Phương trình đường tròn

1. Thiết lập phương trình đường tròn

2. Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Nội dung bài học

Bài toán: Trong mp Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a, b),bán kính R. Xác định điều kiện cần và đủ để điểm M(x, y) (C)

Thiết lập phương trình đường tròn (Có tâm và bán kính cho trước)

M(x, y) (C)

2 2 2(x a) (y b) R (1)

2 2(x a) (y b) R

Phương trình (1) gọi là phương trình đường tròn (C) tâm I(a, b), bán kính Ro x

y

b

a

M(x, y)

I

IM = R

R

2 2( ) ( ) IM x a y b

1

2 2 2( ) ( )x a y b R

Trong mp Oxy, đường tròn tâm O(0, 0), bán kính R có phương trình:

2 2 2 x y R

Ghi nhớ 1

Đường tròn (C): Tâm I(a; b)

Bán kính R

Có phương trình:

Chú ý:

1. Phương trình đường tròn: Ví dụ 1: a/. Viết phương trình đường tròn tâm I(1; - 3), bán kính R = 5.

b/. Viết phương trình đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R 3

c/. Viết phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0), đi qua M(1; 3).

2 2(x 1) (y 3) 25

2 2x y 3

2 2 2(x a) (y b) R

Tâm I(a; b)

Bán kính RCó phương trình

Đ/tròn (C):

2 2(C) : x y 10 M

(1;3)O(0;0)

Ta có:R OM 10

Vậy:

Gọi I(a, b) là tâm và R là bán kính Khi đó: * I là trung điểm của AB. Suy ra:

Tâm hay * Bán kính

Vậy:

Ta có

Kết luận:

ABR 2 2

2

2 2AB ( 3 1) (4 0) 4 2

I 1 ; 2A B A Bx x y y;

2I

2

1. Phương trình đường tròn: Ví dụ 2: Cho A(1; 0) và B(- 3; 4) Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.

ABR

2

2 2(C) : (x 1) (y 2) 8

2 2 2(x a) (y b) R

Tâm I(a; b)

bkính RCó phương trình

Đ/tròn (C):

A(1;0)

B( 3;4)

Dạng khác của phương trình đường tròn:

Xét phương trình:

2 2x y 2ax 2by + c = 0 (2)

2x 2ax 2y 2by + c 2+ a 2+ b 2 2a b =0 2 2 2 2x a y b a b c 2 2

x a y b 2R

( Điều Kiện: )2 2a b c 0 Khi đó (2) là phương trình đường tròn (C), có:

Tâm

Bán kính

I(a; b)2 2R= a +b - c

Ghi nhớ 2

Phương trình:

Với điều kiện:

là phương trình của đường tròn (C) có:

Tâm

Bán kính 2 2R a b c

Chú ý:

Trong phương trình đường tròn, hệ số trước x2 và y2

luôn luôn bằng nhau.

I (a ; b)

2 2x y 2ax 2by + c = 0 2 2a b c 0

Không phải là phương trình đường tròn

Ví dụ 3: Các phương trình sau có phải là phương trình đường tròn hay không ? Nếu phải, hãy cho biết tâm và bán kính.

2 2a / 2x y 8x + 2y - 1 = 0 2 2b / x y 2x 4y - 4 = 0

2 2d / x y 2x 6y + 20 = 0

2 2c / 2x 2y 4x + 8y + 1 = 0

1.Phương trình đường tròn:

2 2 2(x a) (y b) R

Tâm I(a; b)

bkính RCó phương trình

Đ/tròn (C):

Pt:

Với điều kiện:

là Pt của đường tròn (C) có:

Tâm

bkính 2 2R a b c

2 2a b c 0

I(a;b)

2 2x y 2ax 2by + c = 0 Dạng khác:

2a 2b

2 2a b c Kiểm tra:Kiểm tra:

Là pt đường tròn tâm I(-1; 2), Bán kính R = 3

Là pt đường tròn tâm I(-1; -2), Bán kính

2

a

2a 2b

2 a 1 4 b 2

c 2 2a b c

Kiểm tra:Kiểm tra:

90

2

1

2

3R

2

4 b

2

9 0

c 4

2 2 1Pt x y 2x + 4y + = 0

2

Ta có:Ta có:

1

Không phải là phương trình đường tròn

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm: A(1; 2); B(5; 2) và C(1; -3)

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

2 2x y 2ax 2by + c = 0

Do A; B; C thuộc (C), nên ta có:

2a 4b c 5

10a 4b c 29

2a 6b c 10

a 3

1b

2c 1

Vậy (C):2 2x y 6x y 1 = 0

2 2 2(x a) (y b) R

Tâm I(a; b)

bkính RCó phương trình

Đ/tròn (C):

Pt:

Với điều kiện:

là Pt của đường tròn (C) có:

Tâm

bkính 2 2R a b c

2 2a b c 0

I(a;b)

2 2x y 2ax 2by + c = 0

1.Phương trình đường tròn:

Dạng khác:

Bài toán: Trong mp Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a, b), bán kính R và một điểm M0(x0; y0) (C)Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M0

Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn :

Gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0

Khi đó, đường thẳng

:

Đi qua M0(x0; y0)

Có VTPT:

0 0 0IM (x a;y b) ��������������

Vậy có phương trình là: 0 0 0 0x a x x + y b y y = 0

o x

2

y0 0 0M (x ;y )

I(a;b)

Ghi nhớ 3

Cho đường tròn (C):

Tiếp tuyến của (C) tại điểm

có phương trình:

2 2 2( ) ( )x y Ra b 0 0 0M (x ;y ) (C)

0 0 0 0x a bx x + y y y = 0

1.Phương trình đường tròn:

Đ/tròn (C):

Tiếp tuyến với đường tròn:2 2 2( ) : ( ) ( ) C x a y b R

0 0 0M (x ;y ) (C)

0 0 0 0x a x x + y b y y = 0

tại điểm Có phương trình:

2.Phương trình tiếp tuyến:

2 2a / . (C) : (x )1 2(y ) 8

2 2 2(x a) (y b) R

Tâm I(a; b)

bkính RCó phương trình

Đ/tròn (C):

Pt:

Với điều kiện:

là Pt của đường tròn (C) có:

Tâm

bkính 2 2R a b c

2 2a b c 0

I(a;b)

2 2x y 2ax 2by + c = 0 Dạng khác:

Ví dụ 5:

b/. CMR: M(3;4) (C)c/. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M.

a/. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm , bán kính R 2 2I (1 ; 2)

2 2(3 ) (1 24 ) 8 Vậy điểm M(3;4) (C)

b/. Ta có:

c/. Gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3, 4). Khi đó:

: 3 x 3 + 4 y 4 = 01 2

x + y - 7= 0Vậy : x + y 7 = 0

1.Phương trình đường tròn:

Đ/tròn (C):

Tiếp tuyến với đường tròn:2 2 2( ) : ( ) ( ) C x a y b R

0 0 0M (x ;y ) (C)

0 0 0 0x a x x + y b y y = 0

tại điểm Có phương trình:

2.Phương trình tiếp tuyến:

2 2 2(x a) (y b) R

Tâm I(a; b) bán kính R

Có phương trình

Đường tròn (C):

Pt:

Với điều kiện:

là Pt của đường tròn (C) có:

Tâm

bkính 2 2R a b c

2 2a b c 0

I(a;b)

2 2x y 2ax 2by + c = 0 Dạng khác:

Bài tập về nhà

1. Ôn tập các nội dung đã học.

2. Giải các bài tập:

1/ 2/ 3/ 4 / 5/ 6. (SGK)

3. Chuẩn bị tiết Bài tập.

Link