Basic statistical tests in R

Anja Bråthen Kristoffersen Biomedical Research Group

Outline

• Example: Tea testing– Hypotese testing, type I and type II error

• More tests and how to find and read help files for different tests in R

•

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Famous hypotheses test example:

The Design of Experiments (1935), Sir Ronald A. Fisher 

– A tea party in Cambridge in the 1920ties – A lady claims that she can taste whether milk is poured in cup before or after the tea 

– All professors agree: impossible – Fisher: this is statistically interesting! He organized a test 

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The lady tasting tea • Test with 8 trials, 2 cups in each trial 

– In each trial: guess which cup had the milk poured in first 

• Binomial experiment – Independent trials – Two possible outcomes, she guesses right cup (success), wrong cup (failure) 

– Constant probability of success in each trial 

• X = number of correct guesses in 8 trials, each with probability of success p – X is Binomially (8,p) distributed 

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The lady tasting tea cont.• The null (conservative) hypothesis 

– The one we initially believe in 

• The alternative hypothesis – The new claim we wish to test 

• She has no special ability to taste the difference

• She has a special ability to taste the difference 

2013.11.20 5

0.5

0.5

How many right to be convincedWe expect maybe 3, 4 or 5 correct guesses if she has no special ability • Assume 7 correct guesses 

– Is there enough evidence to claim that she has a special ability? If 8 correct guesses this would have been even more obvious! 

• What if only 6 correct guesses? – Then it is not so easy to answer YES or NO 

• Need a rule that says something about what it takes to be convinced. 

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How many right to be convinced? 

• Rule: We reject H0 if the observed data have a small probability under H0 (given H0 is true). 

• Compute the p‐value. – The probability to obtain the observed value or something more extreme, given that is true 

– NB! The p‐value is NOT the probability that is true 

Small p‐value: reject the null hypothesis Large p‐value: keep the null hypothesis 

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The lady tasting tea, cont. • Say: she identified 6 cups correctly • P‐value 

– The probability to obtain the observed value or something more extreme, given that H0 is true 

6 6 0.5 7 0.5 8 0.5

6, 8, 0.5 7, 8, 0.5 8, 8, 0.5sum dbinom 6:8,8,0.5 0.1445

• Is this enough to be convinced? • Need a limit. 

– we must know about the types of errors we can make. 

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Two types of error

• Type I error most serious – Wrongly reject the null hypothesis – Example: 

• person is not guilty • person is guilty • To say a person is guilty when he is not is far more serious than to say he is not guilty when he is. 2013.11.20 9

H0 true H1 true

Accept H0 OK Type II error

Accept H1 Type I error OK

When to reject

• Decide on the hypothesis’ level of significance– Choose a level of significance α – This guarantees P(type I error) ≤ α – Example 

• Level of significance at 0.05 gives 5 % probability to reject a true 

• Reject H0 if P‐value is less than α 

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Important parameters in hypothesis testing 

• Null hypothesis • Alternative hypothesis • Level of significance 

Must be decided upon before we know the results of the experiment 

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The lady tasting tea, cont. 

• Choose 5 % level of significance Conduct the experiment – Say: she identified 6 cups correctly – Is this evidence enough? 

• P‐value – The probability to obtain the observed value or something more extreme, given that H0 is true 

6 6: 8, 8, 0.50.1445

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The lady tasting tea, cont. 

• We obtained a p‐value of 0.1443 • The rejection rule says 

– Reject H0 if p‐value is less than the level of significance α 

– Since α = 0.05 we do NOT H0 reject 

Small p‐value: reject the null hypothesis Large p‐value: keep the null hypothesis2013.11.20 13

The lady tasting tea, cont. 

• In the tea party in Cambridge: – The lady got every trial correct! 

• Comment: – Why does it taste different? 

• Pouring hot tea into cold milk makes the milk curdle, but not so pouring cold milk into hot tea* 

2013.11.20 14*http://binomial.csuhayward.edu/applets/appletNullHyp.html Curdle = å skille seg

Area of rejection

• Reject H0 if p‐value ≤ α• Reject H0 if observed value (x) ≥ critical value (xc)• P(type I error) = P(reject H0 | H0 true) = P(X ≥ xc|p = 0.5) 

– xc= 7 → sum(dbinom(7:8, 8, 0.5)) = 0.035 ≤ 0.05– xc= 6→ sum(dbinom(6:8, 8, 0.5)) = 0.145 > 0.05

Area of rejection: {x: x ≥ xc} → {x: x ≥ 7}

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Type II error

P(type I error) ≤ α P(type II error) = β• Want both errors as small as possible

– especially type I.

• β is not explicitly given, depends on H1

• There is one β for each possible value of p under H1

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H0 true H1 true

Accept H0 OK Type II error

Accept H1 Type I error OK

Example: type II error

• P(type II error) = P(not reject H0 | H1 true) – P = 0.7: P(not reject H0 | p = 0.7) = 1 ‐ P(reject H0 | p = 0.7) = 1 – P(X ≥ 7 | p = 0.7) = 1 ‐ (1 – P(X < 7 | p = 0.7) = P(X ≤ 6|p = 0.7) = sum(dbinom(1:6, 8, 0.7)) = 0.745

p = 0.7: H0 will wrongly be accept in 74.5% ofthe tests

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Power of the test

• The probability that a false H0 is rejectedP(reject H0 | H1 true) = 1 ‐ P(accept H0 | H1 true) = 1 ‐ β • A test with large power has:

– larger probability to draw the right conclusion– larger probability to reject a false null hypothesis

then a test with  low power.• α and β is connected: 

– Decreasing α will give an increased β which again will decrease the power of the test  

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Example: power function

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p <- seq(0.6, 1, 0.01)antall <- length(p)beta8 <- rep(NA, antall)for(i in 1:antall){beta8[i] <- sum(dbinom(1:6, 8, p[i]))

}power8 <- 1 - beta8plot(p, power8, type = "l")

http://www.stanford.edu/~stephsus/basic‐stats‐tests.pdf

help(shapiro.test)

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shapiro.test()

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chisq.test()

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Reject the null hypotheses and assume thatthere are differences between the groups

t.test()

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t.test()

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t.test(, paired = TRUE)

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wilcox.test()

• Same mean? But not normally distributed data.

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wilcox.test(, paired = TRUE)

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help(cor.test)

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Multiple hypothesis testing

• Tests are designed such that it has an expected proportion of incorrectly rejected null hypotheses, most often this level is 5%.

• When many tests are done the probability of rejecting a null hypotheses falsely increase, hence we can correct the probabilities according to how many tests that are done.

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Example 10000 genes• Q: is gene g, g = 1, …, 10 000, differentially expressed?• Gives 10 000 null hypothesis:  , 

– : gene 1 not differentially expressed– …

• Assume: no genes differentially expressed– true for all g

• Significance level α ≤ 0.01– The probability to incorrectly conclude that one gene is differentially expressed is 0.01. e.g. 0.01 * 10000 = 100 expected wrong rejections of 

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Need to control the risk of false positiveType I error

• Corrected p‐value:– The original p‐values do not tell the full story.– Instead of using the original p‐values for decision making, we should use corrected ones.

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Different correction methods

• Bonferroni (1935)– Just multiply all the p‐values by the number of tests– To conservative 

• need very small p‐value to reject • giveverylittlepower

• Methods that control the family‐wise error rate (FWER).• Methods that control the false discovery rate (FDR).

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Family‐Wise Error Rate (FWER)

• Control type I errors at a level α– Bonferroni– Sidak– Bonferroni‐Holm– Westfall & Young 

• Use one of these if you are most afraid of getting stuff on your significant list that should not have been there

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False Discovery Rate (FDR)

• Calculate the expected proportion of type I error among the rejected hypotheses

• Technique that applies to a set of p‐values – Benjamini & Hochberg– Different newer variants of Benjamini & Hochberg

• Use one of these if you are you most afraid of missing out on interesting stuff

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help(p.adjust)

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False discovery rate (fdr)

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regression

• Next lecture!

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