bevezetés az elméleti zikába -...

Bevezetés azelméleti �zikába

egyetemi jegyzet

Az elméleti mechanika newtoni alapjai

Lázár Zsolt, Lázár József

Babe³�Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar

2011

TARTALOMJEGYZÉK

1. El®szó 7

2. Newton törvényei 9

3. A Galilei-féle relativitási elv 13

4. Mechanikai munka és energia 15

5. Impulzusnyomaték 175.1. Centrális er®tér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6. Pontrendszerek mechanikája 19

7. Kényszerek 257.1. Virtuális elmozdulás. Virtuális munka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2. A kényszerek általános alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.3. Szabadsági fokok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.4. Általános koordináták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8. A D'Alembert elv 33

9. Lagrange egyenletek 35

10.Minimális hatás elve 39

6 TARTALOMJEGYZÉK

1. FEJEZET

El®szó

A �zika az a természettudomány, mely a legáltalánosabb formákkal és törvényekkel,szerkezetekkel és funkcióikkal, obiektumokkal és jelenségeikkel foglalkozik. Az embertkörülvev® világ végtelen változatosságának legegyszer¶ megközelítése az, hogy mindenelem és minden folyamat min®ségileg különböz®. Elménk matematikai beállítottsága mi-att mennyiségi változatosságot sokkal könyebben át tudjuk látni. A �zika hagyományaialapján a redukcionista �lozó�a szerint közelít a természet kérdéseinek megértése felé.A redukcionizmus a komplex rendszereket az azt alkotó részeinek összességeként fogjafel. A rendszer megnyilvánulásait, a különböz® jelenségeket visszavezeti az összetev®kkölcsönhatásaira illetve még alapvet®bb elvekre. A �zikai jelenségek egységes tárgyalásamindmáig kihívás az emberiség számára. Célunk a természet leírásának axiomatikus ala-pokra való helyezése.

7

8 FEJEZET 1. EL�SZÓ

2. FEJEZET

Newton törvényei

A mechanika egyik alapvet® fogalma a tömegpont, a továbbiakban részecske. Tö-megpont alatt olyan anyagi testet értünk, amelynek méretei elhanyagolhatók mozgásá-nak leírása szempontjából. A tömegpont helyzetét a térben az r helyzetvektor adja meg,amelynek komponensei az x, y, z Descartes-koordináták. r-nek az id® szerinti els® és má-sodik deriváltja:

v ≡ dr

dt≡ r , a ≡ dr2

dt2≡ r

a részecske sebessége illetve gyorsulása. Newton az 1687-ben kiadott �Philosophiae Natu-ralis Principia Mathematica (A természet�lozó�a matematikai alapjai)� cím¶ m¶vébenhárom törvényt fogalmaz meg, melyek a részecskék mozgását irányítják.A természetben végbemen® jelenségek leírásához vonatkoztatási rendszerre van szük-ségünk. Vonatkoztatási rendszernek nevezzük a részecskék térbeli helyzetét megadókoordináta-rendszert és a rendszerhez rögzített órák együttesét. A különböz® vonatkozta-tási rendszerekben általában különböz®k a mozgástörvények. Természetes módon merülfel az a feladat, hogy olyan vonatkoztatási rendszert keressünk, amelyben a mechanikaitörvények a legegyszer¶bb alakúak.

Els® f®törvény(a tehetetlenség elve) Minden magára hagyott test meg®rzi nyu-galmi állapotát vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását.

Azokat a vonatkoztatási rendszereket, amelyekben Newton els® törvénye érvényes tehe-tetlenségi vonatkoztatási rendszernek, másszóval inerciarendszernek nevezzük. Az inercia-rendszerhez képest gyorsulva mozgó, vagy forgó vonatkoztatási rendszerek nem inercia-rendszerek, mivel ezekben nem teljesül a tehetetlenség fenti törvénye. A további törvényeka fenti tulajdonsággal bíró inerciarendszerekben érvényesek.

A fenti axióma hiányossága, hogy nem lehet egyértelm¶en megállapítani, hogy egytestre mikor hat küls® er®, mitöbb az er® fogalma sincs tisztázva, vagy mit jelent amagára hagyott test fogalma. Egy test annál inkább megközelíti a magára hagyott testfogalmát, minél messzebb van más testekt®l. Viszont a gyakorlati esetek többségébena testek közvetlen érintkezés útján való kölcsönhatása vagy valamely er®tér jelenléteegyértelm¶en észlelhet® a meg�gyel® által és valószín¶tlenné teszi egy nem tehetetlenségivonatkoztatási rendszernek tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerként való azonosítását.

9

10 FEJEZET 2. NEWTON TÖRVÉNYEI

Az abszolút tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer tulajdonképpen absztrakció, mivel amindig ki vagyunk téve valamilyen er®hatásnak. Így se a Föld, se a Nap, még csak agalaxisunk se tekinthet® annak. A gyakorlatban egy bizonyos �zikai rendszer leírásakortehetetlenséginek tekinthetjük azt a vonatkoztatási rendszert, ami olyan er®hatásoknakvan kitéve, melyek elhanyagolhatóak a rendszer számunkra érdekes dinamikájáért felel®ser®hatásokhoz képest.

Példa

Egy forgószínpad mely percenként fordul körbe nem alkalmas egy teniszlabda ballisztikuspályájának tanulmányozására. Ugyanakkor atomi szinten zajló folyamatokra gyakorlati-lag nincs hatása ennek a gyorsulásnak. Ha a teniszlabda szempontjából tehetetlenséginektekinthet® a talajhoz rögzített vonatkoztatási rendszer ez már nem igaz, ha a távolhordóágyúk ballisztikájának vagy a f®bb szélrendszerek, mint például a passzát, dinamikájánakmegértése a cél.Egy test mozgásállapota (sebessége) módosul az elszenvedett er®hatások mértékénekfüggvényében. Ugyanakkor tapasztalati tény, hogy ugyanazon er®hatás különböz® tes-tek esetén eltér® mérték¶ sebességváltozást okoz. Ezt a tulajdonságát az anyagnak te-hetetlenségnek nevezzük és mértékének jellemzésére a tömeget használjuk. A nagyobbtömeg¶ test �tehetetlenebb�, azaz egy adott er®hatásra adott �válasza� kisebb mérték¶,mint azonos körülmények között egy kisebb tömeg¶ testnek. A test m tömege egy po-zitív, id®t®l független alapvet® skalár mennyiség. Mértékegysége az MKSA1 nemzetközirendszerben 1kg, dimenzióját M -el jelöljük. Az er® egy vektoriális mennyiség és mérték-egysége a Newton (N). Az er®nek a mozgásra kifejtett hatásának leírására bevezetjük aimpulzus(mozgásmennyiség) fogalmát. Az impulzus a részecske tömegének és sebességé-nek szorzata, tehát

p = mv .

Második f®törvény(a mozgástörvény) Ha egy részecskére egy F er® hat, akkora mozgás során az impulzusvektor id® szerinti deriváltja megegyezik az F er®vel.

A második törvény matematikai alakja

F =dp

dt. (2.1)

Ha a test tömege állandó a mozgás során

F = mdv

dt= m

d2r

dt2= ma ,

ahonnan a testen lérehozott gyorsulás (mozgásállapotának változási sebessége) adott er®hatására:

a =F

m,

annál kisebb, minél nagyobb a test tömege.

1MKSA = Méter-Kilogramm-Szekundum-Amper

11

Harmadik törvény (a kölcsönhatás törvénye) Ha két részecske er®vel hat egy-másra, akkor az er®k a részecskéket összeköt® egyenes mentén hatnak, azonos nagy-ságúak és ellentétes irányításúak.

Ha egy A test er®t fejt ki a B testre, akkor a B ugyanolyan nagyságú, de ellentétes irányúer®vel hat az A-ra. Jelöljük az el®bbi er®t FBA-val, utóbbit FAB-vel. A kölcsönhatástörvénye képlettel kifejezve :

FAB = −FBA, FAB + FBA = 0

Az er®hatások szuperpozíciójának elve Ha egy részecskére egyid®ben kéter® F1 és F2 is hat, akkor ezek helyettesíthet®k egyetlen olyan F er®vel, melyet azösszetev® er®k vektori összegeként kapunk:

F1 + F2 = F ,

ahol F az F1 és F2 er®k ered®je.

A fenti elv matematikai indukcióval kiterjeszthet® tetsz®leges számú er®re is. Ugyanak-kor belátható, hogy az elv fordítottja is érvényes, azaz bármely er® felbontható több,egyid®ben ható er®re, amennyiben ezek ered®je kiadja az eredeti er®t.

Az anyagi pont mozgása során bizonyos mechanikai mennyiségek id®ben állandók marad-nak, melyeket a megmaradási tételekkel fejezünk ki. A megmaradási törvények általánosalakja

f(t, r, r) = C ,

melyek els®rend¶ di�erenciálegyenletek és a mozgásegyenletek primintegráljainak nevez-zük. A megmaradó mennyiségek fontos szerepet játszanak a jelenségek leírásában, mertsegítségükkel leírható a rendszer id®fejl®dése a mozgás másodrend¶ di�erenciálegyenle-tének megoldása nélkül.A dinamika második törvénye önmagában is egy megmaradási tételt fejez ki. Amennyibena rendszerre nem hat ered® er®, akkor (2.1) alapján

dp

dt= 0 , azaz p = állandó .

A fenti egyenlet fejezi ki az impulzusmegmaradás tételét.

12 FEJEZET 2. NEWTON TÖRVÉNYEI

3. FEJEZET

A Galilei-féle relativitási elv

Könny¶ belátni, hogyha adott egy inerciarendszer, akkor a hozzá képest egyenesvonalúegyenletesen mozgó vonatkoztatási rendszerek is inerciarendszerek. Tehát végtelen sokinerciarendszerünk van.

A relativitás elve A természettörvények valamennyi inerciarendszerben azo-nosak.

Másképpen megfogalmazva, a természettörvényeket kifejez® egyenletek változatlanok ma-radnak, ha egy adott inerciarendszerr®l egy másikra térünk át. Ez azt jelenti, hogy egybizonyos természettörvényt különböz® inerciarendszerekben tér- és id®koordinátákkal ki-fejez® egyenletek azonos alakúak.Válasszunk egy K-val jelölt inerciarendszert és egy ehhez képest állandó Vsebességgelmozgó másik, K ′ inerciarendszert. Tegyük fel, hogy a t = 0 id®pillanatban a két rendszer,tehát az O és O′ vonatkoztatási pont egybeesett. t id® múlva az O′ elmozdulását O-hoz

képest az−−→OO′ = Vt vektor jelöli. Valamely P pontnak a helyét mindkét rendszerben

megadhatjuk az r illetve r′ helyvektorokkal. A K és K ′ rendszerekben mért r, illetve r′

helyvektorok egymással az

r = r′ +−−→OO′ = r′ +Vt

kapcsolatban állnak . A newtoni mechanika egyik alapfeltevése szerint:

Az id® minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz:

t = t′

Ebb®l a két összefüggésb®l, az id® szerinti els® és másodrend¶ di�erenciálással megkapjuka két rendszerben mért sebességek és gyorsulások közötti kapcsolatot :

r = r′ +V⇒ v = v′ +V,

r = r′ ⇒ a = a′

13

14 FEJEZET 3. A GALILEI-FÉLE RELATIVITÁSI ELV

Tehát a tömegpont gyorsulása, a két inerciarendszerben ugyanaz. Mivel a tömeg is inva-riáns a fenti transzformációval szemben, ezért a mechanika

ma = F

mozgásegyenlete változatlanul érvényes a K ′ rendszerben is :

ma′ = F′

ésF = F′.

Mivel a mozgástörvények mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanolyan alakúak, akét inerciarendszer teljesen egyenérték¶ mechanikai szempontból. Ez a felismerés Ga-lilei nevéhez f¶z®dik. Ezért az inerciarendszerek egyenérték¶ségét Galilei-féle relativi-tási elvnek, a helyvektorok és id®pillanatok közötti fenti összefüggéseket pedig Galilei-transzformációnak nevezzük.

4. FEJEZET

Mechanikai munka és energia

Egy részecskére ható F er® munkáját egy C görbe két A és B pontja között az alábbikifejezéssel határozzuk meg:

W (CAB) =∫CAB

F · dr. (4.1)

Egy elemi elmozdulásnak megfelel® mechanikai munka:

dW = F · dr .

A fenti meghatározásból kiderül, hogy:

Az elmozdulásra mer®leges er®k nem végeznek mechanikai munkát.

Az er®k szuperpozíciójának elve alapján az F er® egyértelm¶en felbontható egy az el-mozdulás irányába mutató (tangenciális) Ft és egy másik, arra mer®leges er®re Fn er®re.Az elemi munka:

dW = (Ft + Fn) · dr = Ft · dr = Ftdr ,

azaz az er®nek csak a mozgás pályájához érint®leges irányú összetev®je végez munkát.Mivel

F = mdv

dt, és dr = vdt ,

írhatjuk, hogy ∫ B

A

F · dr = m

∫ tB

tA

dv

dt· vdt = m

2(v2B − v2A) . (4.2)

A

T =mv2

2

mennyiséget kinetikus-(mozgási-)energiának nevezzük. Az (4.1) és (4.2) egyenletek alap-ján a következ® tételt fogalmazhatjuk meg:

15

16 FEJEZET 4. MECHANIKAI MUNKA ÉS ENERGIA

A kinetikus energia változásának tétele A részecske kinetikus energiájánakváltozása, megegyezik a részecskére ható er® munkájával az adott pontok között:

W (CAB) = T (B)− T (A)

Ha a két pont között végzett munka értéke nem függ a pontokat összeköt® görbét®l csaka pontok helyzetét®l, akkor konzervatív er®térr®l beszélünk. Ilyenek például az elektro-sztatikus és gravitációs er®terek. Nem konzervatív er®nek számítanak a súrlódási er® és aközegellenállásból származó disszipatív er®k. Konzervatív er®tér esetén belátható, hogybármilyen zárt C görbe mentén végzett munka értéke nulla:∮

CF · dr = 0 .

Ez azt jelenti, hogy F ·dr egy skalár ú.n. potenciális energia függvény teljes di�erenciálja:

F · dr = −dU(r) ≡ −∇U(r) · dr .

Tehát

F = −∇U , azaz Fx = −∂U∂x

, Fy = −∂U∂y

, Fz = −∂U

∂z.

Egy er®tér konzervatív jellegér®l meggy®z®dhetünk a

∇× F = 0 .

egyenlet teljesülésének ellen®rzésével.A mechanikai munka az adott rA és rB pontok között, konzervatív er®térben:

WAB =

∫ B

A

F · dr = −∫ B

A

∇U · dr = U(A)− U(B)

ahol U(A) ≡ U(rA) illetve U(B) ≡ U(rB) a potenciális energia értékei, az A és B pon-tokban. Összevetve a kinetikus energia változására vonatkozó tétellel egy újabb alapvet®tételt fogalmazhatunk meg:

Az energiamegmaradás tétele Konzervativ er®térben mozgó részecske ki-netikus és potenciális energiájának összege, az E a teljes energia, id®ben állandó:

T (A) + U(A) = T (B) + U(B) = E

Ha a részecskére úgy konzervatív mint nemkonzervatív Fnk er®k hatnak, akkor a teljesenergia változása, E(B)−E(A), megegyezik a nemkonzervatív er®k munkájával az adottC görbe A és B pontja között. Tehát a részecske teljes energiaváltozásának tétele:

E(B)− E(A) =Wn.k.(CAB) .

5. FEJEZET

Impulzusnyomaték

Vezessük be egy részecskeJ = r× p (5.1)

impulzusnyomatékát az O pontra nézve és az

N = r× F (5.2)

er®nyomatékot ugyanarra az O pontra vonatkozóan. Az impulzus változási sebessége:

dJ

dt=

d

dt(r×mv) = v ×mv + r× d

dt(mv) = N

RövidenJ = N .

N = 0 esetén a fenti egyenlet egy újabb megmaradási tételt fejez ki:

Az impulzusnyomatékmegmaradás tétele Ha egy részecskére ható er®nyo-maték N nulla akkor annak J impulzusnyomatéka állandó

(5.2) alapján az er®nyomaték nulla, ha az F er® nulla, az r helyzetvektor nulla vagyha a két vektor párhuzamos. Az r helyzetnek az F-re mer®leges összetev®jét az er®karjának nevezzük. A fenti meghatározásból az is kit¶nik, hogy az impulzusnyomatékúgy a koordinátarendszer, mint a vonatkoztatási rendszer sebességének megválasztásátólnagymértékben függ.

5.1. Centrális er®tér

Tekintsünk egy m tömeg¶ részecskét egy U(r) = U(r) potenciális energiával jellemzettcentrális er®térben. Az er®teret centrálisnak nevezzük, ha a potenciális energia kizárólagaz er®tér r = 0 középpontjában rögzített origótól mért távolságtól függ. A részecskéreható er® egy tetsz®leges r pontban:

F(r) = −∇U(r) = −∂U(r)

∂r= −dU

dr

r

r‖r

17

18 FEJEZET 5. IMPULZUSNYOMATÉK

Ennek nagysága az er®tér középpontjától mért távolságtól függ, az iránya pedig párhu-zamos a részecske helyzetvektorával. Az J = r× p pályaimpulzusnyomatékra vonatkozótétel alapján:

J = M = r× F = 0 .

Tehát centrális er®térben a J pályaimpulzusnyomaték vektora állandó. Az impulzus-nyomatékvektor és az r helyzetvektor mer®legességének következményeként a részecskemozgása az impulzusnyomatékvektorra mer®leges síkban történik.

Centrális er®térben a mozgás mindig síkmozgás (f = 2).

6. FEJEZET

Pontrendszerek mechanikája

Tekintsünk N darab részecskét melyek tömege, sebessége és impulzusa mi,vi illetvepi = mivi. Az egyes részecskékre hasson az Fi küls® er®, míg a j részecske részér®laz fij bels® er®. A következ®kben az i és j indexek egy és N között vesznek fel egészértékeket. Newton harmadik törvénye értelmében ez az er® a két részecskét összeköt®egyenes mentén hat és ellentétese az i részecskér®l a j részecskére kifejtett er®nek:

fij || ri − rj , (6.1)

fij = −fji . (6.2)

Newton második törvénye értelmében

pi = Fi +∑j

fij ,

Vezessük be aP ≡

∑i

pi

vektorösszegét az impulzusoknak és vizsgáljuk meg, hogy miként változik id®ben:

P =∑i

pi =∑i

Fi +∑i,j

fij =

=∑i

Fi +1

2

∑i,j

(fij + fji)︸︷︷︸=0

=

=∑i

Fi = F

(6.3)

A második sorban megdupláztuk a bels® er®ket tartalmazó összeget de úgy, hogy az iés j indexeket formálisan felcseréltük. Ugyanakkor kihasználtuk az (6.2) tulajdonságáta bels® er®knek. Az er®k szuperpozicíójának elve értelmében F a rendszerre ható küls®er®k ered®je. Az (6.3) egyenletb®l arra következtetünk, hogy a teljes pontrendszerre értel-mezett P mennyiségre hasonló törvény érvényes, mint az egyes részecskékre. Ezért ezt arendszer impulzusának nevezzük és megállapíthatjuk, hogy id® szerinti deriváltja egyenl®a küls® er®k ered®jével.

19

20 FEJEZET 6. PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA

Az impulzus szorosan kapcsolódik a sebességhez és az utóbbi pedig közvetlen függvényea vonatkoztatási rendszernek. Vajon miképpen függ egy pontrendszer impulzusa a vonat-koztatási rendszert®l? Jelöljük K-val azt a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszert, ami-ben a fenti rendszert alkotó részecskék sebességei vi. Ha áttérünk egy olyanK ′ ugyancsaktehetetlenségi vonatkoztatási rendszerre mely K-hoz képest V sebességgel halad, akkorGalilei transzformációs törvénye értelmében az egyes részecskék sebessége

v′i = vi −V . (6.4)

A K ′ vonatkoztatási rendszerben mért impulzus:

P′ =∑i

miv′i =

∑i

mi(vi −V) =∑i

mivi −∑i

miV =

= P−MV , M =∑i

mi

A megfelel®

V =P

M= állandó (6.5)

sebességre P′ = 0. Következésképpen, bármekkora is lenne a rendszer teljes impulzusa,mindig létezik egy olyanK ′ vonatkoztatási rendszer, melyben a rendszer impulzusa nulla.Ilyenkor azt mondjuk, hogy nyugalomban van az adott vonatkoztatási rendszerben. Ezegy természetes általánosítása egyetlen tömegpont nyugalmáról kialakított fogalmunk-nak. Ennek megfelel®en a (6.5) által meghatározott sebességet úgy értelmezhetjük, minta mechanikai rendszer egységes egészként való mozgásának sebességét. A fenti egyenletetírhatjuk az alábbi formában:

V =d

dt

(∑Ni=1miriM

). Bevezetve a rendszer

R ≡∑Ni=1miriM

,

ún. tömegközéppont vektorát, látható hogy

V = R

a tömegközéppont állandó sebességvektora. Integrálás után:

R−Vt = R0.

Ez a pontrendszer újabb három primintegrálját adja.Vizsgáljuk most a rendszer energiáját az egyetlen részecske energiájával analóg módon.A mechanikai munka az egész rendszeren két különböz® A és B állapot között:

W (CAB) =∑i

∫ B

A

(Fi +∑i 6=j

fij) · dri =∑i

∫ B

A

mivi · dri =

=∑i

∫ B

A

mivi · vidt =∑i

mi

2

∫ B

A

d(v2i ) =

= T (B)− T (A) , ahol T =1

2

∑i

miv2i

21

Miképpen viselkedik a T mozgási energia kifejezése a különböz® vonatkoztatási rend-szerekben? Végezzünk hát egy (6.4) Galilei-transzformációt a rendszeren, úgy amint azkorábban is tettük. A K ′ tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben:

T ′ =1

2

∑i

miv′i2=

1

2

∑i

miv2i +

1

2

∑i

miV2 −

∑i

mivi ·V =

= T +MV 2

2−P ·V

(6.6)

Válasszuk meg úgy a V sebességet, hogy K ′ legyen a tömegközépponti vonatkoztatásirendszer, azaz V = P/M . Így a rendszer, mint egész, nyugalomban van és kinetikusenergiája alkotórészeinek az álló tömegközépponthoz viszonyított mozgásából adódik.Ezt a Eb ≡ T ′ energiát bels® energiának nevezzük. (6.6) alapján :

T =MV 2

2+ Eb ,

ahol V a tömegközépponti sebesség. A fenti összefüggés Koenig második tételeként isismert.Visszatérve a munka fentebbi kifejezésére felhasználva, hogy a részecskékre ható er®kkonzervatívak Fi = −∇iUi és így :

∑i

∫ B

A

Fi · dri = −∑i

∫ B

A

∇iU · dri = −∑i

Ui

∣∣∣∣21

,

Legyenek a bels® fij er®k is megfelel® Uij(|ri − rj |) típusú potenciálokból származtatottkonzervatív er®k. Vegyük észre, hogy a mechanikai munka kifejezésében

∑i,j

∫ B

A

fij · dri =1

2

∑i,j

∫ B

A

(fijdri + fjidrj) =1

2

∑i,j

∫ B

A

fij · d(ri − rj)

akkor lesz az integrál független az úttól, ha az integrál alatti kifejezés egy függvénynek adi�erenciálja. Ez akkor áll fenn, ha :

fij · d(ri − rj) = −dUij(|ri − rj |)

A rendszer teljes potenciális energiája :

U =∑i

Ui(|ri|) +1

2

∑i 6=j

Uij(|ri − rj |)

A teljes energia :T + U = E = állandó

Az impulzushoz és energiához hasonló módon képezzük a részecskék impulzusnyomaté-kainak összegét

J =∑i

Ji ,

és tanulmányozzuk annak változását a küls® és bels® er®k hatására:


dJ

dt=∑i

dJidt

=∑i

d

dt(ri × pi) =

∑i

ri × pi︸︷︷︸=0

+∑i

ri × pi =

=∑i

ri × Fi +∑i,j

ri × fij =∑i

ri × Fi +1

2

∑i,j

(ri × fij + rj × fji) =

=∑i

ri × Fi +1

2

∑i,j

(ri − rj)× fij︸︷︷︸=0

=∑i

ri × Fi =

=∑i

Mi =M

A teljes impulzusnyomaték megmaradásának tétele : Ha a rendszere ható ered® M er®-nyomaték nulla, akkor a rendszer J teljes impulzusnyomatéka állandó.Mivel az impulzus-nyomaték de�níciójában szerepelnek a részecskék helyzetvektorai, értéke általában függ akoordináta-rendszer kezd®pontjának megválasztásától. Olyan koordináta-rendszerekben,amelyeknek kezd®pontja a távolságra van egymástól, ugyanazon pont ri és r′i helyzet-vektorai között az ri = r′i + a kapcsolat áll fenn. Ezért

J =∑i

ri × pi =∑i

r′i × pi + a×∑i

pi ,

vagyJ = J′ + a×P .

Ebb®l a képletb®l látszik, hogy az impulzusmomentum csak abban az esetben nem függa koordináta-rendszer kezd®pontjának a megválasztásától, ha az anyagi rendszer mintegységes egész nyugalomban van (azaz P = 0). Ez a határozatlanság természetesen nemjelentkezik az impulzusnyomaték megmaradásának a tételében, mert zárt rendszerben azimpulzus szintén mozgásállandó.Vezessük le azt a képletet is, amely összekapcsolja az impulzusnyomatékot az egymáshozképest V sebességgel mozgó K és K ′ inerciarendszerben. Feltesszük, hogy a K és a K ′

koordináta-rendszer kezd®pontja az adott id®pillanatban egybeesik. Ekkor a részecskékhelyzetvektorai mindkét rendszerben azonosak, sebességük között pedig a vi = v′i + Vösszefüggés áll fenn. Ezért

J =∑i

miri × vi =∑i

miri × v′i +∑i

miri ×V .

A jobb oldalon lev® els® összeg a rendszer J′ impulzusnyomatéka a K ′ rendszerben; amásodik összegben vezessük be a tömegközéppont helyzetvektorát; ekkor:

J = J′ +MR×V . (6.7)

Ez a képlet adja meg az egyik vonatkoztatási rendszerr®l a másikra való áttéréskor azimpulzusnyomaték transzformációját, hasonlóan az impulzus és az energia transzformá-cióját leíró képletekhez.Ha K ′ az a vonatkoztatási rendszer, amelyben az adott anyagi rendszer mint egységesegész nyugalomban van, akkor Va tömegközéppont sebessége, és MV a rendszer teljesimpulzusa (K-hoz viszonyítva). Ekkor

J = J′ +R×P . (6.8)

23

Más szavakkal, a mechanikai rendszer impulzusnyomatéka két részb®l tehet® össze: azegyik a rendszer �saját impulzusnyomatéka� abban a vonatkoztatási rendszerben, amely-ben nyugalomban van, a másik a rendszernek mint egésznek a mozgásából adódó R×Pimpulzusnyomaték.

7. FEJEZET

Kényszerek

A legtöbb esetben a rendszer mozgása során eleget kell tegyen bizonyos geometriai vagykinematikai természet¶ feltételeknek, melyeket kötéseknek vagy kényszereknek nevezünk.Tekintsünk néhány példát:

1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejt®n vagy egy gömb bels® felületén mozog.

2. A hullámvasút vágányaira er®sített szerelvény vagy merev drótra f¶zött golyómozgása.

3. Egy elhanyagolható tömeg¶ merev rúddal összekötött két részecske mozgása.

4. Az 1. példában a lejt® vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyentengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet.

A fenti példákban a különböz® kötések sajátos tulajdonságokkal bíró ún. kényszerer®ketszülnek, melyek az elnevezésükhöz híven kényszerítik a rendszert a kötések tiszteletbentartására. Az 1. példában a kényszerer® szerepe az, hogy csak a felület menti mozgásttegye lehet®vé, azaz meggátolja a részecske áthatolását a felületen. Éppen ezért az er® afelületre és ugyanakkor a mozgás pályájára is mer®leges irányú. A kényszerekt®l függetlener®ket megkülönböztetés céljából szabader®knek nevezzük. Egyetlen részecske esetén amozgásegyenlet

mr = F+ F′ , (7.1)

ahol F a szabad- és F′ a kényszerer®t jelenti. A fenti geometriai kényszert a megfelel®felület

ϕ(x, y, z) = 0 (7.2)

típusú egyenlete határozza meg. Ennek di�erenciál- vagy más néven Pfa�-alakja:

∂ϕ

∂xdx+

∂ϕ

∂ydy +

∂ϕ

∂zdz = ∇ϕ · dr = 0 . (7.3)

A dr = (dx, dy, dz) vektort lehetséges elmozdulásnak nevezzük mivel kizárólag a kötésseláll összefüggésben és se a mozgásegyenletek se a kezdeti feltételek megszorításának nincsalávetve. A részecske valós elmozdulása egy a végtelen sok lehetséges elmozdulások közül.(7.2) a ϕ(r) skalárfüggvény egy szintfelületét határozza meg melyre a függvény gradiense

25

26 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK

mer®leges. Következésképpen a kényszerer® a ϕ gradiensének irányába kell mutasson.Tehát

F′ = λ∇ϕ . (7.4)

A (7.3) egyenletb®l nyilvánvaló az elmozdulás, azaz a pálya, és a kényszerer® ortogona-litása is. A kényszerer® által végzett munka a dr elmozdulás során

dW = F′ · dr = 0 ,

azaz az id®t®l független kényszerek esetén fellép® kényszerer®k nem végeznek munkát.Most már négy változó, x, y, z koordináták illetve λ, id®függését kell meghatároznunk.Ezt a (7.1) (3 egyenlet) és a (7.2) (1 egyenlet) azonos számú egyenletb®l meg is tehetjük.A 2. példában megjelen® kényszerer®k hatására a görbeként modellezhet® hullámvasútvágányát vagy a merev drótot nem hagyhatják el a rajtuk mozgó testek. Három dimen-zióban egy görbe felírható mint két, ϕ1 és ϕ2, felület metszésvonala, azaz a mozgás sorána

ϕ1(x, y, z) = 0 , ϕ2(x, y, z) = 0 (7.5)

egyenletek egyid®ben ki kell legyenek elégítve. A görbe tehát két kényszerrel egyenérték¶.Ha az elemi elmozdulás a görbe mentén dr és ez ortogonális mindkét függvény gradiensére,akkor azoknak tetsz®leges lineáris kombinációjára is mer®leges. A kényszerer® általánoskifejezése így

F′ = λ1∇ϕ1 + λ2∇ϕ2 .

Az így megjelent öt ismeretlenre � három koordináta, λ1 és λ2 � a (7.1) és (7.5) révénazonos számú egyenlet jut tehát a feladat megoldható.Ha rögzítjük két részecske közötti d távolságot, miként azt a 3. példában tesszük, akkora kötést a

ϕ(x1, y1, z1, x2, y2, z2) ≡ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − d2 = 0

hat dimenzióba ágyazott öt dimenziós �felület� egyenletével határozzuk meg. Ez esetbenmozgásegyenleteink az (x, y, z) három dimenzióra felírt (7.1) mozgásegyenleteknek az(x1, y1, z1, x2, y2, z2) hat dimenziós kiterjesztésének tekinthet®k, ahol

F′ = λ∇12ϕ(r1, r2) , ∇12 =

(∂

∂x1,∂

∂y1,∂

∂z1,∂

∂x2,∂

∂y2,∂

∂z2

).

A kötésnek a részecskék felcserélésével szembeni szimmetriája miatt belátható, hogy akét részecskére ható kényszerer®k � az F′ els® három illetve utolsó három komponense �bels® er®k, tehát azonos nagyságúak és ellentétes irányításúak.A 4. példa az 1. példa általánosítása id®t®l függ® kényszerekre. Ebben az esetben akényszert leíró egyenlet integrálformában

ϕ(x, y, z, t) = 0

alakú míg Pfa�-alakja

∂ϕ

∂xdx+

∂ϕ

∂ydy +

∂ϕ

∂zdz +

∂ϕ

∂tdt = ∇ϕ · dr+ ∂ϕ

∂tdt = 0 . (7.6)

Mivel a kényszerer® irányára vonatkozó követelmény ugyanaz, nevezetesen mer®leges kelllegyen a felületre, (7.4) továbbra is érvényes viszont a (7.6)-ban megjelen® utolsó tag

7.1. VIRTUÁLIS ELMOZDULÁS. VIRTUÁLIS MUNKA 27

miatt a kényszerer® és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. Ez annak tulaj-donítható, hogy az elmozdulásnak nem csak egy felület menti összetev®je van, úgy mintaz id®t®l független esetben, hanem ehhez még hozzáadódik a felülettel való együttmozgás-ból adódó összetev® is. Következésképpen id®t®l függ® kényszerek esetén a kényszerer®káltal végzett munka nem nulla.

7.1. Virtuális elmozdulás. Virtuális munka

Ilyen esetben szokásos a δr, ún. virtuális elmozdulás vektorral dolgozni, ami egy adottid®pillanatban a kényszerrel kompatibilis végtelen kis elmozdulást jelent (7.1. ábra). Úgyis mondhatjuk, hogy a rendszert egy másik, a kötés pillanatnyi állapotának megfelel®helyzetben képzeljük el. Ez végtelen nagy sebességgel történ® elmozdulásnak felel meg,azaz δt = 0. Mint ilyen, az id® tényez® szerepe megsz¶nik és a virtuális elmozduláskielégíti a

∂ϕ

∂xδx+

∂ϕ

∂yδy +

∂ϕ

∂zδz = ∇ϕ · δr = 0 (7.7)

egyenletet. A megfelel® virtuális munka pedig nulla.

δW = F′ · δr = 0 , (7.8)

Ha egy pontrendszer egyensúlyban van, akkor külön-külön minden egyes részecskére hatóer®k ered®je nulla:

Fi + F′i = 0 . (7.9)

A fenti er®ket megszorozva a δri virtuális elmozdulásokkal a kapott virtuális munkák isnullák lesznek. (7.8) alapján a teljes virtuális munka:∑

i

Fi · δri = 0 . (7.10)

7.1. ábra. Virtuális, δr, és lehetséges, dr, elmozdulások, adott ϕ(x, y, z, t) = 0 id®függ®kényszer esetén.

A gondolatmenet megfordításával kijelenthet® az alábbi elv:


Virtuális munka elve Egy pontrendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban,ha a szabader®k munkája bármely virtuális elmozdulásnál nulla

(7.10) el®nye az eredeti (7.9) egyenlettel szemben az, hogy elkerüli a kényszerer®k kiszá-mítását. Helyette a kényszerekkel összeegyeztethet® virtuális elmozdulások bevezetésétteszi szükségessé. Bizonyos esetekben ezek könnyen el®állíthatók. Ha például az egyesδri virtuális elmozdulások egymástól függetlenek, akkor (7.10) maga után vonja az egyesFi er®k elt¶nését is. Általában viszont a kényszerek kapcsolatot teremtenek a virtuáliselmozdulások között és ezért a δW = 0 feltételb®l nem következtethetünk arra, hogyFi = 0. Ilyenkor a (9) szakaszban tárgyaltak szerint kell eljárni.

7.2. A kényszerek általános alakja

Írjuk fel az eddig tanulmányozott kényszertípusokat általános Pfa� alakban egy N ré-szecskéb®l álló rendszerre s darab kötés esetén. Az x1, y1, z1, ..., xN , yN , zN koordinátákraa homogénabb x1, x2, ...x3N jelölést alkalmazva keresett a kényszerek:

3N∑j=1

aαjdxj + aα0dt = 0 , α = 1, s , (7.11)

ahol az aαj együtthatók az összes koordináta és az id® ismert folytonos függvényei.Amennyiben ezek felírhatók mint egy megfelel® ϕα(x1, x2, ...x3N , t) függvények parci-ális deriváltjai, miképpen azt a (7.3)-ben láttuk, akkor azt mondhajuk, hogy a kényszerholonom. Ez esetben a másodrend¶ deriváltakra fennáll, hogy

∂2ϕα∂xi∂xj

=∂2ϕα∂xj∂xi

tehát a holonom jelleg feltétele a

∂aαi∂xj

=∂aαj∂xi

egyenl®ség teljesülése.Amennyiben a holonom kényszerek nem függnek az id®t®l, azaz aα0 = 0, α = 1, s, akkora rendszert szkleronomnak, ellenkez® esetben reonomnak nevezzük.A virtuális δxj elmozdulásokra fennáll, hogy

3N∑j=1

aαjδxj = 0 , α = 1, s ,

és a megfelel® kényszer®kre, hogy

F ′j =

s∑α=1

λαaαj , j = 1, 3N

ahol az s darab λα ismeretlen multiplikátor a 3N darab koordinátával együtt meghatá-rozható a 3N mozgásegyenlet és s kötésb®l.

7.3. SZABADSÁGI FOKOK 29

7.3. Szabadsági fokok

A térben szabadon mozgó (kényszereknek nem kitett) tömegpont helyzetét azx, y és z független koordinátával jellemezzük. N részecske esetén a 3N darabx1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN koordinátákkal tudjuk egyértelm¶en meghatározni a rendszerállapotát az Euklideszi-térben. Egy asztallapon mozgo részecske leírásához két koordi-náta, a matematikai inga esetén egyetlen φ kitérési szög szükséges.

Egy rendszer szabadsági foka alatt azon koordináták minimális számát értjük melyekegyértelm¶en jellemzik a rendszer állapotát.

A kényszerek kapcsolatot teremtenek a koordináták között így ezek már nem tekinthet®kfüggetleneknek. Tételezzük fel, hogy az (7.2) kényszer esetén például létezik egy egyen-érték¶ z = z(x, y) típusú explicit felírási mód1. Ebben a formában nyilvánvaló, hogy akényszer révén elégséges feladatunkat csak két koordináta függvényében felírni és megol-dani. A harmadik koordináta bármikor származtatható az el®bbi kett®b®l. Tehát a kötéscsökkentette egyel a szabadsági fokok számát. Úgy is mondhatjuk, hogy az eredetilegháromdimenziós rendszerünk egy két dimenziós altérben mozog. Görbe esetén két kö-tésünk, azaz két egyenletünk van � lásd az (7.5) egyenleteket � tehát elvben úgy az ymint a z koordináták kiküszöbölhet®k a mozgásegyenletekb®l és az x koordinátára kapottmegoldásból a teljes háromdimenziós mozgás megadható. Ez esetben a szabadsági fokokszáma egy. Általánosítva az el®bbieket a következ®t állapíthatjuk meg

Minden kötés eggyel csökkenti a szabadsági fokok számát. s darab kötésnek alávetettN részecskéb®l álló pontrendszer szabadsági fokainak a száma

f = 3N − s . (7.12)

Egy merev testet egy olyan pontrendszernek tekinthetünk, melyben bármely pontpárrelatív távolsága állandó, azaz

(ri − rj)2 − dij = 0 , i, j = 1, N

ahol i és j indexek az összes pontok halmazán futnak végig. Az a tény, hogy azN(N − 1)/2 kötések száma meghaladja a 3N értéket azzal magyarázható, hogy ezeka kötések nem függetlenek. Tudnillik, az a tény, hogy a a fenti pontrendszerben egyadott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezked® ponttólrögzített, automatikusan maga után vonja ugyanezt a tulajdonságot tetsz®leges má-sik három ponthármas esetén is. A rendszer szabadsági fokainak számát úgy szá-míthatjuk ki, hogy gondolatban egyenként visszünk be újabb és újabb részecskéket

1A függvény típusának és értelmezési tartományának függvényében létezik vagy sem megfelel® explicit

alak


és minden lépésben könyveljük a szabadsági fokok és a független kötések számát:Részecske Szabadsági fokok Kötések

1. 3 02. 3 1 (távolság az els® részecskét®l)3. 3 2 (távolság az els® két részecskét®l)

i > 3. 3 3 (távolság korábbi három részecskét®l)Összesen tehát s = 1 + 2 + 3(N − 3) = 3N − 6 kötésünk van. Következésképpen:

Egy merev test szabadsági fokainak száma hat.

7.4. Általános koordináták

A gyakorlatban a kényszerek következtében lecsökkent dimenzionalitású rendszer moz-gását nem a fenti eljárás szerint tanulmányozzuk. Az (7.2) implicit egyenlet általábannem írható át explicit formába, de ha lehetne akkor se sokat segítene mivel a kényszer-er®k kiszámítása meglehet®sen bonyodalmas lenne. Viszont mindig van egy egyenérték¶parametrikus felírása is a (holonom) kényszerfelületnek:

x = x(q1, q2)

y = y(q1, q2)

z = z(q1, q2) .

q1 és q2 ún. általános koordináták.

Példa

Egy R sugarú gömbfelületen való mozgás esetén a kényszerfelület egyenlete:

ϕ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 −R2 = 0 .

A két általános koordináta a q1 = θ és q2 = φ szögváltozók lehetnek. Ebben az esetbena kényszert úgy is felírhatjuk, mint a

x = x(r, θ, φ) = r sin θ cosφ

y = y(r, θ, φ) = r sin θ sinφ

z = z(r, θ, φ) = r cos θ .

koordinátatranszformációt követ®

ψ(r, θ, φ) = r −R = 0 , tehát r = állandó .

kikötést.

7.4. ÁLTALÁNOS KOORDINÁTÁK 31

Példa

Egy l hosszúságú matematikai inga esetén az

x = 0 , y2 + z2 = l2

kötések vannak érvényben. Áttérve az ρ, φ, x henger koordinátákra úgy, hogy a hengeralkotója mer®leges a mozgás síkjára, azaz

x = x ,

y = ρ sinφ ,

z = ρ cosφ ,

a fenti kötések azx = 0 , ρ = l

alakot öltik.

Szemben az el®bbi két példával, nem minden holonom feltétel esetén áll módunkban olyanx1, x2, . . . , x3N → q1, q2, . . . q3N transzformációt végezni, melyben a k darab kötést meg-felel® számú q koordináta állandósága hivatott biztosítani. Ha a kötések nem holonómok,akkor a kötések még csak nem is vezetnek a koordináták számának csökkenéséhez.Általános koordinátákat nem csak akkor használunk, ha segítségükkel kötések egyszer¶b-ben kifejezhet®ek, hanem valahányszor a feladat sajátosságai révén a számítások könnyí-tését eredményezik. Ha például a feladatban megjelen® er®terek és/vagy a kezdeti ésperemfeltételek rendelkeznek valamely egyszer¶, például szférikus, hengerszimmetrikusvagy eltolással szembeni, szimmetriával, akkor megfelel® koordinátatranszformációkat kö-vet®en a nem triviális egyenletek száma csökken vagy megoldásuk egyszer¶södik. Errepélda a centrális er®térben való kényszermentes mozgás esete. (Lásd a centrális er®térrevonatkozó fejezetet a [4] jegyzetben)Vizsgáljuk meg, hogy miként módosulnak a korábban Descartes-i koordináta rendszerbenfelírt �zikai mennyiségek a koordinátatranszformációkat követ®en. Legyen a transzformá-ció

ri = ri(q1, q2, . . . , qf , t) , i = 1, N (7.13)

vagy a jelölés egyszer¶sége kedvéért

xi = xi(q, t) , i = 1, 3N ,q = (q1, q2, . . . , qf ) (7.14)

ahol f ≤ 3N . Használjuk azt az egyezményt, hogy a részecskék tömegeire vonatkozó mi

jelölésben az index, a koordinátákhoz hasonlóan, egy és 3N között változik, tehát fennáll,hogy m3k−2 = m3k−1 = m3k , k = 1, N .Egy tetsz®leges F (q, q, t) függvény id® szerinti teljes deriváltja:

d

dtF (q, q, t) =

∂F

∂qrqr +

∂F

∂qrqr +

∂F

∂t.


Az F = F (q, t) sajátos esetben, azaz mikor nincs sebességfüggés:

d

dtF (q, t) =

∂F

∂qrqr +

∂F

∂t. (7.15)

A fenti egyenletb®l következik az:

d

dt

∂

∂qsF (q, t) =

∂

∂qs

d

dtF (q, t)

tulajdonság, azaz a kétféle derivált sorrendjének felcserélhet®sége.(7.14) és (7.15) alapján a sebesség:

xi =dxidt

= qr∂xi∂qr

+∂xi∂t

. (7.16)

A mozgási energia:

T =∑i

mi

2x2i =

=∑i

mi

[∂xi∂qr

∂xi∂qs

qr qs + 2∂xi∂t

∂xi∂qr

qr +

(∂xi∂t

)2]

= T2 + T1 + T0 ,

(7.17)

ahol

T2 =1

2αrsqr qs (7.18)

másodrend¶en homogén (kvadratikus) kifejezése az általános sebességeknek,

T1 = βr qr , (7.19)

els®rend¶en homogén (lineáris) kifejezése az általános sebességeknek, míg

T0 = γ ,

egy nemnegatív függvénye az általánosított koordinátáknak és az id®nek. Mivel αrs, βrés γ az általános koordináták és id® függvényei, ezért a mozgási energia egy T =T (q, q, t),q = (q1, q2, . . . , qf ) típusú függvény lesz. T1 és T0 csak nem elt¶n® ∂xi/∂tesetén jelenik meg. Következésképpen

Id®t®l független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus azáltalános sebességekben.

8. FEJEZET

A D'Alembert elv

A 7.1 szakaszban megfogalmazott virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmaz-ható. Hasznosságát tekintve, érdemes kiterjeszteni dinamikai rendszerekre. Az i. részecskemozgásegyenlete:

pi = Fi + F′i ,

ahol Fi a szabader®k és F′i a kényszerer®k ered®je. A fenti egyenletet átírhatjuk úgy,hogy

Fi + F′i − pi = 0 ,

ahol −pi tag úgy tekinthet® mint egy tehetetlenségi er®, ami a többi er®höz hasonló mó-don ad járulékot az ered® er®höz. Ezzel a dinamika második törvényének egy alternatívmegfogalmazásához jutunk. Eszerint egy testre ható er®k ered®je mindig nulla. Kihasz-nálva az F′i kényszerer®k és a megfelel® δri virtuális elmozdulások ortogonalitását a (7.10)virtuális munka elve az ∑

i

(Fi − pi)δri = 0 (8.1)

alakot ölti. Ez az úgynevezett D'Alembert elv.

33

34 FEJEZET 8. A D'ALEMBERT ELV

9. FEJEZET

Lagrange egyenletek

Úgy a (7.10) virtuális munka mint a (8.1) D'Alembert-elv gyakorlati alkalmazását az atény nehezíti meg, hogy a δri virtuális elmozdulások egymástól nem függetlenek. Alkal-mazva az egységesített jelölést az indexekre a (8.1) egyenlet:∑

i

(Fi − pi)δxi = 0 , i = 1, 3N . (9.1)

3N darab in�nitezimális δxi mennyiség között s kötés teremt kapcsolatot. Tételezzük fel,hogy a kényszerek holonomok, tehát f = 3N − s darab független változóval jellemezhet-jük a rendszert. Legyenek ezek a q1, q2, . . . , qf általános koordináták, és kapcsolatukat aDescartes-i koordinátákkal a (7.14) koordinátatranszformációk adják meg. A δxi virtuáliselmozdulásokat is kifejezhetjük általános koordinátákkal:

δxi =∂xi∂qr

δqr , r = 1, f

ahol alkalmaztuk az összegzési konvenciót. A virtuális munka

δW =∑i

Fiδxi = Fi∂xi∂qr

δqr = Qrδqr (9.2)

ahol

Qr =∑i

Fi∂xi∂qr

, r = 1, f

az ún. általános er®k.A statikus rendszerekre alkalmazott virtuális munka elve a qr általános koordináták füg-getlensége miatt az általános er®k elt¶nését azaz a

Qr = 0

egyenl®séget vonja maga után.Az (9.1) egyenletb®l a D'Alembert elv megfelel® egyenlete:∑

i

pi∂xi∂qr−Qr = 0 . (9.3)

35

36 FEJEZET 9. LAGRANGE EGYENLETEK

A fenti egyenletben a Descartes-i és általános koordináták egyszerre vannak jelen, amihasználhatatlanná teszi. Próbáljuk meg kizárólag az általános koordináták segítségévelfelírni. (7.16) mindkét oldalát di�erenciálva qr szerint kapjuk, hogy:

∂xi∂qr

=∂xi∂qr

. (9.4)

pi∂xi∂qr

=d

dt

(pi∂xi∂qr

)− pi

d

dt

(∂xi∂qr

)(9.5)

d

dt

(pi∂xi∂qr

)=

d

dt

(mixi

∂xi∂qr

)=

d

dt

∂

∂qr

(mi

2x2i

)(9.6)

pid

dt

(∂xi∂qr

)= pi

∂

∂qr

d

dtxi = mixi

∂xi∂qr

=∂

∂qr

(mi

2x2i

)(9.7)

Behelyettesítve (9.6)-t és (9.7)-t az (9.5)-ba, az utóbbit pedig (9.3)-ba egy nagy jelent®-ség¶ egyenlethez jutunk:

Lagrange-féle másodfajú egyenlet

d

dt

(∂T

∂qr

)− ∂T

∂qr= Qr . r = 1, f (9.8)

Figyelembe véve a mozgási energiára megállapított (7.17), (7.18) és (7.19) egyenleteketa Lagrange-egyenletek másodrend¶ di�erenciálegyenletei a qr(t) függvényeknek. Ezértaz egyértelm¶ megoldáshoz szükséges úgy a koordinátákra mint a sebességekre kezdetifeltételeket szabni. Ezek q(t0) = q0 illetve q(t0) = q0 alakúak.Bár a virtuális elmozdulás fogalmára alapozva indultunk el, az eredményben ez mégse je-lent meg explicit módon. Sikerült általánosított koordinátákkal olyan mozgásegyenleteketfelírni, melyekb®l gyakorlatilag teljesen ki lettek küszöbölve a kényszerek.Az 4 szakaszban tárgyaltuk a munka, er® és potenciális energia fogalmait és a köztükfennálló kapcsolatokat. Alkalmazzuk az itt tett megállapításokat a δqr virtuális elmozdu-lás, δW virtuális munka és a Qr általánosított er® esetére. Feltételezzük, hogy az er® egyolyan �virtuálisan konzervatív� er®térnek tulajdonítható, melyet az U(q, t) potenciálisenergia jellemez1. A virtuális munka így:

δW = Qrδqr = −δU = − ∂U∂qr

δqr .

tetsz®leges δqr-re, tehát

Qr = −∂U

∂qr. (9.9)

Behelyettesítve a konzervatív általános er® (9.9) kifejezését a (9.8) Lagrange-egyenletbe,az utóbbi a következ® alakot ölti:

1Konzervatív abban az értelemben, hogy a tér által végzett munka zárt görbe mentén nulla, amennyi-

ben végtelenül rövid id® alatt járjuk be azt.

37

Lagrange egyenlet

d

dt

(∂L

∂qr

)− ∂L

∂qr= 0 , r = 1, f ahol L(q, q, t) = T (q, q, t)− U(q, t) .

(9.10)

Az L = T − U függvényt Lagrange-függvénynek nevezzük. Hangsúlyozzuk, hogy a moz-gásegyenletek fenti alakja konzervatív kölcsönhatás és holonom kötések esetén érvényes.

38 FEJEZET 9. LAGRANGE EGYENLETEK

10. FEJEZET

Minimális hatás elve

A következ®kben a (9.10) Lagrange-egyenletet olyan formába írjuk át, hogy a virtuális el-mozdulások tényleges szerephez jussanak és ezáltal egy gyökeresen más rálátást nyerjünkNewton második törvényére. A δq(t) virtuális elmozdulást minden id®pontban másnak,azaz id®függ®nek vehetjük. Úgy tekinthet®, mint a q(t) valós pálya és a q(t) + δq(t)virtuális pályák közötti eltérés. Következésképpen a valós pályával szemben támasztottsimasági követelményt kiterjeszthetjük a virtuális elmozdulásra, azaz legyenek folyto-nosan deriválhatók. Ennek egyik következménye, hogy értelmezhet® a q sebességek δqvirtuális változása és fennáll, hogy:

d

dtδqr(t) = δqr(t) , (10.1)

azaz a virtuális elmozdulás id® szerinti deriváltja megegyezik a sebességben történ® vir-tuális változással. A továbbiakban nem tüntetjük fel a qr és származtatott mennyiségekid®függését.Egy tetsz®leges f(q, q, t) mennyiség megfelel® virtuális változása els®rendben:

δf(q, q, t) = f(q+ δq, q+ δq, t)− f(q, q, t) =

=∂f

∂qrδqr +

∂f

∂qrδqr =

(10.1)→ =∂f

∂qrδqr +

d

dt

(∂f

∂qrδqr

)− d

dt

(∂f

∂qr

)δqr =

=d

dt

(∂f

∂qrδqr

)+

[∂f

∂qr− d

dt

(∂f

∂qr

)]δqr

Vezessük be a

I[q; t0, t1] =

∫ t1

t0

f(q, q, t)dt

integráltat. I függvénye a t0 és t1 integrálási határoknak és funkcionálja a q(t) pályának.Ez azt jelenti, hogy minden q0 = q(t0) és q1 = q(t1) pontot összeköt® pályához azf = 3N − s dimenziós térben egyértelm¶en megfeleltet egy valós értéket. Egy δq(t)

39

40 FEJEZET 10. MINIMÁLIS HATÁS ELVE

virtuális elmozdulás els®rendben egy

δI[q; t0, t1] = I[q+ δq; t0, t1]− I[q; t0, t1] =

=

∫ t1

t0

[f(q+ δq, q+ δq, t)− f(q, q, t)]dt =

=

∫ t1

t0

δf(q, q, t) =

=∂f

∂qrδqr

∣∣∣∣t1t0

+

∫ t1

t0

[∂f

∂qr− d

dt

(∂f

∂qr

)]δqrdt

változást okoz az I értékében. Tekintsük a virtuális pályák egy olyan osztályát, melybena q0 és q1 végpontok rögzítettek, azaz formálisan: δq0 = δq1 = 0. Ebben az esetben afenti egyenlet jobboldalán megjelen® els® tag elt¶nik és:

δI[q; t0, t1] =

∫ t1

t0

[∂f

∂qr− d

dt

(∂f

∂qr

)]δqrdt

Mivel δq(t) tetsz®leges függvény, ezért egy ide vonatkozó matematikai tétel értelmébenaz integrál elt¶nésének szükséges és elégséges feltétele a

∂f

∂qr− d

dt

(∂f

∂qr

)= 0 (10.2)

egyenlet teljesülése1. A fenti összefüggés teljesülése esetén az I[q; t0, t1] els®rendben nemváltozik, azaz a funkcionál stacionáriusnak mondható q(t)-ben. A stacionaritás típusá-nak � minimum, maximum vagy áthajlás � megállapítása további tanulmányozást teszszükségessé. Err®l a következ® fejezetben esik majd szó.Próbáljuk meg ezt az eredményt a Lagrange-féle mozgásegyenletek esetén hasznosítani.A mechanikai rendszerek L(q, q, t) Lagrange-függvényére megállapított (9.10) mozgás-egyenletek azonosak a (10.2) egyenletekkel. Következésképpen a rendszer mozgását azalábbi elv formájában is megfogalmazhatjuk:

1Tétel: Ha egy f(x) folytonos valós függvényre fennáll, hogy∫ x1

x0

f(x)η(x)dx = 0

minden olyan η(x) folytonosan di�erenciálható valós függvényre, mely kielégíti a η(x0) = η(x1) = 0peremfeltételeket, akkor az f(x) függvény azonosan nulla az [x0, x1] szakaszon. A fenti tétel kiterjeszthet®

többváltozós függvényekre. Ez esetben, ha

m∑i=1

∫ x1

x0

fi(x)ηi(x)dx = 0 , ηi(x0) = ηi(x1) = 0 ,

és η1(x), η2(x), . . . ηm(x) egymástól függetlenek, akkor fennáll, hogy

f1(x) = f2(x) = · · · = fm(x) = 0 , x ∈ [x0, x1]

41

Minimális hatás elve) Egy f szabadsági fokú rendszer egy olyan q(t) =(q1(t), q2(t), . . . , qf (t)) pályán mozog a t0 és t1 id®pontok között a q(t0) pontból aq(t1) pontba, hogy az

S[q; t0, t1] =

∫ t1

t0

L(q, q, t)dt (10.3)

hatásfüggvény, vagy másnéven hatásintegrál, minimális.

A fenti, Hamilton-elvként is ismert, elvet Newton általános érvény¶ mozgástörvényéb®lvezettük le olyan konzervatív rendszerekre melyek kizárólag holonom kötéseknek van ki-téve. Mint ilyen kevésbé általános érvény¶ mint a Newton második törvényét képez®(2.1) másodrend¶ di�erenciálegyenlet. Ennek ellenére úgy van tekintve, mint az anyagmindenféle megjelenési formájának id®beli evolúcióját irányító univerzális elv. A látszó-lagos ellentmondás annak tulajdonítható, hogy az elv az elemi részecskék (terek) és ezekkölcsönhatásainak leírására érvényes. Ezen az alapszinten is értelmezettek a koordináta,impulzus és energia fogalmai melyek a Hamilton-elv �épít®kockái� Az anyag összetettebbformái és ezek makroszkópikus viselkedése

42 FEJEZET 10. MINIMÁLIS HATÁS ELVE

SZAKIRODALOM

[1] Landau L.D., Lifsitz E.M.: Elméleti �zika I, Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest(1988)

[2] Goldstein H., Classical mechanics, Addison-Wesley (1980)

[3] Nagy K.: Elméleti mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest (1989)

[4] Lázár Zs.I., Lázár J.: Az elméleti mechanika alapjai, egyetemi jegyzet (2011)

[5] Fenyman R.P., Leighton R.B., Sands M.: Mai �zika 7, M¶szaki Könyvkiadó, Buda-pest (1970)

[6] Fényes I.: Modern Fizikai Kisenciklopédia, Gondolat Könyvkiadó Budapest (1971)

[7] Gombás P., Kisdi D.: Bevezetés az Elméleti �zikába, Akadémia Könyvkiadó Buda-pest (1971)

bevezetés az elméleti zikába -...

Documents