benr-lz35

ELETTROTECNICAElementi di campi e di circuiti

Prof. Alberto GeriDipartimento di Ingegneria Astronautica, Elettrica ed EnergeticaArea Ingegneria Elettrica - Via delle Sette Sale n° 12/b, RomaT 06 44585.534/540 F 06 4883235 [email protected]

Corso di Laurea in Ingegneria Energetica (9 CFU)

Lezione 35 – Impianti elettrici monofase

ELETTROTECNICA – Elementi di campi e di circuitiLezione 35: Impianti elettrici monofaseProf. Alberto Geri <[email protected]>

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Indice dei contenutiImpianti elettrici monofase

● Reti monofase– Introduzione

– I punti di consegna

– Le linee di alimentazione

– I carichi

● Applicazione numerica– Lo schema unifilare

– Il modello circuitale

– I calcoli di verifica• caduta di tensione• rifasamento ed i suoi effetti

– Alcune osservazioni


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Reti monofaseIntroduzione

Le reti monofase sono il modello circuitale dei sistemi elettricimonofase, mediante i quali viene distribuita l'energia elettrica agliutilizzatori di piccola potenza. Questi sistemi, sono caratterizzatida un unico punto di fornitura dell'energia che alimenta,attraverso un sistema radiale di linee elettriche in cavo, piùcarichi passivi od anche attivi (e.g. pannelli fotovoltaici, PV).

Un tipico esempio di questi sistemi è rappresentato dalla fornituradell'energia elettrica in BT (i.e., a 230 V @ 50 Hz) alle utenzedomestiche (magari dotate anche di un impianto PV).

Per quanto riguarda l'alimentazione di queste reti, per il momentoè sufficiente osservare che esse hanno formalmente origine nelpunto di consegna dell'energia, che è situato immediatamente avalle del contatore di energia della società elettrofornitrice.


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Reti monofaseI punti di consegna

Per i nostri fini, il punto di consegna dell'energia può essererappresentato mediante un semplice generatore ideale ditensione, avente f.e.m. pari alla tensione nominale dell'impianto(tipicamente 230 V in BT), non essendo normalmente disponibiliulteriori informazioni che ne consentano una più corretta edaccurata rappresentazione mediante un equivalente Thévenin.Ciò equivale ad ipotizzare che la rete a monte del punto diconsegna sia una rete rigida, i.e. una rete di potenza infinita,ovvero tale da mantenere invariato il valore della tensione daessa imposto ai suoi morsetti indipendentemente dalla correnteche è chiamata ad erogare sul carico. Questa ipotesi si puòritenere in prima approssimazione accettabile stante il fatto che larete a monte ha normalmente una potenza nettamente superiorea quella della utenza alimentata.


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Reti monofaseLe linee di alimentazione

L'alimentazione dei carichi in BT avviene attraverso delle lineebifilari in cavo (uno dei due conduttori rappresenta l'andata, ed èdetto fase - è identificato da una guaina isolante di colorenero/marrone/grigio -, mentre l'altro rappresenta il ritorno, ed èdetto neutro, - è identificato da una guaina isolante di coloreazzurro -).

Dovrebbe far parte della linea di alimentazione anche un terzoconduttore, il conduttore di protezione (PE), la cui guaina è dicolore giallo-verde, e la cui funzione è unicamente quella dicollegare, ai fini della protezione contro i contatti indiretti, tutte lemasse metalliche all'impianto di terra (in altri termini, il PEdistribuisce all'interno dell'impianto elettrico il potenziale diriferimento, i.e. il potenziale di terra).


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Reti monofaseLe linee di alimentazione

L'alimentazione dei carichi in BT avviene attraverso delle lineebifilari in cavo (uno dei due conduttori rappresenta l'andata, ed èdetto fase - è identificato da una guaina isolante di colorenero/marrone/grigio -, mentre l'altro rappresenta il ritorno, ed èdetto neutro, - è identificato da una guaina isolante di coloreazzurro -).

Dovrebbe far parte della linea di alimentazione anche un terzoconduttore, il conduttore di protezione (PE), la cui guaina è dicolore giallo-verde, e la cui funzione è unicamente quella dicollegare, ai fini della protezione contro i contatti indiretti, tutte lemasse metalliche all'impianto di terra (in altri termini, il PEdistribuisce all'interno dell'impianto elettrico il potenziale diriferimento, i.e. il potenziale di terra).

ε0=8.854⋅10−12

μ0=4π10−7

Le denominazione dei conduttori di una linea monofase incavo saranno meglio comprese nel prosieguo di questatrattazione, i.e. quando si affronterà lo studio dei sistemitrifase, e conseguentemente dei loro modelli circuitalirappresentati dalle reti trifasi.

Sigla Guaina Fase PE

Riempitivo Neutro Conduttore


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Reti monofaseI carichi

I carichi nelle reti monofase sono normalmente costituiti daapparecchiature e/o dispositivi (e.g. gli elettrodomestici nellenostre abitazioni) di tipo resistivo prevalentemente induttivo (i.e.con fattore di potenza in ritardo). La rappresentazione dei carichipassivi nei modelli circuitali di simulazione, per le analisi e/o icalcoli di dimensionamento/verifica, può essere effettuatamediante impedenze di tipo resistivo-induttivo determinatesecondo modalità già illustrate (cfr sintesi serie/parallelo diimpedenze), che consentono di rappresentare il carico attraversoun collegamento R-X serie, i cui valori sono relativi alle condizioninominali di funzionamento. I carichi possono anche esserevantaggiosamente rappresentati mediante un generatore idealedi corrente che assorbe la corrente nominale, ipotizzando che ilcarico sia alimentato alla tensione nominale.


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Reti monofaseI carichi

I carichi nelle reti monofase sono normalmente costituiti daapparecchiature e/o dispositivi (e.g. gli elettrodomestici nellenostre abitazioni) di tipo resistivo prevalentemente induttivo (i.e.con fattore di potenza in ritardo). La rappresentazione dei carichipassivi nei modelli circuitali di simulazione, per le analisi e/o icalcoli di dimensionamento/verifica, può essere effettuatamediante impedenze di tipo resistivo-induttivo determinatesecondo modalità già illustrate (cfr sintesi serie/parallelo diimpedenze), che consentono di rappresentare il carico attraversoun collegamento R-X serie, i cui valori sono relativi alle condizioninominali di funzionamento. I carichi possono anche esserevantaggiosamente rappresentati mediante un generatore idealedi corrente che assorbe la corrente nominale, ipotizzando che ilcarico sia alimentato alla tensione nominale.

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Con il diffondersi dei sistemi di generazione da fontirinnovabili, alle reti di BT risultano attualmente collegateanche utenze attive (e.g., impianti FV), che immettonopotenza in rete con un f.d.p. tendenzialmente unitario. Larappresentazione di queste utenze può essere effettuata, infunzione al tipo di simulazione, o mediante impedenze conparte reale negativa, o con un generatore ideale di corrente:nel primo caso, la parte reale deve essere determinata inmodo tale che assorba, alla tensione nominale, una potenzapari, in valore assoluto, alla potenza immessa dall'impiantoFV; mentre, nel secondo caso, il generatore deve immettereuna corrente tale che, alla tensione nominale, generi unapotenza pari a quella immessa dall'impianto FV.


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Applicazione numericaLo schema unifilare … dell'impianto monofase

Nel punto di fornitura dell'energia in BT di una utenza monofase è notala potenza di c.to c.to ed il f.d.p. di c.to c.to.. La sottostante rete monofa-se alimenta, attraverso due linee, alcuni carichi come rappresentatonello schema unifilare (i.e., schema in cui vengono riportati tutti i compo-nenti dell'impianto ed i loro collegamenti, quest'ultimi sono rappresentatimediante una sola linea su cui sono indicati, attraverso opportunisimboli, il numero ed il tipo dei conduttori che la compongono). Diseguito sono riportarti i dati dell'impianto.

Fase Neutro PE

C1

M1

S0

S1 S2

M3

C2

M2L1

L2


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Applicazione numericaLo schema unifilare … i dati di targa dell'impianto

Linea L2 L2=20 m(S=16 mm2) r ' l2

=1.43 mΩ /m

x ' l2=0.0817 mΩ /m

Carico C2 U n=230 V PC1=4.5 kW (cosφC1=0.9) Carico M2 U n=230 V Pm2=0.63 kW cosφm2=0.75 ηm2=0.63 num.motori=6 Carico M3 U n=230 V Pm3=1.3 kW cosφm3=0.76 ηm3=0.75 num.motori=2

Rete U n=230 V f =50 Hz S cc=3440 kVA cosφcc=0.33 cosφr=0.92

Linea L1 L1=30 m (S=35 mm2) r ' l1

=0.654 mΩ /m

x ' l1=0.0783 mΩ /m

Carico C1 U n=230 V PC1=3.5 kW (cosφC1=0.9) Carico M1 U n=230 V Pm1=1.8 kW cosφm1=0.78 ηm1=0.76 num.motori=2


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Applicazione numericaIl modello circuitale … della rete di alimentazione

E r=230⋅k=230 V (k = 1) I cc=S cc

E r

=14.956 kA

Z r=E r

I cc=

E r2

S cc

=15.378 mΩ φcc=arccos(0.33)=1.234 rad

Rr=Z r cosφcc=5.075 mΩ X r=Z r sinφcc=14.516 mΩE r=E r+ j 0=230 V Z r=Rr+ j X r=5.075+ j14.516 mΩ

Equivalente di rete:

La potenza di c.to c.to, nel punto di consegna,è definita come il prodotto fra la tensionenominale e la corrente di c.to c.to.. Il fattore dipotenza nelle reti MT tipicamente varia fra0.15 e 0.22, pertanto ; in BT il f.d.p. èinfluenzato dalla presenza del trasformatoreMT/BT, pertanto è tendenzialmente più alto.

E r

+

I r

U r

Z r

Z r≈X r≃


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Applicazione numericaIl modello circuitale … della linea

Linea 1 (S=35 mm2 , I z=115 A) :Rl1=2⋅r ' l1

⋅L1=39.240 mΩX l1=2⋅x ' l1⋅L1=4.698 mΩ

Equivalente delle linee (cavi multipolari in tubo interrato in PVC, 70°C):

Il circuito equivalente delle linee comprende solo i parametri longitudina-li, essendo quelli trasversali del tutto trascurabili nei cavi di BT. Inoltre,per comodità rappresentativa, la resistenza e la reattanza del conduttoredi ritorno (i.e., il neutro, che ha la medesima sezione del conduttore diandata), essendo in serie a quelle delconduttore di andata (i.e., la fase),sono state raggruppate (si noti ilcoefficiente 2 nelle formule). In meri-to ai valori, si osservi la predominan-za della resistenza sulla reattanza.

U a

I lX lRl

U p

Linea 2 (S=16 mm2 , I z=73 A) :Rl2=2⋅r ' l2

⋅L2=57.200 mΩX l2=2⋅x ' l2

⋅L2=3.268 mΩ


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Applicazione numericaIl modello circuitale … della linea


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Applicazione numericaIl modello circuitale … dei carichi (luce e forza motrice)

Equivalente dei carichi (utenze luce e f.m.):

Carico 1 : φC1=arccos(0.9)=0.451 QC1=PC1 tan (φC1)=1.695 kVAr

I C1=PC1⋅103

U ncosφC1

=16.901 A ZC1=U n

I C1=U n

2 cosφC1

PC1⋅103 =13.603Ω

RC1=ZC1cosφC1=PC1

I C12 =12.243Ω X C1=ZC1sinφC1=

QC1

I C12 =5.929Ω

Generatore di correnteU n=U n+ j 0=230 V SC1=PC1+ j QC1

J C1= IC1e− jφC1=I C1cosφC1− j I C1sinφC1=( SC1

U n)

*

=15.217− j 7.370 A

Impedenza

Z C1=RC1+ j X C1=U n

J C1

=12.243+ j 5.929Ω


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Applicazione numericaIl modello circuitale … dei carichi (luce e forza motrice)

I gruppi motori possono essere indifferentemente rappresentati (per ilteorema di sostituzione) con un generatore ideale di correnteconvenzionato da utilizzatore, che alla tensione nominale impone lacorrente nominale, oppure con una impedenza equivalente, che sealimentata alla tensio-ne nominale assorbela corrente nominale.Ovviamente, le duerappresentazioni sonoequivalenti solo nellecondizioni nominali difunzionamento.

Carico 2 : Generatore di corrente J C2=15.217− j 7.370 A Impedenza ZC2=12.243+ j5.929Ω

I C

U n ZCJ C ≃U n

I C

Generatore di corrente Impedenza equivalente


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Applicazione numericaIl modello circuitale … dei carichi (motori)

Equivalente dei motori (gruppi motori):

Motori 1 : PM1=2⋅Pm1 PM1=PM1ηm1

=4736.842 W

φM1=arccos(0.78)=0.676 QM1=PM1 tan (φM1)=3800.280 VAr

I M1=PM1⋅103

U n cosφM1

=26.404 A Z M1=U n

I M1

=U n

2 cosφM1

PM1⋅103 =8.711Ω

RM1=Z M1cosφM1=PM1

I M12=6.794Ω X M1=ZM1sinφM1=

QM1

I M12=5.451Ω

Generatore di correnteU n=U n+ j 0=230 V SM1=PM1+ jQM1

J M1=I M1e− j φM1= I M1 cosφM1− j I M1sinφM1=( SM1

U n)

*

=20.595− j 16.523 AImpedenza

Z M1=RM1+ j X M1=U n

J M1

=6.794+ j 5.451Ω


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Applicazione numericaIl modello circuitale … dei carichi (motori)

I gruppi motori possono essere indifferentemente rappresentati (per ilteorema di sostituzione) con un generatore ideale di correnteconvenzionato da utilizzatore, che alla tensione nominale impone lacorrente nominale, oppure con una impedenza equivalente, che sealimentata alla tensio-ne nominale assorbela corrente nominale.Ovviamente, le duerappresentazioni sonoequivalenti solo nellecondizioni nominali difunzionamento.

Motori 2 : Generatore di corrente J M2=26.087− j 23.006 A Impedenza Z M2=4.959+ j 4.374Ω

I M

U n ZMJ MU n

I M

Motori 3 : Generatore di corrente J M3=15.072− j 12.889 A Impedenza Z M3=8.814+ j 7.537Ω

Generatore di corrente Impedenza equivalente

≃


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … con i carichi rappresentatimediante impedenze costanti

Il circuito equivalente del sistema monofase è pertanto rappresentatodalla rete in figura (in cui i carichi sono stati modellati medianteimpedenze costanti, indipendentemente dalla tensione di alimentazione,che si è supposta pari a circa la tensione nominale, stante i vincoli sullec.d.t. massime ammesse negli impianti elettrici, i.e. < 4%), che puòessere risolta con le usuali tecniche di analisi. In particolare, essendounica la sorgente di alimentazione, la rete può essere risolta mediantesemplici trasformazioni dei bipoli passivi.

I C1

ZC1

I C2

ZC2

I M2

ZM2

I M3

ZM3

I M1

ZM1E r

I r

+

I l1I l 2

U r U S 1U S 2

Z l 1Z l 2

Z r

≃

S1 S 2S 0


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … correnti di linea e tensioni allesbarre

Z S1=ZC1∥Z M1=

=4.444+ j 2.965ΩZ S2=Z C2∥Z M2∥Z M3=

=2.431+ j1.816 ΩZ eS 1

=( Z l2+Z S 2)∥Z S 1

= =1.596+ j 1.129Ω

I r=Er

Z r+Z l1+Z eS 1

=94.106− j 65.874 A

U r=E r−Z r I r=228.566− j1.032 VU S1

=U r−Z l1I l1=224.564+ j 1.111 V

I S1=U S1

Z S 1

=35.081− j 23.155 A

I l2= I l1

− I S1=59.024− j 42.718 A

U S2=U S1

−Z l2I l2=221.048+ j 3.362 V

I S 1

Z S 1

I S 2

Z S 2E r

I r

+

I l1I l 2

U r U S 1U S 2

Z l 1Z l 2

Z r

≃

I eS1

Z eS1E r

I r

+

I l1

U r U S 1

Z l 1Z r

I r= I l1= I eS 1

≃

S 0 S1 S 2

S 0 S1


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … nel punto di consegna

Caratterizzazione del punto di consegna (sbarra S0)

E r=230+ j 0 V=230 e j 0=230 / 0° V

I r=94.106− j 65.874 A=114.870 e− j 0.611=114.870 /−35° A

U r=228.566− j1.032 V=228.568 e− j 0.0045=228.568 / 0.258° V

S r=U r I r*=Pr+ j Qr=21.577+ j 14.959 (kW, kVAr)

S r=√P r2+Qr

2=26.256 kVA cosφr=cos [arctan (Qr

Pr)]=0.82

E r

I r

+U r

Z r

≃

U r

E r

I r

φr

U n−U r

U n

100= 230−228.568230

100=0.62%


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … della linea L1

Caratterizzazione della linea L1

U r=228.566− j1.032 V=228.568 e− j 0.0045=228.568 /−0.258° V

U S1=224.564+ j1.111 V=224.567e j0.0049=224.567 / 0.281° V

I l1=94.106− j 65.874 A=114.870 e− j 0.611=114.870 /−35° A

S l1=Z l1

I l12=P l1

+ jQ l1=517.776+ j 61.991 (W, VAr)

ΔU l1=U r−U S1

=228.568−224.567=4.001 V (1.74 %)

I l1

U S 1

Z l 1

U r

ℜU r

E r

I l1= I r

φr

U S 1

ηl1=(1−P l1

Pr)100=97.6 %

N.B. La corrente è allimite termico del cavo.


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U r=228.566− j1.032 V=228.568 e− j 0.0045=228.568 /−0.258° V

U S1=224.564+ j1.111 V=224.567e j0.0049=224.567 / 0.281° V

I l1=94.106− j 65.874 A=114.870 e− j 0.611=114.870 /−35° A

S l1=Z l1

I l12=P l1

+ jQ l1=517.776+ j 61.991 (W, VAr)

ΔU l1=U r−U S1

=228.568−224.567=4.001 V (1.74 %)

I l1= I r


Caratterizzazione della linea L1I l1

U S 1

Z l 1

U r

ℜU r

E r

φr

U S 1

η=(1− P l1

P r)100=97.6%

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Si osservi che, per definizione, la caduta di tensione in unalinea è uno scalare pari alla differenza tra i valori efficacidella tensioni in partenza e di quella in arrivo. Ciò inquanto il comportamento del carico è influenzato unicamentedalla valore efficace della tensione di alimentazione e nondalla sua fase. Si osservi anche che questo valore, in gene-rale, non è esprimibile mediante il prodotto fra l'impedenza dilinea e la corrente di linea (ovvero il suo modulo).

ℜU a

I l

φ

U p

Rl I

l

j XlI l

δA B

Z l I l

O

C

ΔU l=U p−U a=AB∣Z l I l∣=ACΔU l<∣Z l I l∣limδ→0

[AC−AB ]→0


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … alla sbarra S1

Caratterizzazione della sbarra S1

U S1=224.564+ j1.111 V=224.567e j0.0049=224.567 / 0.281° V

I l1=94.106− j 65.874 A=114.870e− j 0.611=114.870 /−35° A

I S1=35.081− j 23.155=42.034 e− j 0.583=42.034 /−33.40° A

I l2=59.024− j 42.718=72.861 e− j0.626=72.861 /−35.87° A

U n−U S1

U n

100=230−224.567230

100=2.36 %

ℜU r

E r

φr

U S 1

I l 2

I S 1

Z S 1U S 1

S1I l1

I l 2− I S 1

S S 1=U S1

I S 1

* =7.852+ j 5.239 (kW, kVAr)I l1= I r

cosφeS 1=0.82

φeS 1=arg ( Z eS 1

)=0.616 rad


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U S1=224.564+ j1.111 V=224.567 e j0.0049=224.567 / 0.281° V

I l1=94.106− j 65.874 A=114.870 e− j 0.611=114.870 /−35° A

I S1=35.081− j 23.155=42.034 e− j 0.583=42.034 /−33.40° A

I l2=59.024− j 42.718=72.861 e− j0.626=72.861 /−35.87° A

U n−U r

U n

100= 230−224.567230

100=2.36%

ℜU r

E r

φr

U S 1

I l 2

I S 1

Z S 1U S 1

S1I l1

I l 2− I S 1

S S 1=U S1

I S 1

* =7.852+ j 5.239 (kW, kVAr)

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Si osservi che la somma delle potenze assorbite dai carichiderivati dalla Sbarra 1 (7.852 kW) è inferiori alla somma diquelle nominali (8.236 kW). Ciò è diretta conseguenza delfatto che i carichi sono stati rappresentati mediante delleimpedenze costanti (determinate con riferimento allecondizioni nominali di funzionamento degli stessi), chevengono alimentate ad una tensione (224.567 V) inferiorealla tensione nominale (230 V).

I l1= I r


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Caratterizzazione della linea L2

U S1=224.564+ j1.111 V=224.567 e j0.0049=224.567 / 0.281° V

U S2=221.048+ j 3.362 V=221.074e j 0.0152=221.074 / 0.871° V

I l2=59.024− j 42.718=72.861 e− j0.626=72.861 /−35.87° A

S l2=Z l2

I l2

2=P l2+ j Ql2

=303.659+ j 17.349 (W, VAr)

ΔU l2=U S1

−U S 2=224.567−221.074=3.493 V (1.52%)

I l 2

U S 2

Z l 2

U S 1

ℜU r

E r

φr U S 1

ηl2=(1− P l2

P r−P l1−P S1

)100=97.7%I l 2

U S 2

I l1= I r

N.B. La corrente è allimite termico del cavo.


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U S2=221.048+ j 3.362 V=221.074e j 0.0152=221.074 / 0.871° V

I S 2=59.024− j 42.718=72.861e− j 0.626=72.861 /−35.87°A

U n−U S 2

U n

100= 230−221.074230

100=3.88%

ΔU%=ΔUU n

100=ΔU l1

+ΔU l2

230100= 4.001+3.493

230100=3.26 %



ℜU r

E r

φr U S 1

I l 2= I S 2

U S 2

I S 2

Z S 2U S 2

S 2I l 2

I l1= I r

S S 2=U S 2

I S 2

* =12.904+ j 9.641 (kW, kVAr)

cosφS2=[arctan (QS 2

P S2)]=0.80


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U S2=221.048+ j 3.362 V=221.074e j 0.0152=221.074 / 0.871° V

I S 2=59.024− j 42.718=72.861e− j 0.626=72.861 /−35.87°A

U n−U S 2

U n

100= 230−221.074230

100=3.88%

ΔU%=ΔUU n

100=ΔU l1

+ΔU l2

230100= 4.001+3.493

230100=3.26 %



ℜU r

E r

φr U S 1

I l 2= I S 2

U S 2

I S 2

Z S 2U S 2

S 2I l 2

I l1= I r

S S 2=U S 2

I S 2

* =12.904+ j 9.641 (kW, kVAr)

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Anche in questo caso, la somma delle potenze assorbite daicarichi derivati dalla Sbarra 2 (12.904 kW) è inferiori allasomma di quelle nominali (13.967 kW). Ciò è direttaconseguenza del fatto che i carichi sono stati rappresentatimediante delle impedenze costanti (determinate conriferimento alle condizioni nominali di funzionamento deglistessi), che vengono alimentate ad una tensione (221.074 V)inferiore alla tensione nominale (230 V).


P S2)]=0.80


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U S2=221.048+ j 3.362 V=221.074e j 0.0152=221.074 / 0.871° V

I S 2=59.024− j 42.718=72.861e− j 0.626=72.861 /−35.87°A

U n−U S 2

U n

100= 230−221.074230

100=3.88%

ΔU%=ΔUU n

100=ΔU l1

+ΔU l2

230100= 4.001+3.493

230100=3.26 %



ℜU r

E r

φr U S 1

I l 2= I S 2

U S 2

I S 2

Z S 2U S 2

S 2I l 2

I l1= I r

S S 2=U S 2

I S 2

* =12.904+ j 9.641 (kW, kVAr)

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Anche in questo caso, la somma delle potenze assorbite daicarichi derivati dalla Sbarra 2 (12.904 kW) è inferiori allasomma di quelle nominali (13.967 kW). Ciò è direttaconseguenza del fatto che i carichi sono stati rappresentatimediante delle impedenze costanti (determinate conriferimento alle condizioni nominali di funzionamento deglistessi), che vengono alimentate ad una tensione (221.074 V)inferiore alla tensione nominale (230 V).


P S2)]=0.80

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Da un punto di vista globale, il rendimento dell'impianto èstimabile in

La massima c.d.t. percentuale che si può avere nell'impianto, può essere vantaggiosamente stimata mediante la

che prescinde dalla conoscenza della rete a monte del puntodi consegna, rappresentabile mediante una rete rigida cheimpone la tensione nominale.

ΔU%=ΔUU n

100=ΔU l1

+ΔU l2

230100= 4.001+3.493

230100=3.26 %

ηi=(1−P l1+P l2

P r)100=(1−517.776+303.659

21577 )100=96.19%


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … con i carichi rappresentatimediante generatori ideali di corrente

Se i carichi vengono rappresentati mediante generatori ideale di correnteche assorbono dalle rete le correnti nominali (questi bipoli, per il teoremadi sostituzione, sono equivalenti, nelle condizioni nominali di esercizio,alle impedenze costanti precedentemente introdotte), il circuitoequivalente del sistema monofase diventa quello rappresentato in figura.L'ipotesi semplificativa che porta all'introduzione di questo equivalente èche le tensioni di alimentazioni dei siano tutte uguali (e pari in valore alvalore nominale della tensione dell'impianto) e fra loro in fase.

I C1

J nC1

I C2 I M2 I M3I M1

E r

I r

+

I l1I l 2

U r U S 1U S 2

Z l 1Z l 2

Z r

≃

S1 S 2S 0

≃ J nM1≃ ≃ ≃ ≃J nM3

J nM2J nC2


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I C1

J nC1

I C2 I M2 I M3I M1

E r

I r

+

I l1I l 2

U r U S 1U S 2

Z l 1Z l 2

Z r

≃

S1 S 2S 0

≃ J nM1≃ ≃ ≃ ≃J nM3

J nM2J nC2


Se i carichi vengono rappresentati mediante generatori ideale di correnteche assorbono dalle rete le correnti nominali (questi bipoli, per il teoremadi sostituzione, sono equivalenti, nelle condizioni nominali di esercizio,alle impedenze costanti precedentemente introdotte), il circuitoequivalente del sistema monofase diventa quello rappresentato in figura.L'ipotesi semplificativa che porta all'introduzione di questo equivalente èche le tensioni di alimentazioni dei siano tutte uguali (e pari al valorenominale) ed in fra loro fase.

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Si osservi che l'ipotesi semplificativa introdotta è ampiamentegiustificata dal fatto che le c.d.t., nei diversi tratti di un qual-siasi impianto di BT, sono sempre molto minori del valore effi-cace della tensione di alimentazione (il vincolo progettualeimposto dalla norma, CEI 64-8, stabilisce infatti che la massi-ma c.d.t. ammessa in un impianto, valutata rispetto al puntodi consegna dell'energia, debba essere sempre < 4%). Ciò ri-sulta ampiamente confermato anche dai risultati ottenuti perl'impianto oggetto di verifica, che è stato studiato medianteun modello circuitale basato sulla rappresentazione deicarichi con impedenze costanti.


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In virtù delle proprietà dei bipoli generatori ideali di corrente, la reteelettrica equivalente si semplifica in quella riportata in figura. Gli unicidue generatori di corrente presenti rappresentano, rispettivamente, ilcarico equivalente derivato dalla sbarra S1 e quello derivato dalla sbarraS2. I valori delle correnti da essi imposte, assunta come tensione dialimentazione dei carichi quella nominale ( ), possono es-sere dedotte in vari modi, tra i quali quello di più semplice applicazioni(poiché coinvolge unicamente valori scalari) è di seguito riportato:

Sbarra S1

Sbarra S2

I S 1

J S1

I S 2

E r

I r

+

I l1I l 2

U r U S 1U S 2

Z l 1Z l 2

Z r

≃

S1S 0

≃ ≃J S 2

S 2

U n=230+ j0 V

PS 1=PC1+PM1

PS 2=PC2+PM2+PM3

QS 1=QC1+QM1

QS 2=QC2+QM2+QM3


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Determinate le potenze nominali complessivamente assorbite dai carichialimentati dalla sbarra S1 e dalla sbarra S2, si possono facilmente ot-tenere le correnti dei generatori ideali equivalenti (ed il f.d.p. dei carichi)

φS 1=arctan(QS 1

P S 1) I nS1

=PS 1

U ncosφS 1

J S1= I nS 1

e− jφS 1=I nS 1

cosφS 1− j I nS1

sinφS 1

φS 2=arctan (QS 2

PS 2) I nS2

=P S 2

U ncosφS 2

J S 2=I nS 2

e− jφS 2=I nS 2

cosφS 2− j I nS 2

sinφS 2

φS 1=0.588 rad I nS1

=43.051 A J S1=35.821− j 23.880 A (cosφS 1

=0.832)


=75.803 A J S 2=60.724− j 45.372 A (cosφS 2

=0.801)

J S 2 ,ℜ J S 2 ,ℑ

J S1 ,ℜ J S 1 ,ℑ


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Determinate le potenze nominali complessivamente assorbite dai carichialimentati dalla sbarra S1 e dalla sbarra S2, si possono facilmente ot-tenere le correnti dei generatori ideali equivalenti (ed il f.d.p. dei carichi)

φS 1=arctan(QS 1

P S 1) I nS1

=PS 1

U ncosφS 1

J S1= I nS 1

e− jφS 1=I nS 1

cosφS 1− j I nS1

sinφS 1

φS 2=arctan (QS 2

PS 2) I nS2

=P S 2

U ncosφS 2

J S 2=I nS 2

e− jφS 2=I nS 2

cosφS 2− j I nS 2

sinφS 2


=43.051 A J S1=35.821− j 23.880 A (cosφS 1

=0.832)


=75.803 A J S 2=60.724− j 45.372 A (cosφS 2

=0.801)

J S 2 ,ℜ J S 2 ,ℑ

J S1 ,ℜ J S 1 ,ℑ

In alternativa, ma in modo del tutto equivalente, sipuò, ad esempio, operare anche come segue

J S i=( S S i

U n)

*

=S S i

*

U n*=PS i− jQS i

U n

=PS i

U n

− jQS i

U n

=J S i ,ℜ− j J S i ,ℑ

J S i=√ J S i ,ℜ

2 +J S i ,ℜ2 φS i

=arctan (Q S i

PS i) J S i

=J S ie− jφS i


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … delle correnti di linea

Lo studio della rete può essere effettuato sfruttando la particolarerappresentazione impiegata per i carichi (i.e., generatori ideali di corren-te equivalenti); infatti, da una semplice ispezione visiva, si deduce che

ricordando la LKC, si ottiene altresì

e cioè

Pertanto, poiché oltre alla tensione, , imposta dalla rete, sono note

I S 1

J S1

I S 2

E r

I r

+

I l1I l 2

U r U S 1U S 2

Z l 1Z l2

Z r

≃

S1S 0

≃ ≃J S 2

S 2

I l 2= I S 2

= J S 2=60.724− j 45.372 A I S 1

= J S 1=35.821− j 23.880 A

I r= I l1= I S 1

+ I l 2I r= I l1

= J S 1+ J S 2

=96.545− j69.252 AE r

U r=E r−Z r I r

U S1=U r−Z l1

I l1U S2

=U S1−Z l2

I l2

ΔU l1=∣U r∣−∣U S 1

∣ΔU l2

=∣U S1∣−∣U S 2

∣


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … delle correnti di linea

Lo studio della rete può essere effettuato sfruttando la particolarerappresentazione impiegata per i carichi (i.e., generatori ideali di corren-te equivalenti); infatti, da una semplice ispezione visiva, si deduce che

ricordando la LKC, si ottiene altresì

e cioè

Pertanto, poiché oltre alla tensione, , imposta dalla rete, sono note

I S 1

J S1

I S 2

E r

I r

+

I l1I l 2

U r U S 1U S 2

Z l 1Z l2

Z r

≃

S1S 0

≃ ≃J S 2

S 2

I l 2= I S 2

= J S 2=60.724− j 45.372 A I S 1

= J S 1=35.821− j 23.880 A

I r= I l1= I S 1

+ I l 2I r= I l1

= J S 1+ J S 2

=96.545− j69.252 AE r

U r=E r−Z r I r

U S1=U r−Z l1

I l1U S2

=U S1−Z l2

I l2

ΔU l1=∣U r∣−∣U S 1

∣ΔU l2

=∣U S1∣−∣U S 2

∣

Si osservi che, in questo caso, i valori efficaci stimatidelle correnti delle linee L1 ed L2 sono rispettivamente

E quindi nessuna delle due linee soddisfa la verificatermica, essendo .

I l1=√96.5452+69.2522=118.814 A

I l 2=√60.7242+45.3722=75.802 A

I z70°< I l i


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … delle cadute di tensione nellelinee

anche le correnti nelle linee L1, , ed L2 , , (direttamente dedotte daidati di targa dei carichi), saranno di immediata determinazione le c.d.t., e nelle stesse. Di queste c.d.t. si può anche dare una stimamediante una formula approssimata, che non richiede la soluzione dellarete, ed i cui termini possono essere espressi in funzione delle costantidi linea e dei dati di targa dei carichi; con riferimento alla linea L1 si ha

I l diagramma èmeramente quali-tativo poiché com-pletamente fuoriscala per chiarez-za espositiva.

I l1

U r U S 1

Z l 1

S1S 0

ℜU S1

I l1

φeS 1

U r

Rl I

l1

j XlI l 1

δA B

Z l I l1

O

CD

ΔU l 1=∣U r∣−∣U S 1

∣=AB≃AC=AD+DC=Rl 1I l1

cosφeS 1+X l1

I l 1sinφeS1

= =2 L1 rl1

I l 1cosφeS1

+2 L1 x l1 I l1 sinφeS1 (=ΔU l1 , f

+ΔU l1 , q)

I l1I l 2

ΔU l1 ΔU l2


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … delle cadute di tensione nellelinee

Analogamente, si può stimare la c.d.t. nella linea L2

Numericamente si ha

I valori ottenuti invece con il primo equivalente circuitale erano

ΔU l1=Rl1

I l1cosφeS1

+X l1I l1

sinφeS 1=Rl1

U n I l1cosφeS1

U n

+X l1

U n I l1sinφeS1

U n

≃

≃Rl1

P S1+P S2

U n

+X l1

QS 1+QS 2

U n

ΔU l1 %=ΔU l1

U n

100≃Rl1

P S1+PS 2

U n2 100+X l1

Q S1+QS2

U n2 100 (=ΔU l1 , f %+ΔU l1 ,q%)

ΔU l2 %=ΔU l2

U n

100≃Rl2

P S2

U n2 100+X l2

QS 2

U n2 100 (=ΔU l2 , f %+ΔU l2 , q%)

ΔU l1=4.001 V (1.74 %) ΔU l2

=3.493 V (1.52%) ΔU %=7.494 V (3.26 %)

ΔU l1≃4.113 V (1.79 %) ΔU l2

≃3.622 V (1.57%) ΔU%≃7.735 V (3.36%)


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Applicazione numericaIl calcoli di verifica … rifasamento e suoi effetti

A titolo di esempio, effettuiamo ora il rifasamento dell'impianto con leseguenti modalità: nel punto di consegna (i.e., in corrispondenza della sbarraS0), in corrispondenza della sbarra S1 oppure, contemporaneamente, sia incorrispondenza della sbarra S1 che della sbarra S2 (rifasamento distribuito).

Rifasamento concentrato nel punto di consegna

Il valore richiesto di potenza reattiva (capacità) del banco di rifasamento sipuò ottenere con 4 condensatori in parallelo da 100 μF @ 230 V – 50 Hz.

P S0=P S1

+P S 2=22.203 kW QS 0

=QS 1+QS 2

=15.93 kVAr

φS0=arctan (QS 0

P S0)=0.622 (cosφS 0

=0.812) φ '=arccos(0.92)=0.403

QC S 0

=P S0( tanφ '−tanφS 0

)=−6.472 kVAr C S 0=PS 0 ( tanφS 0

−tanφ ' )ωU n

2=389μ F

C=100×4=400μF QC=−1.66×4=−6.64 kVAr


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A titolo di esempio, effettuiamo ora il rifasamento dell'impianto con leseguenti modalità: nel punto di consegna (i.e., in corrispondenza della sbarraS0), in corrispondenza della sbarra S1 oppure, contemporaneamente, sia incorrispondenza della sbarra S1 che della sbarra S2.

Rifasamento concentrato nel punto di consegna

Il valore richiesto di potenza reattiva (capacità) del banco di rifasamento sipuò ottenere con 4 condensatori in parallelo da 100 μF @ 230 V – 50 Hz.

P S0=P S1

+P S 2=22.203 kW QS 0

=QS 1+QS 2

=15.93 kVAr

φS0=arctan (QS 0

P S0)=0.622 (cosφS 0

=0.812) φ '=arccos(0.92)=0.403

QC S 0

=P S0( tanφ '−tanφS 0

)=−6.648 kVAr C S 0=PS 0 ( tan φS 0

−tanφ ' )ωU n

2=389μF

C=100×4=400μF QC=−1.66×4=−6.64 kVAr

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Si osservi che il rifasamento concentrato nel punto diconsegna ha effetti rilevanti sulla la rete a monte (si riduceinfatti sensibilmente la potenza apparente dell'utenza, conconseguenti riduzione di perdite e c.d.t.), mentre modesti so-no i benefici sull'impianto (tanto da potersi ritenere del tuttotrascurabili). Infatti, l'iniezione di potenza reattiva produceun'innalzamento della tensione nel punto di consegna che, aparità di potenza attiva assorbita, genera, di fatto, una mo-desta riduzione del valore efficace delle correnti che scorrononelle linee L1 ed L2, riducendo così, anche se in misura assailimitata, c.d.t. e perdite. Nel nostro modello, questo comporta-mento non è apprezzabile, e la risposta dell'impianto rimaneinvariata rispetto al caso senza rifasamento.


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Rifasamento concentrato in corrispondenza della sbarra S1

Ai fini del scelta dei condensatori del banco di rifasamento, nulla cambiarispetto al caso precedente (essendo effettuato unicamente con riferimentoai dati di targa dei carichi e dell'impianto), così come nulla cambia rispettoalla rete di alimentazione (non è infatti significativo il contributo della linea L1alla variazione del f.d.p. complessivo dell'impianto; in questo caso, peraltroprevalendo la componente resistiva della linea su quella reattiva, sarebbeanche favorevole). Ciò che cambia invece è la risposta della linea L1, chebeneficerà degli effetti del rifasamento: infatti, riducendosi il valore efficacedella corrente di linea, che passa da 118.635 A a 104.635 A, si riduconoconseguentemente sia le perdite

da a

che la c.d.t.

da a ΔU l1 %=Rl1

PS 1

U n2 100+X l 1

QS1+QC S 1

U n2 100=1.73%ΔU l1 %=1.79 %

P l 1=553.952 W P l1

=Rl1I l1

2=429.619 W


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Rifasamento concentrato in corrispondenza della sbarra S1

Ai fini del scelta dei condensatori del banco di rifasamento, nulla cambiarispetto al caso precedente (essendo effettuato unicamente con riferimentoai dati di targa dei carichi e dell'impianto), così come nulla cambia rispettoalla rete di alimentazione (non è infatti significativo il contributo della linea L1alla variazione del f.d.p. complessivo dell'impianto; in questo caso, peraltroprevalendo la componente resistiva della linea su quella reattiva, sarebbeanche favorevole). Ciò che cambia invece è la risposta della linea L1, chebeneficerà degli effetti del rifasamento: riducendosi il valore efficace dellacorrente di linea, che passa da 118.635 A a 104.635 A, si riduconoconseguentemente sia le perdite

da a

che la c.d.t.

da a ΔU l1 %=Rl1

PS 1

U n2 100+X l 1

QS1+QC S 1

U n2 100=1.73%ΔU l1 %=1.79 %

P l 1=553.952 W P l1

=Rl1I l1

2=429.619 W

ε0=8.854⋅10−12

μ0=4π10−7

Si osservi che il rifasamento concentrato in corrispondenzadella sbarra S1 ha effetti apprezzabili sulla linea L1 (siriducono infatti sia le perdite che la c.d.t.), mentre modestisono i benefici sulla linea L2 (tanto da potersi ritenere deltutto trascurabili). Infatti, l'iniezione di potenza reattivaproduce un'innalzamento della tensione sulla sbarra S1 che,a parità di potenza attiva derivata dalla sbarra S2, genera, difatto, una modesta riduzione del valore efficace della correnteche scorre nella linea L2, riducendo così, anche se in misuraassai limitata, c.d.t. e perdite. Nel nostro modello, questocomportamento non è apprezzabile, e la rispostadell'impianto a valle della sbarra S1 rimane invariata rispettoal caso senza rifasamento.


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Rifasamento distribuito sulle sbarre S1 ed S2

In questo caso, due sono i banchi di rifasamento da dimensionare; tuttavia,come per il caso precedente, nulla cambia rispetto alla rete di alimentazione(non è infatti significativo il contributo delle linee L1 ed L2 alla variazione delf.d.p. complessivo dell'impianto; in questo caso, peraltro, prevalendo lecomponenti resistive delle linee su quelle reattive, sarebbe ancor piùfavorevole). Ogni banco potrà essere dimensionato mediante un approcciometodologico identico a quello illustrato ed impiegato per il rifasamentoconcentrato, si ha pertanto, per il primo banco (i.e. quello da installare in S1)

P S1=8.237 kW QS 1

=5.495 kVAr

φS1=arctan (QS 1

P S1)=0.588 (cosφS 1

=0.832) φ '=arccos(0.92)=0.403

QC S 1

=P S1( tanφ '−tanφS1

)=−1.986 kVAr C S 1=PS 1 ( tanφS 1

−tanφ ' )ωU n

2=119.5μF


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mentre per il secondo banco (i.e. quello da installare in S2)

perdite e c.d.t. nelle due linee si riducono come segue

P S2=13.967 kW QS 2

=10.435 kVAr

φS2=arctan (QS2

PS 2)=0.642 (cosφS 2

=0.801) φ '=arccos(0.92)=0.403

QC S 2

=P S 2( tanφ '−tanφS 2

)=−4.486 kVAr C S2=P S 2 ( tanφS 2

−tanφ ' )ωU n

2=270μF

ΔU l 1 %=1.79 % → ΔU l1 %=Rl1

P S1

U n2 100+X l1

QS1+QC S 1

U n2 100=1.73%

P l1=553.952 W → P l1

=Rl1I l1

2=429.619 W (I l1 passa da 118.635 a 104.635)

P l2=328.676 W → P l2

=Rl 2I l2

2=243.038 W ( I l2 passa da 75.802 a 65.184)

ΔU l 2 %=1.57% → ΔU l 2 %=Rl 2

P S2

U n2 100+X l2

QS 2+QC S 2

U n2 100=1.54 %


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mentre per il secondo banco (i.e. quello da installare in S2)

perdite e c.d.t. nelle due linee si riducono come segue

P S2=13.967 kW QS 2

=10.435 kVAr

φS2=arctan (QS2

PS 2)=0.642 (cosφS 2

=0.801) φ '=arccos(0.92)=0.403

QC S 2

=P S 2( tanφ '−tanφS 2

)=−4.486 kVAr C S2=P S 2 ( tanφS 2

−tanφ ' )ωU n

2=270μF

ΔU l 1 %=1.79 % → ΔU l1 %=Rl1

P S1

U n2 100+X l1

QS1+QC S 1

U n2 100=1.73%

P l1=553.952 W → P l1

=Rl1I l1

2=429.619 W (I l1 passa da 118.635 a 104.635)

P l2=328.676 W → P l2

=Rl 2I l2

2=243.038 W ( I l2 passa da 75.802 a 65.184)

ΔU l 2 %=1.57% → ΔU l 2 %=Rl 2

P S2

U n2 100+X l2

QS 2+QC S 2

U n2 100=1.54 %

0=8.854⋅10−12

0=410−7

Il valore richiesto di potenza reattiva (capacità) dei banchi dirifasamento da installare in corrispondenza della sbarra S1 edella sbarra S2 si può ottenere, rispettivamente, con 1condensatore da 100 μF @ 230 V – 50 Hz, e 3 condensatori inparallelo da 100 μF @ 230 V – 50 Hz. Le potenze reattivefornite da due banchi saranno, rispettivamente, pari a

QCS1

= 1.66 kVAr QCS2

= 4.98 kVAr

che complessivamente forniscono la stessa potenza reattivadei banchi impiegati per il rifasamento concentrato (nel puntodi consegna prima, e in corrispondenza della sbarra S1 poi).

Si osservi inoltre come, in questo caso, le correnti di lineasono entrambe inferiore al limite termico delle condutture.


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Applicazione numericaAlcune osservazioni

L'esempio numerico discusso è stato concepito per sole finalitàdidattiche (i.e., per introdurre e calcolare la c.d.t., stimare le perdite ed ilrendimento, scegliere il/i banco/banchi di condensatori di rifasamentoper innalzare il f.d.p. ad un fissato valore, e.g., 0.92). In realtà, l'impianto,per come è stato definito, presenta innumerevoli “anomalie”, che lorendono di fatto poco “realistico”, e comunque non correttamenteprogettato. Le principali obiezioni che possono essere sollevate (e cheverranno discusse e superate nel prosieguo di questo corso) sono:

• il dimensionamento delle conduttore è stato effettuato con riferimentoalla potenza installata e non già a quella effettiva (i.e. quella che,prevedibilmente, nelle normali condizioni di esercizio, dovrà esserealimentata dall'impianto), e per di più non si è tenuto conto delcoordinamento con gli organi di manovra e protezione;

• Il limite della potenza contrattuale, per una consegna monofase, è di10 kW – 63 A, mentre il nostro impianto assorbe 22 kW – 118 A.

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