beton deel 2 oplossingenbundel
TRANSCRIPT
1-2. Dwarskracht + Wringing + Doorbuiging Dwarskracht (console) EC 2, § 2.5.3.7.2
1. Staafwerk-model (model van druk- en trekstangen)
toepasbaar indien: 0,4.hc ≤ ac ≤ hc
behoudens maatregelen: console ontwerpen i.f.v.
verticale kracht Fvd en horizontale kracht Fhd ≥ 0,2.Fvd
constructieve eisen EC 2, § 5 + § 5.4.4
2. Trekwapening
trekkracht: FSd = Fvd.cotgθ + Fhd Fhd ≥ 0,2.Fvd
wapening: yd
Sds f
FA =
lus aan einde console (men kan op beide benen
rekenen) + goed verankeren (of verankeren via plaat) !!
1-2.1
3. Betondrukdiagonaal
θ
=sinFF vd
cd
voorwaarde: cdc f.ν≤σ
ν = 0,5 à 0,85 (cf. tabel) EC 2, § 2.5.3.6.3 (4)
θ==σ sinb.a
FAF
1
cd
c
cdc (a1.b = oppervlak oplegplaatje)
indien niet voldaan: sectie vergroten
4. Beugels
horizontaal + verticaal of schuin EC 2, § 5.4(.4)
weerstand tegen splijtspanning v/d drukstang in beton
als hc ≥ 300 mm én yd
cdcs f
f.A.4,0A ≥ :
⇒ extra kaders of beugels met Ab ≥ 0,4.As
opm. Ac = consolesectie t.h.v. de kolom = hc.b Ab = totale beugelsectie
1-2.2
5. Ophangwapening
bij een console aan onderzijde v/e balk beugels voorzien zodat de volledige belasting erdoor gedragen kan worden (slechts op 1 been van beugel rekenen):
yd
1
2vd
yd
Avdf
ll1.F
fRFA
+
=+
=
Zuivere Wringing EC 2, § 4.3.3.1
1. Rekenwaarde wringmoment
TSd = 1,35.T (permanente belasting)
TSd = 1,5.T (mobiele belasting)
2. Uiterste grenstoestand
betondrukschoren: 1RdSd TT ≤
⇒ θ+θ
ν=tgcotgA.t.f..2T kcd
1Rd
t ≤ A/u ≤ werkelijke wanddikte - u = buitenomtrek - A = TOTALE dwarsdoorsnede binnen buiten-
omtrek (dus met inbegrip van evt. holtes)
1-2.3
Ak = opp. omsloten binnen hartlijn v/e dunw.
doorsnede én met inbegrip van evt. holtes
35,0200f7,0.7,0 ck ≥
−=ν (volle sectie)
5,0200f7,0 ck ≥−=ν (holle sectie)
θ = hoek tussen betonschoren en langsas van de balk, zodanig gekozen dat: 0,5 ≤ cotgθ ≤ 2
wapening: 2RdSd TT ≤
⇒ θ= .cotgsA.f
.A.2T swywdk2Rd (beugelwapening)
⇒ θ= .tgu
A.f.A.2T
k
slyldk2Rd (langswapening)
Asw = doorsnede beugel s = beugelafstand fywd = rekenwaarde v/d vloeigrens v/d beugels
extra langswapening: θ= cotg.2.A
u.Tf.Ak
k2Rdyldsl
- Asl = extra doorsnede aan langswapening vereist voor wringing
- fyld = rekenwaarde v/d vloeigrens v/d langs-wapening
- uk = buitenomtrek van opp. Ak
1-2.4
3. Gebruiksgrenstoestand
beperking v/d scheuropening EC 2, § 4.4.2 4. Constructieve schikkingen EC 2, § 5.4.2.3
beugels:
max. tussenafstand in langsrichting = uk/8 voorwaarden “dwarskrachtbeugels” ook hier geldig
langswapening: op elke hoek een staaf voorzien (spatkrachten) max. tussenafstand langsstaven = 350 mm
Gecombineerde snedekrachten EC 2, § 4.3.3.2
1. Wringing + buiging en/of langskrachten
langswapening afzonderlijk bepalen voor wringing en buiging, nadien worden volgende regels toegepast:
in de zone door buiging op trek belast:
nodige wringwapening optellen bij deze nodig voor buiging en langskrachten
in de zone door buiging op druk belast:
geen extra wringwapening nodig indien trekkracht door wringing < betondrukkracht door buiging
combinatie van wringing met een groot buigmoment:
kan tot kritische hoofdspanning in drukzone leiden ⇒ hoofddrukspanning σI mag 0,85.fcd niet overschrijden
1-2.5
22
yxyxI 22
τ+
σ−σ+
σ+σ=σ
← σx = gemiddelde drukspanning (buiging) (σy = 0)
← t.A.2
Tk
Sd=τ
2. Wringing + dwarskracht
voorwaarde:
→ 1VV
TT
2
2Rd
Sd2
1Rd
Sd ≤
+
(volle + open dunw. secties)
→ 1VV
TT
2Rd
Sd
1Rd
Sd ≤+ (gesloten dunw. secties)
TRd1 EC 2, § 4.3.3.1 (6)
VRd2 EC 2, § 4.3.2.4.4 (2) + (3)
beugels:
berekeningen afzonderlijk voor wringing en dwarskracht
θ van de equivalente betonschoren is dezelfde voor
wringing als voor dwarskracht
voor volle, ± rechthoekige secties: geen extra dwarskracht- en wringwapening nodig indien:
5,4b.VT wSd
Sd ≤
1RdwSd
SdSd V
b.VT.5,41.V ≤
+
1-2.6
Doorbuiging EC 2, § 4.4.3
1. Belasting
voor gebouwen alleen quasi-permanente lasten te beschouwen als lange duur belasting: G + Σψ2.Q
2. Gevallen waar geen berekening nodig EC 2, § 4.4.3.2
indien dimensionering v/d liggers voldoet aan de grenswaarden gegeven in T 4.14 EC 2, § 4.4.3.2 (5)
deze waarden dienen in bepaalde gevallen verminderd te worden EC 2, § 4.4.3.2 (3) + (4)
3. Controle doorbuiging d.m.v. berekening EC 2, A4
gedragsvoorspelling voor elementen, hoofdzakelijk op buiging belast:
III ).1(. αζ−+αζ=α
α = vervormingsparameter (vervorming, doorbuiging, kromming, rek, rotatie)
αI, αII = waarden van de parameter berekend in resp. niet-gescheurde en volledig gescheurde toestand
2cr
21 MM..1
ββ−=ζ (in geval van buiging)
- β1 = 1,0 (staven met verbeterde hechting) = 0,5 (gladde staven of draden)
1-2.7
- β2 = 1,0 (éénmalige belasting van korte duur)
= 0,5 (aanhoudend belasting of veelvuldige wisselbelasting)
- Mcr = moment waarbij sectie scheurt (te berekenen met fctm)
- M = optredend moment
kruip in rekening te brengen door invoeren v/e effectieve E-modulus (φ = kruipcoëfficiënt):
φ+=
1EE cm
eff,c
berekening doorbuiging: eenvoudige gevallen: tabellen (cf. opgave 5.2) differentiaalvgl. v/d elastische lijn
virtuele arbeid: ds I1).1(
I1..
Em.M
IIIcm∫
ζ−+ζ=δ
1-2.8
Opgave 1-2.1
materiaal:
beton: C20/25 staal: BE 500/500
belasting: eigengewicht moederbalk (γ = 25 kN/m³) belasting t.g.v. kinderbalk: 200 kN (mobiel)
constructie: δ = 0,1 voor de moederbalk breedte steunpunten moederbalk = 400 mm moederbalk ingeklemd in rest van constructie
omgeving: vochtig milieu (R.V. 50 %) met vorst
⇒ dimensionering moederbalk ⇒ bepalen consolewapening ⇒ doorbuiging moederbalk na lange tijd ⇒ wapeningsplan
1-2.9
Werkwijze:
1. Belasting op constructie
2. Moederbalk
a) dimensioneren op buiging (langswapening)
b) dimensioneren op dwarskracht (beugels)
c) dimensioneren op wringing (langswapening + beugels)
d) gecombineerde snedekrachten (M + T, V + T)
3. Console
4. Doorbuiging moederbalk ⇒ Opgave 5.2
5. Wapeningsplan
1-2.10
1. Belasting op constructie
eigenbelasting: p = 1,35.(0,45.0,7).25 = 10,6 kN/m puntlast: P = 1,5.200 = 300 kN
buigmoment (M):
steunpunt: kNm 3068
7.30012
10,6.7²8
PL12pL²
=+=+
midden: kNm 8428
7.30024
10,6.7²8
PL24pL²
=+=+
dwarskracht (V):
steunpunt: kN 8712
3002
10,6.72P
2pL
=+=+
wringmoment (T):
steunpunt: kNm ,25562
0,225)300.(0,152
P.a=
+=
1-2.11
2. Moederbalk
2.1. Dimensioneren op buiging
langswapening enkel o.i.v. buigmomenten, m.a.w. beschouwen als enkelvoudige buiging C, 7.1
STEUNPUNT:
0,149²636.450.3,13.85,0
10.306²d.b.f.85,0
M 6
cd
Sd ===µ
← h = 700 mm
← b = 450 mm
← δ = 0,1 ⇒ mm 6361,1
7001
hd ==δ+
=
← fcd = 13,3 N/mm²
← MSd = 306 kNm
⇒ µ < 0,38 ⇒ A’s = 0 C, 7.27
→ ξ ≈ 0,216 C, T 7.2
→ ( ) 163,0500 BE ,0 ≈ρ C, T 7.2
⇒ req,sA yd
cdf
f.85,0.d.b.ρ=
mm² 1212435
3,13.85,0.636.450.163,0==
⇒ As,prov = 3 φ 25 = 1473 mm² (bovenaan !)
1-2.12
3 staven niet nodig over volledige lengte ⇒ moment-
capaciteit van 2 φ 25 ?
As,prov = 982 mm²
→ 132,03,13.85,0
435636.450
982f.85,0
fd.b
Acd
yds ===ρ
→ µ ≈ 0,123 C, T 7.2
→ MRd = 0,85.fcd.b.d².µ = 253 kNm
vanaf plaats waar moment gezakt is tot deze waarde
(≡ x), kan 1 staaf verankerd worden en dit over een
afstand lb,net + al:
→ al = 0,45.d = 287 mm (verschuiven M-lijn)
→ mm 11251473982.1688.1
AA
.l.lprov,s
req,sbanet,b ==α=
← ( ) mm 16883,2.7,0
435.4
25ff
.4
lbd
ydb ==
φ=
(wapening bovenaan: slechte hechting)
⇒ lb,net + al = 1125 + 287 = 1412 mm
→ x = 285 mm
verankering steunpunt: zie verder (5)
1-2.13
MIDDEN:
0,138²636.450.3,13.85,0
10.284²d.b.f.85,0
M 6
cd
Sd ===µ
⇒ µ < 0,38 ⇒ A’s = 0 C, 7.27
→ ξ ≈ 0,203 C, T 7.2
→ ( ) 151,0500 BE ,0 ≈ρ C, T 7.2
⇒ req,sA yd
cdf
f.85,0.d.b.ρ=
mm² 1123435
3,13.85,0.636.450.151,0==
⇒ As,prov = 3 φ 22 = 1140 mm² (onderaan !) 3 staven niet nodig over volledige lengte ⇒ moment-
capaciteit van 2 φ 22 ?
As,prov = 760 mm²
→ 102,03,13.85,0
435760f.85,0
fd.b
Acd
yds ===ρ
→ µ ≈ 0,096 C, T 7.2
→ MRd = 0,85.fcd.b.d².µ = 197,5 kNm
vanaf plaats waar moment gezakt is tot deze waarde
(≡ y), kan 1 staaf verankerd worden en dit over een
afstand lb,net + al:
→ al = 0,45.d = 287 mm (verschuiven M-lijn)
1-2.14
→ mm 9361140760.1040.1
AA
.l.lprov,s
req,sbanet,b ==α=
← mm 10403,2
435.422
ff
.4
lbd
ydb ==
φ=
(wapening onderaan: goede hechting)
⇒ lb,net + al = 693 + 287 = 980 mm
→ y = 567 mm
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0
x
y
2 φ 25
1 φ 25 / 285 + 1412 mm 1 φ 25 / 285 + 1412 mm
2 φ 22
1 φ 22 / 2.(567 + 980) mm
1-2.15
2.2. Dimensioneren op dwarskracht
VSd = 187 – (0,2 + d).10,6 = 187 – 0,836.10,6 = 178 kN
1RdV d.b.f..100.k.12,0 3cklρ= EC 2, 4.3.2.3 (1)
kN 5,101636.450.20.0034,0.100.56,1.12,0 3 ==
← 256,1d
2001k ≤=+=
← 0034,0636.450
982d.b
Asll ===ρ
⇒ VSd > VRd1 ⇒ dwarskrachtwapening vereist
variabele schoorhoekmethode (α = 90°, θ = 45°):
z = 0,9.d = 0,9.636 = 572,4 mm EC 2, 4.3.2.4.4
kN 7,10273,13.6,0.4,572.450.21
)tgcotg(f..z.bV cd
2Rd ==θ+θ
ν=
← 5,06,0200f-0,7 ck ≥==ν
435.4,572.s
Acotg.f.z.s
AV swywd
sw3Rd =θ=
hoeveelheid dwarskrachtwapening: VRd3 ≥ VSd
⇒ mm²/m 715715,0435.4,572
178000s
Asw ==≥
bijkomende eisen dwarskrachtwapening: EC 2, 5.4.2.2
minimum 50 % beugels of spelden → OK (100 %)
0007,00016,0450715,0
sin.b.sAsw
w >==α
=ρ → OK
1-2.16
maximale tussenafstand in langsrichting:
2RdSd V.51V < ⇒ smax = 0,8.d = 509 mm ≤ 300 mm
→ smax = 300 mm maximale tussenafstand in dwarsrichting:
2RdSd V.51V < ⇒ smax = d = 636 mm ≤ 800 mm
→ steeds aan voldaan (b = 450 mm)
keuze φb en s → gecombineerde snedekrachten
2.3. Dimensioneren op wringing
TSd = 56,25 kNm
betondrukschoren: 1RdSd TT ≤ ??
kNm 135A.t.f.tgcotgA.t.f..2T kcd
kcd1Rd =ν=
θ+θν
=
← mm 137450.2700.2
700.450uAt =
+==
← Ak = (700 – 137).(450 – 137) = 176219 mm²
← 35,042,0200f7,0.7,0 ck ≥=
−=ν
← θ = 45°
⇒ TRd1 > TSd → OK (geen gevaar
voor verbrijzeling drukschoren)
1-2.17
wapening: 2RdSd TT ≤ ??
beugels:
s
A.f.A.2.cotgsA.f
.A.2TT swywdk
swywdkSd2Rd =θ==
⇒ mm²/m 367367,0435.176219.2
10.25,56s
A 6sw ==≥
extra langswapening:
k
slyldk
k
slyldkSd2Rd u
A.f.A.2.tg
uA.f
.A.2TT =θ==
⇒ mm² 643352.176219.4
1752.10.25,56A6
sl =≥
bijkomende eisen wringingswapening: EC 2, 5.4.2.3
maximale tussenafstand in langsrichting:
mm 300 mm 2198us k
max ≤==
langswapening: minstens 1 staaf in
elke hoek, de andere gelijkmatig
verdeeld over de binnenomtrek van
de beugels én ten hoogste 350 mm
van elkaar
⇒ 6 staven: 107 mm²/staaf
⇒ φ 12 = 113 mm²
1-2.18
2.4. Gecombineerde snedekrachten
a. Wringing + buiging
in de zone door buiging op trek belast: wapening sommeren in de zone door buiging op druk belast: geen extra wringwapening nodig
indien trekkracht door wringing (N1) < betondrukkracht door buiging (N2)
LANGSWAPENING (MIDDEN):
x = hoogte drukzone x = ξ.d = 0,203.636 = 129 mm
N1 = fyd.A’s = 435.(2.107) = 93 kN
kN 485636.921,0
10.284d.
Mc
MN6
SdSd2 ==
ε=≡
⇒ N1 < N2 → geen extra wringwapening in drukzone
LANGSWAPENING (STEUNPUNT):
x = hoogte drukzone x = ξ.d = 0,216.636 = 137 mm
1-2.19
N1 = fyd.A’s = 435.(2.107) = 93 kN
kN 526636.914,0
10.306d.
Mc
MN6
SdSd2 ==
ε=≡
⇒ N1 < N2 → geen extra wringwapening in drukzone
⇒ Niettemin wringwapening laten doorlopen over ganse lengte van de balk (gezien beperkte lengte):
→ bovenaan: 2 (φ 25 + φ 12) ⇒ 2 φ 28 → onderaan: 2 (φ 22 + φ 12) ⇒ 2 φ 25 CONTROLE HOOFDDRUKSPANNING
22
cdcdI 22
τ+
σ
+σ
=σ ≤ 0,85.fcd = 11,3 N/mm² ?
N/mm² 165,1137.176219.2
10.25,56t.A.2
T 6
k
Sd ===τ
steunpunt: N/mm² 53,8450.13710.526
'AN 3
2cd ===σ
⇒ σI = 8,7 N/mm² < 11,3 N/mm² → OK
midden: N/mm² 35,8450.12910.485
'AN 3
2cd ===σ
⇒ σI = 8,5 N/mm² < 11,3 N/mm² → OK
1-2.20
b. Wringing + dwarskracht
BEUGELS
voorwaarde (volle sectie): 1VV
TT
2
2Rd
Sd2
1Rd
Sd ≤
+
⇒ 12,07,1027
178135
25,56 22
≤=
+
→ OK
geen extra dwarskracht- en wringwapening nodig indien:
5,4b.VT wSd
Sd ≤ → 63
6 10.8,175,4
450.10.17810.25,56 =>
1RdwSd
SdSd V
b.VT.5,41.V ≤
+
⇒ wél extra dwarskracht- en wringwapening nodig
=+=s
As
As
A TVtot 715 + 2.367 = 1449 mm²/m
← wringwapening: slechts 1 been
← dwarskrachtwapening: 2 benen
smax = 300 mm (dwarskracht)
= 219 mm (wringing)
φ 10 → Atot = 1570 mm² s = 100 mm
φ 8 → Atot = 1515 mm² s = 66 mm
φ 6 → Atot = 1482 mm² s = 38 mm
⇒ neem mm100 alle 10φ 1-2.21
3. Console
staafwerk-model toepasbaar ? ⇒ 0,4.hc ≤ ac ≤ hc ?
⇒ 0,4.350 = 140 ≤ 150 ≤ 350 ⇒ OK
100a
aa
a350200cotg 2
1
2
2==
−=θ ⇒ a2 = 72 mm
⇒ cotgθ = 0,72
trekwapening:
FSd = Fvd.cotgθ + 0,2.Fvd = 300.(0,72+0,2) = 276 kN
mm² 635435
10.276fFA
3
yd
Sds ===
⇒ kunnen op 2 benen tellen ⇒ lus φ 22
verankering tussen oplegplaat en kopvlak console:
enkel mogelijk via een ankerplaat
verankering in de balk:
mm 870380318.
3,2435
422.1
AA
.ff
4.l
prov,s
req,s
bd
ydanet,b ==
φα=
1-2.22
betondrukdiagonaal:
kN 370sinFF vd
cd =θ
=
voorwaarde: kN 83,13.6,0f. cdc ==ν≤σ
N/mm² 7,6b.a
Fsinb.a
F1
vd
1
cdc ==θ=σ < 8 kN → OK
beugels:
hc = 350 mm > 300 mm
mm² 1926435
3,13).450.350.(4,0ff.A.4,0yd
cdc ==
→ As = 760 mm² (2 φ 22) < 1926 mm²
⇒ constructiebeugels volstaan
ophangwapening:
mm² 1090435
3482011.10.300
fll1.F
A
3
yd
1
2vd
=
+
=
+
=
(te verdelen over breedte console)
⇒ 1090 + 1449.0,45 = 1742 mm²
⇒ 7 φ 18 (= 1781 mm²)
1-2.23
4. Doorbuiging moederbalk
4.1. Grenstoestand, belasting + materiaaleigenschappen
doorbuiging ⇒ GGT
belasting: → eigengewicht: p = 7,9 kN/m
→ puntlast: P = 200 kN
→ Mmidden = 191 kNm
fctm = 2,6 N/mm²
Ecm = 30500 N/mm
⇒ N/mm² 907736,21
305001EE cm
eff,c =+
=φ+
= EC 2, T 3.3 (28 d)
⇒ 03,22EEm
eff,c
s ==
4.2. Ongescheurde doorsnede
)A"A'A).(1m(b.h
A.d"A.2h'A'.a).1m()b.h.(
2h
ysss
sss
o ++−+
++−+
=
⇒ yo = 352 mm
Io = 1,777.1010 mm4
o
3
o
4
o I.EL.P
1921
I.EL.p
3841
+=δ ⇒ 2,521 mm
1-2.24
4.3. Gescheurde toestand
−+−=−−+ x2h.m."A)xd.(m.A)'ax).(1m.('A
2²x.b sss
⇒ x = 209 mm = yg
Ig = 7,692.109 mm4
g
3
g
4
g I.EL.P
1921
I.EL.p
3841
+=δ ⇒ 5,825 mm
4.4. Scheurmoment
76,0191133.5,0.11
MM..1
22cr
21 =
−=
ββ−=ζ
⇐ ( ) kNm 133yhI.fMo
octmcr =
−=
4.5. Doorbuiging
ogtot ).1(. δζ−+δζ=δ
mm 5,030,24.2,5210,76.5,825 tot =+=δ
1-2.25
5. Verankering aan de steunpunten
5.1. Bovenwapening (2 φ 28 + 1 φ 25)
min,bprov,s
req,sbanet,b l
AA
.l.l ≥α=
αa = 1
As,req,tot = As,req,buiging + As,req,wringing
← As,req,wringing = 643/3 = 214 mm²
← As,req,buiging = 1212 mm²
⇒ As,req,tot = 1426 mm²
As,prov,tot = 1232 + 491 = 1723 mm²
φ 28 φ 25
bd
ydb f
f4
l φ= 1891 mm 1689 mm
lb,min
← ≥ 0,3.lb 567 mm 507 mm
← ≥ 10.φ 280 mm 250 mm
← ≥ 100 mm
⇒ lb,min 567 mm 507 mm
lb,net 1565 mm 1398 mm
verankering in kolom
1-2.26
5.2. Middenwapening (2 φ 12)
min,bprov,s
req,sbanet,b l
AA
.l.l ≥α=
αa = 0,7
As,req = As,req,wringing = 643/3 = 214 mm²
As,prov = 226 mm²
mm 5673,2
4354
12ff
4l
bd
ydb ==
φ=
lb,min
← ≥ 0,3.lb = 170 mm
← ≥ 10.φ = 120 mm
← ≥ 100 mm
⇒ lb,min = 170 mm 1-2.27
⇒ lb,net = 376 mm
horizontaal verankeren
5.3. Onderwapening (2 φ 25)
onderaan geen buigwapening nodig, wringwapening kan
verankerd worden vanaf plaats waar M = 0 (ter hoogte
van de steunen geen wringwapening nodig in drukzone,
zie 2.4.a)
⇒ staaf laten doorlopen tot 50 mm v/h kolomuiteinde
1-2.28
7. Wapeningsborderel
type φ (mm) aantal lengte (m) gewicht (kg) langswapening
28 2 6,60 31,90
28 4 3,40 16,43
25 2 3,15 12,14
12 2 7,50 6,66
25 2 6,90 26,59
22 1 3,10 9,25
beugels
10 66 2,15 1,33
18 7 2,27 4,53
console
10 4 2,01 1,24
10 2 2,13 1,31
10 2 1,27 0,78
trekwapening
22 2 1,55 4,63
⇒ 367,2 kg aan ± € 1,85 per kg ⇒ € 679,32
1-2.30
Opgave 1-2.2
materiaal:
beton: C25/30 staal: BE 500/500
belasting: puntlast P = 200 kN eigengewicht γ = 25 kN/m³ belasting grijpt aan na 28 d
constructie: A’s = 2 φ 14 = 308 mm² As = 3 φ 25 + 2 φ 14 = 1781 mm² balk beschouwen als opgelegd (A’s te klein!)
klimaat: R.V. 50 %
⇒ doorbuiging na lange tijd
1-2.31
Werkwijze algemeen:
).1(. ogtot δζ−+δζ=δ
δ functie van: belasting en overspanning v/d constructie tijdstip E-modulus traagheidsmoment I
onderscheid naargelang: tijdstip → E-modulus
- ogenblikkelijk na belasting: Ecm - na lange tijd (kruip): Ec,eff
sectie gescheurd of ongescheurd - yo, Io ⇔ yg, Ig - bepalen neutrale lijn gescheurde sectie:
∫ −=−+x
0ssz )xd.(m.A)'ax.(m.'Adz.b.z C, (7.54)
Werkwijze praktisch:
1. Grenstoestand, belasting + materiaaleigenschappen fctm, Ecm en Ec,eff
2. Ongescheurde doorsnede
→ ligging neutrale lijn yo ⇒ traagheidsmoment Io ⇒ δo
3. Gescheurde doorsnede
→ ligging neutrale lijn yg ⇒ traagheidsmoment Ig ⇒ δg
4. Scheurmoment ⇒ ζ
5. Doorbuiging
1-2.32
De maximale doorbuiging voor enkele belastingsgevallen
EI3
PL3
max =δ in B
EI8
pL4
max =δ in B
EI48
PL3
max =δ in C
EI384
pL5 4
max =δ in C
EI192
PL3
max =δ in C
EI384
pL4
max =δ in C
EI548
PL3
max =δ in C
EI185
pL4
max =δ in x = 0,4215.L
1-2.33
1. Grenstoestand, belasting + materiaaleigenschappen
doorbuiging ⇒ GGT
belasting:
eigengewicht: p = (0,45.0,7).25 = 7,9 kN/m
puntlast: P = 200 kN
kNm 3984
7.2008
7,9.7²4
PL8
pL²Mmidden =+=+=
fctm = 2,6 N/mm² EC 2, T 3.1
Ecm = 30500 N/mm² EC 2, T 3.2
N/mm² 907736,21
305001EE cm
eff,c =+
=φ+
= EC 2, T 3.3 (28 d)
03,22EEm
eff,c
s ==
2. Ongescheurde doorsnede
( ) ( )
( )ss
sso A).1m(b.h 'A).1m(
A).1m(.d)b.h.(2h'A).1m('.a
y−++−
−++−=
⇒ yo = 376 mm
Io = Io,1 + Io,2 + Io,3 + Io,4 ⇒ Io = 1,658.1010 mm4
−+=
2
o
3
1,o y2h.h.b
12h.bI (beton)
( )
−
φπ+
φπ−= 2
o
214
414
2,o 'ay.4
.64.).1m.(2I (φ 14 bovenaan)
1-2.34
( )
−
φπ+
φπ−= 2
o
214
414
3,o yd.4
.64.).1m.(2I (φ 14 onderaan)
( )
−
φπ+
φπ−= 2
o
225
425
4,o yd.4
.64.).1m.(3I (φ 25 onderaan)
o
3
o
4
o I.EL.P
481
I.EL.p
3845
+=δ ⇒ 11,139 mm
3. Gescheurde doorsnede
b = cte ⇒ )xd.(m.A)'ax).(1m.('A2²x.b ss −=−−+
⇒ x = 255 mm = yg
Ig = Ig,1 + Ig,2 + Ig,3 + Ig,4 ⇒ Ig = 8,616.109 mm4
+=
2g
g
3g
1,g 2y
.y.b12y.b
I (beton, enkel drukzone !!)
Ig,2, Ig,3 en Ig,4 → cf. Io,2, Io,3 en Io,4 (yo → yg, As → m)
g
3
g
4
g I.EL.P
481
I.EL.p
3845
+=δ ⇒ 21,430 mm
1-2.35
4. Scheurmoment
Iv.M
=σ ⇒ ( ) kNm 133yhI.fMo
octmcr =
−=
94,0398133.5,0.11
MM..1
22cr
21 =
−=
ββ−=ζ
5. Doorbuiging
ogtot ).1(. δζ−+δζ=δ
mm ,862090,06.11,1300,94.21,43 tot =+=δ
1-2.36
3-4. Samengestelde buiging 1. Inleiding
Samengestelde buiging
centrische normaalkracht + buigmoment
excentrische normaalkracht
Excentriciteit
klein ⇒ excentrische normaalkracht grijpt aan binnen
middensectie ⇒ volledige sectie in trek/druk
groot ⇒ excentrische normaalkracht grijpt aan buiten
middensectie ⇒ sectie gedeeltelijk in trek + in druk
2. UGT
Tekenconventie: C, F 8.9 + F 8.10
drukkracht → positief → e > 0 naar boven toe trekkracht → negatief
→ e > 0 naar beneden toe ⇒ buigmoment t.g.v. excentrische normaalkracht steeds in
tegenuurwijzerszin (bovenrand sectie gedrukt)
Notaties
ρ 'ρ ρ 'ρ δ 'δ ξ C, (8.20) – (8.22) dimensieloze grootheden door te delen door “h” (i.p.v.
“d” bij enkelvoudige buiging) 3-4.1
3 “types” rekdiagramma’s C, F 8.12
trekkracht met kleine excentriciteit C, 8.17 – 8.18
drukkracht met kleine excentriciteit C, 8.18 – 8.21
trek-/drukkracht met grote excentriciteit C, 8.21 – 8.23
Rechthoekige sectie: dimensionering C, 8.24 – 8.83
gegeven:
belasting: MSd, NSd of NSd, e
afmetingen betonsectie: b, h
materiaaleign: fck, fyk
gevraagd:
As, A’s en ξ
oplossing:
berekenen van ν, µ, δ, δ’
keuze van ξ: 3 onbn, 2 vgln ⇒ extra voorwaarde
- willek. keuze van ξ
→ af te raden!
- symmetrische wapening: ρ = 'ρ C, 8.25 – 8.50
→ wanneer MSd van teken kan veranderen
- economische wapening C, 8.51 – 8.83
→ wanneer MSd niet van teken verandert
3-4.2
Rechthoekige sectie: draagvermogen C, 8.84 – 8.85
gegeven:
afmetingen sectie: b, h, As, A’s
materiaaleign: fck, fyk
gevraagd:
MRd, NRd en ξ of NRd, e en ξ
oplossing:
berekenen van ρ , 'ρ
3 onbn, 2 vgln ⇒ extra voorwaarde
- “e” gekend
- “NRd” gekend
3. Praktische richtlijnen C, 8.86 – 8.87
minimum wapening
kolommen (drukkracht meestal overwegend t.o.v. buigmoment)
liggers (meestal druk-/trekkracht met grote excentriciteit)
trekkers (meestal trekkracht met kleine excentriciteit)
maximum wapening
diameter + tussenafstand wapening
trek → cf. H03O9a – oefenzitting 2
druk → cf. H03O9a – oefenzitting 1
betondekking
cf. H03O9a – oefenzitting 1
3-4.3
4. GGT C, 8.87 – 8.94
Controle scheurvorming
“drukkracht met kleine e” → controle niet nodig
andere “belastingstypes” → wél → cf. oefenzitting 2
Controle doorbuiging
cf. H04N4a – oefenzitting 1-2
Controle spanningen
“drukkracht met kleine e”
→ begrenzing drukspanningen in het beton
“trek-/drukkracht met grote e”
→ begrenzing betondrukspanningen én
→ begrenzing staaltrekspanningen
“trekkracht met kleine e”
→ begrenzing staaltrekspanningen
berekeningen van de spanningen in een gescheurde,
rechthoekige doorsnede C, 8.89 – 8.94
3-4.4
Opgave 3-4.1
portiek (zie volgend blad) geometrie:
hoogte kolommen = 5 m afstand tussen kolommen = 7,5 m A = 400 x 400 mm² a = a’ = 40 mm ⇒ δ = δ’ = 0,1
belasting: gelijkmatig verdeelde belasting op beide liggers:
- eigengewicht 6 kN/m - nuttige last 44 kN/m
materiaal: beton: C30/37 staal: BE 500/500
⇒ dimensionering wapeningssectie kolom Werkwijze:
1. Rekenmethode en rekenwaarden
2. Controle knikgevaar
3. Berekening excentriciteit
4. Bepaling wapening
5. Controle praktische richtlijnen
3-4.5
1. Rekenmethode en rekenwaarden
UGT (dimensionering) beton: fcd = 20 N/mm² staal: fyd = 435 N/mm²
2. Controle van het knikgevaar
i0l=λ
mm 3500L.7,00 ==l (0,5 à 0,7 afh. van stijfheid van kolom en balk; 0,7 = meest nadelig)
47,11512
40012
²hAIi
c
c ==≈=
⇒ 31,3047,115
3500i0 ===λl
2531,30 >=λ ⇒ 7,53
20.40010.250
15
f.AN15
2
3
cdc
Sd==
7,5331,30 <=λ ⇒ niet-slanke kolom ⇒ geen gevaar voor knik
3. Berekening van de excentriciteit
etot = e0 + ea + e2 EC 2, (4.65)
mm 83610.25010.209
NMe 3
6
Sd
1Sd01 === (bovenaan)
mm 41610.25010.104
NMe 3
6
Sd
2Sd02 === (onderaan)
3-4.7
mm 85100.2
3500L100.22
.e 00a ===
ν=
ll EC 2, (4.61)
e2 → hoeft niet beschouwd: geen knikgevaar
⇒ etot,1 = 844 mm (bovenaan)
⇒ etot,2 = 424 mm (onderaan)
4. Wapening (symmetrisch)
Bovenaan de kolom
092,0400.20.85,0
10.250A.f.85,0
N2
3
ccd
Sd ===ν C, 8.24
194,0400
844.092,0he.
==ν
=µ C, 8.24
δ = δ’ = 0,1 (gegeven)
⇒ ρ = 'ρ = 0,19 C, F 8.19 l
⇒ mm² 1188435
20.85,0².400.19,0'AA ss ===
⇒ As + A’s = 2376 mm² ⇒ 4 φ 14 + 4 φ 25 (= 2579 mm²)
Onderaan de kolom
092,0=ν C, 8.24
098,0400
424.092,0he.
==ν
=µ C, 8.24
δ = δ’ = 0,1 (gegeven)
⇒ ρ = 'ρ = 0,05 C, F 8.19 l
3-4.8
⇒ mm² 313435
20.85,0².400.05,0'AA ss ===
⇒ As + A’s = 616 mm² ⇒ 4 φ 14 (= 616 mm²) 5. Controle van de praktische richtlijnen
minimum wapening: 0,003.Ac = 480 mm² < 616 mm² ⇒ OK
mm² 86f
N.15,0yd
Sd =
maximum wapening: 0,04.Ac = 6400 mm² > 2579 mm² ⇒ OK 0,08.Ac = 12800 mm² > 1232 mm² ⇒ OK
(alleen 4 φ 14 overlappen, zie volgend)
opm.1: extra wapening (4 φ 25) is niet overal nodig:
→ tot: MSd = 0,098.b.h².0,85.fcd = 106,6 kNm → + verschuiving M-lijn → + verankering
opm.2: buiging om andere (⊥) as:
alleen ea = 8 mm
002,0400
8.092,0he.
==ν
=µ ⇒ geen extra wapening
(buiten minimale) nodig
3-4.10
Opgave 3-4.2
geometrie:
L = 5 m A = 300 x 300 mm² a = a’ = 30 mm As = A’s = 2463 mm² (4 φ 28)
belasting: MS = 90 kNm NS = 150 kN
materiaal: beton: C30/37 staal: BE 500/550
⇒ spanningscontrole bij lange-duureffecten ⇒ max. toelaatb. excentriciteit van de drukkracht in UGT (NRd = 200 kN) Werkwijze:
Spanningscontrole bij lange-duureffecten:
1. Rekenmethode en rekenwaarden
2. Berekenen spanningen
3. Controle van de spanningen in beton en staal
Draagvermogen in UGT
3-4.11
Spanningscontrole bij lange-duureffecten
1. Rekenmethode en rekenwaarden
GGT (spanningscontrole)
beton: fck = 30 N/mm²
staal: fyk = 500 N/mm²
belasting: NSd = NS = 150 kN
MSd = MS = 90 kNm
2. Berekenen spanningen
mm 600NMe
Sd
Sd ==
⇒ drukkracht met grote excentriciteit
5,13015060030150600
'a2he
a2he
f =+−−+
=+−
−+= C, (8.78) – 1ste lid
f(ξ): zie volgend blad C, (8.78) – 2de lid
⇒ ξ = ξ0 = 0,475
⇒ σcb = 9,64 N/mm² C, (8.77a)
⇒ N/mm² 4,129)1(..m cbs −=ξ
δ−ξ−σ−=σ C, (8.79)
⇒ N/mm² 2,114)'(..m' cbs =ξδ−ξ
σ=σ C, (8.80)
3-4.12
C
, (8.
78)
-0,50,0
0,5
1,0
1,5
2,0 0,
000,
050,
100,
150,
200,
250,
300,
350,
400,
450,
500,
55
ξ
f(ξ)
m =
15
δ = δ '
= 0,
1ρ
= ρ'
= 0
,027
ξ = ξ 0
= 0
,475
)'1.(
.1
.m
'3
..5,0
)'1
'.(.'
).1m(
31.
.5,0
'a2h
e
a2h
e
δ−
δ−
ρ
ξδ
−ξ
−+
δ
−ξ
ξ−
δ−
δ−
ρ
ξδ
−ξ
−+
ξ
−δ
−ξ
=+
−
−+
3-4.13
3. Controle spanningen
σs ≤ 0,8.fyk = 400 N/mm² ⇒ OK
σc ≤ 0,45.fck = 13,5 N/mm² ⇒ OK
Draagvermogen in UGT
UGT ⇒ fcd = 20 N/mm²
131,0300.20.85,0
10.200A.f.85,0
N2
3
ccd
Rd ===ν
ρ = 'ρ = 0,6999 C, (8.21)
δ = δ’ = 0,1
⇒ ξ ≈ 0,25 eerste schatting op basis van C, F 8.19q
⇒ 1)'5,0.()'1.(s.)'1'.(n
)5,0.()'1'.(s.')'.(nc
c −=δ−ν−δ−δ−ρ+δ−ζ−δ−ν−δ−δ−ρ+δ−ζ
A = 1)'5,0.(C
1.'CC
)5,0.('C1.''C
'C
331
331
−=δ−ν−
−ρ+
δ−ν−
ρ+
−
C, 8.26
⇒ A(ξ=0,26) = -1,02, A(ξ=0,24) = -0,94 ⇒ ξ ≈ 0,255 C, T 8.2q
647,0)5,0.('C1.''C
'C33
1 =δ−ν−
ρ+
−=µ C, (8.39a)
⇒ mm 1482131,0
300.647,0h.e ==νµ
=
MRd = NRd.e = 296,4 kNm
3-4.14
Opgave 3-4.3
kolom:
lengte L = 5,2 m sectie A = b x h = 300 x 300 mm² a = a’ = 45 mm As = 453 mm² (4 φ 12)
materiaal: beton: C20/25 staal: BE 500/500
belasting: FSd = 720 kN
⇒ dimensionering ⇒ excentriciteit berekenen met de methode van de “model-
kolom” Werkwijze:
1. Rekenmethode en rekenwaarden
2. Slankheid
3. Totale excentriciteit
4. Dimensionering
5. Controle praktische richtlijnen
3-4.16
1. Rekenmethode en rekenwaarden
UGT (dimensionering)
beton: N/mm² 3,13fcd =
staal: N/mm² 435fyd =
belasting: N ³10.720FSd =
2. Slankheid
i0l=λ
mm 5200L0 ==l (2x scharnierend)
6,8612
30012
²hAIi
c
c ==≈=
⇒ 0,606,86
5200i0 ===λl
250,60 >=λ ⇒ 3,19
3,13.30010.720
15
f.AN15
2
3
cdc
Sd==
25 > 19,3 ⇒ 250,60 >=λ ⇒ slanke kolom
3. Totale excentriciteit
etot = e0 + ea + e2 EC 2, (4.65)
e0 = excentriciteit van 1ste orde
3-4.17
mm 010.720
0NMe 3
Sd
1Sd0 ===
ea = bijkomende 1ste orde excentriciteit (imperfecties)
mm 112,5100.2
5200L100.22
.e 00a ===
ν=
ll EC 2, (4.61)
e2 = excentriciteit van 2de orde
⇒ m.b.v. “methode van de modelkolom”
→ geldig indien voldaan aan volgende vwn:
- ronde of rechth. dwarsdoorsnede ⇒ OK
- λ < 140 ⇒ OK
- e0 ≥ 0,1.h ⇒ niet OK ⇒ methode nog wel
geldig maar bekomen vrij conservatieve opl.
ε==
d.9,0.K.2.
10²
r1.
10²e yd
200
2ll EC 2, (4.69 B) –(4.72)
- mm 52000 =l
- d = 255 mm
- 3
s
ydyd 10.175,2
200000435
Ef −===ε
- 1NNNNK
balud
Sdud2 ≤
−−
= EC 2, (4.73)
← Nud = α.fcd.Ac + σsu.As = 0,85.13,3.300² + 395.453 = 1196 kN
← Nbal = 0,4.fcd.Ac = 0,4.13,3.300² = 479 kN
3-4.18
664,047911967201196K2 =
−−
=
⇒ mm 0,34255.9,010.175,2.664,0.2.
10²5200e
3
2 =
=
−
⇒ etot = 0 + 11 + 34 = 45 mm
4. Dimensionering
belasting: NSd = 720.103 N MSd = 720.103.45 = 32,4.106 Nmm
71,0300.3,13.85,0
10.720A.f.85,0
N2
3
ccd
Sd ===ν
11,0300
45.71,0he.
==ν
=µ
δ = δ’ = 0,15 ⇒ ρ = 'ρ ≈ 0 C, F 8.19m
⇒ geen wapening (buiten minimale) nodig 5. Controle van de praktische richtlijnen
minimum wapening: 0,003.Ac = 270 mm² < 453 mm² ⇒ OK
mm² 453mm² 248f
N.15,0yd
Sd <= ⇒ OK
φL = 12 mm ≥ 12 mm ⇒ OK
3-4.19
Opgave 5-6.1
rechthoekige, vrij opgelegde plaat geometrie:
lange overspanning = 6 m korte overspanning = 4 m dikte steun (4 zijden) = 0,2 m
gelijkmatig verdeelde belasting op plaat: eigengewicht nuttige last: 5 kN/m² (Ψ2 = 0,2)
materiaal: beton: C30/37 staal: BE 500/500
milieuklasse 1 ⇒ dimensionering plaat & wapening Werkwijze:
1. Plaatdikte
2. Belastingen
3. Snedekrachten in UGT
4. Hoofdwapening Asy in y-richting (korte overspanning)
5. Dwarswapening Asx in x-richting (lange overspanning)
6. Dwarskrachtwapening
7. Constructieve schikkingen
5-6.2
1. Plaatdikte
Rekenwijdte: leff,x = ln,x + a1 + a2 = (6 – 2.0,2) + 0,7 + 0,7 = 5,74 m leff,y = ln,y + a1 + a2 = (4 – 2.0,2) + 0,7 + 0,7 = 3,74 m
Plaatdikte: doorbuiging dikwijls maatgevend, aanname plaat onder lichte spanning:
⇒ m 15,02574,3d ==
Betondekking: dekking ≥ φ dikste staaf = 10 mm
≥ 15 mm (milieuklasse 1) tolerantie: ⇒ uit voorgaande: h = d + φ/2 + dekking = 150 + 5 + 15 = 170 mm ⇒ ∆h = 5,8 mm ~ 6 mm EC 2, § 6.2.2 (1) (a) dekking = 15 + 6 = 21 mm
Nodige plaatdikte: h = d + φ/2 + dekking = 150 + 5 + 21 = 176 mm ⇒ h = 180 mm ≥ 50 mm ⇒ OK EC 2, § 5.4.3.1 (1) ⇒ d = 150 mm ⇒ dekking = 25 mm (stel φ = 10 mm)
5-6.3
2. Belastingen
Karakteristiek: gk = 0,18 m * 25 kN/m³ = 4,5 kN/m² qk = 5 kN/m²
Rekenwaarden: UGT: γg.gk + γq.qk = 1,35.4,5 + 1,5.5 = 13,575 kN/m² GGT: gk + Ψ2.qk = 4,5 + 0,2.5 = 5,5 kN/m²
3. Snedekrachten in UGT (Methode van Marcus)
a/b = 5,74/3,74 = 1,535
geen wringwapening in de hoeken ⇒ kleinste coëfficiënten ⇒ grootste momenten ⇒ dimensionering wapening steeds OK!
kNm/m 52,849,52
²74,5.575,13K
²a.qm vx
v(max)x === T 2.8
kNm/m 07,2046,9
²74,3.575,13K
²b.qm vy
v(max)y === T 2.8
Rx = Kx.q.b = 0,337.13,575.3,74 = 17,11 kN/m T 2.11
Ry = Ky.q.a = 0,163.13,575.5,74 = 12,70 kN/m T 2.11
4. Hoofdwapening Asy in y-richting (korte overspanning)
b = 1m; dx = 0,15m; kNm/m 07,20mvy =
fcd = 30/1,5 = 20 N/mm²; fyd = 500/1,15 = 435 N/mm²
052,0150.1000.20.85,0
10.07,20²d.b.f.85,0
m2
6
cd
vy ===µ
5-6.4
⇒ ξ = 0,109 ⇒ ρ = 0,053
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 311435
20.85,0.150.1000.053,0==
⇒ As,prov = 314 mm²/m (4 φ 10) Nazicht Asy in GGT:
Spanningen: aan spanningsbeperking voldaan indien:
- mm²/m 180500
150.1000.6,0f
d.b.6,0Ayk
tmin,s ==≥
⇒ OK! - mm²/m 225150.1000.0015,0d.b.0015,0A tmin,s ==≥
⇒ OK!
Scheurvorming: géén specifieke maatregelen indien: - h ≤ 200 mm ⇒ OK! én - voldaan aan bepalingen EC2, § 5.4.3:
h ≥ 50 mm ⇒ OK! smax = 1,5.h ≤ 350 mm ⇒ smax = 1,5.180 =
270 mm ≤ 350 mm ⇒ smax ≥ s = 1000/4 = 250 mm ⇒ OK!
Vervorming: plaatdikte op basis van EC2, T4.14 ⇒ géén controle nodig!
5-6.5
BESLUIT Asy:
As,req = 311 mm²/m As,prov = 314 mm²/m (4 φ 10, alle 250 mm)
5. Dwarswapening Asx in x-richting (lange overspanning)
dy = dx – (φx + φy)/2 = 0,15 – (0,01 + 0,01)/2 = 0,14m
b = 1m; kNm/m 52,8mvx =
026,0140.1000.20.85,0
10.52,8²d.b.f.85,0
m2
6
cd
vx ===µ
⇒ ξ = 0,075 ⇒ ρ = 0,025
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 137435
20.85,0.140.1000.025,0==
⇒ As,prov ? Eerst nazicht As,min Nazicht Asx in GGT:
Spanningen: aan spanningsbeperking voldaan indien:
- mm²/m 168500
140.1000.6,0f
d.b.6,0Ayk
tmin,s ==≥
- mm²/m 210140.1000.0015,0d.b.0015,0A tmin,s ==≥
⇒ As,prov = 236 mm²/m (3 φ 10)
5-6.6
Scheurvorming: géén specifieke maatregelen indien:
- h ≤ 200 mm ⇒ OK! én - voldaan aan bepalingen EC2, § 5.4.3:
h ≥ 50 mm ⇒ OK! smax = 2,5.h ≤ 400 mm ⇒ smax = 2,5.180 =
450 mm ≤ 400 mm ⇒ smax ≥ s = 1000/3 = 333 mm ⇒ OK!
Vervorming: plaatdikte op basis van EC2, T4.14 ⇒ géén controle nodig!
BESLUIT Asx: As,req = 210 mm²/m As,prov = 236 mm²/m (3 φ 10, alle 333 mm)
6. Dwarskrachtwapening
Plaat met dwarskrachtwapening: h > 200 mm EC 2, § 5.4.3.3 (1) VSd,max ≡ Rx = 17,11 kN/m VSd?
Reductie toepassen, máár: eerst VRd1 en VRd2: als VSd,max OK ⇒ VSd OK
1RdV d.b.f..100.k.12,0 3cklρ= EC 2, § 4.3.2.3 (1)
kN 5,66150.1000.30.0021,0.100.2.12,0 3 == /m
← 215,21502001
d2001k ≤=+=+=
← 0021,0150.1000
314d.b
Asyl ===ρ
5-6.7
⇒ VRd1 > VSd ⇒ géén dwarskrachtwapening vereist
controle betondrukdiagonaal (α = 90°):
2RdV d.9,0.b.f..21
cdν=
kN 5,742150.9,0.1000.20.55,0.21
==
← 5,055,0200307,0
200f7,0 ck ≥=−=−=ν
⇒ VRd2 > VSd ⇒ OK!
7. Constructieve schikkingen
7.1. VERANKERING HOOFDWAPENING Asy
ter hoogte van de (weinig of niet ingeklemde) steunen: minstens 1/4 v/d staaldoorsnede in de overspanning:
)veld( req,s)steun( req,s A.41A ≥
⇒ mm² 75,77311.41A req,s =≥
de verankering van de wapeningen moet een trekkracht FS kunnen weerstaan:
Sdi
SdS Nd.9,0
a5,0.VF +
+=
⇒ ai ≡ dy EC 2, § 5.4.3.2.1 (1)
⇒ kN 57,2709,0
15,0.11,17FS =+
+=
5-6.8
⇒ mm² 38,63435
10.57,27fFA
3
yd
Sreq,s === < 77,75 mm²
As,prov = 314 mm² (4 φ 10) > As,req → OK
vereiste verankeringslengte: EC 2, § 5.2.3.4.1 (1)
min,bprov,s
req,sbanet,b l
AA
.l.l ≥α=
← mm 5,3620,3
4354
10ff
4l
bd
ydb ==
φ=
← fbd = 3,0 N/mm² (goede hechting) EC 2, T 5.3
⇒ mm 90314
75,77.5,362.1l net,b ==
lb,min
← ≥ 0,3.lb = 109 mm
← ≥ 10.φ10 = 100 mm
← ≥ 100 mm
⇒ lb,min = 109 mm
voorziene verankeringslengte lb,net = 150 mm
150 mm < (200 – 25) mm ⇒ geen haak nodig
5-6.9
7.2. VERANKERING DWARSWAPENING Asx
ter hoogte van de (weinig of niet ingeklemde) steunen: minstens 1/4 v/d staaldoorsnede in de overspanning:
)veld( req,s)steun( req,s A.41A ≥
⇒ mm² 5,52210.41A req,s =≥
de verankering van de wapeningen moet een trekkracht FS kunnen weerstaan:
Sdi
SdS Nd.9,0
a5,0.VF +
+=
⇒ ai ≡ dx EC 2, § 5.4.3.2.1 (1)
⇒ kN 46,2009,0
15,0.70,12FS =+
+=
⇒ mm² 04,47435
10.46,20fFA
3
yd
Sreq,s === < 52,5 mm²
As,prov = 236 mm² (3 φ 10) > As,req → OK
vereiste verankeringslengte: EC 2, § 5.2.3.4.1 (1)
min,bprov,s
req,sbanet,b l
AA
.l.l ≥α=
← mm 5,3620,3
4354
10ff
4l
bd
ydb ==
φ=
← fbd = 3,0 N/mm² (goede hechting) EC 2, T 5.3
⇒ mm 81236
5,52.5,362.1l net,b ==
5-6.10
lb,min
← ≥ 0,3.lb = 109 mm
← ≥ 10.φ10 = 100 mm
← ≥ 100 mm
⇒ lb,min = 109 mm
voorziene verankeringslengte lb,net = 150 mm
150 mm < (200 – 25) mm ⇒ geen haak nodig
7.3. BOVENWAPENING
Asy,req = 77,75 mm²/m Asx,req = 52,5 mm²/m
⇒ kamvormig wapeningsnet 6/150/150 (188 mm²/m)
5-6.11
Opgave 5-6.2
rechthoekige, vrij opgelegde plaat
ht = 17 cm geometrie:
lange overspanning = 6,5 m = leff,x korte overspanning = 5,0 m = leff,y
gelijkmatig verdeelde belasting op plaat: eigengewicht permanente last: 3,6 kN/m² nuttige last: 4,0 kN/m²
materiaal: beton: C30/37 staal: BE 400/400
milieuklasse 1 ⇒ bepaling maximale steunpunts- en veldmomenten ⇒ dimensionering wapening Werkwijze:
1. Bepaling maximale steunpuntsmomenten [kNm/m]
2. Bepaling maximale veldmomenten [kNm/m]
3. Combinatie momenten tot meest ongunstige situatie in x-richting +
bepaling wapening
4. Combinatie momenten tot meest ongunstige situatie in y-richting +
bepaling wapening
5. Constructieve schikkingen
5-6.12
1. Bepaling maximale steunpuntsmomenten [kNm/m]
Elke deelplaat afzonderlijk berekenen:
ingeklemd waar doorlopend, opgelegd langs de rand van de globale plaat.
Volledige belasting q = 1,35.(qEG + qperm) + 1,5.qmob op alle deelplaten: qEG = 4.25 kN/m² q = 1,35.(4,25 + 3,6) + 1,5.4,0 = 16,60 kN/m²
a/b = 6,5/5 = 1,3
Deelplaat I-III-X-XII:
8,54Kvx = ⇒ 80,12
8,54²5,6.60,16
K²a.qm v
x
vx === kNm/m
8,30Ksx = ⇒ 77,22
8,30²5,6.60,16
K²a.qm s
x
sx === kNm/m
2,19Kvy = ⇒ 61,21
2,19²5.60,16
K²b.qm v
y
vy === kNm/m
8,10Ksy = ⇒ 43,38
8,10²5.60,16
K²b.qm s
y
sy === kNm/m
5-6.13
Deelplaat II-XI:
2,72Kvx = ⇒ 71,9
2,72²5,6.60,16
K²a.qm v
x
vx === kNm/m
1,29Ksx = ⇒ 10,24
1,29²5,6.60,16
K²a.qm s
x
sx === kNm/m
9,28Kvy = ⇒ 36,14
9,28²5.60,16
K²b.qm v
y
vy === kNm/m
6,13Ksy = ⇒ 51,30
6,13²5.60,16
K²b.qm s
y
sy === kNm/m
Deelplaat IV-VI-VII-IX:
9,28Kvx = ⇒ 27,24
9,28²5,6.60,16
K²a.qm v
x
vx === kNm/m
6,13Ksx = ⇒ 57,51
6,13²5,6.60,16
K²a.qm s
x
sx === kNm/m
2,72Kvy = ⇒ 75,5
2,72²5.60,16
K²b.qm v
y
vy === kNm/m
1,29Ksy = ⇒ 26,14
1,29²5.60,16
K²b.qm s
y
sy === kNm/m
Deelplaat V-VIII:
4,105Kvx = ⇒ 65,6
4,105²5,6.60,16
K²a.qm v
x
vx === kNm/m
3,46Ksx = ⇒ 15,15
3,46²5,6.60,16
K²a.qm s
x
sx === kNm/m
9,36Kvy = ⇒ 25,11
9,36²5.60,16
K²b.qm v
y
vy === kNm/m
2,16Ksy = ⇒ 62,25
2,16²5.60,16
K²b.qm s
y
sy === kNm/m
5-6.14
Samenvatting:
x-richting ⇒ I-II-III & X-XI-XII
⇒ IV-V-VI & VII-VIII-IX
y-richting ⇒ I-IV-VII-X & III-VI-IX-XII (links) + II-V-VIII-XI (rechts)
5-6.15
Samenvatting ná vereffening:
x-richting ⇒ I-II-III & X-XI-XII
⇒ IV-V-VI & VII-VIII-IX
y-richting I-IV-VII-X & III-VI-IX-XII (links) + II-V-VIII-XI (rechts)
5-6.16
2. Bepaling maximale veldmomenten [kNm/m]
Enkel controle van geval A, dan:
voor deelplaat II == XI voor deelplaat IV-VI == VII-IX voor deelplaat VIII == V voor deelplaat X-XII == I-III
Superpositie van: qperm + qmob/2 op alle deelplaten:
- deelplaten ingeklemd waar continu, en - opgelegd langs de rand van de globale plaat.
qmob/2 op gearceerde deelplaten en -qmob/2 op niet-gearceerde deelplaten (alle deelplaten opgelegd aan de 4 randen).
Opm. Bij optellen maximale veldmomenten in de rand-deelplaten liggen maxima niet op dezelfde plaats ⇒ overschatting ⇒ extra veiligheid.
2.1. qperm + qmob/2 op alle deelplaten
Volledig analoog aan maximale steunpuntsmomenten, alleen belasting q verschillend!
q = 1,35.(4,25 + 3,6) + (1,5.4,0)/2 = 13,60 kN/m² 5-6.17
Samenvatting ná vereffening:
x-richting ⇒ I-II-III & X-XI-XII
⇒ IV-V-VI & VII-VIII-IX
y-richting ⇒ I-IV-VII-X & III-VI-IX-XII (links) + II-V-VIII-XI (rechts)
5-6.18
2.2. qmob/2 op gearceerde deelplaten, -qmob/2 op niet-
gearceerde deelplaten
Deelplaat I-III-V-VII-IX-XI:
8,30Kvx = ⇒ 12,4
8,30²5,6.0,3
K²a.qm v
x
vx === kNm/m
2,10Kvy = ⇒ 94,6
8,10²5.0,3
K²b.qm v
y
vy === kNm/m
0mm sy
sx == kNm/m
Deelplaat II-IV-VI-VIII-X-XII:
8,30Kvx = ⇒ 12,4
8,30²5,6.0,3
K²a.qm v
x
vx −=
−== kNm/m
2,10Kvy = ⇒ 94,6
8,10²5.0,3
K²b.qm v
y
vy −=
−== kNm/m
0mm sy
sx == kNm/m
5-6.19
2.3. Superpositie (samenvatting ná vereffening)
x-richting ⇒ I-II-III
⇒ IV-V-VI
⇒ VII-VIII-IX
⇒ X-XI-XII
5-6.20
y-richting
⇒ I-IV-VII-X & III-VI-IX-XII (links) + II-V-VIII-XI (rechts)
3. Combinatie momenten tot meest ongunstige situatie in x-richting
Resultaten weergegeven in onderstaande grafiek. De veldmomenten zijn weergeven in het midden van de deelplaten, de steunpuntsmomenten zijn weergegeven t.h.v. de steunen.
5-6.21
De wapening wordt uiteindelijk “strook” per “strook”
gedimensioneerd (i.e. I-II-III ≡ X-XI-XII én IV-V-VI ≡ VII-VIII-IX). Per “strook” wordt aldus het grootste moment genomen voor resp. de boven- en onderwapening.
Strook I-II-III ≡ X-XI-XII
Bovenwapening ⇒ MSd = 23,44 kNm/m ⇒ b = 1 m ⇒ d = 145 mm (aanname)
⇒ 066,0145.1000.20.85,0
10.44,23²d.b.f.85,0
M2
6
cd
Sd ===µ
⇒ ξ = 0,125 ⇒ ρ = 0,068
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 482348
20.85,0.145.1000.068,0==
⇒ As,prov = 565 mm² = φ12, alle 200 mm
Onderwapening ⇒ MSd = 14,33 kNm/m ⇒ b = 1 m ⇒ d = 145 mm (aanname)
⇒ 040,0145.1000.20.85,0
10.33,14²d.b.f.85,0
M2
6
cd
Sd ===µ
5-6.22
⇒ ξ = 0,095 ⇒ ρ = 0,041
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 290348
20.85,0.145.1000.041,0==
⇒ As,prov = 452 mm² = φ12, alle 250 mm Strook IV-V-VI ≡ VII-VIII-IX
Bovenwapening ⇒ MSd = 33,36 kNm/m ⇒ b = 1 m ⇒ d = 145 mm (aanname)
⇒ 093,0145.1000.20.85,0
10.36,33²d.b.f.85,0
M2
6
cd
Sd ===µ
⇒ ξ = 0,155 ⇒ ρ = 0,099
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 701348
20.85,0.145.1000.099,0==
⇒ As,prov = 754 mm² = φ12, alle 150 mm
Onderwapening ⇒ MSd = 31,46 kNm/m ⇒ b = 1 m
5-6.23
⇒ d = 145 mm (aanname)
⇒ 088,0145.1000.20.85,0
10.46,31²d.b.f.85,0
M2
6
cd
Sd ===µ
⇒ ξ = 0,150 ⇒ ρ = 0,094
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 666348
20.85,0.145.1000.094,0==
⇒ As,prov = 754 mm² = φ12, alle 150 mm 4. Combinatie momenten tot meest ongunstige
situatie in y-richting
Analoog aan voorgaande. Nu wordt de wapening bepaald voor de “stroken” I-IV-VII-X ≡ III-VI-IX-XII en II-V-VIII-XI.
5-6.24
Strook I-IV-VII-X ≡ III-VI-IX-XII
Bovenwapening ⇒ MSd = 26,34 kNm/m ⇒ b = 1 m ⇒ d = 133 mm (aanname)
⇒ 088,0133.1000.20.85,0
10.34,26²d.b.f.85,0
M2
6
cd
Sd ===µ
⇒ ξ = 0,150 ⇒ ρ = 0,094
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 611348
20.85,0.133.1000.094,0==
⇒ As,prov = 754 mm² = φ12, alle 150 mm
Onderwapening ⇒ MSd = 29,60 kNm/m ⇒ b = 1 m ⇒ d = 133 mm (aanname)
⇒ 098,0133.1000.20.85,0
10.60,29²d.b.f.85,0
M2
6
cd
Sd ===µ
⇒ ξ = 0,160 ⇒ ρ = 0,104
5-6.25
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 676348
20.85,0.133.1000.104,0==
⇒ As,prov = 754 mm² = φ12, alle 150 mm Strook II-V-VIII-XI
Bovenwapening ⇒ MSd = 28,07 kNm/m ⇒ b = 1 m ⇒ d = 133 mm (aanname)
⇒ 093,0133.1000.20.85,0
10.07,28²d.b.f.85,0
M2
6
cd
Sd ===µ
⇒ ξ = 0,155 ⇒ ρ = 0,099
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 643348
20.85,0.133.1000.099,0==
⇒ As,prov = 754 mm² = φ12, alle 150 mm
Onderwapening ⇒ MSd = 19,71 kNm/m ⇒ b = 1 m ⇒ d = 133 mm (aanname)
5-6.26
⇒ 066,0133.1000.20.85,0
10.71,19²d.b.f.85,0
M2
6
cd
Sd ===µ
⇒ ξ = 0,125 ⇒ ρ = 0,068
⇒ yd
cdreq,s f
f.85,0.d.b.A ρ=
mm²/m 442348
20.85,0.133.1000.068,0==
⇒ As,prov = 452 mm² = φ12, alle 250 mm 5. Constructieve schikkingen
mm²/m 200400
133.1000.6,0f
d.b.6,0Ayk
tmin,s ==≥ ⇒ OK!
mm²/m 200133.1000.0015,0d.b.0015,0A tmin,s ==≥
⇒ OK!
smax = 1,5.h ≤ 350 mm smax = 1,5.170 = 255 mm ≤ 350 mm ⇒ smax = 255 mm ≥ smax,prov = 250 mm ⇒ OK!
Overlappingslengte φ12, overlapping dient te gebeuren in de gedrukte zone van de betreffende wapening!!
min,bprov,s
req,sbanet,b l
AA
.l.l ≥α=
← mm 3480,3
3484
12ff
4l
bd
ydb ==
φ=
5-6.27
← fbd = 3,0 N/mm² (goede hechting) EC 2, T 5.3
⇒ mm 340452442.348.1l net,b ==
lb,min
← ≥ 0,3.lb = 104 mm
← ≥ 10.φ12 = 120 mm
← ≥ 100 mm
⇒ lb,min = 120 mm
min,s1net,bs l.ll ≥α=
← α1 = 1 EC 2, § 5.2.4.1.3 (1)
⇒ mm 340ll net,bs ==
lb,min
← ≥ 0,3.αa.α1.lb = 104 mm
← ≥ 15.φ12 = 180 mm
← ≥ 200 mm
⇒ lb,min = 200 mm
⇒ mm 340ls = ⇒ mm 400l prov,s =
5-6.28