bilangan euler filsafat sains
TRANSCRIPT
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
1/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
Bilangan Euler(e )
Rukmono Budi Utomo30115301
Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat
March 5, 2016
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat
Bilangan Euler(e )
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
2/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
Asal Usul Bilangan Euler e
1 1. Bilangan Euler
2 2. Asal-Usul Bilangan e
3 3. Identitas Euler
4 4. Referensi
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat
Bilangan Euler(e )
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
3/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
Asal Usul Bilangan Euler e
Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatukonstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritmaNatural.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat
Bilangan Euler(e )
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
4/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
Asal Usul Bilangan Euler e
Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatukonstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritmaNatural.
Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,
seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskankonsep logaritma untuk pertama kali.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1 Bil E l
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
5/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
Asal Usul Bilangan Euler e
Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatukonstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritmaNatural.
Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,
seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskankonsep logaritma untuk pertama kali.
Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan e adalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakan
bilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsif (x ) = (1 + x )
1
x atau secara matematis dapat dituliskansebagai
e = limx →∞1 +
1
x x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1 Bil E l
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
6/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
Asa-Usul Bilangan e
Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier padatahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaanSkotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1 Bilangan Euler
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
7/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
Asa-Usul Bilangan e
Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier padatahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaanSkotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma
Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah
hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusahamerumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbolapersegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1 Bilangan Euler
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
8/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
Asa-Usul Bilangan e
Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier padatahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaanSkotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma
Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah
hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusahamerumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbolapersegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.
Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbolapersegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secaraeksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjanghiperbola yx = 1 dan logaritma.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1 Bilangan Euler
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
9/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutanHuygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupasehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebutmerupakan cikal bakal munculnya bilangan e
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
10/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutanHuygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupasehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebutmerupakan cikal bakal munculnya bilangan e
Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bungamajemuk kontinyu. Bernoulli mencoba untuk menemukanbatas dari suatu fungsi f (x ) = (1 + 1
x )x untuk x cenderung
membesar dan menuju tak hingga
e = limx →∞
1 +
1
x
x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
11/45
. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutanBernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkanbahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
12/45
g2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutanBernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkanbahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya
Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kalimemahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsieksponensial.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
13/45
g2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutanBernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkanbahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya
Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kalimemahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsieksponensial.
Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens danmemberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitianHuygens yakni b (dan bukan e )
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
14/45
2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampaiakhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuahsurat Euler kepada Goldbach.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2 A l U l Bil
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
15/45
2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampaiakhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuahsurat Euler kepada Goldbach.
Pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karya
fenomenalnya yang berjudul Introductio di analysininfinitorum. Dalam karya tersebut Euler menunjukkan bahwa
e = 1 + 1
1! +
1
2! +
1
3! + · · ·
atau dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai
e = limx →∞
1 +
1
x
x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2 A l U l Bil
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
16/45
2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakansimbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
17/45
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
18/45
1. Bilangan Euler2 Asal-Usul Bilangan e
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
19/45
2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakansimbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.
Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan olehEuler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada jugayang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh
Euler merupakan singkatan dari eksponensial .Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baikkarena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnyakepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama
kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio di analysin infinitorum miliknya
Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan JohnNapieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanyamemperkenalkan konsep logaritma pertama kali.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
20/45
2. Asal Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
Identitas EulerEuler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni
e i θ = cos θ + i sin θ
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
21/45
g3. Identitas Euler
4. Referensi
Identitas EulerEuler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni
e i θ = cos θ + i sin θ
Bukti Menurut Euler
e = limx →∞
1 +
1
x
x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
22/45
g3. Identitas Euler
4. Referensi
Identitas EulerEuler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni
e i θ = cos θ + i sin θ
Bukti Menurut Euler
e = limx →∞
1 +
1
x
x
Analog dengan hal tersebut
e x = limn→∞
1 +
x
n
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
23/45
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutan
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
24/45
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutan
Untuk x = z diperoleh
e z = limn→∞
1 +
z
n
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3 Id i E l
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
25/45
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutan
Untuk x = z diperoleh
e z = limn→∞
1 +
z
n
nkarena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer , maka diperolehbentuk
e x +iy = limn→∞
1 +
x + iy
n
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3 Id tit E l
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
26/45
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutan
Untuk x = z diperoleh
e z = limn→∞
1 +
z
n
nkarena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer , maka diperolehbentuk
e x +iy = limn→∞
1 +
x + iy
n
natau dapat ditulis
e x +iy = limn→∞
1 +
x
n
+ i
y
n
n· · · (∗1)
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3 Identitas Euler
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
27/45
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutan
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3 Identitas Euler
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
28/45
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutanDari (∗1) dapat diperoleh
e x +iy = limn→∞
1 +
x
n
+ i
y
n
n
atau dapat dituliskan kembali sebagai
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
29/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
30/45
3. Identitas Euler4. Referensi
lanjutanDari (∗1) dapat diperoleh
e x +iy = limn→∞
1 +
x
n
+ i
y
n
n
atau dapat dituliskan kembali sebagai
e x +iy = limn→∞
1 +
2x
n +
x 2
n2 +
y 2
n2
n2
pada akhirnya akan diperoleh
e x +iy = e limn→∞1+
2x n +
x 2
n2 +
y 2
n2
n2
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
31/45
4. Referensi
lanjutanDari (∗1) dapat diperoleh
e x +iy = limn→∞
1 +
x
n
+ i
y
n
n
atau dapat dituliskan kembali sebagai
e x +iy = limn→∞
1 +
2x
n +
x 2
n2 +
y 2
n2
n2
pada akhirnya akan diperoleh
e x +iy = e limn→∞1+
2x n +
x 2
n2 +
y 2
n2
n2
atau |e x +iy | = e
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
32/45
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat kordinat polar z n = r n(cos θ + i sin),tanθ = y
x atau θ = arctan y
x dan berdasarkan Teorema De
Moivre diperoleh z n = r n(cos nθ + i sin nθ), dan arg (z n) = nθatau arg (z n) = n arctan y
x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
http://goforward/http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
33/45
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat kordinat polar z n = r n(cos θ + i sin),tanθ = y
x atau θ = arctan y
x dan berdasarkan Teorema De
Moivre diperoleh z n = r n(cos nθ + i sin nθ), dan arg (z n) = nθatau arg (z n) = n arctan y
x
berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan
kembali sebagai
arg
e x +iy
= limn→∞
n
arctan
y n
1 + x
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler4 f
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
34/45
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat kordinat polar z n = r n(cos θ + i sin),tanθ = y
x atau θ = arctan y
x dan berdasarkan Teorema De
Moivre diperoleh z n = r n(cos nθ + i sin nθ), dan arg (z n) = nθatau arg (z n) = n arctan y
x
berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan
kembali sebagai
arg
e x +iy
= limn→∞
n
arctan
y n
1 + x
n
atau
arg
e x +iy
= limn→∞
n
arctan y
n+x y
n+x
y n+x
· · · (∗2)
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
35/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4 Referensi
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
36/45
4. Referensi
lanjutan
karena
limt →∞
arctan 1
t 1
t
= lim
t →∞
1
1 + 1t 2
yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh
arg
e x +iy
= limn→∞
ynn+x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
37/45
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4 Referensi
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
38/45
4. Referensi
lanjutanDengan mengingat bahwa z = r (cos θ + i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg (z ), diperolehz = |z |[cos(arg (z ) + i sin(arg (z ))]...(∗4)
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
39/45
4. Referensi
lanjutanDengan mengingat bahwa z = r (cos θ + i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg (z ), diperolehz = |z |[cos(arg (z ) + i sin(arg (z ))]...(∗4)
ambil z = e x +iy
, sehingga (∗4) dapat dituliskan kembalisebagai z = |e x +iy |[cos(arg (e x +iy ) + i sin(arg (e x +iy ))]...(∗5)
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
40/45
4. Referensi
lanjutanDengan mengingat bahwa z = r (cos θ + i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg (z ), diperolehz = |z |[cos(arg (z ) + i sin(arg (z ))]...(∗4)
ambil z = e x +iy
, sehingga (∗4) dapat dituliskan kembalisebagai z = |e x +iy |[cos(arg (e x +iy ) + i sin(arg (e x +iy ))]...(∗5)
substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperolehe x +iy = e x (cos y + i sin y ) atau e iy = (cos y + i sin y )
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
41/45
lanjutanDengan mengingat bahwa z = r (cos θ + i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg (z ), diperolehz = |z |[cos(arg (z ) + i sin(arg (z ))]...(∗4)
ambil z = e x +iy
, sehingga (∗4) dapat dituliskan kembalisebagai z = |e x +iy |[cos(arg (e x +iy ) + i sin(arg (e x +iy ))]...(∗5)
substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperolehe x +iy = e x (cos y + i sin y ) atau e iy = (cos y + i sin y )
Dengan mengingat bahwa y
= θ
, maka diperolehe i θ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
42/45
Akibat Identitas EulerAkibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan
e i π + 1 = 0
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
43/45
Akibat Identitas EulerAkibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan
e i π + 1 = 0
Bukti
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
44/45
Akibat Identitas EulerAkibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan
e i π + 1 = 0
BuktiDari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikute i π = cos π + i sin π= −1 + 0= −1
Dengan demikian e i π + 1 = 0Q.E.D
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler
4. Referensi
http://find/
-
8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains
45/45
Referensi
www.id.wikipedia.org(Bilangan Euler )Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.15 wib
www.id.wikipedia.org(Identitias Euler )Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.16 wib
www.mathematics.blogspot.comDikutip tanggal 5 maret 2016
Gazali, Wikaria. Penurunan Rumus Euler, makalah
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )
http://find/