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Les oscillations mécaniques libres Série physique 11

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A- Rappel :

A1- Oscillations mécaniques libres non amorties :

Équation différentielle

Le solide n’est pas soumis à une force de frottement et le ressort est à spires non jointives et de masse négligeable. Le solide, ayant une élongation x, est en mouvement.

Système {solide}

B.F : P,T et R

R.F.D: ...... ....... ....... ........

Par projection sur l 'axe(x ' x)

...... ....... ....... ........

................

.........

....... .............. .......

....... .......

Équation différentielle des oscillations électriques libres non amorties de pulsation propre 0 tel que 2

0

......

......et

de période propre

0

2 .....T 2

...... ......

Solution de l’équation différentielle

L’équation différentielle précédente a pour solution : max 0 xx(t) X sin( t )

On peut avoir de même l’expression de max 0 vdx

v(t) V sin( t )dt

avec :

max 0 max

v x

V X

2

{

Remarque :

maxx X ; v ..... c.à.d lorsque le solide atteint l’une de ses positions extrémales, sa vitesse s’annule.

maxv V ; x ..... c.à.d lorsque le solide passe par sa position d’équilibre, sa vitesse est maximale.

max

max

v V si le solidepassepar saposition d'équilibre en se dirigeant dansle sens positif (x(t) )

v V si le solide passe par saposition d'équilibre en se dirigeant dansle sens négatif (x(t) ){

Conservation de l’énergie totale de l’oscillateur :

E = Ep + Ec. avec Ep énergie potentielle élastique du système :{solide + ressort} et EC énergie cinétique du solide.

... ...

E ...... .......... ...

dE ....... .......

.......... ..........dt ....... .......

= ……….. + ………

=V(……… + ……….) = …….

Remarque :

R T

O

x x’ i P

x

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maxx X ; v 0 ...

E ...... 0...

d’où ...

E .........

maxv V ; x 0 ...

E 0 .........

d’où ...

E .........

Graphes des énergies

A2- Oscillations mécaniques libres amorties :

Équation différentielle :

Dans cette partie, le solide est soumis à une force de frottement du type visqueux (appliquée par un fluide). Cette force est exercée par le liquide et elle

a pour expression f hv avec h, constante positive : coefficient de frottement (h est en Kg.s-1)

Système {solide }

B.F :P;R ; T et f

R.F.D :..... ..... ..... ..... .....

Pr ojection sur laxe x ' x:

..... .... .... .... .....

........... ...... .....

......

donc : ..... ......

..... ..... ....... 0..... .....

.

Influence de l’amortissement

On répète la même expérience en augmentant la valeur du coefficient d’amortissement h, on obtient les graphes suivants : Pour un amortissement faible, on obtient le régime pseudopériodique, en augmentant l’amortissement (la valeur de h) :

- Le nombre d’oscillations diminue. - Le pseudo période augmente. - On passe du régime pseudopériodique

au régime apériodique.

Avec x=/2

0

E=Epmax

=Ecmax

Ep

Ec

E

E(J)

t(s)

v(m.s-1)

0

Ep

Ec

E

E=Epmax

=Ecmax

E(J)

0

v2(A)

Ep

Ec

E

i

O x x’

Liquide

amortisseur

t(s)

x(m)

Régime pseudopériodique h=h1

Régime pseudopériodique h=h2 >h1

Régime apériodique h=h3 >h2

106





Non conservation de l’énergie totale du système :{solide + ressort} :

2 2dE 1 d(x ) 1 d(v )K m

dt 2 dt 2 dt

dE 1 ..... 1 ......

K..... m......dt 2 ..... 2 .....

or dx dv

v et adt dt

donc dE dE

...... ...... ; v(..........)dt dt

D’après l’équation différentielle Kx ma hv

2dEv( ......) hv 0

dt

D’où l’énergie totale du système diminue au cours du temps à cause de l’énergie dissipée par les frottements.

B- Applications directes :

Exercice 1 :

Le pendule élastique horizontal de la figure 1 est constitué par un solide (S) de masse m=0,2 Kg soudé à l’une des extrémités d’un ressort (R ) à spires non jointives de masse négligeable et de constante de raideur K, l’autre extrémité est attaché à un support fixe. A l’équilibre, le centre d’inertie (G) du solide (S) coïncide avec l’origine O d’un

repère espace horizontal (O, i ). A partir du point O, on écarte le solide (S) vers un point A d’abscisse xA et à la date t=0 s, on l’abandonne à lui-même sans vitesse initiale. Au cours de son mouvement, le solide (S) se déplace sans frottement et son centre d’inertie (G) est repéré par l’élongation OG=x(t). Un système d’acquisition de données, enregistre les variations de l’élongation x au cours du temps (Voir figure 2).

1- Établir l’équation différentielle de mouvement du solide (S). 2- En utilisant le graphe :

a- Préciser la nature de mouvement de (S). b- Déterminer l’abscisse initiale xA du solide (S). Dans quel sens, débute le mouvement du solide (S) ? c- Déterminer la période et la pulsation propre du mouvement. Déduire la constante de raideur K du ressort

3- Ecrire la loi horaire x=f(t) de mouvement du solide. Déduire l’expression de la vitesse du mouvement en fonction du temps. 4- L’énergie cinétique du solide varie au cours du temps selon une fonction sinusoïdale de période T a- Etablir l’expression de EC en fonction du temps. b- Donner la valeur de T.

5- Montrer que l’énergie mécanique du système ={solide + ressort} est constante. Exercice 2 : Un ressort, de constante de raideur k , est enfilé sur une tige horizontale . L'une des extrémités du ressort est fixée, l'autre est attachée à un solide (S) de masse m = 0,5 kg pouvant coulisser sur la tige. Le solide (S) est

soumis à une force de frottement de la forme : f

= -h v

( h 0) .

1°) L'abscisse x du solide (S) dans le repère (0, i

) vérifie l'équation différentielle suivante :

2 2

2

dt

xd+ 8

dt

dx + 200x = 0

a- Établir l’équation différentielle de mouvement du solide (S). b- Déterminer la constante de raideur k et le coefficient de frottement h .

Fig.5 i

O

(S) (R)

x Fig 1

107





2°) On écarte (S) de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale à l'origine des dates, l'abscisse x varie selon la courbe ci-contre . a) Déterminer graphiquement la pseudo-période T des oscillations . b) Calculer l'énergie mécanique initiale El de l'oscillateur . c) Calculer l'énergie mécanique de l'oscillateur à t = T . d) Déterminer le travail de la force de frottement entre les instants tl = 0 et t2 = T.

3°) On refait l’expérience précédente quatre fois de suite pour 4 valeurs différentes de h telles que : h1 h2 h3 h4 . a) On a représenté ci-dessous , dans un ordre quelconque et à la même échelle , les variations de x(t) obtenues .

A quelle valeur hi ( i = 1,2,3,4 ) correspond chaque diagramme ? Nommer les différents types de mouvement observés sachant que l’un de ces diagrammes , que l’on précisera, correspond au retour le plus rapide du solide (S) vers son état d’équilibre ? b) Comparer l’énergie dissipée par les forces de frottement entre l’instant initial t0=0s et l’instant de l’arrêt du solide dans chacun des cas précédents.

C- Exercices de synthèse :

Exercice 1 : Un solide (S) de masse m est attaché à l'une des extrémités d'un ressort horizontal parfaitement élastique , de constante de raideur k et de masse négligeable devant celle du solide (S) . L’autre extrémité du ressort est fixe. On écarte le solide (S) de sa position d'équilibre de x0 à un instant qu'on prend comme origine des dates , puis on l’abandonne sans vitesse . On néglige les

frottements et on étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen ( O , i ) d'origine O , la position du centre d'inertie de (S) à l'équilibre et d'axe ox horizontal (fig.1) .

1°) a) A une date t quelconque , le centre d'inertie G de (S) a une élongation x et sa vitesse instantanée est v . Etablir l'expression de l'énergie mécanique E du système { solide (S) , ressort } en fonction de x , v , k et m . b) Montrer que cette énergie 'mécanique E est constante. Exprimer sa valeur en fonction de k et x0 . c) En déduire que le mouvement de (S) es rectiligne sinusoïdal . 2) A l'aide d'un dispositif approprié, on mesure la vitesse instantanée v du solide (S) pour différentes élongations x du centre d'inertie G de (S) . Les résultats des mesures ont permis de tracer la courbe v2 = f (x2) ( fig. 2 ) . a) Justifier théoriquement l'allure de la courbe en établissant l'expression de v2 . b) En déduire les valeurs de :

- la pulsation 0 et l'amplitude x0 du mouvement de (S) , c) Etablir l’équation horaire du mouvement. d) Sachant que l’énergie mécanique E du système est égale à 0,0625 J , calculer les valeurs de la constante de raideur k du ressort et la masse m du Exercice 2 : Partie A : Un solide (S) de masse m est attaché à l’une des extrémités d’un ressort horizontal, parfaitement élastique, de constante de raideur K et de masse négligeable devant celle du solide, l’autre extrémité du ressort étant fixe

0 0 0 0

x x’

O Fig1

Fig.5 i

O

(S) (R)

x Fig 1

57

108





(fig1). On étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen (o, i ) horizontal, d’origine O coïncidant avec la position d’équilibre du centre d’inertie du solide. On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre dans le sens positif d’une distance Xm=3cm puis on le lâche sans vitesse. 1- a- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au solide (S), montrer

que son mouvement est rectiligne sinusoïdal, de pulsation 0 qu’on donnera son expression en fonction de K et m.

b- À un instant t quelconque, le centre d’inertie G de (S) a une élongation x et sa vitesse instantanée est v. établir l’expression de l’énergie mécanique E du système S0={(S)+ressort} en fonction de x, v, K et m.

c- Montrer que l’énergie E est constante puis donner son expression en fonction de K et Xm.

2- La solution de l’équation différentielle est x(t)=Xmsin(0t + ), déterminer

l’expression de l’énergie potentielle S0 en fonction K, Xm, 0, t et . Donner l’expression de sa période en fonction de K et m.

3- On donne la représentation graphique de l’énergie potentielle Ep (figure 2)en fonction du temps, déduire :

a- La constante de raideur K du ressort et la période propre T0. Déduire la masse m du solide.

La loi horaire de mouvement du solide S. b- La loi horaire de mouvement du solide S. Partie B Dans cette partie, le solide (S) est soumis à une force de frottement

visqueux f hv ou h est une constante positive.

1- Établir l’équation différentielle de mouvement du solide (S) régissant les variations de son élongation x(t).

2- Montrer que l’énergie totale du système S0={(S)+ressort} n’est pas conservée. 3- À l’aide d’un dispositif approprié, on a enregistré les variations de l’élongation en fonction du temps ; on a trouvé le graphe de la figure 3 :

Calculer l’énergie dissipée par la force de frottement entre les instants t1 et t2. Exercice 3 : Partie A : Un pendule élastique horizontal est constitué par un solide (S) de masse m=500 g, attaché à l’une des extrémités d’un ressort horizontal, parfaitement élastique, de constante de raideur K et de masse négligeable devant celle du solide, l’autre extrémité du ressort étant fixe (fig1). On néglige tout type de frottement et on étudie le mouvement du solide (S) relativement à un

repère galiléen (o, i ) horizontal, d’origine O coïncidant avec la position d’équilibre du centre d’inertie du solide. On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre d’une distance Xm puis on le lâche sans vitesse. Lorsque le solide passe par sa position d’abscisse x0 (x0≠0) avec une vitesse initiale v0 (v0≠0) en se dirigeant dans le sens positif, on déclenche le chronomètre (t=0 s) pour commencer l’étude du movement.

1- a- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au solide (S), établir l’équation différentielle de son mouvement. Quelle est la nature de ce mouvement ?

b- Montrer que x(t)=Xmsin(0t + x) est une solution de l’équation

différentielle précédente à condition que la pulsation 0 vérifie une expression qu’on donnera en fonction de K et m.

c- Déduire l’expression de la vitesse du solide en fonction de Xm , 0 , t

et x. d- Donner l’expression de la période propre T0 des oscillations du solide (S).

2- Montrer que x0 et v0 vérifient la relation 02x0

2 + v02 =Xm

2 3- Un ordinateur muni d’une interface et d’un capteur a enregistré les variations de l’énergie cinétique du solide

(S) au cours du temps t, le graphe obtenu sur l’écran de l’ordinateur est donné par la figure 2.

Fig.5 i

O

(S) (R)

x Fig 1

58

109





a- Donner l’expression de l’énergie mécanique E du système S0={(S)+ressort} en fonction de x, v, K et m avec x élongation du solide (S) et v sa vitesse à un instant t quelconque.

b- Montrer que l’énergie E est constante puis donner son expression en fonction de m et Vm ; Vm amplitude de la vitesse v du solide.

c- Établir l’expression de l’énergie cinétique du solide (S) en fonction m, Vm, 0, t et . Montrer qu’on peut l’écrire

sous la forme : Ec= max

2

CE (1 + cos(20t + 2x)).

d- En utilisant le graphe, trouver : * L’amplitude de la vitesse Vm, la période propre T0. En déduire Xm et la phase

initiale x de l’élongation x(t). e- Écrire la loi horaire du mouvement. f- Calculer vitesse initiale v0. Dans quel sens débute le mouvement du solide (S) ? g- Calculer la constante de raideur K du ressort. Partie B : Dans cette partie, le solide (S) est soumis à une force de frottement visqueux f=-hv ou h est une constante positive h (h=0,2 u.s.i).

1- Donner le nom et l’unité de h. 2- Établir l’équation différentielle du mouvement du solide (S) régissant

les variations de son élongation x(t). 3- Montrer que l’énergie totale du système S0={(S)+ressort} diminue au cours du temps.

4- À l’aide d’un dispositif approprié, on a enregistré les variations de la vitesse du solide en fonction du temps ; on a trouvé le graphe de la figure 3 : Calculer l’énergie dissipée par la force de frottement entre les instants t1 et t2.

Exercice 1 : Partie A : Un solide (S) de masse m=100g est attaché à l’une des extrémités d’un ressort horizontal, parfaitement élastique, de constante de raideur K et de masse négligeable devant celle du solide, l’autre extrémité du ressort étant fixe

(fig1). On étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen (o,oi )

horizontal, d’origine O coïncidant avec la position d’équilibre du centre d’inertie du solide. On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre dans le sens négatif d’une distance x0 puis à un instant pris comme origine du temps on le lance avec une vitesse initiale dans le sens positif. Au cours de son mouvement le solide (S) n’est soumis à aucune force de frottement.

1- a- Établir l’équation différentielle régissant les variations de l’élongation x(t). b- Sachant que la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme

x(t)=Xmsin(0t + x), déterminer l’expression de 0.

c- Montrer que : 2 2 2 2 2

0 0 mx v X .

2- On donne le graphe représentant l’évolution au cours du temps de la vitesse et de l’accélération du centre d’inertie du solide (S).(figure 2) a- Identifier en le justifiant les courbes (C1) et (C2).

b- Déterminer à partir du graphe les expressions de l’accélération a(t) et de la vitesse v(t).

c- En déduire la valeur de la raideur K du ressort,

l’amplitude des élongations Xm et la phase initiale x. 3- L’énergie totale du système {solide+ressort} est E= Ec+Ep.

a- Montrer que l’énergie totale est constante et l’exprimer en fonction de K et Xm.

b- Calculer sa valeur. c- Établir l’expression de l’énergie potentielle Ep du

système {solide+ressort} en fonction de K, Xm, 0, t et x.

d- Représenter Ep(t). On donne l’échelle suivante :

10-2 J 1 cm et 0,05 s 4 cm

Fig.5 i

O

(S) (R)

x Fig 1

110





Partie B :

Dans cette partie, le solide (S) est soumis à une force de frottement de type visqueux f hv ou h est une

constante positive. 1- Établir l’équation différentielle de mouvement du solide (S) régissant les variations de son élongation x(t). 2- Montrer que l’énergie totale du système S0={(S)+ressort} n’est pas conservée. 3- À l’aide d’un dispositif approprié, on a enregistré les variations des énergies Ep, Ec et E en fonction du temps ; on a obtenu les graphes suivants :

4- Faire correspondre, en le justifiant, à chaque énergie la courbe correspondante.

D- Exercice bac :

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Exercice 2 :

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