bất đẳng thức schur và ứng dụng

Trần Xuân Đáng – GV THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định

http://edu.goonline.vn

BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ ỨNG DỤNG

I. BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR

Nếu a, b, c, t là các số thực dương bất kì thì

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t t ta a b a c b b c b a c c a c b− − + − − + − − ≥ (1)

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử 0a b c≥ ≥ > Khi đó

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 0

t t t t

t t

a b a a b a c b a b a c

a a b a c b b c b a

≥ ⇒ − − ≥ − −

⇒ − − + − − ≥

Mặt khác

( )( ) 0tc c a c b− − ≥

Vậy ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t t ta a b a c b b c b a c c a c b− − + − − + − − ≥ (1)

Đẳng thức ở (1) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c II. HỆ QUẢ Nếu t = 1 ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 2a a b a c b b c b a c c a c b− − + − − + − − ≥

Bất đẳng thức (2) tương đương với các bất đẳng sau:

( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 2 2 2 2

2

3 3

4

4 9 5

a b c abc a b ab b c bc c a ca

b c a a c b a b c abc

a b c ab bc ca a b c abc

• + + + ≥ + + + + +

• + − + − + − ≤

• + + + + ≤ + + +

III. ỨNG DỤNG

Ở phần tiếp theo chúng tôi xin trình bày một số ứng dụng của BĐT Schur dưới dạng (2), (3), (4), (5) qua một số thí dụ.

Thí dụ 1. Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z =1.

Chứng minh rằng:7

0 227

xy yz zx xyz≤ + + − ≤

(Đề thi Toán quốc tế - 1984)



Lời giải. Ta có

( )( )2 2 2 2 2 2

2

2

0

xy yz zx xyz

x y z xy yz zx xyz

x y xy y z yz z x zx

• + + −= + + + + −

= + + + + + ≥

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

3 3 3 2 2 2 2 2 2

72

277

227

7 15 6 6

xy yz zx xyz

x y z xy yz zx xyz x y z

x y z xyz x y xy y z yz z x zx

• + + − ≤

⇔ + + + + − ≤ + +

⇔ + + + ≥ + + + + +

Theo BĐT (3) ta có

( ) ( )3 3 3 2 2 2 2 2 26 3 6a b c abc a b ab b c bc c a ca+ + + ≥ + + + + +

Do đó (6) tương đương với

3 3 3 3x y z xyz+ + ≥ . (Luôn có điều này – theo BĐT Cauchy). Suy ra (6) đúng

Dấu bằng ở (6) xảy ra khi và chỉ khi 1

.3

x y x= = =

Thí dụ 2. Giả sử a, b, c là ba số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh rằng

( )71 1 1

a-1+ b-1+ c-1+ 1b c a

≤

(Đề thi Toán Quốc tế 2000)

Lời giải. Đặt 1

; 1;x a y z acb

= = = =

thì , ,x y z

a b cy z x

= = =

BĐT (7) ( )( )( ) ( )1 8x y z y z x z x y

xyz

− + − + − +⇔ ≤

Từ đó và BĐT (4) thì BĐT (8) đúng. Suy ra BĐT (7) đúng

Dấu bằng ở (7) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1



Thí dụ 3. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2a +2 b +2 c +2 9 ab+bc+ca 9≥

(Đề thi Olympic Toán Châu Á – Thái Bình Dương - 2004)

Lời giải. BĐT (9) tương đương với

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2 a b b c c a 4 a b c 8 9 ab bc ca+ + + + + + + ≥ + + .

Ta có:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c ab bc ca; i

a b 1 b c 1 c a 1 2 ab bc ca ; ii

• + + ≥ + +

• + + + + + ≥ + +

2 2 2 3 2 2 21 1 3a b c a b c• + + ≥ ( ) ( )29abc4 ab bc ca a b c

a b c≥ ≥ + + − + +

+ +(Theo BĐT (5))

( ) ( )2 2 2 2 2 2a b c 2 2 ab bc ca a b c⇒ + ≥ + + − + + (iii)

Từ (i), (ii), (iii) ta suy ra

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b c 2 2 a b b c c a 3 4 a b c

2 ab bc ca 4 ab bc ca 3 a b c

9 ab bc ca

+ + + + + + + +

≥ + + + + + + + +

≥ + +

Vậy BĐT (9) đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Thí dụ 4. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3

Chứng minh rằng : 3 3 3a +b +c +6 abc 9≥

(Đề thi Olympic Toán Ba Lan - 2005)



Lời giải. Theo BĐT (3) ta có :

( )( )3 3 3a b c 6abc a b c ab bc ca .+ + + ≥ + + + +

Ta có

( ) ( )2

3 3 3

a b c 3 ab bc ca 9

a b c 3

a b c 6abc 9

+ + ≥ + + =⇒ + + ≥⇒ + + + ≥

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

Thí dụ 5. Tìm số thực k lớn nhất sao cho với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1, ta luôn có bất đẳng thức

( )( ) ( )2 2 2

1 1 1+ + +3k k+1 a+b+c 10

a b c≥

(Đề thi chọn HSG Toán Quốc gia THPT năm 2006 – Bảng B)

Lời giải. Giả sử số thực k thỏa mãn đề bài

Chọn a = b = ( ) ( )2 *1,c n 1 n .

n 1= + ∈

+ℕ

Từ (10) suy ra

( )2

4

2

1 2n 2n 1

n 1n 1k .

2n 2n 1

n 1

+ + + −++

≤+ + −

+

Vì ( )

24

n 2

1 2n 2n 1

n 1n 1lim 1

2n 2n 1

n 1

→+∞

+ + + −++

=+ + −

+

nên k 1≤

Với k = 1 BĐT (10) trở thành



( ) ( )2 2 2

1 1 13 2 a b c 11

a b c+ + + ≥ + +

Đặt 1 1 1

x , y ,za b c

= = = thì x, y, z là các số dương và xyz = 1.

BĐT (11) tương đương với

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

3 3 3 2 2 2 2 2 2

x y z 3 2 xy yz zx

x y z x y z 3 2 x y z xy yz zx

x y z 3 x y z x y xy y z yz z x zx 6 12

+ + + ≥ + +

⇔ + + + + + ≥ + + + +

⇔ + + + + + ≥ + + + + + +

Mặt khác 3x y z 3 xyz 3.+ + ≥ =

Suy ra

( )

( )( )2 2 2 2

3

2 2

3 3 3 3 3

6

3 6

3

3

x

x y z x

y xy y z yz z x zx theo BDT

y z x y z xyz

+ + +

+ + + + + ≥ + +

≥ +

+ +

+ +

Vậy BĐT (12) đúng ⇒BĐT (11) đúng. Dấu bằng ở (11) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Như vậy giá trị lớn nhất của k là 1.

* Cuối cùng một số bài tập dành cho bạn đọc

Bài 1. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ){ }

2 2 2

2 2 23

a bc b ca c aba) a b c

b c c a a ba b c

b) abc max a b , b c , c a .3

+ + ++ + ≥ + ++ + +

+ + − ≤ − − −

(Đề chọn đội tuyển của Mỹ thi Toán Quốc tế - 2000)

( )( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 9c) xy yz zx .

4x y y z z x

+ + + + ≥

+ + +

(Đề thi Olympic Toán của Iran - 1996)

3 3 3 2 2 2 2 2 2d) a b c 3abc ab 2a 2b bc 2b 2c ca 2c 2a+ + + ≥ + + + + +



Bài 2. Cho ba số thực a, b, c thuộc khoảng 0;2

π

. Chứng minh rằng

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

sin a sin(a b)sin a c sin bsin b c sin b a sin csin c a sin c b0

sin b c sin c a sin a b

− − − − − −+ + ≥

+ + +

(Đề chọn đội tuyển của Mỹ thi Toán Quốc tế - 2003)

bất đẳng thức schur và ứng dụng

Documents