TECHNISCHE MECHANIK 2 (1981) Heftl

Manuskripteingang: 15. 5. 1981

Berechnung ebener Grenzschiditströmungen mit Hilfe

unstetiger Wirbelsd'iichten

Tibor Czibere

Innerhalb der Strömungsgrenzschichten kann die Strömung wirbelbehaftet betrachtet werden. Daher stellt die Grenz.

schicht gleichzeitig auch eine Wirbelschicht dar. Die Wirbeldichtefunktion hat an der Oberfläche des Körpers eine

Unstetigkeitsstelle bzw. einen Pol. Von diesem Grundgedanken ausgehend gibt die Arbeit ein Verfahren zur Berechnung

des Geschwindigkeitsfeldes von ebenen Grenzschichtströmungen an.

l. Einleitung

Es ist bekannt, da6 sich die Wirkung der realen Flüs-

sigkeiten bei großen Reynolds-Zahlen auf eine dünne

Grenzschicht beschränkt. Außerhalb dieser Schicht

kann die Strömung mit Hilfe des reibungslosen Flüs-

sigkeitsmodells beschrieben werden. Das bedeutet,

dafs die reale Strömung im Fall großer Reynolds-Zah—

len außerhalb der Grenzschicht als Potentialströmung

angesehen und das Strömungsbild durch Verfahren

der Potentialtheorie bestimmt werden kann. Diese

Verfahren sind dadurch charakterisiert, daß sie sich

auf partikuläre Lösungen der Laplace-Gleichung stützen,

die die gegebenen Randbedingungen erfüllen. Die

Laplace-Gleichung kann sowohl für die Geschwin-

digkeits-Potentialfunktion als auch für die Strom-

funktion der Wirbellosen Strömung aufgeschrieben

werden. Die in der Grenzschicht sich ausbildende Strö-

mung ist eine wirbelbehaftete Strömung, womit die

Verfahren, die ausgezeichnet für die Bestimmung der

Potentialströmung geeignet sind, für die Grenzschicht-

strömung nicht unmittelbar verwendet werden können.

Gleichzeitig stellt sich aber die Frage, ob vielleicht

irgendein Verfahren zum Ergebnis führt, das sich auf die

Bestimmung des Vektorpotentials der wirbelbehafteten

Strömung stützt. Dieser Weg ist möglich, wenn die

Wirbelverteilung der Grenzschicht bekannt ist.

Im folgenden wird ein neues Verfahren zur Berech-

nung des Geschwindigkeitsfeldes gezeigt, das sich in—

nerhalb und außerhalb der Grenzschicht um dünne

Profile ausbildet. Die theoretische Grundlage des Ver-

fahrens besteht darin, daß die Grenzschichtströmung

ersetzt wird durch ein Geschwindigkeitsfeld, das von

Wirbelschichten induziert wird, die sich in der Grenz-

schicht ausbilden. Mit Hilfe des Vektorpotentials die-

ser Wirbelschichten können die Geschwindigkeiten

bestimmt werden. Da das Vektorpotential des wirbel—

behafteten Geschwindigkeitsfeldes im Fall zweidi-

mensionaler Strömungen durch die Stromfunktion

ausgedrückt werden kann, läßt sich die Bestimmung

des durch die Wirbelschicht induzierten Geschwin-

digkeitsfeldes auf die Lösung der für die Grenzschicht—

strömung aufgeschriebenen Poisson ’schen Gleichung der

Stromfunktion zurückführen.

2. Die Grenzschicht als Wirbelschicht

Es wird eine ebene, wirbelbehaftete Strömung einer

inkompressiblen Flüssigkeit in der x, y-Ebene ange-

nommen. Die Strömung sei stationär. In diesem Fall

kann die Geschwindigkeits- und die Wirbelverteilung

als Funktion von x, y wie folgt aufgeschrieben werden:

II

—)

C

.—> .—>

u(x,y)1+v(x,y)1_)

55 —w(x,y)k

Hierbei wird angenommen, dal3 w (x, y) positiv ist,

wenn die Drehrichtung des Wirbelvektors dem Uhr-

zeigersinn entspricht. Die zwei Gleichungen, die die

behandelte zweidimensionale Strömung beschreiben,

sind die Kontinuitätsgleichung und die Gleichung, die

die Wirbelstärke der Strömung ausdrückt:

divc_> = 0, bzw. —+ —— I 0 (l)

ax Öy

rot? — 2‘3 bzw —-—————=~2w(xy) (.2)

x

Es ist bekannt, dal3 das Geschwindigkeitsfeld der wir-

belbehafteten Strömung aus einem Vektorpotential

durch Rotationsbildung ermittelt werden kann:

—>

E) = rotQ (3)

Wenn man diesen Zusammenhang in die Gleichung

(2) einsetzt und für ('2’ voraussetzt, dafs divS—l) = 0 ist,

dann ergibt sich bekannterweise für das Vektorpoten-

tial ä die folgende Gleichung:

A6 = _ 2Z3

Daraus, daß To) auf der Ebene x, y senkrecht steht, er-

gibt sich, daß nur die auf der Ebene x, y senkrechte

Komponente des Vektorpotentials 5 von 0 unter-

schiedlich ist. Auf Grund des Zusammenhanges (3)

ist leicht einzusehen, daß diese Komponente gleich

der Stromfunktion \I/ (x, y) ist. Für diese ebene, wir-

87

belbehaftete Strömung der inkompressiblen Flüssig-

keit, und zwar für deren Stromfunktion, wird letzt-

lich die Poisson’sche Gleichung gewonnen:

32‘]! + 62\II 2

3x2 ay, w(x.y> <4)

Wenn bei dieser Gleichung die Wirbelverteilung der

reibungsbehafteten Flüssigkeitsströmung in der Ebene

x, y durch die Funktion 2 w (x, y) beschrieben wird

und diese Funktion bekannt ist, dann ist die ebene

Geschwindigkeitsverteilung der reibungsbehafteten

Flüssigkeitsströmung durch die Lösung der Poisson’

schen Gleichung (4) bestimmbar.

Zunächst ist die Geschwindigkeits- und die Wirbel-

verteilung, die sich um eine in die parallele Strömung

gelegte dünne Platte ausbildet, zu überprüfen. Es ist

leicht einzusehen, daß die Wirbelverteilung einerseits

nur innerhalb der Grenzschicht von 0 unterschiedlich

ist und andererseits an der gewölbten Platte eine Un-

stetigkeitsstelle hat. .

In der Grenzschicht kann die Wirbelverteilung durch

eine unstetige und hinter der Platte in der Geschwin-

digkeitsdelle durch eine stetige Funktion beschrieben

werden. Im Bild 1 ist die Geschwindigkeits- und die

Wirbelverteilung auf den beiden Seiten einer gewölb-

ten Platte dargestellt.

2W

Bild l

Auf der konvexen Seite ist die Grenzschicht dünner

und sind die Geschwindigkeiten größer als auf der

konkaven Seite. Man kann aus der Abbildung auch

entnehmen, daß entsprechend der positiven Krüm-

mung der Platte das „positive“ Gebiet der Wirbelver-

teilung größer ist als das „negative”. Wird die Bewe-

gung der reibungslosen Flüssigkeit als Grenzfall der

reibungsbehafteten Flüssigkeit (V -> 0) aufgefaßt, dann

kann geschlußfolgert werden, daß durch das Verschwin-

den der Grenzschicht an der gekrümmten Platte — im

Gegensatz zur ebenen Platte —— das Geschwindigkeitsfeld

seine Stetigkeit verliert. Der Geschwindigkeitssprung, der

sich auf der so entstandenen Unstetigkeitsfläche ausbil-

det, repräsentiert eine Wirbelverteilung entlang einer

Linie in der Ebene x, y. Wie bekannt ist, bildet diese

Erkenntnis die Grundlage der bei Tragflügelprofilen

angewandten Berechnungsverfahren, die sich auf die

Theorie der hydrodynamischen Singularitäten stützen

[1], [2]. Daraus kann die Schlußfolgerung gezogen

werden, daß das sich um die dünne Platte, die in die

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Bild 2

reibungsbehaftete Flüssigkeitsströmung gelegt wird,

ausbildende Geschwindigkeitsfeld (Bild 2) eigentlich das

Geschwindigkeitsfcld einer endlichen Wirbelschicht ist.

Der Definitionsbereich der Wirbelschicht ist die Grenz-

schicht und die dünne Nachlaufschicht hinter der Platte.

Die ursprünglich wirbelfreie Parallelströmung wird

infolge der Reibung in dieser Schicht zu einer wirbel-

behafteten Strömung. Der Definitionsbereich der Wirbel-

schicht erstreckt sich in Strömungsrichtung bis zu der

Entfernung, in der die Strömung wieder ungestört ist.

Die Wirbeldichtefunktion der Wirbelschicht ist die

Funktion 2 co (x, y). Sie hat entlang der Platte eine

Unstetigkeitsstelle (siehe Bild I), ist aber im GebietT

stetig.

3. Das Geschwindigkeitsfeld der Wirbelschicht

Im folgenden wird das Geschwindigkeitsfeld der Strö-

mung, die im Bild2 skizziert ist, bestimmt. Im Ge-

bietT liegt eine wirbelbebaftete Strömung vor und

die Wirbeldichte wird durch die bekannte Funktion

2w (x, y) beschrieben. Außerhalb des GebietesT ist

die Strömung wirbelfrei, womit die Wirbeldichte gleich 0

sein muß. Die Stromfunktion dieser Strömung erfüllt

entsprechend den früheren Überlegungen die folgende

Gleichung:

32w agq, {2w(x,y); für x,ye(T),

a x2 öy2 (5)0; für x,y€(T).

Die Randbedingung kann in dem behandelten Fall

sehr leicht angegeben werden. Das Gebiet ABCD wird

so groß gewählt, daß an der gesamten Begrenzung die

Geschwindigkeit Um einer ungestörten Parallelströmung

vorhanden ist.

Die Stromfunktion ergibt sich an einem beliebigen

Punkt P (x, y) innerhalb des Gebietes ABCD durch

Anwendung des Green’schen Satzes

1 l ö‘II

‘I’(x,y) = — A‘l/ln(d)dA+ __ __1n(d) ds_

21r 2n an

(ABCD) (L)

1 ö (Ö)

— — \II (In d) ds .

21f an

(L)

Hierbei ist L die Begrenzung des Gebietes ABCD, n

die in das Gebietsinnere gerichtete Normale und

d = «(x — x52 + (‚v—y'>2 <7)

der Abstand zwischen dem Aufpunkt

P (x, y) und dem laufenden Punkt der Integration

Q (x’, y’). Aus dem Zusammenhang (6) wird durch

Differentiation die konjugiert komplexe Geschwin-

digkeit E gewonnen:

__ l ö\If _ ö‘l’ ö(i \II) O ö(i \II)

c = u — 1 v = —— + 1 = —1

ay I): 3); 3y

(3)

Mit der komplexen Veränderlichen z = x + iy gilt der

Ausdruck:

a l d) ' a 'l d)—— n —1 —— n =

öx( Öyl z—z'

Aus der Gleichung (6) mit einer der Gleichung (8)

entsprechenden Differentiation erhält man für die

konjugiert komplexe Geschwindigkeit, die in einem

beliebigen Punkt des Gebietes ABCD entsteht, fol-

gende Gleichung:

i A‘l/ i 5‘1! ds

"c- = ——— dA+—- —— —

27T z—z' 27T an z—z'

(ABCD)

(9)

i

_ ._ \I’ —— d, .

27! ön (z —— z') g

(L)

Weil 1 f (z — z') entlang L überall stetig ist, gilt:

a 1 . a 1

5; (g?) ’ ‘ 52(74)-

Damit läßt sich das dritte Integral der Gleichung (9)

umforrnen zu:

l ‘1, ö i. d l fql a I 1 ‘

_ _.__ k : _ __ 0” ' ..„„„„a,

21: _ ön(z—z') g 27T ask-19-3%

(L) (L)

6‘1’ dsI

E F; 2-2"

(L)

Für die konjugiert komplexe Geschwindigkeit wird

unter Beachtung der Gleichung (5) die Gleichung ge~

wonnen:

_ i 2w i 6‘11

C(z) = —— dA i" — (—— t (10)

271 z»~z’ 211 _‚ as

T) (L)

‘ 3‘11 ds

+l „w _—

ös zwz'

Da die Geschwindigkeit entlag L voraussetzungsgc-

mäß konstant ist, kann das Linienintegral ausgerech—

net werden.

Der Ausdruck

EN! _ ö‘lf

————+1—»—= c —i c :c eiX

ön as i n

ist bekannt, wobei ct die tangentiale und cn die nor-

male Komponente der Geschwindigkeit entlang einer

gegebenen Kurve, in diesem Fall entlang L, und die

Neigung dieser Kurve zur x-Achse gleich x ist. Damit

folgt

i axir aw ds i d ‚._ ( _+i _) : __ Uoo z Z

271 \ an as z—z’ 211 ‚

(L) (L) “Z

= Um.

Aus der Gleichung (10) ergibt sich für das Geschwin-

digkeitsfeld der in die ebene Parallelströmung geleg-

ten Wirbelschicht der Ausdruck

5(2) z L j—Z—wmy') dA+U°° (11)277 z —— z'

(T)

Dabei ist z = x + iy der Aufpunkt im Innern des Ge-

bietes ABCD, z' = x’ + iy' der laufende Integrations-

punkt im Gebiet T, 2 w (x, y) die Wirbeldichtefunk-

tion der Wirbelschicht, deren Definitionsbereich T ist,

und U00 die Geschwindigkeit der ungestörten Parallel-

strömung. Auf Grund der Gleichung (11) werden die

folgenden Integralausdrücke für die Geschwindigkeits-

komponenten gewonnen:

11(X‚y) : ~1- f2w(XiY') dA+‘ 21r (x—x' + y—y’)

(T)

<12)+ bm ,

' ) 1 f2 ( ) me’ Mv .. :m m w f ’ ——— ~———-—~——-i r.

(i y 2w \ xy (x—x'>2+<y~y'>2(T (13>

Unter Beachtung der unterschiedlichen Eigenschaften

des logarithmischen Potentials [3], [4} kann zusam-

menfassend festgestellt werden:

i. Die Stromfunktion der ebenen Strömung der rea-

len Flüssigkeit kann durch das logarithmische Poten—

tial der Wirbelschicht, die für das gleiche Gebiet wie

die Strömunggrenzschicht definiert ist, ausgedrückt

werden.

.Wenn die Wirbeldichtefunktion der Wirbelschicht

im Definitionsbereich abschnittsweise eine stetige

und eindeutige Funktion des Ortes ist, ist auch in

den Punkten der Ebene x, y, die außerhalb Defini-

l‘O

tionsbereiehes der Wirbelschicht liegen, das logarith-

mische Potential der Wirbelschicht einschließlich

seiner Ableitungen endlich, eindeutig und stetig, und

in den Punkten, die die Wirbelschicht von außen

beliebig annähem, auf der Grenzkurve oder im Innern

der Grenzkune biegen, das iogarithmische Potential

der Wirbelschicht einschließlich seiner ersten Ableiw

tung endlich, eindeutig und stetig.

3. Nach den Beziehungen (12) und (13) sind die Ge-

schwindigkeitskomponenten die ersten Ableitun-

gen des logarithmischen Potentials der Wirbelschicht.

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folglich sind sie endliche, eindeutige und stetige

Funktionen des Ortes in der ganzen Ebene.

4. Wenn die Wirbeldichtefunktion der Wirbelschichl

in der Richtung der Normalen n entlang:r einer Kur-

ve innerhalb ihres l‚)efinitionshcreii-hc> vinc Pol-

stelle erster Ordnung hat, ergeben sich gcgcnühcr

den Aussagen entsprechcnd Punkt! und I; \vriin-

demngen in der llinsicht. dal's die \hlcitung dc»

logarithmischen Potentials der Wirbclachicht in

der Richtung n entlang der Kurve gleich —°° wird.

Folglich wird die tangentiale Geschwindigkeit auch

gleich — 0°.

4. Die Wirbeldichtefunktion der Wirbelschicht

Die Wirbelschicht, die sich um eine dünne, in die ebene

Parallelströmung gelegte Platte ausbildet, ist im Bild 3

dargestellt. Die Skelettlinie der dünnen Platte sei yG (x),

die Grenzlinie der Wirbelschicht wird auf der Saugseite

yG + ös und auf der Druckseite yG — 5D bezeichnet. In

einem Schnitt der Skelettlinie wird die Verteilung der

Wirbeldichtefunktion der Wirbelschicht dargestellt.

Zuerst wird eine mögliche Variante der Dichtefunktion

2 w (x, y) gezeigt.

Das Oberflächenintegral der Wirbeldichtefunktion, be-

zogen auf das GebietT der Wirbelschicht, liefert die

Zirkulation F, die die Auftriebskraft auf die dünne Platte

bewirkt:

r: f 2w(x,y)dA (14)

(T)

Da das Integral der Wirbeldichtefunktion in der Ge-

schwindigkeitsdelle verschwindet, kann das Integral

(l4) in der Form

L yC +55

F = 200 (x, y) dy dx (14.1)

x=0 y=yG —öD

geschrieben werden.

Für das erste Integral wird die Bezeichnung eingeführt

yc+ös

7(x) = f

Yc‘ön

Diese Funktion entspricht der Wirbelbelegung 71d (x)

entlang einer Kurve, durch die die Wirbeldichtefunk-

tion der Wirbelfläche, die im reibungslosen Grenzfall

die dünne Platte G hydrodynamisch ersetzt, angege-

ben wird. Im Fall einer ebenen Platte, deren Anstell-

winkel zur ebenen Strömung mit der Geschwindig-

keit Uoo gleich Null ist, mufi natürlich das Integral

(15) verschwinden.

Aus der Theorie der hydrodynamischen Singularitä-

ten ist bekannt [2], daß die Geschwindigkeitskompo-

nenten, die entlang der schwach gewölbten Platte

entstehen, im reibungslosen Fall wie folgt bestimmt

werden können:

90

2o.) (x,y) dy. (15)

g l

lt<x> -- Loci 371m), (16)

L

I dx’

\m w „,7 mo) — ,- (17)_7T x—x

U

llcr /‚u«;unmcnlmng zwischen der kurve G und den

lchliwindiglxcihkinnponcnlcn wird aus der Bedin-

gung gcxmnncn. duh cnllang (l kcinc Querströmung

Inöglh ll Irl.

d» . \ (\)

‚'L' ‚ (l8)

d\ l00

Somit ergibt hlt'l], duff; ZWiN'ht‘ll dcr Form der Kur-

vc G und der Funktion 7m (x) ein eindeutiger Zusam-

menhang besteht. Für dic Berechnung der Geschwin-

digkeitskomponenten, die durch die Gleichungen (16)

und (IT) gegeben sind, mulä die Wirbcldichtefunktion

71d (x) gegeben sein. Wie üblich, ist zwischen zwei Fällen

zu unterscheiden, die in der Tragflügeltheorie als erste

bzw. zweite Hauptaufgabe bezeichnet werden. Die erste

Hauptaufgabe besteht darin, das Profil — in diesem Falle

yG (x) — aus der Geschwindigkeitsverteilung bzw. der

Funktion 7m (x) zu bestimmen.

Die zweite Hauptaufgabe ist die Bestimmung des Ge-

schwindigkeitsfeldes der reibungsfreien Strömung, die

sich bei unterschiedlichem Anstellwinkel um das ge-

gebene Profil yG ausbildet.

-Im letzten Fall ist 7m die gesuchte Funktion. In

Details der Rechnung wird auf die Fachliteratur hin-

gewiesen [2], [5]. In den weiteren Untersuchungen

wird die Funktion 7M (x) als gegeben angenommen.

Die Grenzlinie der Wirbelschicht, die sich um die ge-

wölbte Platte mit der SkelettlinieG ausbildet, stimmt

mit der Grenzlinie der sich hier ausbildenden Strö-

mungsgrenzschicht überein. Außerhalb der Grenz-

schicht ist die Strömung wirbelfrei. Die Grenzschicht-

dicke ö kann durch eine Beziehung, die aus dem Ver-

fahren von E. Truckenbrodt [6] bekannt ist, leicht

bestimmt werden. Sie ist sowohl für die turbulente

als auch für die laminare Grenzschicht geeignet. Im

Fall einer gewölbten Platte muß Rücksicht darauf ge-

nommen werden, daß sich der Druck in der Richtung

der Strömung verändert. Wenn sowohl die laminare

als auch die turbulente Grenzschicht entlang der Plat-

te als homogen angesehen wird, wobei vernachlässigt

wird, daß die turbulente Grenzschicht am Anfang la-

minar ist, bekommt man für die Grenzschichtdicke

die Gleichung (19), die sowohl für laminare als auch

für turbulente Grenzschicht gilt:

X/L

5 - .cwi‘s 13+:T _ a 2—(Um) [{(UW) d(L)

In diesem Ausdruck bedeutet a das Verhältnis von

Grenzschichtdicke 8 zu Impulsverlustdicke I9 und

cW ist der Widerstandsbeiwert der ebenen Platte. Die

Werte betragen im laminaren Fall:

cw = 1,328 fie—0’5; a2 7,6; n = 1; und im turbulen-

ten Fall: cw = 0,074 Re—O’z; a ä 10; n = 4.

Die mit dem Integral (15) definierte Funktion 7(x)

bzw. die entsprechende Funktion 7m (x) bei gewölb-

ter Platte verschwinden nicht, so daß (auf der Saug-

und Druckseite der Platte) der Wert von U(x) und

folglich die Dicke der Grenzschicht (und der Wirbel-

schicht) unterschiedlich ist. Deshalb ist die Grenz-

kurve der Wirbelschicht auf der Saugseite yG (x) +

5s (x) und auf der Druckseite yG (x) — ÖD (x). Die

Unstetigkeitsstelle der Wirbelschicht ist die Kurve

yG Die Wirbeldichtefunktion der Wirbelschicht

wird wie folgt gewählt:

U00 x y—y (10)f(_‚—_G_; < < +5 ,

6.0:)s L 8.0:) "3 y yG 32w x. ): 20

( y

Uoo X y—y (x)

f (—‚ —G——);y —5D<y<y oamx) L ön<x> G G

le wurde schon erwähnt, dafa die Wirbeldichtefunk-

tion 2 c.)(x, y) entlang yG (x) eine Unstetigkeitsstelle

hat (Bild 3) und ihr Integral über das GebietT der

Wirbelst‘hicht die der ZirkulationP entsprechende,

auf die Platte wirkende Auftriebskraft ergibt. Wenn

man also das Geschwindigkeitsfeld einer reibungsbe-

hafteten Flüssigkeitsströmung entlang einer Platte,

deren Skelettlinie durch die Kurve yG (x) gegeben

ist, bestimmen will, müssen zuerst die in der Glei-

chung (20) enthaltenen Funktionen fs und fD pas-

send gewählt werden. Diese Funktionen bestimmen in

entscheidendem Maße das Geschwindigkeitsprofil der

Grenzschichtströmung entlang der Platte, das als

Rechenergebnis gewonnen wird. Weiterhin müssen

diese Funktionen so gewählt werden, daß die mit ihrer

Hilfe gewonnenen Rechenergebnisse mit den Ergebnissen

der Versuche übereinstimmen. In Anbetracht dessen, dab

meistens turbulente Strömungen in den technischen

\nwendungen vorkommen, wird die Verwendbarkeit der

Theorie am Beispiel der turbulenten Grenzschicht

dargestellt.

Entsprechend den Berechnungsverfahren eignen sich

im Fall der turbulenten Grenzschicht besonders die

folgenden Funktionen:

—— ö1—ny]+C s

f‘:

l. ö, L _ a, y—yC ‘

‚v, _ ö

„(1:1. „.(i)[„u .C D ‚l. Öl) L 6D y_yG

\

wobei \( ) I 7m (x)/l‘00 und (Ä 1' 0.10 . . . 0.15 ist.

Werden diese l‘iiiiktimien in den \usdruel\ (20) einge-

setzt. so liität sieh der \nsdru('l\ für die Wirbeldichte-

funktion LI o)(\. y) geuinnen und ist entsprechend

der (‚ileieliungr (IS) in der Richtung y zu integrieren.

Für die Wirbelbelegung. die .~i(~h entlang der in die

ebene Parallelströmung gelegten. gewölbten Platte

aushildet und gleiehzeitig auf die Skelettlinie der Plat-

Bild 3

te lokalisiert ist. ergibt sich als Ergebnis der Integra-

tion:

U A X U c1 65 22: _ + _v<x> „(L) w nöD ( )

Das erste Glied auf der rechten Seite dieser Gleichung

ist eigentlich die Wirbelverteilung 7id (x) entlang einer

Linie, die die gewölbte Platte mit der Skelettlinie ya (x)

im reibungsfreien Fall hydrodynamisch ersetzt.

Das zweite Glied bedeutet eine Korrektur, deren Inte-

gral immer negativ ist, weil auf dem größten Teil der

Platte 85 <öD ist. Durch die Korrektur wird die Rei-

bung berücksichtigt. Sie gibt die Verteilung A75 an,

die durch die Reibung im turbulenten Fall gegenüber

der reibungsfreien Wirbelverteilung 7m (x) entsteht.

Da das Integral von A75 negativ ist, wird durch die

Korrektur die Auftriebskraft, die auf die Platte wirkt,

verringert.

Somit kann die in der Gleichung (22) definierte Funk-

tion '7 (x) mit der Wirbelbelegung entlang einer Linie, die

die gewölbte Platte mit der Skelettlinie yG (x) in der

turbulenten Strömung hydrodynamisch ersetzt, identi-

fiziert werden. Das Integral über x dieser Wirbelvertei-

lung liefert die Zirkulation, die der realen Auftriebs-

kraft entspricht.

Aus den vorangegangenen Überlegungen ist leicht

einzusehen, dafs im Fall einer ebenen Platte, deren

Anstellwinkel gleich Null ist, auch yG (x) = 0, 55 (x)

= 8D (x) und A (x/L) = O sind.

So ist auch 7 (x) = O. Das bedeutet, dafs bei einer längs-

angeströmten ebenen Platte keine Auftriebskraft

existiert, was mit der Erfahrung übereinstimmt.

5. Berechnung der Geschwindigkeitskomponen-

ten

Die Integralausdrücke (12) und (13), die für die Ge-

schwindigkeitskomponenten. die durch unstetige Wirbelv

seliichten induziert sind, gewonnen wurden, müssen auf

die Form” die den numerisehen Rechnungen entsprieht.

gebracht werden. Wie, gesagt. kann die Wirbeldichtefunk—

tion 2w(\._\) in zWei Änteile getrennt “erden. Der

erste .\nteil ist die l‘v’irbelverteilung 2 wid (x. y). dureh

die die \uftriebskraft, die in der entsprechenden rei-

bungsfrcien Strömung auftritt. entsteht. Den zweiten

Anteil bildet die unstetige Wirbelverteilung 2 co“ (\._v).

wodurch der (iesehwiruligkeitsabt'all in der reibungslie-

hafteten GrenZsehieht verursaeht wird.

Dementsprechend werden die Äusdriieke der Gesehuin-

digkeitskomponenten uid, vid und u“, x“. die durch die

zwei Anteile der Wirbeldiehtefunktnm induziert u urden.

‘H

aufgeschrieben. Im folgenden werden zur Berechnung

I + I

der einzelnen Geschwindigkeitskomponenten die For- ‘ yG as 1 x——x’

meln für die aus den Beziehungen (21) bestimmten JVH(x’y;x’) Z L f ‚__ ‚'mdyl'

Wirbeldichtefunktionen aufgeschrieben. yG—öby yG y y

Die Wirbelverteilung, die die Auftriebskraft induziert, (28)

lautet

In den Gleichungen (25) his (28) sind die folgenden

__ y—YG] „y <y<y +5 Ausdrücke vereinfachend dargestellt:

as L ös ’ G G S ’ ‚ ‚ , I

2wid(x,y)= (23) Yd") : Vs) 5130‘) = 5D

U x — '

g51x(i)[1+ yöDyG];yG—ön<y<yc am = 6;, A<{—> = W)

Die Integrale (27) bis (28) stellen den Cauchy’schen

Hauptwert dar. Nach Durchführung der Integration

entstehen die Gleichungen:

und die Wirbelverteilung, die den Geschwindigkeits-

abfall in der Grenzschicht verursacht,

C I _ I _ I2 _ I I g

Um ___; yG<y<yG+5s, Juid :A(K)|:(1+ y yG 11110: x) +(y yawn)+

HG 5b 6' 2 <x~x'>2 + (H >22w (x ) : (24) D G

- H ‚y i i ’ I

C ‘ X—X y—yG+8D y_y

U00 ——; YG—5D<y<yG+—ö‚— (arctan————‚———arctan

’ —fl—

-x—x xüx

Y Ye D

AM (1_ y—y'c)1‚„_<x‘x')2+<y—yg—ö;>2_

ög’ es; iDie numerische Berechnung der Geschwindigkeits- ~ l I ‘

2 (x-x)2+(y-YG)2komponenten kann auf Integrale über x' zurückge-

führt werden, wenn die Gleichungen (23) und (24) I

X—x y_y"_ö’ _ I

in die Integralausdrücke (12) und (13) eingesetzt werden - I (arctan ————(”s a arc tan y’G) 4— 1] ‚j

und die innere Integration über y’ durchgeführt wird. Für 5 X"‘ Äwx

die inneren Integrale über y’ werden die Ausdrücke (29)

eingeführt:

A x’ .v_ -' _ „1+5:

YE} .Ivid : 17—)[(1+ > y )(arctan Z yl’ .9 _.

A(x') y'._y'(‘ 5D 5'D X_xf

Juid<x,y;x'> = ö, f (1+ ö, a 2 ö 2

D I I_ I xfi I _ I + __ _‚ + I -

YG—ö D D —arctan y y?) — ‚x ln (x x) (y yG D) ]

“x 250 (Ei-KW + (y~—y’(;)2

y—y’ ‚ A(x’)

I2 I 2 y I I A I I M I ‚5'

(x—x) +(y—y) 5s _ (lx)[(1_ Y—IYG) (mm Y Y0 '_S_ _

Yb+5é , ‚ ‚ 55 5S "”‘ ‚

f (1 :39 ———————y‘ydy' ta y—Y'c' + X-x’ln (x—x')2+(y—y'(;—ös)21

_ I I — I'C n ' ' I

y'e ab (X—x)2+(y—ylz a X-X') 255 (x—X)2+(y—YG)2 ’

(25) _ I ö, 1 (30)

II“ = c „_____yYe [In—ink,Y,

(X—X')2+(Y—Y'G)2 5]) 2

I A(x') G yI—Y’G

Jvid(x=yäx.) Z ö, (1+ 5. ) (x—x')2+(y—y{;+5’p)2]+ X-X'D I D

P I ‘

yb‘öD (x—x'>2+<y—y'G ~5g>2 (x—xI2+<y-yG>2

X—x’I I I

'+ — ’ —ö y~y +5

(X“X’)2 + (y—y')2 dy Ö; [arctan Z;:_CLXT—S- —- arctan ——-x—‘£x’—£],

yg; +5's x_x, ,

y-Y’G x—x' I : Cr _[1„_S_+_|n

1— _____ J H ‚ ‚ ‚

f ( ab (x-Xr)2+(y_yI)2dy V (x—x)2+(y—y(;)2 5D 2

y

G (26) <x—x'>2+ (y—y'G +592] 1 C y—y'G

(x—x')2+(y-Y'G—5é)2 (x-x’)2+(y—Y'G)2

y'G+5’s ‚ ‚ l r

1 y"y y—y’ —5s y-yG+öD]. _‚ = . d ' I G _ t _— (32)

JuII(X‚Y‚x) C Iy'_y‚C (x_x‚)2 +(y_y,)2 Y [arctan x—x' arc an X—X'

yb’ön

(27)

92

Mit diesen vier Funktionen können die entsprechen-

den vier Geschwindigkeitskomponenten berechnet

werden:

unser) U“, j: Juid(x,y;x') d (33)

: _— x’

u„<x‚y> 2" 0 Jun<x‚y;x')

Vid(x‚y) U0° j? Jvid(X‚>’;x’) d (34)

= — — x' .

VH (3(7),) 21, 0 lvH(X‚Yäx')

Bei der numerischen Integration mufi darauf geachtet

werden, da6 die Integranden Ju und JV in der Umge-

bung von x’ = x sehr starke Unterschiede aufweisen

und an der Stelle x’ = x nicht differenzierbar sind.

Wenn sich das Wertepaar x, y innerhalb der Grenz-

schicht befindet, ist JV unstetig. Dieses Problem läßt

sich aber durch entsprechende Verteilung und Anzahl

der Integrationslaufpunkte gut überbrücken. Wenn die

Geschwindigkeitskomponenten, die sich mit Hilfe der

Integrale (33) und (34) bestimmen lassen, bekannt

sind, können die Geschwindigkeitskomponenten der

Strömung um die gewölbte Platte, die in die ebene

Parallelströmung gelegt ist, sowohl innerhalb als auch

außerhalb der Grenzschicht, also in der ganzen Ebene

x, y berechnet werden. Die Untersuchungen gelten

für die Fälle der schwach gewölbten Platte, weshalb

dafür zu sorgen ist, da5 die Gleichungen und

(34) mit den durch das Tropfenprofil induzierten Ge-

schwindigkeiten ergänzt werden [2]:

L

( > U” j < > H' d' 35)x‚y = —— q* x' ————————— x' <'"“ 2n Ü (x-—»x'>2+<.v—~y;;>2

[-

U00 v— '

VQ(XaY) z " E; f (1*(x') “_y—I‘L—‘d-X"

0(x—x')2+<y-ry;;)2

(3(7)

Dabei bedeutet q* die dimensionslose dem Tropfen-

profil entsprechende Quellen-Senken-Verteilung:

B

q* = —~"——+*nb +2 bn (35)“.ßw— n L

I

Bei der Berechnung der Grenzschichtströmung mufa

in diesem Fall darauf geachtet werden, dali die Ge-

schwindigkeit der Potentialströmung U (x) entlang

yG (x) um den Wert von ua (x, yG) größer ist als im

Fall der gewölbten Platte; die keine Dicke hat. Se

wird die in der Beziehung (19) stehende Geschwindig-

keitU nicht durch die Formel (16) berechnet, son-

dern durch die Beziehung

_ 1

U“) = er+ “q (xsyc) i E 71d (x) -

Die berechneten Geschwindigkeiten sind streng ge-

nommen nur entlang der Skelettlinie yG (x) gültig.

Weil hier schwach gewölbte dünne Profile behandelt

werden, können die Geschwindigkeitskomponenten,

die entlang der Skelettlinie berechnet wurden, auf

die Konturlinie des Profils transformiert und die Ge-

schwindigkeitskomponenten um, vid, uH, vH ohne

Änderung verlegt werden. Das gesamte Verfahren ist

schon aus der Tragflügeltbeorie bekannt. Zur Berech-

nung der Geschwindigkeitskomponenten ist hinzuzu—

fügen, dali die Wirbeldichten, die mit den Beziehun-

gen (23) und (24) gegeben sind, nur als passend aus-

gewählte Beispiele aufgefaßt werden sollten, die nur

dafür da sind, die Anwendbarkeit dieses Verfahrens

zu demonstrieren. Die Wirbeldichte kann nicht nur in

einer anderen Form, sondern auch z. B. punktweise

gegeben werden. Die analytischen Ausdrücke (23)

und (24) sind hauptsächlich im Interesse rechentech-

nischer Vereinfachungen gewählt worden. Die Ergeb-

nisse stimmen aber gut mit den Versuchen überein.

6. lElrinfschiitzung der Äuftriebs- und Widerstands-

a t

Bei der Beziehung (22) wurde schon darauf hinge-

wiesen, daß die Auftriebskraft, die auf die in die Strö-

mung gelegte gewölbte Platte wirkt, infolge realer

Flüssigkeitsströmung kleiner wird als bei der Berech-

nung des reibungsfreien Falles. Zur Abschätzung der

Auftriebskraft kann das Integral des zweiten Giiedes

der rechten Seite der Gleichung (22) verwendet wer<

den. Wenn die Zirkulationsabnahme, die durch die

Reibung verursacht wird, AFS ist, so gilt:

L

5D (X) _ATS 3 UOOC in ————«—‘dx>0. (38)

55(7‘)

0

Die entsprechende Auftriebsabnahme ist

öD (X)

öso‘)

L

AFA = p UmAFE=p Uicf ln dx. (39)

0

Die Auftriebskraft ergibt sich durch die Integration

der Gleichung (22) in der folgenden Form

L 1 ‚ '

U‘ilf m x

0 G a00

Der Unterschied zwischen Grenzschichtdicke und

lmpulsverlustdicke besteht nur in einem konstanten

Faktor, so daß in der Gleichung 40) statt 60,055 auch

199/195 genommen werden kann. Für die Widerstands-

kraft, die auf die gewölbte Platte oder auf das Trag-

flügelprofil wirkt, gilt [71:

00

szp mafia—i:wa Uä,20m

Um U' '

93

Hierbei soll u/Uoo hinter dem Profil in der Entfernung

liegen, bei der im Nachlauf schon Umgebungsdruck

vorhanden ist. Die hier auf der einen Seite sich erge-

bende Impulsverlustdicke wird durch 190° gekenn-

zeichnet. So ist die ganze Impulsverlustdicke im Nachlauf

hinter dem Profil gleich 219m.

Zur genauen Bestimmung gibt es kein zuverlässiges

Verfahren. Deshalb ist eine Abschätzung erforderlich.

Die einfachste Abschätzung ergibt sich, wenn der Wert

2 190° mit der Gesamtimpulsverlustdicke (für die Saug-

und Druckseite zusammen) im Ausgangspunkt

gleichgesetzt wird. Somit ergibt sich die Formel für

die Widerstandskraft:

Fw = p insk + 0Dk). (41)

Die darin enthaltenen Ösk- und ÜDk-Werte können

aus den Grenzschichtdicken, die sich aus der Glei-

chung (19) ergeben, bestimmt werden:

l

'9sk + 190k = 3053|. + 50k)- (42)

Unter Berücksichtigung von

P 2F = CW’A E

und auf Grund der Gleichungen (40) und (41) ergibt

sich der Auftriebswert cA und der Widerstandsbei-

wert cw in der Form

l 1

7. X 6D

cA=2[fI;—dd(E)—Cf ln6~d(%)] (43)

0 °° 0 s

bzw

t‘I‘sk t"Dk:2—+—

cw (L L ) ( )

94

Die Beziehungen (43) und (44) können zur Einschät-

zung der Auftriebs- und Widerstandskraft bei der ge-

wölbten Platte oder dem Tragflügelprofil benutzt

werden.

Das hier vorgestellte Berechnungsverfahren wurde am

Beispiel der Umströmung einer ebenen Platte und

eines Tragflügelprofils erprobt. Über die Ergebnisse

dieser Berechnungen wird in einem folgenden Artikel

berichtet.

LITERATUR:

[l] Bimbaum, W.: Die tragende Wirbelfläehe als

Hilfsmittel zur Behandlung des ebenen Problems

der Tragflügeltheorie ZAMM 3 (1923), 290.

[2] Scholz, N.: Aerodynamik der Schaufelgitter Bd. I,

G. Braun Karlsruhe 1965, 157 — 177.

[3] Frank, PH.-Mises, R.: Die Differential- und Inte-

gralgleichungen der Mechanik und Physik Bd. I,

Dover Publ. New York —— F. Vieweg Braunschweig

1961. 592 — 597.

[4] Korn, A.: Lehrbuch der Potentialtheorie Bd. II,

F. Dümmlers Verl. Berlin 1901, 41 — 68.

[5] Czibere, T.: A hidrodinamikai recselmelet ket

föfeladatanak potencialelmeleti megoldasa, Akade-

miai doktori ertekezes 1965.

[6] Truckenbrodt, E.: Ein Quadraturverfahren zur Be-

rechnung der laminaren und turbulenten Reibungs-

schicht bei ebener und rotationssymmetrischer

Strömung, Ing. Arch. 20 1952, 211.

[7] Schlichting, H.: Grenzschicht-Theorie, G. Braun

Karlsruhe 1965, 699 — 709.

[8] Tietjens, 0.: Strömungslehre, Springer Berlin —

Heidelberg — New York 1970, 223.

[9] Szablewski, W.: Turbulente

Akademieverlag, Berlin 1976, 70.

Scherströmung,

Anschrift des Verfassers:

Prof. Dr. sc. techn. Tibor Czibere

Technische Universität Miskolc, UVR