeng
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 16 / 47
Karena fokus kita adalah fungsi, kita ingin berbicara pada level fungsisebagai objek abstrak, maka kita menggunakan notasi yang tidakmerujuk pada titik.
f = limn!∞
(fn)
Misalkan D : daerah kekonvegenan (fn) . Kadang-kadang kita inginmembicarakan limit pada subset M dari D. Notasi adalah
(fn) konvergen ke f pada M atau fn konvergen ke f pada M atau fn ! f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 17 / 47
Karena fokus kita adalah fungsi, kita ingin berbicara pada level fungsisebagai objek abstrak, maka kita menggunakan notasi yang tidakmerujuk pada titik.
f = limn!∞
(fn)
Misalkan D : daerah kekonvegenan (fn) . Kadang-kadang kita inginmembicarakan limit pada subset M dari D. Notasi adalah
(fn) konvergen ke f pada M atau fn konvergen ke f pada M atau fn ! f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 17 / 47
Example (Barisan Geometri )
fn : R ! R dengan fn (x) = xn untuk tiap n 2 N. Barisan fungsi (fn)konvergen pada selang (�1, 1].
f (x) =�0, jika jx j < 11, jika x = 1
.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 18 / 47
Example
fn : R ! R dengan fn (x) = x1n untuk tiap n 2 N. Barisan fungsi (fn)
konvergen pada selang [0,∞) pada fungsi
f (x) =�0, jika x = 01, jika x > 1
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 19 / 47
Sifat-sifat Kekonvergenan
Theorem (Sifat-sifat Kekonvergenan)
Misalkan (fn)! f pada M dan (gn)! g pada N dan a 2 R.
1 (afn)! af pada M \N.
2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .
Adanya sifat-sifat barisan bilangan yang diwariskan memberi sinyalbaiknya konsep kekonvergenan per titik ini. Apakah cukup baik?
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 20 / 47
Sifat-sifat Kekonvergenan
Theorem (Sifat-sifat Kekonvergenan)
Misalkan (fn)! f pada M dan (gn)! g pada N dan a 2 R.
1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.
3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .
Adanya sifat-sifat barisan bilangan yang diwariskan memberi sinyalbaiknya konsep kekonvergenan per titik ini. Apakah cukup baik?
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 20 / 47
Sifat-sifat Kekonvergenan
Theorem (Sifat-sifat Kekonvergenan)
Misalkan (fn)! f pada M dan (gn)! g pada N dan a 2 R.
1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.
4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .
Adanya sifat-sifat barisan bilangan yang diwariskan memberi sinyalbaiknya konsep kekonvergenan per titik ini. Apakah cukup baik?
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 20 / 47
Sifat-sifat Kekonvergenan
Theorem (Sifat-sifat Kekonvergenan)
Misalkan (fn)! f pada M dan (gn)! g pada N dan a 2 R.
1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.
5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .
Adanya sifat-sifat barisan bilangan yang diwariskan memberi sinyalbaiknya konsep kekonvergenan per titik ini. Apakah cukup baik?
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 20 / 47
Sifat-sifat Kekonvergenan
Theorem (Sifat-sifat Kekonvergenan)
Misalkan (fn)! f pada M dan (gn)! g pada N dan a 2 R.
1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .
6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .
Adanya sifat-sifat barisan bilangan yang diwariskan memberi sinyalbaiknya konsep kekonvergenan per titik ini. Apakah cukup baik?
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 20 / 47
Sifat-sifat Kekonvergenan
Theorem (Sifat-sifat Kekonvergenan)
Misalkan (fn)! f pada M dan (gn)! g pada N dan a 2 R.
1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .
Adanya sifat-sifat barisan bilangan yang diwariskan memberi sinyalbaiknya konsep kekonvergenan per titik ini. Apakah cukup baik?
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 20 / 47
Sifat-sifat Kekonvergenan
Theorem (Sifat-sifat Kekonvergenan)
Misalkan (fn)! f pada M dan (gn)! g pada N dan a 2 R.
1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .
Adanya sifat-sifat barisan bilangan yang diwariskan memberi sinyalbaiknya konsep kekonvergenan per titik ini. Apakah cukup baik?
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 20 / 47
Komposisi
Kita menginginkan: Jika fn ! f pada M dan gn ! g pada N dengangn : M ! N tiap n 2 N, maka fn (gn)! f (g) pada M.
Misalkan fn (x) = arctan (nx) dan gn (x) = xn .
fn ! f dengan f (x) =
8<:�π2 , jika x < 0
0, jika x = 0π2 , jika x > 0
fn ! g dengan g (x) = 0
Tetapifn (gn (x)) = arctan (x) dan f (g (x)) = 0.
Theorem
1 Jika fn ! f pada M dan g : N ! M, maka fn (g)! f (g) pada N.
2 Jika fn ! f pada M dan g : M ! N, maka g (fn)! g (f ) pada N
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 21 / 47
Komposisi
Kita menginginkan: Jika fn ! f pada M dan gn ! g pada N dengangn : M ! N tiap n 2 N, maka fn (gn)! f (g) pada M.Misalkan fn (x) = arctan (nx) dan gn (x) = x
n .
fn ! f dengan f (x) =
8<:�π2 , jika x < 0
0, jika x = 0π2 , jika x > 0
fn ! g dengan g (x) = 0
Tetapifn (gn (x)) = arctan (x) dan f (g (x)) = 0.
Theorem
1 Jika fn ! f pada M dan g : N ! M, maka fn (g)! f (g) pada N.
2 Jika fn ! f pada M dan g : M ! N, maka g (fn)! g (f ) pada N
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 21 / 47
Komposisi
Kita menginginkan: Jika fn ! f pada M dan gn ! g pada N dengangn : M ! N tiap n 2 N, maka fn (gn)! f (g) pada M.Misalkan fn (x) = arctan (nx) dan gn (x) = x
n .
fn ! f dengan f (x) =
8<:�π2 , jika x < 0
0, jika x = 0π2 , jika x > 0
fn ! g dengan g (x) = 0
Tetapifn (gn (x)) = arctan (x) dan f (g (x)) = 0.
Theorem
1 Jika fn ! f pada M dan g : N ! M, maka fn (g)! f (g) pada N.
2 Jika fn ! f pada M dan g : M ! N, maka g (fn)! g (f ) pada N
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 21 / 47
Komposisi
Kita menginginkan: Jika fn ! f pada M dan gn ! g pada N dengangn : M ! N tiap n 2 N, maka fn (gn)! f (g) pada M.Misalkan fn (x) = arctan (nx) dan gn (x) = x
n .
fn ! f dengan f (x) =
8<:�π2 , jika x < 0
0, jika x = 0π2 , jika x > 0
fn ! g dengan g (x) = 0
Tetapifn (gn (x)) = arctan (x) dan f (g (x)) = 0.
Theorem
1 Jika fn ! f pada M dan g : N ! M, maka fn (g)! f (g) pada N.
2 Jika fn ! f pada M dan g : M ! N, maka g (fn)! g (f ) pada N
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 21 / 47
Komposisi
Kita menginginkan: Jika fn ! f pada M dan gn ! g pada N dengangn : M ! N tiap n 2 N, maka fn (gn)! f (g) pada M.Misalkan fn (x) = arctan (nx) dan gn (x) = x
n .
fn ! f dengan f (x) =
8<:�π2 , jika x < 0
0, jika x = 0π2 , jika x > 0
fn ! g dengan g (x) = 0
Tetapifn (gn (x)) = arctan (x) dan f (g (x)) = 0.
Theorem
1 Jika fn ! f pada M dan g : N ! M, maka fn (g)! f (g) pada N.
2 Jika fn ! f pada M dan g : M ! N, maka g (fn)! g (f ) pada N
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 21 / 47
Komposisi
Kita menginginkan: Jika fn ! f pada M dan gn ! g pada N dengangn : M ! N tiap n 2 N, maka fn (gn)! f (g) pada M.Misalkan fn (x) = arctan (nx) dan gn (x) = x
n .
fn ! f dengan f (x) =
8<:�π2 , jika x < 0
0, jika x = 0π2 , jika x > 0
fn ! g dengan g (x) = 0
Tetapifn (gn (x)) = arctan (x) dan f (g (x)) = 0.
Theorem
1 Jika fn ! f pada M dan g : N ! M, maka fn (g)! f (g) pada N.
2 Jika fn ! f pada M dan g : M ! N, maka g (fn)! g (f ) pada N
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 21 / 47
Preservasi
Theorem
Diberikan (fn)! f pada M.
1 Jika fn genap [ganjil] untuk tiap n, maka f genap [ganjil]
2 Jika fn periodik dengan perioda p untuk tiap n, maka f periodikdengan perioda p
3 Jika fn monoton tak turun [naik] untuk tiap n, maka f monoton takturun [naik].
Sifat-sifat berikut tidak diawetkan: injektif, kontinu, monoton naik[turun], terturunkan, terintegral, terbatas.Lihat kembali barisan
�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 22 / 47
Preservasi
Theorem
Diberikan (fn)! f pada M.
1 Jika fn genap [ganjil] untuk tiap n, maka f genap [ganjil]2 Jika fn periodik dengan perioda p untuk tiap n, maka f periodikdengan perioda p
3 Jika fn monoton tak turun [naik] untuk tiap n, maka f monoton takturun [naik].
Sifat-sifat berikut tidak diawetkan: injektif, kontinu, monoton naik[turun], terturunkan, terintegral, terbatas.Lihat kembali barisan
�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 22 / 47
Preservasi
Theorem
Diberikan (fn)! f pada M.
1 Jika fn genap [ganjil] untuk tiap n, maka f genap [ganjil]2 Jika fn periodik dengan perioda p untuk tiap n, maka f periodikdengan perioda p
3 Jika fn monoton tak turun [naik] untuk tiap n, maka f monoton takturun [naik].
Sifat-sifat berikut tidak diawetkan: injektif, kontinu, monoton naik[turun], terturunkan, terintegral, terbatas.Lihat kembali barisan
�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 22 / 47
Preservasi
Theorem
Diberikan (fn)! f pada M.
1 Jika fn genap [ganjil] untuk tiap n, maka f genap [ganjil]2 Jika fn periodik dengan perioda p untuk tiap n, maka f periodikdengan perioda p
3 Jika fn monoton tak turun [naik] untuk tiap n, maka f monoton takturun [naik].
Sifat-sifat berikut tidak diawetkan: injektif, kontinu, monoton naik[turun], terturunkan, terintegral, terbatas.
Lihat kembali barisan�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 22 / 47
Preservasi
Theorem
Diberikan (fn)! f pada M.
1 Jika fn genap [ganjil] untuk tiap n, maka f genap [ganjil]2 Jika fn periodik dengan perioda p untuk tiap n, maka f periodikdengan perioda p
3 Jika fn monoton tak turun [naik] untuk tiap n, maka f monoton takturun [naik].
Sifat-sifat berikut tidak diawetkan: injektif, kontinu, monoton naik[turun], terturunkan, terintegral, terbatas.Lihat kembali barisan
�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 22 / 47
Preservasi
Theorem
Diberikan (fn)! f pada M.
1 Jika fn genap [ganjil] untuk tiap n, maka f genap [ganjil]2 Jika fn periodik dengan perioda p untuk tiap n, maka f periodikdengan perioda p
3 Jika fn monoton tak turun [naik] untuk tiap n, maka f monoton takturun [naik].
Sifat-sifat berikut tidak diawetkan: injektif, kontinu, monoton naik[turun], terturunkan, terintegral, terbatas.Lihat kembali barisan
�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 22 / 47
Lihat kembali barisan�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Kekonvergenan per titik �gagal�mengawetkan berbagai sifat penting.
Jika kita ingin membangun sebuah fungsi dengan sifat P, akan sangatbaik jika dibangun melalui barisan fungsi-fungsi sederhana dengansifat P dan diketahui bahwa sifat P diawetkan.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 23 / 47
Lihat kembali barisan�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Kekonvergenan per titik �gagal�mengawetkan berbagai sifat penting.
Jika kita ingin membangun sebuah fungsi dengan sifat P, akan sangatbaik jika dibangun melalui barisan fungsi-fungsi sederhana dengansifat P dan diketahui bahwa sifat P diawetkan.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 23 / 47
Lihat kembali barisan�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Kekonvergenan per titik �gagal�mengawetkan berbagai sifat penting.
Jika kita ingin membangun sebuah fungsi dengan sifat P, akan sangatbaik jika dibangun melalui barisan fungsi-fungsi sederhana dengansifat P dan diketahui bahwa sifat P diawetkan.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 23 / 47
Lihat kembali barisan�arctan
� xn
��, tiap n 2 N, arctan
� xn
�adalah
monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.
Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p
x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi
fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.
Kekonvergenan per titik �gagal�mengawetkan berbagai sifat penting.
Jika kita ingin membangun sebuah fungsi dengan sifat P, akan sangatbaik jika dibangun melalui barisan fungsi-fungsi sederhana dengansifat P dan diketahui bahwa sifat P diawetkan.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 23 / 47
Kekontinuan
Diberikan barisan fungsi kontinu (fn) yang konvergen ke f pada D
Misalkan a adalah titik dalam dari D.Dari kriteria kekontinuan via barisan, kita ketahui bahwa f kontinu di ajika nilai f di a sama dengan limitnya di a.
limx!a
f (x) = f (a), limx!a
�limn!∞
fn (x)�= limn!∞
fn (a)
, limx!a
�limn!∞
fn (x)�= limn!∞
�limx!a
fn (x)�
kesamaan terakhir karena fn kontinu.Pertukaran limit ekivalen dengan kekontinuan
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 24 / 47
Kekontinuan
Diberikan barisan fungsi kontinu (fn) yang konvergen ke f pada D
Misalkan a adalah titik dalam dari D.
Dari kriteria kekontinuan via barisan, kita ketahui bahwa f kontinu di ajika nilai f di a sama dengan limitnya di a.
limx!a
f (x) = f (a), limx!a
�limn!∞
fn (x)�= limn!∞
fn (a)
, limx!a
�limn!∞
fn (x)�= limn!∞
�limx!a
fn (x)�
kesamaan terakhir karena fn kontinu.Pertukaran limit ekivalen dengan kekontinuan
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 24 / 47
Kekontinuan
Diberikan barisan fungsi kontinu (fn) yang konvergen ke f pada D
Misalkan a adalah titik dalam dari D.Dari kriteria kekontinuan via barisan, kita ketahui bahwa f kontinu di ajika nilai f di a sama dengan limitnya di a.
limx!a
f (x) = f (a), limx!a
�limn!∞
fn (x)�= limn!∞
fn (a)
, limx!a
�limn!∞
fn (x)�= limn!∞
�limx!a
fn (x)�
kesamaan terakhir karena fn kontinu.
Pertukaran limit ekivalen dengan kekontinuan
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 24 / 47
Kekontinuan
Diberikan barisan fungsi kontinu (fn) yang konvergen ke f pada D
Misalkan a adalah titik dalam dari D.Dari kriteria kekontinuan via barisan, kita ketahui bahwa f kontinu di ajika nilai f di a sama dengan limitnya di a.
limx!a
f (x) = f (a), limx!a
�limn!∞
fn (x)�= limn!∞
fn (a)
, limx!a
�limn!∞
fn (x)�= limn!∞
�limx!a
fn (x)�
kesamaan terakhir karena fn kontinu.Pertukaran limit ekivalen dengan kekontinuan
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 24 / 47
Pada contoh sebelumnya,
limx!0+ arctan (kx) = 0) limk!∞ limx!0+ arctan (kx) =limk!∞ 0 = 0.jika x > 0, mana limk!∞ arctan (kx) =
π2 )
limx!0+ limk!∞ arctan (kx) = limx!0+π2 =
π2 .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 25 / 47
Pada contoh sebelumnya,
limx!0+ arctan (kx) = 0) limk!∞ limx!0+ arctan (kx) =limk!∞ 0 = 0.
jika x > 0, mana limk!∞ arctan (kx) =π2 )
limx!0+ limk!∞ arctan (kx) = limx!0+π2 =
π2 .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 25 / 47
Pada contoh sebelumnya,
limx!0+ arctan (kx) = 0) limk!∞ limx!0+ arctan (kx) =limk!∞ 0 = 0.jika x > 0, mana limk!∞ arctan (kx) =
π2 )
limx!0+ limk!∞ arctan (kx) = limx!0+π2 =
π2 .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 25 / 47
Keterturunan
Kita memimpikan tidak hanya limit f terturunkan, tetapi juga f 0
dapat diperoleh dari limit turunan dari fn.
bahwa jika fn ! f dan fn mempunyai turunan, maka f juga punyaturunan dan f 0n ! f 0.Jadi kita pinya opsi: 1. menentukan limit dan menghitung turunannyaatau sebaliknya
f 0 = limn!∞
f 0n ,�limn!∞
fn�0= limn!∞
f 0n
Pada contoh fn (x) = arctan (nx) , limit tidak terturunkan.
Example
Misalkan fn (x) =sin(n2x)
n , n 2 N. Jelas, fn ! 0. Tetapif 0n (x) = �n sin
�n2x
�9 f 0 = 0
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 26 / 47
Keterturunan
Kita memimpikan tidak hanya limit f terturunkan, tetapi juga f 0
dapat diperoleh dari limit turunan dari fn.bahwa jika fn ! f dan fn mempunyai turunan, maka f juga punyaturunan dan f 0n ! f 0.
Jadi kita pinya opsi: 1. menentukan limit dan menghitung turunannyaatau sebaliknya
f 0 = limn!∞
f 0n ,�limn!∞
fn�0= limn!∞
f 0n
Pada contoh fn (x) = arctan (nx) , limit tidak terturunkan.
Example
Misalkan fn (x) =sin(n2x)
n , n 2 N. Jelas, fn ! 0. Tetapif 0n (x) = �n sin
�n2x
�9 f 0 = 0
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 26 / 47
Keterturunan
Kita memimpikan tidak hanya limit f terturunkan, tetapi juga f 0
dapat diperoleh dari limit turunan dari fn.bahwa jika fn ! f dan fn mempunyai turunan, maka f juga punyaturunan dan f 0n ! f 0.Jadi kita pinya opsi: 1. menentukan limit dan menghitung turunannyaatau sebaliknya
f 0 = limn!∞
f 0n ,�limn!∞
fn�0= limn!∞
f 0n
Pada contoh fn (x) = arctan (nx) , limit tidak terturunkan.
Example
Misalkan fn (x) =sin(n2x)
n , n 2 N. Jelas, fn ! 0. Tetapif 0n (x) = �n sin
�n2x
�9 f 0 = 0
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 26 / 47
Keterturunan
Kita memimpikan tidak hanya limit f terturunkan, tetapi juga f 0
dapat diperoleh dari limit turunan dari fn.bahwa jika fn ! f dan fn mempunyai turunan, maka f juga punyaturunan dan f 0n ! f 0.Jadi kita pinya opsi: 1. menentukan limit dan menghitung turunannyaatau sebaliknya
f 0 = limn!∞
f 0n ,�limn!∞
fn�0= limn!∞
f 0n
Pada contoh fn (x) = arctan (nx) , limit tidak terturunkan.
Example
Misalkan fn (x) =sin(n2x)
n , n 2 N. Jelas, fn ! 0. Tetapif 0n (x) = �n sin
�n2x
�9 f 0 = 0
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 26 / 47
Keterturunan
Kita memimpikan tidak hanya limit f terturunkan, tetapi juga f 0
dapat diperoleh dari limit turunan dari fn.bahwa jika fn ! f dan fn mempunyai turunan, maka f juga punyaturunan dan f 0n ! f 0.Jadi kita pinya opsi: 1. menentukan limit dan menghitung turunannyaatau sebaliknya
f 0 = limn!∞
f 0n ,�limn!∞
fn�0= limn!∞
f 0n
Pada contoh fn (x) = arctan (nx) , limit tidak terturunkan.
Example
Misalkan fn (x) =sin(n2x)
n , n 2 N. Jelas, fn ! 0. Tetapif 0n (x) = �n sin
�n2x
�9 f 0 = 0
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 26 / 47
Pada contoh berikut, limit mempunyai turunan, sekalipun limit dari fntidak memiliki turunan.
Example
Misalkan fn (x) =sin(n2x)
n , n 2 N. Jelas, fn ! 0. Tetapif 0n (x) = �n sin
�n2x
�9 f 0 = 0
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 27 / 47
Keterintegralan
Situasi serupa juga muncul dalam hal keterintegralan. Kitamenginginkan untuk tiap [a, b] � MZ b
af (x) dx = lim
n!∞
Z b
afn (x) dx ()
Z b
alimn!∞
fn (x) dx = limn!∞
Z b
afn (x) dx
atauZ x
af (t) dt = lim
n!∞
Z x
afn (t) dt ()
Z x
alimn!∞
fn (t) dt = limn!∞
Z b
afn (t) dt
Sekalipun fn terintegral dan fn ! f pada M, tidak dijamin bahwaantiturunan Fn konvergen ke F .
Example
Misalkan fn : [0,∞)! R dengan
fn (x) =
8<:n2x , jika 0 � x � 1
n�n2x + 2n, jika 1
n < x <2n
0, jika x � 2n
.
Jelas fn ! f = 0 tetapiR ∞0 fn (x) dx = 1.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 28 / 47
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 29 / 47
Kekonvergenan Seragam
Pada contoh pertama dan kedua, ada fenomena yang berulang.
Pada contoh pertama, limit kehilangan kekontinuan di x = 1 dan adaperbedaan laju kekonvergenan. Untuk jx j < 1, makin dekat x ke 1,laju ke 0 makin lambat.Pada contoh kedua, limit kehilangan keterturunan di x = 0, makinlambat fn menuju limitnya.
Maka kita perlu memperbaiki �cacat�ini.
De�nition
Diberikan barisan fungsi (fn) yang semua terde�nisi pada M. Barisan (fn)disebut konvergen seragam ke f pada M jikka untuk tiap ε > 0,terdapat Nsehingga
n � N dan x 2 M =) jfn (x)� f (x)j < ε.
Notasi: fn � f .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 30 / 47
Beberapa Fakta
TheoremJika fn � f pada M, maka f ! f pada M.
Jadi kekonvergenan seragam lebih kuat dari pada kekonvergenan pertitik
Theorem
fn � f pada M jikka limn!∞ sup jfn (x)� f (x)j = 0 untuk tiap x 2 M.
Theorem
Jika terdapat barisan bilangan real (αn) konvergen ke 0 dan
jfn (x)� f (x)j < αn, tiap n 2 N, x 2 M,
maka fn � f .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 31 / 47
Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit.
Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari. Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen. Abel (1826) memberi contoh penyangkal.Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 32 / 47
Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit. Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari.
Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen. Abel (1826) memberi contoh penyangkal.Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 32 / 47
Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit. Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari. Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen.
Abel (1826) memberi contoh penyangkal.Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 32 / 47
Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit. Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari. Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen. Abel (1826) memberi contoh penyangkal.
Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 32 / 47
Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit. Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari. Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen. Abel (1826) memberi contoh penyangkal.Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 32 / 47
Latihan
Selidiki kekonvergenan barisan fungsi
1�ex4 + 1
n sin (nx)�
2 (nxe�nx )3�sin� xn
��4� x n1+x n
�
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 33 / 47
Bukti bahwa kekonvergenan seragam jauh labih kuat darikekonvergenan per titik:
TheoremDiberikan fn � f pada M dan gn � g pada N. Jika gn : N ! M tiap N,maka (fn � gn)� f � g pada N.
Dalam hal kekontinuan, keterturunan, dan keterintegralan,
Theorem
Diberikan barisan fungsi (fn) dan fungsi f .
1 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka f juga kontinu pada M.
2 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka untuk tiap [a, b] � M,berlaku Z b
af (x) dx = lim
n!∞
Z bafn (x) dx .
3 Jika fn terturunkan pada M dan f 0n � g pada M, maka f terturunkan danf 0 = g . Selain itu fn � f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 34 / 47
Bukti bahwa kekonvergenan seragam jauh labih kuat darikekonvergenan per titik:
TheoremDiberikan fn � f pada M dan gn � g pada N. Jika gn : N ! M tiap N,maka (fn � gn)� f � g pada N.
Dalam hal kekontinuan, keterturunan, dan keterintegralan,
Theorem
Diberikan barisan fungsi (fn) dan fungsi f .
1 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka f juga kontinu pada M.
2 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka untuk tiap [a, b] � M,berlaku Z b
af (x) dx = lim
n!∞
Z bafn (x) dx .
3 Jika fn terturunkan pada M dan f 0n � g pada M, maka f terturunkan danf 0 = g . Selain itu fn � f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 34 / 47
Bukti bahwa kekonvergenan seragam jauh labih kuat darikekonvergenan per titik:
TheoremDiberikan fn � f pada M dan gn � g pada N. Jika gn : N ! M tiap N,maka (fn � gn)� f � g pada N.
Dalam hal kekontinuan, keterturunan, dan keterintegralan,
Theorem
Diberikan barisan fungsi (fn) dan fungsi f .
1 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka f juga kontinu pada M.
2 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka untuk tiap [a, b] � M,berlaku Z b
af (x) dx = lim
n!∞
Z bafn (x) dx .
3 Jika fn terturunkan pada M dan f 0n � g pada M, maka f terturunkan danf 0 = g . Selain itu fn � f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 34 / 47
Bukti bahwa kekonvergenan seragam jauh labih kuat darikekonvergenan per titik:
TheoremDiberikan fn � f pada M dan gn � g pada N. Jika gn : N ! M tiap N,maka (fn � gn)� f � g pada N.
Dalam hal kekontinuan, keterturunan, dan keterintegralan,
Theorem
Diberikan barisan fungsi (fn) dan fungsi f .
1 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka f juga kontinu pada M.
2 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka untuk tiap [a, b] � M,berlaku Z b
af (x) dx = lim
n!∞
Z bafn (x) dx .
3 Jika fn terturunkan pada M dan f 0n � g pada M, maka f terturunkan danf 0 = g . Selain itu fn � f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 34 / 47
Bukti bahwa kekonvergenan seragam jauh labih kuat darikekonvergenan per titik:
TheoremDiberikan fn � f pada M dan gn � g pada N. Jika gn : N ! M tiap N,maka (fn � gn)� f � g pada N.
Dalam hal kekontinuan, keterturunan, dan keterintegralan,
Theorem
Diberikan barisan fungsi (fn) dan fungsi f .
1 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka f juga kontinu pada M.
2 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka untuk tiap [a, b] � M,berlaku Z b
af (x) dx = lim
n!∞
Z bafn (x) dx .
3 Jika fn terturunkan pada M dan f 0n � g pada M, maka f terturunkan danf 0 = g . Selain itu fn � f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 34 / 47
Bukti bahwa kekonvergenan seragam jauh labih kuat darikekonvergenan per titik:
TheoremDiberikan fn � f pada M dan gn � g pada N. Jika gn : N ! M tiap N,maka (fn � gn)� f � g pada N.
Dalam hal kekontinuan, keterturunan, dan keterintegralan,
Theorem
Diberikan barisan fungsi (fn) dan fungsi f .
1 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka f juga kontinu pada M.
2 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka untuk tiap [a, b] � M,berlaku Z b
af (x) dx = lim
n!∞
Z bafn (x) dx .
3 Jika fn terturunkan pada M dan f 0n � g pada M, maka f terturunkan danf 0 = g . Selain itu fn � f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 34 / 47
Bukti bahwa kekonvergenan seragam jauh labih kuat darikekonvergenan per titik:
TheoremDiberikan fn � f pada M dan gn � g pada N. Jika gn : N ! M tiap N,maka (fn � gn)� f � g pada N.
Dalam hal kekontinuan, keterturunan, dan keterintegralan,
Theorem
Diberikan barisan fungsi (fn) dan fungsi f .
1 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka f juga kontinu pada M.
2 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka untuk tiap [a, b] � M,berlaku Z b
af (x) dx = lim
n!∞
Z bafn (x) dx .
3 Jika fn terturunkan pada M dan f 0n � g pada M, maka f terturunkan danf 0 = g . Selain itu fn � f pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 34 / 47
Pada bagian 3, fn � f tidak cukup. Lihat kembali contoh barisan
fungsi�sin(n2x)
n
�Bukti 2.Misalkan ε > 0. Terdapat N 2 N sehinggan � N, x 2 [a, b] =) jfn (x)� f (x)j < ε
b�a .����Z b
afn (x) dx �
Z b
af (x) dx
���� = ����Z b
a(fn (x)� f (x)) dx
����<
����Z b
a
ε
b� adx���� = ε.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 35 / 47
Theorem
Diberikan (fn) kontinu pada M dan fn � f pada M. Pilih a 2 M tetap.Untuk tiap x 2 M sehingga [a, x ] � M de�nisikan
Fn (x) =Z x
afn (t) dt dan F (x) =
Z x
af (t) dt.
Maka Fn � F pada M.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 36 / 47
Kekonvergenan Cauchy
Konvergen Cauchy per titik (pointwise) dan konvergen Cauchyseragam
De�nitions
Misalkan (fn) adalah barisan fungsi.
1 (fn) disebut konvergen Cauchy per titik pada M jika untuk tiap ε > 0 dantiap x 2 M, terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
2 (fn) disebut konvergen Cauchy seragam pada M jika untuk tiap ε > 0,terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
Tidak sulit membuktikan bahwa
konvergen per titik ekivalen konvergen Cauchy per titik.
konvergen seragam ekivalen konvergen Cauchy seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 37 / 47
Kekonvergenan Cauchy
Konvergen Cauchy per titik (pointwise) dan konvergen Cauchyseragam
De�nitions
Misalkan (fn) adalah barisan fungsi.
1 (fn) disebut konvergen Cauchy per titik pada M jika untuk tiap ε > 0 dantiap x 2 M, terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
2 (fn) disebut konvergen Cauchy seragam pada M jika untuk tiap ε > 0,terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
Tidak sulit membuktikan bahwa
konvergen per titik ekivalen konvergen Cauchy per titik.
konvergen seragam ekivalen konvergen Cauchy seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 37 / 47
Kekonvergenan Cauchy
Konvergen Cauchy per titik (pointwise) dan konvergen Cauchyseragam
De�nitions
Misalkan (fn) adalah barisan fungsi.
1 (fn) disebut konvergen Cauchy per titik pada M jika untuk tiap ε > 0 dantiap x 2 M, terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
2 (fn) disebut konvergen Cauchy seragam pada M jika untuk tiap ε > 0,terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
Tidak sulit membuktikan bahwa
konvergen per titik ekivalen konvergen Cauchy per titik.
konvergen seragam ekivalen konvergen Cauchy seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 37 / 47
Kekonvergenan Cauchy
Konvergen Cauchy per titik (pointwise) dan konvergen Cauchyseragam
De�nitions
Misalkan (fn) adalah barisan fungsi.
1 (fn) disebut konvergen Cauchy per titik pada M jika untuk tiap ε > 0 dantiap x 2 M, terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
2 (fn) disebut konvergen Cauchy seragam pada M jika untuk tiap ε > 0,terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
Tidak sulit membuktikan bahwa
konvergen per titik ekivalen konvergen Cauchy per titik.
konvergen seragam ekivalen konvergen Cauchy seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 37 / 47
Kekonvergenan Cauchy
Konvergen Cauchy per titik (pointwise) dan konvergen Cauchyseragam
De�nitions
Misalkan (fn) adalah barisan fungsi.
1 (fn) disebut konvergen Cauchy per titik pada M jika untuk tiap ε > 0 dantiap x 2 M, terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
2 (fn) disebut konvergen Cauchy seragam pada M jika untuk tiap ε > 0,terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
Tidak sulit membuktikan bahwa
konvergen per titik ekivalen konvergen Cauchy per titik.
konvergen seragam ekivalen konvergen Cauchy seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 37 / 47
Kekonvergenan Cauchy
Konvergen Cauchy per titik (pointwise) dan konvergen Cauchyseragam
De�nitions
Misalkan (fn) adalah barisan fungsi.
1 (fn) disebut konvergen Cauchy per titik pada M jika untuk tiap ε > 0 dantiap x 2 M, terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
2 (fn) disebut konvergen Cauchy seragam pada M jika untuk tiap ε > 0,terdapat Nx 2 N sehingga
m, n � Nx ) jfn (x)� fm (x)j < ε.
Tidak sulit membuktikan bahwa
konvergen per titik ekivalen konvergen Cauchy per titik.konvergen seragam ekivalen konvergen Cauchy seragam.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 37 / 47
Ruang Metrik
De�nition
Misalkan (X , dX ) dan (Y , dY ) ruang metrik dan (fn) adalah barisan fungsif : X ! Y . Barisan (fn) disebut konvergen seragam ke f : X ! Y padaX jika untuk tiap ε > 0, terdapat N 2 N sehingga
n � N dan x 2 X ) dY (fn (x) , f (x)) < ε,
Kekonvergenan seragam dapat diuangkapkan dalam konteks ruangmetrik. Misalkan B (X ,Y ) adalah himpunan fungsi dari X ke Y yangterbatas. Bangun metrik
d∞ : B (X ,Y )� B (X ,Y )! [0,∞)
sebagaid∞ (f , g) = sup
x2XdY (f (x) , g (x)) .
Disebut juga norm supremum atau metrik L∞.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 38 / 47
Theorem
Misalkan (X , dX ) dan (Y , dY ) ruang metrik dan (fn) adalah barisan fungsipada B (X ,Y ) . Diberikan f 2 B (X ,Y ) . Barisan (fn) konvergen seragamke f jikka (fn) konvergen ke f menurut metrik d∞B (X ,Y ) .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 39 / 47
Topologi
Ingat kembali
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Kekonvergenan dilandaskan pada konsep jarak/metrik. Nilai mutlakjxn � x j sebenarnya merupakan ukuran jarak antara xn dan x ,
jxn � x j < ε , xn 2 Bx ,ε.
Jadi, salah satu cara memperluas teori barisan ke teori barisan fungsiadalah dengan berlandaskan konsep metrik atau topologi.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 40 / 47
Topologi
Ingat kembali
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Kekonvergenan dilandaskan pada konsep jarak/metrik. Nilai mutlakjxn � x j sebenarnya merupakan ukuran jarak antara xn dan x ,
jxn � x j < ε , xn 2 Bx ,ε.
Jadi, salah satu cara memperluas teori barisan ke teori barisan fungsiadalah dengan berlandaskan konsep metrik atau topologi.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 40 / 47
Topologi
Ingat kembali
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Kekonvergenan dilandaskan pada konsep jarak/metrik. Nilai mutlakjxn � x j sebenarnya merupakan ukuran jarak antara xn dan x ,
jxn � x j < ε , xn 2 Bx ,ε.
Jadi, salah satu cara memperluas teori barisan ke teori barisan fungsiadalah dengan berlandaskan konsep metrik atau topologi.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 40 / 47
Topologi
Ingat kembali
De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan
n > Nε ) jxn � x j < ε.
Kekonvergenan dilandaskan pada konsep jarak/metrik. Nilai mutlakjxn � x j sebenarnya merupakan ukuran jarak antara xn dan x ,
jxn � x j < ε , xn 2 Bx ,ε.
Jadi, salah satu cara memperluas teori barisan ke teori barisan fungsiadalah dengan berlandaskan konsep metrik atau topologi.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 40 / 47
Topologi Ruang Fungsi
Y X adalah himpunan semua fungsi f : X ! Y
Himpunan semua fungsi f : f1, 2, 3g ! Y adalah semua barisanhingga berbentuk (f (1) , f (2) , f (3)) 2 Y � Y � Y = Y 3.Himpunan semua fungsi f : N ! Y adalah semua barisan berbentuk(f (1) , f (2) , f (3) , . . .) 2 Y � Y � Y � � � � = YN..Y X dapat dipandang sebagai hasil kali Y :
Y X = ∏x2X
Y .
Topologi dari Y X .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 41 / 47
Topologi Ruang Fungsi
Y X adalah himpunan semua fungsi f : X ! Y
Himpunan semua fungsi f : f1, 2, 3g ! Y adalah semua barisanhingga berbentuk (f (1) , f (2) , f (3)) 2 Y � Y � Y = Y 3.
Himpunan semua fungsi f : N ! Y adalah semua barisan berbentuk(f (1) , f (2) , f (3) , . . .) 2 Y � Y � Y � � � � = YN..Y X dapat dipandang sebagai hasil kali Y :
Y X = ∏x2X
Y .
Topologi dari Y X .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 41 / 47
Topologi Ruang Fungsi
Y X adalah himpunan semua fungsi f : X ! Y
Himpunan semua fungsi f : f1, 2, 3g ! Y adalah semua barisanhingga berbentuk (f (1) , f (2) , f (3)) 2 Y � Y � Y = Y 3.Himpunan semua fungsi f : N ! Y adalah semua barisan berbentuk(f (1) , f (2) , f (3) , . . .) 2 Y � Y � Y � � � � = YN..
Y X dapat dipandang sebagai hasil kali Y :
Y X = ∏x2X
Y .
Topologi dari Y X .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 41 / 47
Topologi Ruang Fungsi
Y X adalah himpunan semua fungsi f : X ! Y
Himpunan semua fungsi f : f1, 2, 3g ! Y adalah semua barisanhingga berbentuk (f (1) , f (2) , f (3)) 2 Y � Y � Y = Y 3.Himpunan semua fungsi f : N ! Y adalah semua barisan berbentuk(f (1) , f (2) , f (3) , . . .) 2 Y � Y � Y � � � � = YN..Y X dapat dipandang sebagai hasil kali Y :
Y X = ∏x2X
Y .
Topologi dari Y X .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 41 / 47
Topologi Ruang Fungsi
Y X adalah himpunan semua fungsi f : X ! Y
Himpunan semua fungsi f : f1, 2, 3g ! Y adalah semua barisanhingga berbentuk (f (1) , f (2) , f (3)) 2 Y � Y � Y = Y 3.Himpunan semua fungsi f : N ! Y adalah semua barisan berbentuk(f (1) , f (2) , f (3) , . . .) 2 Y � Y � Y � � � � = YN..Y X dapat dipandang sebagai hasil kali Y :
Y X = ∏x2X
Y .
Topologi dari Y X .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 41 / 47
Product Topology
De�nitionMisalkan X adalah himpunan dan Y ruang topologi. Untuk tiap x 2 Xdan U � Y buka, de�nisikan
S (x ,U) =nf 2 Y X : f (x) 2 U
o.
Koleksi semua S (x ,U) membentuk subbasis untuk topologi Y X yangdisebut product topology.
Example
Jika Y ruang topologi, product topologi Y � Y dapat dipandang sebagairuang fungsi Y f1,2g (X = f1, 2g). Jika U � Y buka, maka
S (1,U) = U � Y dan S (2,U) = Y � U.
ffS (x ,U) : U buka di Y g S (x ,U) : U buka di Y g membentuk subbasistopologi hasil kali Y � Y .
fS (x ,U) : U buka di Y g merupakan subbasis, bukan basis. Basis yangdibangkitkan S berbentuk
S (x1,U1) \ S (x2,U2) \ � � � \ S (xn,Un)
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 42 / 47
Konvergen per titik ekivalen dengan konvergen topologi hasil kali.
Theorem
Misalkan X adalah himpunan dan Y ruang topologi dan (fn) barisandalam Y X dan f 2 Y X . Maka (fn)! f dalam topologi hasil kali jikka(fn)! f per titik.
Proof.
()) Misal fn ! f dalam topologi hasil kali.dan x 2 X . Jika U adalahhimpunan buka yang memuat f (x) , maka S (x ,U) adalah lingkunganbuka dari f dalm Y X , akibatnya fn 2 S (x ,U) untuk semua kecualiberhingga n. Maka fn (x) 2 U untuk semua kecuali berhingga n. Terbuktifn (x)! f (x) .(() Misalkan fn ! f per titik. Pilih sebarang S (x ,U) lingkungan dari fdalam Y X . Jadi, f (x) 2 U � Y . Karena fn (x)! f (x) maka fn (x) 2 Uuntuk semua kecuali berhingga n yang memberikan fn 2 S (x ,U) untuksemua kecuali berhingga n. Terbukti fn ! f dalam topologi hasil kalititik.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 43 / 47
Box Topology
De�nition (Topologi Kotak)
Misalkan X himpunan dan Y ruang topologi. Misalkan fUxgx2X adalahkoleksi himpunan buka di Y .
∏x2X
Ux =nf 2 Y X : f (x) 2 Ux untuk tiap x 2 X
odisebut kotak buka dalam Y X . Koleksi semua kotak buka merupakan basisbagi topologi Y X yang disebut topologi kotak.
Catatan: Kita tidak perlu menggunakan semua himpunan buka untukmemperoleh basis.
Theorem
Misalkan X himpunan dan Y ruang topologi, dan B adalah basis bagitopologi dari Y . Koleksi semua himpunan�
∏Bx : Bx 2 B untuk tiap x 2 X
merupakan basis bagi topologi kotak Y X .
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 44 / 47
Example
Misalkan (fn) di RN dengan fn =� 1n ,1n ,1n , . . .
�. Barisan ini konvergen ke
f = (0, 0, 0, . . .) pada product topology. Tapi tidak konvergen di boxtopology karena
(�1, 1)��12,12
���13,13
�� � � �
memuat f tapi tidak memuat fn untuk tiap n.
Topologi kotak jarang digunakanSering digunakan untuk membangun conto penyangkal
Theorem
Topologi kotak untuk RN tidak metrizable.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 45 / 47
Uniform Topology
De�nition (Jarak Seragam)
Misalkan X himpunan dan (Y , d) ruang metrik. Untuk tiap f , g 2 Y X ,ρ (f , g) , jarak seragam dari f ke g adalah
ρ (f , g) = sup fd (f (x) , g (x)) : x 2 Xg .
Theorem
Misalkan X himpunan dan (Y , d) ruang metrik. Barisan fungsi (fn) dalamY X konvergen seragam ke f 2 Y X jikka ρ (fn, f )! 0.
De�nition (Topologi Seragam)
Misalkan X himpunan dan (Y , ρ) ruang metrik. Untuk tiap f 2 Y X danε > 0,
Bρ (f , ε) =ng 2 Y X : ρ (f , g) < ε
o.
Himpunan berbentuk Bρ (f , ε) merupakan basis bagi topologi Y X , disebuttopologi seragam dari Y X .
Theorem (Kekonvergenan Topologi Seragam)
Misalkan X himpunan dan (Y , d) ruang metrik.dan (fn) barisan dalamY X . fn � f jikka fn konvergen menurut topologi seragam.
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 46 / 47
Misalkan X sebuah himpunan dan Y ruang topologi. MisalkaTproduct, Tuniform, Tbox tiga topologi untuk Y X .
Tproduct � Tuniform � Tbox
Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 47 / 47