beberapa pertidaksamaan tipe ostrowski

1

Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski

Rani Fransiska

Departemen Marematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 [email protected]

Abstrak

Pertidaksamaan Ostrowski adalah suatu pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunannya terbatas. Pertidaksamaan tipe Ostrowski adalah hasil pengembangan dari pertidaksamaan Ostrowski. Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari beberapa pertidaksamaan tipe Ostrowski. Fungsi yang digunakan adalah fungsi yang turunan pertamanya kontinu variasi terbatas dan kontinu mutlak.

Abstract

Ostrowski’s inequality is an integral inequality for continuous functions and its derivative is bounded. Ostrowski type inequalities is developed from Ostrowski’s inequality. This research is studying about the Ostrowski type inequalities, especially for continuous function of bounded variation and absolutely continuous function.

Keywords : absolutely continous, continuous bounded variation, ostrowski type inequality, Riemann-Stieltjes integral.

1. PENDAHULUAN

Kelas fungsi kontinu adalah kelas fungsi yang

terpenting di analisis riil. Istilah “kontinu” digunakan oleh Newton untuk mendeskripsikan sebuah kurva mulus. Setelah itu, Bolzano di tahun 1817 dan Cauchy di tahun 1821 mengidentifikasi kekontinuan sebagai sifat penting dari fungsi dan mengajukan beberapa definisi. Kemudian, di sekitar tahun 1870, Weiertrass mendefinisikan fungsi kontinu dengan menggunakan pendekatan limit (Bartle, 2000).

Terdapat beberapa jenis fungsi kontinu, di antaranya fungsi kontinu seragam, kontinu variasi terbatas, dan kontinu mutlak. Masing-masing fungsi tersebut memiliki sifat-sifat tersendiri dan ada beberapa yang terdapat hubungan implikasi.

Pada tahun 1938, Ostrowski memperkenalkan sebuah pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunan pertamanya terbatas. Pertidaksamaan ini dikenal dengan pertidaksamaan Ostrowski (Mitrinovic & Pecaric, 1994). Pertidaksamaan integral yang dihasilkan dari pengembangan pertidaksamaan Ostrowski disebut pertidaksamaan tipe Ostrowski

Rumusan masalah dalam skripsi ini adalah bagaimana bentuk pertidaksamaan tipe Ostrowski? Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mempelajari beberapa bentuk pertidaksamaan tipe Ostrowski

2. LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan definisi dan teorema

mengenai ruang 퐿 [푎, 푏], fungsi variasi terbatas, fungsi kontinu mutlak, dan integral Riemann-Stieltjes yang akan digunakan pada bagian pembahasan.

Definisi 2.1 Untuk sebarang 푝 ∈ ℝ, dengan 푝 ≥ 1, ruang Banach 퐿 [푎, 푏] adalah ruang yang berisi semua fungsi kontinu bernilai riil di [푎,푏] dengan norm yang didefinisikan sebagai

‖푥‖ = |푥(푡)| 푑푡 .

(Kreyszig, 1989)

Selanjutnya adalah definisi dari fungsi variasi terbatas. Definisi 2.2 Misalkan 푓: [푎,푏] → ℝ dan 푃 = {푥 ,푥 , … , 푥 ,푥 } partisi dari [푎,푏]. Variasi dari fungsi푓 atas partisi 푃 didefinisikan sebagai

(푓,푃) = |푓(푥 ) − 푓(푥 )|.

Variasi dari fungsi 푓 di [푎, 푏] didefinisikan sebagai

(푓) = 푠푢푝 (푓,푃).

푠푢푝⋁ (푓,푃) adalah supremum terhadap semua partisi 푃 dari [푎, 푏]. Jika ⋁ (푓) berhingga, maka 푓 disebut fungsi variasi terbatas di [푎,푏]. 퐵푉 adalah himpunan semua fungsi yang terdefinisi di [푎,푏] dan variasi terbatas di [푎,푏]. (Randolph, 1968)

Beberapa pertidaksamaan tipe..., Rani Fransiska, FMIPA UI, 2013

2

Berikut adalah keunikan dari fungsi variasi terbatas. Akibat 2.3 Fungsi 푓: [푎, 푏] → ℝ adalah fungsi variasi terbatas jika dan hanya jika 푓 dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi tak turun. Lebih jauh, 푓 fungsi kontinu variasi terbatas jika dan hanya jika 푓 dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi kontinu yang tak turun. (Randolph, 1968)

Berikut ini adalah definisi dari fungsi kontinu mutlak.

Definisi 2.4 Sebuah fungsi 푓 dikatakan kontinu mutlak di [푎, 푏] jika untuk sebarang 휀 > 0 yang diberikan, terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga ∑ |푓(훽 ) − 푓(훼 )| < 휀, dengan [훼 ,훽 ],[훼 ,훽 ], … , [훼 ,훽 ]adalah kumpulan berhingga subinterval dari [푎,푏] yang tidak saling berpotongan dan ∑ (훽 − 훼 ) <훿. (Randolph, 1968)

Sifat berikutnya menjamin bahwa jika suatu fungsi kontinu mutlak maka fungsi tersebut adalah fungsi variasi terbatas.

Teorema 2.5 Jika 푓 fungsi kontinu mutlak di [푎,푏], maka 푓 adalah fungsi variasi terbatas di [푎, 푏]. (Randolph, 1968)

Variasi suatu fungsi yang kontinu mutlak dapat dihubungkan dengan nilai integral dari mutlak turunan pertama fungsi tersebut.

Teorema 2.6 Jika푓 kontinu mutlak di [푎,푏] dan 푥 ∈ [푎, 푏], maka 휋 (푥) = ⋁ (푓) kontinu mutlak dan berlaku

휋 (푥) = |푓 (푡)|푑푡.

(Folland, 1999)

Sebelum masuk kepada definisi fungsi yang terintegrasi secara Riemann-Stieltjes, dibahas terlebih dahulu mengenai jumlah Riemann-Stieltjes.

Definisi 2.7 Misalkan 푓 dan 훼 adalah fungsi bernilai riil yang domainnya adalah interval tutup [푎, 푏] dengan fungsi 푓 dan 훼 terbatas di [푎, 푏]. Ambil partisi

푃 = {푥 ,푥 , … , 푥 ,푥 } dari [푎,푏]. Pilih 푡 sedemikian sehingga 푥 ≤ 푡 ≤푥 untuk 푖 = 1,2, … , 푛, maka

푓(푡 ) [훼(푥 )− 훼(푥 )]

disebut jumlah Riemann-Stieltjes dari 푓 terhadap 훼 dan relatif terhadap 푃. Himpunan dari semua nilai yang mungkin dari jumlah tersebut (dengan 푓,훼,dan 푃 tetap) dinyatakan sebagai 푆(푓,훼,푃). (Randolph, 1968)

Selanjutnya, diberikan definisi fungsi yang terintegralkan secara Riemann-Stieltjes.

Definisi 2.8 Misalkan fungsi 푓 dan 훼 terdefinisi dan terbatas di [푎,푏]. Dengan menggunakan notasi

푆(푓,훼,푃) → 푠 ketika ‖푃‖ → 0 atau 푙푖푚‖ ‖→ 푆(푓,훼,푃) = 푠

dimana푠 ∈ ℝ, yang artinya jika diberikan sebarang 휀 > 0 terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga jika ‖푃‖ < 훿 maka 푆(푓,훼,푃) ⊂ (푠 − 휀, 푠 + 휀). Jika limitnya ada, maka 푓dikatakan terintegralkan secara Riemann-Stieltjes terhadap 훼 di [푎,푏] atau "푓 ∈ ℛ풮(훼)푑푖[푎,푏]" dan notasi

푠 = 푓(푥) 푑훼(푥)

digunakan dan dibaca sebagai “integral Riemann-Stieltjes dari 푎 ke 푏dari 푓 terhadap 훼”. Fungsi 푓 disebut sebagai integran sedangkan 훼 disebut sebagai integrator. (Randolph, 1968)

Selanjutnya diberikan beberapa sifat dari integral Riemann-Stieltjes. Sifat yang pertama mengenai sifat linear dari integral Riemann-Stieltjes terhadap integratornya.

Teorema 2.9 Jika 푓 ∈ ℛ풮(훼)dan 푓 ∈ ℛ풮(훽) di [푎,푏], maka untuk sembarang 푐 , 푐 ∈ ℝ diperoleh 푓 ∈ ℛ풮(푐 훼 + 푐 훽) di [푎, 푏] dan berlaku

푓푑(푐 훼 + 푐 훽) = 푐 푓푑훼 + 푐 푓푑훽.

(Apostol, 2004)

Sifat selanjutnya membahas mengenai syarat cukup fungsi yang terintegrasi secara Riemann-Stieltjes. Syarat cukupnya adalah integran merupakan fungsi yang terbatas dan diskontinu di berhingga titik sedangkan integratornya adalah fungsi yang kontinu dan tak turun.

Teorema 2.10 Jika 푓 adalah fungsi terbatas di [푎,푏] dengan jumlah titik diskontinu yang berhingga dan 훼 adalah fungsi kontinu dan tak turun di [푎, 푏], maka 푓 ∈ ℛ풮(훼) di [푎, 푏]. (Rudin, 1976)

Sifat berikutnya membahas nilai integral Riemann-Stieltjes jika integrannya adalah fungsi terbatas dan integratornya adalah fungsi variasi terbatas. Ternyata nilainya dapat dikaitkan dengan hasil perkalian dari supremum integrannya dan variasi dari integratornya.

Teorema 2.11 Misalkan 푓 ∈ ℛ풮(훼) di [푎, 푏] dengan 훼 fungsi kontinu variasi terbatas di [푎, 푏] maka

푓 푑훼 ≤ 푠푢푝∈[ , ]

|푓(푡 )| (훼).

(Lang, 1991)


3

Sifat selanjutnya yaitu hubungan antara integral Riemann dengan integral Riemann-Stieltjes ketika integratornya adalah fungsi yang turunannya kontinu.

Teorema 2.12 Misalkan푓 ∈ ℛ풮(훼) di [푎, 푏] dan turunan 훼, yaitu 훼′ kontinu di [푎,푏]. Maka Integral Riemann ∫ 푓(푥)훼′(푥)푑푥 ada dan berlaku

푓(푥)푑훼(푥) = 푓(푥)훼′(푥)푑푥.

(Apostol, 2004)

Seperti pada integral Riemann, integral Riemann-Stieltjes juga mengenal integrasi parsial. Berikut formulanya.

Teorema 2.13 Jika 푓 ∈ ℛ풮(훼) di [푎, 푏], maka 훼 ∈ ℛ풮(푓) di [푎, 푏] dan memenuhi

푓(푥)푑훼(푥) = 푓(푥)훼(푥)푏푎 − 훼(푥)푑푓(푥).

(Randolph, 1968)

Selanjutnya dibuktikan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz untuk integral Riemann berlaku.

Teorema 2.14 Misal fungsi 푓 dan 푔 adalah fungsi yang terintegralkan Riemann di [푎,푏], maka

푓(푥)푔(푥)푑푥 ≤ |푓(푥)푔(푥)|푑푥

≤ 푓 (푥)푑푥 푔 (푥)푑푥 .

(Bartle & Sherbert, 2000)

3. PEMBAHASAN

Pertidaksamaan Ostrowski adalah pertidaksamaan yang ditemukan dan dibuktikan pertama kali oleh seorang matematikawan bernama A. M. Ostrowski pada tahun 1938 (Cerone, 1998). Pertidaksamaan ini adalah pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunannya terbatas. Berikut isi dari pertidaksamaan Ostrowski.

Teorema 3.1 Misalkan 푓: [푎,푏] → ℝ dengan 푓 kontinu dan terturunkan di [푎, 푏] dimana turunan pertamanya, 푓′ ∶ (푎,푏) → ℝ terbatas, dengan ‖푓′‖∞ ≔ 푠푢푝 ∈( , )|푓′(푡)| < ∞. Maka untuk setiap 푥 ∈ [푎,푏],berlaku

푓(푥) −1

푏 − 푎 푓(푡) 푑푡

≤14 +

푥 −(푏 − 푎) (푏 − 푎)‖푓′‖∞.(1)

(Dragomir & Wang, 1998)

Bukti: Misalkan 푓 kontinu dan terturunkan di [푎, 푏]. Ambil sebarang 푥 ∈ [푎,푏] sehingga

푓(푥) −1


=1

푏 − 푎(푡 − 푎)푑푓(푡) + (푡 − 푏)푑푓(푡)

= 1

푏 − 푎 푝(푥, 푡)푓′(푡)푑푡,(2)

dengan 푝(푥, 푡) = 푡 − 푎, 푡 ∈ [푎, 푥],푡 − 푏, 푡 ∈ (푥, 푏].

Agar sesuai dengan ruas kiri dari (1), ambil nilai mutlak dari (2). Dengan menggunakan sifat nilai mutlak suatu integral dan karena untuk setiap 푡 ∈ [푎,푏] berlaku |푓 (푡)| ≤ ‖푓′‖∞, maka diperoleh

푓(푥) −1


=1

푏 − 푎 푝(푥, 푡)푓′(푡)푑푡

≤1

푏 − 푎|푝(푥, 푡)||푓′(푡)|푑푡

≤‖푓′‖∞푏 − 푎 |푝(푥, 푡)|푑푡.(3)

Selanjutnya, hitung ∫ |푝(푥, 푡)|푑푡 terlebih dahulu.

|푝(푥, 푡)|푑푡 = |푡 − 푎|푑푡 + |푡 − 푏|푑푡

= 푥 − 푥(푎 + 푏) +푎 + 푏

2 .

Dengan mensubstitusi hasil ∫ |푝(푥, 푡)|푑푡 ke pertidaksamaan (3), maka

푓(푥) −1


≤‖푓′‖∞푏 − 푎

|푝(푥, 푡)|푑푡

=‖푓′‖∞푏 − 푎 푥 − 푥(푎 + 푏) +

푎 + 푏2

= ‖푓′‖∞(푏 − 푎)14 +

푥 −(푏 − 푎) .∎

Pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya adalah hasil penemuan dari Zheng Liu (2008). Terdapat tiga pertidaksamaan tipe Ostrowski yang dibuktikan, yaitu untuk fungsi yang turunan pertamanya adalah fungsi kontinu mutlak dan kontinu variasi terbatas. Mula-mula dibuktikan Lema 3.2 karena ketiga pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya menggunakan lema ini. Lebih spesifik lagi, ketiga pertidaksamaan selanjutnya menggunakan nilai mutlak dari ruas kanan persamaan (4).


4

Lema 3.2 Misalkan 푓: [푎, 푏] → ℝ sedemikian sehingga 푓′ fungsi kontinu variasi terbatas di [푎, 푏]. Maka untuk setiap 푥 ∈ [푎,푏] dan 휃 ∈ [0,1] berlaku

퐾(푥, 푡)푑푓 ′ (푡) = 푓(푡)푑푡

−(푏 − 푎) (1 − 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

+(1 − 휃)(푏 − 푎) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥),(4) dengan

퐾(푥, 푡) =

12

(푡 − 푎)[(푡 − 푎)− 휃(푏 − 푎)], 푡 ∈ [푎, 푥],12

(푡 − 푏)[(푡 − 푏) + 휃(푏 − 푎)], 푡 ∈ (푥, 푏].

(Liu, 2008) Bukti: Berdasarkan definisi 퐾(푥, 푡), maka 퐾(푥, 푡) terbatas dan diskontinu di satu titik yaitu di titik 푥 ≠ .

Berdasarkan premis, 푓′ adalah fungsi kontinu variasi terbatas di [푎,푏]. Dengan menggunakan Akibat 2.3, maka 푓′ dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi kontinu yang tak turun. Misal, untuk setiap푡 ∈ [푎,푏], 푓′(푡) = 휋(푡)− 푣(푡) dimana 휋,푣 fungsi kontinu tak turun di [푎,푏].

Dengan Teorema 2.10 mengenai syarat cukup fungsi yang terintegralkan secara Riemann-Stieltjes, karena퐾 fungsi yang diskontinu di berhingga titik dan 휋 dan 푣 adalah fungsi kontinu yang tak turun maka 퐾 ∈ ℛ풮(휋) dan 퐾 ∈ ℛ풮(푣) di [푎, 푏].

Dengan menggunakan sifat linear integral Riemann-Stieltjes terhadap integratornya, Teorema 2.9 menjamin 퐾 ∈ ℛ풮(휋 − 푣) di [푎,푏] yang artinya, 퐾 ∈ ℛ풮(푓′) di [푎, 푏] sehingga integrasi parsial Riemann-Stieltjes pada Teorema 2.13 dapat digunakan. Selanjutnya, untuk setiap 푥 ∈ [푎,푏] dan 휃 ∈ [0,1] berlaku

퐾(푥, 푡)푑푓 ′(푡)

= 퐾(푥, 푡)푑푓 ′(푡) + 퐾(푥, 푡)푑푓 ′(푡).(5)

Masing-masing suku di sebelah kanan dihitung dengan menggunakan rumus integrasi parsial untuk integral Riemann-Stieltjes, sehingga untuk suku pertama


= 푓′(푥)퐾(푥,푥) − 푓′(푎)퐾(푥,푎) − 푓′(푡)푑퐾(푥, 푡)

= 12푓′

(푥)[(푥 − 푎) − 휃(푥 − 푎)(푏 − 푎)]

− 푓′(푥)푑퐾(푥, 푡).(6)

Karena 퐾(푥, 푡) terturunkan dan turunannya kontinu di [푎,푥], maka dengan Teorema 2.12 dapat dihubungkan dengan integral Riemannnya, menjadi

푓 ′(푡)푑퐾(푥, 푡)

= 푓′(푡)퐾′(푥, 푡)푑푡

= 푓′(푡) (푡 − 푎) −휃2

(푏 − 푎) 푑푡

= 푓′(푡)(푡 − 푎)푑푡 −휃2

(푏 − 푎) 푓′(푡)푑푡

= 푓(푡)(푡 − 푎)| − 푓(푡)푑푡 −휃2

(푏 − 푎)[푓(푥)− 푓(푎)]

= 푓(푥)(푥 − 푎) − 푓(푡)푑푡 −휃2

(푏 − 푎)[푓(푥)− 푓(푎)].

Dengan mensubstitusikan hasil tersebut, (6) menjadi


=12푓′

(푥)[(푥 − 푎) − 휃(푥 − 푎)(푏 − 푎)]− 푓(푥)(푥 − 푎)

+ 푓(푡)푑푡+휃2

(푏 − 푎)[푓(푥) − 푓(푎)].

Sedangkan suku kedua ruas kanan (5) adalah


= 푓′(푏)퐾(푥,푏)− 푓′(푥)퐾(푥,푥) − 푓′(푡)푑퐾(푥, 푡)

= −12푓′

(푥)[(푥 − 푏) + 휃(푥 − 푏)(푏 − 푎)]

− 푓′(푡)푑퐾(푥, 푡).(7)

Kemudian dikaitkan lagi dengan integral Riemannnya,

푓′(푡)푑퐾(푥, 푡)

= 푓′(푡)퐾′(푥, 푡)푑푡

= 푓′(푡)(푡 − 푏)푑푡 +휃2

(푏 − 푎) 푓′(푡)푑푡

= 푓(푡)(푡 − 푏)| − 푓(푡)푑푡+휃2

(푏 − 푎)[푓(푏) − 푓(푥)]

= −푓(푥)(푥 − 푏) − 푓(푡)푑푡 +휃2

(푏 − 푎)[푓(푏)− 푓(푥)].

Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke (7), diperoleh

퐾(푥, 푡)푑푓′(푡)

= −12푓′

(푥)[(푥 − 푏) + 휃(푥 − 푏)(푏 − 푎)] + 푓(푥)(푥 − 푏)

+ 푓(푡)푑푡 −휃2

(푏 − 푎)[푓(푏)− 푓(푥)].


5

Jika hasil dari (6) dan (7) dijumlahkan, maka (5) menjadi

퐾(푥, 푡)푑푓′(푡)

=12푓′

(푥)[(푥 − 푎) − 휃(푥 − 푎)(푏 − 푎)]− 푓(푥)(푥 − 푎)

+ 푓(푡)푑푡+휃2

(푏 − 푎)[푓(푥) − 푓(푎)]

−12푓′

(푥)[(푥 − 푏) + 휃(푥 − 푏)(푏 − 푎)]

+푓(푥)(푥 − 푏) + 푓(푡)푑푡 −휃2

(푏 − 푎)[푓(푏)− 푓(푥)]

= 푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) 푓(푥)(1− 휃) + 휃푓(푏) + 푓(푎)

2

+푓′(푥)(푏 − 푎)(1− 휃) 푥 −푎 + 푏

2 .∎

Pertidaksamaan yang dibahas pertama adalah tipe Ostrowski untuk fungsi yang turunan pertamanya fungsi kontinu variasi terbatas. Berikut isi dari pertidaksamaannya.

Teorema 3.3 Misalkan 푓: [푎,푏] → ℝ sedemikian sehingga 푓′ fungsi kontinu variasi terbatas di [푎, 푏]. Untuk 푎 ≤ 푥 ≤ dengan 휃 ∈ [0,1], berlaku

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) (1− 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

− (1− 휃) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

≤1

164(푥 − 푏) − 4휃(푏 − 푎)(푏 − 푥) + 휃 (푏 − 푎)

+|4(푥 − 푏) − 4휃(푏 − 푎)(푏 − 푥) − 휃 (푏 − 푎) |

(푓′),(8)

dan untuk < 푥 ≤ 푏 dengan 휃 ∈ [0,1], berlaku

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) (1− 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

− (1− 휃) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

≤1

164(푥 − 푎) − 4휃(푏 − 푎)(푥 − 푎) + 휃 (푏 − 푎) +|4(푥 − 푎) − 4휃(푏 − 푎)(푥 − 푎) − 휃 (푏 − 푎) |

(푓′),(9)

(Liu, 2008)

Bukti: Perhatikan bahwa premis dari Teorema 3.3 sama dengan Lema 3.2, yaitu sama-sama untuk 푓′ fungsi kontinu variasi terbatas di [푎,푏]. Jadi, persamaan (4) pada Lema 3.2 dapat digunakan.

Berdasarkan Teorema 2.11, karena integrannya, yaitu fungsi 퐾(푥, 푡) terbatas dan integratornya yaitu 푓′(푡) kontinu variasi terbatas, maka dengan mengambil nilai mutlak dari persamaan (3.11) diperoleh

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎)(1− 휃)푓(푥) + 휃

푓(푎) + 푓(푏)2

−(1− 휃) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

= 퐾(푥, 푡)푑푓′(푡)

≤ 푠푢푝∈[ , ]

|퐾(푥, 푡)| (푓′).(10)

Dengan menggunakan definisi 퐾(푥, 푡) yang terdapat pada Lema 3.2, maka

퐾(푥, 푡) =(푡 − 푎)[(푡 − 푎) − 휃(푏 − 푎)], 푡 ∈ [푎,푥],

(푡 − 푏)[(푡 − 푏) + 휃(푏 − 푎)], 푡 ∈ (푥,푏].

Misalkan 퐾(푥, 푡) didefinisikan sebagai berikut: 퐾 (푥, 푡) = (푡 − 푎)[(푡 − 푎) − 휃(푏 − 푎)], 푡 ∈ [푎, 푥] dan 퐾 (푥, 푡) = (푡 − 푏)[(푡 − 푏) + 휃(푏 − 푎)], 푡 ∈ (푥,푏].

Untuk mencari 푠푢푝 ∈[ , ]|퐾(푥, 푡)| terdapat beberapa kandidat titik, yaitu titik stasioner, titik batas, dan titik yang mendekati titik batas.

Titik stasioner dari 퐾 (푥, 푡) yaitu 푡 = 푎 + (푏 − 푎)

dan dari 퐾 (푥, 푡) yaitu 푡 = 푏 − (푏 − 푎).

퐾 (푥, 푡) memiliki tiga titik kritis, yaitu titik 푎, 푡 , dan 푥 dengan nilai fungsi |퐾 (푥, 푎)| = 0,

|퐾 (푥, 푡 )| =휃 (푏 − 푎)

8 ,

|퐾 (푥, 푥)| =12

(푥 − 푎) −휃2

(푥 − 푎)(푏 − 푎) .

퐾 (푥, 푡) memiliki dua titik kritis, yaitu titik 푡 dan 푏 dengan nilai fungsi

|퐾 (푥, 푡 )| =휃 (푏 − 푎)

8 , |퐾 (푥, 푏)| = 0, dan titik yang mendekati titik batas 푥 dengan nilai |퐾 (푥, 푥 )| = lim

→퐾 (푥, 푡)

=12

(푥 − 푏) +휃2

(푥 − 푏)(푏 − 푎) .

Selanjutnya, muncul dua kandidat nilai supremum yang mungkin pada setiap interval 푎, dan

,푏 sehingga digunakan formula berikut:

푠푢푝∈[ , ]

|퐾(푥, 푡)| = 푚푎푥 {퐴,퐵} =퐴 + 퐵

2 +|퐴 − 퐵|

2 .

Perhatikan bahwa 퐾 (푥, 푥) −퐾 (푥, 푥 )

=12

(푥 − 푎) −휃2

(푥 − 푎)(푏 − 푎)−12

(푥 − 푏)

−휃2

(푥 − 푏)(푏 − 푎)

= (푏 − 푎) 푥 −푎 + 푏

2(1 − 휃).


6

Kasus 1, misalkan 푎 ≤ 푥 ≤ . Akan dibuktikan untuk 휃 ∈ [0,1], berlaku 퐴 = 퐾 (푥,푥 ) dan 퐵 = ( ) .

a. Untuk 휃 ∈ 0, 12

Perhatikan untuk 퐾 (푥, 푥 ) = (푥 − 푏)[(푥 − 푏) + 휃(푏 − 푎)] dengan 푥 ≤ maka (푥 − 푏) + 휃(푏 − 푎) ≤ 휃 − 1

2 (푏 − 푎) ≤ 0.

Jadi, untuk 휃 ∈ 0, 12 diperoleh

퐾 (푥,푥 ) =12

(푥 − 푏)[(푥 − 푏) + 휃(푏 − 푎)] ≥ 0.

Misalkan 퐾 (푥,푥) ≥ 0, maka |퐾 (푥, 푥)|− |퐾 (푥, 푥 )| = 퐾 (푥, 푥) −퐾 (푥, 푥 ) ≤ 0 ⟹퐾 (푥, 푥 ) ≥ 퐾 (푥, 푥). Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah 퐾 (푥, 푥 ) dan ( ) .

Misalkan 퐾 (푥,푥) < 0, maka |퐾 (푥,푥)|− |퐾 (푥,푥 )| = −퐾 (푥, 푥) −퐾 (푥, 푥 ) = − 퐾 (푥,푥) + 퐾 (푥,푥 ) ≤ 0. ⟹ |퐾 (푥, 푥 )| = 퐾 (푥,푥 ) ≥ |퐾 (푥,푥)|. Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah 퐾 (푥, 푥 ) dan ( ) .

Jadi, terbukti bahwa untuk 휃 ∈ 0, 12 ,

퐴 = 퐾 (푥, 푥 ) dan 퐵 = ( ) .

b. Untuk 휃 ∈ 12 , 1

Perhatikan untuk 퐾 (푥, 푥) = (푥 − 푎)[(푥 − 푎)− 휃(푏 − 푎)]

dengan 푥 ≤ maka (푥 − 푎)− 휃(푏 − 푎) ≤ 1

2− 휃 (푏 − 푎) < 0. Jadi untuk 휃 ∈ 1

2 , 1 diperoleh

퐾 (푥, 푥) =12

(푥 − 푎)[(푥 − 푎)− 휃(푏 − 푎)] ≤ 0.

Misalkan 퐾 (푥,푥 ) > 0, maka |퐾 (푥,푥)|− |퐾 (푥,푥 )| = −퐾 (푥, 푥) −퐾 (푥, 푥 ) = − 퐾 (푥,푥) + 퐾 (푥,푥 ) ≤ 0. ⟹ |퐾 (푥, 푥 )| = 퐾 (푥,푥 ) ≥ |퐾 (푥,푥)|. Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah 퐾 (푥, 푥 ) dan ( ) .

Misalkan 퐾 (푥,푥 ) ≤ 0, maka |퐾 (푥,푥)|− |퐾 (푥,푥 )| = −퐾 (푥, 푥) +퐾 (푥, 푥 ) = 퐾 (푥,푥 )− 퐾 (푥,푥) ≥ 0. ⟹ |퐾 (푥, 푥)| ≥ |퐾 (푥, 푥 )|.

Selanjutnya, |퐾 (푥, 푥)| dibandingkan dengan ( ) .

휃 (푏 − 푎)8 − |퐾 (푥,푥)|

=휃 (푏 − 푎)

8 +퐾 (푥, 푥)

=12

(푥 − 푎) −휃2

(푥 − 푎)(푏 − 푎) +휃 (푏 − 푎)

8

=12

(푥 − 푎) −휃2

(푏 − 푎) ≥ 0.

⟹ ( ) ≥ |퐾 (푥,푥)| = −퐾 (푥,푥).(11)

Jadi, ( ) ≥ |퐾 (푥,푥)| ≥ |퐾 (푥,푥 )|. Diperoleh yang menjadi supremum adalah

( ) .

Jadi, terbukti bahwa untuk 휃 ∈ 12 , 1 ,

퐴 = 퐾 (푥, 푥 ) dan 퐵 = ( ) .

Berdasarkan uraian di a dan b, untuk푎 ≤ 푥 ≤ dan 휃 ∈ [0,1] diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah 퐴 = 퐾 (푥,푥 ) dan 퐵 = ( ) . Dengan mensubstitusi hasil tersebut ke 푠푢푝 ∈[ , ]|퐾(푥, 푡)|, diperoleh

푠푢푝∈[ , ]

|퐾(푥, 푡)| =퐴 + 퐵

2 +|퐴 −퐵|

2

=1

164(푥 − 푏) − 4휃(푏 − 푎)(푏 − 푥) + 휃 (푏 − 푎)

+|4(푥 − 푏) − 4휃(푏 − 푎)(푏 − 푥) − 휃 (푏 − 푎) | . (12)

Substitusi (12) ke (10)maka

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) (1− 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

− (1− 휃) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

≤1

164(푥 − 푏) − 4휃(푏 − 푎)(푏 − 푥) + 휃 (푏 − 푎)

+|4(푥 − 푏) − 4휃(푏 − 푎)(푏 − 푥) − 휃 (푏 − 푎) |

(푓′).

Kasus 2, misalkan < 푥 ≤ 푏. Untuk 휃 ∈ [0,1], dengan pembuktian yang analog dengan kasus 1, diperoleh supremum yang mungkin adalah 퐴 = 퐾 (푥, 푥) dan 퐵 = ( ) . Kemudian disubstitusi ke 푠푢푝 ∈[ , ]|퐾(푥, 푡)|, diperoleh 푠푢푝∈[ , ]

|퐾(푥, 푡)|

=1

164(푥 − 푎) − 4휃(푏 − 푎)(푥 − 푎) + 휃 (푏 − 푎) +|4(푥 − 푎) − 4휃(푏 − 푎)(푥 − 푎) − 휃 (푏 − 푎) | . (13)


7

Substitusi (13) ke (10) maka

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) (1− 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

− (1− 휃) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

≤1


(푓′) .∎

Pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya berlaku untuk fungsi yang turunan pertamanya adalah fungsi kontinu mutlak. Terdapat hubungan antara Teorema 3.4 dan Teorema 3.3 karena fungsi yang kontinu mutlak pasti juga fungsi variasi terbatas.

Teorema 3.4 Misalkan 푓: [푎,푏] → ℝ sedemikian sehingga 푓′ kontinu mutlak di [푎, 푏]. Untuk 푎 ≤ 푥 ≤ dengan 휃 ∈ [0,1], berlaku

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) (1− 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

− (1− 휃) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

≤1

164(푥 − 푏) − 4휃(푏 − 푎)(푏 − 푥) + 휃 (푏 − 푎) +|4(푥 − 푏) − 4휃(푏 − 푎)(푏 − 푥) − 휃 (푏 − 푎) |

‖푓"‖ ,(14) dan untuk < 푥 ≤ 푏 dengan 휃 ∈ [0,1], berlaku

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) (1− 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

− (1− 휃) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

≤1


‖푓"‖ ,(15)

dengan ‖푓"‖ = ∫ |푓′′(푡)|푑푡. (Liu, 2008)

Bukti: Karena 푓′ adalah fungsi yang kontinu mutlak di [푎,푏], maka berdasarkan Teorema 2.5,푓′ fungsi kontinu variasi terbatas di [푎, 푏]. Oleh karena itu, Teorema 3.5 dapat digunakan.

Dengan membandingkan pertidaksamaan (14) dengan (8) dan pertidaksamaan (15) dengan (9), diperoleh bahwa yang akan dibuktikan adalah ⋁ (푓′) = ‖푓′′‖ .

Berdasarkan Teorema 2.6, karena 푓′ adalah fungsi yang kontinu mutlak di [푎,푏], maka variasi 푓′ di [푎,푏] dapat dinyatakan dengan ⋁ (푓′) = ∫ |푓′′(푡)|푑푡. Karena 푓′ fungsi kontinu variasi terbatas di [푎,푏], maka ⋁ (푓′) = ∫ |푓′′(푡)|푑푡 memiliki nilai yan berhingga, sehingga diperoleh

(푓′) = |푓′′(푡)|푑푡 = ‖푓′′‖ .∎

Tidak semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu mutlak, turunan keduanya adalah anggota 퐿 [푎,푏]. Pertidaksamaan tipe Ostrowski terakhir serupa dengan pertidaksamaan di Teorema 3.4, yaitu untuk fungsi yang turunan pertamanya kontinu mutlak, tetapi ada syarat tambahan, yaitu turunan keduanya adalah anggota 퐿 [푎, 푏].

Teorema 3.5 Misalkan 푓: [푎,푏] → ℝ sedemikian sehingga 푓′ adalah fungsi yang kontinu mutlak di [푎,푏] dan 푓′′ ∈ 퐿 [푎, 푏]. Maka ∀푥 ∈ [푎, 푏] dan 휃 ∈ [0,1] berlaku

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) (1− 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

− (1 − 휃) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

≤12 [(1− 휃)(푏 − 푎) 푥 −

푎 + 푏2 +

휃 −3휃2 +

12

(푏 − 푎) 푥 −푎 + 푏

2 + 휃12−

휃16 +

180

(푏 − 푎) ] ‖푓"‖ .(16)

dengan ‖푓′′‖ ≔ ∫ |푓′′(푡)| . (Liu, 2008)

Bukti: Karena 푓′ adalah fungsi yang kontinu mutlak di [푎,푏], maka 푓′ fungsi variasi terbatas di [푎, 푏], jadi Lema 3.2 dapat digunakan.

푓(푡)푑푡 − (푏 − 푎) (1 − 휃)푓(푥) + 휃푓(푎) + 푓(푏)

2

+(1 − 휃)(푏 − 푎) 푥 −푎 + 푏

2 푓′(푥)

= 퐾(푥, 푡)푓′′(푡)푑푡

= 퐾(푥, 푡)푓′′(푡)푑푡

≤ 퐾 (푥, 푡)푑푡 [푓′′(푡)] 푑푡

= 퐾 (푥, 푡)푑푡 |푓′′(푡)| 푑푡

= 퐾 (푥, 푡)푑푡 ‖푓′′‖ .(17)

Selanjutnya, untuk menyelesaikan (17) akan dihitung terlebih dahulu

4 퐾 (푥, 푡)푑푡

= [(푡 − 푎) − 휃(푡 − 푎)(푏 − 푎)] 푑푡 +

[(푡 − 푏) + 휃(푡 − 푏)(푏 − 푎)] 푑푡


8

= (1− 휃)(푏 − 푎) 푥 −푎 + 푏

2

+ 휃 −3휃2 +

12

(푏 − 푎) 푥 −푎 + 푏

2

+휃12−

휃16 +

180

(푏 − 푎) .

Dengan mensubstitusi mensubstitusi hasil di atas ke (17), maka diperoleh

|퐾(푥, 푡)| 푑푡 ‖푓′′‖

=12 [(1− 휃)(푏 − 푎) 푥 −

푎 + 푏2 +

휃 −3휃2 +

12

(푏 − 푎) 푥 −푎 + 푏

2 + 휃12−

휃16 +

180

(푏 − 푎) ] ‖푓"‖ .∎

4. KESIMPULAN

Pertidaksamaan Ostrowski adalah hasil

pengembangan dari pertidaksamaan tipe Ostrowski. Setelah mempelajari beberapa pertidaksamaan tipe Ostrowski pada bagian pembahasan, diperoleh tiga pertidaksamaan. Ketiga pertidaksamaan tersebut berkaitan karena karakteristik fungsinya juga berhubungan. Yang membedakan ketiga pertidaksamaan tersebut adalah norm yang diperoleh dari karakteristik fungsinya. Suatu fungsi dapat memenuhi beberapa pertidaksamaan asalkan karakteristik fungsinya terpenuhi.

UCAPAN TERIMAKASIH

Terimakasih kepada bapak Arie Wibowo, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran hingga akhirnya penelitian ini selesai. Selain itu, terimakasih juga kepada Rizky Reza Fauzi yang sudah memberikan banyak masukan dan menjadi teman diskusi.

DAFTAR ACUAN [1] Bartle, R.G., & Sherbert, D.R. (2000).

Introduction to Real Analysis (3rd ed). New York: John Wiley & Sons, Inc.

[2] Mitrinovic, D. S., Pecaric, J.E., & Fink, A. M. (1994). Inequalities for Functions and their Integrals and Derivatives. Dordrecht: Kluwer Academics.

[3] Kreyszig, E. (1989). Intoductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley & Sons, Inc.

[4] Randolph, J. E. (1968). Basic Real and Abstract Analysis. New York and London: Academic Press.

[5] Folland, G. B. (1999). Real Analysis Modern Techniques and Their Applications (2nd ed). New York: John Wiley & Sons, Inc.

[6] Apostol, T. M. (2004). Mathematical Analysis (2nd ed.). Hong Kong: Pearson Education Asia Limited and China Machine Press.

[7] Rudin, W. (1976). Principal of Mathematical Analysis (3rd ed). New York: McGraw-Hil, Inc.

[8] Lang, S. (1991). Real and Functional Analysis. (3rd ed). New York: Springer.

[9] Dragomir, S.S., & Wang, S. (1998). Applications of Ostrowski's Inequality to the Estimation of Error Bounds for Some Special Means and for Some Numerical Quadrature Rules. Appl. Math. Lett, Vol. 11, 1, 105-109.

[10] Liu, Z. (2008). Some Ostrowski Type Inequalities. Mathematical and Computer Modelling, 48, 949-960.


9


10


beberapa pertidaksamaan tipe ostrowski

Documents