besetzungswahrscheinlichkeiten der energiezustände: energiezustände:w 1,w 2,w 3, relative...
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Besetzungswahrscheinlichkeiten der Energiezustände:
Energiezustände: W1 , W2 , W3 ,
relative Häufigkeiten der Wi : g1 , g2 , g3 ,
Boltzmann-Verteilung: TkW
iiiexpgw
Beispiel: Barometrische Höhenformel
hnw.constghgmhVWhi iii
Tkhgm
0 expnhn
Beweis: Finde Konfiguration mit größter statistischer Wahrscheinlichkeit Literatur
zy,x,dv
dN
zy,x,v0
Gauß-Verteilung
Gauß-Verteilung
vx , vy , vz unkorreliert
2zy,x,v
kT2
vmkT2
vm
kT2vm
kT2vm
dvdvdvNd
N1
2z
2y
2x
2
zyx
3
expexpexp
expvρ
|v|d
dN
|v|0
v2 Gaußfunktion
v2 Gaußfunktion
2v
kT2vm2
|v|ddN
N1 2
expv|v|ρ
Geschwindigkeitsverteilung f?r Heliumgas
v [m/s]
77 K
273 K
1000 K
373 K
v<v2>
Geschwindigkeitsverteilung f?r Heliumgas
v [m/s]
77 K
273 K
1000 K
373 K
Geschwindigkeitsverteilung f?r Heliumgas
v [m/s]
77 K
273 K
1000 K
373 K
v<v2>
c) Definition: Adiabatenindex f
2f
C
Cκγ
V
p
Messung von Messung von f ( Molekülstruktur des Gases)
einatomig
f = 3 ( Translation )
κ = 5/3
zweiatomig
f = 3 ( Translation )
+ 2 ( Rotation )
κ = 7/5
dreiatomig
f = 3 ( Translation )
+ 3 ( Rotation )
κ = 8/6
Schwingungsmoden erst bei sehr großen T ( Quantenmechanik )
Bemerkung: Spezifische Wärme von FestkörpernSchwingungen der Gitteratome: Phononen
Kristallgitter
VDAAmAωmT 2412
mD
4122
41
3 Schwingungsrichtungen f 3 (kinetisch) 3 (potentiell) 6
Regel von Dulong Petit: R3RC 2f
V versagt für T 0K Quantenmechanik
Mittlere Energie einer Schwingungsmode:
2212
21 xDVxmT
.constVTE
D
xm
6.2.3. Wärmekraftmaschinen
T2 T1
Reservoir 2(z.B. Verbrennungsgemisch)
T1
Reservoir 1(z.B. Auspuffgas)
Q2 Q1
W = VolumenarbeitWirkungsgrad:
2Q
Wη
Wärmekraftmaschine:
T1 T2
Reservoir 1
T2
Reservoir 2Q2Q1
W (mechanisch, elektrisch)Kältemaschine:
Kühlraum .............................. Wärmetauscher (Kühlschrank) Außenraum ............................... Heizsystem (Wärmepumpe)
η = Q2/W ≤ T2/(T2-T1)
W
Ideale Maschine ( max) Carnotscher Kreisprozess
p
V
isotherm: T2
isotherm: T1
adiabatisch
adiabatisch
dVpW eingeschlossene Fläche
Theorie-VL 1T
TTη
2
12
Beispiel: Heißluftmotor ( Stirling-Maschine ) Tafelrechnung
12 TT Heizung
1T1T
Kühlung
90° Phasendifferenz
Kolben A
Kolben B
p
V
ΔW
T1
T2
V1 V2
1
2
3
4
Q1
Q2
Q3
Q4
Zwischen-speicherung in
Kolben A
2 3 runter oben isochor
3 4 unten runter isotherm
4 1 hoch unten isochor
1 2 oben hoch isotherm
Schritt A B Typ
V
p
T TC
TC
T2
T1
PC
Koexistenz Dampf / Flüssigkeit
PC kritischer Punkt
TC kritische Temperatur
PC kritischer Punkt
TC kritische Temperatur
T
pS
T1 T2 TC
DampfdruckkurveDampfdruckkurve
TR
Λexp
Λ Verdampfungswärmepro Mol
Λ Verdampfungswärmepro Mol
Van-der-Waals-Gleichung:
V
p
Koexistenz Dampf / Flüssigkeit
ideales Gas
kritischer Punkt
Übersättigter DampfÜberhitzte
Flüssigkeit
0dVpΔW
identische Flächen
Anwendung: Joule-Thomson-Effekt (adiabatische Expansion)
Beispiel: Linde-Verfahren ( Luftverflüssigung )
Drosselventil
V1 V2
p1
p2dT
εtot.36
.86
.92
1.19
1.27
1.52