bài tập toán 8 học kì 2 phần 1. Đại...

Bài tập Toán 8 Học kì 2

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn) Trang 1

File Word liên hệ: [email protected] ĐT: 0983734349

Phần 1. Đại Số Chương III:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Phương trình

1. Phương trình một ẩn

Một phương trình với ẩn x luôn có dạng: A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

Nếu x0 là một giá trị sao cho A(x0 ) = B(x0 ) là một đẳng thức đúng thì x = x0 được gọi là một nghiệm của phương trình A(x) = B(x).

Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, …, vô số nghiệm, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (phương trình vô nghiệm).

Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được ký hiệu bởi chữ S.

Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó.

Số nghiệm của phương trình còn phụ thuộc vào việc xét các giác trị của ẩn trên tập hợp số nào.

2. Hai phương trình tương đương

a) Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng có chung một tập hợp nghiệm.

Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Phương trình (1) tương đương với phương trình (2), ta viết: (1) (2).

Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương (tập nghiệm




của chúng bằng ) Khi nói hai phương trình tương đương với nhau ta phải chú ý rằng

các phương trình đó được xét trên tập hợp số nào, có khi trên tập này thì tương đương nhưng trên tập khác thì lại không

b) Hai qui tắc biến đổi tương đương: Qui tắc chuyển vế: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia

của một phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

A( x ) B( x ) C( x ) A( x ) C( x ) B( x )

Qui tắc nhân: Nếu ta nhân (hay chia) một số khác 0 vào 2 vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

A( x ) B( x ) m.A( x ) m.B( x ) ( m 0 )

3.1 Cho hai phương trình: x2 – 5x + 6 = 0 (1)

x + (x – 2)(2x + 1) = 2. (2)

a) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là x = 2.

b) Chứng minh: x = 3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).

c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không, vì sao ?

3.2 Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:

a) 2(x + 1) = 3 + 2x b) 2(1 – 1,5x) + 3x = 0

c) | x | = –1 d) x2 + 1 = 0

3.3 Xét tính tương đương của các phương trình:

(1 – x)(x + 2) = 0 (1)

(2x – 2)(6 + 3x)(3x + 2) = 0 (2)

(5x – 5)(3x + 2)(8x + 4)(x2 – 5) = 0 (3) Khi a) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập N.

b) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Z.

c) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Q.

d) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập R.




3.4 Trong các cặp phương trình sau hãy chỉ ra các cặp phương trình tương đương, không tương đương. Vì sao ?

a) 3x + 2 = 1 và x + 1 = 23

b) x + 2 = 0 và (x + 2)(x – 1) = 0

c) x + 2 = 0 và (x + 2)(x2 + 1) = 0

d) x2 – 4 + 1 1x 2 2

và x2 – 4 = 0

e) 2x + 3 = x + 5 và 2x + 3 + 1x 1

= x + 5 + 1x 1

f) 2x + 3 = x + 5 và 2x + 3 + 1x 2

= x + 5 + 1x 2

g) x + 7 = 9 và x2 + x + 7 = 9 + x2

h) (x + 3)3 = 9(x + 3) và (x + 3)3 – 9(x + 3) = 0

i) 0,5x2 – 7,5x + 28 = 0 và x2 – 15x + 56 = 0

j) 2x – 1 = 3 và x(2x – 1) = 3x

3.5 Tìm giá trị của k sao cho:

a) Phương trình: 2x + k = x – 1 có nghiệm x = – 2.

b) Phương trình: (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40 có nghiệm x = 2

c) Phương trình: 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k) có nghiệm x = 1

d) Phương trình: 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = 2

3.6 Tìm m, a và b để các cặp phương trình sau đây tương đương:

a) mx2 – (m + 1)x + 1 = 0 và (x – 1)(2x – 1) = 0

b) (x – 3)(ax + 2) = 0 và (2x + b)(x + 1) = 0




Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0

Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

1. Định nghĩa

Phương trình dạng ax + b = 0; với a, b là những hằng số, a 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Cách giải phương trình đưa được về phương trình bậc nhất

Quy đồng mẫu thức 2 vế. Khử mẫu thức 2 vế. Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn

sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình vầ dạng Ax = B.

3.7 Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:

a) 1 + x = 0 b) x + x2 = 0 c) 1 – 2t = 0

d) 3y = 0 e) 0x – 3 = 0 f) (x2 + 1)(x – 1) = 0

g) 0,5x – 3,5x = 0 h) – 2x2 + 5x = 0 g) 0x + 0 = 0

3.8 Giải các phương trình sau:

a) 7x + 12 = 0 b) 5x – 2 = 0 c) 12 – 6x = 0

d) – 2x + 14 = 0 e) 3x + 1 = 7x – 11 f) 2x + x + 12 = 0

g) x – 5 = 3 – x h) 7 – 3x = 9 – x i) 5 – 3x = 6x + 7

j) 11 – 2x = x – 1 k) 15 – 8x = 9 – 5x l) 0,25x + 1,5 = 0

3.9 Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm:

a) 3x – 11 = 0 b) 12 + 7x = 0 c) 10 – 4x = 2x – 3


1. a) 3x – 2 = 2x – 3 b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y




c) 7 – 2x = 22 – 3x d) 8x – 3 = 5x + 12

e) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1 f) x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5

2. a) 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)

b) 2x(x + 2)2 – 8x2 = 2(x – 2)(x2 + 2x + 4)

c) 7 – (2x + 4) = – (x + 4)

d) (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

e) x(x + 3)2 – 3x = (x + 2)3 + 1

f) (x + 1)(2x – 3) = (2x – 1)(x + 5)

g) (x – 2)3 + (3x– 1)(3x+ 1) = (x + 1)3

3. a) 1,2 – (x – 0,8) = –2(0,9 + x)

b) 2,3x – 2(0,7 + 2x) = 3,6 – 1,7x

c) 3 + 2,25x + 2,6 = 2x + 5 + 0,4x

d) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7

e) 3,6 – 0,5(2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x)

f) 5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42

4. a) 5x 2 5 3x3 2

b) 10x 3 6 8x112 9

c) 3 132 x 5 x5 5

d) 7 20x 1,5x 5(x 9)8 6

e) 7x 1 16 x2x6 5

f) x 2x 1 x x3 6 6

g) 3x 2 3x 1 5 2x2 6 3

h) x 4 x x 2x 45 3 2

i) 4x 3 6x 2 5x 4 35 7 3

k) 5x 2 8x 1 4x 2 56 3 5

m) 2x 1 x 2 x 75 3 15

n) 3x 11 x 3x 5 5x 311 3 7 9




o) 2 x 1 2x0,5x 0,255 4

p) 3x 11 x 3x 5 5x 311 3 7 9

q) 1 1 1(x 3) 3 (x 1) (x 2)4 2 3

5. a) 1 2(x 3) 3x 2(x 7)142 5 2 3

b) 2(3x 1) 1 2(3x 1) 3x 254 5 10

c) 5(x 1) 2 7x 1 2(2x 1) 56 4 7

d) x 1 3(2x 1) 2x 3(x 1) 7 12x3 4 6 12

e) 3(2x 1) 3x 1 2(3x 2)14 10 5

f) 3(x 3) 4x 10,5 3(x 1) 64 10 5

g) 3(x 30) 1 7x 2(10x 2)x 2415 2 10 5

h) 3 7 10x 3x (2x 1) (1 2x)17 34 2

3.11 Tìm x sao cho các biểu thức A và B cho sau có giá trị bằng nhau:

a) A = (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2) và B = (x – 4)2

b) A = (x + 2)(x – 2) + 3x2 và B = (2x + 1)2 + 2x

c) A = (x – 1)(x2 + x + 1) – 2x và B = x(x – 1)(x + 1)

d) A = (x + 1)3 – (x – 2)3 và B = (3x –1)(3x +1).


a) 7x 1 16 x2x6 5

b) 2 2 2(2x 1) (x 1) 7x 14x 5

5 3 15





a)

x 1 1 2x2x 3x5 3x 1

3 5

b)

1 2xx 1 3x 12x3x 1 632 2

3 2 5


a) x 23 x 23 x 23 x 2324 25 26 27

b) x 2 x 3 x 4 x 51 1 1 198 97 96 95

c) x 1 x 2 x 3 x 42012 2011 2010 2009

d) 201 x 203 x 205 x 3 099 97 95

e) x 45 x 47 x 55 x 5355 53 45 47

f) 2 x 1 x x12010 2011 2012

g) 2 2 2 2x 10x 29 x 10x 27 x 10x 1971 x 10x 1973

1971 1973 29 27

h)

x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 191970 1972 1974 1976 1978 1980

x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 198029 27 25 23 21 19

(Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc năm 1978)




Phương trình tích

Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi có dạng: A( x ) B( x ) C( x ) 0 (1)

trong đó A(x), B(x), …, C(x) là những biểu thức ẩn x.

Cách giải:

A( x ) 0B( x ) 0

A( x ) B( x ) C( x ) 0

C( x ) 0

Giải các phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, …, C(x) = 0. Tất cả các nghiệm tìm được tạo thành tập nghiệm của phương trình (1)


1. a) (3x – 2)(4x + 5) = 0 b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0

c) (4x + 2)(x2 + 1) = 0 d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

e) (x – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0 f) (4x – 10)(24 + 5x) = 0

g) (3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0 h) (5x + 2)(x – 7) = 0

i) 15(x + 9)(x – 3) (x + 21) = 0 j) (x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0

2. a) (3x + 2)(x2–1) = (9x2–4)(x+1) b) x(x + 3)(x–3)–(x+2)(x2–2x+4)=0

c) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0 d) (3x–1)(x2+2) = (3x–1)(7x – 10)

e) (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 f) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

g) 3x – 15 = 2x(x – 5) h) (2x + 1)(3x–2) = (5x–8)(2x + 1)

i) 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1) j) (2x2+1)(4x–3)=(x – 12)(2x2 + 1)

k) x(2x – 9) = 3x(x – 5) l) (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)

m) 2x(x – 1) = x2 – 1 n) (2–3x)(x+11) = (3x – 2)(2 – 5x)

o) )7x3(x711x

73

p) 21 12 2 (x 1)x x




3. a) (2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0 b) (3x2+10x–8)2 = (5x2 – 2x + 10)2

c) (x2 – 2x + 1) – 4 = 0 d) 4x2 + 4x + 1 = x2

e) (x + 1)2 = 4(x2 – 2x + 1)2 f) (x2 – 9)2 – 9(x – 3)2 = 0

g) 9(x – 3)2 = 4(x + 2)2 h) (4x2 – 3x – 18)2 = (4x2 + 3x)2

i) (2x – 1)2 = 49 j) (5x – 3)2 – (4x – 7)2 = 0

k) (2x + 7)2 = 9(x + 2)2 l) 4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2

m) (x2 – 16)2 – (x – 4)2 = 0 n) (5x2–2x + 10)2 = (3x2 + 10x – 8)2

4. a) 3x2 + 2x – 1 = 0 b) x2 – 5x + 6 = 0

c) x2 – 3x + 2 = 0 d) 2x2 – 6x + 1 = 0

e) 4x2 – 12x + 5 = 0 f) 2x2 + 5x + 3 = 0

g) x2 + x – 2 = 0 h) x2 – 4x + 3 = 0

i) 2x2 + 5x – 3 = 0 j) x2 + 6x – 16 = 0

5. a) 3x2 + 12x – 66 = 0 b) 9x2 – 30x + 225 = 0

c) x2 + 3x – 10 = 0 d) 3x2 – 7x + 1 = 0

e) 3x2 – 7x + 8 = 0 f) 4x2 – 12x + 9 = 0

6. a) (x – 2 ) + 3(x2 – 2) = 0 b) x2 – 5 = (2x – 5 )(x + 5 )

7. a) 2x3 + 5x2 – 3x = 0 b) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x

c) x2 + (x + 2)(11x – 7) = 4 d) (x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x3 – 1) = 0

e) x3 + 1 = x(x + 1) f) x3 + x2 + x + 1 = 0

g) x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 h) x3 – 7x + 6 = 0

3.16 Cho phương trình (ẩn x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0

a) Giải phương trình với k = 0

b) Giải phương trình với k = – 3

c) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x = – 2 làm nghiệm.

3.17 Cho phương trình (ẩn x): x3 + ax2 – 4x – 4 = 0

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 1.




b) Với giá trị m vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

3.18 Cho phương trình (ẩn x): x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0

a) Xác định a để phương trình có một nghiệm x = – 2.

b) Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

3.19 Cho biểu thức hai biến: f(x, y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1)

a) Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f(x, y) = 0 nhận x = – 3 làm nghiệm.

b) Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x, y) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm.

3.20 Cho 2 biểu thức: 5A2m 1

và 4B2m 1

. Hãy tìm các giá trị của m để

hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức:

a) 2A + 3B = 0 b) AB = A + B

3.21 Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

a) ( 3 x 5)(2x 2 1) 0

b) (2x 7)(x 10 3) 0

c) (2 3x 5)(2,5x 2) 0

d) ( 13 5x)(3,4 4x 1,7) 0

e) (x 13 5)( 7 x 3) 0

f) (x 2,7 1,54)( 1,02 x 3,1) 0




Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ngoài những phương trình có cách giải đặc biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ). Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu. Giải phương trình sau khi bỏ mẫu. Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Chú ý

chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa. Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa

ĐKXĐ.

3.22 Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a) 3x2 – 2x = 0 b) 1 3x 1

c) 2 xx 1 2x 4

d) 2

2x 1x 9 x 3


1. a) 2x 1 11x 1 x 1

b) 5x 612x 2 x 1

c) 22

1 1x xx x

d) 1 x 8 87 x x 7

e) 1 x 33x 2 2 x

f)

25x 2 2x 1 x x 312 2x 2 1 x

2. a) 2 x 5 1x 3 x 1

b) x 3 x 2 2

x 1 x

c) x 6 xx 4 x 2

d) 2x 5 3x 51 0x 2 x 1

e) x 3 x 2 13x 2 x 4 5

f) x 3 x 2 1x 2 x 4

g) 3x 2 6x 1x 7 2x 3

h) 2

2

x 1 x 1 2(x 2)x 2 x 2 x 4

i) 2x 1 5(x 1)x 1 x 1

j) 2

x 1 x 5x 2x 2 x 2 4 x




k) 2

x 2 3 2(x 11)2 x x 2 x 4

l) 2x 1 x x 2 x 1 x 2

x 1 x 1 x 1

3. a) 1 5 15x 1 x 2 (x 1)(2 x)

b) x 5x 213 x (x 2)(3 x) x 2

c) 6 4 8x 1 x 3 (x 1)(3 x)

d) 3x 1 2x 5 41x 1 x 3 (x 1)(x 3)

e) 1 3 52x 3 x(2x 3) x

f) 3 3x (x 1) 7x 1 x

(4x 3)(x 5) 4x 3 x 5

g) x 2 1 2x 2 x x(x 2)

h) 3x x 3xx 2 x 5 (x 2)(5 x)


a) 2

x 1 x 1 16x 1 x 1 x 1

b) 2

3 1 7x x 2 x 1 x 2

c) 3

12 118 x x 2

d) 2 2 2

x 25 x 5 5 x2x 50 x 5x 2x 10x

e) 2

4 2x 5 2xx 2x 3 x 3 x 1

f)

2

3 2

1 3x 2xx 1 x 1 x x 1

g) 2

2 x 1 x 3x 6x 8 x 2 x 4

h) 3 2 2

2 3 1x x x 1 1 x x 1

i) 2

x 2x x2x 2 x 2x 3 6 2x

j) 2

5 x 3 0x 5x 6 2 x


a) 2

4 3 225x 20x 3 5x 1 5x 3

b) 2 2 2

1 1 2x 3x 2 x 5x 6 x 4x 3

c) 2 2 2

1 1 1 1x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42 18

3.26 Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.

a) 2

2

2a 3a 2a 4

b) 3a 1 a 33a 1 a 3

c) 10 3a 1 7a 23 4a 12 6a 18

d) 2a 9 3a

2a 5 3a 2




Phương trình có hệ số chứa tham số

1. Phương trình có hệ số có chưa tham số:

Các hệ số bằng chữ trong phương trình còn được gọi là tham số. Với mỗi giá trị của tham số, ta được 1 phương trình khác, do đó

nghiệm và số nghiệm của các phương trình có thể khác nhau. Giải và biện luận phương trình theo tham số là khảo sát nghiệm và số

nghiệm của phương trình đó theo các giá trị khác nhau của tham số. Khi giải phương trình có hệ số chứa tham số ta cần chú ý: Khi chia

cho một biểu thức chứa tham số phải đặt điều kiện cho các tham số để biểu thức ấy khác 0.

2. Giải và biện luận phương trình có hệ số chứa tham số

Khai triển, chuyển các hạng tử có chứa ẩn sang một vế, các hạng tử khác sang một vế, thu gọn để đưa về phương trình dạng Ax = B (1).

Phân tích A, B thành nhân tử (nếu được). Biện luận:

Nếu A 0: phương trình (1) có nghiệm duy nhất BxA

.

Nếu A = 0, phương trình (1) có dạng: 0x = B

Nếu B = 0, (1) 0x = 0: phương trình (1) có nghiệm tùy ý

Nếu B 0: phương trình (1) vô nghiệm.

3. Phương trình có nghiệm theo điều kiện:

Trong thực hành, đôi lúc đề không yêu cầu giải và biện luận mà chỉ yêu cầu một phần nhỏ trong phần giải và biện luận.

Cho phương trình: Ax = B (1) (1) có nghiệm duy nhất A 0

(1) vô nghiệm

A 0B 0




(1) có vô số nghiệm

A 0B 0

(1) có nghiệm khi A 0 hoặc

A 0B 0

4. Minh họa giải và biện luận phương trình bằng sơ đồ sau:

3.27 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:

a) x 2a a83 3

b) a x a 510 2

c) x 1 aa d) x a 2

a 3 e) 2(a 2)(x 1) x 2

3.28 Giải và biện luận các phương trình sau: a) 2 2(m 1)x (m m)(m 2) b) 2 2m (x 1) 3mx (m 3)x 1 c) 2m x 6 4x 3m d) 2m(m 6)x m 8x m 2 e) 2(m 1)x (m 1) f) 2 2(m 4)x m 8 g) 2m(m x 1) 1 x h) m(mx 3) 2 x i) m(x 4m) x 3 2 mx j) m(3x m) x 2 k) m(mx 1) (2m 3)x 1 l) 2m (1 x) m(x 2) 3

Ax = B

A 0 A = 0

0x = B

B = 0 B 0

PT vô nghiệm

PT có vô số nghiệm

PT có nghiệm duy nhất

S = R

BSA

S =




m) m(mx 1) 4(m 1)x 2 n) 2m (x 1) m(2x 1)

3.29 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x: a) 2 2(a 3)x 1 a (x 1) 3ax b) (x 1)m 2(m 1)x 2m 3

c) 2a(x 2) a x 2 0 d) x a x b2b a

e) 2 2x a b x b a b a

a b ab

f) 2

x a x a x 2a 2 a 2 a 4

g) 2

x 4 x 4a x 4a 3a 1 a 1 a 1

h) x a x b x c 1 1 12bc ac ab a b c

3.30 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:

a) x a x b 2x b x a

b) 1 2 3 0x 2 x 2a x a

c) x 1 x 1x 2 a x 1 a

d) 1 1 1 1

x a b x a b

e) x a 1 x b 1 ax a x b (x a)(x b)




Giải bài toán bằng cách lập phương trình

1. Các bước giải

Bước 1: Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Trả lời:

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa, rồi kết luận.

2. Một số kiến thức cần lưu ý

a) Loại toán cấu tạo số: Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab

Giá trị của số: ab = 10a + b; (Đk: 1 a 9 và 0 b 9, a,b N) Số có ba, chữ số được ký hiệu là abc

abc = 100a +10b + c, (Đk: 1 a 9 và 0 b, c 9; a, b, c N)

b) Loại toán chuyển động: Có 3 đại lượng là quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t) liên

hệ bởi công thức: s = v.t Chuyển động trên dòng nước chảy:

Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng. Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước

c) Loại toán “làm chung – làm riêng” một công việc hoặc với “vòi nước chảy chung – chảy riêng” đầy bể: Có 3 đại lượng:

- Khối lượng công việc




- Phần việc làm (chảy) trong một đơn vị thời gian (năng suất) - Thời gian

Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ công việc là 1. - Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày

đội đó làm được 1x

(công việc).

- Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong

1 giờ vòi đó chảy được 1x

(bể).

3. Một số ví dụ minh họa cách chọn ẩn

a) Thông thường ta hay chọn ẩn số dựa vào câu hỏi của đề bài. Bài toán hỏi điều gì, ta chọn điều đó làm ẩn số. Ví dụ: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi 450m. Nếu tăng chiều dài

thêm 15

chiều dài cũ và giảm chiều rộng đi 14

chiều rộng cũ thì chu vi

khu đất không thay đổi. Tính diện tích khu đất lúc đầu. Giải:

Nửa chu vi khu đất là: 452 : 2 = 225 (m) Gọi chiều dài khu đất là x (m). Điều kiện: x > 0. Khi đó: - Chiều rộng của khu đất là: 225 – x (m)

- Chiều dài khu đất sau khi tăng thêm là: 1x x5

(m)

- Chiều rộng khu đất sau khi giảm đi là: 1( 225 x ) ( 225 x )4

(m)

Theo đề bài, ta có phương trình (lập PT theo chu vi):

1 1x x ( 225 x ) ( 225 x ) 2255 4

x 125 (thỏa điều kiện) Vậy: Chiều dài của khu đất là: 125 (m)

Chiều rộng của khu đất là: 225 – 125 = 100 (m)




Diện tích khu đất là: 100 125 = 12500 (m2) b) Trong một số trường hợp, ta có thể chọn ẩn số là một đại lượng

trung gian để được phương trình đơn giản hơn, dễ giải hơn. Ví dụ: Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B đến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến, biết rằng vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h.

Giải: Gọi vận tốc riêng của canô (vận tốc canô lúc nước yên lặng) là

x (km/h). Điều kiện: x > 0. Khi đó:

- Vận tốc canô lúc xuôi dòng là: x + 2 (km/h) - Vận tốc canô lúc ngược dòng là: x – 2 (km/h) - Quãng đường canô đi xuôi dòng (khoảng cách từ A đến B) là:

4(x + 2) (km) - Quãng đường canô đi ngược dòng (cũng là khoảng cách từ A

đến B) là: 5(x – 2) (km) Ta có phương trình:

5( x 2 ) 4( x 2 ) x 18 (thỏa điều kiện)

Vậy khoảng cách giữa hai bến là: 4(18 + 2) = 80 km.

3.31 Bài toán cổ: Ngựa và La đi cạnh nhau cùng chở vật nặng trên lưng. Ngựa than thở về hành lý quá nặng của mình. La đáp: “Cậu than thở nỗi gì ? Nếu tôi lấy của cậu một bao thì hành lý của tôi nặng gấp đôi của cậu. Còn nếu cậu lấy của tôi một bao thì hành lý của cậu mới bằng của tôi”. Hỏi Ngựa và La mỗi con mang bao nhiêu bao ?

3.32 Năm 1999, bố 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi năm nào thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi con ?

3.33 Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?

3.34 Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của cả ba người là 130. Hãy tính tuổi của Bình.




3.35 An hỏi Bình: “Năm nay cha mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” Bình trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của 3 anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hiện nay tổng số tuổi của cha mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của 3 anh em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình là bao nhiêu ?

3.36 Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 65 và hiệu của chúng là 11.

3.37 Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 75 và số này gấp đôi số kia.

3.38 Một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5. Hiệu của số đó và chữ số hàng chục của nó bằng 68. Tìm số đó.

3.39 Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu 22 đơn vị, biết rằng nếu thêm 5 đơn

vị vào tử và bớt 2 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số 12

.

Tìm phân số đã cho.

3.40 Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu 11 đơn vị, biết rằng nếu thêm 3 đơn

vị vào tử và bớt 4 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số 34

.

Tìm phân số đã cho.

3.41 Tìm 2 số nguyên, biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng 35

. Nếu

chia số thứ nhất cho 9 và chia số thứ hai cho 6 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai là 3 đơn vị. Biết rằng các phép chia nói trên là các phép chia hết.

3.42 Tìm 4 số tự nhiên có tổng 2007. Biết rằng nếu số I bớt đi 2, số II thêm 2, số III chia cho 2 và số IV nhân với 2 thì được kết quả bằng nhau. Tìm 4 số đó.

3.43 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153 lần số ban đầu.

3.44 Tìm một số có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số là 10 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số cần tìm là 18 đơn vị.

3.45 Tìm một số có hai chữ số. Nếu thêm chữ số 5 vào bên trái số đó thì được một số lớn hơn 153 đơn vị so với khi thêm chữ số 5 ở bên phải số đó.




3.46 Tìm một số có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục. Nếu viết thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số đã cho 370 đơn vị.

3.47 Chu vi một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 80m. Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 8m thì diện tích tăng thêm 32m2. Tính kích thước miếng đất.

3.48 Học kì I, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng 18

số học sinh cả lớp. Sang học

kì II, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

3.49 Trong môt buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành 2 tốp: tốp thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây đông hơn tốp làm vệ sinh là 8 người. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu học sinh ?

3.50 Hai chiếc ôtô khởi hành từ hai tỉnh A và B, ngược chiều nhau. Chiếc xe đi từ A có vận tốc 40km/h, chiếc xe đi từ B với vận tốc 30km/h. Nếu chiếc xe đi từ B khởi hành sớm hơn chiếc xe đi từ A là 6 giờ thì 2 xe gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B. Tìm quãng đường AB ?

3.51 Một ôtô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ nghỉ lại ở Thanh hóa, ôtô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30km/h. tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ). Tính quãng đường Hà Nội – Thanh Hóa.

3.52 Một ôtô phải đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định. Ôtô đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10km/h và đi nửa sau quãng đường với vận tốc kém hơn dự định 6km/h. Biết ôtô đến B đúng thời gian đã định. Tính thời gian ôtô dự định đi quãng đường AB.

3.53 Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc ôtô I bằng 34

vận tốc

ôtô II. Nếu ôtô I tăng vận tốc 5km/h, còn ôtô II giảm vận tốc 5km/h thì sau 5 giờ quãng đường ôtô I đi được ngắn hơn quãng đường ôtô II đã đi là 25km. Tính vận tốc của mỗi ôtô.

3.54 Ôtô I đi từ A đến B. Nửa giờ sau, ôtô II đi từ B đến A với vận tốc gấp rưỡi vận tốc ôtô I. Sau đó 45 phút hai ôtô gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ôtô, biết quãng đường AB dài 95 km.




3.55 Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng, dự kiến đến Hải Phòng vào lúc 10 giờ 30 phút. Nhưng mỗi giờ ôtô đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mãi đến 11 giờ 20 phút xe mới tới Hải Phòng. Tính quãng đường Hà Nội – Hải Phòng.

3.56 Hai người cùng khởi hành một lúc từ A đến B dài 60 km. Vận tốc người I là 12km/h, vận tốc người II là 15km/h. Hỏi sau lúc khởi hành bao lâu thì người I cách B một quãng đường gấp đôi khoảng cách từ người II đến B ?

3.57 Một tàu chở hàng từ ga Vinh đi Hà Nội, sau đó 1,5 giờ, một tàu chở khách xuất phát từ ga Hà Nội đi Vinh với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu chở hàng là 7km/h. Khi tàu khách đi được 4 giờ thì nó còn cách tàu hàng là 25km. Tính vận tốc mỗi tàu, biết rằng hai ga cách nhau 319km.

3.58 Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Tp. Hồ Chí Minh. 1 giờ 48 phút sau, một đoàn tàu khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Tp. Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5 km/h. Hai đoàn tàu gặp nhau (tại một ga nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ lúc đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc mỗi đoàn tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Tp. Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội là 87 km.

3.59 Ôtô I đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h. Sau đó 1 giờ, ôtô II đi từ tỉnh B đến tỉnh A với vận tốc 65 km/h. Hai ôtô gặp nhau khi ôtô I mới

đi được 25

quãng đường AB. Tính quãng đường AB.

3.60 Lúc 6 giờ một ôtô khởi hành từ A. Lúc 7 giờ 30 phút, ôtô II cũng khởi hành từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô I là 20 km/h và gặp ôtô I lúc 10 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi ôtô.

3.61 Một người đi xe đạp từ A đến B. Lúc đầu, trên đoạn đường đá, người đó đi với vận tốc 10 km/h. Trên đoạn đường còn lại là đường nhựa, dài gấp rưỡi đoạn đường đá, người đó đi với vận tốc 15 km/h. Sau 4 giờ người đó đến B. Tính độ dài quãng đường AB.

3.62 Hai ôtô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163km. Trong 43 km đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe.




3.63 Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40 km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tính quãng đường AB.

3.64 Anh Nam đi xe đạp tờ A đến B với vận tốc 12 km/h. Đi được 6 km, xe đạp hư, anh Nam phải đi bằng ôtô và đã đến B sớm hơn dự định 45 phút. Tính quãng đường AB, biết vận tốc của ôtô là 30 km/h.

3.65 Hai ôtô khởi hành cùng lúc ngược chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ. Ôtô I

đi từ A với vận tốc bằng 34

vận tốc của ôtô II đi từ B. Hỏi mỗi ôtô đi cả

quãng đường AB thì mất bao lâu ?

3.66 Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường 10 phút. Do đó để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB.

3.67 Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và quay từ B về A với vận tốc 40 km/h. Tính vận tốc trung bình của ôtô.

3.68 Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.

3.69 Một canô xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B về A mất 5 giờ. Tìm đoạn đường AB, biết vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

3.70 Lúc 7 giờ sáng, một canô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36 km, rồi ngay lập tức quay trở về và đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của canô khi xuôi dàng, biết vận tốc của dòng nước là 6 km/h.

3.71 Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn than. Do đó, đội không những đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày mà còn vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu tấn than ?

3.72 Đầu năm học một tổ học sinh được mua một số sách vở, phải trả 72.000đ. Nếu bớt đi 3 người thì mỗi người còn lại phải trả thêm 4000đ. Hỏi tổ có bao nhiêu người ?




3.73 Một xí nghiệp ký hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.

3.74 Một đội sản xuất dự định phải làm một số dụng cụ trong 30 ngày. Do mỗi ngày đã vượt năng suất so với dự định 10 dụng cụ nên không những đã làm thêm được 20 dụng cụ mà tổ đó còn làm xong trước thời hạn 7 ngày. Tính số dụng cụ mà tổ sản xuất đó phải làm theo kế hoạch.

3.75 Một vòi nước chảy vào bể không có nước. Cùng lúc đó, một vòi chảy từ

bể ra. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng 45

lượng nước chảy vào. Sau 5

giờ, nước trong bể đạt tới 18

dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước và

chỉ mở vòi chảy vào thì trong bao lâu thì đầy bể ? 3.76 Hai người cùng làm một công việc trong 3 giờ 20 phút thì xong. Nếu

người I làm 3 giờ và người II làm 2 giờ thì tất cả được 45

công việc. Hỏi

mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong công việc đó ? 3.77 Bài toán cổ:

Một đàn em nhỏ đứng bên sông To nhỏ bàn nhau chuyện chia bòng Mỗi người năm quả thừa năm quả Mỗi người sáu quả một người không Hỏi người bạn trẻ đang dừng bước: Có mấy em thơ, mấy quả bòng ?

3.78 Bài toán cổ Trung Hoa: Cành sen nhỏ mọc trong hồ nước Bông sen tròn nửa thước nhô lên. Bỗng đâu gió thổi sang bên Bông hoa dạt xuống nằm trên mặt hồ Cách cành cũ được vừa hai thước (Cứ sát theo mặt nước mà đo). Nhờ ai thạo tính giúp cho Hồ sâu bao thước, lí do thế nào ?




Ôn tập chương 3

3.79 Giải các phương trình sau: a) 11 + 8x – 3 = 5x – 3 + x b) 4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x c) (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2) = (x – 4)2

d) (x + 1)(x2 – x + 1) – 2x = x(x + 1)(x – 1) e) (x – 1)3 – x(x + 1)2 = 5x(2 – x) – 11(x + 2)

f) 5x 1 2x 3 x 8 x10 6 15 30

g) x 2 x 4 x 6 x 898 96 94 92

h) x 1 x 2 x 3 x 49 8 7 6

i)

4 3x x 32x 7x5 2 x 1

15 5

j) 2x 8 3x 1 9x 2 3x 16 4 8 12

k) 2 2(x 2) (2x 3)(2x 3) (x 4) 0

3 8 6

l) 9x 0,7 5x 1,5 7x 1,1 5(0,4 2x)4 7 6 6


a) (3x–2) 2(x 3) 4x 37 5

= 0

b) (3,3–11x) 7x 2 2(1 3x5 3

= 0

c) 3x 8 3x 8(2x 3) 1 (x 5) 12 7x 2 7x

d) (x + 2)(x – 3)(17x2 – 17x + 8) = (x + 2)(x – 3)(x2 – 17x +33)

e) 2 21 1x 3 x 5 09 25




f) 2 23x 1 x 2

5 3 5 3

g) 2 22x 3x1 1

3 2

h) 2 21 1x 1 x 1

x x

i) 23 3 1x x x 0

4 4 2

j) 3x2 + 7x + 2 = 0 k) x2 – 4x + 1 = 0 l) 2x2 – 6x + 1 = 0 m) 3x2 + 4x – 4 = 0 n) x6 – x2 = 0 o) x3 – 12 = 13x p) – x5 + 4x4 = – 12x3 q) x3 = 4x


a) 2

x 1 x 1 4x 1 x 1 x 1

b) 2

2

8x 2x 1 8x3(1 4x ) 6x 3 4 8x

c) 2

3 15 74(x 5) 50 2x 6(x 5)

d) 2

13 1 6(x 3)(2x 7) 2x 7 x 9

e) 2 2

x 1 7 5 x 12x 4x 8x 4x 8x 8x 16

f) 5 2x (x 1)(x 1) (x 2)(1 3x)3 3x 1 9x 3

g) 13 1 6(x 3)(2x 7) 2x 7 (x 3)(x 3)

h) 3 2 1(x 1)(x 2) (x 3)(x 1) (x 2)(x 3)

3.82 Cho phương trình (ẩn x): 2 2

x a x a a(3a 1)a x a x a x

a) Giải phương trình với a = – 3. b) Giải phương trình với a = 1. c) Giải phương trình với a = 0.

d) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = 12

làm nghiệm.




3.83 Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức 6x 13x 2

và 6x 13x 2

bằng nhau.

3.84 Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức y 5 y 1y 1 y 3

và 8(y 1)(y 3)

bằng nhau.

3.85 Cho phương trình: 2m (x 1) 4(x m 3) a) Định m để phương trình có nghiệm x = 3. b) Định m để phương trình vô nghiệm.

3.86 Tìm 2 số nguyên, biết hiệu của 2 số đó là 99. Nếu chia số bé cho 3 và số lớn cho 11 thì thương thứ nhất hơn thương thứ hai 7 đơn vị. Biết các phép chia nói trên là các phép chia hết.

3.87 Chu vi một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 32

chiều rộng. Nếu

giảm mỗi chiều đi 4m thì diện tích tăng thêm 164m2. Tính kích thước miếng đất.

3.88 Thùng thứ nhất chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo. Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số gói kẹo nhiều gấp ba lần số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất. Hỏi có bao nhiêu gói kẹo được lấy ra từ thùng thứ nhất, biết rằng số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp hai lần số gói kẹo còn lại trong thùng thứ hai ?

3.89 Một đội sản xuất dự định phải làm 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Do mỗi ngày đã vượt năng suất so với dự định 15 sản phẩm. Do đó đội đã không những đã làm thêm được 255 sản phẩm mà còn làm xong trước thời hạn. Hỏi thực tế đội sản xuất đã rút ngắn được bao nhiêu ngày ?

3.90 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 2 giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng

nước vòi I chảy được bằng 32

lượng nước chảy được của vòi II. Hỏi mỗi

vòi chảy riêng trong bao lâu thì đầy bể?

3.91 Bài toán cổ Trung Hoa: Một đoạn dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì thừa ra một đoạn dây dài 0,5 m. Nếu kéo căng sợi dây và cho đầu dây chạm mặt đất thì đầu dây đó cách gốc cây 2,5 m. Tính chiều cao của cây.




Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bất đẳng thức – Tính chất của bất đẳng thức

I. Thứ tự trên tập hợp số 1. Khi so sánh hai số thực a và b, xảy ra một trong ba trường hợp sau: Số a bằng số b, kí hiệu: a = b Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu: a < b. Số a lớn hơn số b, kí hiệu: a > b.

2. Khi biểu diễn số thực trên trục số (nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn.

3. Nếu số a không nhỏ hơn số b thì a > b hoặc a = b. Kí hiệu: a ≥ b

4. Nếu số a không lớn hơn số b thì a < b hoặc a = b. Kí hiệu: a ≤ b

II. Bất đẳng thức 1. Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và

gọi a là vế trái, b là vế phải.

2. Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai Ví dụ: 2 < 3 (S); 5 ≥ 2 (Đ); 0 ≥ 0 (Đ); 7 ≥ 8 (S)

3. Khi nói chứng minh bất đẳng thức thì ta hiểu là phải chứng minh bất đẳng thức luôn đúng. Số a bằng số b, kí hiệu: a = b

III. Các tính chất cơ bản của bắt đẳng thức 1. Tính đối xứng:

a b b a 2. Tính chất bắc cầu:

3 1,5 0 2 3




a ba c

b c

3. Cộng 2 vế cùng một số: a b a c b c (cộng 2 vế với c)

a c b a b c (cộng 2 vế với – c)

a b a b 0 (cộng 2 vế với – b)

a b a b 0 (cộng 2 vế với – b) 4. Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều: (Chú ý: Không có trừ)

a ba c b d

c d

5. Nhân 2 vế với 1 số: a b a.c b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều)

a b a.c b.c (nếu c < 0: đổi chiều) 6. Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều:

a b 0a.c b.d

c d 0

7. Nâng lên lũy thừa: n n *a b 0 a b ( n )

8. Nghịch đảo:

1 1a b 0a b

IV. Một số bất đẳng thức cần nhớ

2a 0, a 2a 0, a

2( a b ) 0, a,b 2( a b ) 0, a,b

a 0, a a b a b dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0

V. Phương pháp chứng minh bắt đẳng thức 1. Dùng định nghĩa




Muốn chứng minh A ≥ B, ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ 0.

2. Phương pháp biến đổi tương đương

Muốn chứng minh A ≥ B (1), ta biến đổi tương đương:

A ≥ B C ≥ D E ≥ F … X ≥ Y (2) Nếu bất đẳng thức (2) hiển đúng thì bất đẳng thức (1) là đúng.

3. Dùng bất đẳng thứa trung gian

Từ bất đẳng thức này, kết hợp với các tính chất để suy ra bất đẳng thức phải chúng minh.

4.1 Các khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ? 1. a) (–2) + 3 2 b) – 6 2.(–3) c) 4 + (–8) < 15 + (–8)

d) x2 + 1 1 e) – 5 – 5 f) –4 +(–8)2 (–4).(–15) g) 15 < (–4) . 2 h) 4 . (–3) > –14

2. a) (–6).5 < (–5).5 b) (– 6).(–3) < (–3).(–3)

c) (–2003).(–2005) (–2005).2004

4.2 Hãy nhân vào hai vế của mỗi bất đẳng thức số đặt trong dấu ngoặc kàm theo:

a) 10 < 15 (4) b) 20 > 6 (3) c) 12 > 40 ( 3) d) 12 > 8 ( 2) e) 14 < 29 (2) f) 6 5 ( 4)

4.3 Chuyển các khẳng định sau về bất đẳng thức và cho biết khẳng định đó đúng hay sai ? a) Tổng của –3 và 1 nhỏ hơn hoặc bằng –2. b) Hiệu của 7 và –15 nhỏ hơn 20. c) Tích của –4 và 5 không lớn hơn –18. d) Thương của 8 và –3 lớn hơn thương của 7 và –2.

4.4 Cho a < b, hãy so sánh:

1. a) a + 1 và b + 1 b) a – 2 và b – 2 c) a – 5 và b – 5

d) 2a + 1 và 2b + 1 e) 2a + 1 và 2b + 3 f) 4 – 3a và 2 – 3b

2. a) 2a và 2b b) 2a và a + b c) – a và – b

d) 5a và 5b e) 3a và 3b f) a + b và 2b




4.5 Cho a < b, hãy chứng tỏ:

a) 3a + 1 < 3b + 1 b) 2a 5 > 2b 5 c) 2a – 3 < 2b – 3

d) 2a – 3 < 2b + 5 e) 2a + 1 < 2b + 1 f) 4(a – 2) < 4(b – 2)

g) 3 – 6a > 3 – 6b h) 1 + a < 3 + b i) 3a < 2 + 3b

j) 4a + 1 < 4b + 5 k) 3 – 5m > 1 – 5b

4.6 Với m bất kỳ, hãy chứng tỏ:

a) 1 + m < 2 + m b) m – 2 < 3 + m c) a < a + 2

4.7 So sánh a và b nếu:

a) a + 5 < b + 5 b) 3a > 3b c) 5a – 6 5b – 6

d) 2a + 3 2b e) 2014a 2013 2014b 2013

4.8 Số a và b là âm hay dương nếu: a) 12a < 15a b) 4a < 3a c) –3a > 5a

d) 5b > 3b e) 12b > 8b f) 6b 9b

4.9 Cho a > 0, b > 0, nếu a < b, hãy chứng tỏ:

a) a2 < ab và ab < b2 b) a2 < b2 và a3 < b3 c) 1 1a b

4.10 Với giá trị nào của a thì: a) a2 0 b) a2 > 0 c) a2 = 0

d) a2 0 e) a2 < 0

4.11 Chứng tỏ rằng với a, b và c là ba số bất kỳ thì:

a) a2 + b2 – 2ab 0 b) 2 2a b ab

2

c) 2a a 1 0 d) 2 2 2(a b) 2(a b )

e) 2 2 2a b c 3 2(a b c) f) 2 2 2 2(a b c) 3(a b c )

g) 2 2 2a b c ab bc ca h) 2 2a b 1 ab a b

i) 2 2 2a 2b 2c 2a(b c) j) 4 4 3 3a b ab a b




Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

I. Bất phương trình một ẩn

1. Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi đó ta gọi hệ thức A(x) < B(x) (hay A(x) > B(x), A(x) ≥ B(x), A(x) ≤ B(x)) là bất phương trình một ẩn với ẩn là x. A(x) là vế trái, B(x) là vế phải của bất phương trình.

2. Giá trị của ẩn làm cho phương trình trở thành bất đẳng thức đúng gọi là nghiệm của bất phương trình.

3. Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình.

4. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương tình đó.

II. Bất phương trình tương đương

1. Định nghĩa: Hai bất phương trình gọi là tương đương với nhau nếu chúng có

chung một tập hợp nghiệm.

Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình (2), ta viết: (1) (2).

2. Hai quy tắc biến đổi tương đương bất phương trình: Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ

vế này sang vế kia của một bất phương trình ta phải đổi dấu hạng tử đó để được bất phương trình tương đương.

A( x ) B( x ) C( x ) A( x ) C( x ) B( x )

Quy tắc nhân: Khi nhân 2 vế của một bất phương trình với một số khác 0, để được một bất phương trình tương đương ta phải: Giữ nguyên chiều của bất phương tình nếu số đó dương

Với m > 0, ta có: A( x ) B( x ) m.A( x ) m.B( x )




Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm (dấu “>” “<” và “” “”)

Với m < 0, ta có: A( x ) B( x ) m.A( x ) m.B( x )

Chú ý: Chia cho một số khác 0 tức là nhân với số nghịch đảo của nó, nên khi chia ta vận dụng như quy tắt nhân.

III. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Định nghĩa:

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Cách giải: a) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn:

Sử dụng hai quy tắc biến đổi tương đương. Cần chú ý là khi nhân hay chia hai vế của bất phương trình cho cùng một số phải xác định xem số đó dương hay âm rồi áp dụng quy tắc.

b) Giải bất phương trình đưa được về dạng ax + b < 0 (ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0): Khai triển, chuyển các hạng tử có chứa ẩn sang một vế, các

hạng tử còn lại sang một vế. Thu gọn và đưa bất phương tình về dạng A(x) < B(x) (1) (hay A(x) > B(x), A(x) ≥ B(x), A(x) ≤ B(x))

Nếu A > 0, bất phương tình (1) có nghiệm là BxA

Nếu A < 0, bất phương tình (1) có nghiệm là BxA

Nếu A = 0 thì (1) 0x < B, khi đó: Nếu B ≤ 0 thì bất phương trình (1) vô nghiệm Nếu B > 0 thì bất phương trình (1) có nghiệm tùy ý

3. Biểu diễn nghiệm trên trục số: Thông thường một bất phương trình có vô số nghiệm nên không thể kiệt kê hết được. Người ta chọn cách thể hiện tập nghiệm bằng cách




biểu diễn trên trục số (phần không bị xóa) Các trường hợp thường gặp:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Chú ý: Tại a, biểu diễn ngoặc vuông “[, ]” tức trong tập nghiệm có

x = a, còn ngược lại biểu diễn ngoặc đơn “(, )” khi x = a không thuộc tập nghiệm.

4.12 Chứng minh rằng các bất phương trình sau tương đương: a) x3 – 2x2 – 1 x2 + x + 1 và x3 – 3x2 – x – 2 0 b) x2 + ax – a x3 + x2 + 1 và x3 + 2x2 – ax + a + 1 0 c) x2 + 2x + 5 3x – 7 + x2 và x – 12 0 d) x2 + x + 1 < 3x2 5x 1 và x2 – 3x – 1 > 0

e) 3x3 – 4x – 2 0 và x3 – 43

x – 23 0

f) x2 – 5 0 và 2x2 – 6 4

4.13 Giải thích sự tương đương của các bất phương trình sau: a) 2x < 3 3x < 4,5 b) x – 5 < 12 x + 5 < 22 c) 3x < 9 6x > 18

a(

{x / a < x < b}

b)

O

x (vô số nghiệm)

a[

{x / a ≤ x ≤ b}

b]

O

x R (vô số nghiệm)

a)

{x / x < a hoặc x > b}

b(

a]

{x / x ≤ a hoặc x ≥ b}

b[

b){ x / x b }

b]{ x / x b }

a({ x / x a }

a[{ x / x a }




4.14 Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn: a) 2x – 3 < 0 b) 0x + 5 > 0 c) 5x – 15 0 d) x2 > 0 e) x2 + 1 0 f) 3x + 2 > 5

4.15 Hãy viết thành bất phương trình và chỉ ra một nghiệm của nó từ các mệnh đề sau: a) Tổng của một số nào đó và 5 nhỏ hơn 5. b) Hiệu của 9 và một số nào đó nhỏ hơn 12. c) Tổng của hai số nào đó và 3 lớn hơn 12. d) Hiệu của 5 và 3 lần số đó nhỏ hơn 10. e) Tổng của số nào đó với hai lần số đó không vượt quá 5.

4.16 Giải các bất phương trình sau:

1. a) x – 5 > 3 b) x – 2x < 2x + 4 c) 3x > 4x + 2 d) 8x + 2 < 7x – 1 e) 3x + 4 > 2x + 3 f) x – 4 < 8 g) x – 2 > 4 h) 3 – 4x 19 i) x + 3 > 6 j) 2x – 1 > 5 k) 3x – 2 < 4 l) 2 – 5x 17 m) 3x + 2 > 8 n) 4x – 5 < 7 o) 2x + 1 < 7 p) 13 – 3x > 2 q) 7x – 2,2 < 0,6 r) 1,5 > 2,3 – 4x

2. a) 3x < 2x + 5 b) 2x + 1 < x + 4 c) 4x – 2 > 5x + 6

3. a) 0,3x > 0,6 b) 4x < 12 c) x > 4 d) 3x < 18 e) 2x > 6 f) 0,2x > 8

g) 1,5x > 9 h) 1,2x < 6 i) 32

x > 6

j) 56

x < 20 k) 3 – 14

x > 2 l) 5 – 13

x > 2

m) 12

x > 3 n) 13

x < 2 o) 35

x > 6

4. a) 2x + 45

> 95

b) 6 – 35

x < 4 c) 5 + 23

x > 3

d) 3x 1 24

e) 2x 4 33

f) 6 4x 15

g) 1 2x 43

h) 15 6x 53

i) 8 11x 134

4.17 Giải các bất phương trình sau:




1. a) 8x + 3(x + 1) > 5x – (2x – 6) b) 2x(6x – 1) > (3x – 2)(4x + 3) c) (x – 1)2 < x(x + 3) d) (x – 2)(x + 2) > x(x – 4) e) 2x + 3 < 6 – (3 – 4x) f) 2 – 7x > (3 + 2x) – (5 – 6x) g) (x + 2)2 < 2x(x + 2) + 4 h) (x+2)(x+4) > (x–2)(x + 8) + 26 i) x2 – x(x + 2) > 3x – 1 j) 2x – x(3x + 1) 15 – 3x(x + 2) k) 18 – 3x(1 – x) < 3x2 – 3x + 1 l) (x + 1)(2x – 2) – 3 5x – (2x + 1)(3 – x) m) x2 – 3x + 1 > 2(x – 1) – x(3 – x) n) (x – 1)2 + x2 (x + 1)2 + (x + 2)2

2. a) 1 2x 1 5x24 8

b) x 1 x 11 84 3

c) 1 x 4(x 1)4 6

d) 2 x 3 2x

3 5

e) 12x 1 9x 1 8x 112 3 4

f) 3(x 1) x 12 38 4

g) 2 x(2x 3) x 1x2 2

h) 3x 1 13 x 7x 11(x 3)5 2 3 2

i) 2 2(x 3) (2x 1) x

3 12

j) 2(2x 1) (1 x)3x 5x 1

4 3 4

k) 5x 2 1 2x4 12

l) 12x 5 3x 18 12

m) 11 3x 5x 210 15

n) 1 4x 5 3x12 9

4.18 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số: 1. a) 2x – 3 > 0 b) 2x – 4 < 0 c) 3x + 9 > 0

d) 3x + 4 < 0 e) 4 – 3x 0 f) 5 – 2x 0 g) x + 3 < 0 h) 3x + 12 0 i) 6 – 4x 0

2. a) 11 02 3x

b) 6 05x 12

c) 2x 6 03

d) 13 08 5x

e) 2 7x 05

f) 1 9x 0

8

3. a) x 1 7x 3 2x 1 3 2x2 15 3 5




b) 22x 1 2x 3 x(5 3x) 4x 1

3 4 6 5

c) 4x 2 1 5xx 33 4

d) 25x 3 3x 1 x(2x 3) 55 4 2

e) x 4 x 3 x 2x 55 3 2

f) 25x 2 2x x x(1 3x) 5x

3 2 3 4

g) 2x 1 12x 3x2 5

h) 5x x xx 36 3 6

4. a) x 1 x 21 16 2

b) 2x 1x 1 1 2x 43

4.19 Tìm các giá trị của x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 2x – 5 không âm.

b) Giá trị biểu thức 53x 18

là âm.

c) Giá trị biểu thức 8x 153 là dương.

d) Giá trị biểu thức 5 3x 22

là không dương.

e) Giá trị của biểu thức 3x không lớn hơn giá trị của biểu thức 7x + 5.

f) Giá trị phân thức 5 2x6 lớn hơn giá trị phân thức 5x 2

3 .

g) Giá trị phân thức 1,5 x5 nhỏ hơn giá trị phân thức 4x 5

2 .

h) Giá trị phân thức 5x(x 3) 24

lớn hơn giá trị phân thức

x(10x 3) x8

.

i) Giá trị phân thức (x 1)(x 2) x6

không nhỏ hơn giá trị phân thức

22x 8x 112 .

4.20 Tìm các nghiệm nguyên âm của các bất phương trình: a) 4x + 13 0 b) 3(2x – 3) < 2(5x + 2)




4.21 Tìm các nghiệm nguyên dương của các bất phương trình: a) 17 – 3x 0 b) x(x – 2) – 5x + 21 (x – 2)2

4.22 Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn mỗi bất phương trình sau: a) 4n – 19 0 b) 17 – 6n 8 c) 3(5 – 4n) + (27 + 2n) > 0 d) (n + 2)2 – (n – 3)(n + 3) 40

4.23 Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn cả hai bất phương trình: a) 2x > 9 và 7 – 3x < 0 b) 16 – 3x > 0 và 4x – 3 0 c) 7 – 3x > 0 và (x – 3)2 – 14 < (x – 2)2

4.24 Tìm tất cả các số nguyên x là nghiệm của bất phương trình đầu nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ hai:

a) 3x +2 0 và 4 – 2x 0 b) 3x – 4 < 0 và 2x – 11 > 0 c) 3 – 2x 0 và 3x – 14 0

4.25 Tìm các số nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau: a) 0,2x + 3,2 > 1,5 b) 4,2 – (3 – 0,4x) > 0,1x + 0,5

4.26 Tìm các số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau: a) 5,2 + 0,3x < 0,5 b) 1,2 – (2,1 – 0,2x) < 4,4

4.27 So sánh hai số a và b nếu:

a) x < 5 (a – b)x < 5(a – b) b) x > 2 (a – b) < 2(a – b)

4.28 Với giá trị nào của m thì phương trình ẩn x: a) x – 3 = 2m + 4 có nghiệm dương. b) 2x – 5 = m + 8 có nghiệm âm.




Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Định nghĩa

x khi x 0x

x khi x 0

2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối:

– x = x x2 = x2

a + b a + b a b a b

a.b = a.b a ab b

3. Giải một phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Để giải một phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta quy về việc giải hai phương trình ứng với biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối âm hay dương. Sau khi giải xong từng phương trình kiểm tra lại nếu nghiệm thỏa điều kiện thì nhận không thì thôi.

4. Các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp:

Dạng 1: A = B (1) (với B là một số thực không chứa biến) Nếu B < 0 : phương trình vô nghiệm Nếu B > 0 : (1) A = B hoặc A = – B

Dạng 2: A = B (2) (với B là một biểu thức có chứa biến) Nếu A 0 x … (*)

(2) A = B x = … (đem nghiệm này so với điều kiện (*) nếu thỏa thì lấy) Chú ý: Trường hợp phương trình A = B có VSN thì phương trình

(2) có nghiệm là (*). Nếu A < 0 x … (**)

(2) – A = B x = … (đem nghiệm này so với điều kiện (**) nếu thỏa thì lấy) Chú ý: Trường hợp ph/trình – A = B có VSN thì phương trình (2)

có nghiệm là (**).




Vậy nghiệm của phương trình là: (lấy nghiệm của hai trường hợp trên).

Dạng 3: A = B A = B A = B hoặc A = – B

(giải hai phương trình này tìm nghiệm nếu có).

Dạng 4:

A + B + … + N= 0 (1)

A 0 ( a )B 0 ( b )...N 0 ( n )

Nghiệm của (1) là nghiệm chung của các phương trình (a), (b), … (n).

Dạng 5: Phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

Tìm giá trị của ăn để biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0. Các giá trị này khi biểu diễn lên trục số sẽ chia trục số thành nhiều khoảng giá trị của ẩn.

Cho ẩn lấy giá trị trên từng khoảng, trên từng khoảng đó dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối sẽ âm hoặc dương. Dựa vào đó mà bỏ dấu trị tuyệt đối.

Giải phương trình, giá trị tìm được phải nằm trong khoảng đang xét mới nhận làm nghiệm.

Nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm vừa tìm được trên từng khoảng.

4.29 Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 3x + 2 + 5x trong hai trường hợp: x 0 và x < 0.

b) B = 4x 2x + 12 trong hai trường hợp: x 0 và x > 0.

c) C = x – 4 2x + 12 khi x > 5

d) D = 3x + 2 + x + 5 e) E = 1 + 4x2 2x – 4x2

f) x 1

F x 1x 1

g) 2x 1G 1 2x1 2x




h) 2

2

x 3H x 5

x 3

i) 2 x

I x 2 xx 2


1. a) 2x = x – 6 b) 5x 16 = 3x

c) 4x = 2x + 12 d) 3x = x – 8

e) 0,5x = 3 – 2x f) 2x = 3x + 4

g) 5x = x – 12 h) 2,5x = 5+1,5x

i) 3,5x = 1,5x + 5 j) 2x = 3x – 2

k) 3x = x + 8 l) 2x = 4x + 18

2. a) x – 5 = 3 b) 2x – 5 = 4

c) x + 6 = 1 d) 3 – 7x = 2

e) x – 5 = 2 f) 8x – 5x = 2

g) x – 2 = 3 h) 4x + 3 = 0

i) x – 7 = 2 j) 5x – 2x = 1

k) 3x + 2 = 0 l) 3212x – 1994= 5

3. a) x 7 = 2x + 3 b) x + 4 = 2x – 5

c) x + 3 = 3x – 1 d) 9 + x = 2x

e) x – 1 = 3x + 2 f) x + 6 = 2x + 9

g) 7 – x = 5x + 1 h) x – 4 + 3x = 5

i) 3x – 2 = 2x j) 4 + 2x = 4x

k) 2x – 3 = x + 21 l) 3x – 1 = x – 2

m) 2x – 3 = x n) x – 3 = 4 – x

o) 3x – 4 = x + 4 p) x – 7 3 = x

q) x + 8 = x r) x – 8 = x

s) 2x – 5 = x + 1 t) 5 – 2x = 1 – x

u) 2 – x = 0,5x – 4 v) x + 15 = 3x – 1




w) x – 5 = 3x x) x + 2 = 2x – 10

4. a) 2x – 3 = 2x – 3 b) 5x – 4 = 4 – 5x

c) 2x + 3 = 2x + 2 d) 5x – 3 = 5x – 5

e) x2 – 3x + 3 = x2 + 3x – 1 f) x2 – 9 = x2 – 9

5. a) 5x 3x – 2 = 0 b) x – 5x + 2x 3 = 0

e) 3 – x+ x2 – (4 + x)x = 0 f) (x – 1)2 + x + 21 x2 – 13 = 0

6. a) x 3 1 2 b) x 1 1 5

c) x 2 3 5 d) 2 1 x 1

7. a) 2 – x=2x – 3 b) x + 3 = 5 – x

c) 2x – 1 = 2 – 3x d) 2x = x(x – 2)

e) x(x + 1) = 3 – x f) 3x – 12x + 3 = 0

8*. a) x – 1+2 x = 3 b) x + 3+x – 5 = 3x – 1

c) x 2x – 1+3x – 2 = 4 d) x – 1+x+2+x – 3 = 14

e) 1 – xx – 2x – 3 = 0,5 f) x – 3 + x + 2 = 7

g) x + 1 – x = x + x – 3 h) x – 3+x – 11= 8

9. a) 5x – 3 = 2x2 b) 2x – 3 = (2x – 3)2

10. a) x + 2 + 2x – 1 = 0

b) 1 – 2x + 7x – 6 + 0,5 – 7,5x= 0

c) x3 – 2x – 4+3x3 – 7x2 + 2x 12 = 0




Bất phương trình tích, thương. Bất phương trình bậc hai.

Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1. Bất phương trình tích

Dạng 1. A( x ).B( x ) 0

A( x ) 0B( x ) 0

hoặc

A( x ) 0B( x ) 0

A( x ).B( x ) 0

A( x ) 0B( x ) 0

hoặc

A( x ) 0B( x ) 0

Dạng 2. A( x ).B( x ) 0

A( x ) 0B( x ) 0

hoặc

A( x ) 0B( x ) 0

A( x ).B( x ) 0

A( x ) 0B( x ) 0

hoặc

A( x ) 0B( x ) 0

2. Bất phương trình thương

Dạng 1. A( x ) 0B( x )

A( x ) 0B( x ) 0

hoặc

A( x ) 0B( x ) 0

A( x ) 0B( x )

A( x ) 0B( x ) 0

hoặc

A( x ) 0B( x ) 0

Dạng 2. A( x ) 0B( x )

A( x ) 0B( x ) 0

hoặc

A( x ) 0B( x ) 0

A( x ) 0B( x )

A( x ) 0B( x ) 0

hoặc

A( x ) 0B( x ) 0

3. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

x a a x a

x a x a hoặc x a Một số bất phương trình đặc biệt: |a| ≥ 0 a R |a| > 0 a ≠ 0 |a| ≤ 0 a = 0 |a| < 0 a




4. Bất phương trình bậc hai

a) Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có các dạng: (1): ax2 + bx + c > 0 (2): ax2 + bx + c ≥ 0 (3): ax2 + bx + c < 0 (4): ax2 + bx + c ≤ 0

(trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0) b) Một số bất phương trình đặc biệt:

a2 ≥ 0 a R a2 > 0 a ≠ 0

a2 ≤ 0 a = 0 a2 < 0 a c) Cách giải: Cách 1: Đưa về bất phương trình tích bằng cách phân tích vế trái

thành nhân tử. Cách 2: Đưa về bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

2 2X A X A A X A

2 2X A X A X A hoặc X A

Cách 3: Xét dấu (Học ở lớp 10)

4.31 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số: a) x(x – 1) < 0 b) (x – 2)(x – 5) > 0 c) (x + 5)(7 – 2x) > 0 d) (2x + 1)(x – 3) < 0 e) x2 – 6x < 0 f) x2 – 4x + 3 > 0

g) x 2 0x 3

h) x 2 0x 5

i) x 1 1x 3

j) 2 x 13x 1

k) x 1 2 l) 2x 1 3

4.32 Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm: a) x2 + 1 < 1 b) x2 + 2x < 2x c) x2 – 2x + 3 < 2x + 3 d) x2 + 2x + 2 0 e) 4x2 4x + 5 0 f) x2 + x + 1 0

4.33 Chứng minh rằng mọi số thực x đều là nghiệm của các bất phương trình sau: a) 2x2 4x + 5 > 0 b) 3x2 + 2x + 1 0 c) x2 + 6x 10 < 0

d) x2 + 3x 3 < 0 e) 2x 4x 5 0

2

f) 2

2

6 2x x 0x 1





4.34 Cho m > n, chứng minh: a) m + 2 > n + 2 b) 2m < 2n c) 2m – 5 > 2n – 5 d) 4 – 3m < 4 3n e) 3m + 5 > 3n + 2 f) 2 – 4m < 3 – 4n

4.35 Kiểm tra xem x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây: a) 3x + 2 > 5 b) 10 – 2x < 2 c) x2 – 5 < 1 d) x < 3 e) x > 2 f) x + 1 > 7 – 2x

4.36 Giải các bất phương trình sau: a) 3 – 2x > 4 b) 3x + 4 < 2 c) (x – 3)2 < x2 – 3 d) (x – 3)(x + 3) < (x + 2)2 + 3 e) x2 – 5 < x2 + 1 f) x > x – 5 g) (x – 2)2 ((x – 3)(x + 1) `h) (x2 + 1)(x – 6) (x – 2)3

4.37 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số: 1. a) x – 1 < 3 b) x + 2 > 1

c) 0,2x < 0,6 d) 4 + 2x < 5 e) 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1 f) 4x – 8 3(3x – 2) + 4 – 2x g) 3(x – 2)(x + 2) < 3x2 + x h) (x + 4)(5x – 1) > 5x2 + 16x + 2

2. a) 2 x 54

b) 2x 335

c) 4x 5 7 x3 5

d) 2x 7 3x 2 5x 2 1 x15 6 3 2

e) 3x 72x 1,45

f) 25x 3x 3x 1 x(2x 1) 35 4 2 2

g) 1 2x 2x 11 23 6

h)25x 20 2x x x(1 3x) 5x

3 2 3 4

i) x 1 2x 11 23 6

j) 25x 3 3x 1 x(2x 3) 55 4 2

k) x 1 2x 3 xx 5 13 2 3

l)25x 2 2x x x(1 3x) 5x

3 2 3 4

m) 2x 3 4 x4 3

n) 215x 2 x 1 x(1 2x) x 3

4 3 6 2




4.38 Tìm các giá trị của x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 5 – 2x là số dương.

b) Giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4x 5.

c) Giá trị của biểu thức 2x + 1 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3.

d) Giá trị của biểu thức x2+ 1 không lớn hơn giá trị của biểu thức (x 2)2.

e) Giá trị của biểu thức 2x 3 x(x 2)35 7

không lớn hơn giá trị của biểu

thức 2x 2x 3

7 5

.

f) Giá trị của biểu thức 6x 1 x 318 12

không nhỏ hơn giá trị của biểu thức

5x 3 12 5x6 9

.

g) Giá trị của biểu thức 10x 5 x 318 12

không nhỏ hơn giá trị của biểu

thức 7x 3 12 x6 9

.

4.39 Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn cả hai bất phương trình: 10x 5 x 3

18 12

và 10x 5 x 318 12

4.40 Cho biểu thức: 2 2

3

x 6 1 10 x: x 2x 4x 6 3x x 2 x 2

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

b) Rút gọn biểu thức.

c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương.

4.41 Cho biểu thức: 2x 2 2 2 4x x 3x 13 :

3x x 1 x 1 3x



c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm.




4.42 Cho biểu thức: 2

2

1 2x x 2x 24 12x4 2x 3x 6 12 3x 6 13x





2 2

2

x2x 1 x 1x 1

x x x x 1x x 1




4.44 Cho biểu thức: 2x 2 2 2 4x x 3x 13 :

3x x 1 x 1 3x




4.45 Cho biểu thức: 3 24x 6x 8x

2x 1



c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị không âm.


8 2xx x 20







Phần 2. Hình học Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Đoạn thẳng tỉ lệ

1. Tỉ số của hai đoạn thẳng:

Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD, kí hiệu: ABCD

là tỉ số sđộ dài của

chúng theo cùng đơn vị đo. Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo.

2. Đoạn thẳng tỉ lệ:

Cặp đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng

AB và CD AB A' B'CD C' D'

3. Một số tính chất tỉ lệ thức:

AB A' B' AB.C' D' A' B' .CDCD C' D'

AB A' B' AB CD;CD C' D' A' B' C' D'AB.C' D' A' B' .CDC' D' A' B' C' D' CD;CD AB A' B' AB

AB CD A' B' C' D'AB A' B' CD C' D'

AB A' B'CD C' D'AB CD A' B' C' D'




AB A' B' AB A' B'CD C' D' CD C' D'

4. Điểm chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước

Cho đoạn thẳng AB. Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc thuộc đường

thẳng AB) được gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ab

(với a, b > 0) nếu

có CA aCB b

.

Nếu C chia AB theo tỉ số a 0b

thì C chia BA theo tỉ số ba

.

Nếu a 1b

C là trung điểm của đoạn AB.

Nếu a 1b

, Có hai điểm C và C cùng chia AB theo tỉ số ab

(C thuộc

C nằm trên đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thảng AB)

3.1 Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau: a) AB = 9 cm và CD = 27 cm b) EF = 36 cm và 12 dm

3.2 Cho biết AB 3CD 4

và CD = 12cm. Tính độ dài của đoạn thẳng AB.

3.3 Cho ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G.

a) Tính AEAC

b) Tính AGGD

c) Kể tên 2 cặp đoạn thẳng tỷ lệ với AG và GD.

3.4 Cho biết độ dài của đoạn thẳng AB gấp 12 lần độ dài của đoạn thẳng CD, đoạn thẳng AB gấp 5 lần độ dài của đoạn thẳng CD. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và AB.

3.5 Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm trong đoạn AB.

Tính các tỉ số AMAB

và BMAB

nếu:

a) MA 1MB 2

b) MA 7MB 4

c) MA mMB n

(với m, n N*)




3.6 Đoạn thẳng AB gấp năm lần đoạn thẳng CD, đoạn thẳng AB gấp bảy lần đoạn thẳng CD. a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và AB. b) Cho biết đoạn thẳng MN = 505cm và đoạn thẳng MN = 707cm, hỏi

hai đoạn thẳng AB, AB có tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và MN hay không ?

3.7 Cho 5 điểm A, B, C, D, E, theo thứ tự trên một đường thẳng. Biết

AB = 6cm, BC = 9cm, CD = 4cm và AB CDBC DE

. Tính AE.

3.8 Cho ABC, B AB và C AC. Cho biết: AB' AC'AB AC

.

Chứng minh: AB' AC'AB AC

; BB' CC'AB AC

3.9 Trên một đường thẳng, đặt 4 đoạn thẳng liên tiếp: AB=BC=2CD= 4DE.

Tính các tỉ số: ABBE

; ACAE

; ADAE

; AEBD

.

3.10 Cho đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng d. Trên d lấy điểm C thuộc đoạn

thẳng AB và điểm D nằm ngoài AB sao cho CA DA 3CB DB 5

.

a) Tính ABAC

; ABCB

b) Cho AB = 24cm, Tính CA, DA.

3.11 Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự trên một đường thẳng và AB CB 2AD CD 3

.

a) Nếu BD = 1cm. Tính CB, DA.

b) Chứng minh: 3AB 2ADAC5

c) Gọi O là trung điểm của BD. Chứng minh: OB2 = OA . OC.




Định lý Ta-lét (Thalès) trong tam giác

1. Định lý Ta-lét thuận:

a) Phát biểu: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

b) Cách trình bày: Xét ABC, ta có:

BC // BC (?)

AB' AC'AB AC

; B' A C' AB' B C' C

; BB' CC'BA CA

(định lí Ta-lét)

2. Định lý Ta-lét đảo:

a) Phát biểu: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.


AB' AC'AB AC

hoặc AB' AC'BB' CC'

hoặc BB' CC'AB AC

(?)

BC // BC (định lí Ta-lét đảo)

3. Hệ quả của định lý Ta-lét:

a) Phát biểu: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

A

B C

B' C' a

A

B C

B' C' a




b) Cách trình bày:

Xét ABC, ta có: BC // BC (?)

AB' AC' B' C'AB AC BC

(hệ quả của định lí Ta-lét)

3.12 Cho ABC có AC = 8,5cm. Lấy M, N lần lược thuộc AB và AC sao cho AM = 4cm và AN = 5cm. Biết MN // BC. Tính BM.

3.13 Cho DEF có DF = 24cm. Lấy P, Q lần lược thuộc DE và DF sao cho EP = 10,5cm và DQ = 9cm. Biết PQ // EF. Tính DP.

3.14 Cho ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Biết AM = 17cm, BM = 10cm, CN = 9cm. Tính AN.

3.15 Cho PQR, đường thẳng song song với cạnh QR cắt PQ, PR lần lượt tại E và F. Biết PF = 20cm, FR = 15cm, EP = 16cm. Tính PQ.

3.16 Cho ABC, có AB = 5cm, BC = 6,5cm. Trên AB lấy điểm D sao cho DB = 3cm, từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Tính DE.

3.17 Cho OPQ, có PQ = 5,2cm. Trên tia đối của tia OP lấy điểm N sao cho ON = 2cm. Từ N vẽ đường thẳng song song với PQ cắt đường thẳng OQ tại M. Tính độ dài đoạn thẳng OP khi MN = 3cm.

3.18 Cho ABC, có AB = 12cm, AC = 20cm và BC = 28cm. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm P, N, M sao cho AP = 3cm,

BN = 1 BC4

, 3AM = MC. Chứng minh: BNMP là hình bình hành.

3.19 Cho OAB vuông tại A, có OA = 6cm. Trên tia đối của tia OA lấy A sao

cho 1 BC4

. Từ A vẽ đường vuông góc với AA tại A, đường thẳng này

A

B' C ' a

B C

A

B C

aB' C '

A

B C

aB'C '




cắt OB kéo dài tại B. Tính OB và AB, biết AB = 4,2cm.

3.20 Cho góc xÔy. Trên tia Ox lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho: OA = 2cm, AB = 3cm. Trên tia Oy lấy điểm C với OC = 3cm. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D. a) Tính độ dài đoạn thẳng CD. b) Nếu OA = m, AB = n, OC = p. Tính CD theo m, n, p.

3.21 Gọi G là trọng tâm của ABC. Từ G kẻ các đường thẳng song song với 2 cạnh AB và AC, cắt BC lần lượt tại D và E.

a) So sánh các tỉ số BDBC

và ECBC

.

b) So sánh 3 đoạn thẳng BD, DE, EC.

3.22 Cho ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B, C và H.

a) Chứng minh: AH' BC'AH BC

b) Cho AH = 31

AH và diện tích ABC là 67,5cm2. SABC.

3.23 Cho ABC có AB = 7,5cm. Trên AB lấy điểm D với: DB 1DA 2

.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DA, DB.

b) Gọi DH, BK lần lượt là khoảng cách từ D, B đến AC. Tính BDBC

.

c) Cho biết AK = 4,5cm. Tính HK.

3.24 Cho ABC có BC = a. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC. a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF theo a. b) Tính SMNFE, biết a = 15cm và SABC = 270cm2.

3.25 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Dùng định lý Talét để chứng minh: a) 2 đoạn thẳng DE và BG chia AC thành 3 đoạn bằng nhau. b) AG và AF chia BD thành 2 đoạn bằng nhau.




3.26 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với 2

đáy, cắt cạnh bên AD ở M và cắt cạnh BC ở N. Biết AB CB 2AD CD 3

.

Chứng minh: AB CB 2AD CD 3

3.27 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB. b) So sánh độ dài đoạn MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.

3.28 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD theo thứ tự là N và M. Chứng minh:

a) MN // AB b) CD ABMN2

3.29 Cho ABC. Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E.

a) Chứng minh: AB CB 2AD CD 3

.

b) Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB. Gọi M là giao

điểm của DF và BC. Chứng minh: DM ACMF AB

.

3.30 Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua A lần lượt cắt BD ở I, BC ở J và CD ở K.

a) So sánh IBID

và IBID

b) Chứng minh: IA2 = IJ . IK

c) Chứng minh: DC BJDK BC

.

3.31 Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh: IK // AB. b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F.

Chứng minh: EI = IK = KF.




3.32 Cho ABC. Điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AC, AB cắt AB, AC lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh: AE AF 1AB AC

b) Xác định điểm D trên BC để EF // BC.

c) Nếu DB 1DC 2

, chứng minh: EF song song với trung tuyến BM.

3.33 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có các đường chéo cắt nhau tại O. a) Chứng minh: OA . OD = OB . OC b) Kẻ một đường thẳng bất kỳ qua O cắt AB ở M, CD ở N. Biết

MA mMB n

. Tính NDNC

. Áp dụng để chứng minh định lý: “Trong một

hình thang, đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của một đáy thì đi qua trung điểm của đáy kia”

c) Qua O, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: O là trung điểm của đường thẳng PQ.

3.34 Cho tứ giác ABCD. Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G. Qua G kẻ đường thẳng song song với CB cắt AB ở H. C.minh: a) HE // BD b) AE . BH = AH . DE

3.35 Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các

điểm E, F, G, H sao cho: AE = 2EB, BF = 12

FC, CG = 2CD,

DH = 12

HA. Chứng minh: EFGH là hình bình hành.

3.36 Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ tia Ax cắt BD ở I, BC ở J và cắt tia DC ở K. Chứng minh: IA2 = IJ . IK và tích KD.BJ không đổi.

3.37 Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC ở M, AB ở N. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB ở F. Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở P. Chứng minh: MP // AB và 3 đường thẳng MP, CF và DB đồng qui.

3.38 Cho ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE




và BC. Chứng minh: tỉ số KDKE

không phụ thuộc vào cách chọn các điểm

D và E.

3.39 Cho ABC, trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC lần lượt ở D và E. Chứng minh: DE = BK.

3.40 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh:

a) AE BFED FC

b) AE BFAD BC

c) DE CFDA CB

3.41 Cho hình bình hành ABCD. Vẽ một đường thẳng cắt AB ở E, AD ở F, AC

ở G. Chứng minh: AB AD ACAE AF AG

3.42 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: OE = OF.

3.43 Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho: AM ANAB AC

. Gọi I là trung điểm của BC, AI cắt MN ở K. Chứng minh: K

là trung điểm của MN. Áp dụng chứng minh: Trong một hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của 2 đáy cùng nằm trên một đường thẳng.

3.44 Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M và trên cạnh CD lấy một điểm N sao cho DN = BM. C/minh: MN, DB, AC đồng qui.




Tính chất đường phân giác của tam giác

a) Phát biểu: Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thảng ấy.


AD là tia phân giác trong của BÂC (?)

AB DBAC DC

(1) (t/c đường p/g trong )

Xét ABC, ta có: AE là tia phân giác ngoại của BÂx (?)

AB EBAC EC

(2) (t/c đường p/g trong )

Chú ý: Từ (1) và (2) ta có: AB DB EBAC DC EC

3.45 Cho ABC cân tại A có BC = 8cm, tia phân giác của góc B cắt đường cao

AH ở K. Biết AK 3AH 5

. Tính độ dài AB.

3.46 Cho ABC vuông tại A, 0C 30 , kẻ phân giác BD. Tính DADC

.

3.47 Cho ABC cân tại A, phân giác BD. Biết BC = 10cm, AB = 15cm. a) Tính AD, DC. b) Phân giác ngoài của B cắt AC ở E. Tính EC.

3.48 Cho ABC cân, có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N. a) Chứng minh: MN // AC. b) Tính MN theo a, b.

3.49 Cho ABC, đường phân giác của góc Â cắt BC tại D. Biết AB = 4,5cm, AC = 7,2cm, BD = 3,5cm. Tính CD.

E B D C

A

x




3.50 Cho MNP, đường phân giác của góc P cắt MN tại Q. Biết PM = 6,2cm, PN = 8,7cm, MN = 12,5cm. Tính QN.

3.51 Cho ABC, phân giác góc Â cắt BC tại E. Biết AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Tính EB, EC.

3.52 Cho ABC có các đường phân giác AD, BE và CF.

Chứng minh: DB EC FA 1DC EA FB

.

3.53 Cho ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của AMB cắt AB ở D, đường phân giác của AMC cắt AC ở E. a) Chứng minh: DE // BC. b) Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh: DI = IE.

3.54 Cho ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E AC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE. b) Cho biết diện tích ABC là S, tính diện tích ABD, ADE và DCE.

3.55 Cho ABC vuông tại A có AB = 21cm, AC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E AC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE. b) Tính diện tích ABD và ACD.

3.56 Cho ABC cân tại A, phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm. a) Tính AD, DC. b) Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E.

Tính EC.

3.57 Cho ABC có 0A 90 , AB = 12cm, AC = 16cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. a) Tính BC, BD, CD. b) Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.

3.58 Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và D thuộc BC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b.




b) Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm và b = 7m,25cm.

3.59 Cho ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân

giác. Chứng minh: ABD

ACD

S mS n

.

3.60 Cho ABC, I là trung điểm của BC. Đường phân giác của góc AIB cắt AB ở M và phân giác của góc AIC cắt cạnh AC ở N. a) Chứng minh: MN // BC. b) ABC phải thỏa điều kiện gì để MN = AI ? c) Với điều kiện nào thì tứ giác AMIN là hình vuông ?

3.61 a) Cho ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của ABC là S.

b) Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích ABC.

3.62 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, 0D 60 . Phân giác của D cắt

AC tại I, chia AC theo tỉ số 411

và cắt AB tại M. Biết MA – MB = 6cm.

Tính AB, CD.




Tam giác đồng dạng

1. Định nghĩa: Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có 3 cặp góc bằng nhau đôi một và 3 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

ABC ABC

A A'; B B'; C C'AB BC CA k

A' B' B' C' C' A'

(k là tỉ số đồng dạng)

2. Tính chất:

a) Phản xạ : ABC ABC b) Đối xứng: Nếu ABC ABC thì ABC ABC. c) Bắc cầu:

ABC A' B' C'

ABC A" B" C"A' B' C' A" B" C"

(Nếu ABC A' B' C' theo tỉ số k1 và A' B' C' A" B" C" theo tỉ số k2 thì ABC A" B" C" theo tỉ số k = ……… )

3. Định lí:

a) Phát biểu: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

b) Cách trình bày:

Xét ABC và ABC, ta có:

A

B C

A

B CA

B C

M N

M N

M N

a

a

a

A'

B' C'

A

B C




MN / / BC

AMN ABCM AB, N AC

Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.

4. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác:

a) Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) Định lí: Nếu 3 cạnh của tam giác này tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác

kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. Trình bày:


AB AC BC ABC A' B' C' ( c.c.c )

A' B' A' C' B' C'

b) Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c) Định lí: Nếu 2 cạnh của tam giác này tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác

kia và 2 góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì 2 tam giác đó đồng dạng.

Trình bày: Xét ABC và ABC, ta có:

AB AC

A' B' A' C' ABC A' B' C' ( c.g.c )A A'

c) Trường hợp góc - góc (g.g) Định lí: Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của tam

giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. Trình bày:


A A'

ABC A' B' C' ( g.g )B B'

5. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông:

a) Trường hợp góc - góc (g.g) Định lí: Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của

tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng





0A A' 90

B B'

ABC A' B' C' ( g.g )

b) Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c) Định lí: Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với 2

cạnh góc vuông của tam giác kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng.


0A A' 90ABC A' B' C' ( c.g.c )AB AC

A' B' A' C'

c) Trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông (ch.cgv) Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác

vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng.


0A A' 90ABC A' B' C' ( ch.cgv )AB BC

A' B' B' C'

6. Quan hệ giữa tỉ số đồng dạng với các tỉ số khác:

Cho ABC A' B' C' theo tỉ số k. Tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng bằng k. Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng bằng k. Tỉ số của hai đường cao tương ứng bằng k. Tỉ số của hai chu vi tương ứng bằng k. Tỉ số của hai diên tích tương ứng bằng k2.

C

A B A ' B'

C '

C

A B A ' B '

C '

C

A B A ' B'

C'




3.63 Cho ABC, lấy M AB, N AC sao cho: AM 2MB 3

và AN 2NC 3

.

a) Hai đường thẳng MN và BC có song song với nhau không ? Vì sao ? b) Cho biết chu vi và diện tích ABC lần lượt P và S. Tính chu vi và diện

tích AMN.

3.64 Tỉ số các cạnh bé nhất của hai tam giác đồng dạng là 25

. Tính chu vi của

hai tam giác đó, biết hiệu hai chu vi của chúng bằng 42dm.

3.65 Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho: DB 1DC 2

. Kẻ DE // AC,

DF // AB (EAB, FAC) a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng. Đối với mỗi cặp, hãy viết các

góc bằng nhau và các tỉ số tương ứng. b) Tính chu vi BED, biết rằng hiệu chu vi của hai DFC và BED là

30cm.

3.66 Cho ABC có AB = 16,2cm; BC = 24,3cm; AC = 32,7cm. Tính độ dài các cạnh của ABC, biết rằng ABC đồng dạng với ABC và: a) AB lớn hơn AB là 10,8cm. b) AB bé hơn AB là 5,4cm.

3.67 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của DC. Chứng minh 3 tam gíac ADE, ABE và BEC đồng dạng với nhau.

3.68 Cho ABC và ABC. Biết AB = 6cm, BC = 12cm, CA = 9cm, AB = 4cm, BC = 8cm, CA= 6cm. a) ABC và ABC có đồng dạng với nhau không ? b) Tính tỉ số chu vi của hai .

3.69 Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không ? a) 4cm, 5cm, 6cm và 8cm, 10cm, 12cm. b) 3cm, 4cm, 6cm và 9cm, 15cm, 18cm. c) 1dm, 2dm, 2dm và 1dm, 1dm, 0,5dm.

3.70 Cho ABC ( 0A 90 ) có AB = 6cm, AC = 8cm và ABC ( 0A' 90 ) có AB = 9cm, BC =15cm. Hỏi hai tam giác vuông đó có đồng dạng hay không ? Vì sao ?




3.71 Cho ABC có G là trọng tâm. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của GA, GB, GC. Chứng minh: PQR và ABC đồng dạng.

3.72 Cho ABC có H là trực tâm. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của HA,

HB, HC. Chứng minh: KMN ABC với tỉ số đồng dạng k = 12

.

3.73 Cho ABC, điểm O nằm trong . Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC. a) Chứng minh: DEF ABC. b) Tính chu vi của DEF, biết rằng chu vi của ABC bằng 543cm.

3.74 Cho ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, BC = 7cm, CA = 5cm. ABC đồng dạng với ABC và có chu vi bằng 55cm. Hãy tính độ dài các cạnh của ABC (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ hai).

3.75 Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là 1517

và hiệu độ dài hai cạnh

tương ứng của chúng là 12,5cm. Tính hai cạnh đó.

3.76 Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = AE. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N. a) Tìm đồng dạng với ADC và tìm tỉ số đồng dạng. b) Điểm E ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của MN ?

3.77 Cho ABC. Dựng đồng dạng với đó, biết tỉ số đồng dạng k = 23

. Có

thể dựng được bao nhiêu như thế ?

3.78 Cho ABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm. Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm, trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

3.79 Cho ABC có AC = 12cm, BC = 16cm. Điểm D BC sao cho: ADC BAC . Tính DC.

3.80 Hình thang ABCD có AB // CD, A CBD . C/minh: BD2 = AB . CD.

3.81 Cho ABC có 3 đường cao AD, BE, CF với H là trực tâm. Chứng minh:




a) AHE BHD. b) HA . HD = HB . HE = HC . HF.

3.82 Cho ABC có A 2B . Tính AB, biết AC = 9cm, BC = 12cm.

3.83 Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm. C/m:

a) A DBC . b) BC = 2AD.

3.84 Cho ABC có AB = 10cm, AC = 20cm. Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm. Chứng minh: ABD = ACB.

3.85 Trên một cạnh của xOy ( 0xOy 180 ), lấy các điểm A và B sao cho OA = 5cm, AB = 11cm. Trên cạnh thứ hai lấy các điểm C và D sao cho OC = 8cm và OD = 10cm. a) Chứng minh: OCB OAD. b) Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh: IAB và

ICD có các góc bằng nhau từng đôi một.

3.86 Chứng minh rằng nếu ABC đồng dạng với ABC theo tỉ số k thì: a) Tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đó cũng

bằng k. b) Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đó cũng

bằng k. c) Tỉ số của hai đường cao tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k.

3.87 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DAB DBC . Tính độ dài BD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

3.88 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm; AD = 3,5cm;

BD = 5cm; DAB DBC . a) Chứng minh: ADB BCD. b) Tính độ dài các cạnh BC, CD. c) Sau hki tính hãy vẽ lại hình chính xác bằng thướt và compa.

3.89 Trên đoạn thẳng AC = 27cm lấy điểm B sao cho AB = 15cm. Từ A và C vẽ hai tia Ax và Cy cùng vuông góc với AB và nằm cùng phía với nhau.

Lấy E Ax, D Cy sao cho AE = 10cm, ABE BDC . a) Chứng minh: BDE vuông. b) Tính CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).




c) So sánh diện tích BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD.

3.90 Cho ABC có AB = 3cm, AC = 2cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 3,5cm. Từ D kẽ đường thẳng song song với AB cắt AC kéo dài tại E. Tính BC, CE biết DE = 6cm.

3.91 Cho ABC có AB = 8cm, AC = 16cm, D AB, E AC sao cho: BD = 2cm, CE = 13cm. Chứng minh: a) AED đồng dạng với ABC. b) AB . CD = AC . BE

3.92 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. a) Chứng minh: OA . OD = OB . OC b) Đường thẳng qua O và vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và

K. Chứng minh: OH ABOK CD

.

3.93 ABC có AB = 12

BC, M là trung điểm của BC, D là trung điểm của BM.

Chứng minh: AD = 12

AC.

3.94 Cho ABC vuông tại A, đường cao AD và phân giác BE cắt nhau tại F.

Chứng minh: FD EAFA EC

.

3.95 Cho ABC có AB = 24cm, Ac = 28cm. Tia phân giác của Â cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD.

a) Tính tỉ số: BMCN

. b. Chứng minh: AM DMAN DN

.

3.96 Cho hình bình hành ABCD có độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F. a) Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng với nhau và chứng minh. b) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết DE = 10cm.




3.97 Cho tứ giác ABCD, có 0A C 90 , hai đường chéo AC và BD cắt nhau

tại O, BAO BDO . Chứng minh: a) ABO DCO. b. BCO ADO

3.98 Cho ABC vuông tại A, AC = 9cm, BC = 24cm. Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng AC tại D, BC tại M. Tính CD.

3.99 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD. a) Chứng minh: AHB và BCD đồng dạng. b) Tính AH và SAHB.

3.100 Cho ABC vuông tại A, AC = 4cm, BC = 6cm. Kẻ tia Cx BC (Cx và A khác phía so với đường thẳng BC). Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm. Chứng minh: BD // AC.

3.101 Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao, M là trung điểm của BC, gọi N là hình chiếu của M trên AC. a) Hãy tìm và chứng minh các cặp đồng dạng với nhau. b) Biết BH = 4cm, CH = 9cm, tính diện tích AMH.

3.102 ABC và DEF có A D , B E , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.

3.103 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: ADE CBF.

3.104 Cho ABC ( 0A 90 ), đường cao AH = 8cm, BC = 20cm. Gọi D là hình chiếu của H trên AC a) Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu đồng dạng ? Viết các tỉ lệ thức

giữa các cạnh tương ứng của chúng. b) Gọi E là hình chiếu của H trên AB. Tính diện tích ADE.

3.105 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính chu vi và diện tích ABC nếu biết HB = 25cm và HC = 36cm.

3.106 Cho một tam giác vuông trong đó cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm. Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền.




3.107 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh: a) AH2 = HB . HC b) AB2 = BH . BC c) AC2 = CH . CB d) AH . BC = AB . AC e) BC2 = AC2 + AB2 (Định lý Pi-ta-go)

3.108 Cho ABC có các đường cao BD và CE. a) Chứng minh: ABD ACE. b) Chứng minh: ADE ABC.

c) Tính AED biết 0ACB 48 .

3.109 Tứ giác ABCD có AB = 3cm, BC = 10cm, CD = 12cm, AD = 5cm, đường chéo BD = 6cm. Chứng minh: a) ABD và BDC đồng dạng b) ABCD là hình thang.

3.110 Cho ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. D AB, E AC sao cho OB2 = BD.CE. Chứng minh:

a) OBD và ECO đồng dạng, DOE có số đo không đổi. b) 3 tam giác EOD, OBD và ECO đồng dạng.

c) DO là tia phân giác của BDE, EO là tia phân giác của CED . d) Khi D, E di động (vẫn thỏa OB2 = BD . CE) thì khoảng cách từ O đến

DE không đổi và chu vi ADE < 2AB.

3.111 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua I và song song với 2 đáy cắt BC ở J, AD ở K.

a) Chứng minh: 1 1 1IJ AB CD . Suy ra I là trung điểm của KJ.

b) Cho AB = m, CD = n. Tính tỉ số AIB

ABCD

SS

theo m và n.

c) Bây giờ cho ABCD là hình thang cân. C.m: AC2 = AB . CD + AD2.

3.112 Cho ABC, M và N lần lượt trung điểm của BC, CA. Gọi H là trực tâm , G là trọng tâm, O là giao điểm của các đường trungtrực của các cạnh BC, AC. Chứng minh: a) ABH MNO, AHG MOG. b) H, G, O thẳng hàng.

3.113 Cho hình bình hành ABCD có B tù. Từ C kẻ các đường CE, CF vuông góc với AB, AD. Chứng minh: AB . AE + AD . AF = AC2.




(Đề thi vô địch Toán Hungari – 1918)

Baøi 2. Trên các cạnh BC, CA, AB của ABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để AP, BQ và CR đồng

qui là có hệ thức PB QC RA 1PC QA RB

. (Đ.lý Ceva)

3.114 Hãy áp dụng định lý Ceva để chứng minh trong một tam giác: a) Ba đường cao đồng qui. b) Ba đường phân giác đồng qui. c) Ba đường trung tuyến đồng qui.

3.115 Trên các đường thẳng qua các cạnh BC, CA, AB của ABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R (không trùng với các đỉnh và ít nhất một điểm nằm ngoài tam giác). Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để 3 điểm P,

Q và R thẳng hàng là có hệ thức PB QC RA 1PC QA RB

. (Đ.lý Menelaus)

3.116 Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M AD sao cho AM = 2MD, điểm N trên CD sao cho DN = 3NC. Hai đường thẳng BM và AN cắt nhau tại

S. Tính tỉ số ASSN

.

3.117 Cho hình thang vuông ABCD (Â = D = 900), AB = 6cm, CD = 12cm,

AD = 17cm, E AD sao cho AE = 8cm. Chứng minh: 0BEC 90 .

3.118 Cho 2 ABC và ABC có 3 góc nhọn. Kẻ 2 đường cao AH và AH.

Biết A 'H ' AHA'B' AB

và A 'H ' AHA'C' AC

. Chứng minh: ABC ABC.

3.119 Cho hình bình hành ABCD. Hình chiếu của A trên CD là H, trên BC là K. a) Chứng minh: AHD và AKB đồng dạng. b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để các AHC AKC?

3.120 Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABD ACD . Gọi E là giao điểm của của AD và BC. Chứng minh: a) AOB DOC. b) AOD BOC. c) EA . ED = EB . EC.

3.121 Cho ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song




song với CL (E BC, F AB). Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh: FM = MN = NE.

3.122 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh C, cắt tia AB ở E và cắt AD ở F. Chứng minh:

a) BE . DF = a2. b) 2

2

BE AEDF AF

3.123 Cho ABC cân tại A, vẽ các đường cao BH và CK. a) Chứng minh: BK = CH b) Chứng minh: KH // BC c) Cho BC = a, AB = AC = b. Tính HK.

3.124 Cho ABC, 0A 90 , 0C 30 và đường phân giác BD (D AC).

a) Tính tỉ số: ADCD

.

b) Biết AB = 12,5cm, tính chu vi và diện tích ABC.

3.125 Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm. a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCD. b) Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng không ? Vì sao ? c) Chứng minh: AB // CD.

3.126 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 15cm, CD = 30cm, đường cao 20cm, các đường chéo cắt nhau tại I. Tính diện tích các OAB và OCD.

3.127 Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 9cm và 16cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó.

3.128 Cho ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Biết chu vi ABH = 3dm, chu vi ACH = 4dm. Tính chu vi ABC.

3.129 Cho ABC đều. Trung tuyến AM. Vẽ đường cao MH của AMC. a) Chứng minh: ABM và AMH đồng dạng. b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, MH. Chứng minh: AB . AF =

AM . AE. c) Chứng minh: BH AF. d) Chứng minh: AE . EM = BH . HC.




3.130 Cho ABC có 3 góc nhọn, 3 đường cao AM, BN, CP đồng qui tại H. a) Chứng minh: ABM AHP, ABH AMP. b) Chứng minh: MH . MA = MB . MC. c) Chứng minh: AHB NHM. d) Chứng minh: MAP MNH. e) Cho B, C cố định, A thay đổi vị trí sao cho ABC vẫn có 3 góc nhọn.

ABC phải có đặc điểm gì để tích MH . MA có giá trị lớn nhất.

3.131 Cho ABC. Kẻ DE // BC sao cho DC2 = BC . DE. a) Chứng minh: DEC CDB. Suy ra cách dựng DE. b) Chứng minh: AD2 = AC . AE và AC2 = AB . AD.

3.132 Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH. Từ H vẽ HI AB tại I và HJ AC tại J. Gọi AM là trung tuyến của ABC. a) Biết AB = 30cm, AC = 40cm. Tính BC, AH, BI. b) Chứng minh: IJ = AH và AM IJ. c) Chứng minh: AB . AI = AC . AJ; AIJ ACB. d) Chứng minh: ABJ ACI; BIJ IHC.

3.133 Cho ABC cân tại A có 0A 90 và CI là tia phân giác của ABC. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E và F. Chứng minh: BC . AE = AC . BF.

3.134 Các đường cao của một tam giác có 3 góc nhọn ABC cắt nhau tại O. trên các đoạn thẳng OB và OC người ta lấy các điểm B, C sao cho ABC = 0AB'C AC'B 90 . Chứng minh: AB = AC.

3.135 Cho ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh: a) AD . BC = BE . AC = CF . AB b) HD . HA = HE . HB = HF . HC c) AE . AC = AB . AF và AD . HD = BD . CD

d) HD HE HF 1AD BE CF

e) ABC AEF, BDF EDC. f) ABH EDH, AFD EHD. g) H cách đều 3 cạnh của DEF.




3.136 Cho ABC có 0A 90 , AB = 80cm, AC = 60cm, AH là đường cao, AI là phân giác (I BC). a) Tính BC, AH, BI, CI. b) Chứng minh: ABC HAC. c) HM và HN là phân giác của ABH và ACH. C/m: MAH NCH. d) C/m: ABC HMN rồi c/m: MAN vuông cân. e) Phân giác của góc ACB cắt HN ở E, phân giác của góc ABC cắt HM ở

F. Chứng minh: EF // MN. f) Chứng minh: BF . EC = AF . AE

3.137 Cho ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C). Từ H vẽ HM AB (M AB) và HN AC (N AC). a) Biết HA = 15cm, HC = 36cm, BC = 56cm. Tính AB, AC. b) Chứng minh: AB . AM = AC . AN; ABC và ANM đồng dạng. c) Chứng minh: AB . CM = AC . BN d) CM cắt BN tại K. Chứng minh: MKN và BKC đồng dạng. e) Chứng minh: MN . BC + BM . CN = CM . BN f) Nếu cho A, H cố định, B và C di chuyển trên đường thẳng vuông góc

với AH tại H sao cho H vẫn nằm giữa B và C. Chứng minh rằng trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

3.138 Cho ABC. Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BC, vẽ tia Cx sao

cho BACBCx

2 . Gọi AD là phân giác của ABC. Tia Cx cắt tia AD ở E.

Chứng minh: a) ABD CED; ABD AEC. b) AE2 > AB . AC . c) Trung trực của BC đi qua E. d) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh: 4AB . AC = 4AI2 – DE2

3.139 Cho hình vuông ABCD cố định, M là một điểm lấy trên cạnh BC (M B). Tia AM cắt DC tại P. Trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN = BM. a) Chứng minh: AND = ABM và MAN là vuông cân. b) Chứng minh: ABM PDA và BC2 = BM . DP. c) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với MN tại H và cắt CD tại Q, MN

cắt AD ở I. Chứng minh: AH . AQ = AI . AD và DAQ HMQ . d) Chứng minh: NDH NIQ.





3.140 Cho ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20cm, BC = 25cm. 1. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC

a) Chứng minh: ABC HAC. b) Tính AH, CH 2. Vẽ đường phân giác AD của góc HAC. Tính DH, DC.

3.141 Cho ABC vuông ở A, có đường cao AH. Biết AB = 12 cm; BC = 20 cm

a) Chứng minh ABC HBA và tính độ dài đoạn thẳng BH. b) Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Tính DA và DC.

3.142 Cho hai tam giác ABC và DEF. Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Tam giác DEF có DE = 12cm, DF = 18cm, EF = 24cm. a) Hai tam giác trên có đồng dạng không? Vì sao? b) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

3.143 Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ AH DB.

a) Chứng minh ABD HAD. b) Biết AB = 12cm, AD = 9cm. Tính độ dài DB, DH.

3.144 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 12cm.Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = 3cm .Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại K . a) Tính DE b) Chứng minh: EAD EBK, tính tỉ số đồng dạng k. c) Chứng minh: AD2 = KC.AE

3.145 Cho ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC= 8cm, đường cao AH cắt đường phân giác DB tại I. a) Chứng minh: IA.BH = IH.BA b) Chứng minh: AB2 = BH.BC c) Tỷ số diện tích của ABH và ABC

3.146 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm , BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của ADB.

a) Chứng minh AHB BCD. b) Chứng minh AD2 = DH.DB. c) Tính độ dài các đoạn thẳng DH, AH.




3.147 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm ; BC = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD.

a) Chứng minh: AHB BCD. b) Tính độ dài đoạn thẳng AH. c) Tính diện tích tam giác AHB.

3.148 Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH (H BC)

a) Chứng minh: AHB CHA b) Cho HB = 3cm ; HC = 12cm. Tính độ dài đường cao AH.

3.149 Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M (M A, M B). Đường thẳng vuông góc với DM tại D cắt đường thẳng BC tại N. a) Chứng minh: DM = DN. b) Gọi K là trung điểm của MN, DK cắt DE tại E. Đường thẳng vuông

góc với AB tại M cắt DE tại F. Chứng minh MFNE là hình thoi. c) Chứng minh NE.NB = DM2 d) C/minh chu vi MBE không đổi khi M di động trên cạnh AB.

3.150 Cho ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 9 cm và AD là tia phân giác (D BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AD. a) Trên cạnh AC lấy điểm G. Chứng minh rằng:

i) Nếu ABG ACG thì AB2 = AC.AG. ii) Nếu AB2 = AC.AG thì ABG ACG .

b) Tính BD, tỉ số ABD

ACD

SS

và tỉ số BECF

.

c) Chứng minh: AE DEAF DF

.

d) Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng song song với AD đi qua H cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh: IB = KC.

3.151 Cho ABC có hai đường cao AD, BE cắt nhau ở H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Các đường trung trực của BC cắt nhau tại O.

a) Chứng minh: AHB MON.

b) Gọi I là điểm đối xứng của O qua BC. Chứng minh tứ giác AHIO là hình bình hành.

c) Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng minh AHG MOG.




d) Chứng minh H, G, O thẳng hàng (đường thẳng qua 3 điểm này được gọi là đường thẳng Euler) và OH = 3OG.

3.152 Cho ABC nhọn (AB < AC) và hai đường cao BD, CE cắt nhau ở H.

a) Chứng minh: BD < CE.

b) Chứng minh: ADE ABC.

c) Chứng minh: Bh.BD + CH.CE = BC2 và ED.BC + EB.DC = EC.BD.

d) Trên đoạn thẳng BH và CH lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 0AMC ANB 90 . Chứng minh AMN cân.

3.153 Cho ABC có AB = 9, BC = 6, AC = 5. Phân giác góc A và phân giác góc ngoài tại đỉnh A của ABC cắt đường thẳng BC lần lượt tại E và D.

a) Tính EB, ED.

b) Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt AB tại I. Tính IB.

3.154 Cho ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh BC kéo dài về phía C và các cạnh CA, AB theo thứ tự tại A1, B1, C1.

Chứng minh rằng: 1 1 1

1 1 1GA GB GC

.

3.155 Cho ABC với điểm M bên trong. Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của các tia AM, BM, CM với các cạnh BC, AC, AB. Đường thẳng qua M và song song với BC cắt IK, IJ tại E, F. Chứng minh rằng: ME = MF.

3.156 Cho ABC có 3 góc nhọn. AB < AC, AH là đường cao. E và F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Đường thẳng EF và BC cắt nhau ở D.

a) Chứng minh: AH2 = AF.AC

b) Chứng minh: AEF ACB

c) Chứng minh: DH2 = DE.DF

d) Vẽ CI // HE (I AB), CI cắt AH tại K. C/minh: CK.CI + AK.AH = AC2.

e) Chứng minh: AE BD CF 1BE CD AF




f) Cho AH = 16 cm và HB 1HC 8

, M là một điểm thuộc HC, vẽ MN // AH

(N AC). Biết CMN ABC1S S2 . Tính MN.

3.157 Cho MNP có MN = 12, MP = 9, NP = 7. PI là đường phân giác của MNP (I MN). Tính IN và chứng minh PIN cân.

3.158 Cho ABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BM, CN cắt nhau ở I. Tia AI cắt BC ở K. Chứng minh rằng:

a) AMN ABC

b) AIB MIK và AK.BM = AB.MK + AM.BK

3.159 Cho ABC có AB = 30, BC = 25, AC = 20, AD là đường phân giác trong của ABC.

a) Tính DB, DC và chứng minh AD < 25.

b) Gọi M là trung điểm của AB. Từ D vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại I. Các đường thẳng MI và BC cắt nhau ở E.

i) C/minh: AE là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của ABC.

ii) Tính AM ME ICMB IE AC

3.160 Cho MNP có MN = MP > PN, NE và PF là hai đường phân giác của MNP. a) Chứng minh: NPEF là hình thang cân. b) Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với NE tại O, cắt NP tại Q. Chứng

minh NQEF là hình thoi.

3.161 Cho ABC vuông tại A, AB AC, AH là đường cao, AQ là đường phân giác của ABC. Dựng hình vuông AHIK (I HC), AC cắt tia IK tại D.

a) Chứng minh: AH2 = HB.HC và BAD là tam giác vuông cân.

b) BD cắt AH ở O, cắt AQ ở P. C/m: AOQ APH, OPQ vuông cân và H, P, K thẳng hàng.




c) Cho BC cố định. Dựng điểm A (vẫn thỏa ABC vuông tại A và AB AC) để AHIK có diện tích lớn nhất.

3.162 Cho ABC có AH là đường cao (H nằm giữa B và C). HM, HN lần lượt là đường cao của ABH và ACH.

a) Chứng minh: AMN ABC. b) BN cắt CM ở I. Chứng minh MIN BIC

3.163 Cho ABC vuông tại A có D nằm giữa A và C. Vẽ AH BC tại H và AE BD tại E. Chứng minh:

a) BHE BDC b) AH.BE = HE.AB + AE.BH 3.164 Cho ABC có AD là phân giác (D BC). Biết AB = 15, BC = 18,

CA = 12. Tính chu vi ADB.

3.165 Cho ABC nhọn có AB = AC và hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H, CH cắt DE tại I.

a) Chứng minh: HIE DIC. b) Đường thẳng đi qua E và song song với BC cắt tia CH ở F.

Chứng minh: IH FHIC FC

và F AB.

3.166 Cho ABC vuông tại A có BC = 272 cm. Trên tia CB lấy điểm D sao cho CD = 72 cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = 153 cm. Chứng minh AC là đường phân giác của DAE.

3.167 Cho ABC có 3 góc nhọn, AB < AC, AH là dường cao. Từ điểm M nằm giữa A và H vẽ MI AB (I AB) và MK AC (K AC). Tia KI cắt tia CB ở O. Chứng minh:

a) AKM AHC và AHK ACM

b) AB.AI = AC.AK và OKB OCI

c) BK.CI = BC.IK + BI.CK

3.168 Cho ABC có AB = AC = a (không đổi). Gọi E là điểm cố định trên cạnh AB. Vẽ EF // BC (F AC). Lấy điểm M nằm giữa E, F. Tia BM cắt AC ở

P, tia CM cắt AB ở Q. Chứng minh 1 1BQ CP

không phụ thuộc vị trí của

M trên đoạn EF.




3.169 Cho ABC có 0BAC 90 , AB < AC. Vẽ đường cao AI của ABC.

a) Chứng minh: IBA ABC và AIC BIA

b) Gọi AK, AM lần lượt là đường phân giác và đường trung tuyến của ABC. Cho biết AB = 105, AC = 140. Tính BC, BI, BK và chứng minh tia AK nằm giữa AI, AM. ĐS: BC = 175; BI = 63; BK = 75

c) IE, IF lần lượt là đường phân giác của AIB, AIC. Chứng minh EIF BAC và AEKF là hình vuông.

d) AK cắt IF ở O, các đường thẳng AI, FK cắt nhau ở P. Tia PO cắt AC ở

Q. Chứng minh QA CAQF CF

.

3.170 Cho ABC có 0ABC 90 , AB < AC, AM là trung tuyến. Bên trong ABC vẽ tia Bx cắt AC ở N, cắt AM ở I sao cho CBN CAM . Từ N vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở P, cắt AM ở K. MN cắt CP ở H.

Chứng minh:

a) BIM AIN và ABI NMI

b) IN2 = IA.IK và K là trung điểm của PN

c) BN.AM = AB.MN + AN.BM

d) IH CHIP CP

3.171 Cho hình vuông MNPQ. Lấy điểm K nằm giữa P, Q. tia MK cắt tia NP tại A. Trên tia đối của tia QP lấy điểm B sao cho BQ = AN.

a) Chứng minh: QMK NAM và QM.MN = QK.NA

b) Chứng minh: MQB KQM và AMB vuông cân.

c) Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở I. MI cắt BP ở H, tia MQ cắt AB ở J. C/minh: I, Q, N thẳng hàng và AM.IN = MN.IA + MI.AN.

d) IQ cắt HJ ở O, tia BO cắt MJ tại S. Chứng minh: SQ MQSJ MJ

.




Chương IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU

Hình hộp chữ nhật.

M ặt phẳng và đường thẳng trong không gian

1. Hình hộp chữ nhật

ABCD.ABCD là hình hộp chữ nhật có:

- 6 mặt: ............................................................................................. - 12 cạnh: ......................................................................................... - 8 đỉnh: ............................................................................................ - Hai mặt của hình hộp chữ nhật không có cạnh chung gọi là hai mặt

đối diện và có thể xem chúng là hai mặt đáy của hình hộp chữ nhật, khi đó các mặt còn lại được xem là các mặt bên.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là những hình vuông gọi là hình lập phương.

2. Mặt phẳng và đường thẳng

Mỗi mặt, chẳng hạn mặt ABCD ở hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD, là một phần của mặt phẳng (ta hình dung mặt phẳng trải rộng về mọi phía), người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành.

A

B C

D

'A

'B 'C

'D

A

B C

D

'A

'B 'C

'DHình hộp chữ nhật

ABCD.ABCD Hình lập phương ABCD.ABCD




Qua 3 điểm không thẳng hàng ta xác định (vẽ được) một mặt phẳng duy nhất. mp(P) hay mp(ABC)

A mp(P)

Đường thẳng có hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

A,B dd mp( P )

A,B mp( P )

3. Hai đường thẳng song song trong không gian

Trong không gian hai đường thẳng a và b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Ký hiệu: a // b.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

a ba // c a // bb // c

Ở hình bên: AA' //BB'

AA' // CC'BB' // CC'

Chú ý: Với hai đường thẳng phân biệt trong không gian, có thể: - Cắt nhau: cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau. - Song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không cắt nhau. - Chéo nhau: 2 đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng nào

Ở hình bên:

BB và CB cắt nhau ở B, chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCCB)

AB và DD chéo nhau

AB // AB, AD // AD, …

A

P

B

C

AP

B d

P

ab

AB C

D

'A'B 'C

'D

A

B C

D

'A'B 'C

'D




4. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Một đường thẳng d gọi là song song với một mặt phẳng (P) khi đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và d song song với một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

d // ad mp( P ) d // mp( P )a mp( P )

Ở hình bên: AB // A' B'AB mp( A' B' C' D')A' B' mp( A' B' C' D')

AB // mp( A' B' C' D')

5. Mặt phẳng song song với mặt phẳng

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b; mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b mà a//a, b//b thì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau.

( P ) a b(Q ) a b ( P ) // (Q )a//a', b//b'

Ở hình bên: mp( ABCD ) AB BCmp( A' B' C' D') A' B' B' C'AB // A' B'; BC //B' C')

mp( ABCD ) // mp( A' B' C' D') Nhận xét:

- Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.

- Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung. - Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì chúng có

chung một đường thẳng đi qua hai điểm chung đó (đường thẳng này gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau)

P

a

d

A

B C

D

'A'B 'C

'D

ba

P

b'a'

Q

AB C

D

'A'B 'C

'D

dQ P

A




6. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P).

d ad b

a mp( P )a,b mp( P )a b O

Ở hình bên: AA' mp( A' B' C' D') , BC mp( CC' D' D ) …

Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua điểm A.

7. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

a ( P )( P ) ( Q )

a ( Q )

Ở hình bên: AA' ( ABB' A')AA' mp( A' B' C' D')

,

mp( ABB' A') mp( A' B' C' D') …

8. Thể tích hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật có các kích thước là a, b, c (cùng đơn vị đo độ dài) thì thể tích là:

. .V a b c

Hình lập phương có cạnh a, thì: 3V a

P

a

bO

d

A

B C

D

'A'B 'C

'D

Q

P

a

AB C

D

'A'B 'C

'D

AB C

D

'A'B 'C

'D

c

a b




4.1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ (hình vẽ). a) Kể tên những cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật. b) Kể tên ba đường thẳng nào cắt nhau tại điểm A ? c) Nếu O là trung điểm của đoạn BP thì

O có là điểm thuộc đoạn NC không ? d) Nếu E là điểm thuộc cạnh AD thì E có

thể là điểm thuộc cạnh BN không ? e) Kể tên các đường thẳng song song với:

i) AM ii) AD iii) PQ f) Kể tên các đường thẳng song song với mặt phẳng (MNPQ). g) Đường thẳng BC song song với những mặt phẳng nào ? h) Đường thẳng DP song song với mặt phẳng nào ? Tại sao ? i) Hai mặt phẳng nào cắt nhau theo đường thẳng AM ? j) Mặt phẳng (ABMN) và mặt phẳng (MNPQ) cắt nhau theo đường thẳng

nào ? k) Các cặp mặt phẳng nào song song với nhau ? l) Mặt phẳng (BMP) song song với mặt phẳng nào ? Tại sao ? m) Đường thẳng AM vuông góc với những mặt phẳng nào ? n) Hai mặt phẳng (ABMN) và (ADQM) vuông góc với nhau. Vì sao ? o) Cho biết AB = 6 cm, BN = 4 cm, MQ = 5 cm. Tính diện tích toàn

phần, thể tích của hình hộp chữ nhật và độ dài CM.

4.2 Cho hình lập phương ABCD.EFGH (hình vẽ) a) Đường thẳng AB và đường thẳng HG có

song song với nhau không ? b) Đường thẳng BH và đường thẳng AG có

cắt nhau không ? c) Đường thẳng AG và đường thẳng CE có cắt nhau không ? d) Đường thẳng CE và đường thẳng DF có cắt nhau không ? e) Đường thẳng DF và đường thẳng BH có cắt nhau không ? f) Đường thẳng BH và đường thẳng AE có cắt nhau không ? g) Đường thẳng CH có song song với mặt phẳng (ABE) không ? h) Đường thẳng BF có vuông góc với mặt phẳng (EGH) không ? i) Đường thẳng BC có vuông góc với đường thẳng AF không ?

D

A B

C

Q

M N

P

A

B C

D

E

F G

H




j) Mặt phẳng (ABCD) có vuông góc với mặt phẳng (DHG) không ? k) Cho biết cạnh của hình lập phương bằng 5 cm. Tính diện tích toàn

phần, thể tích của hình lập phương và độ dài đoạn BH.

4.3 Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A lấy điểm S. Nối S với B, C, D (hình vẽ). a) Tìm các cặp đường thẳng song song với nhau. b) Tìm các cặp đường thẳng vuông góc với

đường thẳng BC. c) Tìm các đường thẳng chéo nhau với DC. d) Đường thẳng DA có vuông góc với mặt phẳng (SAB) không ? e) Đường thẳng DC có vuông góc với mặt phẳng (SAD) không ? f) Mặt phẳng (SAB) vuong góc với những mặt phẳng nào ? g) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (ABCD). h) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD). i) Cho biết BC = 12 cm, DC = 16 cm, SA = 21 cm. Tính SC.

j) Vẽ AH là đường cao của ADB. Tính SH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

4.4 a) Cho biết thể tích của một hình lập phương là 729 m3. Tính diện tích toàn phần của hình lập phương.

b) Tính các cạnh của một hình hộp chữ nhật, biết rằng chúng tỉ lệ với 8; 8; 10 và thể tích là 480 cm3.

c) Tính các cạnh của một hình hộp chữ nhật, biết rằng chúng tỉ lệ với 3; 2; 6 và đường chéo hình hộp chữ nhật là 35 cm.

4.5 Một cái bể hình lập phương, cạnh 10 dm, có chứa nước với độ sâu của nước là 5 dm. Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2 dm, chiều rộng 1 dm và chiều cao 0,5 dm vào bể. a) Hỏi nước trong bể dâng lên cách miệng bể bao nhiêu dm ? b) Hỏi xếp được tất cả bao nhiêu viên gạch vào bể để nước trong bể dâng

lên ngang miệng bể ? (Giả thiết toàn bộ gạch trong nước và chúng hút nước không đáng kể)

S

D

A B

D

d




Hình lăng trụ đứng

1. Hình lăng trụ đứng

ABCD.ABCD là hình lăng trụ đứng, có: - Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm

trên hai mặt phẳng song song với nhau. - Cắc mặt bên là các hình chữ nhật và

vuông góc với hai mặt phẳng đáy nhau. - Các cạnh bên song song và bằng nhau. - Độ dài cạnh bên gọi là chiều cao - Các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chứa đáy.

Gọi tên hình lăng trụ theo tên của đa giác đáy: - Lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, … - Lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng. - Lăng trụ có đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

2. Diện tích xung quanh – Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng

Diện tích xung quanh: - Diện tích xung quanh (Sxq) bằng tổng diện tích các mặt bên. - Ta chứng minh được rằng diện tích xung quanh của hình lăng trụ

đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

Sxq = 2p.h

(Với p là nửa chu vi, h là chiều cao)

Hình lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC

A

B C

'A

'B'C

AB C

D

'A'B 'C

'DHình hộp đứng ABCD.ABCD

A

B C

D

'A

'B 'C

'D

Chiều cao




Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tính hai đáy:

Stp = Sxq + 2Sđáy

3. Thể tích của hình lăng trụ đứng

Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = Sđáy . h Sđáy: diện tích đáy h: chiều cao

Ở hình bên ta có: - Sxq = PABCD . AA - Stp = Sxq + 2SABCD - V = SABCD . AA

4.6 a) Quan sát các hình lăng trụ đứng ở hình sau rồi điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng dưới đây:

Hình (a) (b) (c) (d) Số cạnh của một đáy (n) Số mặt (m) Số đỉnh (d) Số cạnh (c)

Hình (a) Hình (b)

Hình (c)

Hình (d)

A

B C

D

'A

'B 'C

'D

Chiều cao




b) Gọi số cạnh của một đáy là n. Viết các công thức liên hệ giữa m, d, c với n.

c) Một hình lăng trụ đứng có 18 đỉnh thì có bao nhiêu mặt, bao nhiêu cạnh, bao nhiêu cạnh bên ?

d) Có thể làm được một hình lăng trụ đứng có 23 đỉnh hay không ? e) Có thể làm được một hình lăng trụ đứng có 23 cạnh hay không ?

4.7 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF có ABC vuông tại A. a) Những cặp mặt phẳng nào song song với

nhau ? b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với

nhau ? c) Cho biết DF = 2 cm, AB = 3 cm, AD = 5

cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.

d) Gọi M là trung điểm của EF. Tính độ dài các đoạn thẳng BM, AM.

4.8 Cho hình lăng trụ đứng tam giác MNP.QRS. (Mỗi câu sau đây có giả thiết riêng)

a) Nếu MNP vuông tại P có PN = 2 cm, PS = 5 cm và thể tích lăng trụ V = 15 cm3. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.

b) Nếu MPN cân tại M có MN = 15 cm, PN = 8 cm và PS = 22 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ.

c) Nếu MPN đều có cạnh là a (cm). gọi H là trung điểm của cạnh SR và 0MHQ 60 . Tính độ dài MQ, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ theo a.

A

BC

F E

D

P

N

M

Q

R

S




4.9 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH, đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B. a) Hãy kể tên:

- các cạnh song song với cạnh AD, - song song với cạnh AB, - các đường thẳng song song với mp(EFGH), - các đường thẳng song song với mp(DCGH)

b) Cho biết AB = AD = 4 cm, BC = 2 AD và 0AFE 45 . Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng.

4.10 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (cm), 0ADC 60 và DD = a (cm).

a) Chứng minh: mp(CBD) // mp(ADB)

b) Chứng minh: mp(AACC) mp(DDBB) c) Tính Stp và V.

A D

CB

E

F G

H

A B

CD

A' B'

C'D'




Hình chóp đều

1. Hình chóp

Hình chóp là hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác.

Hình bên là hình chóp S.ABCD có đỉnh S, đáy là tứ giác ABCD, các mặt bên là các tam giác: SAB, SBC, SCD, SDA – gọi là hình chóp tứ giác.

Đường thẳng SH đi qua đỉnh S và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) gọi là đường cao của hình chóp. Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp.

2. Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp: - Đáy là đa giác đều. - Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh - Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn

đi qua các đỉnh của đa giác đáy. - Đường cao vẽ từ đỉnh S của mỗi mặt

nên được gọi là trung đoạn. Ở hình bên: S.ABCD là hình chóp đều:

- Đáy ABCD là hình vuông. - Cắc mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA là

các tam giác cân bằng nhau. - SI là trung đoạn của hình chóp

3. Hình chóp cụt đều

Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng song song với đáy, cắt hình chóp đều và mặt phẳng đáy gọi là hình chóp cụt đều, mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

A

B C

D

S

H

S

A

B C

D

H I




Ở hình bên: ABCD.ABCD là hình chóp cụt đều:

- mp(ABCD) // mp(ABCD)

- AABB, … là hình thang cân.

4. Diện tích xung quanh

Diện tích toàn phần của hình chóp đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi (p) đáy với trung đoạn (d):

Sxq = p . d Diện tích toàn phần của hình chóp bằn tổng diện tích toàn phần và

diện tích đáy:

Stp = Sxq + Sđáy Với hình bên, ta có:

- Sxq = PABCD . SI - Stp = Sxq + SABCD

5. Thể tích của hình chóp đều

Thể tích của hình chóp đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.

V = 13

Sđáy . h Sđáy: diện tích đáy h: chiều cao

Với hình trên, ta có: ABCD1V S .SH3

.

4.11 Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD nếu: (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) a) Biết AB = 6 cm, SI = 5 cm. b) Biết SH = 4 cm, SB = 5 cm. c) Biết AB = 5 cm, SB = 5 cm.

S

A

B C

D

H

'B 'C

'D'A'H

S

A

B C

D

H I

S

C

D A

BHI




4.12 Cho biết hình chóp lục giác đều S.MNPQR, có H là tâm của đường tròn ngoại tiếp lục giác đáy (đường tròn đi qua các đỉnh của lục giác). Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp nếu: (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) a) Biết cạnh bên SM = 10 cm, cạnh đáy

MR = 6 cm. b) Biết HM = 12 cm, chiều cao SH = 35 cm.

4.13 a) Một hình chóp đều có thể tích là 126 cm3, chiều cao của hình chóp là 6 cm. Tính diện tích đáy của hình chóp.

b) Cho một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích là 1280 cm3, chiều cao của hình chóp là 15 cm. Tính độ dài cạnh đáy và diện tích xung quanh của hình chóp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

4.14 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

a) Chứng minh: SDO SEO SFO . b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của

hình chóp, nếu biết: i) SO = 12 cm, AB = 10 cm. ii) Các mặt bên là các tam giác đều,

OA 3 cm, AB = 3 cm.

iii) OC 2 3 cm và 0SDO 60 .

4.15 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SH = 15 cm, AB = 16 cm. a) Tính trung đoạn, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích

của hình chóp.

b) Gọi H là trung điểm của SH. Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng đáy (ABCD) ta được hình chóp cụt đều ABCD.ABCD. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp cụt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

S

M P

N P

QR

H

S

A

B

C

D E

F

O

S

A

B

C

DA'

B'C'

D'





Hình Hình vẽ Diện tích xung quanh

Diện tích toàn phần Thể tích

Hình lăng trụ

Sxq = 2p.h (p: nửa chu vi)

Stp = Sxq+2Sđ V = Sđáy.h

Hình hộp chữ nhật

Sxq = 2(a+b)c Sxq =

2(ab+bc+ca) V = abc

Hình lập

phương

Sxq = 4a2 Sxq = 6a2 V = a3

Hình chóp

Sxq = p . d Stp = Sxq+Sđ V = 13

Sđáy . h

4.16 Cho hình lăng trụ đứng ABCD, ABCD đáy là hình chữ nhật có các kích thước là 6 cm, 4 cm, chiều cao của hình lăng trụ là 8 cm. Tính diện tích toàn phần.

4.17 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD, có đáy là hình chữ nhật với kích thước là 4cm, 3cm và chiều cao của lăng trụ là 5cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của lăng trụ.

4.18 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC, đáy là tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm, AA = 20 cm. Tính diện tích xung quanh của lăng trụ đứng.

4.19 Cho hình lập phương có cạnh bằng 3cm. Tính thể tích hình lập phương đó.

h d

a

h

ab

c




4.20 Một lăng trụ đứng đáy là hình vuông cạnh a = 3cm, đường cao h = 5cm. Tính diện tích xung quang, diện tích toàn phần của lăng trụ.

4.21 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD, có đáy là hình chữ nhật với kích thước là 6cm, 4cm, chiều cao của lăng trụ là 8cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ.




Ôn tập học kì 2 O.1 Giải các phương trình sau:

a) 2 2 2(x 4) (x 2)(x 2x 4) (2x 3)(x 4x 24)

b) 2 3 2 2(x 1) 64(x 1)

c) 2 2( 2x 5x 2)(x 1) (2x 1)(2 x)(x 7)

d) 2 2 2 2x 1 x 2 x 3 x 48 12 6 9

e) 2

2

3 x x 4 (x 9) 74x 4 3 x x x 12

f) 2

x 2 1 2x (2 x)(2 x) 5(3x 1)2x 1 x 2 2x 3x 2

g) 2

x 1 1 3x (7x 11)(x 1) 123x 1 x 2 3x 5x 2

O.2 Rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của biến để biểu thức:

a) 2

3 2

9x 12x 4A27x 18x 12x 8

có giá trị âm.

b) 3 2

3 2 2

x x 8 x 2x 4 4B :x 2 x 8 x 4 2x x 6

có giá trị âm.

O.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của: a) 2 2A 2x 2y 2xy 4x 4y

b) 2

2

5x 20x 48Bx 4x 10

c) 2

2

4x 10x 7Cx 2x 1

O.4 Tìm giá trị lớn nhất của: a) 2 2A x 4y x y




b) 2

2

3x 18x 35Bx 6x 11

c) 2

2

x 5x 7Cx 4x 4

O.5 Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 2(x 1) 3x(x 1) 2x 0

b) 2 2(4x 7x 3)(8x 10x 3) 810

c) 2 2

2 2

x 2x 1 x 2x 2 7x 2x 2 x 2x 3 6

d) 2 2

2 2

x 13x 15 x 15x 15 1x 14x 15 x 16x 15 2

O.6 Giải các phương trình sau: a) 4 3 210x 27x 110x 27x 10 0 b) 4 3 22x 13x 24x 13x 2 0 c) 5 4 3 23x 10x 3x 3x 10x 3 0 d) 5 46x 11x 11x 6 0 e) 4 3 2x 4x 9x 8x 4 0 f) 4 3 2x 5x 10x 15x 9 0 g) 4 3 2x 2x 6x 4x 4 0 h) 3 2x (x 3) 3(2x x) 1

i) 2 2x 1 32x(x 1) 0

j) 4 2x 9 5x(x 3)

k) 2 2 2(x 6x 9) x(x 4x 9)

l) 2(x 1)(x 2)(x 4)(x 8) 7x

m) 24(x 5)(x 6)(x 10)(x 12) 3x

O.7 Giải các phương trình sau: a) 4 2x 3x 6x 2 0 b) 4 3 2x 6x 7x 6x 2 0 c) 4 3 22x 6x 29x 24x 5 0 d) 4 3 29x 24x 60x 48x 12 0




e) 4 3 216x 32x 28x 12x 10 0

O.8 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) x 1 x 2 x 3 x 424 18 9 12

b) 3x 4 2x 3 3x 22x 16 8 12

c) x(5 x) (x 2)(x 3)

d) 2(x 5)(1 x) x 7x 10

e) 3 2(x 3) 32 (x 27)(x 1)

f) x 1 x 3x 2 x 4

g) 2

1 2x 13 2xx 3 3x 2 3x 11x 6

O.9 Giải các bất phương trình sau: a) 2 2 2 2(x 5) x (x 3) (x 2)

b) 2 3(x 12)(x 6) (x 2)

c) 25x 5 8x d) (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) 9 0

O.10 Giải các bất phương trình sau (với m là tham số): a) x 1 2m(x 2m)

b) 22m (x 1) m(3x 5) 2x 3

O.11 Cho ABC có AB = AC > BC, AI là phân giác, CH là đường cao. a) Chứng minh rằng HBC ICA. b) Đường thẳng qua I song song với AB cắt AC ở K. Đường thẳng qua K

song song với BC cắt AB ở J. Chứng minh HIKJ là hình thang cân và BIH HKI.

O.12 Cho ABC vuông tại A, AB = 42 cm, AC = 56 cm, đường cao AH, phân giác AD, trung tuyến AM. a) Chứng minh: AB2 = BH.BC, AH2 = BH.CH. b) Tính BH, BD.

c) Chứng minh AD là tia phân giác của HAM .




O.13 Cho ABC cân tại A và có 0A 90 . Trung trực của AB cắt BC ở D. a) Chứng minh: AB2 = BD.BC b) Nếu cho thêm CD2 = BC.BD. Hãy tính các góc của ABC. c) AE là đường phân giác của ABD. Vẽ đường trung trực d của BE.

Trên d lấy điểm F sao cho: EF = ED (F thuộc miền ngoài của ABC). Chứng minh: FEB ABC.

O.14 Cho ABC vuông tại A, AB > AC. Đường trung trực của cạnh BC cắt cạnh AB ở D; cắt BC ở E và cắt đường thẳng AC tại F; CD cắt AE ở O. a) Chứng minh: BAE BCD và DOE AOC. b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt tia CD ở K.

Chứng minh: OD KDOC KC

và B, K, F thẳng hàng.

O.15 Cho hình thoi ABCD có tâm O ( 0A 90 ), BE là phân giác của AOB. Biết AC = 8, BD = 6. a) Tính AB, AE. b) Đường thẳng qua D song song với BE cắt AC ở F. Tứ giác BEDF là

hình gì ? Chứng minh. c) Một đường thẳng song song với BE cắt các đoạn AB, AD, AC lần lượt

tại M, N, P. Chứng minh: AB AD ACAM AN AP

.

O.16 Cho ABC vuông tại A, AB < AC; AH là đường cao. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. a) Chứng minh: AB2 = BH.BC và AB.AD = AC.AE. b) Chứng minh BC, DE cắt nhau tại một điểm J và OA DE. c) Gọi I là trung điểm của AH, M là điểm đối xứng của A qua OI.

Chứng minh AM, BC, DE đồng qui.

O.17 Cho ABC có đường cao AH (H BC), AB = 65, BC = 105, CH = 80. a) Tính độ dài AC. b) Các đường cao AH, BI,CK đồng qui tại O.

Chứng minh AOK ABH và AB.AK = AO.AH = AC.AI c) Đường thẳng HO và IK cắt nhau tại D.

Chứng minh: AIK ABC, ODK IDA. d) Tính BK, KI.




O.18 Cho ABC có 0B 90 , AB = 39, AC = 65, AD là đường phân giác. a) Tính BC, BD. b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại E và cắt tia AB ở F.

Chứng minh: DA.DE = DB.DC. c) Chứng minh: DAC DBE và FEB FAC. d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DF, AC. C/minh: MN BE. e) Bỏ giả thiết về số đo các cạnh của ABC, nếu cho AD = CF. Khi đó,

hãy tính số đo các góc của ACF.

O.19 Cho ABC với AB < AC. Phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt tia CB tại E.

a) Chứng minh tính chất sau: EB ECAB AC

.

b) Với BC = 2, CA = 4, AB = 3. Chứng minh BAE cân.

O.20 Cho ABC có đường cao AH, phân giác AD (H nằm giữa B và C). a) Chứng minh: AD2 < AB.AC b) Cho AB = 48, BC = 72, BH = 27. Tính DC. c) Vẽ phân giác CM và phân giác AN của ADC.

Chứng minh: MN // AC và tính MN.

O.21 Cho hình htang ABCD vuông ở A và D, có cạnh bên BC = AB + CD. Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh: phân giác của BCD qua điểm M. b) Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho CN = CD.

Chứng minh: 2

2 ADMN AB.CD4

c) AC cắt BD tại H. NH cắt AD tại K. Chứng minh: NK AD và H là trung điểm của NK.




MỤC LỤC Phần 1. Đại Số ................................................................................................. 1

Chương III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .............................. 1 Phương trình ............................................................................................ 1 Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 ................................................. 4 Phương trình tích ...................................................................................... 8 Phương trình chứa ẩn ở mẫu ................................................................... 11 Phương trình có hệ số chứa tham số........................................................ 13 Giải bài toán bằng cách lập phương trình ................................................ 16 Ôn tập chương 3 ..................................................................................... 24

Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .................... 27 Bất đẳng thức - Tính chất của bất đẳng thức ........................................... 27 Bất phương trình một ẩn Bất phương trình bậc nhất một ẩn .................... 31 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................................... 38 Bất phương trình tích, thương. Bất phương trình bậc hai.. ....................... 42 Ôn tập chương 4 ..................................................................................... 44

Phần 2. Hình học .......................................................................................... 47

Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG.................................................... 47 Đoạn thẳng tỉ lệ ...................................................................................... 47 Định lý Ta-lét (Thalès) trong tam giác .................................................... 50 Tính chất đường phân giác của tam giác ................................................. 56 Tam giác đồng dạng ............................................................................... 59 Ôn tập chương 3 ..................................................................................... 72

Chương IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU ................. 78 Hình hộp chữ nhật. Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian ........... 78 Hình lăng trụ đứng ................................................................................. 84 Hình chóp đều ........................................................................................ 88 Ôn tập chương 4 ..................................................................................... 91

Ôn tập học kì 2 .............................................................................................. 93

MỤC LỤC..................................................................................................... 98

bài tập toán 8 học kì 2 phần 1. Đại...

Documents