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Bien Temperado, según definición de Werckmeister
Edición mejorada y complementada.
Desde Werckmeister, pasando por Bach, Kirnberger y Vallotti, hasta Temperado Igual
Inspirado por Kelletat.
Broekaert Johan M.
Electronic Engineering, Catholic University of Leuven (KUL), Leuven, Belgium
Nieuwelei, 52
B 2640 Mortsel
Belgium
00 - 32 - (0)3 - 455.09.85
https://expernova.academia.edu/JohanBroekaert
http://users.telenet.be/broekaert-devriendt/Index.html
http://home.deds.nl/~broekaert/Index.html
Bien Temperado, según definición de Werckmeister
Edición mejorada y complementada.
Desde Werckmeister, pasando por Bach, Kirnberger y Vallotti, hasta Temperado Igual
Inspirado por Kelletat.
Resumen: Basado en una definición de "Bien Temperado", compilada por
Kelletat H., pero derivada de Werckmeister A., se elaboraron una serie de pasos
lógicos matemáticos para obtener "temperamentos" modelo, matemáticamente
óptimos y bien temperados. Esto conduce a una clasificación matemática objetiva
de los temperamentos históricos. Los temperamentos históricos que mejor se
acercan al modelo matemáticamente óptimo bien temperado son los mismos que
los que a menudo se establecen en los órganos con la mayor apreciación y
prominencia musical registrada. La apreciación matemática elaborada y la
apreciación musical de los temperamentos históricos son, por lo tanto, muy
similares. Cualitativamente, los temperamentos bien temperados se encuentran
totalmente entre el óptimo trabajado y el temperamento igual. Están muy cerca de
estos límites, y la lista está llena de pequeños incrementos. En consecuencia, no
tiene sentido desarrollar nuevos temperamentos bien temperados.
Los módulos matemáticos desarrollados también se pueden usar para la
identificación precisa de temperamentos históricos establecidos.
Palabras clave : temperament; extended; just; intonation; musical; Pythagorean;
natural harmonic; equal temperament; well temperament; optimal; model;
objective; root mean square; RMS; interval; pure; third; fifth; diatonic; tune;
wohltemperiert; Werckmeister
Indicación:
Este texto fue traducido del holandés principalmente con "Google Translate", en
combinación con la revisión de la terminología sobre relevante páginas Wiki y una
revisión del autor, que solo tiene conocimientos básicos limitados de castellano.
Con disculpas por los errores de idioma restantes.
1 Temperamentos musicales
1.1 Problemática
Hay diferentes culturas musicales, y diferentes escuelas musicales han existido desde la
antigüedad: había, por ejemplo, la escuela canónica de Pitágoras y el armónico de
Aristóxeno. A lo largo de los siglos hasta hoy, los requisitos musicales han llevado a
más de cien [1] temperamentos musicales históricos. Barbour publicó una descripción
extendido (1951 [2]).Todavía recientemente, se desarrollaron nuevos temperamentos:
Kelletat (1966 [3, 4, 5
]), Vogel (1975 y 1985 [6]), Michelin (1976 [
6]), Kellner (1976 [
7]),
Barnes (1979 [6]), Billeter (1979 [
4]), Asselin (1985 [
6]), Lehman (2005 [
8]), ...
Lindley [9] se refiere a 21 temperamentos recientes, del que se dice que son
temperamentos de Bach. Esta evolución muestra que no hay un temperamento
universalmente aceptado: la elección de un temperamento pertenece a la libertad
artística de un músico. Una apreciación o clasificación objetiva y racional de los
temperamentos musicales probablemente no exista, pero los temperamentos se pueden
clasificar en varias familias. Un grupo especial de temperamentos incluye los
temperamentos Bien Temperados (WT: Well Temperament). Sus propiedades se
exploran más en este texto.
1.2 Temperamentos Bien Temperados (WT)
“Wohltemperiert“es alemán para “Bien Temperado”.
El término "Wohltemperiert" o una composición de
términos similares fue utilizado por primera vez por
Werckmeister A., en un subtítulo de “Orgelprobe”,
1681 (ver facsímil abajo, de [10
], pág. 18):
“Unterricht, Wie durch Anweiß und Hülffe des Monochordi ein Clavier wohl zu
temperiren und zu stimmen sei, damit man nach heutiger Manier alle modos fictos in
einer erträglichen und angehmen harmoni vernehme.“
Uso adicional en “Musicae Hodegus
Curiosus”, 1686 [11
], capitulo 40 pag.
118 (incorrectamente marcado como 108), en la 2da linea, como “wol temperiret”
y en pag. 120, 16-la regla, como “wohl
temperirtes”.
Incluso más adelante también en
“Musicalische Temperatur”, 1689 [12
], como
“wol temperirt” en el título,
y como “wohl temperiret”, en el capítulo
22, pag. 61, 7-la regla.
También en una versión
complementada y mejorada de
Orgelprobe, 1698 [13
],fue utilizado
“Wohltemperiert”, en la pag. 7, pero todavía no está escrito asi.
Todas las publicaciones mencionadas anteriormente están en el origen del término
musical “Wohltemperiert”, e imponen requisitos musicales convincentes sobre las
características de estos temperamentos, complementado con una serie de propuestas que
ahora se llaman temperamentos Werckmeister, como:
Werckmeister I (valores en cent / Kelletat) [3], recalculado a 1 / 10 cent
fracciones indican la desviación en coma del quinto en la nota
C C� D E� E F F� G G� A B� B -1/3 0 -1/3 +1/3 -1/3 -1/3 0 0 +1/3 0 -1/3 0
0.0 82.4 196.1 294.1 392.2 498.0 588.3 694.1 784.4 890.2 1003.9 1086.3
Orgelprobe 1681 [13
]
Musicalische Temperatur 1691 [12
]: pag. 78, marcado con “Die andere N.4.”
Sin embargo, este temperamento no cumple todos los requisitos, debido a las grandes
terceras duras (= más grandes que una tercera pitagórica) en D, C�, F�. Esto llevó a la
crítica de varios contemporáneos, y la publicación posterior de Werckmeister II en III.
Werckmeister II
C C� D E� E F F� G G� A B� B -1/4 0 -1/4 0 0 0 0 -1/4 0 0 0 -1/4
0.0 90.2 192.2 294.1 390.2 498.0 588.3 696.1 792.2 888.3 996.1 1092.2
Musicalische Temperatur 1691 [12
]: pag. 78, marcado con “Die erste Art Num. 3.“
Werckmeister III
C C� D E� E F F� G G� A B� B 0 -1/4 -1/4 0 0 -1/4 -1/4 0 +1/4 -1/4 0 0
0.0 96.1 203.9 300.0 396.1 503.9 600.0 702.0 792.2 900.0 1002.0 1098.0
Musicalische Temperatur 1691 [12
]: pag. 79, marcado con “Die dritte Manier“.
Los requisitos establecidos por Werckmeister en ese momento todavía son ampliamente
aceptados hoy (ver [10
], pag. 25, 26): …“ La redacción utilizada es la misma que la
utilizada por Werckmeister, en el título de su Musicalische Temperatur (1691), lo que
significa que se puede modular alrededor del círculo de quintas: ….”.
Es muy posible que Werckmeister solamente usara las palabras "wol" y "temperirt" para
indicar brevemente la gran cantidad de características que deben cumplirse, sin darse
cuenta de que creó un nuevo término musical importante.
De todos modos, la palabra deletreada "Wohltemperiert" más tarde se convirtió en una
palabra muy común. Hasta ahora no era (¿todavía?) posible recuperar fuentes escritas
anteriores de "Wohltemperiert". Este
término probablemente también se hacía
popular porque, entre otras cosas, su uso
en el título de "Das Wohltemperirte
Clavier" (1722) de J. S. Bach.
Es muy posible que J. S. Bach no haya prestado demasiada atención a la caraterística
bien temperado, o tampoco al temperamento establecido en un teclado en general, pero
esto no excluye que haya usado un modo específico de sintonizar por sí mismo; ver [3]
capitulo “Mittelton”. Hasta hoy, no se ha sabido con certeza cuál habría sido su modo
de sintonizar.
Sobre la base de las publicaciones de Werckmeister, no es inmediatamente
posible trabajar en una optimización o una caracterización matemática más estricta de la
sintonización bien temperada.. Las publicaciones de Werckmeister son demasiado
amplias para poder desarrollar algoritmos fácilmente. Seguro que sus publicaciones han
llevado a la definición de sintonización bien temperada, elaborado por el Prof. H.
Kelletat, después de un exhaustivo análisis de temperamentos e investigaciones. El
capítulo completo Wohltemperiert, ver [3], muestra claramente esto. La definición de
Kelletat, conciso y claro, hace posible desarrollar algoritmos basados en ella.
La explicación adicional en este texto se basa completamente en esta definición, y por
lo tanto también en Werckmeister, aunque esto solamente es indirectamente el caso.
La definición es la siguiente (ver [3] página 9):
“La sintonización Bien Temperada presupone una división matemático-acústica
y práctica-musical de los sonidos de una octava en doce partes, para que sobre la base
de la escala diatónica natural sea posible una ejecución impecable en todas las
tonalidades, por lo que el objetivo debe ser lograr la mayor pureza posible de los
intervalos diatónicos.
Este temperamento se produce como una relajación y extensión proporcional
moderadamente templada del temperamento meso-tónico, como semitonos desiguales
y como temperamento igual.”
2 Elaboración matemática de “Bien Temperado”
Se requieren posibilidades para los cálculos de purezas de intervalos, en combinación
con la definición anterior, para poder examinar objetivamente qué temperamentos
cumplen mejor con esta definición.. Por lo tanto, hay una necesidad de una definición
matemática de la pureza de un intervalo.
2.1 Determinación de purezas
Si dos sonidos con frecuencias f1 y f2 se observan simultáneamente, de los cuales la
relación de sus frecuencias está cerca de una relación de p2 / p1, y donde p1 y p2 son
enteros, entonces existe la posibilidad de un batimiento audible entre estos dos sonidos.
Uno tiene un intervalo con pureza perfecta si no se observa un batimiento; en el caso de
batimientos, uno tiene un intervalo impuro. El batimiento más notable es el batimiento
entre el armónico de f1, con la frecuencia p2 × f1, y el de f2 con la frecuencia p1 × f2. La
frecuencia de este batimiento es por lo tanto:
Frecuencia del batimiento Beat = (p1 × f2 - p2 × f1)
con - p2 / p1 = la relación del intervalo con pureza perfecta;
p1 y p2 son enteros, y 1 ≤ p2 / p1 ≤ 2
y - f2 / f1 = la relación de las frecuencias de los dos tonos del intervalo.
Este "Beat" se puede usar como una definición de la impureza de un intervalo. Esta
es una medida audible y absoluta de la impureza. También se puede deducir de estos
tamaños relativos de una impureza, como:
Impureza en cents: Cents = 1200.log(f2 / f1 × p1/p2) / log2
o La coma pitagórica ”coma” = 312
/ 219
(ver [14
])
o Porcentaje de batimientos (PBP: Percent Beat Pitch)
PBP = 100.(p1 × f2 / f1 - p2)
La elección de la definición de impureza con la que se permite el trabajo puede
depender del análisis que uno desee hacer. Todas las posibilidades enumeradas
anteriormente ya fueron utilizadas en investigaciones. A continuación se calculará en
este texto con PBP; esta cantidad está muy cerca de la técnica de sintonización de un
instrumento, que se basa en la observación de batimientos.
Los cálculos también se harán con el cuadrado del PBP. Hall Donald tambien[15
] ya ha
contado con cuadrados de impureza, para determinar el valor medio cuadrado (RMS
[16
]) de impurezas. El uso de cuadrados de impurezas tiene dos ventajas:
• Musicalmente: una gran impureza musical
pesa más en la audiencia que una pequeña.
Por lo tanto, las impurezas musicales
mayores también serán más aritméticas, si
uno cuenta con el cuadrado de una impureza
(ver fig. 1). El cuadrado de una impureza se
corresponde mejor en los cálculos con la percepción musical de la magnitud de una
impureza.
• Aritmética: A igual impureza total de dos grupos de intervalos, -entonces, grupos
con la misma media aritmética-, el grupo que tiene las mayores desviaciones en
relación con esta media aritmética -entonces, el grupo menos bueno-, tendrá también
el mayor RMS.
2.2 La Escala Diatónica Natural
Kelletat: “…sobre la base de la escala diatónica natural …”
La Tabla 1 muestra las relaciones de tono para el sistema armónico natural. Las notas
con un tercera mayor justa dentro de la escala C-mayor diatónica se marcan con TM
(= 5 / 4), estos con un tercera menor justa están marcados con tm (= 6 / 5), y aquellos
con un quinta justa están marcados con Q (= 3 / 2).
También hay algunos valores alternativos: F� = 25 / 18, G� = 64 / 45, B� = 16 / 9.
Figura 1
just
a
TM
, Q
tm,
Q
TM
, Q
TM
, Q
tm,
Q
tm
TM
, Q
pro
po
rció
n
1,0
000
1,0
417
1,0
667
1,1
250
1,1
719
1,2
000
1,2
500
1,3
021
1,3
333
1,4
063
1,4
222
1,5
000
1,5
625
1,6
000
1,6
667
1,7
578
1,7
778
1,8
750
1,9
531
2,0
000
frac
ció
n
1
25
/24
16
/15
9/8
75
/64
6/5
5/4
12
5/9
6
4/3
45
/32
36
/25
3/2
25
/16
8/5
5/3
22
5/1
28
9/5
15
/8
12
5/6
4
2/1
Tabla 1: Sistema Armónico Natural: fracciones; intervalos puros en C-mayor
Solo dentro de C-mayor ya, este sistema tiene algunas carencias: el quinto D-A y el
tercero menor D-F no están justas, y la relación B-F requiere que al menos algunos de
los quintos en B, F�, C�, G�, E� en B� deben ser más grandes que un quinta justa, lo
que conduce a terceras mayores más grandes que la tercera pitagórica. Por lo tanto, esta
estructura debe ajustarse.
Este sistema tiene una estructura muy apretada: vea la figura 2, con una flecha para cada
intervalo justo -entonces, un valor fijo-; triángulos con un valor fijo por lado no se
pueden deformar. C-mayor no contiene flechas para los quintos B-F y D-A, y tampoco
por el tercero D-F : estos intervalos, por lo tanto, no están puros.
Fig. 2 : Sistema Armónico Natural : intervalos puros
C
C
� D
� D
D
� E
� E
E
� F
F
� G
� G
G
� A
� A
A
� B
� B
B
� C
La mayoría de las otras tonalidadas tienen una estructura diferente de C-mayor, con otro
afecto musical, carácter: ver por ejemplo la figura de D-mayor.
2.2.1 Optimización hasta Bien Temperado, de la Diatónica Natural en C-mayor
Kelletat: …”sobre la base de la escala diatónica natural”…
El C-mayor diatónico está optimizado hasta varios "temperamentos" modelo, al
optimizar todos los intervalos diatónicos importantes: las terceras mayores en F, C, G;
las terceras menores en D, A, E, B; y las quintas en F, C, G, D, A, E. La quinta en B
no se evalúa, porque lleva a F�, y esta no es una nota diatónica en C-mayor. Las
relaciones de tono se deben ajustar para minimizar la impureza generala de estos
intervalos.
La optimización de la diatónica en C-mayor para "temperamentos" modelo se
obtiene al calcular el mínimo del promedio cuadrático (la valor de RMS-PBP, según la
fórmula a bajo) de la impureza en los trece intervalos pertinentes. La determinación
de los mínimos se realiza numéricamente mediante iteraciones en una hoja de cálculo
(spreadsheet).
Las terceras mayores no insertados -estas en C�, D, E�, E, F�, A�, A, B�, B- se
controlan durante las iteraciones para evitar un valor mayor que 81 / 64 -la tercera
pitagórica-.
2.2.2 Cálculo de un modelo con un RMS mínimo
2.2.2.1 Modelo con RMS mínimo,
con terceras mayores que pueden ser como máxima pitagóricas
El resultado de la iteración se muestra en la tabla 2. Este modelo es muy similar a
Kirnberger III ungleich (ver tabla 11). Damos a este modelo el nombre "PBP".
C C� D E� E F F� G G� A B� B
PBP 263,8 278,0 294,9 312,8 329,6 351,9 370,7 395,2 417,0 440,0 469,1 494,2
Tabla 2 : Frecuencias para el "temperamento" modelo, con, como máximo, terceras pitagóricos
Este modelo tiene seis quintas justas: estas en B, F�, C�, G�, E�, B�. Esta característica
específica también se conservará en futuros desarrollos de modelos.
El modelo obtenido, parece tener terceras menoras con una pureza mejor que
la de algunas quintas (ver más fig. 3). Debido a que el oído es más sensible a la
impureza en quintas, se puede considerar una mejora adicional, donde la pureza de los
terceras menoras no exceda la de la quinta más impura.
2.2.2.2 Modelo con RMS mínimo,
con limitación en la pureza de terceras menoras
Resultados en la in tabla 3. Este modelo es muy similar a Kirnberger III (ver tabla 11).
Damos a este modelo el nombre “PBP-min.th” (min.th significa minor thirds).
C C� D E� E F F� G G� A B� B
PBP-min.th 263,4 277,7 294,6 312,5 329,4 351,5 370,3 394,5 416,6 440,0 468,7 493,8
Tabla 3 : Frecuencias para el "temperamento" modelo con terceras menoras limitadas
Con el modelo obtenido se puede establecer que hay terceras mayores con una pureza
mejor que la de algunas quintas (ver más fig. 3). Por la misma razón que para las
terceras menores, se puede considerar una mejora adicional en un siguiente paso, en el
cual la pureza de las terceras mayores no exceda la de la quinta más impura.
2.2.2.3 Modelo con RMS mínimo,
con limitación en la pureza de terceras mayoras
Resultados en la in tabla 4. Este modelo es muy similar a Vallotti-Tartini (ver tabla 11).
Damos a este modelo el nombre “PBP-maj.th” (maj.th significa major thirds)
C C� D E� E F F� G G� A B� B
PBP-maj.th 262,8 277,3 294,1 311,9 329,1 350,9 369,7 393,1 415,9 440,0 467,9 492,9
Tabel 4 : Frecuencias para el "temperamento" modelo con terceras mayoras limitadas
La impureza de las quintas en C, G, D y A no disminuye fuertemente, y además las
terceras mayores en F, C, G, han perdido en calidad (ver más Fig. 3). Una mejora
adicional de quintas es posible reduciendo el peso de terceras dentro del cálculo de
RMS. Sin embargo, esto conduce solemente a una mejora muy limitada de quintas. De
alguna manera, las terceras siguen siendo muy pesadas. Un peso "cero" es la reducción
más posible del peso de las terceras. En otras palabras: una mejora adicional de quintas
requiere la eliminación de terceras en el cálculo del RMS.
2.2.2.4 Modelo con RMS mínimo,
sin optimización de (-contar con-) terceras
Resultados en la tabla 5. Este modelo es idéntico con Vallotti-Tartini [17
] (ver tabla 11).
C C� D E� E F F� G G� A B� B
Valotti 262.5 277.2 294.0 311,8 329,3 350,8 369,6 392,9 415,8 440.0 467,7 492,8
Tabel 5 : Frecuencias para modelo -“Vallotti-Tartini” 1728
La mejora de las quintas es fuertemente a expensas de la tercera mayor en C. Este
temperamento tiene como característica notable que hay seis quintas que tienen un
batimiento proporcionalmente igual, en F, C, G, D, A, en E; las otras seis quintas están
justas (ver fig. 3).
Si uno hace que las seis quintas con batimiento proporcionalmente igual sean
absolutamente iguales (= igual frecuencia de batimiento), en lugar de ser
proporcionalmente igual, se obtiene como una variante:
C C� D E� E F F� G G� A B� B
pitch 262.7 277.3 294.1 312.0 329.4 351.0 369.8 392.9 416.0 440.0 468.0 493.0
Tabel 6 ; “Equally Beating” “Vallotti-Tartini”
Las quintas tienen batimientos con frecuencia exactamente calculada [18
]:
Frecuencia de los batimientos = -2,267209627… (por A = 440)
2.2.2.5 El Temperamento Igual; abreviado: ET (= Equal Temperament)
Kelletat: “…y como temperamento igual.”
Si todas las quintas sean la más buenas posible, terminaras con el temperamento igual
ampliamente conocido (se dice también: temperamento proporcionalmente igual).
C C� D E� E F F� G G� A B� B
ET 261,6 277,2 293,7 311,1 329,6 349,2 370,0 392,0 415,3 440,0 466,2 493,9
Tabel 7 : Frecuencias por el temperamento igual
Este temperamento satisface los requisitos para ser bien temperado, pero en gran
medida a expensas de la calidad de las terceras (ver figura 3).
El temperamento igual se conoce desde hace siglos. Se informa por primera vez en
varias fuentes escritas totalmente independientes que se elaboraron casi
simultáneamente: Vincenzo Galilei 1581, Chu Tsai-Yu 1584, Simon Stevin en
Wisconstighe Gedachtenissen (1608).
El término “igual” también se puede tomar muy literalmente: todas las quintas tienen
una frecuencia de batimiento absolutamente igual, en lugar de ser proporcionalmente
iguales. Bajo esta condición uno obtiene el temperamento debajo.
C C� D E� E F F� G G� A B� B
Equal Beat 261,8 277,3 293,7 311,2 329,7 349,4 370,2 392,0 415,4 440,0 466,3 494,0
Tabla 8 : Frecuencia en caso de batimiento absolutamente igual en todas las quintas
El temperamento anterior habría sido primero pensado por Barthold Fritz, en 1756 [19
].
El frecuencia de batimiento en cada quinta en este temperamento está dentro de una
octava:
Frecuencia de los batimientos = -1,19357408944714… (por A = 440)
Esta frecuencia de los batimientos se puede calcular de modo exacto [20
].
2.2.3 Discusión
Figura 3: Características de impureza de Terceras y Quintas en
los "temperamentos" modelo desarrollados en el par. 2.2.2
Es fácil ver en la Figura 3 cómo los requisitos de pureza en quintas tienen una gran
influencia en la justeza de terceras diatónicos importantes.
Una pequeña mejora en quintas conduce rápidamente a una reducción en la calidad de
buenas terceras diatónicos. También la transición a un temperamento igual causa un
gran salto en la calidad de las terceras.
2.3 El Temperamento Meso-Tónico
Kelletat: … “relajación y extensión proporcional moderadamente
templada del temperamento meso-tónico,” …
El Temperamento Meso-Tónico se caracteriza por una quinta aumentada agrandada,
esto es usualmente G�-D�(÷E�), de tal manera que ocho
terceras mayoras justas ocurren (las cuerdas continuas en
fig. 4). Las cuatra terceras restantas (las cuerdas punteadas
en fig. 4), quienes por su construcción de quintas incluyen
la quinta aumentada, excedan por lo tanto la tercera
pitagórica. En un primer paso del temperameno meso-
tonicó a un temperamento bien temperado, estas terceras demasiada grandes deben al
menos atenuarse a terceras pitagóricas: las quintas en B, F�, C�, G�, E�, B� en F deben
hacerse justas para ese fin. Esto hace que seis de estas siete quintas sean iguales a los
seis quintas justas que ocurrieron durante la optimización de la "Escala Diatónica
Natural" (ver el par. 2.2.2). El requisito de una mayor optimización de los tercios
diatónicos y quintos pertinentes conduce, por lo tanto, al mismo proceso de
optimización que en el par. 2.2.2, y por lo tanto los mismos resultados.
3 Comparación de los modelos con temperamentos históricos
Los datos sobre los temperamentos históricos provienen de [3] y [
4] y [
6]; o fueron
autocalculados; por ejemplo Kirnberger III ungleich (con datos de [4] fig. 12).
La comparación con los temperamentos históricos se puede hacer por medio de
cuatro métodos de medición (PBP, cent, coma, beat). En las ecuaciones siguientes, los
modelos y temperamentos se ordenan según su pureza, medido en impureza media
cuadrática en PBP, de los intervalos relevantes de la escala diatónica en C-mayor (ver
la sección 2.2.1).
Las mediciones en Cents, coma o Beat dan resultados en los que, en
comparación con la medición de PBP, solo se producen pequeños saltos en el
clasificación obtenido.
Fig. 4: Meso-tónico
3.1 Comparación Ciega
El número total de temperamentos comparados fue alrededor de cien.
• La mayoría de los datos de origen de los temperamentos se redondearon al cent. Esta
precisión es de hecho insuficiente: Emmanuel Amiot advierte (ver [21
] par. [2.1.5]) :
“Espero que a través del proceso de cita de cadena, los valores exactos de estas
temperamentos se hayan preservado”. Para compensar algo de esto, la clasificación
se llevó a cabo, con valores límite aumentados a (81/64) x 1,002 para las terceras
pitagóricas.
• Una primera clasificación también contenía temperamentos, como Kirnberger I y II,
que no son reconocidos como bien temperados, debido a quintas demasiado
pequeñas (ver [3], capítulo sobre el temperamento de Kirnberger). Esto llevó a la
publicación de Kirnberger III en el momento. Los temperamentos con una quinta
menos que la quinta más pequeña de Kirnberger II se filtran por lo tanto. Asi la
proporción mínima permitida se convierte en 1,491. Esto también conduce a una
ampliación máxima permitida de quintas a la proporción de 1.509, debido a los
mismos batimientos que con quintas demasiada pequeñas. Los temperamentos con
tal quinta son eliminados [22
].
Discusión :
La ordenación según la pureza en C-mayor produce la siguiente lista.
Los temperamentos marcados con t o con T tienen un tercera menor (t) o mayor (T), que
es más pura que la quinta menos pura (ver también 2.2.2.2 en 2.2.2.3).
El RMS-PBP más bajo es fijo: en la primera posición de la lista con el modelo PBP,
como tenga ser como resultado de un algoritmo correcto y bueno. El RMS-PBP más
alto también esta arreglado arreglado : con el temperamento igual.
secuen
cia Temperamento
RMS
PBP
secuen
cia Temperamento
RMS
PBP
1 PBP 1,48 21 NEIDHARDT-1 2,45
2 PBP-min.th 1,54 22 LAMBERT 2,48
3 VOGEL (STADE) 1,58 T 23 WEINGARTEN 2,50
4 Kirnberger III unequal 1,80 T 24 BARCA 2,53
5 Kirnberger III 1,83 T 25 Lehman_1_6_Synth 2,60
6 Kelletat 1,84 Tt 26 MEANTONE -1/7 C 2,70
7 SIEVERS 1,86 T 27 BENDELER-II 2,71
8 PBP-maj.th 1,87 28 NEIDHARDT-2 2,71
9 STANHOPE 1,91 Tt 29 ASSELIN 2,79
10 VALLOTTI - TARTINI 2,06 30 SORGE 1744 2,82
11 Kellner 2,16 T 31 NEIDHARDT-3 2,83
12 Billeter 2,21 T 32 SORGE 1758 2,83
13 WERCKMEISTER III 2,26 33 BENDELER-III 2,87
14 BARCA - acc. DEVIE 2,28 34 WERCKMEISTER V 2,87
15 YOUNG 2,31 35 BENDELER-I 2,91
16 NEIDHARDT-4 2,31 36 MEANTONE -1/8 C 2,99
17 Lehman_1_6_Pyth 2,34 37 "GOTHEL /
NIEDERBOBRITZSCH"
3,06
18 BARNES 2,34 38 MEANTONE -1/9 C 3,25
19 YOUNG / Van BIEZEN 2,34 39 equal beat 3,47
20 MERCADIER 2,34 40 Equal temperament 3,56
Tabel 9: Impureza media cuadrática en C-mayor
Los límites para los temperamentos bien temperados son ahora conocidos :
tanto en la cabeza como en la cola de la lista, uno tiene una estrecha conexión con los
temperamentos históricos, y la lista está bien llena en pequeños pasos. Así que no tiene
sentido desarrollar más temperamentos bien temperados. El impulso de muchos de
hacer esto todavia es racionalmente difícil de entender (ver también 1.1 y [1]).
Observación: Vogel (Stade) tiene características bastante inusuales: las quintas en F� y
B� tienen una proporción mayor a 1.5 (1,504), pero están rodeados por quintas
disminuadas, asi que como resultado, esto excepcionalmente no conduce a terceras
mayores pitagóricas.
Para la mayoría de los temperamentos, estos con bajo número de secuencia
tienen las terceras más puras y las quintas menos puras, y los que tienen un alto número
de secuencia se aplica lo contrario: ver fig. 5, con la impureza RMS de la diatónica
C-mayor, y curvas separadas para quintas y terceras mayoras y menoras, trazadas de
acuerdo con clasificación en la Tabla 9. Algunos picos ocurren durante el curso
descendente de las quintas, y en el curso creciente de las terceras mayoras se produce un
aumento repentino a la derecha. Los temperamentos que corresponden tienen una
desventaja frente a su vecino inmediato, y son estos con número de secuencia 9, 27, y
33-35 y 37-40 en la tabla 9.
Fig. 5: Curso de impurezas
3.2 Curso de impureza diatónica en función de la tonalidad
El valor de RMS-PBP de las tonalidades diatónicas dentro de un temperamento
aumentará si uno se aleja de la tonalidad principal en C-mayor. La comparación
numérica y gráfica del curso de impureza de las tonalidades se detalla a continuación
para el temperamento meso tónico, el temperamento igual (ET) y el “temperamento”
temperado óptimo (WT / PBP- "temperament").
D� A� E� B� F C G D A E B F� C�
ET 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56
meso tónico 9,75 8,05 5,88 1,21 1,21 1,21 1,21 1,21 1,21 5,88 8,05 9,75 9,75
WT (PBP) 5,06 4,89 4,29 3,39 2,27 1,48 2,27 3,39 4,29 4,89 5,06 5,09 5,06
Tabla 10: RMS-PBP de la impureza de las tonalidades
Especialmente la figura 6 deja claro el curso de las propiedades. El temperamento meso
tónico se destaca en este:
• Sorprendente y muy buena e igual pureza con las tonalidades normalmente
aceptadas, con muchas posibilidades para cambiar la tonalidad, o más bien: el tono
• Extremadamente impuro (¿expresivo?) en las tonalidades lejanas.
Figura 6
Puede valer la pena profundizar un poco más; ver recuadro.
Comparación rudimentaria concisa del Temperamento Meso-Tónico con el
temperamento Bien Temperado Muchos libros ya están escritos sobre la comparación de temperamentos. Solo mostramos las diferencias más obvias
y acusadas aquí, como se muestra por la observación del gráfico.
1 Comparación en tono:
• Temperamentos bien temperado: estos permiten cambios de tono en pasos de semitono, mientras se mantiene
una armonía aceptable. Todas las tonalidadeses son por lo tanto posibles.
• El temperamento Meso-Tónico: tiene seis tonalidades con armonía excelente e idéntica: los tonalidades B�-, C-,
D-, F-, G-, A-mayor. Esto permite cambiar la tonalidad de estas tonalidades, muy bien dividida en una octava: la
mayoría de los pasos abrazan un tono completo (B�-C, C-D, F-G, G-A), pero una vez también medio tono
(A-B�) o un tono y medio (D-F). En otras palabras, también el tono medio ofrece muchas posibilidades para
cambiar la tonalidad -en realidad el tono- sin comprometer la armonía.
2 Afecto musical:
• Temperamentos bien temperado: Todos los temperamentos bien temperados, especialmente aquellos con un
tercera casi perfecta en C, sufren una alteración de afecto y armonía con un cambio en tonalidad. Todas las
tonalidadas tienen armonías iguales con el temperamento igual.
• El temperamento Meso-Tónico: ningún cambio en la armonía en absoluto, para las tonalidadas B�-, C-, D-, F-,
G-, A-mayor, y las tonalidadas menoras correspondientes. Cambio de armonía y afecto muy fuerte a agudo para
todas las demás tonalidadas.
Si se desea, es posible tocar musica escrita en una tonalidad lejana en un teclado meso-tónico, sin embargo
todavia con una armonía razonablemente pura. A excepción de E- y E�-mayor, es suficiente transponer esta
pieza medio tono, solo cambiando las llaves; ver la tabla a continuación. Por E- y E� mayor, la partitura debe
ser completamente reescrito.
transponer de … a … transponer de … a …
B-mayor ����� B�-mayor �� A�-mayor ���� A-mayor ���
F�-mayor ������ F-mayor � D�-mayor ����� D-mayor ��
C�-mayor ������� C-mayor ninguna G�-mayor ������ G-mayor �
C�-mayor ������� C-mayor ninguna
E-mayor ���� F-mayor � E�-mayor ��� D-mayor ��
Transposición a tonalidades diatónicas normales,
Con estas transposiciónes, se debe prestar especial atención a las marcas de cambio accidentales en la
partitura Lo anterior deja en claro que la elección del temperamento y de la tonalidad es una elección artística primordial. Un
ejemplo de aclaración es suficiente:
J. S Bach
Su educación musical se basó en el meso-tónico y hasta su visita a Buxtehude (1705) solo conoció el meso-tónico:
ver [3] capítulo “Mittelton (meso-tónico)”.
Sobre la base de una elección artística deliberada, usa el meso-tónico, así como otro o cualquier (¿o su?)
temperamento bien temperado.
• “Das Wohltemperierte Klavier”: Se necesita un (¿su o cualquier?) teclado bien templado
• Pasión según San Mateo: aquí el uso de tonalidades lejanas en el meso-tónico apoya fuertemente algunos
eventos dramáticos, como por ejemplo en (ver: [4] “Mittelton und Charakteristik der Tonarten”): …"Sind Blitze,
sind Donner (hat rayos, hay truenos)" … "Eröffne den feurigen Abgrund, o Hölle (Abre el abismo ardiente, oh
infierno)" … "Der du den Tempel Gottes zerbrichts (Quien rompe el templo de Dios)" … "Laß ihn kreuzigen
(Deja que sea crucificado)" … "Ich bin's, ich sollte büßen (Soy yo, debería pagar)" …"Ach Golgotha, unselges
(infeliz) Golgotha" … "Wahrlich, dieser ist Gottes Sohn gewesen (En verdad, este era el Hijo de Dios)"
3.3 Conclusiónt
Se examinaron las características diatónicas de los temperamentos bien temperados y se
establecieron sus límites. Por lo tanto, se pueden clasificar, por ejemplo en función de
su impureza diatónica en C-mayor. Nuevos temperamentos de este tipo son ilimitados,
pero superflui.
4 Reconocemiento de temperamentos.
4.1 Metodología
Reconocer los temperamentos es útil aquí, para asegurar qué temperamentos históricos
se adaptan mejor a los temperamentos de los modelos desarrollados. El reconocimiento
de un temperamento requiere una medición en todas las notas, en lugar de solo las
notas de la escala diatónica en C-mayor, como en los párrafos anteriores.
Una comparación entre los temperamentos es posible determinando la media
cuadrática para una octava, de las diferencias de pureza por intervalo mutuo, para
todas las terceras, mayoras y menoras, y todas las quintas, de acuerdo con la fórmula a
continuación. Los promedios cuadráticos más pequeños corresponden a las mejores
similitudes.
Reconocer un temperamento se hace comparando el temperamento
desconocido con los temperamentos históricos, seguido por la selección y disposición
de los temperamentos históricos según el promedio de mínimos cuadrados.
4.2 Lista corta
Los mejores aproximaciones con los modelos de PBP se calcularon de acuerdo con la
sección 4.1 anterior, y los primeros 10 se organizan en la tabla 11 a continuación.
Los temperamentos marcados con "t" se omitieron desde la columna PBPmin.th;
ésos etiquetados con “T” fueron omitidos desde la columna PBP-maj.th, porque no
cumplen con los requisitos de pureza con respecto a las terceras en comparación con las
quintas (de acuerdo con los párrafos 2.2.2.2 y 2.2.2.3).
Temperamento RMS
∆ PBP Temperamento
RMS
∆ PBP Temperamento
RMS
∆ PBP Temperamento
RMS
∆ PBP
PBP 0,00 PBP-min.th 0,00 PBP-maj.th 0,00 Vallotti 0,00
Kirnberger III
unequal 1779 0,66 T
Kirnberger III
1779 0,43 T
Vallotti-
Tartini 1750 0,28
Vallotti-
Tartini 1750 0,00
Kirnberger III
1779 0,67 T
Kirnberger III
unequal 1779 0,47 T Young 1800 0,40
Barca acc.
Devie 1786 0,30
Kelletat 1966 0,85
Tt Sievers 1868 0,68 T
Barca acc.
Devie 1786 0,47 Young 1800 0,32
Stanhope 1806 0,88
Tt Vogel (Stade) 0,72 T Barnes 1979 0,52 Barnes 1979 0,45
Vogel (Stade) 0,93 T Vallotti-
Tartini 1750 0,77
Mercadier
1788 0,58 Lambert 1774 0,51
Sievers 1868 0,94 Kellner1976 0,82 T Lambert 1774 0,67 Mercadier
1788 0,57
Kellner1976 1,06 T Young 1800 0,85 Neidhardt-4
1732 0,71 Sievers 1868 0,58
Werckmeister
III 1681 1,08
Neidhardt-4
1732 0,86 Neidhardt-1 0,71 Asselin 1985 0,64
Neidhardt-4
1732 1,08
Werckmeister
III 1681 0,88
Werckmeister
III 1681 0,79
Weingarten
1750 0,66
Vallotti-
Tartini 1750 1.09
Mercadier
1788 0,90
Weingarten
1750 0,81 Neidhardt-1 0,70
Tabla 11: comparación entre los temperamentos históricos y los modelos desarrollados
4.3 Evaluación de los resultados
Se puede verificar que la clasificación anterior, sobre la base de criterios matemáticos
objetivos, sorprendentemente se corresponde bien con las evaluaciones musicales
generalmente prevalecientes.
De 248 órganos en los Países Bajos [23
], por ejemplo, más de dos de los tres
órganos tienen un “bien temperamento”, según Werckmeister (64), Neidhardt (60),
Young (9), Vallotti (12), Kirnberger (11); ver las cajas grisas en la tabla 11. Al ingresar
las palabras clave "famous musical temperament" en Internet, se puede establecer una
correspondencia bastante buena entre los temperamentos que se mencionan en las
páginas afectadas, y los mencionados en las columnas de la tabla 11.
Observación: se requiere una estadística más amplia, científicamente
determinada, sobre los temperamentos establecidos para la música occidental en
órganos o teclados de músicos clásicos profesionales, para poder confirmar o refutar
lo anterior más general y objetivo.
También se puede determinar gráficamente que las diferencias entre estos
temperamentos y los modelos de PBP son muy pequeñas; ver fig.7.
Fig. 7 : Impureza en PBP de terceras mayoras y quintas para
algunos temperamentos de la tabla 11
5 Conclusiones
Los temperamentos históricos se evaluaron sobre la base de la definición de Kelletat, a
partir de varios puntos de ataque formulados por él. En base a los hallazgos y análisis
matemáticos en este texto, se espera que las siguientes conclusiones puedan ser
aceptadas :
5.1 Conclusion principal :
UENOS TEMPERAMENTOS, SON TEMPERAMENTOS DE LOS CUALES LA
ESCALA DIATÓNICA EN C-MAYOR TIENE UN IMPUREZA QUE SE
ENCUENTRA ENTRE UN ABSOLUTO Y ESPECÍFICO MÍNIMO ÓPTIMO Y UN MÁXIMO
QUE CORRESPONDE A LA DEL TEMPERAMENTO IGUAL, DONDE LOS TERCERAS
MAYORAS NO PUEDEN SER MAYORAS DE TERCERAS PITÁGORICAS, Y DENTRO DE
LOS CUALES LAS QUINTAS TENGAN UNA PROPORCIÓN ENTRE 1.491 Y 1.509.
5.2 Conclusiones auxiliaras :
• Se determinaron los modelos y temperamentos óptimos, y sus características: los
siguientes valores extremos se aplican a la impureza diatónica de C-mayor:
• PBP : min. 1.48 %, y max. 3.56 %.
• Generalmente, la apreciación musical prevaleciente de los temperamentos
históricos, y la disposición matemática objetiva obtenida, concuerdan bien
• Nuevos intentos de desarrollar nuevos temperamentos bien temperados no tienen
sentido.
• El reconocimiento objetivo preciso del temperamento establecido en un
instrumento es posible por medio de los módulos de cálculo utilizados
• La forma en que los músicos, basados únicamente en su audición, fueron
capaces de desarrollar temperamentos que están tan estrechamente alineados con
los modelos óptimos desarrollados, obliga a una mayor apreciación y respeto.
Esta optimización de los intervalos, sin poderosos medios de cálculo, en un
pasado distante, muestra el enorme refinamiento de los sentidos humanos en
general, en particular de la audición musicalmente entrenada, y el enorme poder
de procesamiento intuitivo de nuestro cerebro.
B
Dedicación : Este texto está dedicado a músicos clásicos y sintonizadores de música,
como un tributo a su musicalidad y audición refinada.
Noviembre 2017
Johan Broekaert
1 El 12 de noviembre de 2013 fue posible consultar un archivo con más de 500 temperamentos,
en la página de Internet: http://www.dolmetsch.com/musictheory27.htm
2 Barbour James: “Tuning and Temperament: A Historical Survey”. Michigan State College
Press. 1951
3 Kelletat Herbert, professor; “Zur musikalischen Temperatur”. Band 1. Johann Sebastian Bach
und seine Zeit, 1981, ISBN 3-87537-156-9
Pag. 9:“Wohltemperierung heißt mathematisch-akustische und praktisch-musikalischen
Einrichtung von Tonmaterial innerhalb der zwölfstufigen Oktavskala zum einwandfreien
Gebrauch in allen Tonarten auf der Grundlage des natürlich-harmonischen Systems mit
Bestreben möglichster Reinerhaltung der diatonische Intervalle. Sie tritt auf als
proportionsgebundene, sparsam temperierende Lockerung und Dehnung des mitteltönigen
Systems, als ungleichschwebende Semitonik und als gleichschwebende Temperatur.”
(Orgelprobe, 1681).
4 Kelletat Herbert, professor; “Zur musikalischen Temperatur”. Band 2. Wiener Klassik, 1982,
ISBN 3-87537-187-9
5 Kelletat Herbert, professor; “Zur musikalischen Temperatur”. Band 3. Franz Schubert, 1994,
ISBN 3-87573-239-5
6 De Bie Jos: “Stemtoon & Stemmingsstelsels”, 4-de uitgave, 2001 (Private edition)
7 Kellner Anton, Darmstadt: “Eine Rekonstruktion der wohltemperierten Stimmung von Johann
Sebastian Bach”, Das Musikinstrument, Heft 1/77
8 Lehman B.: “Bach’s extraordinary temperament: our Rosetta Stone”, “Early Music”, 2005,
Vol. XXXIII, No. 1, p. 3-23, No.2, p. 211-231. Oxford University Press.
9 See http://www-personal.umich.edu/~bpl/larips/bachtemps.html3 on oct. 30-th 2013. Los
temperamentos mencionados son: Kelletat, Kellner, Barnes, Billeter, Lindley, Sparschuh,
Jira, Zapf, Lehman, Francis, Jencka, Jobin, Maunder, Mobbs/MacKenzie, Lucktenberg,
Interbartolo, Lindley/Ortgies, O'Donnell, Spanyi's Kirnberger II, Williams (retune the
instrument per composition), Di Veroli. Sorprendentemente, Kirnberger III y Kirnberger
III ungleich no se mencionan en la lista.
10 Johan Norback: “A Passable and Good Temperament; A New Methodology for Studying
Tuning and Temperament in Organ Music”. Studies from the Department of Musicology,
Göteborg University, no. 70, 2002, ISBN 91 85974-66-8, ISSN 1650-9285, Facsimilé: ver
pag. 18. Quote: ver pag. 25, 26.
11 Werckmeister A.: 1686, Musicae Mathematicae Hodegus Curiosus. Frankfurt, Leipzig. In
Verlegung Theodori Philippi Calvisii, Merseburg, Gedruckt bei Christian Gottschich / F.S.
Hoff-Buchdr. Im Jahr 1686.
Copias facsímiles de esta publicación se pueden encontrar en Internet. Entre otros, en el
sitio: http://digitale.bibliothek.uni-halle.de/vd17/content/titleinfo/5174512
12 Werckmeister A. 1691, Musicalische Temperatur, Oder deutlicher und warer Mathematischer
Unterricht, Wie man durch Anweisung des MONOCHORDI, Ein Klavier, sonderlich die
Orgel-Wercke, Positive, Regale, Spinette, und dergleichen wol temperirt stimen könne,
damit man nach heutiger manier alle Modi ficti in einer angenehm- und erträglichen
Harmonia mögen genommen werden. Frankfurt und Leipzig. In Verlegung Theodori
Philippi Calvisii, Buch-Händler in Quedlingburg, ANNO 1691.
Copias facsímiles de esta publicación se pueden encontrar en Internet. Entre otros, en el
sitio: https://imslp.nl/imglnks/usimg/2/2e/IMSLP75012-PMLP150508-
Werckmeister_musicalische_temperatur.pdf
13 Werckmeister A.: Orgelprobe, 1681; Extended and Improved publication in 1698:
Quedlingburg, In Verlegung Theodori Philippi Calvisii, Buch-Händler daselbst, Gedruckt
bei Joh. Heinrich Sievert, J. S. Hoff: Buchdr, ANNO 1698.
Copias facsímiles de esta publicación se pueden encontrar en Internet. Entre otros, en el
sitio: https://imslp.nl/imglnks/usimg/9/9d/IMSLP75013-PMLP150511-
Werckmeister_Erweiterte_Und_verbesserte_Orgel-Probe.pdf
No se encontró una copia facsímil de 1681 en internet.
14 Esta coma equivale a 23.5 cent. También hay mucho trabajo con la coma sintónica, igual a
81/80 (21.5 cent). Además, hay muchos otros microintervalos, como el cisma, el diesis,
etc... todos los cuales indican una impureza específica de un intervalo.
15 Hall Donald: “The Objective Measurement of Goodness-of-Fit for Tunings and
Temperaments”. Journal of Music Theory, Vol. 17, No. 2 (Autumn 1973), pp. 274-290.
16 RMS: “RMS” representa “Root Mean Square”. Esta es la raíz del promedio de la suma de los
cuadrados de los números; un cálculo en una colección de números que se aplica con
frecuencia en estadística y ciencia. Esta abreviatura se usa casi universalmente en todos los
idiomas. En Castellano: “Valor media cuadrática”.
17 Dolata David, 2016: “Meantone Temperaments on Lutes and Viols”, Indiana University
Press, ISBN 978-0-253-02146-5, zie pag. 117: Vallotti habría preparado su temperamento
en 1728, fue publicado en 1754 por Tartini.
18 Las ecuaciones son: (A = 440)
1. Beat + 3C - 2G = 0
2. 3C� - 2G� = 0
3. Beat + 3D = 2A
4. 3E� - 2B� = 0
5. Beat + 3E - 2B = 0
6. Beat - 4C + 3F = 0
7. - 4C� + 3F� = 0
8. Beat - 4D + 3G = 0
9. - 4E� + 3G� = 0
10. Beat - 4E = 3A
11. - 4F + 3B� = 0
12. - 4F� + 3B = 0
Asi que: Beat = 440 (219
-312
) / (7×310
+ 33×2
13 + 23×2
15) = -2.267209627…
19 De acuerdo con la información recibida el 02/09/2013 de Willem Kroesbergen, constructor de
clavicordio, Holanda.
20 Las ecuaciones son: (A = 440)
1. Beat + 3C - 2G = 0
2. Beat + 3C� - 2G� = 0
3. Beat + 3D = 2A
4. Beat + 3E� - 2B� = 0
5. Beat + 3E - 2B = 0
6. Beat - 4C + 3F = 0
7. Beat - 4C� + 3F� = 0
8. Beat - 4D + 3G = 0
9. Beat - 4E� + 3G# = 0
10. Beat - 4E = 3A
11. Beat - 4F + 3Bb = 0
12. Beat - 4F� +3B = 0
Asi que: Beat = 440×(219
- 312
) / (119×38 + 2
7×3
6×5 + 2
10×3
4×5 + 2
13×3×29 + 2
18)
= -1,19357408944714…
21 Emmanuel Amiot: Discrete Fourier Transform and Bach’s Good Temperament. Society for
Music Theory; Music Theory Online, Volume 15, Number 2, June 2009.
“[2.1.5] I hope that through the process of chain-quotation, the exact values of these
tunings have been preserved. ...”
22 Los temperamentos filtrados son: Kirnberger I and II, Werckmeister VI, Von Wiese II,
Agricola, Ramis de Pareja, Schiassi.
23 Cifras obtenidas a través de una extracción de la base de datos en línea de Huygens-Fokker
Foundation, Holanda. http://www.huygens-fokker.org/docs/orgeltemp.html