baustatik & festigkeitslehre - baunat.boku.ac.at · sie werden bei stab-und flächentragwerken...

Universität für Bodenkultur WienDepartment für Bautechnik und Naturgefahren

Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau

Baustatik & FestigkeitslehreVorlesung & Übung

Vortragender:O.Univ.Prof. DI Dr. Dr. Konrad Bergmeister



Ziel der Vorlesung

Vermittlung von Rechenverfahren

§ für Kraft- und Verschiebungsgrößen

§ Tragverhalten von Tragwerken



Organisation

B & F - LehreWS

VorlesungTheoretische Grundlagen der Baustatik und Modellierung von Systemen

ÜbungRechenbeispiele begleitend zur Vorlesung

PrüfungenWS

Hauptprüfung (schriftl.)

3 Übungstests



Literaturvom Institut

Vorlesungs- und Übungsskript

Lehrbuchsammlung BOKU Bibliothek

Mang, Hofstetter: FestigkeitslehreParkus: Mechanik der festen KörperPopov: Engineering Mechanics



1. Aufgaben und Ziele



Mechanik

KinetikStatik

DynamikKinematik

Begriffsdefinition



Aufgaben der Statik

EntwurfBauerkstypQuerschnittsformMaterial (Stahl / Beton)

Statikstatisches System=> INNERE KRÄFTE

BemessungQuerschnittswerteAnschlüsse, ect.

AusführungBauvorgang, MontageBaustelleneinrichtungMaterialtransport, ect.

MODELLBILDUNG

Statik ein Teil der gesamten Ingenieuraufgabe



AnwendungsbeispieleBrückenbau (Tiefbau)



Wohnhäuser, Hochhäuser(Hochbau)

Anwendungsbeispiele



Industriebau, Hallen, Bürogebäude

Anwendungsbeispiele



Konstruktiver Wasserbau

Anwendungsbeispiele



Siedlungswasserbau Wasserversorgung

Anwendungsbeispiele



Siedlungswasserbau AbwasserentsorgungAnwendungsbeispiele



Statik - Computerstatik

Computergläubigkeitgenauere Modellierung möglich

Hang zum unnötigen Aufwand und unzweckmäßigen Einsatzgrößere Systeme berechenbar

Datenüberfluss(„Zahlenfriedhof“)Schnelligkeit

Schwierige BeurteilungBlack-Box-Prinzip häufig einfacher

NachteileVorteile



Einheiten

N/mm² ( = MN/m² oder MPa)Spannungen & Festigkeiten

cm² [1m² = 104 cm²]Bewehrung

mLänge

kNmMomente

kN/m³Wichte

kg/m³Dichte

kN, kN/m, kN/m² Kräfte und Lasten



Eurocodes (EC)

EUROCODE ÖNORM

EC1 Grundlagen der Tragwerksplanung und Einwirkungen auf Tragwerke ÖNORM ENV 1991

EC2 Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken ÖNORM ENV 1992

EC3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten ÖNORM ENV 1993

EC4 Bemessung und Konstruktion von Verbundtragwerken aus Stahl und Beton ÖNORM ENV 1994

EC5 Bemessung und Konstruktion von Holzbauten ÖNORM ENV 1995

EC6 Bemessung und Konstruktion von Mauerwerksbauten ÖNORM ENV 1996

EC7 Entwurf, Berechnung und Bemessung in der Geotechnik ÖNORM ENV 1997

EC8 Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben ÖNORM ENV 1998

EC9 Bemessung und Konstruktion von Aluminiumbauten ÖNORM ENV 1999



Empfohlenes Schrifttum

Statik der StabtragwerkeSpringer- Verlag, Berlin, 1978Pflüger, A.:

Technische Mechanik, Band 1 & 2Bibliographisches Institut, Zürich

Pestel, E.:

Lehrbuch der Statik, Band 1A & 1BSpringer- Verlag, Berlin

Sattler, K.:

Die Statik der Bauwerke W.Ernst & Sohn 4. AuflageKirchhoff, R.:

Baustatik; Teil 1 und 2Springer- Verlag, Berlin, 1969Hirschfeld, K.:

Klassische Statik - Literatur



2. Idealisierung der statischen Aufgabe



SystemidealisierungPlattenbalkenträger

Hohlkörperdecke

7,80

3,40

1,80

Gabellagerung

Fundamentplatte



Systemidealisierung

Zur Systemidealisierung gehört die Festlegung

1. des statischen Systems

2. der äußeren Lasten und Lastfälle

3. der Materialkennwerte



Gliederung nach geometrischen und statischen Gesichtspunkten (1D – 3D Tragelemente)

Tragwerke

F lächentragwerke

2D

gekrüm m t eben

MembranSchale

ScheibePlatte

Fa ltwerk

3D

Raumtragwerke

"dicke" Körper

FundamentDamm

dicke Behälter

2D

Stabtragwerke

gekrüm m t gerade

R ingBogen

Seil

ZugstabDruckstab

Fachwerk

Balkenrahmen

Trägerrost

yl

xl zl

xy

z xy

zh

xy

zyl

xl

,x yh l l<<

x

yz

h

b

b

h

xy

z

, xb h l<<



Prinzip von de St. Venant

Störbereiche

P

PP



Gliederung nach der Beanspruchungsart

Dehnung

StabFachwerk

SeilBogen als Stützlinie

Stabtragwek

Rahmen

Biegung(+Schub)

eben

ebernerBalken

räumlich

TorsionDrillung

räumlicher BalkenTrägerrost

Flächentragwerke

MembranScheibe Platte

FaltwerkeSchale



Komponenten eines Stabtragwerkes

P

Elemente

1q2q

3q



ArchitektonischeAnforderung

Systemidealisierungder Bodenplatte

WandscheibeSystemidealisierungVariante 1

SystemidealisierungVariante 1



Vorgangsweise bei der Idealisierung

Idealisierung des Tragwerkes und seiner Konstruktionsdetails

Idealisierung der Belastung

Beschreibung der Idealisierung und Angabe der für die Berechnung maßgebenden Größen(Systemmaße, Laststellung, Werkstoffe, etc.)



Idealisierung von KonstruktionsdetailsRollenlager

Linienkipplager

Elastomerlager



Idealisierung von Tragwerken

STAB FLÄCHENTRAGWERK

1l

2l

d



Idealisierung von Lasten

Verteilung der Last

KRANRAD

( )2

1

s

s

R p s ds= ∫

R1s 2s

ds

( )p s

Einzellast

Resultierende



STATIKGleichgewichtsbedingungen und statische Randbedingungen. Sie werden bei Stab-

und Flächentragwerken bereits in Schnittgrößen definiert.

WERKSTOFF

Beziehungen zwischen Schnittgrößen (allg. Spannungen) und Dehnungen bzw.

Krümmungen der Achsen (allg. Verzerrungen). für den elastischen

Fall auch als Elastizitätsgesetz bezeichnet (oder konstitutive Beziehungen).

GEOMETRIE

Beziehungen zwischen den Dehnungen bzw. Krümmungen und Verschiebungen sowie geometrische Randbedingungen.Auch als Verträglichkeitsbeziehungen

oder kinematische Gleichungen bezeichnet.



§ Dehnung:Normalkraftanteil, Dehnung ε§ Biegung: Biegemomentenanteil, Krümmung κy, κz

§ Schub: Querkraftanteile, Schubverzerrungen γxy, γyz

§ Torsion: Torsionsmomentenanteile, Verdrillung Γ; für St. Venant Torsion (Wölbkrafttorsion nicht enthalten).

Idealisierung von Lasten

. yz TTyT zT

TT bzwh b

αακ κ⋅∆⋅∆= =



Reichsbrücke- Wien 1976



Grundgleichungen: räumlicher Fall x-Richtung

Dehnung Torsion

y-Richtung Biegung Schub

z-Richtung Biegung Schub

Statik

ndxdN

−=

TT m

dxdM

−=

yy

dVv

dx= −

zz m

dxdM

−= yV−

zz

dVv

dx= −

yy m

dx

dM−= zV+

Werkstoff

Τ+ΕΑΝ

= Ταε

Τ

Τ

Ι=Γ

GM

( ) bE

MM yT

yzzý

zYyyzz

∆Τ+

Ι−ΙΙ

Ι+Ι=

ακ

²

yxy

Q y

V

GαΥ =

Α

( ) hE

MMzT

yzzý

zyzyzy

∆Τ+

Ι−ΙΙ

Ι+Ι=

ακ

²

zxz

Q z

VGα

Υ =Α

Geometrie

ε−=dxdu

Γ=dxdϑ

zz

dxd

κϑ

=

zdxdv

ϕ= xyΥ+

yy

dx

dκ

ϑ=

ydxdw

ϕ= xzΥ+



Grundgleichungen: ebener Fall (Indizes y und z weggelassen)

x-Richtung Dehnung

z-Richtung Biegung Schub

Statik

ndxdN

−=

mdx

dM−=

dV

vdx

= −

V+ Werkstoff

Τ+ΕΑΝ

= Ταε

h

EM

T ∆Τ+

+Ι

=

α

κ

V

VGα

Υ =Α

Geometrie

ε=dxdu

κ

ϑ=

dxd

ϕ−=dxdw

xzΥ+



Stat. Größen (Kraftgrößen)

Geom. Größen (Weggrößen)

innere

Größen

NVM

0 0

0 00 0

VGαΕΑ

Α ΕΙ

κγε

−

−

dxd

dxd

dxd

10

00

00

dxd

dxd

dxd

00

10

00

äußere Größen

nvm

ϕwu



Differentialgleichungen für wichtige Sonderfälle (Elimination der Schnittgrößen und Verzerrungen)

Dehnung (ohne T)

Statik Werkstoff Geometrie

=ΕΑ

=

−=

ε

ε

'

'

u

NnN

( ) nu −=′′⋅ΕΙ

Gerade Biegung (ohne ),γ∆Τ


M v mM

w

κ

κ

′′ = − − = ΕΙ

′′ = −

( )w v m″′′ ′ΕΙ ⋅ = +

Torsion


Γ=′

=Γ

−=′

ϑT

T

TT

GIM

mM

( ) TT mG −=′′⋅Ι ϑ



Rechengenauigkeit

Ursachen für das Abweichen der Ergebnisse von der Wirklichkeit

Vereinfachende Annahmen (Einspannungen, Steifigkeiten, Systemachsen,

Größe von Ausmitten, etc.)Ansätze von Einwirkungen

fehlerhaft od. unvollständigVoraussetzungen für Berechnungstheorien

verletztAngenommenen Werkstoffkennwerte

teilweise Übereinstimmung mit tatsächlichem BaustoffBelastungskombinationen

zu wenig Lastfälle überlagertStatische Berechnung ungenau oder falsch



SystembildungStütze - Platte (zb.:Bodenplatte)

Mittellinie

Rechengenauigkeit



Wirkliches Verhalten

Mittendurchbiegung

P

l

Stahlbetonbalken

Last

P

*P

l

Stahlträger16

P16

P23

P

*...P Gebrauchslastbereich

...lineaisiertes Tragverhalten− − −

Last

P

*P

Horizontalverschiebung Punkt i

Punkt i

6P

6P

Meist ein stark nichtlineares Verhalten gegeben



Tragwerksantwort ist geprägt vom Einfluss :

Des Werkstoffverhaltens materielle Nichtlinearität

Der Verformungsgeometrie geometrische Nichtlinearität

Möglicher Systemänderung Systeme veränderlicher Gliederung



Werkstoffverhalten –in der Regel hochgradig nichtlinear

55B

SSpannung σ

[ ]/SDehnung ε

CεCσ

45B

35B25B

2N

mm

kaltverformtwarmverformt



Werkstoffverhalten –in der Regel idealisiert

σ

ε

Eσ ε= i

σ

ε(a) linear elastisch (b) nichtlinear elastisch



σ

ε

σ

εplε elεplε elε

(c) linear elastisch ideal plastisch

(d) nicht linear elastisch m it linearer Verfestigung

Werkstoffverhalten –in der Regel idealisiert



Verformungstheorie –Forderung des Gleichgewichts am verformten System

Line

ares

Ver

halte

npλi pλi pλiu

u

λ



Verformungstheorie –Mögliche Verfahren

beliebig groß

endlich, klein

infinitesimal klein

III. Ordnung

II. Ordnung

I. Ordnung

Verformungen Stabtheorie



Systeme veränderlicher Gliederung –Systemänderungen

M

P

l/2 l/2

w∆

a b

P

M

+ -o

P

w

V V

P

w



Systeme veränderlicher Gliederung –Systemänderungen

w

g

l ll l

w

xl 2l 3l 4l



Definitionen

Flexibilität = Verschiebung/EinheitskraftSteifigkeit = Kraft/Einheitsverschiebung

EIP

F

P

{31

3F

lw P

EI=

{3

3

K

EIP w

l=

l

w

K

1

1

w



DefinitionenDer Begriff Robustheit definiert die Gesamtstabilität eines Tragwerkes hinsichtlich eines plötzlichen Versagens.

Dehnsteifigkeit E • A

Biegesteifigkeit E • I

Schubsteifigkeit G • αQ •AαQ Schubreduktionsfaktor

Torsionssteifigkeit (St. Venant) G • IT



Einheitskraft-zustände

1 1,M ϕ2 2,M ϕ

1 1M = 11f 21f

1 11 12 1

2 21 22 2

*

f

f f Mf f M

ϕϕ

=

64748

2 1M =

12f 22f

Elementsteifigkeitsmatrix

1 11 12 1

2 21 22 2

*

k

M k kM k k

ϕϕ

=

64748

Einheitsverschiebungs-zustände

11k

1 1ϕ =

12k

2 1ϕ =

12k22k

Definitionen



1 11 12 1

2 21 22 2

*

F

r F F Pr F F P

=

64748

1 1P =

1P 2P

1r 2r

Systemflexibilitätsmatrix

geometrischeBeziehung

1P

11F 21F 12F 22F

2 1P =

Definitionen



1 11 12 1

2 21 22 2

*

K

P K K rP K K r

=

64748

1 1r =

Systemsteifigkeitsmatrixstatische

Beziehung

11K21K

12K22K

2 1r =

Definitionen



Element

Kraftgrößen

v = f . SWERKSTOFF

S = k . vS v

Verschiebungsgrößen

GEOMETRIESTATIK

System(Knoten) P

r = F . PP = K . r

r

Definitionen



Theorie 1. Ordnung

Geometrie

1. •Das Tragwerk besteht aus einzelnen Stäben, deren Länge groß gegenüber den Querschnittabmessungen ist.

2. •Die Querschnitte bleiben bei der Verformung eben und stehen senkrecht zur Stabachse. Die Profilquerschnitte behalten während der Verformung ihre ursprüngliche Form bei.

3. •Die Verformung ist so klein, dass das Gleichgewicht am unverformten System angesetzt werden kann.



Theorie 1. Ordnung

Material

1. •Die Spannungen sind proportional zu den Dehnungen. Das Hook´sche Gesetz ist unbeschränkt gültig.

2. •Es wird isotropes, homogenes und vollelastisches Material vorausgesetzt.



Theorie 1. Ordnung

Belastung

1. • Alle Belastungen werden statisch wirkend angenommen, das heißt, die Belastung ist vorwiegend ruhend. Dynamische Einflüsse werden durch einen Schwingbeiwert zur statischen Belastung berücksichtigt.



Theorie 1. OrdnungSuperposition

P1 P2

M(P1)

M(P2)

M(P1)+M(P2)==M(P1+P2)



Arten statischer SystemeStatisch unterbestimmtes System



Arten statischer SystemeStatisch bestimmtes System



Arten statischer SystemeStatisch unbestimmtes System

ZusätzlichesAuflager



Zweck des Tragwerkes

AUFLAGERKRÄFTE

Das Tragwerk hat die Aufgabe, die einwirkenden Lasten in den Unterbau bzw. den Boden zu übertragen. à STÜZUNG



Arten von Auflagern

yF

xF

M

yF

yF

xF



Arten von Auflagern –Systembildung

000

uvϕ

==≠

Vertikalbolzen

000

uvϕ

=≠≠

Mörtelbett



Lager Gelenk

Symbol Symbola N Q M z

1

2

3

1

2

3

0 0 0 0

0 0 x

x 0 0

0 x 0

x x 0

0 x x

x 0 x

x x x

0 Null; x verschieden von Null

Arten von Auflagern –Symbolische Darstellung von Lagern & Gelenken



Generelle Anforderungen an Modellabbildungen

Beanspruchungen sind von Angriffsstellen durch das Bauwerk in die Gründung zu verfolgen

Für alle Teilbereiche sind die Lasteinflüsse in ungünstigst denkbarer Kombination zu ermitteln

Einstellenden Verformungen müssen für mechanisches Konzept und bauphysikalische Funktionalität vertretbar sein



Klassifizierung von Modellabbildungen

Klasse I Klasse II Klasse III Klasse IV Klasse V

0%

Ca. 50% des Bauwerkes müssen als große Bau- teilbereiche, als komplexe Gesamtheiten bearbeitet werden.

Ein alle Bereiche zusam- menfas- endes und verkop- pelndes Modell.

100%

Kom

plex

e G

anzh

eitli

chke

it



Klassifizierung von Modellabbildungen

100% Das Bau- werk wird in viele Einzelteile zerlegt, für die nur losgelöste Einzel- betrach- tungen erforderlich sind.

Ca. 50% des Bauwerkes lassen sich als losgelöste Einzelbau- werke bear- beiten.

0%

Ein

zelb

aute

ile



Beispiele für die Grundstruktur von Modellabbildungen

ϕ

Verschiebung,z.B. Fahrbahnübergang

erf. Freiraum

erf. Freiraum

Schwerachse

Lagerverschiebung

Verschiebung aus Trägerverdrehungen am

Endauflager




ϕ

kMkF

kF

iF

iFiM

=∞ statt

kM

iM

Modellabbildung für die Verbindungen von Bauteilen mit

großer Bauhöhe



Systemlinieq

1l 1l2l


H a u p tträ g e r

Q u e rträ g e r

D u rch lauf t räger

Trägerrost aus torsionsweichen Trägern



Trägerrost aus torsionssteifen

Trägern


Ebene des Systems der Rechnung

Ebene des Systems der Rechnung

Plattenstreifen als Querträger

beidseitig eingespanntes Bauteil

Zweiseitig eingespannterPlattenstreifen



Behälter –Fugen

>= 5mm>= 1

5mm

Wassersperre

Druckminderungskammer

Windschutz



Behälter Schnitt

Draufsicht

Setzungsmulde aus innerer Flüssigkeitsfüllungfür membrandünne Sohle

Setzungsmulde aus äußerer Bodenaufschüttungfür membrandünne Sohle

Kreiszylindrische Behälter



zx

h

x

y

r

P

nϕ

...

0z

P hn P r Kesselformel

nϕ

γ= ⋅= ⋅

=

Behälter



Behälter



Brücken

•Überbau•Unterbau•Widerlager•Zwischenpfeiler•Lager

Boden BodenBoden



Hallenbauten•kinematisch standsicher•Bemessung mit geringen Aufwand•Redundantes – robustes System

l l

1, zF2, zF 3, zF

BODENϕ

absolute Setzungrelative Setzung

absolute Setzung

1, 1, 0, 4z zF F l g= ⋅ ⋅∼2, 1, 2zF l g⋅ ⋅∼

Übliches statisch unbestimmtes System der Ortbeton- Ausführung mit guter Redundanz



Statisches System mit geringer Redundanz

1,zF2,zF 3,zF

Hallenbauten•kinematisch standsicher•Bemessung mit geringen Aufwand•Redundantes – robustes System



der RealitätgerechtwerdendeModellabbildung

e

BODENs∆

BODENϕ∆

unzureichendeModellabbildung

e

reales Verhaltene

simulieren desrealen Verhaltens

, , uE A l

N

M

ϕBODENs∆

ul

13Boden u Boden u

N Ms

E A E Iϕ∆ = ∆ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅l l

Hallenbauten

Rechenmodell einer Stütze mit elastischer Fundamentverdrehung



Fundament unter ausmittiger Belastung

eN

3[ / ]bc MN m

1b

1P2P

2P

Bodenpressung

Bodenpressung beiklaffender Sohlfuge

21 2 bb b cN

ϕ ⋅ ⋅ ⋅

Hallenbauten



Momenten-Verdrehung- Beziehung für ein Fundament2P

0,1 0,2 0,3 0,41/6 1/3

2

4

6

10

8

Sohlfuge klafft zur Hälfte

Sohlfuge beginnt zu klaffen

21 2 bb b cN

ϕ ⋅ ⋅ ⋅

1

eb

1b

1 / 2b eN

ϕ

lSrS

Hallenbauten



Hallenbauten –Dacharten

Fi

lcol 1 lcol 2

lcol i

F1 F2F

lcol

Kc




s u

s o

s




h

ll

s




No

Nu Nu

No

s us o

s u

s o




su

so




su

so

s 1s 2




s

h

0,65s0,

65h

KrKr

15°

J0,N0

J, N

l




Gurtstab

Füllstab

s



Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Sparrendach mit und ohne Kehlbalken

2 diagonale Windrispen

Firstholz

N,M,V

großeHorizontalkraft

großeHorizontalkraft



Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Bewegungsmöglichkeiten in der Dachkonstruktion für Sparren

uhoh

1l 2l

Situation im Stützpunkt der Pfette

Situation zwischen den Stützpunkten der Pfette

Pfette

PFETTEPFETTE zf u=

FIRSTzu

Pfette

First

2 FIRSTxu⋅

PFETTExu

Drehpoleinzig m

ögliche Bewegung

zu

xu



Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Mittelpfette



Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Sparren im kombinierten Sparren- Pfettendach

wie Sparrendach

U-Profil

Stahlstütze Stahlbetonstütze

0?yϕ =0?zu = 0?yϕ =

0?zu =

18d

cm∼



Ausschluss der Beweglichkeit von Strukturen und Systemen

Die Scheibe



D = Druckrand; F = äußerer Lastangriff; S = Stützwirkung der vertikalen Scheiben

Kraftfluss in einer Scheibe- druckweiches und zugfestes Material;drucksteife Randausbildung

D

D D

DD

D

DD

S

S

S

F F

Zugdiagonale

Druckstrebe

DruckstrebeDru

ckst

rebe

Dru

ckst

rebe

Kinematische Untersuchung von Scheiben als Element der Bauwerksstruktur






Z

Z Z ZZ

ZZZS

S

S

F FDruckdiagonale

Zugstrebe

ZugstrebeZug

stre

be

Zug

stre

be






Z Z ZZ

ZZS

S

FDruckdiagonale

D D

DD

DD

S

F

Zugdiagonale



Aussteifung eines Geschosses- Verschiebungen ux, uy, und phi zeiner Geschossebene


Geschossdecke= Platte

zϕ

yuxu

Platte :Belastungnormal zurEbene



Aussteifung eines Geschosses- Verschiebungen ux, uy, und phi zeiner Geschossebene


Scheibe Scheibe :Belastungin Ebene

Auflager



Aussteifung eines Geschosses- Kippen von Trägern-Querträger- Gabellagerung in der Lagerlinie




1. Stufe - vernachlässigbare Trägerhöhe

Deckenscheibe

Wandscheibe

2. Stufe - Berücksichtigung der Höhe der Deckenträger

Deckenscheibe

oder QuerträgerGbellagerung

Lagerlinie

3. Stufe - Maßnahmen gegen Biegedrillknicken der Deckenträger

biegesteifer Querträger im Feld

Aussteifung eines Geschosses in drei Stufen



Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren VerformungenAnschluss der Querkraft eines Kehlbalkens an einen „biegesteifen“ Sparren

ke

zV

sN

vertikaler Schnitt

zV zZ

D

M

/z kM V e

Z M z= ⋅

=



horizontaler Schnittse

zVkN

zV

z sM V e Z z D z= ⋅ = ⋅ = ⋅

D

z

Z

Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren VerformungenAnschluss der Querkraft eines Kehlbalkens an einen „biegesteifen“ Sparren



Klaffende Fuge in nur druckfestem Material zwischen Wandfuß und Fundament

V

M

NzF

ye

yFI = ∞

I ∞∼FundamentI z

Fund

amen

te

h=

Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren Verformungen



Konstruktive Erfordernisse beim Plattenbalken

Symetrische Belastung

M

Bewehrung bei exzentrischerBelastung

Fertigteil - Konstruktion




1. Rechenansatz

Bemessung der Bauteileund Verknüpfungen

Kontrolle erfüllt ?oder Korrektur mit

2. Durchgang erforderlich ?

Analyse des tatsächlichen Systemsder Baukonstruktion aus der Bemessung

e

e


Exzentrizitäten in einem Stabwerksknoten



Krone

Stamm

Äste

Boden

Wurzelver-ästelungen,Haarwurzeln

Haupt-wurzeln

Komplexe Bauwerke

Anwendungsorientiertes Bündelnvon ganzheitlich bleibenden Anteilender komplexen Gesamtbasis zuAstabzweigungen, zur Bearbeitungvon komplexen Bauwerken

Verschmelzendes Koppeln aller Grund-wissensanteile zu einem Gesamtkönnen

Grundwissen und -können in denfachlich relevantenWissensgebieten

Vielschichtigkeit und Breite desWissens in den einzelnenFachgebieten

Bildungsstand, Geisteshaltung,Motivation, Weiterbildung

Vielfältige Variantenund innovativeTragsysteme



Äußere Kräfte



Äußere Kräfte –Nach der Art der Einwirkung

Belastung

statisch dynamisch

Baudynamik

beweglich

Beschleuni-gungen g

PP(t)

t

fest

ständig zeitlichveränderlich

Eigengewicht g,Erddruck e,Nutzlasten

Verkehrslast p,Wind w,Schnee s

Verkehrslasten Erdbeben,Wind,Stoß,

Maschinen-erregung

Beispiele



Äußere Kräfte –Nach der Ursache der Einwirkung

Belastung

Kraftlastfall Verformungslastfall

eingeprägteKräfte

eingeprägteMomente

äußereKraftgrößen

Temperatur

Schwinden

Kriechen

EingeprägteLagerver-schiebung

EingeprägteDiskontinuitäten(z.B. bei Montage)

Vorspannung

als Kraftlastfall als Verformungslastfall

nq P

Tm m M

u∆

V

u∆

w∆

ϕ∆

ϕ

c∆

kε

Sε

aT

iT

.ungleichm T∆

.gleichm T

0 0T T T→ +



Äußere Kräfte –Nach dem Ort der Einwirkung

Belastung

indirektdirekt



Arten von Einwirkungen

a) Eigengewicht

b) Ständige Auflast

c) Verkehrsbelastung

d) Schneebelastung

e) Windbelastung

f)Bremskräfte, Anfahrwiderstände

g) Seitenstöße

h) Fliehkräfte

i) Wasserdruck

j) Erdbebenkräfte

k) Anprall von Fahrzeugen

l) Silodruck

m) Erddruck

n) Zwangskräfte

o) Kräfte in Folge dynamischer Ursachen



Schnittgrößen

Spannungen τσ Verzerrungen

außerhalb der Stabachse

Integration überQuerschnittsfläche A

zε

z zε ε κ= + i

statische Größen(Kraftgrößen)

geometrische Größen(Weggrößen)

innereGrößen

äußereGrößen

Schnittgrößen (Resultierende) Verzerrungen (Resultierende)

äußere Lasten Verschiebungsgrößen

M

NV

εγκ

uwϕ

u

w

ϕnvm

NVM



Schnittgrößen

Koordinaten VerschiebungsgrößenSchnittgrößenrä

umlic

heb

en

YZ

X

Y

Z

X

yM

yVz

z

V

M

N TM

yϕ

v

z

w

ϕ

u

x

oder

ϕ

ϑ

b

h

yM

yV

zM

zV

TM N

Z

X;y zM M V V≡ ≡

ϕ

z

xN

M

V

N

M Vyϕ ϕ≡

u

w

h



Kraftgrößen Verschiebungsgrößen

Element (innere Größen)

System (äußere Größen)

3 3,S v

2 2,S v

1 1,S v

z

x6 6,S v

4 4,S v5 5,S v

1

2

3

4

5

6

S

SS

SSS

S

=

1

2

3

4

5

6

v

vv

vvv

v

=

z

x

1 1,P r2 2,P r3 3,P r

1

2

3

P

PP

P

=

iiii

1

2

3

r

rr

r

=

iiii



Vorzeichenkonventionen

gestrichelte Faserz

i kx

Zug außen

Zug innen

P

WP WP




P

- + +

- -

M-Verlauf

1x

2x

3x

A

AA



Innere Kräfte

MN

V




+M

Kennfaser

+M

+V

+N

+V

1F2F 1nF − nF




N...Normalkraft: Zugkraft positiv

V...Querkraft: positiv, wenn sie am rechten Schnittufer nach

unten geht

M...Biegemoment: positiv, wenn die Kennfaser gezogen wird



Vorzeichenkonventionen –Auflager

+M

+Y

+X

+N +V

+Ry

+Rx



Vorzeichenkonventionen –Kraftangriff

+M

+Y

+X

+N +V

+Py

+Px

+V

+N

+M

+M



Vorzeichenkonventionen –Übertragungsgleichungen

M

N

V

L∆

M

N

Vki

q⊥

qP

2

1 0 00 1 00 1

2

k i

k i

k i

N N qII LV V q LM L M L

q

⋅∆ = • − ⊥ ⋅∆

∆ ∆ ⊥ ⋅



Vorzeichenkonventionen –Übertragungsgleichungen

äM

li rei

MM

N NVV

F⊥

FP

, ,

, ,

, ,

i re i li

i re i li

i re i li a

N N FV V FM M M

⊥

= −

P



M

V V+dV

M+dMq(x)

m(x)

dx

ZUSAMMENHANG:

BELASTUNG - QUERKRAFT – BIEGEMOMENT



ZUSAMMENHANG: BELASTUNG - QUERKRAFT – BIEGEMOMENT

0 :V =∑ 0V q dx V dV− ∗ − − =

dV

qdx

= −

Gleichgewicht an dem Balkenelement:

1 0 :M =∑ 21 02M M dM V dy q dx m dx − − + ∗ − ∗ ∗ + ∗ =

vernachlässigbar!

dM

V mdx

= +

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