bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale...
TRANSCRIPT
![Page 1: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/1.jpg)
Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling
Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door 2 getallen:
• Het aantal herhalingen van het experiment (n)
• De kans op succes bij één experiment (p)
![Page 2: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/2.jpg)
Als we het aantal successen aangeven met de letter X , dan zeggen we dat X binomiaal verdeeld is met de parameters n en p.
Een voorbeeld:
Als ik bij een multiple-choice-toets met 40 vierkeuzen-vragen de antwoorden willekeurig invul, dan is het aantal goed beantwoorde vragen binomiaal verdeeld met parameters n=40 en p=0.25
Ofwel: als we het aantal goede antwoorden X noemen dan geldt:
X = bin(40; 0.25)
![Page 3: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/3.jpg)
Als ik nu wil uitrekenen hoe groot de kans is dat ik precies 17 goede antwoorden heb, dan kan dat met de volgende formule:
In wiskunde-jargon:
P( X=17)met
X=bin(40 ; 0.25)
2317
4
3
4
1
17
40
P(X=17)=
![Page 4: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/4.jpg)
2317
4
3
4
1
17
40
De kans op succes:P=1/4
![Page 5: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/5.jpg)
2317
4
3
4
1
17
40
Het aantal succesen
![Page 6: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/6.jpg)
2317
4
3
4
1
17
40
De kans op mislukking:1-1/4=3/4
![Page 7: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/7.jpg)
2317
4
3
4
1
17
40
Het aantal mislukkingen:
40-17=23
![Page 8: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/8.jpg)
2317
4
3
4
1
17
40
Het aantal manieren waarop je 17 successen en 23 mislukkingen in volgorde kunt zetten.
![Page 9: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/9.jpg)
2317
4
3
4
1
17
40
Deze zogenaamde binomiaalcoëfficiënt kun je op de GR uitrekenen met de functie nCr , die je vindt onder het knopje MATH, (submenu PRB) Typ eerst het bovenste getal dan nCr, dan het onderste getal en vervolgens de ENTER-toetsë
![Page 10: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/10.jpg)
knk ppk
n
1P(X=k) =
In formulevorm:
Als X = bin(n;p) , dan geldt:
![Page 11: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/11.jpg)
Ook kun je de grafische rekenmachine de berekening laten uitvoeren.
Je gaat dan als volgt te werk.
![Page 12: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/12.jpg)
Onder de functie distr vind je een menu met kansverdelingen
![Page 13: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/13.jpg)
Het tiende menu-item is de benodigde functie: binompdf
![Page 14: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/14.jpg)
Eerst vermeld je het aantal herhalingen (n)
![Page 15: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/15.jpg)
Vervolgens de kans op succes (p)
Je kunt deze kans ook als breuk invoeren:Bijvoorbeeld 1/4
![Page 16: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/16.jpg)
En tenslotte het aantal successen
Na het indrukken van de enter-toets zie je dat deze kans ongeveer 0,007 is (=0,7%)
![Page 17: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/17.jpg)
Met binompdf(n,p,k) kun een kans uitrekenen van de vorm:
P ( X = k)
Als je moet uit rekenen P(X 5) met X=bin(20 ; 0.4), dan zou je met binompdf dat als volgt moeten doen:
P(X 5) = binompdf(20, 0.4 ,0)+ binompdf(20, 0.4 ,1) + binompdf(20, 0.4 ,2) + binompdf(20, 0.4 ,3) + binompdf(20, 0.4 ,4) + binompdf(20, 0.4 ,5).
![Page 18: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/18.jpg)
Voor dit soort cumulatieve kansen is er een aparte functie:
binomcdf (te vinden in het menu distr)
![Page 19: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/19.jpg)
Met deze functie kun je in één keer de kans uitrekenen P(X 5)
Het derde getal in binomcdf(n,p,k) is de bovengrens, de ondergrens is altijd nul.
![Page 20: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/20.jpg)
Berekeningen met binomcdf
Stel je doet 20 keer een experiment met kans 0.3 op succes.
Noem het aantal successen X
Dan is X binomiaal verdeeld met n=20 en p=0.3
Kansen als P(X=8) en P(X8) kunnen rechtstreeks bepaald:
P(X=8) = binompdf(20 , 0.3 , 8)
P(X8) = binomcdf(20 , 0.3 , 8)
![Page 21: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/21.jpg)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Hoe groot is P(X>10) ? (n=20 , p=0.3)
Stel eerst vast welke getallen dat zijn:
De kans op één van de andere getallen kan uitgerekend:
P(X 10) = binomcdf(20 , 0.3 , 10)
Gebruik de complementregel: P(A) = 1 – P(niet-A)
P(X>10) = 1 – P(X 10) = 1 – binomcdf(20 , 0.3 , 10)
![Page 22: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/22.jpg)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Hoe groot is P(X10) ? (n=20 , p=0.3)
Gebruik weer de complementregel:
P(X 10) = 1 – P(X 9) = 1 – binomcdf(20 , 0.3 , 9)
![Page 23: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/23.jpg)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Hoe groot is P(5<X<10) ? (n=20 , p=0.3)
X 9
X 5
P(5<X<10) = P(X 9) – P(X 5)
= binomcdf(20 , 0.3 , 9) – binomcdf(20 , 0.3 , 5)
![Page 24: Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070315/5551a0ed4979591f3c8b573d/html5/thumbnails/24.jpg)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Hoe groot is P(7 X 13) ? (n=20 , p=0.3)
X 13
X 6
P(7 X 13) = P(X 13) – P(X 6)
= binomcdf(20 , 0.3 , 13) – binomcdf(20 , 0.3 , 6)