Bifurcacion ferroresonante por la saturacion magnetica

Cesar Bogado,Facultad de Ingenierıa, Universidad Nacional de Asuncion

Campus Universitario, San Lorenzo

E-mail: cesarbogado@citec.ing.una.py

Walter Causarano Christian E. SchaererFacultad Politecnica, Universidad Nacional de Asuncion

Campus Universitario, San Lorenzo

P.O.BOX: 2111 SL, Paraguay

E-mail: wcausarano@pol.una.py, cschaer@pol.una.py

Palabras clave: matematica aplicada a ingenierıa, ferroresonancia, diagramas de bifurcacion.

Resumen: Este trabajo analiza el efecto de la no-linealidad en las condiciones de operacionsegura y ferroresonante de un transformador trifasico en modo de falla. Simplificaciones sonrealizadas para obtener una expresion analıtica del diagrama de bifurcacion, que se contrasta yvalida con los resultados numericos obtenidos del modelo inicial.

1. Introduccion

El fenomeno de la ferroresonancia en sistemas electricos de potencia, a pesar de ser iniciadopor algun evento transitorio asociado a una falla, es un fenomeno de regimen permanente [2]. Semanifiesta por sobretensiones y sobrecorrientes persistentes con formas de onda distorsionadasque pueden causar severos danos a los equipos conectados al sistema electrico.

La ecuacion diferencial que modela el primario de un transformador en falla es:x1 = x2

x2 = −R2(k1+knxn−11 )

(R2+R1)Cx1 −

R2(nR1knxn−11 +k1R1+

1CR2

)

R1+R2x2 + R2

R2+R1Eωcos(ωt)

(1)

donde C es la capacitancia equivalente del circuito, R1 representa a las perdidas en serie y R2 alas perdidas en paralelo, x1 es el flujo magnetico a traves del nucleo del transformador y x2 latension inducida en los devanados por la variacion del flujo. Valores tıpicos para los parametrosen (1) son [1]: k1 = 10−8, kn = 2, 34 × 10−34, n = 9, R1 = 32KΩ, R2 = 714MΩ, C = 0, 4nF yω = 100π [rd / s].

Simulaciones para diferentes valores de los parametros en (1) permiten el entendimientoespecıfico de esos casos. Los diagramas de bifurcacion identifican zonas de cambio en el compor-tamiento estructural del sistema, para determinar si la operacion es estable y segura [2, 4].

Este trabajo analiza el diagrama de bifurcacion del modelo del transformador en falla, deter-minando las caracterısticas introducidas en la respuesta por la saturacion del nucleo magnetico.Se obtiene una expresion analıtica simplificada para este diagrama, y se comprueba que la mismaes una buena aproximacion para el analisis estructural del modelo no simplificado.

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2. Analisis del sistema

Sistema homogeneo. Cuando E = 0 en (1), (x1, x2) = (0, 0) es un foco hiperbolicoasintoticamente estable [3]. Linealizando alrededor de este punto fijo, los sistemas lineal y no-lineal presentan comportamientos identicos para (x1, x2)(0) ∈ B((0, 0), ε), y diferencias notablesen la frecuencia, amplitud y forma de onda de la respuesta transitoria fuera de esta vecindad.

Sistema no homogeneo. Cuando E 6= 0, los regımenes permanentes de los sistemas linealy no-lineal son identicos en operacion segura. En la operacion ferroresonante de la Figura 1aparecen armonicos en la solucion, la cual es periodica con igual periodo que la fuente. Hemosconstatado otros modos ferroresonantes con la variacion de E, denominados sub-armonico, cuasi-periodico y caotico en [2].

Figura 1: Diagrama de fase: Operacion segura (azul) y ferroresonante (rojo)

Diagrama de bifurcacion. Haciendo x1(t) = φ cos(ωt − θ) en (1) y despreciando losarmonicos superiores a la fundamental, se obtiene la expresion analıtica simplificada [1]:

E2ω2 = A2 +B2, (2)

donde A = φ[k1C −

R2+R1R2

ω2]

+ knφn

2n−1CCn

n−12

, B = φ[

ωR2C

+R1k1ω]

+ R1nknφn 12n−1 Cn−1

n−12

y

Ckm = k!

m!(k−m)! son las combinaciones de k elementos tomados de a m. Es de notar la coincidencia

entre esta curva y la obtenida utilizando simulaciones numericas de la ecuacion (1), especialmenteen el brazo seguro (vea Figura 2).

Figura 2: Diagrama de bifurcacion simplificado (rojo) y curva obtenida de (1) (azul)

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3. Conclusion

La operacion de regimen permanente del transformador en falla es dependiente de los valoresinstantaneos de sus variables de estado en el instante de la falla. En el brazo seguro, los modeloslineal y no-lineal son equivalentes. En el brazo ferroresonante aparecen fenomenos de distorsionarmonica, sub-armonica, comportamiento cuasi-periodico o caotico, conforme varıa el parametroE. Se ha constatado que la expresion analıtica simplificada para el diagrama de bifurcacion de(1), es una buena aproximacion para la comprension del comportamiento estructural del modelo.

Referencias

[1] Fathi Ben Amar, Rachid Dhifaoui. “Bifurcation Lines Calculations of Period-1 Ferroreso-nance”, Proceedings of the 6th WSEAS International Conference on Power Systems, Lisbon,Portugal, September 22-24, 2006.

[2] Philipe Ferracci, Ferroresonance, Groupe Schneider: Schneider Cahier Technique Nro 190,March 1998.

[3] Nelson Fiedler-Ferrara, Carmen P. Cintra do Prado. “Caos. Uma Introducao”. Capitulo IIIde la Parte I. Editora Edgard Blucher LTDA. 1994.

[4] David A. N. Jacobson, Peter W. Lehn, and Robert W. Menzies, Stability Domain Calcu-lations of Period-1 Ferroresonance in a Nonlinear Resonant Circuit. IEEE Transactions onPower Delivery, VOL. 17, NO. 3, pp. 865-871 July 2002

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