Distribucin NormalLa distribucin normal o gaussiana es la distribucin de probabilidad ms importante de la estadstica y corresponde a una variable aleatoria continua.Propiedades de la distribucin NormalHay cuatro propiedades importantes que estn asociados con la distribucin normal:Tiene forma de campana, por lo tanto es simtrica.Todas sus medidas de tendencia central son idnticas.La variable aleatoria asociada tiene un intervalo infinitoEs unimodalEl rea bajo la curva normal (rea que est entre la curva y la lnea base) y que contiene el 100%, o todos los casos en una distribucin normal dada.

99.7% 95.4% 68.2%

Localizacin de lasobservacionesalrededor de lamedia en una distribucin defrecuencia en forma de campana.

Distribucin Normal estandarizada (Puntajes Z)Cualquiera variable aleatoria normal X se puede convertir en una variable aleatoria normal estndar Z mediante una frmula de transformacin.

En tanto que los datos originales de la variable aleatoria X tienen media y desviacin estndar , la variable aleatoria estandarizada Z siempre tiene media de cero y desviacin estndar de uno.Ejemplo: El coeficiente intelectual de un grupo de estudiantes se distribuye en forma normal con un promedio de 100 y una desviacin estndar de 5. Qu porcentaje de los estudintes tienen un coeficiente intelectual mayor de 110?

Dos desviaciones estndar corresponden a 47.72% por arriba de la media, lo que quiere decir que 50%-47.72%=2.28% de los estudiantes tienen un coeficiente intelectual mayor de 110.

- En la siguiente figura se muestra la curva estandarizada, con una media de cero y desviacin estndar de 1.

f (Z)

0.4 0.3 0 0.2 1

0.1

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Distribucin normal estandarizada, en la que 0 y 1.

En el ejemplo anterior, Qu porcentaje de los alumnos tiene un coeficiente intelectual menor de 95?

Una desviacin estndar de -1 corresponde a 34.13% de la cola izquierda, por lo tanto el porcentaje de los estudiantes con un coeficiente menor de 95 puntos es equivalente a: 0.50 0.3413=0.1587, o sea 15.87%.En el ejemplo anterior, Qu porcentaje de los estudiantes tienen un CI entre 90 y 105 puntos? o sea 47.72% a la izquierda de la media

o sea 34.13% a la derecha de la mediaPor lo tanto, 0.4772+0.3413= 0.8185 que es equivalente a 81.85%de los estudiantes.

Ejemplo:El peso medio de las cajas de cereal durante un periodo de un ao fue 297 grs, con una desviacin estndar de 24 grs., calcular la probabilidad de cajas que tienen un peso por debajo del lmite de especificacin inferior (274 grs).

Usando la frmula de:

El rea correspondiente a Z= -0.96 en la tabla de la distribucin estndar es 0.1685, la que significa que el 16.85% de las cajas que tienen un peso por debajo del lmite de especificacin inferior 274 grs.

Usando los datos anteriores, calcule la probabilidad de cajas que tengan un peso mayor de 347 grs.

- Este valor de Z corresponde a 0.9812 del rea bajo la curva, por tanto, la diferencia entre el rea total bajo la curva (1.00) y este valor pertenece al porcentaje de las cajas con el peso que supera a 347 grs.

- La meida de ingresos mensuales con distribucin normal para un grupo grande de empleados de una organizacin es de $10000.00. La desviacin estndar es de $1000.00.

Cul es la probabilidad de que el ingreso de un empleado est entre $7900.00 y $11000.00 Cul es l probabilidad de que el ingreso sea mayor de $12000.00? Cul es la probabilidad que el ingreso sea mayor de 8500.00?

Solucin: a.

< > b. > c. <

Distribuciones MuestralesUna meta importante del anlisis de datos es usar estadsticos como la media muestral y la proporcin muestral para estimar los parmetros poblacionales. Por ejemplo un encuestador poltico se interesa en los resultados de la muestra slo como medio para estimar la proporcin real de votos que cada candidato recibir de la poblacin de electores.Distribucin muestral de la media (Propiedades de la media) Es no sesgado, esta propiedad implica que el promedio de todas las medias muestrales posibles ser igual a la media poblacional.b) Es eficiente, esta propiedad se refiere a la precisin del estadstico muestral como estimador del parmetro de la poblacin.c) Es consistente, se refiere al efecto del tamao de la muestra en la utilidad de un estimador. Conforme aumenta el tamao de la muestra, la variacin de la media de la muestra con relacin a la media de la poblacin se disminuye (Teorema de lmite Central).La distribucin muestral de medias muestrales se vuelve normal a medida que aumenta el tamao de la muestra.

Error estndar de la mediaEl error estndar de la media es igual a la desviacin estndar de la poblacin dividido entre la raz cuadrada del tamao de la muestra n.

Ejercicio: Si una poblacin de datos crudos posee una distribucin normal, con una media =80 y una desviacin estndar =8, determine los parmetros de la distribucin muestral de la media para los siguientes tamaos de la muestra: n = 36 y n = 50Solucin:

Determinar Z para la distribucin muestral de la media

Suponga que el promedio de la calificacin de la materia de estadstica de varios grupos de una universidad es 8.0 con una desviacin estndar de 1.0. cmo puede determinarse la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un promedio menor de 7.70?

Al buscar Z= -1.76, se encuentra un rea de 0.4608. Por lo tanto, 3.92% de todas las muestras posibles de tamao 36 tendern una media menor que 7.70.

Estimacin del intervalo de confianza para la mediaUn intervalo de confianza es un rango de valores que probablemente contiene al valor poblacional. Por ejemplo, el intervalo de confianza del 95% es aquel en el que la probabilidad de que dicho intervalo contenga al valor poblacional es de 95%. Los intervalos ms utilizados en la prctica son de 95 y de 99 por ciento.Estimacin del intervalo de confianza para la media ( conocida)Una muestra de 36 observaciones se selecciona a partir de una poblacin normal para la cual se conoce que la desviacin estndar de la muestra es 9 y la media muestral es 20. a) Determine el error estndar de la media.b) Obtenga el intervalo de confianza de 95%.

Distribucin t studentCuando se desconoce la desviacin estndar de la poblacin y el tamao de la muestra es pequea n

Ejemplo: Para determinar el coeficiente de inteligencia promedio de los profesores que trabajan en una universidad, se extrae una muestra aleatoria de 20 profesores de toda la poblacin. Los resultados proporcionan una media de 135 y una desviacin estndar de 8. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

GL=20-1 =19 y t=2.093

135 (2.093)(1.789)=131.26135 + (2.093)(1.789)=138.74As, el intervalo de confianza del 95% es: 131.26 138.74

Para calcular z (el nmero de desviaciones estandarizadas), a partir del nivel de confianza deseado, se define la probabilidad correspondiente. primero se divide entre 2 el nivel de confianza y el cociente resultante se ubica en las cifras de la cuadrcula de la tabla. El valor correspondiente de z se encuentra en la columna de la izquierda, adems del segundo decimal que resulte en la primera fila. Por ejemplo para un nivel de confianza de 98%, 0.98/2= 0.49, este valor le buscamos en la tabla e identificamos en la columna izquierda 2.3 y en la fila superior 0.03, al sumar nos da Z=2.33.

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