bilangan kromatik graf hasil operasi dan aplikasinya...
TRANSCRIPT
i
BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN APLIKASINYA
PADA PERMAINAN PEWARNAAN GRAF
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Aurelia Utari
153114023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
CHROMATIC NUMBER OF GRAPH PRODUCT AND ITS
APPLICATION IN GRAPH COLORING GAME
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
in Mathematics
By:
Aurelia Utari
153114023
DEPARTEMEN OF MATHEMATICS
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
MOTTO
ACHIEVING GOALS IN
SILENCE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk orang tua tercinta,
Adha Yuwanto dan Asteria Arimurti.
Serta adik-adik saya tersayang,
Flavia Acitya Danastri, Maura Sekar Cantya, dan Egidia Rena Rahajeng.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRAK
Teori graf memiliki banyak pembahasan, diantaranya operasi graf dan bilangan
kromatik. Kedua pembahasan tersebut sangat menarik untuk dibahas bersama.
Dalam tulisan ini akan dibahas bilangan kromatik pada hasil operasi graf lingkaran
dengan graf lintasan menggunakan operasi darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻) dan operasi
korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan kromatik dari salah satu graf hasil operasi, yaitu
(𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚), akan digunakan untuk mencari bilangan kromatik permainan dari graf
tersebut.
Kata kunci: graf, operasi graf, bilangan kromatik, bilangan kromatik permainan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRACT
Graph theory offers a diverse of topic discussions, for example graph product
and chromatic number. These two objects of study attract researchers to investigate
in one study. In this paper the chromatic number in graph product of cycle graph
and path graph using the tensor product (𝐺 ⊗ 𝐻) and the corona product (𝐺 ⊙
𝐻) will be discussed. The chromatic number of one of the graph product, i.e.
(𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚), will be used to find the game chromatic number of the graph.
Key words: graph, graph product, chromatic number, game chromatic number.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena berkat kasih-Nya yang
melimpah sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi yang berjudul
“BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN APLIKASINYA
PADA PERMAINAN PEWARNAAN GRAF” disusun sebagai salah satu syarat
memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematia, Fakultas Sains dan
Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa selama mengerjakan skripsi, penulis melibatkan
banyak pihak yang terlibat membantu dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena
itu, penulis mengucapkan banya terima kasih kepada:
1. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing skripsi.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik.
3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kaprodi Matematika.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.
Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc dan Bapak
Ricky Aditya, M.Sc. selaku dosen Prodi Matematika yang telah
memberi banyak pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
berdinamika bersama selama penulis berkuliah.
6. Orang tua, adik-adik dan keluarga yang selalu memberi dukungan dan
semangat kepada penulis.
7. Guntur, Cynter, Jessica, Ririn, Alve, Intan, Puspa, Fika, Tama, Argha,
Fira dan Anin yang telah membantu penulis, memberikan semangat dan
menemani penulis dalam mengerjakan skripsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................. i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
HALAMAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... v
MOTTO ................................................................................................................ vi
HALAMAN PERSEMBAHAN.......................................................................... vii
LEMBAR PERYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. viii
ABSTRAK ............................................................................................................ ix
ABSTRACT ........................................................................................................... x
KATA PENGANTAR .......................................................................................... xi
DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah..................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................................... 3
C. Tujuan Penulisan................................................................................................. 3
D. Manfaat Penulisan .............................................................................................. 3
E. Batasan Masalah ................................................................................................. 4
F. Metode Penulisan................................................................................................ 4
G. Sistematika Penulisan ......................................................................................... 4
BAB II GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF ...................... 6
A. Graf....................................................................................................................... 6
B. Graf Lingkaran dan Graf Lintasan .................................................................. 12
C. Operasi Darab Tensor....................................................................................... 13
D. Operasi Korona ................................................................................................. 20
E. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik ....................................................... 30
BAB III BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN
BILANGAN KROMATIK PERMAINAN ....................................................... 35
A. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor dari Graf Lintasan
dengan Graf Lingkaran .................................................................................... 35
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
B. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Korona dari Graf Lingkaran dengan
Graf Lintasan ........................................................................................... 46
C. Bilangan Kromatik Permainan .................................................................. 66
BAB IV PENUTUP ............................................................................................. 72
A. Kesimpulan ................................................................................................ 72
B. Saran .......................................................................................................... 80
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 81
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Teori graf merupakan bagian dari cabang ilmu matematika yaitu matematika
diskret. Pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Ketika
itu, Euler mencoba membuktikan bahwa tidak ada kemungkinan untuk melewati
tepat satu kali setiap jembatan di empat daerah yang terhubung dengan tujuh
jembatan di atas sungai Pregel, Konigsberg, Rusia.
Gambar 1 Jembatan di atas sungai Pregel
Graf merupakan pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan tidak
kosong dari titik-titik, ditulis dengan 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … , 𝑣𝑛} dan 𝐸 adalah
himpunan sisi yang menghubungkan satu atau dua titik pada graf tersebut, ditulis
dengan 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , … , 𝑒𝑚}. Graf memiliki bermacam-macam jenis, dan yang
akan dibahas dalam tulisan ini adalah graf lingkaran dan graf lintasan. Graf
lingkaran 𝐶𝑛 adalah graf yang tiap-tiap titiknya berderajat dua. Sedangkan, graf
yang terbentuk dari 𝐶𝑛 dengan menghilangkan sebuah sisinya disebut graf lintasan
𝑃𝑚.
Dua buah graf dapat dioperasikan dengan bermacam-macam operasi, antara
lain operasi joint (𝐺 + 𝐻), darab Cartesius (𝐺 × 𝐻), darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻),
darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻), komposisi (𝐺[𝐹]), dan Amalgamation. Salah satu aplikasi
yang menggunakan operasi graf adalah model jaringan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Teori graf memiliki berbagai macam pembahasan selain pengoperasian dua
buah graf, salah satunya yaitu pewarnaan graf. Ada tiga macam pewarnaan graf,
yaitu pewarnaan peta, pewarnaan sisi dan pewarnaan titik. Pewarnaan peta adalah
pemberian warna pada setiap daerah dimana dua daerah yang saling bertetangga
diberi warna yang berbeda. Pewarnaan sisi adalah pemberian warna pada setiap sisi
pada suatu graf dimana dua sisi yang bertetangga diberi warna yang berbeda.
Pewarnaan titik adalah pemberian warna pada setiap titik pada suatu graf dimana
dua titik yang bertetangga diberi warna yang berbeda. Sedangkan jumlah warna
minimum yang digunakan dalam pewarnaan titik pada suatu graf disebut bilangan
kromatik.
Dalam kehidupan sehari-hari, pewarnaan graf dan bilangan kromatik dapat
digunakan dalam penjadwalan, permainan sudoku, pembuatan peta, pengaturan
lampu lalu lintas dan lain sebagainya. Selain dalam kehidupan sehari-hari bilangan
kromatik dapat diaplikasikan pada teori lain, salah satunya bilangan kromatik
permainan. Bilangan kromatik permainan dapat membantu mengetahui siapa
pemenang dari permainan pewarnaan graf dimana dua pemain secara bergantian
memberi warna yang tepat pada titik dalam suatu graf. Pemain pertama dianggap
menang jika semua titik dalam graf diberi warna yang tepat. Sedangkan pemain
kedua akan memenangkan jika terdapat titik yang tidak dapat diberi warna dengan
tepat.
Beberapa pembahasan dalam teori graf tersebut sangat menarik untuk dibahas
bersama-sama. Dalam tulisan ini akan dibahas bilangan kromatik pada hasil operasi
graf lingkaran dengan graf lintasan menggunakan operasi darab tensor (𝐺 ⊗
𝐻) dan operasi darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan kromatik dari salah satu graf
hasil operasi yaitu (𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚) akan digunakan untuk mencari bilangan kromatik
permainan dari graf tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, rumusan masalah yang akan
dibahas adalah:
1. Bagaimana hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf
lingkaran dengan graf lintasan?
2. Bagaimana pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor dan darab
korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan?
3. Berapa bilangan kromatik pada graf hasil operasi darab tensor dan darab
korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan?
4. Berapa bilangan kromatik permainan dari graf hasil operasi graf
lingkaran dengan graf lintasan?
C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini
adalah sebagai berikut:
1. Mendapatkan hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf
lingkaran dengan graf lintasan.
2. Medapatkan pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor dan
darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan.
3. Mendapatkan bilangan kromatik pada graf hasil operasi darab tensor dan
darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan.
4. Mendapatkan bilangan kromatik permainan dari graf hasil operasi graf
lingkaran dengan graf lintasan.
D. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
1. Penulis mendapatkan pengetahuan baru selama penulisan tugas akhir ini.
2. Memperluas wawasan pembaca tentang bilangan kromatik dan bilangan
kromatik permainan pada hasil operasi graf lingkaran dengan graf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
lintasan.
3. Tugas akhir ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti yang lain.
E. Batasan Masalah
Dalam tugas akhir ini, akan dibahas bilangan kromatik hasil operasi graf
lingkaran dengan graf lintasan. Graf yang digunakan adalah graf tak berarah dengan
operasi darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻) dan operasi darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan
kromatik permainan hanya akan dibahas untuk graf hasil operasi darab korona
antara graf lingkaran dengan graf lintasan (𝐶𝑛⊙ 𝑃𝑚).
F. Metode Penulisan
Metode penulisan dalam tugas akhir ini adalah metode studi pustaka yaitu
dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan
dengan pengoperasian dua graf dan bilangan kromatik.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Tujuan Penulisan
D. Manfaat Penulisan
E. Batasan Masalah
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF
A. Graf, Graf Lingkaran dan Graf Lintasan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
B. Operasi Darab Tensor
C. Operasi Korona
D. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik
BAB III BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN
PERMAINAN PEWARNAAN GRAF
A. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor Graf Lingkaran
dengan Graf Lintasan
B. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Korona Graf Lingkaran
dengan Graf Lintasan
C. Permainan Pewarnaan Graf
BAB IV KESIMPULAN
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF
Teori graf adalah salah satu cabang ilmu matematika yang sudah menyumbang
banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, seperti pembuatan peta, penjadwalan dan
pengaturan lampu lalu lintas. Teori graf memiliki banyak pembahasan diantaranya
operasi graf dan pewarnaan graf.
A. Graf
Pada tahun 1736, teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler
yang mempublikasikan penyelesaian suatu teka-teki. Ketika itu, Euler
membuktikan bahwa tidak ada kemungkinan untuk melewati tepat satu kali pada
setiap jembatan di empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas
sungai Pregel, Konigsberg, Rusia. Untuk menyelesaikan teka-teki tersebut, Euler
menerjemahkannya ke dalam masalah teori graf.
Teori graf memiliki penerapan yang luas dalam berbagai bidang. Bebereapa
diantaranya, yaitu masalah penetapan frekuensi radio selular, masalah jaringan
makanan dan masalah pengaturan lalu lintas.
Definisi 2.1.1 (Epp, 2011)
Graf 𝐺 terdiri dari dua himpunan berhingga, yaitu himpunan tak kosong 𝑉(𝐺)
dari titik-titik dan himpunan 𝐸(𝐺) dari sisi-sisi, dimana setiap sisi menghubungkan
satu atau dua titik yang disebut titik ujung dari sisi tersebut.
Anggota dari himpunan titik dapat ditulis dengan 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … , 𝑣𝑛} dan
anggota himpunan sisi 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , … , 𝑒𝑛}. Selanjutnya, untuk graf 𝐺 dengan
himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 dinotasikan dengaan 𝐺 (𝑉, 𝐸).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Contoh 2.1.1
Misal 𝐴 adalah graf sebagai berikut,
Gambar 2 Graf A
Himpunan titik dari graf A tersebut 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6} dan himpunan
sisinya 𝐸 = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7}. Titik ujung dari setiap sisi dalam graf 𝐴, yaitu
Sisi Titik Ujung
𝑒1 𝑣1, 𝑣2
𝑒2 𝑣1, 𝑣3
𝑒3 𝑣1, 𝑣3
𝑒4 𝑣2, 𝑣3
𝑒5 𝑣5, 𝑣6
𝑒6 𝑣5
𝑒7 𝑣6
Definisi 2.1.2 (Epp, 2011)
Sebuah sisi dengan satu titik ujung disebut loop, dan dua atau lebih garis
berbeda yang memiliki himpunan titik ujung yang sama disebut sisi ganda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Contoh 2.1.2
Dalam contoh 2.1.1, diketahui bahwa graf 𝐴 memiliki dua buah loop yaitu sisi
𝑒6 dengan titik ujung 𝑣5 dan sisi 𝑒7 dengan titik ujung 𝑣6. Graf 𝐴 juga memiliki sisi
ganda yaitu sisi 𝑒2 dan sisi 𝑒3 dengan titik ujung keduanya adalah 𝑣1 dan 𝑣3 .
Definisi 2.1.3 (Epp, 2011)
Dua titik yang terhubung dengan suatu sisi dikatakan bertetangga dan suatu
sisi dikatakan bersisian dengan setiap titik ujungnya.
Contoh 2.1.3
Dari contoh 2.1.1, dapat dilihat beberapa contoh titik yang bertetangga dari graf
A seperti, 𝑣1 bertetangga dengan 𝑣3, 𝑣5 bertetangga dengan 𝑣6. Sisi 𝑒1, 𝑒2 dan 𝑒3
bersisian dengan 𝑣1.
Definisi 2.1.4 (Epp, 2011)
Graf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memiliki loop dan sisi ganda.
Dalam graf sederhana, sebuah sisi dengan titik ujung 𝑣 dan 𝑤 dinotasikan dengan
{𝑣, 𝑤}.
Contoh 2.1.4
Misal 𝐵 adalah graf sebagai berikut,
Gambar 3 Graf B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Graf B merupakan graf sederhana karena tidak memiliki loop maupun sisi
ganda. Sisi-sisi dalam graf sederhana tersebut yaitu sisi 𝑒1 yang dapat ditulis dengan
{𝑣1, 𝑣2}, sisi 𝑒2 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣2, 𝑣3}, sisi 𝑒3 yang dapat
dinotasikan dengan {𝑣3, 𝑣4}, sisi 𝑒4 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣4, 𝑣5} dan sisi
𝑒5 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣1, 𝑣5}.
Definisi 2.1.5 (Epp, 2011)
Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah
jalan dari 𝑣 ke 𝑤 adalah suatu barisan tak kosong bergantian dari titik-titik
bertetangga dan sisi-sisi dari 𝐺. Jadi jalan memiliki susunan
𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, … , 𝑣𝑛−1, 𝑒𝑛, 𝑣𝑛
dengan 𝑣𝑖 menyatakan titik dan 𝑒𝑖 menyatakan sisi, 𝑣0 = 𝑣, 𝑣𝑛 = 𝑤, dan untuk
semua 𝑖 = 1, 2,… , 𝑛, 𝑣𝑖−1 dan 𝑣𝑖 adalah titik ujung dari 𝑒𝑖.
Definisi 2.1.6 (Epp, 2011)
Misal G adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah
jejak dari 𝑣 ke 𝑤 adalah sebuah jalan dari 𝑣 ke 𝑤 yang tidak memiliki sisi yang
berulang.
Definisi 2.1.7 (Epp, 2011)
Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah
lintasan dari 𝑣 ke 𝑤 adalah sebuah jejak yang tidak memiliki titik yang berulang.
Panjang lintasan terpendek antara 𝑣 dan 𝑤 pada graf terhubung dinotasikan dengan
𝑑𝐺(𝑣, 𝑤).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Contoh 2.1.5
Ditunjukkan graf C sebagai berikut,
Gambar 4 Graf C
Graf tersebut memiliki beberapa lintasan dari 𝑣6 ke 𝑣4. Lintasan pertama yaitu
𝑣6, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣3, 𝑒4, 𝑣4, lintasan kedua 𝑣6, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒3, 𝑣3, 𝑒4, 𝑣4 dan lintasan ketiga
𝑣6, 𝑒7, 𝑣2, 𝑒5, 𝑣4. Panjang lintasan pertama, kedua dan ketiga secara berurutan
adalah 3, 3 dan 2. Jadi, panjang lintasan terpendek dari 𝑣6 ke 𝑣4 (𝑑𝐶(𝑣6, 𝑣4)) adalah
2.
Definisi 2.1.8 (Epp, 2011)
Misal 𝐺 adalah sebuah graf. 𝐺 dikatakan graf terhubung, jika dan hanya jika,
untuk setiap dua titik v dan w dalam 𝐺, terdapat jalan dari 𝑣 ke 𝑤.
Contoh 2.1.6
Ditunjukkan graf 𝐷 sebagai berikut,
Gambar 5 Graf D
Graf diatas merupakan graf terhubung yang memiliki jalan
𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒2, 𝑣2, 𝑒3, 𝑣3. Jalan tersebut merupakan sebuah jejak karena tidak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
memiliki sisi yang berulang. Namun, jalan tersebut bukan merupakan lintasan
karena ada titik yang berulang yaitu 𝑣2.
Definisi 2.1.9 (Epp, 2011)
Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 adalah titik dalam G. Derajat dari 𝑣,
dinotasikan dengan deg(𝑣), merupakan jumlah sisi yang bersisian dengan 𝑣,
dengan sebuah sisi yang merupakan loop menyumbang dua atas derajat titik
tersebut.
Derajat terbesar antara titik-titik dari 𝐺 disebut derajat maksimum dari 𝐺,
dinotasikan dengan ∆(𝐺). Sedangkan derajat minimum dari 𝐺 dinotasikan dengan
𝛿(𝐺).
Contoh 2.1.7
Misal 𝐸 adalah graf sebagai berikut dan akan dihitung derajat setiap titiknya,
Gambar 6 Graf E
deg(𝑣1) = 0, karena tidak ada sisi yang bersisian dengan 𝑣1 (𝑣1 terisolasi).
deg(𝑣2) = 2, karena baik 𝑒1 maupun 𝑒2 bersisian dengan 𝑣2.
deg(𝑣3) = 4, karena baik 𝑒1 maupun 𝑒2 bersisian dengan 𝑣3 dan loop 𝑒3 juga
bersisian dengan 𝑣3 (dan berkontribusi 2 untuk derajat dari 𝑣3).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.1.10 (Wilson, 1998)
Sebuah graf yang setiap titiknya memiliki derajat yang sama disebut graf
reguler. Jika setiap titik berderajat 𝑟, graf tersebut dikatakan 𝑟- reguler.
B. Graf Lingkaran dan Graf Lintasan
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam kelompok, yaitu
berdasarkan jumlah titik dan sisi, ada tidaknya sisi ganda dan loop, atau berdasarkan
orientasi arah pada sisi graf. Dalam tulisan ini, akan digunakan dua jenis graf
berdasarkan jumlah titik dan sisinya, yaitu graf lingkaran dan graf lintasan.
Definisi 2.2.1 (Wilson, 1998)
Graf lingkaran adalah graf terhubung 2-reguler. Graf tersebut dinotasikan
dengan 𝐶𝑛, bila 𝑛 merupakan banyaknya anggota himpunan titiknya, dimana 𝑛 ≥
3. Graf yang terbentuk dari 𝐶𝑛 dengan menghilangkan sebuah sisinya disebut graf
lintasan. Graf tersebut dinotasikan dengan 𝑃𝑛, bila 𝑛 merupakan banyaknya anggota
himpunan titiknya, dimana 𝑛 ≥ 2.
Contoh 2.2.1
Ditunjukkan graf lingkaran 𝐶3, 𝐶4, dan 𝐶8, sebagai berikut
Gambar 7 Graf 𝐶3, 𝐶4, dan 𝐶8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Contoh 2.2.2
Ditunjukkan graf lintasan 𝑃6, sebagai berikut
Gambar 8 Graf 𝑃6
C. Operasi Darab Tensor
Operasi graf merupakan salah satu pembahasan dalam teori graf. Salah satu
operasi yang sering dibahas adalah operasi darab tensor.
Definisi 2.3.1 (Acharya & Mehta, 2014)
Misal 𝐺1(𝑉1, 𝐸1) dan 𝐺2(𝑉2, 𝐸2) merupakan dua buah graf. Darab tensor dari
𝐺1 dan 𝐺2 dinotasikan oleh 𝐺 = 𝐺1⨂𝐺2 adalah graf yang memiliki himpunan titik
𝑉 = 𝑉1 × 𝑉2. Dua titik (𝑣,𝑤) dan (𝑣′, 𝑤′) dalam 𝑉 akan bertetangga dalam graf
hasil operasi darab tensor 𝐺1⨂𝐺2 jika 𝑣𝑣′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2.
Teorema 2.3.1 (Acharya & Mehta, 2014)
Sisi-sisi 𝑣𝑣′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2 jika dan hanya jika 𝑑𝐺1(𝑣, 𝑣′) = 1 dan
𝑑𝐺2(𝑤, 𝑤′) = 1.
Bukti
𝑣𝑣′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2 jika dan hanya jika antara titik 𝑣 dan titik 𝑣′ serta antara
titik 𝑤 dan titik 𝑤′ dihubungkan oleh sebuah sisi jika dan hanya jika panjang
lintasan terpendek dari titik 𝑣 ke titik 𝑣′ serta dari titik 𝑤 ke titik 𝑤′ adalah 1 jika
dan hanya jika menurut definisi 2.1.7, 𝑑𝐺1(𝑣, 𝑣′) = 1 dan 𝑑𝐺2(𝑤,𝑤′) = 1. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Akan ditunjukkan beberapa contoh pengoperasian dua buah graf dengan
operasi darab tensor. Operasi tersebut akan dilakukan pada graf lintasan 𝑃3 dan graf
lingkaran 𝐶3, dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6, dua buah graf lingkaran yaitu
𝐶3 dan 𝐶4, dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3, dua buah graf lingkaran yaitu
𝐶3 dan 𝐶5 dan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4.
Contoh 2.3.1
Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3, sebagai
berikut
Gambar 9 Graf 𝑃3 dan 𝐶3
Graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⨂𝐶3. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab
tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 tersebut, yaitu
Gambar 10 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝐶3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Himpunan titik dari graf hasil operasi darab tensor tersebut memiliki anggota
sebanyak |𝑉| = 3 × 3 = 9 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={(a,1), (a,2), (a,3),
(b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab
tensor tersebut adalah 𝐸= {{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,3)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)},
{(a,3),(b,1)}, {(a,3),(b,2)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,3)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)},
{(b,3),(c,1)}, {(b,3),(c,2)}}.
Contoh 2.3.2
Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6, sebagai berikut
Gambar 11 Graf 𝐶4 dan 𝐶6
Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶4 ⨂𝐶6. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab
tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 4 × 6 = 24 dengan himpunan
titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (a,6), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4),
(b,5), (b,6), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (d,1), (d,2), (d,3), (d,4), (d,5), (d,6)}.
Titik-titik tersebut akan diberi nama pengganti yang lebih sederhana agar
mempermudah dalam membaca graf. Titik (a,1) dengan A, (a,2) dengan B, (a,3)
dengan C, (a,4) dengan D, (a,5) dengan E, (a,6) dengan F, (b,1) dengan G, (b,2)
dengan H, (b,3) dengan I, (b,4) dengan J, (b,5) dengan K, (b,6) dengan L, (c,1)
dengan M, (c,2) dengan N, (c,3) dengan O, (c,4) dengan P, (c,5) dengan Q, (c,6)
dengan R, (d,1) dengan S, (d,2) dengan T, (d,3) dengan U, (d,4) dengan V, (d,5)
dengan W, dan (d,6) dengan X.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸= {{A,H},
{A,L}, {A,T}, {A,X}, {B,G}, {B,I}, {B,S}, {B,U}, {C,H}, {C,J}, {C,T}, {C,V},
{D,I}, {D,K}, {D,U}, {D,W}, {E,J}, {E,L}, {E,V}, {E,X}, {F,G}, {F,K}, {F,S},
{F,W}, {G,N}, {G,R}, {H,M}, {H,O}, {I,N}, {I,P}, {J,O}, {J,Q}, {K,P}, {K,R},
{L,M}, {L,Q}, {M,T}, {M,X}, {N,S}, {N,U}, {O,T}, {O,V}, {P,U}, {P,W},
{Q,V}, {Q,X}, {R,S}, {R,W}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor
dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 tersebut, yaitu
Gambar 12 Graf 𝐺 = 𝐶4 ⨂𝐶6
Contoh 2.3.3
Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶4, sebagai berikut
Gambar 13 Graf 𝐶3 dan 𝐶4
Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶4
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3 ⨂𝐶4. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3 × 4 = 12 dengan himpunan
titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2),
(c,3), (c,4)}.
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸=
{{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,4)}, {(a,1),(c,2)}, {(a,1),(c,4)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)},
{(a,2),(c,1)}, {(a,2),(c,3)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(b,4)}, {(a,3),(c,2)}, {(a,3),(c,4)},
{(a,4),(b,1)}, {(a,4),(b,3)}, {(a,4),(c,1)}, {(a,4),(c,3)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,4)},
{(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)}, {(b,4),(c,1)}, {(b,4),(c,3)}}.
Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu
𝐶3 dan 𝐶4 tersebut, yaitu
Gambar 14 Graf 𝐺 = 𝐶3 ⨂𝐶4
Contoh 2.3.4
Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3, sebagai berikut,
Gambar 15 Graf 𝐶4 dan 𝐶3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶4 ⨂𝐶3. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab
tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3 × 4 = 12 dengan himpunan
titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1),
(d,2), (d,3)}.
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸=
{{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,3)}, {(a,1),(d,2)}, {(a,1),(d,3)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)},
{(a,2),(d,1)}, {(a,2),(d,3)}, {(a,3),(b,1)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(d,1)}, {(a,3),(d,2)},
{(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,3)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,1)}, {(b,3),(c,2)},
{(c,1),(d,2)}, {(c,1),(d,3)}, {(c,2),(d,1)}, {(c,2),(d,3)}, {(c,3),(d,1)}, {(c,3),(d,2)}}.
Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu
𝐶4 dan 𝐶3 tersebut, yaitu
Gambar 16 Graf 𝐺 = 𝐶4 ⨂𝐶3
Contoh 2.3.5
Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5, sebagai berikut
Gambar 17 Graf 𝐶3 dan 𝐶5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3 ⨂𝐶5. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab
tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3 × 5 = 15 dengan himpunan
titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5),
(c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5)}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor
dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5 tersebut, yaitu
Gambar 18 Graf 𝐺 = 𝐶3 ⨂𝐶5
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸=
{{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,5)}, {(a,1),(c,2)}, {(a,1),(c,5)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)},
{(a,2),(c,1)}, {(a,2),(c,3)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(b,4)}, {(a,3),(c,2)}, {(a,3),(c,4)},
{(a,4),(b,3)}, {(a,4),(b,5)}, {(a,4),(c,3)}, {(a,4),(c,5)}, {(a,5),(b,1)}, {(a,5),(b,4)},
{(a,5),(c,1)}, {(a,5),(c,4)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,5)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)},
{(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)}, {(b,4),(c,3)}, {(b,4),(c,5)}, {(b,5),(c,1)}, {(b,5),(c,4)}}.
Contoh 2.3.6
Ditunjukan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4 sebagai berikut,
Gambar 19 Graf 𝑃3 dan 𝑃4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⨂𝑃4. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab
tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3 × 4 = 12 dengan himpunan
titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2),
(c,3), (c,4)}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua graf lintasan
𝑃3 dan 𝑃4 tersebut, yaitu
Gambar 20 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝑃4
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah
𝐸 ={(a,1),(b,2)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(b,4)},
{(a,4),(b,3)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)},
{(b,4),(c,3)}}.
D. Operasi Darab Korona
Selain operasi darab tensor masih banyak lagi operasi graf lain, salah satunya
adalah operasi darab korona. Operasi darab korona merupakan salah satu operasi
graf yang juga sering dibahas.
Definisi 2.4.1 (Nada, et al, 2017)
Misal 𝐺1(𝑉1, 𝐸1) dan 𝐺2(𝑉2, 𝐸2) merupakan dua buah graf. Operasi darab
korona dari 𝐺1 dan 𝐺2 dinotasikan oleh 𝐺(𝑉, 𝐸) = 𝐺1⊙ 𝐺2 didefinisikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah salinan 𝐺1 dan |𝑉1| salinan dari 𝐺2
dan titik ke-i dari salinan graf 𝐺1 dihubungkan oleh sebuah sisi dengan setiap titik
pada salinan ke-i dari 𝐺2.
Dari definisi 2.4.1, graf hasil operasi darab korona memiliki banyak anggota
himpunan titik |𝑉| = |𝑉 1| + |𝑉 1||𝑉2| = |𝑉 1|(1 + |𝑉2|) dan banyak anggota
himpunan sisi |𝐸| = |𝐸1| + |𝑉1| × |𝐸2| + |𝑉1| × |𝑉2|.
Contoh 2.4.1
Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4, sebagai
berikut,
Gambar 21 Graf 𝑃3 dan 𝐶4
Graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝐶4. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab
korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3(1 + 4) = 15 dengan
himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3),
(b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}.
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah
anggota sebanyak |𝐸| = 2 + (3 × 4) + (3 × 4) = 26 dengan himpunan sisinya
adalah 𝐸={{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)},
{(a,1),(a,4)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {(b,(b,4)},
{(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,4)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)},
{c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,4)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf
lingkaran 𝐶4, yaitu
Gambar 22 Graf 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝐶4
Contoh 2.4.2
Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3, sebagai
berikut
Gambar 23 Graf 𝑃3 dan 𝐶3
Graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝐶3. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab
korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3(1 + 3) = 12 dengan
himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),
(c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 2 + (3 × 3) + (3 × 3) = 20 dengan himpunan
sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)},
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
{(a,1),(a,3)}, {(a,2),(a,3)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {(b,1),(b,2)},
{(b,1),(b,3)}, {(b,2),(b,3)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {(c,1),(c,2)},
{(c,1),(c,3)}, {(c,2),(c,3)}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dari
graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3, yaitu
Gambar 24 Graf 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝐶3
Contoh 2.4.3
Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 , sebagai
berikut,
Gambar 25 Graf 𝐶3 dan 𝑃3
Graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3
dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝑃3. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3(1 + 3) = 12 dengan
himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),
(c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari tersebut adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)},
{a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,2),(a,3)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)},
{(b,1),(b,2)}, {(b,2),(b,3)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {(c,1),(c,2)},
{(c,2),(c,3)} dengan jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 3 + (3 × 2) + (3 × 3) = 18.
Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona tersebut, yaitu
Gambar 26 Graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝑃3
Contoh 2.4.4
Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶4, sebagai berikut
Gambar 27 Graf 𝐶3 dan 𝐶4
Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dinotasikan
dengan 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝐶4. Himpunan titik graf hasil operasi tersebut memiliki anggota
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
sebanyak |𝑉| = 3(1 + 4) = 15 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1),
(a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)} dan himpunan
sisinya memiliki jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 3 + (3 × 4) + (3 × 4) = 27
dengan himpunan sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)},
{a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,4)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)},
{b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,4)}, {(b,2),(b,3)},
{(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,4)},
{(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}. Graf tersebut tersebut ditunjukkan sebagai berikut
Gambar 28 Graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝐶4
Contoh 2.4.5
Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6, sebagai berikut
Gambar 29 Graf 𝐶4 dan 𝐶6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 dinotasikan
dengan 𝐺 = 𝐶4⊙ 𝐶6. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut
memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 4(1 + 6) = 28 dengan himpunan titiknya adalah
𝑉 ={a, b, c, d, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (a,6), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5),
(b,6), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (d,1), (d,2), (d,3), (d,4), (d,5), (d,6)}.
Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan
𝐶6, yaitu
Gambar 30 Graf 𝐺 = 𝐶4⊙ 𝐶6
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah
anggota sebanyak |𝐸| = 4 + (4 × 6) + (4 × 6) = 52 dengan himpunan sisinya
adalah 𝐸={{a,b}, {a,d}, {b,c}, {c,d}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)},
{a,(a,5)}, {a,(a,6)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,6)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)},
{(a,4),(a,5)}, {(a,5),(a,6)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {b,(b,5)},
{b,(b,6)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,6)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {(b,4),(b,5)},
{(b,5),(b,6)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {c,(c,5)}, {c,(c,6)},
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
{(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,6)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}, {(c,4),(c,5)}, {(c,5),(c,6)},
{d,(d,1)}, {d,(d,2)}, {d,(d,3)}, {d,(d,4)}, {d,(d,5)}, {d,(d,6)}, {(d,1),(d,2)},
{(d,1),(d,6)}, {(d,2),(d,3)}, {(d,3),(d,4)}, {(d,4),(d,5)}, {(d,5),(d,6)}}.
Contoh 2.4.6
Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5, sebagai berikut,
Gambar 31 Graf 𝐶3 dan 𝐶5
Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 dinotasikan
dengan 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝐶5. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut
memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3(1 + 5) = 18 dengan himpunan titiknya adalah
𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (c,1), (c,2),
(c,3), (c,4), (c,5)}.
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah
anggota sebanyak |𝐸| = 3 + (3 × 5) + (3 × 5) = 33 dengan himpunan sisinya
adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {a,(a,5)},
{(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,5)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {(a,4),(a,5)}, {b,(b,1)},
{b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {b,(b,5)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,5)}, {(b,2),(b,3)},
{(b,3),(b,4)}, {(b,4),(b,5)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {c,(c,5)},
{(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,5)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}, {(c,4),(c,5)}}.
Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua buah graf lingkaran
𝐶3 dan 𝐶5 ditunjukkan pada Gambar 32.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Gambar 32 Graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝐶5
Contoh 2.4.7
Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3 , sebagai berikut,
Gambar 33 Graf 𝐶4 dan 𝐶3
Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶3 dinotasikan
dengan 𝐺 = 𝐶4⊙ 𝐶3. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut
memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 4(1 + 3) = 16 dengan himpunan titiknya adalah
𝑉 ={a, b, c, d, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2),
(d,3)}.
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah
anggota sebanyak |𝐸| = 4 + (4 × 3) + (4 × 3) = 28 dengan himpunan sisinya
adalah 𝐸={{a,b}, {a,d}, {b,c}, {c,d}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)},
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
{(a,1),(a,3)}, {(a,2),(a,3)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {(b,1),(b,2)},
{(b,1),(b,3)}, {(b,2),(b,3)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {(c,1),(c,2)},
{(c,1),(c,3)}, {(c,2),(c,3)}}.
Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan
𝐶3, yaitu
Gambar 34 Graf 𝐺 = 𝐶4⊙ 𝐶3
Contoh 2.4.8
Ditunjukan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4 sebagai berikut,
Gambar 35 Graf 𝑃3 dan 𝑃4
Graf hasil operasi darab korona dua graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 dinotasikan
dengan 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝑃4. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona
tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3(1 + 4) = 15 dengan himpunan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4),
(c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}.
Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 2 + (3 × 3) + (3 × 4) = 23 dengan
himpunan sisinya adalah 𝐸 = {{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)},
{a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)},
{b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)},
{c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)} {(c,1),(c,2)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}.
Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lintasan 𝑃3 dan
𝑃4, yaitu
Gambar 36 Graf 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝑃4
Dari contoh 2.4.2 dan 2.4.3, dapat dilihat bahwa 𝑃3⊙ 𝐶3 ≠ 𝐶3⊙ 𝑃3.
Dengan kata lain, operasi korona memiliki sifat tidak komutatif, yaitu
𝐺1⊙ 𝐺2 ≠ 𝐺2⊙ 𝐺1
E. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik
Masalah pewarnaan pada graf pertama kali tercatat pada 1852. Saat itu, A. De
Morgan menulis kepada Sir William Hamilton tentang masalah yang diajukan
kepadanya oleh muridnya, Francis Guthrie yang merupakan mahasiswa University
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
College London. Francis Guthrie mencoba mewarnai peta wilayah Inggris dan dia
melihat bahwa hanya diperlukan empat warna untuk memastikan bahwa untuk
setiap provinsi yang bertetangga diberi warna yang berbeda. Pewarnaan pada graf
merupakan kasus khusus dari pelabelan graf. Berdasarkan domainnya, pewarnaan
graf dibedakan menjadi tiga, yaitu pewarnaan peta, pewarnaan sisi dan pewarnaan
titik.
Pewarnaan titik adalah penempatan warna pada titik, satu warna pada setiap
titik, sehingga titik yang bertetangga memiliki warna yang berbeda. Warna yang
digunakan dapat berupa elemen dalam himpunan apapun, seperti himpunan warna
sesungguhnya (merah, kuning, hijau, biru, dan lain sebaginya) yang sering
digunakan ketika hanya diperlukan sejumlah kecil warna atau himpunan bilangan
bulat positif {1, 2, … , 𝑘} yang bisa juga melambangkan warna dalam jumlah
banyak. Jumlah minimun warna yang digunakan dalam pewarnaan titik disebut
bilangan kromatik, yang dinotasikan dengan 𝜒 (𝐺).
Pewarnaan titik dapat dilakukan dengan berbagai macam pendekatan, salah
satunya adalah algoritma greedy. Algoritma tersebut dilakukan langkah demi
langkah sehingga menghasilkan pewarnaan titik dalam graf secara optimal.
Meskipun algoritma greedy mungkin tidak menghasilkan warna minimum,
algoritma ini dapat memberikan batas atas untuk bilangan kromatik dari graf
tersebut.
Definisi 2.5.1 (Chartrand, Lesniak, & Zhang, 2011)
Algoritma pewarnaan greedy. Misalkan titik-titik dalam graf 𝐺 terdaftar dalam
urutan 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛.
1. Titik 𝑣1 diberi warna 1.
2. Setelah titik 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑗 telah diberi warna, dimana 1 ≤ 𝑗 < 𝑛, titik
𝑣𝑗+1 diberi warna terkecil yang tidak diberikan pada titik yang
bertetangga dengan 𝑣𝑗+1 dalam himpunan {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑗}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Contoh 2.5.1
Diketahui himpunan warna 𝑤 = {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Dari contoh 2.3.1 diketahui
graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 dengan
himpunan titiknya adalah 𝑉 ={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2),
(c,3)}, sebagai berikut
Gambar 37 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝐶3
Akan dilakukan pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor diatas.
Pertama-tama dipilih titik pertama yaitu (𝑎, 1) dan diberi warna pertama, yaitu
merah. Selanjutnya dipilih titik kedua yaitu (𝑎, 2) dan diberi warna dengan urutan
terkecil dalam himpunan warna yang belum diberikan pada titik lain yang
bertetangga. Karena titik (𝑎, 1) dan titik (𝑎, 2) tidak bertetangga, titik (𝑎, 2) diberi
warna merah. Begitu juga dengan titik (𝑎, 3) yang tidak bertetangga dengan titik
(𝑎, 1) dan titik (𝑎, 2) sehingga diberi warna merah. Titik (𝑏, 1) adalah titik yang
bertetangga dengan titik (𝑎, 2) dan titik (𝑎, 3) sehingga tidak bisa diberi warna
merah, maka titik (𝑏, 1) diberi warna kedua yaitu hijau. Begitu seterusnya hingga
(𝑏, 2) dan (𝑏, 3) diberi warna hijau dan (𝑐, 1), (𝑐, 2) dan (𝑐, 3) diberi warna merah.
Dapat disimpulkan bahwa pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut hanya
menggunakan 2 warna.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 38 Pewarnaan titik pada graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂𝐶3
Contoh 2.5.2
Diketahui himpunan warna 𝑤 = {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Dari contoh 2.4.3
diketahui graf hasil operasi korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3
dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3),
(c,1), (c,2), (c,3)}, sebagai berikut
Gambar 39 Graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝑃3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Akan dilakukan pewarnaan titik pada graf hasil operasi korona diatas. Pertama-
tama dipilih titik pertama yaitu 𝑎 dan diberi warna pertama, yaitu merah.
Selanjutnya dipilih titik kedua yaitu 𝑏 dan diberi warna dengan urutan terkecil
dalam himpunan warna yang belum diberikan pada titik lain yang bertetangga.
Karena titik 𝑎 dan titik 𝑏 bertetangga, titik 𝑏 diberi warna kuning. Karena titik 𝑐
bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik 𝑏 sehingga titik 𝑐 diberi warna hijau.
Karena 𝑎 diberi warna merah, maka titik (𝑎, 1) diberi warna kuning.
Sedangkan titik (𝑎, 2) yang bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik (𝑎, 1) diberi warna
hijau. Titik (𝑎, 3) yang bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik (𝑎, 2) diberi warna
kuning. Begitu seterusnya hingga titik (𝑏, 1), (𝑏, 3), (𝑐, 1) dan (𝑐, 3) diberi warna
merah, titik (𝑏, 2) diberi warna hijau dan titik (𝑐, 2) diberi warna kuning. Jadi
pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut hanya menggunakan 3 warna, sebagai
berikut
Gambar 40 Pewarnaan titik pada graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝑃3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
BAB III
BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN
PERMAINAN PEWARNAAN GRAF
Pembahasan mengenai jenis-jenis graf, operasi graf dan bilangan kromatik
telah dibahas dalam bab II. Ketiga pembahasan tersebut akan dibahas menjadi satu
pembahasan dalam bab ini, yaitu bilangan kromatik graf hasil operasi darab tensor
dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan. Selain itu, akan dicari
bilangan kromatik permainan dari salah satu graf hasil operasi darab korona.
A. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor dari Graf
Lintasan dengan Graf Lingkaran
Operasi darab tensor yang akan dilakukan antara graf lingkaran dengan graf
lintasan, yaitu (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚), (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dan (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚). Dari ketiga pengoperasian
tersebut, akan dicari bilangan kromatik dari masing-masing hasil operasi.
Teorema 3.1.1
Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf
lingkaran 𝐶𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥
3 adalah
𝜒 (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) = 2
Bukti
Graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =
{𝑥𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖,1𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,𝑚𝑥𝑖−1,1; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 } ∪
{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖−1,𝑗+1; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
𝑚 − 1} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 2𝑚. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 =
(𝑃𝑛⊗𝐶𝑚), yaitu
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛⊗
𝐶𝑚) = 2. ∎
Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab tensor dari
graf lintasan 𝑃𝑛 dan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan
bilangan kromatiknya.
Contoh 3.1.1
Dalam contoh 2.3.1 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan
𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3, sebagai berikut
Gambar 41 Graf 𝑃3⊗𝐶3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Menurut teorema 3.1.1, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab
itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}.
Titik (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2) dan (b,3) diberi warna merah. Sedangkan titik
(b,1), (b,2) dan (b,3) diberi warna hijau.
Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3
dan graf lingkaran 𝐶3 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil
operasi darab tensor tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 42 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3⊗𝐶3
Teorema 3.1.2
Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛
dengan 𝐶𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 3 adalah
𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚) = {
3 untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil
2 untuk lainnya
Bukti
Graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =
{𝑥𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 dan himpunan sisi 𝐸 =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥1,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 2 ≤ 𝑗 ≤
𝑚 } ∪ {𝑥1,𝑗𝑥𝑛,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1 } ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤
𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,1𝑥𝑖+1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥𝑖,1𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥1,1𝑥𝑛,𝑚; 1 ≤
𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑛,1𝑥1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚.
Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚), yaitu
1. Untuk 𝑛 dan 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dengan 𝑛 dan 𝑚 genap mempunyai
bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) = 2.
2. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap
mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) = 2.
3. Untuk 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil
mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) = 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
4. Untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 = 𝑚
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil mempunyai
bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) = 3. ∎
Akan ditunjukkan beberapa contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab
tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛 dan 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai
dengan bilangan kromatiknya. Contoh 3.1.2 merupakan graf hasil operasi dua buah
graf lingkaran dengan 𝑛 dan 𝑚 genap.
Contoh 3.1.2
Dalam contoh 2.3.2 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf
lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6, sebagai berikut
Gambar 43 Graf 𝐶4⊗𝐶6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab
itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}.
Titik A, B, C, D, E, F, M, N, O, P, Q dan R diberi warna merah. Sedangkan titik G,
H, I, J, K, L, S, T, U, V, W dan X diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf
hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 dapat dilakukan hanya
dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat
ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 44 Pewarnaan titik pada graf 𝐶4⊗𝐶6
Contoh 3.1.3 merupakan graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran
dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap.
Contoh 3.1.3
Dalam contoh 2.3.3 diketahui graf hasil darab operasi tensor dari dua buah graf
lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 yang ditunjukkan pada Gambar 45.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Gambar 45 Graf 𝐶3⊗𝐶4
Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab
itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}.
Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan (c,3) diberi warna merah. Sedangkan titik
(a,2), (b,2), (c,2), (a,4), (b,4) dan (c,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari
graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan
hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat
ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 46 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3⊗𝐶4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Contoh 3.1.4
Dalam contoh 2.3.4 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf
lingkaran 𝐶4 dan 𝐶3, sebagai berikut
Gambar 47 Graf 𝐶4⊗𝐶3
Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Misalkan
dengan himpunan warna w={merah, hijau}. Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan
(c,3) diberi warna merah, sedangkan titik (a,2), (b,2), (c,2), (a,4), (b,4) dan (c,4)
diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dua buah
graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf
tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 48 Pewarnaan titik pada graf 𝐶4⊗𝐶3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Contoh 3.1.5
Dalam contoh 2.3.5 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf
lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5, sebagai berikut
Gambar 49 Graf 𝐶3⊗𝐶5
Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 3. Oleh sebab
itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning,
hijau}. Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan (c,3) diberi warna merah. Titik (a,2),
(b,2), (c,2), (a,4), (b,4) dan (c,4) diberi warna kuning. Sedangkan titik
(𝑎, 5), (𝑏, 5) dan (𝑐, 5) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil
operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 dapat dilakukan hanya
dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat
ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 50 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3⊗𝐶5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Contoh 3.1.4 diatas merupakan graf hasil operasi darab tensor dengan 𝑛 genap
dan 𝑚 ganjil, sedangkan contoh 3.1.5 dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil.
Teorema 3.1.3
Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf
lintasan 𝑃𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 2 adalah
𝜒 (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚) = 2
Bukti
Graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =
{𝑥𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤
𝑗 ≤ 𝑚 } dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚),
yaitu
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚) mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛⊗
𝑃𝑚) = 2. ∎
Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab tensor dari
graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf lintasan 𝑃𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan
bilangan kromatiknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Contoh 3.1.6
Dalam contoh 2.3.6 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf
lintasan 𝑃3 dan 𝑃4, sebagai berikut
Gambar 51 Graf 𝑃3 ⊗ 𝑃4
Menurut teorema 3.1.3, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab
itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}.
Titik (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (c,1), (c,2), (c,3) dan (c,4) diberi warna merah.
Sedangkan titik (b,1), (b,2), (b,3) dan (b,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik
dari graf hasil operasi darab tensor dua buah graf l graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 dapat
dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor
tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 52 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊗ 𝑃4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
B. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Korona dari Graf
Lingkaran dengan Graf Lintasan
Operasi darab korona yang akan dilakukan antara graf lingkaran dengan graf
lintasan, yaitu (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dan (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚). Dari
keempat pengoperasian tersebut, akan dicari bilangan kromatik dari masing-masing
hasil operasi.
Teorema 3.2.1
Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃𝑛 dan graf
lingkaran 𝐶𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥
3 adalah
𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = {
3 untuk 𝑚 genap
4 untuk 𝑚 ganjil
Bukti
Graf (𝑃𝑛⨀𝐶𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =
{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑦𝑖,1𝑦𝑖,𝑚; 1 ≤
𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan
|𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛 − 1. Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝑃𝑛 ⨀ 𝐶𝑚), yaitu
1. Untuk 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑚 genap mempunyai
bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 3.
2. Untuk 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
Pewarnaan titik graf hasil operasi tersebut tidak dapat dilakukan
dengan kurang dari 4 warna karena untuk 𝐶𝑚 dengan 𝑚 ganjil pasti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
memiliki satu titik dengan dua titik bertetangga yang memiliki warna
berbeda, sehingga diperlukan sebuah warna lagi untuk mewarnai titik
tersebut, dengan kata lain salinan 𝐶𝑚 memerlukan 3 warna. Jika salinan
ke-𝑖 dari 𝐶𝑚 memerlukan paling sedikit 3 warna dan titik ke-𝑖 dari 𝑃𝑛
memerlukan satu warna lagi yang berbeda, maka 𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 4. ∎
Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari
graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan
bilangan kromatiknya. Contoh 3.2.1 merupakan graf hasil operasi graf lintasan dan
graf lingkaran dengan 𝑚 genap.
Contoh 3.2.1
Dalam contoh 2.4.1, diketahui graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan
𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4, sebagai berikut
Gambar 53 Graf 𝑃3 ⊙ 𝐶4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Menurut teorema 3.2.1, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
bilangan kromatik 3. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan
himpunan warna w={merah, kuning, hijau}. Titik a, c, (b,1) dan (b,3) diberi warna
merah. Titik b, (a,1), (a,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna kuning. Sedangkan titik
(a,2), (a,4), (b,2), (b,4), (c,2) dan (c,4) diberi warna hijau.
Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab korona dua buah graf lintasan
𝑃3 dan 𝑃4 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi
darab korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 54 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊙ 𝐶4
Contoh 3.2.2 merupakan graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃𝑛
dan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan 𝑚 ganjil.
Contoh 3.2.2
Dalam contoh 2.4.2, diketahui graf hasil operasi korona graf lintasan 𝑃3 dan
graf lingkaran 𝐶3 yang ditunjukkan pada Gambar 55.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Gambar 55 Graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3
Menurut teorema 3.2.1, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
bilangan kromatik 4. Dengan himpunan warna w={merah, kuning, biru, hijau}, titik
a, c dan (b,1) diberi warna merah, titik b, (a,1),sdan (c,1) diberi warna kuning, titik
(a,2), (b,2), dan (c,2) diberi warna biru dan titik (a,3), (b,3), dan (c,3) diberi warna
hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3 dapat dilakukan hanya dengan 4
warna, dengan pewarnaan graf sebagai berikut
Gambar 56 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Teorema 3.2.2
Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶𝑚 dan graf
lintasan 𝑃𝑛. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2
adalah
𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3
Bukti
Graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =
{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1𝑥𝑛; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤
𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚.
Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), yaitu
1. Untuk 𝑛 genap
𝑓(𝑥𝑖) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) dengan 𝑛 genap mempunyai
bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
2. Untuk 𝑛 ganjil
𝑓(𝑥𝑖) =
{
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
3, 𝑖 = 𝑛
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚1, 𝑗 genap
b. Untuk 𝑖 genap
(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
c. Untik 𝑖 = 𝑛
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) dengan 𝑛 ganjil mempunyai
bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3. ∎
Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari
dua buah graf lingkaran 𝐶𝑚 dan graf lintasan 𝑃𝑛 dengan jumlah warna yang sesuai
dengan bilangan kromatiknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Contoh 3.2.3
Dalam contoh 2.4.3, diketahui graf hasil operasi darab korona dari graf
lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3, sebagai berikut
Gambar 57 Graf 𝐶3 ⊙ 𝑃3
Menurut teorema 3.2.2, graf hasil operasi korona tersebut memiliki bilangan
kromatik 3. Pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut, yaitu
Gambar 58 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊙ 𝑃3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna 𝑤 =
{𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Titik 𝑎, (𝑏, 1), (𝑏, 3), (𝑐, 1) dan (𝑐, 3) diberi warna
merah. Titik 𝑏, (𝑎, 1), (𝑎, 3) dan (𝑐, 2) diberi warna kuning. Sedangkan titik 𝑐,
(𝑎, 2) dan (𝑏, 2) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi korona
dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna.
Teorema 3.2.3
Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶𝑛 dan graf
lingkaran 𝐶𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥
3 adalah
𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = {
3 untuk 𝑚 genap
4 untuk 𝑚 ganjil
Bukti
Graf graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =
{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan
himpunan sisi 𝐸 = {𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1𝑥𝑛; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤
𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛.
Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), yaitu
1. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖) =
{
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
3, 𝑖 = 𝑛
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
c. Untuk 𝑖 = 𝑛
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap
mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 3.
2. Untuk 𝑛 dan 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑛 dan 𝑚 genap
mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
3. Untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖) =
{
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
3, 𝑖 = 𝑛
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
c. Untuk 𝑖 = 𝑛
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil
mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
4. Untuk 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil
mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 4. ∎
Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari
dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛 dan 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan
bilangan kromatiknya. Contoh 3.2.4 merupakan graf hasil operasi korona dua buah
graf lingkaran dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap.
Contoh 3.2.4
Dalam contoh 2.4.4, diketahui graf hasil operasi darab korona dari dua graf
lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 yang ditunjukkan pada Gambar 59.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Gambar 59 Graf 𝐶3 ⊙ 𝐶4
Menurut teorema 3.2.3, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
bilangan kromatik 3. Pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut dapat
ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 60 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊙ 𝐶4
Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna 𝑤={merah, kuning, hijau}.
Titik a, (b,1), (b,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna merah. Titik b, (a,1), (a,3), (c,2) dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
(c,4) diberi warna kuning. Sedangkan titik c, (a,2), (a,4), (b,2) dan (b,4) diberi
warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran
𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna.
Contoh 3.2.5 merupakan graf hasil operasi korona dua buah graf lingkaran
dengan 𝑛 dan 𝑚 genap.
Contoh 3.2.5
Dalam contoh 2.4.5, diketahui graf hasil operasi korona dari dua graf lingkaran
𝐶4 dan 𝐶6, sebagai berikut
Gambar 61 Graf 𝐶4 ⊙ 𝐶6
Menurut teorema 3.2.3, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
bilangan kromatik 3. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan
himpunan warna w={merah, kuning, hijau}. Titik a, c, (b,1), (b,3), (b,5), (d,1), (d,3)
dan (d,5) diberi warna merah. Titik b, d, (a,1), (a,3), (a,5), (c,1), (c,3) dan (c,5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
diberi warna kuning. Sedangkan titik (a,2), (a,4), (a,6), (b,2), (b,4), (b,6), (c,2),
(c,4), (c,6), (d,2), (d,4) dan (d,6) diberi warna hijau.
Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶4 dan
𝐶6 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab
korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 62 Pewarnaan titik pada graf 𝐶4 ⊙ 𝐶6
Contoh 3.2.6 merupakan graf hasil operasi korona dua buah graf lingkaran
dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil.
Contoh 3.2.6
Dalam contoh 2.4.6, diketahui graf hasil operasi darab korona dari dua graf
lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 yang ditunjukkan pada Gambar 63.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Gambar 63 Graf 𝐶3 ⊙ 𝐶5
Menurut teorema 3.2.3, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
bilangan kromatik 4. Pewarnaan graf hasil operasi darab korona tersebut dapat
ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 64 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊙ 𝐶5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning, biru,
hijau}. Titik a, (b,1), (b,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna merah. Titik b, (a,1), (a,3),
(c,2) dan (c,4) diberi warna kuning. Titik c, (a,2), (a,4) dan (b,5) diberi warna biru.
Sedangkan titik (a,5) , (b,2), (b,4) dan (c,5) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik
graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 dapat dilakukan hanya
dengan 4 warna.
Contoh 3.2.7 merupakan graf hasil operasi korona dua buah graf lingkaran
dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil.
Contoh 3.2.7
Dalam contoh 2.4.7, diketahui graf hasil operasi darab korona dari dua graf
lingkaran 𝐶4 dan 𝐶3, sebagai berikut
Gambar 65 Graf 𝐶4 ⊙ 𝐶3
Menurut teorema 3.2.3, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
bilangan kromatik 4. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
himpunan warna 𝑤 = {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, 𝑏𝑖𝑟𝑢, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Titik 𝑎, 𝑐, (𝑏, 1) dan (𝑐, 1)
diberi warna merah. Titik 𝑏, 𝑐, (𝑎, 1) dan (𝑐, 1) diberi warna kuning. Titik (𝑎, 2),
(𝑏, 2), (𝑐, 2) dan (𝑑, 2) diberi warna biru. Sedangkan titik (𝑎, 3) , (𝑏, 3), (𝑐, 3) dan
(𝑑, 3) diberi warna hijau.
Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶4 dan
𝐶3 dapat dilakukan hanya dengan 4 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab
korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 66 Pewarnaan titik pada graf 𝐶4 ⊙ 𝐶3
Teorema 3.2.4
Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari dua buah graf lintasan 𝑃𝑛
dan 𝑃𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 2 adalah
𝜒(𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3
Bukti
Graf (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =
{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dan himpunan sisi 𝐸 =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤
𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 1. Fungsi pewarnaan
titik pada graf (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), yaitu
𝑓(𝑥𝑖) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
1. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
2. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) mempunyai bilangan kromatik
𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3. ∎
Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari
dua buah graf lintasan 𝑃𝑛 dan 𝑃𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan
bilangan kromatiknya.
Contoh 3.2.8
Dalam contoh 2.4.8, diketahui graf hasil operasi darab korona dari dua graf
lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 yang ditunjukkan pada Gambar 67.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Gambar 67 Graf 𝑃3 ⊙ 𝑃4
Menurut teorema 3.2.4, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki
bilangan kromatik 3. Pewarnaan graf hasil operasi darab korona tersebut dapat
ditunjukkan dalam graf sebagai berikut
Gambar 68 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊙ 𝑃4
Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning, hijau}.
Titik a, c, (b,1) dan (c,1) diberi warna merah. Titik b, c, (a,1) dan (c,1) diberi warna
kuning. Titik (a,2), (b,2), (c,2) dan (d,2) diberi warna biru. Sedangkan titik (a,3) ,
(b,3), (c,3) dan (d,3) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab
korona dari graf lingkaran 𝑃3 dan 𝑃4 dapat dilakukan hanya dengan 4 warna.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Setelah diketahui bilangan kromatik graf hasil operasi darab tensor dan darab
korona dari graf lingkaran dan graf lintasan, selanjutnya akan dicari bilangan
kromatik permainan dari graf hasil operasi darab korona 𝐶𝑛 dan 𝑃𝑚.
C. Permainan Pewarnaan Graf
Permainan pewarnaan graf 𝐺 dilakukan pada graf sederhana dengan himpunan
warna {1, 2, 3, … , 𝑘}. Dua pemain, pemain A dan pemain B, secara bergantian
memberi warna titik yang belum diberi warna sedemikian sehingga tidak ada titik
bertetangga yang memiliki warna yang sama. Misalkan pemain A mendapat
kesempatan pertama untuk memberi warna pada salah satu titik. Pemain A
dianggap memenangkan permainan apabila semua titik sudah diberi warna dengan
benar, jika sebaliknya pemain B yang di anggap memenangkan permainan.
Bilangan kromatik permainan dari 𝐺, dinotasikan dengan 𝜒𝑔(𝐺) adalah
banyak warna paling sedikit dimana pemain yang mendapat kesempatan pertama
untuk memberi warna pada salah satu titik dapat memenangkan permainan. Pemain
yang mendapat kesempatan pertama tersebut selalu memenangkan permainan jika
banyak warna lebih besar dari derajat maksimum dari 𝐺.
Teorema 3.3.1
Batas bawah untuk bilangan kromatik permainan adalah 𝜒𝑔(𝐺), yaitu
𝜒(𝐺) ≤ 𝜒𝑔(𝐺).
Bukti
Diketahui bahwa 𝜒(𝐺) adalah jumlah minimun warna yang digunakan dalam
pewarnaan graf 𝐺. Dalam permainan pewarnaan graf, jika warna yang disediakan
kurang dari 𝜒(𝐺), maka ada titik dalam 𝐺 yang tidak dapat diberi warna. Sehingga
haruslah 𝜒(𝐺) ≤ 𝜒𝑔(𝐺). ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Teorema 3.3.2
Untuk sebarang bilangan bulat 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2,
𝜒𝑔(𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚) = 4.
Bukti
Ditunjukkan graf 𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚, sebagai berikut
Gambar 69 Graf 𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚
Strategi kemenangan pemain B dengan 3 warna, yaitu
1. Kasus 1
Misalkan pemain A melakukan langkah pertamanya dengan memainkan
warna 1 di salah satu titik dari 𝐶𝑛, katakan 𝑥1. Kemudian pemain B melakukan
langkah pertama dengan memainkan warna 2 pada tiitik 𝑥3. Dalam langkah
keduanya pemain A akan memainkan warna 3 di titik 𝑥2 karena langkah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
tersebut merupakan satu-satunya cara untuk menghalangi ancaman terhadap
titik tersebut. Pemain B dalam langkah keduanya memainkan warna yang tepat
antara titik 𝑥5, 𝑥7, 𝑥9, … , masing-masing memaksa pemain A untuk memainkan
warna yang tepat di titik 𝑥4, 𝑥6, 𝑥8, …. Selanjutnya, pemain B memainkan
langkah terakhirnya menurut dua situasi berikut:
a. Jika n merupakan bilangan genap maka langkah diatas berhenti pada titik
𝑥𝑛−1. Pemain B kemudian memainkan warna apapun di titik 𝑦𝑛,𝑗 yang
berbeda dengan titik 𝑥1 dan titik 𝑥𝑛−1. Pemain A tidak dapat menghalangi
ancaman pada titik xn, dengan begitu pemain B memenangkan permainan.
b. Jika 𝑛 merupakan bilangan ganjil maka langkah diatas berhenti pada titik
𝑥𝑛−2. Kemudian pemain B pada langkah sebelum langkah terakhirnya
memainkan warna pada salah satu titik 𝑏𝑛,𝑗, yang berbeda dengan 𝑥1.
Sebagai tanggapan, pemain A dipaksa untuk memberi warna di titik 𝑥𝑛−1
karena ini adalah satu-satunya cara untuk menghalangi ancaman terhadap
titik ini. Dengan memainkan warna yang berbeda untuk 𝑥1 dan 𝑥𝑛−1 pada
sembarang titik 𝑏𝑛,𝑗, Bob dapat berhasil menetapkan tiga warna berbeda
di tetangga dari titik 𝑎𝑛.
2. Kasus 2
Pemain A membuat gerakan pertamanya dengan memainkan warna 1 di
salah satu titik 𝑦𝑖,𝑚, katakanlah 𝑦1,1. Sebagai tanggapan, pemain B memainkan
warna 2 pada titik 𝑦2,1. Dalam langkah keduanya pemain A harus bermain
warna 2 di titik 𝑥1 karena ini adalah satu-satunya cara dia bisa menghalangi
ancaman terhadap titik ini. Dalam gerakan selanjutnya, pemain B bermain di
titik alternatif 𝑥3, 𝑥5, 𝑥7, … , masing-masing, memaksa pemain A untuk
bermain di titik 𝑥2, 𝑥4, 𝑥6, … . Selanjutnya, pemain B memainkan langkah
terakhirnya menurut kasus 1.
Oleh karena itu 𝜒𝑔(𝐶𝑚⨀ 𝑃𝑛) ≥ 4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Strategi kemenangan pemain A dengan 4 warna:
Graf 𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚 memiliki 𝑛𝑚 + 𝑛 titik. Pemain A, dalam strateginya memberikan
warna pada titik 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dan akibatnya menghalangi ancaman terhadap
simpul-simpul tersebut. Karena pemain A harus memulai permainan, misalkan dia
membuat gerakan pertamanya dengan memainkan warna 1 di titik 𝑥1. Sebagai
tanggapan, pemain B dapat memainkan game dalam dua cara berikut:
1. Kasus 1
Pemain B bermain di titik-titik dalam 𝐶𝑛, katakana 𝑥𝑖, untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Pemain A menanggapi dengan memainkan warna apapun dari himpunan warna
di titik yang belum diberi warna dalam 𝐶𝑛.
2. Kasus 2
Pemain B bermain di titik 𝑦𝑖,𝑗, lalu pemain A memberikan warna yang
sesuai di titik 𝑥𝑖. Pemain B hanya bisa menang jika ia berhasil menetapkan 4
warna berbeda ke 4 titik yang bertetangga dengan salah satu titik lainnya.
Tetapi setiap kali dia bermain di titik 𝑦𝑖,𝑗, pemain A memberikan warna yang
tepat di 𝑥𝑖.
Dengan cara ini pemain A dapat mewarnai semua titik dalam graf dan dia
memenangkan permainan.
Dari kedua strategi ini tersebut, dapat disimpulkan bahwa
𝜒𝑔(𝐶𝑚⨀ 𝑃𝑛) = 4.
∎
Dalam contoh 3.3.1 akan ditunjukkan permainan pewarnaan graf pada graf
(𝐶𝑚⨀ 𝑃𝑛) dengan himpunan warna {Merah, Kuning, Hijau} dan{Merah, Kuning,
Hijau, Hitam}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Contoh 3.3.1
Dalam contoh 2.4.3, diketahui graf hasil operasi darab korona dari graf
lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3, sebagai berikut
Gambar 70 Graf 𝐶3⨀ 𝑃3
1. Jika diberikan himpunan warna {Merah, Kuning, Hijau}
Gambar 71 Strategi pemain B memenangkan permainan
Pertama, pemain A memberi warna merah pada titik (𝑎, 1). Sebagai
tanggapan, pemain B memberi warna kuning pada titik (𝑏, 1). Pada langkah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
keduanya, pemain A memberi warna kuning pada titik 𝑎 karena ini merupakan
satu-satunya cara untuk menghalangi ancaman pada titik tersebut. Selanjutnya,
pemain B memberi warna merah pada titik (𝑐, 1). Langkah tersebut membuat
pemain A harus memberikan warna merah pada titik 𝑏. Pemain B kemudian
memberi warna hijau pada titik (𝑐, 2) sehingga pemain A tidak dapat
memberikan warna yang tepat pada titik 𝑐. Dapat disimpulkan bahwa pemain
B memenangkan permainan.
2. Jika diberikan himpunan warna {Merah, Kuning, Hijau, Hitam}
Pertama, pemain A memberi warna merah pada titik 𝑎. Sebagai tanggapan,
pemain B memberi warna kuning pada titik (𝑏, 2). Pemain A memberi warna
hijau pada titik 𝑏 karena ini merupakan satu-satunya cara untuk menghalangi
ancaman pada titik tersebut. Pemain B kemudian memberi warna hijau pada
titik (𝑐, 1) dan pemain A menanggapi dengan memberi warna hitam pada titik
𝑐. Selanjutnya, pemain B memberi warna di titik manapun tidak dapat memberi
ancaman terhadap pemain A. Dengan demikian semua titik dapat diberi warna
yang sesuai dan pemain A memenangkan permainan.
Gambar 72 Strategi pemain A memenangkan permainan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Operasi tensor dan korona dalam tulisan ini dilakukan antara graf lingkaran
dengan graf lintasan. Graf hasil operasi tensor tersebut, yaitu (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚),
(𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dan (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚). Graf operasi darab korona yang dicari dalam tulisin ini,
yaitu (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dan(𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚).
Graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =
{𝑥𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖,1𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,𝑚𝑥𝑖−1,1; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 } ∪
{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖−1,𝑗+1; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤
𝑚 − 1} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 2𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚)
untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥ 3 adalah 𝜒 (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) = 2. Fungsi pewarnaan titik pada graf
𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚), yaitu
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
Graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =
{𝑥𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥1,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 2 ≤ 𝑗 ≤
𝑚 } ∪ {𝑥1,𝑗𝑥𝑛,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1 } ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤
𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,1𝑥𝑖+1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥𝑖,1𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥1,1𝑥𝑛,𝑚; 1 ≤
𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑛,1𝑥1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚.
Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 3 adalah
𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚) = {
3 untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil
2 untuk lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚), yaitu
1. Untuk 𝑛 dan 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
2. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
3. Untuk 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
4. Untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 = 𝑚
Graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =
{𝑥𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤
𝑗 ≤ 𝑚 } dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚), untuk
𝑛,𝑚 ≥ 2 adalah 𝜒 (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚) = 2. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 =
(𝑃𝑛⊗𝑃𝑚), yaitu
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Graf (𝑃𝑛⨀𝐶𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =
{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑦𝑖,1𝑦𝑖,𝑚; 1 ≤
𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan
|𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛 − 1. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 2
dan 𝑚 ≥ 3 adalah
𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = {
3 untuk 𝑚 genap
4 untuk 𝑚 ganjil
Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝑃𝑛 ⨀ 𝐶𝑚), yaitu
1. Untuk 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
2. Untuk 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
Graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =
{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1𝑥𝑛; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤
𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚.
Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2 adalah
𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3. Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), yaitu
1. Untuk 𝑛 genap
𝑓(𝑥𝑖) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
2. Untuk 𝑛 ganjil
𝑓(𝑥𝑖) =
{
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
3, 𝑖 = 𝑛
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚1, 𝑗 genap
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
c. Untik 𝑖 = 𝑛
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
Graf graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =
{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan
himpunan sisi 𝐸 = {𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1𝑥𝑛; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤
𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛.
Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 3 adalah
𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = {
3 untuk 𝑚 genap
4 untuk 𝑚 ganjil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), yaitu
1. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖) =
{
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
3, 𝑖 = 𝑛
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
c. Untuk 𝑖 = 𝑛
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
2. Untuk 𝑛 dan 𝑚 genap
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
3. Untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖) =
{
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap
3, 𝑖 = 𝑛
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
c. Untuk 𝑖 = 𝑛
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil
2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
4. Untuk 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil
2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
a. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
b. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =
{
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap
4, 𝑗 = 𝑚
Graf (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =
{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dan himpunan sisi 𝐸 =
{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤
𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 1. Bilangan kromatik
dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 2 adalah 𝜒(𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3. Fungsi
pewarnaan titik pada graf (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), yaitu
𝑓(𝑥𝑖) = {
1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
1. Untuk 𝑖 ganjil
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
2. Untuk 𝑖 genap
𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {
1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Permainan pewarnaan graf hasil operasi darab korona antara graf lingkaran
dengan graf lintasan memiliki bilangan kromatik permainan 𝜒𝑔(𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚) = 4,
untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2. Misalnya dilakukan permainan pewarnaan graf oleh dua
pemain, yaitu pemain A dan pemain B. Jika diberikan 4 warna untuk melakukan
permainan perwarnaan graf pada graf (𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚) maka dapat dipastikan pemain A
memenangkan permainan. Sedangkan, jika (𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚) ≤ 3 maka dapat dipastikan
pemain B memenangkan permainan.
B. Saran
Tulisan ini hanya membahas bilangan kromatik pada graf hasil operasi tensor
dan operasi korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan. Selain pembahasan
tersebut, dibahas juga aplikasi bilangan kromatik dalam teori lain, yaitu bilangan
kromatik permainan dari graf (𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚). Oleh karena itu, tulisan ini dapat
dikembangkan lebih lanjut seperti bilangan kromatik pada graf hasil operasi
lainnya, bilangan kromatik permainan dari graf lainnya atau aplikasi pada
kehidupan nyata.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
DAFTAR PUSTAKA
Acharya, U. P., & Mehta, H. S. (2014). 2-Tensor Product of Graph. International
Journal of Mathematics and Scientific Computing, 4, 21-24.
Chartrand, G., Lesniak, L., & Zhang, P. (2011). Graphs & Digraphs (Fifth
Edition). Boca Raton: CRC Press.
Epp, S. S. (2011). Discrete Mathematics with Applications (Fourth Edition).
Boston: Brooks/Cole.
Nada, S., Elrokh, A., Elsakhawi, E. A., & Sabra, D. E. (2017). The Corona
between Cycles and Paths. Journal of Egyptian Mathematical Society, 25,
111-118.
Susilo, F. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Syed Ahtsham Ul Haq Bokhary, T. I. (2018). Game Chromatic Number of
Cartesian and Corona Product Graphs. Journal of Algebra Combinatorics
Discrete Structures and Applications, 5, 129-136.
Wilson, R. J. (1998). Introduction to Graph Theory. Essex: Addison Wesley
Longman Limited.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI